GÉOMÉTRIE

THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE. 3ai

GEOMETRIE ELEMENTAIRE

Extrait d'une lettre au Rédacteur des Annales ; Par M. Vjbcten , ex- professeur de mathématiques spéciales.

En cherchant à démontrer la première des propositions suivantes , qui Tétait seulement pour le triangle rectangle , je suis parvenu à plusieurs autres, que vous serez peut-être bien aise do connaître.

Si sur les trois côtés d'un triangle quelconque ABC, (fig. 7) on construit trois quarrés AD , BF , CI , il en résultera ;

i.° Qu'en abaissant des sommets de ce triangle des perpendiculaires ÀK , BL CM , sur les directions des côtés opposés , et menant les droites AG , BI , BH , CD , CE , AF ; les deux premières se couperont sur CM en P , les deux suivantes sur AK en N , et les deux dernières sur BL en O.

3.* Que ces six droites seront perpendiculaires deux à doux ; savoir : CD sur AG , AF sur BH , BI sur CE; les deux premières se coupant en Q , les denx suivantes en R , et les deux dernières en S.

3.° Que , si Ton mène les droites EF , IG , HD , elles passeront respectivement par les points Q, R , S et diviseront en deux parties égales les angles formés en ces points par les six première* droites^

7èm. Tlh îp

3aa THÉORÈMES

4.° Que , si l'on mène les droites AS , BQ , CR , elles se couperont en un même poînt T , et seront respectivement perpendiculaires a DH , EF , GI.

5/ Que , si l'on mène les droites DG , FH , IE , on formera les trois triangles DBG, FCH , IAJE , qui seront équivalens entre eux et au triangle ABC.

0.° Qu'enfin la somme des quarres de ces trois dernières droites sera égale à trois fois la somme des quarrés des côtés du triangle ABC. ,

Cette dernière proposition revient à dire que , si Ton prolonge les trois côtés AB , BC , CA d'un triangle ABC ( fig. 8 ) dans le môme sens , des quantités BA' , CB' , AC , respectivement égales aux côtés prolongés , >et menant les droites A'C , B'A , OB ; on aura

A^VïPÂ Vc^ïT =3(IÏÏ VbC*+CÂ*) •

Je ne vous envoie pas les démonstrations de ces diverses propositions, parce qu'elles sont toutes extrêmement simples, et qu'elles «c présentent , pour ainsi dire , d'elles-mêmes en construisant la 6gure. Seulement , comme la première partie de la quatrième proposition repose sur ce théorème que les cordes communes à trots ter des qui se coupent deux à deux concourent en un mime point , et que la démonstration de ce théorème n'est -véritablement satisfaisante que lorsque les trois cercles ont une partie de leur plan «uî leur est commune (*) ; j'ai pensé que vous séries bien aise de

(*) M. Yeclen veut sans doute parler ici de la démonstration géométrique du théorème ; car , pour m démonstration analkique , <Ue w cédait simplement * remarquer que , «i A=?o , B=© , €=o «ont les équation* de trois cercle i , A— B=o , B— C=o , C— >A=o seront les équations de leurs cordes commune» deux h deux , et xjue chacune dp ces troi* dernières équations est comportée par les deux autres. Cette démonstration , qui ne souffre aucune exception , s'étend môme au cas ou les cercles ne se coupent pas. Elle s'applique avec une égale faeilKé à trois cercles d'une sphère et i quatre spltères dan* Faspace. Sur quoi voves ( Annales , tom. VI , pag. 3a6 ). J. D. G»

DE GEOMETRIE. 3*3 «avoir comment on peut démontrer celte proposition par la géométrie.

Nous supposerons d'abord que les trois cercles, que nous désignerons simplement par leurs centres • , s , y ( fig. 9 ) , se coupent de manière à former un triangle curviligne A'B'C qui leur soit commun. 11 faqt démontrer que , dans ce cas , les trois droites A A' , BB' , CC se coupent en un même point. Pour cela f menons les droites «a , By , y* puis joignons le point A aux a , y ; le point B aux points y , « , et le point C aux points « , a. On a évidemment «B=«C , #C=aA, yA=yB; donc les quatre triangle «Sy , »Ca t My , yB« peuvent être considérés comme les quatre faces d'un tétraèdre développé. Mais les cordes AA' , BB' étant respectivement perpendiculaires eur les côtés ay , y* de la base du tétraèdre , il s'ensuit que leur intersection G détermine le pied de la perpendiculaire abaissée sur le plan de cette base , du sommet du tétraèdre ; et comme le pied de cette perpendiculaire est également déterminé par l'intersection de l'une ou de l'autre de ces cordes avec la troisième CC ; il s'ensuit que les trois cordes doivent concourir au même point G , puisque , dans le cas contraire , on aurait , d'un même point hors d'un plan , plusieurs perpendiculaires à ce plan.

Mais si les trois cercles , au lieu de se couper de la manière que nous avons d'abord supposée , laissent entre eux un triangle curviligne dVe? , ne faisant partie d'aucun d'eux ; il est facile de voir que la précédente démonstration devient illusoire. Il est donc nécessaire de faire voir que le théorème est également vrai dans ce second cas.

Pour cela , prenons , sur le prolongement de l'une quelconque des cordes , de aa* par exemple , un point A , de manière que AD soit plus grand que AG ; G étant le point où la corde aaf •st coupée par l'une quelconque des deux autres , bb* par exempte. Des points a et y et avec des rayons respectivement égaux à fik. et yA , décitvons deux circonférences qui couperont respectivement les prolongemens des cordes ce? et tb* en C et B ; menona les droites A* , Ay , By , B« , Cm , Ca , et noua formerons les

Sz4 QUESTIONS PROPOSÉES,

triangles jsAy , yB« , «C« , qui seront tels que , si on les fart tourner respectivement autour des droites Sy » y« t «* t on -pourra toujours s'arranger de manière à ce que les trois points A , B , C se réunissent en un seul , puisqu'on a A/J=sC , yA=yB et AD>DG; c'est-à-dire , que les quatre triangles «Ay , yB» , «C* , «Sy peuvent êlrc regardés comme les quatre faces d'un tétraèdre. Mais les trois droits aa' , bb> , ce1 , ou celles-ci AD , BE , CF , sont respectivement perpendiculaires sur les côtés /»y , y* , -a du triangle •Sy; donc elles se coupent en un seul et même point G, qui est le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet du tétraèdre sur le plan ««y de sa base.

On peut remarquer que , puisque le point B coïncide arec le point C , lorsque les deux triangles yB* , «C* sont relevés ; il en résulte que B» coïncide avec C« , et par conséquent qu'on a B«=C», c'est-à-dire que , si l'on décrit du point « comme centre , et avec «B pour rayon , une circonférence de cercle , elle passera par le point C.

Paris, le 3o juin 1817. .

QUESTIONS PROPOSÉES

Problèmes de Géométrie.

I. TnscRIRE a une sphère un tétraèdre dont les faces passent par quatre droites données?

II. Circonscrire à une sphère un tétraèdre dont les sommets soient aux quatre droites données ?

GÉOMÉTRIE DE LA RÈGLE. 3a5