GEOMETRIE DE LA REGLE

Solution et construction , par la géométrie analitique , de deux problèmes dépendant de la géométrie de la règle y

Par M. Gergonne.

En montrant, dans un précédent article ( page 269 de ce volume), comment la géométrie analitique , convenablement employée , peut conduire, pour la solution des problèmes de géométrie, à de» constructions bien supérieures , pour l'élégance et la simplicité , à celtes que fournit fa géométrie pure , j'ai promis d'ajouter encore de nouveaux exemples de cette vérité à celui qu'offrait cet article. Cest dans la voe de remplir cette promesse , que je me propose ici de résoudre les deux problèmes suivans :

PROBLÈME I. A une ligne quelconque du second ordre , inscrire un triangle dont les côtés passent par . trois points donnés ; en n'employant que la règle seulement?

PROBLÈME II. A une ligne quelconque du second ordre , circonscrire un triangle dont les sommets soient sur trois droites données ; en n'employant que la règle seulement ?

Le premier de ces deux problèmes, borné seulement an cercle, et sans exclure l'emploi du compas , a été long-temps célèbre ; et depuis Pappus , qui en a traité un cas très-particulier , beaucoup d'illustres géomètres en ont fait le sujet de leurs recherches» Tom. VU , n.° XI , 1 mai 1 8 1 7. 44

3aG GEOMETRIE >

En 1810, j'essayai d'y appliquer la géométrie analitiqae , toujours pour le cas du cercle ; elle me conduisit à une construction fort simple qui a paru dans les recueils de Y Académie du Gard ; mais on n'y pouvait parvenir qu'à la suite d'un calcul assez laborieux ; et , comme je n'avais pas aperçu que cette construction n'exigeait que l'emploi de la règle , je ne songeai nullement à Tétcndrc à toutes les scelions coniques.

A la page 1-6 du 1." volume du présent recueil, je proposai de démontrer géométriquement la solution graphique que j'avais obtenue , sans faire connaître l'analise qui m'y avait conduit. On me fit aussitôt observer que ma construction pouvait s'étendre indistinctement a toutes les ligues du second ordre ; et c'est ce qui me détermina à généraliser^ mon premier énoncé , comme on le voit à la page a5g du même volume. MM. Servois et Rochat donnèrent l'un et l'autre ( pag. 33; et 34a ) une solution du problème ainsi 'généralisé.

Mais autre chose est de légitimer par le raisonnement une construction déjà connue ou de parvenir à cette construction. Je me propose donc de faire voir ici comment la géométrie anàlitique » b)cn employée , conduit à cette même construction d'une manière "pour ainsi dire inévitable.

Comme il est très- aisé de ramener le dernier de nos deux problèmes au premier., c'est d'abord d,e celui-ci uniquement que je m'occuperai ; et / comme un problème du domaine de la géométrie de la règle est résolu, pour toutes lés sections coniques, dès qu'il l'est pour une seule d'entre elles , je supposerai , pour plus de simplicité ", que la courbe dont il s'agît est une parabole.

Je réduirai donc le problème au suivant : t . -PROBLÈME* Jnscnrç à une parabole un triangle recù'ligne dont ■l?s. cfrés » prolonges \.s '// est nécessaire , postent par trois points donnés sur le plan de celte courbe ? .»

Solution. Soient P , P' , P" les points donnés, et S , S'.,. S?

DE LA RÈGLî;. $27 Jcs sommets du triangle cherche j de , telle sorte que P soit sur ' 6'S", P' sur S"S, et P" sur SS'.

11 est évident que , si l'un des sommets , le sommet S par exemple, était connu, le problème pourrait être réputé résolu i ca,r> en menant de ce point des droites par les points P' , leurs intersections avec la parabole détermineraient respectivement Jes deux autres sommets S", S'. . Occupons - nous donc uniquement de la, recherche de ce point S. 1 ~ .,

Soit 2p le paramètre de la parabole dont il s'agit. Soit pris son axe pour axe des x , et la tangente à son sommet pour axe des y. Soient alors les coordonnées tant des points donnés P, , P' j. P" que des points cnerchts S j ^ , S* , ainsi qu'il suit :

Pouf V\ 1 ' Pour P' ! Pour P" \

Pour S l Pour S' ) Pou* S" l

lys \ y i ( r" •

D'abord , puisque $ , $' , &f «ont des points de la courbe ] on doit avoir .. , ' •

y^—px , y»=2ps' , y"*=2px» . (1)

En second lien, puisque chacun des points P , P' , P'' est en

ligne droite avec d^ux de ceux-là, on doit avoir

x—x' x—a" x'—x» xJ — a x"—x __ x»—a> ^

yoilà donc six équations , au moyen desquelles on peut déterminer

3*8 GEOMETRIE les six coordonnées xy , x'y* , x"y" des trois points inconnus S S' , S" ; mais , comme nous bornons notre recherche à celle du* point S , il nous suffira d'éliminer x' , y* , x" , y" entre les cinq dernières ; il en résultera une équation en * et y qui , jointe a la première , nous fera connaître les coordonnées du point cherché.

Mais on peut , par une combinaison convenable de ces six équations , en obtenir d'autres incomparablement plus simples* En retranchant, en effet, deux à deux, les équations (i) , on obtient celles-ci

xi— ar' y+y' x" y,^ryn x y"+y

En comparant ces équations respectivement aux équations (a) , on en déduit les suivantes

y-ty x*~*a" y+y" x*-~o y"+y — 1 ...

en chassant les dénominateurs dans ces dernières et en y remplaçant respectivement spx , zpx' , îpx" par leurs valeurs y* \ y** , y4* , données par les équations (i); elles deviendront enfin

tfy»+-b {f+y»)+2pd =»C , | (5)

y" y — b1 (y"-\-y )+apa' =o . j

équations délivrées do x , x' , jr" ; et entre lesquelles il n'est plus question que d'éliminer y1 et y" pour obtenir la valeur de jr. L'élimination de y" entre 4es deux dernières flonne

DE LA REGLE 3a»

•u , en chassant les dénominateurs et transposant ,

{4^^'+<44wVa)/C*4'— Vfl^+V(«4W4)» -

Eliminant enûn y* entre celle-ci et la première des équations (5) il tiendra

(4— 4or— (W— ^«0 =0* •u , en chassant les dénominateurs et réduisant ,

En remplaçant y* par son équivalent a/w? , toute l'équation divisible par a , et pourra ensuite être écrite

+[4 4/— p(a+a')}po'

ce qui revient k

33* C^OMÉTRIE !

Telle est donc l'équation qu'il faudrait combiner avec l'équation y*t=2px, pour obtenir les deux coordonnées x , y du point cherché^ S ; puîs donc que l'équation y% = 2px est celle de la parabole donnée, et que l'autre n'est que du premier degré seulement ; il en faut conclure que celle-ci est l'équation d'une droite qui coupe la parabole donnée au point cherché St

Tout se réduit donc à construire la droite (À) , ou , ce qui revient au même , à déterminer deux points de sa direction , ce qui revient encore à trouver deux systèmes de relations entre x et y qui y satisfassent.

Or , les deux systèmes de relations les plus naturels à établir pour y satisfaire sont les suivans :

kl

donc le point déterminé par les équations (B7) et le point déterminé par les équations (B") sont deux points de la direction de (A).

On pourrait , pour déterminer chacun de ces points , tirer les valeurs de x et y des deux couples d'équations par lesquels ils sont donnés ; mais il est incomparablement plus commode de construire les quatre droites (CO , (DO , (C'O > (D") elles-mêmes. L'intersection des deux premières sera le point (BO > celle des deux dernières sera le point (B'O^

Nous examinerons tout-à-l'heure ce que peuyent être les droites (CO , (C'O ; occupons-nous seulement , pour le présent , de la des droites (DO , (D")> ou, pour jaiitux dire , de la

DE LA RÈGLE. 33x construction de l'une d'elles ; car on voit assez que (D") est par rapport au point P" ce que (D') est par rapport au point P'.,

La droite (D7) serait déterminée , si nous connaissions deux quelconques des points de sa direction. Or , on voit d'abord que cette droite passe par le point P' ; d'où il suit qu'il ne s'agit plus que d'en trouver un autre point ; or , ce point sera donné par deux relations entre x et y qui résolvent également P équation (D') ; et, entre toutes les relations qu'il soit possible de choisir , les plus simples «ont t sans contredit , les suivantes :

La droite (DO est donc une droite menée par les points P' et E'; et ce dernier point , lui-même , se trouve déterminé par l'intersection des droites (C), (C"\

Pour de semblables raisons , la droite (D") sera une droite menée par le point P" et par un point E" intersection des deux droites (C) , (C).

Notre construction se trouve donc réduite ainsi à celles des trois droites (C) , (G*) , (C) , ou plutôt à celle de la première seulement; puisque les deux autres sont respectivement , par rapport aux points P' , P" , ce qu'est celle-ci par rapport au point P.

Or , soit pris sur la parabole donnée un point quelconque (*' ,yf) ; la tangente à la courbe en ce point sera , comme l'on sait,

ou , en réduisant et mettant zpx' pour y" 1

yy'=pi*+*') • (0

33a GÉOMÉTRIE

Supposons , en second lieu , qu'il soit question de mener a la parabole une tangente par un point extérieur (a , b) ; en représentant par x4 , y* les coordonnées du point de contact ; on aura pour déterminer ce point les deux équations

y'tzz2px' et by'=p(x'+a) \ (a)

dont la première exprime que le point de contact est sur la courbe, tandis que la seconde exprime que le point (a , b) satisfait à l'équation (i). Puis donc que l'équation y/*=:2px/ est du second degré et l'autre du premier seulement , on aura deux points de contact et conséquemment deux tangentes par le point (<x , b\

Dans la recherche de ces deux points de contact, an Heu de tirer des équations (a) les deux systèmes de valeurs qu'elles fournissent pour x et y, il revient au même et il est plus commode de construire les lignes qu'expriment ces deux équations. Puis donc que la première est celle de notre parabole elle-même, et que l'autre n'est que du premier degré seulement , cette dernière doit appartenir à une droite passant par les points où les deux tangentes touchent la courbe , c'est-à-dire , que cette droite est la polaire du point (a , b).

On voit donc , d'après cela , que nos trois droites (C) , (C) , (C'Ot a la construction desquelles nous avons ramené notre problème , ne sont autre chose que les polaires respectives des trois points P , P' , P".

Or , comme la droite polaire d'un point donné , sur le plan d'une section conique , peut se construire à l'aide de la règle seulement , il s'ensuit que nous pouvons étendre notre construction a une section conique quelconque ; et voici à quoi elle se réduit.

Construction /. Soient trois points P , P' , P" , donnés à volonté , sur le plan d'une ligne du second ordre quelconque ; et supposons qu'il soit question d'inscrire à la courbe un triangle dont

les

DE LA RÈGLE. 333 les côtés , prolongés au besoin , passent respectivement par les trois points donnas.

Soient S , S' , S" les trois sommets inconnus , P devant se trouver sur S'S", P' sur S"S , et P'' sur SS'.

Soient construites les polaires des points P , P' , P" ; représentons-les respectivement par C , C' , G" ; O et C" se coupant en E , C" et ! C en F/ , C et C' en E". Soient menées PE , P'E' , P"E", coupant respectivement C , C' , C" en B , B' , B" ; alors la courbe sera coupée respectivement en S par B'B" , en S' par B"B , en S'' par BB'.

On doit remarquer , au surplus , que chacune de ces droites coupera la courbe en deux points , et qu'ainsi le problème aura deux solutions. On doit remarquer encore , comme nous l'avons déjà fait plus haut, que tout peut se réduire à la construction du point S d'où, il est facile de conclure les deux autres. Il est donc superflu de déterminer le peint B » et eonséquemment de mener la droite PE.

Le second problème se ramène facilement à celui-ci.

Construction II, Soient trois droites C , C' , C" , données à volonté , sur le plan d'une ligne du second ordre quelconque ; et «opposons qu'il soit question de circonscrire à la courbe un triangle dont les sommets soient sur les trois droites données.

Soient S , S' , S" les points inconnus où la courbe doit être touchée par les côtés du triangle , S étant son point de contact avec le côté qui se termine à G7 et G" ; S' le point de contact avec le eôté qui se termine à C" et G ; et enfin S" le point de contact avee le côté qui se termine à C et G/.

Cherchez les pôles- respectifs P , P7 , P" , des droites C , Cf , C". Opérez sur ces pôles et sur les droites G , G' , G" , comme vous l'avez fait dans le problème précédent; les sommets S , S7 , S" du triangle inscrit dont les côtés passent par P , P' , P" seront en même temps les points de contact de la courbe avec les côtes» du triangle cherché.

Tom. VIL 4S

Ce qui nous a principalement déterminé a prendre cet deux problèmes pour exemple de nos méthodes, c'est que M. Lhuitier, dans ses Élimens fanatise géométrique et fanatise algébrique » insinue que , soit sous le rapport de la mise en équation , soit sous celui de la construction t la géométrie analitique , qu'il appelle la Méthode des coordonnées , ne parait guère leur être commodément applicable. Nous pensons que les géomètres qui prendront la peine de comparer nos constructions a celles qu'on déduit des considérations purement géométriques , en jugeront d'une toute autre manière.

Dans un prochain article , nous essayerons d'étendre nos procédés au problème général où il s'agit soit d'inscrire à une ligne du second ordre un polygone de m côtés , dont les côtés passent par un même nombre de points donnés , soit de circonscrire à la même courbe un polygone de m côtés dont les sommets se trouvent sur un pareil nombre de droites données.

QUESTIONS RÉSOLUES

Solution pratique du problème de combinaison proposé à la page 188 de ce volume ;

?av M. J. B. Durram».

I. £l est bien connu , depuis long-temps , que des lettres P , Q , Rr*«, toutes différentes les unes des autres , et au nombre de m , peuvent être disposées , en ligne droite , les unes a la suite des autres , d'un nombre dp manières exprimé par ml (*).

(*) J'emploie ici m! , avec M. Krarap, comme abréviation de i .2.3..,.. jn ; et j'en use pi de mime dana louto la suite de cet article. On a lieu d'être aurpris ju'une notation ai ijippla , et coqséouemmenl si utile , ne soit point, encore univeraellemeut adoptée.

2. Si l'on veut savoir de combien de manières différentes ces mêmes lettres peuvent êire disposées , circulaircment , les unes à la suite des autres j on considérera qu'un arrangement circulaire quelconque étant donné , on peut le rompre en m points di flore ns pour l'étendre en ligne droite ; que par conséquent chaque arrangement circulaire fournit m arrangemens rectilignes di fie ren s ; et qu'ainsi le nombre des arrangemens circulaires est m fois moindre que celui des arrangemens rectilignes -, d'où il suit (i) que le nombre total des

arrangemens circulaires doit être simplement — ou (/n— i)!.

3. On peut confirmer ce résultat par un raisonnement inverse du précédent. Concevons que , dans un arrangement recti ligne quelconque on fasse passer m — i fois consécutivement la première lettre à la dernière place, sans intervertir aucunement l'ordre des autres; . on obtiendra ainsi m arrangemens rectilignes diiTérens , que l'on ne ferait que reproduire sans cesse , si l'on voulait pousser plus loin' l'application du procédé. 'Il suit de là évidemment que les m\ arrangemens rectilignes différons que nos m lettres «ont susceptibles de

fournir, peuvent être répartis en m groupes de ou (/»— i )!

arrangemens tels que les arrangemens de chaque groupe seront ainsi déduits les uns des autres par le passage continuel de la première lettre a la dernière place. Or , il est clair que les divers arrangemens rectilignes d'un même groupe ployé* en cercle donneront ' toujours le même arrangement circulaire ; d'où il suit que le nombre

des arrangemens. circulaires différens sera uniquement égal au nombre

mr

dos groupes; c'est -a- dire , qu'il sera — ou (m— i)! , comme nous l'avons déjà trouvé ci-dessus,

4. Voilà ce qui arrive , lorsque les lettres P , Q ' , R ; sont toutes différentes- le» unes- des autres , ou , ce qui revient an mêmer , lorsqu'il n'y en a qu'une seule de chaque sorte. Mais , on peut supposer que , dans la totalité de m lettres ipnt il s'agit , il se

trouve p lettres pareilles à P , y lettres pareilles à Q , r lettres pareilles

a R, et ainsi des autres; de sorte qu'on ait />-f-?+r-f- cm.

Il est connu qu'alors (*) le nombre des arrangemens rectilignes dlfférens dont nos iw lettres seront susceptibles ; ou , ce qui revient au même , le nombre des manières différentes dont elles pourront être disposées en ligne droite les unes à côté des autres , sera exprimé par la formule

rril p\g\rï

5. On peut demander présentement , comme nous Parons fait dans le premier cas , de combien d'arrangemens circulaires , réellement diflférens , .ces mêmes lettres pourront être susceptibles ; et il semblerait , au premier abord , que les raisonnemens que nous avons faits alors (a , 3) doivent conserver ici toute leur force , et qu'ainsi Ja formule qui répond à la question proposée doit être

irai (m— i)!

, , . » OU , , , * m(/»!f!r! .....) piqltU*. ,

Cette formule est , en effet , celle qui résout la question , dans le cas particulier où les nombres p, q , r,,...» sont premiers entre eux; c'est-à-dire , dans le cas où il ne se trouve d'autres diviseur» que l'unité qui leur soient communs à tous.

6. Mais , dans le cas contraire , c'est-à-dire , dans le cas où quelque nombre , autre que l'unité , divise à la fols tous les nombres

p, q , r , et par conséquent le nombre m, notre raisonnement

cesse d'être applicable ; et la formule se trouve tout-à-fait en défaut. Elle offre même souvent alors un préservatif contre les applications inconsidérées qu'on prétendrait en faire , en donnant , pour le nombre

O Vojei, en particulier, la page aoi du 4 orne. ILe de «e recueil;

RÉSOLUES. 337 des arrangemens cherché , un nombre essentiellement fractionnaire; ce qui , dans une question de ce genre , est un signe manifeste d'absurdité. C'est, en particulier, ce qui arrive , lorsqu'on suppose toutes les m lettres égales entre elles et à P. La formule se réduit

alors , en effet , à — qui, excepté le seul cas où ot=i , est néces-

•airement fractionnaire.

7: Il est très- aisé de concevoir pourquoi , dans le cas dont nous parlons, la formule ne saurait être applicable. Lorsqu'en effet les

nombres p , q , r , ont un ou plusieurs diviseurs autres que l'unité

qui leur sont communs à tous; parmi les arrangemens circulaires dont nos lettres sont susceptibles , il doit nécessairement s'en trouver • de périodiques ; or , ce qui est vrai des premiers cesse de l'être pour ceux-ci , c'est-à-dire , qu'en les rompant successivement en deux points diffërens , pour les étendre en ligne droite , on ne forme pas toujours deux arrangemens rectilignes distincts : cela n'a lieu , en effet , que lorsque les deux points de rupture ne sont pas des points semblablement placés dans deux périodes différentes , de» points homologues de ces périodes.

8. Il y a donc lieu à proposer la question suivante dont nous ne nous proposons de donner ici , pour le présent , que la solution pratique ; nous réservant de développer les raisonnement qui nous y ont conduit dans un prochain numéro*

9. PROBLÈME. On a m lettres , parmi lesquelles il se trouée des P en nombre p , des Q en nombre q, des R en nombre r,

et ainsi des autres ; en sorte qu'on a p-f-q-hr-j- =m. De

combien de manières ces m lettres peuvent -elles être disposées circulairement les unes à côté des autres ?

10. Solution. I. Soit D le plus grand commun diviseur des nombres p t q , r , , et soit

o , b , c , étant des nombres premiers essentiellement différens.