A TROIS AUTRES

Or % pour le point /" , nous connaissons déjà une telle ligne c'est la circonférence c" ; il n'est donc plus question que d'en trouver une autre.

Notre problème se trouve donc ainsi ramené au suivant : Trois cercles c , c' , c" étant donnés de grandeur et de situation sur un plan , trouver une ligne qui coupe c" au point t" où il est touché par un quatrième cercle C, qui touche à la fois les trois premiers.

Mais il est essentiel de remarquer que ce dernier problème est indéterminé , puisqu'un même point peut être déterminé d'une infinité de manières différentes par l'intersection de deux lignes. C'est de la même manière que , lorsqu'on a deux équation* entre deux inconnues x et y , on peut remplacer ces deux équations d'une infinité de manières différentes , par le système de deux autres équations ayant lieu en même temps qu'elles , et donnant conséquemment les mêmes valeurs pour les deux inconnues (*).

Rapportons les données et les inconnues du problème à deux •xes rectangulaires. Si nous n'aspirions qu'à la plus grande symétrie possible, nous supposerions ces axes absolument quelconques. Si» au contraire , nous n'aspirions qu'à la simplicité , nous pourrions placer l'origine au centre de l'un de nos cercles et faire passer l'un des axes par le centre dé l'un' des deux autres.

Mais pour concilier , autant qu'il est possible , la simplicité avec la symétrie , nous nous bornerons à placer le eentre de l'un de nos

(*) Noos n'hésitons pas à regarder cette substitution d'équations les une* aux autres , sur laquelle les traites élémentaires tout loin d'insister aussi fortement qu'ils le devraient , comme un des plus puissans moyens de l'analise et de la fiéoroélrie. C'est elle qui fait , en particulier , presque tout le mérite de la discussion des lignes et surfaces du second ordre , exposée à la page 61 du V.e volume de ce recueil , ainsi que de U théorie de leur» pôle» que l'on rencontre è la page agi du tome lIJ.e.

agi CERCLE TANGENT

cercles a l'origine , en donnant d'ailleurs aux axes vue direction

quelconque par rapport aux deux autres.

Quant au choix du cercle qui aura son centre à l'origine , H no pourrait être douteux ; et on sent que ce doit être c" puisqu'il joue un rôle particulier , dans le problème auquel nous avons réduit le problème proposé.

Soient donc respectivement r , , r" les rayons des cercles e ; c* , d' ; soient a , b les coordonnées du centre de c , et soient c' t V celles du centre de c*.

Soit R le rayon inconnu du cercle C , et soient A , B les coordonnées inconnues de son centre. Soient enfin s , y les coordonnées inconnues du point in où C touche c" ; ce qui donnera une première équation

Supposons , pour fixer les idées , que tous les contacts doivent être extérieurs ; il faudra pour cela que la distance du centre de C au centre de chacun des cercles c, t',*" soit égale à la somme de leurs rayons , ce qui donnera

fcfW)'+(^T=(*+'0" , (3)

et telles sont les équations qui résoudraient le problème , si nous voulions prendre pour inconnues les coordonnées du centre et le *»yon du cercle cherché.

Avant daller plus loin , nous observerons que , dans le cas où le cercle C devrait envelopper quelqu'un des cercles c , d , </',ou en être enveloppé , ce serait la différence des rayons , et non leur , qui devrait être ég^le à la distance des centres ; il faudrait

À TROIS AUTRES. a05 Jonc changer les signes de quelques-uns des rayons r , r' , t" • ou bien changer quelque j.ait le sîj;ne de R. On peut observer, au surplus que chacun des binômes R+r , R-t-rf , li-\-r" se trouvant élevé au quarré , l'un de ces changemens équivaut à l'autre . et l'on voit qu'en variant , de toutes les manières possibles , les signes de r, r* % r" , le problème aura 8 solutions, comme il est d ailleurs aîsé de s'en convaincre , en remarquant que le cercle cherché peut envelopper tous les cercles donnés ou les toucher tous f xtcricuicment ; qu'il peut , de trois manières , envelopper l'un d'eux et toucher les deux autres extérieurement ; et qu'il peut également, de trois manières , toucher l'un d'eux extérieurement et envelopper les deux autres. Nous conserverons néanmoins le signe positif aux trois rayons , en nous rappelant , dans le résultat final , qu'ils peuvent être indifféremment positifs qt négatifs.

Lorsque la mise en équation d'un problème conduit Immédiatement à plusieurs équations entre plusieurs inconnues ; la première chose qu'il faut faire est d'examiner si , en combinant ces équations entre elles , d'une manière convenable , on ne peut pas en déduire quelques autres plus simples; car, c'est souvent là un moyen trèspropre a simplifier la recherche dont on s'occupe.

En appliquant ces réflexions aux équations ( a , 3 , 4) » °n voit sur-le-champ qu'on simplifiera notablement les deux premières > en leur substituant leurs différences avec la troisième , lesquelles sont, eu réduisant et transposant ,

2aÀ+2ÏB— r)R=a*+P+(r"-rXr"+r) (5)

zo'A+*l>B-*y'-r')R=a»W\{r<'-r'Yf''+r') . (6)

On peut encore introduire , dans ces dernières équations , une simplification très- propre a faciliter l'élimination de R entre elles et ! équation (4) : c'est d'y introduite Br^-r*' t qui cotre seul daaa eelle-ci ; elles deviendront ainsi

396 CEBCLE TANGENT

telles sont donc , avec l'équation (4) , les équations le» plu* simples qu'on puisse employer pour parvenir aux coordonnées du centre et au rayon du cercle cherché.

Mais ce ne sont point ces coordonnées et ce rayon que nous nous sommes déterminés à prendre pour inconnues : ce sont les coordonnées x , y du point de contact /" de C avec c" entre lesquelles nous avons déjà l'équation (1). Cherchons donc a lier ce* nouvelles inconnues avec les inconnues des équations ( 4 » 7 > $ ) » afin de pouvoir éliminer ces dernières.

Or , le point t" est en ligne droite avec l'origine et le centre C d'où il suit qu'on doit avoir

f = -J °« yA=xB. (9)

Si présentement on élimine A , B\ R+r" entre les quatre équations (4,7,8,9), l'équation en s et y qui en résultera sera MUe d'une certaine ligne qui coupera le cercle donné c" au point cherché /".

Si celte équation était trop compliquée , on pourrait tenter de la simplifier a l'aide de l'équation (1) qui, pour le point cherché t" , doit avoir lieu en même temps qu'elle , ce qui reviendrait à substituer à la ligne cherchée une autre ligne plus simple, coupant , comme elle , le cercle c" au point t".

Mais rien n'empêche d'effectuer celte combinaison dans le courant tnême de l'élimination , afin d'en rendre le résultat le plus sinjple possible. On peut remarquer d'ailleurs que nous avons proprement cinq inconnues Ay B, Rt s , y, liées par les équations ( 1 ,4,

A TROIS AUTRES. a97 7 , 8 , 9 ) ; et que conséquemment nous pouvons faire de ces équations , qui ont lieu en même temps , telle combinaison qu'il nous conviendra.

Des équations ( 4 , 9) on tire

ou plus simplement , en ayant égard à l'équation (1) J

j-n fit '

substituant ces valeurs dans les équations (7,8), elles deviendront \

*{a x+tr—r"(r»-r )lR+r")=r»{a •+* (K'— r )'} ; d'oa Ton tire enfin, par l'élimination de R+r" -r

Telle est donc l'équation cVune ligne qui eoupe le cercle «" au point cherché t" ; puis donc que cette équation est du premier degré seulement, la ligne dont il s'agit est une ligne droite.

Mais une ligne droite coupe un cercle en- deux points ; et il- importe de savoir , avant d'aller plus loin , quels problèmes résoudront ces deux points. Pour cela rappelons-nous que nous avons écrit nos équations primitives dans l'hypothèse que tous les contacts étaient extérieurs , et que nous avens observé que l'on passerait dé' cette hypothèse aux autres par le simple changement des signes de r, r*, r'; , ce qui peut avoir Ueu> de huit manières différentes»

Tom. VIL jÇa

a98 CERCLÉ TANGENT

Mais il est aisé de voir, par la forme de l'équation (to) , qu'elle ne change pas lorsqu'on y change a la fois les signes des trois rayons;; d'où il résulte que les huit cas que présentent les Tariatioos de signes de* ces trois rayons ne peuvent lui faire prendre que quatre formf s diflérentes ; et que , sous chaque forme , elle résout deux problèmes absolument opposés ; elle résout donc , sous la forme qu'ellp a ici t et le cas où le cercle cherché doit toucher extérieurement les trois cercles donnés , et Je cas où il doit Jes envelopper tous*

On pourrait présentement , par la combinaison des équations (r , 10), parvenir aux valeurs des coordonnées x , y du poiot /" ; ces valeurs seraient compliquées de radicaux , et on -les construirait par les procédés connus. Mais , nous allons bientôt voir qu'il s'en faut que ce soit Ja le meilleur parti à prendre.

Lorsqu'un point est donné par deux équations entre ses coordonnées, «au lien de résoudre ces équations, il est sourént incomparablement plus commode de construire les lignes qu'elles expriment, et doni l'intersection doit déterminer le point cherché.

Nous pouvons donc réduire la recherche du point /" a la construction des lignes représentées par les équaftiooa ( i , io) ; mais la première est toute construite : c'est la circonférence donnée c" ; il ne s'agit donc que de construire l'autre.

Pour construire cette droite , SU pourrait chercher les longueurs des segroens qu'elle détermine sur les axes, et construire ensuite eés deux: segm'eb* ; mai* ce n'est point encore la le meilleur parti % prwfclrè (*). • .. ;

1MI? i» ■■■ ■■' in ■■ ■ —

(•} Ceox qui , prétendent contester k II géométrie analitique l'avantage d'offrir de» constructions simples et élégantes te fondent pnpcipalement sur ce que » ttjuel<jae- attention qu'on apporté à bien choisir les axe» des coordonnées , ces axes sont , le plus souvent , des ligue» lout-à-fa*U étrangères' eu' problème qull Ya&if dV résoudre,

« Qu'il soit question , par exempte , dfcefafrUt , de décrire on cercle qui loucbs

'À TR0I9 jM>TRE§. 399 Pour construire une droite , il est nécessaire et il suffit de connaître deux points de sa direction; on sait d'ailleurs qu'on reconnaît qu'un point est sur un* droite lorsque ses coordonnées rendent identique l/équation de cette droite,

Donc, si Ion trouve deux relations entre* et y en vertu desquelles 1'équatjon d'une droite devienne identique ; les valeurs de * et y déduites de ces relations seront les coordonnées d'un point de cotte droite.

Or, on a deux manières bien simples de rendre identique l'équation (10); la première est de supposer ses deux membre» nuls } la seconde est de les rendre égaux a l'unité.

On obtient ainsi le» deux couples d'équation» ;

fm*+fir=r"(r"-r) , (n) t a )+6 iy—h ) = r (r"-r ) ; (1 3)

I <j«04^(r-*0=^-ro .* 0.4)

m à la foré trois cercle* donné». Le» données naturelles du problème «ont le* » rayons des cercle* donnés et tes distances entre leurs centres pris deux à deux : » ses inconnues naturelles sont le rayon du cercle cherche et les distances d«v » son centre aux centres des cercles donnés ».

» Mais , aux distances entre les centre» , la géométrie analitique substitue leur» w coordonnées qui sont des données et des inconnues Factices et arbitraires ; et h de' ta vient la complication des constructions qu'on en déduit n. u

Nous conviendrons volontiers de tout cela ; mais voiJaV aussi pourquoi nousne réputons bonnes Je» constructions déduites de la géométrie analitique , qu'autant qu'on est parvenu a les rendre tout-à-fait indépendantes de la situation de» axe» ; voilà pourquoi nous nous efforçons de prouver , par des exemple» r que la géométrie analitiqu» , convenablement employée peut toujours en offrir de telles; et qu'alors elles sont bien supérieure», pour l'élégance et la' simplicité* à celles de la géométrit pur» , ou même de ce que AL Carnot appelle gio~ métru mi'x/c -, j

Soo CÉRCLE T Â.NGENT

Donc les râleurs de * et y , déduites des équations ( xi , \% ) , 'sont les coordonnées d'un point de la droite (10) ; et il en est de même, des valeurs de * et y déduites des équations ( 1 3 , 1 4 ).

On pourrait donc chercher ces deux systèmes de valeurs et les - construit* ; on aurait ainsi deux points de la droite (10) , qui se trouverait par la complètement déterminée. Mais on peut faire mieux encore.

Pour déterminer le point exprimé par les équations (n, ia ), ■ce qu'il y a de mieux à faire est de construire les droites que ces deux équations représentent, et qui , par leur intersection, détermineront le point cherché. On en peut dire autant du point donné par les équations ( j 3 , 1 4 ) » lequel no sera autre que l'intersection des droites que ces deux équations représentent. Tout se réduit donc à savoir quelles sont les quatre droites que représentent les équations ( ti , ta , i3, i4).

Mais, comme il est d'ailleurs évident que les droites ( 12, i4) sont situées par rapport aux cercles c1 , cP , de Ja même manière que le sont les droites ( 11 , i3 ) , par rapport aux cercles c , c" ; il nous suffira de nous occuper de ces dernières , que l'on reconnaît d'ailleur» pour des droites parallèles entre elles et perpendiculaires a la droite qui joint les centres des deux cercles.

Nous pouvons remarquer, en outre , que l'équation (11) déviant l'équation (i3)> en y changeant respectivement * et y en *x— s et

y, et en permutant entre eux les deux rayons r , r", d'où, il est facile do conclure que la droite (i3) est , par rapport au cercle e , ce qu'est la droite (11) par rapport au. cercle f". Tout se réduit donc a savoir quelle est cette dernière droite,

Qn sait qu'en prenant sur le earcle c" un point dont les coordonnées so|ept s* t y' , et soiept conséquemment liées par la relation

*»+y"»r"» , Cf») l'équation do la tangente à ce cercle en ce point est