ARITHMETIQUE

Théorie de la règle de trois ; Par M. Gzrgonne.

D ÉFISITIoir I. J'appelle effet tout ce qui est ou peut éfre considéré comme produit , tout ce qui ne renferme pas uniquement en soi la raison de son existence.

Définition II. J'appelle cause tout ce qui produit ou concourt à produire un effet.

Ainsi , par exemple , une somme d'argent que je reçois (Tua banquier est un effet , qui peut , à 1» fois , avoir pour causes un capital antérieurement placé entre ses mains , le temps qu'il y est demeuré , et l'intérêt dont je suis convenu avee lut.

Définition III Un effet est dit simple lorsqu'il résulte ou qu'il e9t considéré comme résultant d'une cause unique. Dans le cas- contraira , l'effet est dit composé.

Il est bien peu d'effets dans la nature qui > à proprement parle»; puissent être réputés simples ; mais on regarde souvent comme tel» des effets composés dont une seule cause varie , tandis que toutes» les autres sont supposées demeurer constamment les mêmes. Ainsi, par exemple , quoique la quantité d'argent qu'il faut donner pour obtenir un morceau de drap d'une certaine longueur ne dépende pas seulement de cette longueur ; mais encore de la largeur et de la qualité du drap , on considère néanmoins communément cettequantité d'argent comme dépendant uniquement de la- longueur dis T»m$ VIL *S

u3 RÈGLE

morceau de drap ; parce qu'on suppose tacitement que sa largeur et sa qualité demeurent invariables.

Définition IV. On dit qu'un effet est en raison directe de sa cause , ou de l'une de ses causes , lorsque , toutes choses égales d'ailleurs , la cause devenant un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, reflet devient précisément le même nombre de fois plus grand ou plus petit.

Cest dans ce sens , par exemple , que l'on dit que le prix qu'on donne d'une denrée est en raison directe de la quantité qu'on en achète*

Définition V. On dit qu'un effet est en raison inverse de sa cause t ou de l'une de ses causes , lorsque , toutes choses égales d'ailleurs, la cause devenant un certain nombre de fois plus grande ou pj us petite , l'effet devient précisément le même nombre de foii plus petit ou plus grand.

C'est dans ce sens , par exemple , que l'on dit que le temps qu'un homme emploie à parcourir une route d'une longueur déterminée est en raison inverse de la vitesse avec laquelle il la parcourt

PROBLÈME l. Une cause unique a ayant produit un effet e , déterminer t effet que produira une autre cause a' , homogène avec a ?

Solution, Soit e1 l'effet cherché ; cet effet devant être homogène avec e t devra conséquent mt-nt être égal à e multiplié par un nombre abstrait (*) » lequel ne pourra être qu'une fonction de a et a' ; et , comme on ne peut faire un nombre abstrait avec a et a' qu'eu les divisant l'un par l'autre , nous pourrons écrire

Cela posé , il peut se présenter deux cas : e peut être en raison directe de a , ou bien il peut être en raison inverse de cette quantité.

■I! Mil... il

(•) Je dis multiplié , et non pa» mu Itiplii ou divisé, parce que toute diviue* peut être mise sous forme de multiplication.

DE TROIS. n9 i.f* Cas. Si l'on suppose e en raison directe de a , il faudra ( Déf. IV) qu'en supposant a'— ma , on ait aussi e'—mc. La substitution de ces valeurs dans X équation ci-dessus donnera , en simplifiant et renversant»

et consequemment , en changeant m en — ,

donc

2.me Cas. Si l'on suppose au contraire que * est en raison inverse de a ; il faudra (Dé/. V) qu'en supposant a'^ma on ait

t'— La substitution de ce* valeurs dans notre équation donne, en

simplifiant et renversant ,

.«,«» changeant m an ± ,

donc

av-w.-i

PROBLÈME IL Un effet e , produit par le concours de plusieurs causes , «/ t?/i raison directe de quelques-unes a , b , c , ....de ces causes , et en raison inverse des autres » , fi , y , . . . . - O/r suppose' que d'autres causes a' , b' , c' r...., , a' , y7 , . ... ^ respectivement homogènes aux premières , doivent concourir à la production d'un second effet t homogène à c 'T et ton demande l'expression de ce nouvel effet ?

lao RÉGLÉ

Solution, Soit *' l'effet cherché ; cet effet devant être homogène arec e , devra consëquement être égal à e multiplié par un nombre abstrait , lequel ne pourra être qu'une fonction des autres donne'es

du problème; et, comme on ne peut faire des nombres abstraits avec ces données qu'en divisant, respectivement les unes par les autres, celles qui sont de même nature , on doit avoir

Or , si l'on supposait toutes les causes correspondantes , excepte' a et af , égales de part et d'autre , on devrait avoir ( Probl. 1 )

donc , dans le cas contraire , on doit avoir

et , comme ce qu'on dit ici de a et a' peut se dire également de b et ^ , c et ^ , ; on aura

wf h> * ( 4 (f ✓ \

abc ^ • fl y J

Présentement , si l'on suppose toutes les causes correspondantes , excepté « et , égales de part et d'autre , on devra avoir ( Prob. J )

donc , dans l'hypothèse contraire , on doit avoir