PROBLÈME L

Déterminer les intersections d'une droite donnée avec une section conique dont on connaît seulement les élémens , sans construire cette dernière.

Solution,

Cas. La courbe est une Hyperbole.

Nous supposerons l'hyperbole donnée par ses asymptotes et par son premier axe.

Soient EE' et FF' les deux asymptotes se coupant au centre C de la courbe (fig. i) ; et soit À l'un dè ses sommets ; de manière que CA. Soit la direction de son premier axe ou axe transverse.

Soit

DES COURBES. 3o5 Sort de plus MN la droite donnée , dont il s'agit de déterminer les intersections avec la courbe , sans construire cette dernière.

Considérons le plan de celte hyperbole comme un plan vertical. Par l'un quelconque A' des points de la direction de son axe transverse , menons à cet axe une perpendiculaire indéfinie , coupant ses asymptotes en E' et F' , et considérons cette perpendiculaire comme la ligne de terre , rencontrée en D par la droite

Soit mene'e AB , parallèle à CA , et se terminant en B a l'asymptote EE'; soit la projection de B sur ET' et soh portée A'B' de A/ en C sur le prolongement de CA'. Du centre O , et avec un rayon égal à A'E' ou AT', soh décrit un cercle dont E"F" soit le diamètre parallèle à E'F'.

Nous pouvons concevoir ce cercle comme la Base d'un cône droit , égal à celui qu'engendreraient les asymptotes de la courbe en tournant autour de son axe ; C et Q/ seront les projections verticale et horitontale du sommet de ce cône ; e£, d'après les théories connues l'intersection du cône avec le plan vertical, sera l'hyperbole même dont il s'agit ; d'où il suit que notre problème se réduit a assigner les intersections de MN avec fa surface de

\ Par le sommet du cône et par la droite MN soit conçu un plan ; cette droite MN sera elle-même la trace verticale de ce plan; et , par les procédé* connus , on trouvera , pour sa trace horizontale , une autre droite , coupant la base du cône en deux pointa G et H.

Les droites menées du sommet a ces deux derniers points seront 4onc les deux génératrices suivant lesquelles le cône sera coupé par ce plan , et qui devront conséquemment couper la droite donnée aux deux points cherchés.

Mais » en projetant les points G et H en G' et H' sur la ligne de terre , les deux génératrices se projetteront elles-mêmes vertica» Tomé VU. *»

3q6 . GÉOMÉTRIE

lement , suivant CG' et CH' ; les points M et N où ces dernièTei droites couperont MPÎ seront donc les poinU cherches. JI.* Cas. La courbe est une Ellipse.

Nous supposerons l'ellipse donnée par la grandeur et la situation de son grand axe, et par la grandeur de son petit axe.

Soit AC (tig. 2) la grandeur et la situation du grand axe ;soit portée, la longueur du petit axe sur cette droite de A en B ; soit MN la droite donnée , dont il s'agit de déterminer les intersections avec l'ellipse , sans construire cette courbe j et soit D le point où cette droite, Mît coupe la perpendiculaire menée à AC , par son extrémité A. / .

Soit pris ,1e plan de cette courbe pour plan vertical , et soit prise pour ligne de terre une parallèle quelconque à AC , sur laquelle se projètcnfc les points À , B , C en A' , B' , C ; soit £' le point où cette ligne de terre est rencontrée par la droite donnée MN.

Du point A' comme centre et avec A'C pour rayon , soit décrit un arc terminé en C" à sa rencontre avec le prolongement de Biy et soit menée A'C" ; nous pourrons considérer A'D et A'C" comme les traces verticale et horizontale d'un certain plan vertical,

Concevons qu'on fasse tourner le plan de l'ellipse autour de A'D. jusqu'à ce qu'il coïncide avec celui-là , et supposons <|u'i| entraine avec lui la droite DE'. Si du point A' comme centre nous décrivons , entre les côtés de l'angle "CAO" l'aro BE", le point E" sera la position du point E' dans la nouvelle sûuatiori du plan de l'ellipse ; de sorte qu'en projetant E'' en K' f DK/ sera la projection;

verticale de notre droite dans sa nouvelle situation. '

. ii *

Cela posé, ce plan ayant ainsi tourné > l'ellipse aura évidemment' pour projection sur 1« plan veïiical le cercle décrit sur AB comme, diamètre , et coupé en G et H par la projection verticale de' h droite donnée , toujours dans la nouvelle situation de cette droite.1 ' " ' ' ■* *

DES COURBES. 3o?

G et H seront donc les projections verticales des intersection* de notre droite avec l'ellipse ; et on en- aura les projections horizontales en projetant G et H en G' et H' , et prolongeant GG' et HH', jusqu'à la rencontre de A'C", en M" et IS".

Décrivant donc , du point À' comme centre , dans l'angle CA'C"-, avec les rayons À'M" et AOï", les arcs M"M', N"N' ; M' et N' seront les projections horizontales des mêmes intersections , dans la situation primitive du plan de l'ellipse.

On obtiendra donc ces intersections elles-mêmes, en élevant sur aux points M' et N', les perpendiculaire» M'M et N'N terminées en M et'N à la droite DE'. . .

Mais il reviendra au même , et il sera plus court et plus commode de déterminer M et N par les intersections de DE' avec les parallèles menées à A'C , par les points G et H.

M* Cas, La courbe est une Parabole.

Nous supposons la parabole donnée par son sommet, la direction de son axé el un quelconque de ses points.

Soient A (fig. 3) le. sommet de la parabole; AB la direction de son axe; P un autre point quelconque /de cette courbe; et GH la droite donnée , dont il faut assigner le» intersection» avec elle, sans la construire.

En abaissant de P sur ÀB la perpendiculaire PE et en la prolongeant au delà r d'une quantité EQ = EP , le point Q sera un autre point de la courbe. Par ces deux points et par le point A soit fait passer un cercle dont le diamètre soit AB et le centre G ; ce cercle coupera la droite donnée en deux points G ,ct H. * i

Soit considéré Ie> plan de ce cercle , qui est aussi celui de iz courbe , comme plan de projection horizontal ; et soit pris» pour , ligne dé terre une parallèle quelconque à AB , sur laquelle soient projetés les points A , C, E , B en A' , C , E' , B'.

Sur A/R' et A'E' comme bases r soient décrits r dans le planr vertical, le» deux, Jrfengle* équilatéraux A'C^ el A'F'JEX Si non»

3o8 GÉOMÉTRIE

considérons le cercle dont le diamètre est AB comme la base d'an cône droit, dont le sommet se projette en C" sur le plan vertical; E'E et E'F' seront les traces d'une section parabolique faite dans ce cône , de manière à obtenir une parabole égale k la parabole donnée ; de sorte que si l'on imagine qu'on fasse tourner le plan de cette dernière autour de E'E , jusqu'à ce que E'A' soit devenu E/F/t les deux courbes coïncideront exactement.

Supposons que , dans ce mouvement , la droite GH soil entraînée; sa projection verticale deviendra E/F/ » et , par une construction facile, indiquée dans la figure» on obtiendra les projections horizontales G" , H" , des points G , H , dans leur nouvelle situation ; 4e manière que G"H" sera la projection horizontale de la même droite. »

Ayant ainsi les deux projections de cette droite ; on pourra , par elle et par le sommet du cône faire passer un plan ; ce plan Coupera le cône suivant deux génératrices, qui contiendront les deux points cherchés , lesquelles se trouveront aux interjections de c*s génératrices avec la droite donnée ; ramenant donc ce* deux points» par les moyens connus , dana le plan rabattu , on euro la solution du problème.

PROBLÈME n. ' " " *

Dédire une parabole qui touche quatre droites données?

■ le*" ' 4 i *t 9

Solution.

Soient AB , BC , CD , DE (6g. 4) les quatre droites données, auxquelles on veut que la parabole cherchée «oit tangente Menons une cinquième droite arbitraire AE , de aorte cependant qu'elle coupe les deux droites extrêmes AB et DE, de manière à former, avec nos quatre droites, le pentagone ABGDE s soit pria le plan de ce pentagone pour plan borinontal j et soit prise pour ligna de terra une perpendiculaire quelconque GH à AE.

DES COURBES. 3o$ * Par l'an quelconque O des points de GH , concevons un plan Vertical, perpendiculaire à cette droite; concevons en outre que te polygone ÀBCDE , après avoir tourné autour de sa base AE , de manière a devenir parallèle à ce plan , se meuve ensuite , parallèlement à lui-même , de manière à venir se confondre avec lui ; on trouvera facilement , au moyen des constructions indiquées dans la figure , que, dans cette nouvelle situation du polygone, ses sommets A , B , C , D , E , se projetteront horizontalement en À' , IV , C , D' , E' , et verticalement en O , B" , C" , D" , O.

Concevons que le pentagone , toujours dans cette situation , soit une section faite dans une pyramide pcntagonale dont le sommet se projette horizontalement en un point quelconque S' de AE , et verticalement en un point quelconque S du prolongement de cette droite dans le plan vertical. Par d'autres constructions , suffisamment indiquées dans la figure , on trouvera facilement que les sommets de la base horizontale de cette pyramide seront A'{' , B'" , C" , D"' , E"'. Nous pouvons remarquer, en outre / que, le plan de la face latérale de cette pyramide qui répond à hJ'W étant vertical , U s'ensuit que le plan de la section /également vertical et parallèle à cette face , ne rencontrera pas la pyramide opposée , et ne déterminera pas dans celle-là une section fermée.

Concevons présentement une section conique inscrite a la base pentagonalc A"/B///C///D/,<E///. Si l'on fait de cette section conique la base d'un cone ayant même sommet que notre pyramide , ce eone lui sera inscrit , et sa section par le plan vertical , perpendiculaire en O à GH , sera une parabole tangente à nos quatre droites ramenées à ce plan ; de sorte qu'en faisant mouvoir le plan de cette parabole parallèlement à lui-même, jusqu'à ce que A'E' eoit devenue AE , et le faisant ensuite tourner auiour de cetto dernière droite , pour le rabattre sur le plan horizontal , le problème pro» posé aérait complètement résolu. - ' v

Cela posé , arec nos eînq tangentes à la section conique qui forme la base du cône , ooua pouvons aisément , à l'aide de*

,3io GÉOMÉTRIE DES COURBES, méthodes connues (*) , et même en n'employant que la règle , en trouver une sixième , et assigner en outre la droite qui lui caxr respond dans la figure ABCDE. Cette droite sera évidemment une cinquième tangente à la parabole demandée.

Ayant ainsi cinq tangentes a notre parabole , on pourra , à l'aide des méthodes connues , et même en ne faisant usage que de la règle , en trouver tant d'autres , et de plus assigner tant de point» de la courbe qu'on voudra.

Le mode de solution dont nous venons de faire usage est trèsgénéral ; et il n'est pas difficile de voir que puisqu'on sait , au moyen de n points et de 5 — n tangentes à une section conique , trouver tant d'autres points et de tangentes à cette courbe qu'on peut en désirer ; on pourra aussi , par des méthodes analogues à celle dont nous venons de faire usage , résoudre tous les cas de ce problème général : connaissant n points et 4—n tangentes, à une parabole, déterminer tant d'autres points et tant d'autres tangentes a cette courbe qu'on voudra? to^ . :I

(•) On trouve ces méthodes exposées , avec beaucoup de développeroens iretcurieux , dans un petit ouvrage ayant pour litre : Mémoire sur les lignes du ■: second ordre , par C. 7. BRIANCHON , capitaine d'artillerie , ancien élève de *Pecole polytechnique ( Paris, Bachelier , tofj). L'auteur y résout tous les cas ;de ce problème générât r -Etant dormis n points et 5 — n tangentes à une section tonique , trouver tant d'autres point* et de tangentes à cet* écurie qu'on toudra? , -, i i y n iï»"*-*i

Cet intéressant petit ouvrage n'ayant point été' imprimé sous les jeux de l'auteur t it s'y est glissé quelques fautes que nous croyons devoir indiquer ici. • Pag. 6i , ligne 4 — proportions ; lisez : propositions, toi -i Ligne 1 3— fond; liste: fonds.

Pag. 63, ligne -6, en remontant conique* ? ajouter s semblables.

Pag. 67 , ligne 5—17*5,- lise*: ij35.

PERSPECTIVE DE LA 'SPHÈRE, 3i«

SCÉNOGRAPHIE

Sur la perspective de la sphère ;

Par M. Gergoume.

Tous les traite"* de Perspective pratique offrent des méthodes pour mettre en perspective des poinju t des, lignes droites , des figures planes rectilignes , des cercles , des polyèdres , des priâmes , des pyramides , , des cylindres et des cônes , donnés dans l'espace ; mais y dans les ouvrages même les plus étendus sur cette matière , om ne trouve absolument rien sur la perspective de la sphère et des cercles qui peuvent y être traces*

Un silence aussi général , sur une des questions les plus usuelles que la perspective puissa offrir , ne saurait guère être l'effet du hasard , ou d'une omission volontaire ; et tout porte k croire que si ceux qui ont écrit sur la scénographie n'ont rien dit do la perspective de la sphère , c'est qu'ils ont tacitement supposé que cette perspective était trop facile à assigner pour qu'il fût nécessaire d'indiquer les méthodes nécessaires pour l'obtenir } sans doute parce qu'ils ont cru que la perspective d'une sphère ne pouvait être* qu'un cercle ayant pour centre la perspective du centre de I» sphère. -

3i* PERSPECTIVE

J'ai moi-même long-temps partagé celte opinion , sans trop l'approfondir •. çt il n'y a guère plus d'une douzaine d'années qu'en y réfléchissant mieux , j'ai reconnu clairement que le cas où la perspective d'une sphère est un cercle , n'est , pour ainsi dire , qu'un cas d'exception , et que , dans les cas les plus ordinaires , cette perspective doit être tout au moins une ellipse.

Je me suis occupé aussi de la recherche de cette ellipse , pour laquelle j'ai trouvé un procédé assez simple, j'en ai fait le sujet d'une petite note qur a été insérée dam le volume de l'Académie du Gard , pour 1807 ; mais , dans la persuasion où j'étais que tous ceux qui voudraient se donner la peine d'y réfléchir trouveraient comme moi que la perspective d'une sphère n'est pas toujours un cercle , j'ai cru devoir peu insister sur ce point.

J'ai pourtant rencontré,. à cet égard r un grand nombre d'incrédules ; et la petite note dont je viens de parler m'a presque fait passer pour un visionnaire , auprès de beaucoup de gens. Je n'aurais été aucunement surpris de trouver de l'opposition chez les dessinateurs , chez les peintres , chez les architectes et même chez les ingénieurs civils et militaires de l'ancienne école , que leurs cadets ont laisses , pour la plupart , bien loin derrière eux ; mais ce qui n'a para tout-à-fart étrange , c'est de rencontrer des géomètres de profession , des professeurs de mathématiques transcendantes , des doyens même de facultés de sciences qui, tout en convenant que je pouvais avoir raison en théorie , prétendirent que , dans la pratique , il fallait absolument faire abstraction de ma doctrine , et représenter généralement une sphère par un cercle ; comme s'il pouvait exister «ne pratique raisonnable qui ne fût pas fondée sur une saine théorie*

On m'a fait remarquer postérieurement que "SGravesande , a la page 3i du i.« volume de ses Opuscules,* aussi traité le problème de la perspective d'une sphère , qu'il reconnaît , comme moi , devoir être une ellipse; mais le procédé de 'SGravesande , assez compliqué d'ailleurs , ne conduit qu'à la détermination de l'on quelconque

des

DE LA SPHÈRE. 3i3 des points de l'ellipse , et dort conséquemment être répété autant de fois qu'on veut obtenir de points de cette courbe , tandis que le mien conduit directement a la détermination de ses quatre sommets.

D'après ces considérations , je crois donc faire une chose utile en revenant de nouveau , et en insistant , plus fortement que je ne l'avais fait une première fois , sur un point de doctrine qui m'avait d'abord paru à l'abri de toute objection. Je vais donc employer tous les raisonnemens que je croirai les plus concluans pour établir que la perspective d'une sphère est communément une ellipse ; j'indiquerai ensuite brièvement le procédé qu'il faut snivre pour construire cette courbe.

Tout le monde , je pense , est d'accord sur ce point ; que la perspective d'un corps de figure quelconque doit avoir pour limite la figure fermée résultant de l'intersection du tableau avec un angle polyèdre ou une surface conique qui , ayant son- sommet à l'œil du spectateur, serait exactement circonscrite au corps dont il s'agit.

Donc , en particulier , la perspective d'une sphère doit être bornée par Tintersection du plan du tableau avec une surface conique qui , ayant son sommet à» l'œil du spectateur , serait circonscrite à. la sphère.

Mais , toute surface conique circonscrite à la sphère est une surface conique de révolution , un cône droit dont l'axe passe par le centre de cette sphère.

Donc la perspective d'une sphère est l'intersection du plan du tableau avec un cône droit dont l'axe passe par l'œil et par le* centre de la sphère.

Mais la section d'un- cône droit par un plan ne peut être uncercle qu'autant que le plan coupant est perpendiculaire a l'axe du cône

Donc , la perspective d'une sphère ne peut être un cercle qu'autant que le plan du tableau est perpendiculaire à la droite qui v* Jom. VU, ix

3i4 PERSPECTIVE

de l'œil au centre de la sphère , ou , ce qui revient au môme % qu'autant que la droite qui mène de l'œil au centre de 1a sphère est perpendiculaire au plan du tableau , ou , enfla , qu'autant que le centre de la sphère est sur la perpendiculaire indéfinie abaissée de l'œil sur le tableau.

On objecte que , de quelque part que l'on envisage une sphère, on la voit toujours terminée par un cercle : je l'accorde , et j'en tire une nouvelle preuve de mon assertion.

De quelque part qu'on envisage une sphère 4 on la voit toujours terminée par le cercle suivant lequel elle est touchée par le cône circonscrit ayant son sommet à l'œil.

Donc la perspective de la sphère ne doit être autre que celle de ce cercle.

Mais la perspective d'un cercle ne peut *tre un cercle qu'autant que le plan de ce cercle est parallèle au plan du tableau.

Donc la perspective d'une sphère ne saurait être un cercle qu'autant que le plan du cercle suivant lequel cette sphère est touchée par un cône circonscrit ayant son sommet à l'œil est parallèle au. plan du tableau.

Mais le plan de ce cercle est perpendiculaire a la droite qui w de l'œil au centre de la sphère.

Donc , de nouveau , la perspective d'une sphère ne sera ua cercle qu'autant que le centre de cette sphère sera sur la direction de la perpendiculaire abaissée de l'œil aur le plan du tableau.

On peut prouver , à l'inverse , comme il suit , qu'un cercle tracé sur le tableau , s'il n'a pas son centre au pied de la perpendiculaire abaissée de l'œil sur le tableau , c'est-à-dire , au point que les praticiens ont nommé point de vu», ne saurait être la perspective d'une sphère.

Si , ayant tracé sur le tableau une figure fermée quelconque K on Tait passer par cette figure une surface pyramidale ou conique indéfinie , ayant son sommet a l'œil; cette figure pourra être iu-

BE LA SPHÈRE. 3i5 Jïetincléraent la perspective de tous les corps auxquels la surface pyramidale ou conique se trouverait exactement circonscrite , mais ne pourra éire la perspective que de ces seuls corps.

Donc , en particulier , un cercle tracé sur le plan du tableau pourra être indistinctement la perspective de tous les corps auxquels serait exactement circonscrit le cône qui , passant par ce cercle , aurait son sommet à l'œil , et ne pourra être la perspective que de ces seuls corps..

Mais toutes les fois que ce cercle a- son centre hors du point de vue , le cône est nécessairement oblique*

Donc , tout cercle- tracé sur le tableau , d'un centre autre que le point de vue , ne saurait être la perspective que des seul» corps- auxquels urt> cône oblique peut être exactement circonscrit.

Mais un cône oblique ne saurait être exactement circonscrit à une sphère.

Donc enfin r le cercle décrit sur le tableau de tout autre centre que le point de vue , ne saurait être la- perspective d'aucune sphère.

Donc, en- particulier r quelle que soit la situation de l'œil , deux cercles , non concentriques, tracés sur le même tableau-, ne sauraient être le* perspectives de deux sphères.

Confirmons» encore cette conclusion par de nouvelles considé* rations»

Aucun praticien n'oserait soutenir sérieusement que l'ombre d'une sphère sur un plaa est constamment un cercle'; et Us conviennent tous que cela ne peut avoir lieu que dan» le cas,, très-particulier, où la droite menée par la lumière et par le centre de la- sphère est perpendiculaire au plan suc lequel l'ombre se projette.

Tous le» praticiens conviennent également qu'il y a une exacteparité entre la théorie des ombres et la perspective, et que , pour passer de l'une à l'autre r il suffit de considérer la lumière comme* fœii du spectateur» le plan où l'ombre se projette comme le plam

3i<5 PERSPECTIVE

du tableau , et l'ombre projetée comme la perspective du corps

qui la projette.

Donc les praticiens conviennent tacitement que la perspective d'une sphère n'est pas toujours un cercle.

Mais , si la perspective d'une sphère n'est pas toujours un cercle , par quelle autre ligne pourra - t- elle être terminée ? Ce pourra être indistinctement par toutes les lignes qu'on peut obtenir en coupant un cône droit par un plan , sans môme en excepter la ligne droite.

Dans le cas le plus ordinaire , c'est-'a-dire , dans le cas où la sphère sera entièrement située d'un côté du tableau et i'œil de l'autre , il est évident que sa perspective sera une ellipse.

Si l'on remarque en outre que la section elliptique d'un cône droit par un plan a toujours son grand axe dirigé suivant la projection de l'axe du cône sur le plan coupant , on en conclura que l'ellipse perspective d'une sphère a constamment son grand axe -situé sur la droite qui joint la perspective du centre de la sphèro au point de vue. 11 est de plus aisé de voir que cette ellipse sera d'autant plus alongée qu'elle sera plus distante du point de vue.

On sent que ce que nous venons de dire de la perspective de la sphère , doit , avec les restrictions et modifications convenables , s'entendre également de la perspective ,de tous les corps de forme analogue ; ainsi , dans un tableau d'histoire , par exemple , point de grâce pour la plus belle téte , pour celle même de Vénus ; et elle devra être un peu alongée vers le point de vue , si elle a l'imprudence de s'écarter tant soit peu de ce point.

En vain objecteraiuon que des objets ainsi représentés doivent paraître difformes ? ce serait au conlraire en les figurant réguliers qu'ils sembleraient tels. Sans doute, ces objets paraîtraient difformes à Celui qui se placerait successivement vis-a-vis de chacun d'eux ; mais on ne doit pas oublier que tout tableau doit être destiné pour un spectateur unique, plaeé en un lieu déterminé; et que sa si-

DE LA SPHÈRE. 3it fnatton doit reetîfier les irrégularités apparentes introduites à dessein , dans la représentation des ob^ts , précisément dans la seule vue de produire sur son œil une illusion plus parfaite. Un tableau dont toutes les parties seraient dessinées pour le spectateur placé vis-à-vis d'elles, ferait nécessairement , de quelque part qu'on voulût l'envisager, un effet tout-à-fait insupportable ; à moins pourtant que les objets représentes sur ce tableau , ne fussent de nature à n'avoir aucune forme nécessairement déterminée , tels , par exemple , que dea arbres et des rochers.

Passons à la construction de l'ellipse perspective de la sphère.

Soient HFP la ligne horizontale et VV7 la ligne verticale (fîg. 5) se coupant au point de vue O , c'est-à-dire , au pied de la perpendiculaire abaissée de l'œil sur le tableau.

Puisque la sphère est donnée , on doit connaître la distance de son centre au tableau , ainsi que le pied de la perpendiculaire abaissée de ce centre sur le tableau. Soit O le pied de cette perpendiculaire.

Après avoir mené OC , élevon* à cette droite , par son extrémité O, une perpendiculaire 00' égale à la distance de l'œil au tableau , ou à ce que les praticiens appellent le rayon principal. A son ex~ Irémité opposée C , élevons-lui , du côté opposé , la perpendiculaire C'C" 9 égale à la distance du centre de la sphère au tableau j et soit menée O'C" , coupant OC en C.

Si l'on conçoit que le double triangle rectangle OCVCC'C" tourne autour de 0C/>.ju5qu'à ce que son plan soit perpendiculaire à celui du tableau ; il est clair que le point O' viendra se placer à l'oeil du spectateur , et le point G" au centre de la sphère , O'C" deviendra donc le rayon visuel dirigé vers le centre de la sphère ; mais , dans ce mouvement , le point C demeurera immobile ; donc «e point est celui où le plan du tableau est percé par la droite qui joint l'œil au centre de la sphère ; c'est-à-dire , que ce poiot est la perspective du centre de la sphère , mais non pas le centre de la perspective de cette sphère f ainsi que nous Talions voit

3iS WRSPtCTlVTET

tout-a-Pheure (•). OO est donc la direction du grand Me dé

l'ellipse.

Présentement soit décrit un cercle da point C" comme centre et avec un rayon égal à celui de la sphère. Soient menées à ce cercle , par le point O' , les deux tangentes O'A' , OU' , coupant OC en A et B.

Si Ton conçoit un cône circonscrit a la sphère y dont le sommet soit l'œil du spectateur , en imaginant le même mouvement que tout-â-l'heure , nos. tangentes deviendront les- intersections du cône avec le plan perpendiculaire au tableau conduit par OC' i d'où il est aisé de conclure que AE est le grand axe de l'ellipse cherchée.

Imaginons présentement que l'œit se meuve parallèlement à OO , il est aisé de voir que , par l'effet de ce mouvement , le grand axe de l'ellipse changera seul de grandeur et de situation , tandis que la grandeur de son petit axe demeurera invariable.

Celte grandeur doit donc être ce qu'elle sérail si l'œil , toujours également distant du tableau , venait se placer sur le prolongement de la perpendiculaire abaissée sur le plan de ce tableau du centre même de la sphère ; auquel cas la perspective de cette sphère se réduirait a on cercle.

Or , de là résulte évidemment la construction suivante :

(*) De tontes les méthodes qu'on peut employer pour déterminer la perspective d'un point donné , celle que nous venons d'appliquer k la recherche de 1» perspective du centre de notre sphère nous parait » à la fois , la plus naturelle et la plu» simple.

Lorsqu'on veut avoir la perspective d'une droite r on peut, par ce procède, déterminer la perspective de l'un quelconque de se» poiot*. Alors , si la droite est parallèle au tableau , on mènera par cette perspective une parallèle a la droite donnée , laquelle en sera la perspective. Dans le cas contraire , on en •obtiendra la perspective, eo Joignant la perspective du point, au point on ls> droite donnée perce le tableau.

DE LA SPHÈRE. Si$

Prolongez O'C, au-delà de O , d'une quantité C'0''=:OG' ; par O" menez au cercle la tangente WD" , coupant OC en D' , et CD' sera le demi-petit w èt l'ellipse.

Elevant donc , sur le milieu de AB , une perpendiculaire DE double de C/D* et ayant son milieu sur AB ; les points A , B ^ C , D seront les quatre sommets de la courbe ; il sera donc facile d'en achever la construction.

Lorsque l'on suppose l'œil a une distance infinie , ainsi qu'if arrive souvent , sur-tout dans le dessin dcS figures de géométrie ; si l'on suppose cet œil situé vis-à-vis du tableau auquel cas les projections des objets sur ce tableau sont purement orthographiques, la perspective de la sphère n'est autre chose que la projcètibn sur le tableau de celui de ses grands cercles qui est parallèle au plan de ce tableau; c'est-à-dire que la perspective delà sphère est alors un cercle ayant même rayon qu'elle , et ayant pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée de son centre sur le tableau.

Mais on évite ordinairement celte disposition de l'œil t qui présente l'inconvénient de n'offrir au spectateur que la seule face des objets qui est directement tournée vers le tableau ; et on préfère de projeter les objets sur le tableau par des parallèles à une droite fixe , inclinée à son plan. En adoptant ce système de perspective » voici de quelle manière on devra modifier notre construction*

Soit toujours C (fig. 6) le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère sur le plan du tableau , et soit C la perspective de ce centre, facile a déterminer par des procédés connus et qui sera , dans le cas présent , le centre de l'ellipse.

Elevons à CC, au point G' , la perpendiculaire OC", égale I la distance du centre de la sphère au tableau ; du point C" comme centre , et , avec un rayon égal à celui de la sphère , soit décrit un cercle auquel soient menées deux tangentes AA' , BB/ , parailèles a CC" et coupant CO en A et B. Alors AB sera le grand axe de l'ellipse ; et son petit axe DE sera égal au diamètre mémo de la sphère.