A TROIS AUTRES

et cette tangente est indéterminée , puisque et y* ne sont lies que par l'équation (m). Si , pour la déterminer , on veut qu'elle touche aussi le cercle c , il faudra exprimer que la perpendiculaire abaissée sur elle du centre de ce cercle est égale a son rayon , ce qui donnera

^ y' y' ot'U^-r"!

•=r . ou

ou, en ayant égard à l'équation (01) ,

C'est donc en combinant entre elles les équations ( m , n ) qu'on obtiendra les coordonnées du point où la tangente commune à c et (n touche c" \ et , puisque l'équation (m) est du second degré , il y aura deux pareilles tangentes , et conséquemment deux pointa de contact.

Mais , au lieu de résoudre les équations {m , n) il reviendra au même , et il sera plus commode , de construire les deux lignes qu'elle exprime , et dont les intersections donneront les points de contact demandés ; puis donc que l'une (m) est le cercle cfl lui-même; l'autre (n) qui est du premier degré doit être celle d'une droite qui joint les points où il est touché par les tangentes communes * ce cercle et à c ; or, (a) est la même chose que (11); donc (11) est l'équation "de la corde de contact avec c" des tangentes commune* a c et cn \ donc (i3) est l'équation de la corde de contact des mêmes tangentes avec c \ donc enfin (ta) et (14) sont les cordes de contact avec et' et c1 des tangentes communes à ces deux cercles,

3o* CERCLÉ TANGENT

Yoici donc à quoi se réduit la construction du problème. Soient menées les tangentes communes extérieures a nos trois cercles pris deux à deux , cl les cordes de contact de ces tangentes arec chaque cercle. Les deux cordes de contact sur esc couperont en M et leurs parallèles sur c* et c" en N. Les deux cordes de contact sur c1 couperont en M' et leurs parallèles sur d1 et c en W. Les deux cordes de contact sur c" se couperont en M" et leurs parallèle» sur c et c* en W.

Soient menées MN , MW , M"N". MN coupera, c en / et # j M'N' coupera c' en t* et ; et M"N" coupera c" en /" et Faisant ensuite passer deux cercles , l'un par / , /' , /" , l'autre par t , t* , ¥f t ces deux cercles rempliront les condition» du problème.

On peut remarquer , au surplus ', que Tes centres de ces deux cercles seront faciles à déterminer ; car ils se trouveront À l'intersection des droites menées des- centres des cercles donnés soit aux trois points /, soit aux trois points t f ? , #//.

On se convaincra facilement, d'après tout ce qui a été dit cidessus , que pour obtenir les six autres solutions dont le problème est susceptible , il ne s'agit que de substituer , tour- à-tour , à deux des couples de tangentes extérieures le* couples de tangentes qui se croisent entre les deux cercles qu'elles touchent à la fois.

En vain objecterait-on que , lorsque deux des cercles donnés sont l'un dans l'autre , en tout ou en partie , ces çonstructions sont en défaut , puïsqu'alors its n'ont plus o*e tangentes intérieures communes

' et peuvent même n'en point avoir d'extérieures : on peut observer en effet qu'alors même les droites (n , 12, i3, 14 ) ne cessent point pour cela d'être réelles, et peuvent toujours être construites.

' On peut mêmé définir les droites ( 11 , i3 ), indépendamment de toute considération de tangentes , en disant que ce sont des cordes ayant pour pôle commun le centre de similitude de e et c/y.~

Oh peut modifier un peu les constructions auxquelles noua venons de parvenir de la manière suivante :