CERCLE TANGENT A TROIS AUTRES

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Recherche du cercle qui en *louc7ie trois autres sur

un plan ;

Par M. Gergomnl

Il y a environ trois ans que l'académie do Turin voulut bien rendre public , par la voie de l'impression, un mémoire que je hit avais adressé , et où , dans le dessein de venger complètement la géométrie analitique du reproche qu'on ne lui fait que trop souvent de ne pouvoir rivaliser avec la géométrie pure , pour la construction des problèmes , j'essayais de prouver que cette géométrie analitique » convenablement maniée , offrait les solutions les plus directes, les plus élégantes et les plus simples de deux problèmes dès-long-temps célèbres , et qui passant pour difficiles : yc veux parler du problème où il s'agit de décrire un cercle qui touche trois cercles tonnés et de celui où. il o$t question de décrire une sphère qui touche quatre sphères données.

J'écrivais pour des savans consommés, et je crus devoir être court ; il parait que je le fus un peu trop ; plusieurs géomètres , qui eurent connaissance de mon mémoire , me firent le reproche , fondé sans douté , que le rit qui m'avait guidé n'y était pas assez apparent, et- que mes calculs semblaient plutôt propres à légitimer: une construction trouvée par un heureux hasard, qu'à faire découvrir cette construction. U paraît ménic que , par suite de mon excessif laconisme ^ Tom. VU 4 ».° X , 1 avril 1817.. 39

a(y> CERCLE TANGENT

bj-aucotip de géomètres n'ont pu suivre mes méthodes et en saisir l'esprit ; C3r on est revenu encore postérieurement sur ces" aetix problèmes , sur lesquels pourtant j'avais "cru ne plus rien, laisser à diro.

C'est ce qui me détermine aujourd'hui a reprendre le même sujet , dans la vue de le développer davantage , et de le mettre S la portée môme des commcnç-ans. Je le fais doutant plus volontiers que les méthodes que je mets en œuvre en celle rencontre me paraissent ouvrir un nouveau champ de spéculations et de recherches de nature à faire prendre à h géométrie analiiîqne une face entièrement nouvelle. On verra, je pense , par ce qui va suivre, que tout , absolument tout , peut être motive et justifié dans mes procèdes ; et que , loin que mes calculs n'aient pour objet que de légitimer une construction graphique , découverte a l'avance , celte construction en est , au contraire , une conséquence toute naturelle, et , pour ainsi dire , absolument inévitable. On verra enfin que ces deux problèmes , sur lesquels tant d'illustres géomètres se sont toar S tour exercés, deviennent , par les méthodes que j'y applique, des problèmes de prenait re facilité , qui peuvent aisément trouver place dans les traités même les plus élémentaires.

Au surplus, comme la marche des rai son ne mens et des calculs est absolument la même pour ces deux problèmes, je ne m'occuperai uniquement ici que du premier : l'autre pourra offrir au lecteur un moyen de s'assurer s'il a bien saisi le procédé. Il pourra également s'exercer sur le problème où il s'agit de trouver sur une sphi'e , un cercle oui en louche trois autres , donnée sur la même sphère ; problème que j'ai traité par les mêmes méthodes f à U page 349 du 1V.« volume de ce recueil.

Soient c , e* , trois cercles donnés de grandeur et de situation sur un même plan , et proposons-nous de trouver un quatneuie cercle C qui touche a la fois ces trou-là.

'A TROIS AUTRES; 191 rayon du cerclé demandé. Mais , comme on sait faire passer une Circonférence par trois points donnés , il se présente aussi assez naturellement de chercher trois points de la circonférence de ce cercle. Nous allons même voir bientôt que ce dernier moyen de solution mérite la préférence sur le premier.

Parmi les points de la circonférence du cercle cherché , il y en

• trois qui se font particulièrement remarquer : ce sont ceux /, t' , i» où cette circonférence doit être touchée par les trois cercles donnés ; voilà donc les points de cette circonférence que nous sommes naturellement invités à découvrir. %

Notre problème se trouve donc ainsi ramené au suivant :

Trois cercles r, c' , c" étant donnés de grandeur et de situation sur «n plan ; déterminer en quels points /■,■**, <" ils doivent être touches par un quatrième cercle C qui les touche tous trois.

Mais il n'est pas difficile de voir que , pourvu que l'on sache trouver le point de contact de C avec l'un quelconque des cercles donnés ; en répétant successivement le même procédé pour chacun de ces cercles, le problème se trouvera résolu.

Au moyen de celte remarque , notre problème se trouve ramené au suivant : >

Trois, cercles c, c/t c» étant donnés de grandeur et de situation sur un même plan , déterminer en quel point l'un d'eux èsf touché ' par un quatrième cercle C qui les touche tous trois. ' n

Il nous est facile de prononcer présentement suri* ment» -Ai deux modes de solution que nous avons d'abord indiqué*

Pour parvenir à la résolution complète d'un problème , il y a Inévitablement à- exécuter un certain nombre d'opérations qui .dépendent de la nature de ce problème et qu'on ne saurait , ajec toute l'adresse possible t abréger et réduire indéfiniment. Or dès qu'on a le centre et le rayon du cercle cherché, le problème est à peu près résolu ; donc , la recherche de ce centre et de ce rayon

• doit compter toute la somme de constructions que la résolution du problème, simplifiée autant qu'elle peut l'être, peut exiger,