a «2661 27302 24128 (j9+fn

—23 80252 12883 70579 60192 (y,*+yi4)

— 3i 86001 61546 46?5i 00912 ylt .

Les cinq premières formules sont presque sans utilité dans la pratique-, parce qu'elles donnent une approximation trop bornée : la 6.m* serriPÉ dans les cas les plus ordinaires , ainsi que la 8.*** ,

D'INTÉGRATION. m la 1 2. m* devra être employée dans le cas où l'on voudra aïoir environ 10 chiffres décimaux exacts : enfin , on ne devra faire usage de la 34.""* que dans les cas , extrêmement rares, où l'on voudra pousser l'exactitude jusqu'à iC à 18 chiAYes.

Pans des cas extraordinaires , on i on aurait besoin d une approximation encore plus grande, on pourr.nl calculer une formule pour 49 ordonnées : ii ne faudrait pour cela que du temps et de la patience; on peut aussi, quoique moins parfaitement, remplir le même but , en partageant l'intervalle des ordonnées extrêmes en un certain nombre de parties égales , dont chacune soit ensuite subdivisée en 34 ; «n appliquant ensuite à chaque groupe de 2^ divisions la formule (Fg4) : en voici un exemple.

Je suppose l'intervalle total partagé en 120 parties égales, par 131 ordonnées- En représentant, pour abréger , par p , a,br

c , à , n , respectivement , « les nombres de la formule (Ft4)>on

obtiendra , sans difficulté , la formule suivante :

(F. •*) 5pS=a(y 0+ay, 4+iy4t+*y, *+iy9i+y, , J

-<r.+r«r+r»«+r4«H-rt.-r-r7--f-rr4H-n4+r,>t +r..r) y,-b*. ,+r»7+r4,+r» i+yo9+y7 ,+y9>+y99 +r. , ?) (y 4+r » o+r» t+y* <+y, »-f-r„ ,+r, ,4r . o.-+r. » «) +yir^.f4r..^4i+rii+r«r+r7r+r,I-4^lol +>•,.,) — f(Y*+y, o+r4i+r, t+y^+y, t+y9*+yt o»-r-r. 1 4) -r-%r*+-ri 7+r» t+X4,+yf ,-r-r« t+yr ,+r 1 9+y . *t+y • • ,) — » (r»+ri «+rt*+r4o4r, 6+r64-r-r« oH-r»i-f-ri 04+ri • t) -f-/<(r,-f-ri ,+r , ,+r i t-hr» i+yi 7+r. o ,+y. . » ) — ' (r.o+r, 4+r 1 i+r$ s4-r« H-y» »+y« 6-hri .«-r-y. . •> +^(y..4T«J+/MH-r17H-r59+r«."+-r»i+y»»+r.«74-1r^,> — «(y. t+y n+y«.+yi 4+Ti.i) .

iij FORMULES

Dans l'emploi de toutes ces formules, il faut, remarquer que, § l'intervalle entre les ordonnées extrêmes , qui y est pris pour unité , se trouvait , en général , être a , il faudrait multiplier par a la valeur de S donnée par la formule.

Il est une autre remarque assez importante. Si la courbe à quarrer présente un point d'inflexion , entre les limites de l'intégrale cherchée, il sera bon d'évaluer séparément les portions d'aire situées de part et d'autro de ce point; car le défaut de cette attention ne pourrait qu'altérer sensiblement l'exactitude du résultat. On verra ci-après comment M. Kramp , pour avoir négligé cette remarque , a été conduit à de fausses conséquences , et a cru apercevoir un paradoxe là où il n'en existait pas. 11 est presque superflu d'observer qu'il faudrait) à plus forte raison, eu user ainsi, si, entre les limites de l'intégrale , la courbe offrait un ou plusieurs points de rebrous- «ement.

§. III. Application des formules.

f\ nous reste une dernière tâche à remplir : il faut soumettre nos formules à l'expérience qui est la vraie pierre de louche de toutes les théories (*).

Nous prendrons , pour i." application , la recherche du logarithme hyperbolique de 2 , c'est-à-dire , en d'autres termes , la recherche de l'intégrale de ~ , entre x=i et 2 , ou encore la

quadrature de l'hyperbole y= — , entre les mêmes limites.

(*) L'expérience est , en effet , la vraie pierre Je touche de» méthode* empiriques; et uou» tommes malheureusement réduis à employer souvent de telle* méthodes ; nuis les véritable» théories peuvent se passer de celte sanction ; et Ton n'a nullement besoin d'expérience pour lire assuré , par eiempU , que la aurCace de la sphère est quadruple de celle de l'un de ses grands cercles. 11 est bien vrai que le peuple répète souvent, d'après des gens qui prelcndent n'clre poiut peuple , tyfexpirienc* passe science ; mais H serait fort à désirer que les

u'oinèîrcs pussent consomment tenir un autre langage.

D'INTÉGRATION. hJ Pour appliquer à cette recherche notre formule (FM), il faudra

faire successivement , dans ysz ^ >

x=x , *=i-f~, *=si+^, ar=i+7;, ^=1+^, * = 2 i

ou bien

ce qui donnera

y*»—1 y y>—r, i yt=K * y#=ïf » y*\ =H ♦ J»*=r •

11 ne s'agira donc plus que de substituer ces valeurs dans la formule (F,4) ; et on opérera d'une manière analogue , si l'on veut employer toute autre formule. Le tableau suivant présente les résultats obtenus pour S ou Log.2 , par nos formules (Fs) , (F«), (F,,) i (F,4) » » regard desquels nous avons mis ceux de M. Kramp qui leur correspondent.

Logarithme de z> Par noire méthode. Suivant Jf. KBJLMr.

(Ffl ) o,693i4 8062a 0,69314 8o6aa

(Fl4) o,693t4 7,8o5 59945 3io .

La vraie valeur étant

n4 FORMULES

il s'ensuit qu« le résultai de ma formule il est trop fort de o,ooooo ooooo 66a, et celui de M. Kramp de 0,00000 00001 663; ferreur de M. Kramp est donc presque triple de la mienne.

Je n'ai point rapporté les résultais qu'on obtient des cinq premières formules , parce que , par ma méthode , ces formules sont les mêmes que celles de M. Kramp. Il en est de même pour les for» mules (F4) et (Fg) ; de sorte que les résultats des deux procèdes ne commencent à différer les uns des autres qu'à partir de (F,,). Cette singularité semblerait assez difficile à expliquer autrement que par quelque erreur de calcul ; mais le point essentiel est de savoir laquelle des deux formules doit être préférée ; et l'expérience assure l'avantage à la nôtre.

Le même tableau fait encore voir que le résultat de ma formule (F,4) nTest en défaut que sur le i8.me chiffre ; approximation qu'aucune autre méthode ne saurait donner aussi simplement , et qui excède de beaucoup les besoins ordinaires.

J'ai pris , pour 2.me application , la détermination de la longueur

de l'arc de 45° , ou de y. La tangente de l'arc étant désignée par

s , on sait que la question se réduit à intégrer -j— ; , entre les limites *=s«, x»i ; ou encore à quarrer, entre les mêmes limites la courbe y— — — . En faisant successivement

•n trouve

f — » V — »Hi ». 'T« -—111 JJ± t

jo 1 » J*—im >/i-iM' "» — •.,> ••— J !» — ••. I > 1 t«— 7 ; tes Talcurs mises dans ma formule 2.4 * on trouve

D'INTÉGRATION. ^5 valeur qui n'est en défaut qu'au i6.m' chiffre , tandis que M. Kramp n'a pu en trouver que la d'exacts, par une combinaison laborieuse de plusieurs de ses formules. '

Dans ce 2.me exemple , nous n'avons trouvé que i5 chiffres exacts ; tandis que, dans le i.#r , nous en avions obtenu 17 et presque i§.

La raison de cette différence est qu'ici la courbe y= à quar-

rer a une inflexion , au point dont les coordonnées sont *= ^| , y = . •

cette circonstance donne lieu à une anomalie qui altère le résultat. Pour éviter cette source d'erreur , il aurait fallu quarrer séparé-

ment la courbe d'abord entre les limites s=so et s, et en-

suite entre les limites s— et *=i , et prendre la somme des

résultats ; mais nous n'avions ici en vue que de comparer l'emploi de noire formule 24 avec le résultat obtenu par M. Kramp (*).

Ce géomètre , pour n'avoir point fait attention au point d'inflexion , a tire de ses résultats des conséquences tout-à-fait fausses. En effet , sa formule n.° 8 lui a donné plus d'exactitude que ses formules n.* 9 et n.° 10 ; ce qui, au premier abord, présente un vrai paradoxe. Mais il faut remarquer que , par l'emploi de la formule n.° 8 , il a pu s'opérer , entre les aires des deux branches de la courbe , une compensation d'erreurs qui a pu ne point avoir lieu d'une manière aussi avantageuse dans l'application des formules

n.° 9 et n.° 10. Au reste , dans la courbe même y= — , qui n'a

pas d'inflexion , les résultats successivement obtenus par les diverses

(*) On approcherait , au surplus , bien davantage de la valeur de w, en prenant pour * la tangente d'un très-petit arc, aoua-multiple de 3o°, et appliquât ensuite la formule (Fl4).

( Note de W. Birard ).

nG FORMULES D'INTÉGRATION, formules ne semblent pas présenter un accroissement régulier d'approximation qui permette l'application de la méthode de M. d'Obenheim, comme M. Kramp l'avait espéré.

Je crois pouvoir conclure de tous les essais que j-'ai fait , qu'au moyen de nos formules (Ft) , (Ff) , (Fra) , (Ff-4) , (Flt#) , on tire tout le parti possible d'un nombre donné d'ordonnées , et que l'emploi de ces formules oJTre le moyen , à la fois le plus exact et le plus expédilif d'intégrer les différentielles d'une seule variable. On peut , pour les diverses applications , consulter les mémoires cités , dont les formules s'appliquent à la manière des nôtres.

Les géomètres sentiront sans doute que cetie manière de déterminer tas coefliciens d une formule , par des applications faite* à des cas connus , dispense l'analisic d'une foule de rabonnemens . dont alors l'algèbre fait tous les frais. L'esprit de cette méiWe peut tvoir bien d'autre* applications utiles.

Novembre i8i6-