IV. Soit enfin

am'l>W

le terme général de la suite que forment les diviseur» de D; de sorte qu'on puisse en déduire tous ces diviseurs en donnant successivement à chacun des exposans m! f pt , >/ , ...... toutes les valeurs

entières , positives ou nulles , que permettront les conditions

V. Alors le nombre d'arrangemens circulaires cherché sera la somme des termes d'une suite de (•+!)(«+ iXv4-i)««.. termes » dont le terme général sera

^•'^'^•',..t.f«-iyg-ixfg-o...^^yry } :

et qui devra conséquemment renfermer tous les termes de cette forme qui pourront être formés sous les conditions ci-dessus énoncées, i i. Remarque 1. Si le plus grand commun diviseur Ddes nombres

p > q , r , était simplement le produit abc ..... de plusieurs nombres

premiers inégaux , le terme général de la suite deviendrait simplement

— J{aèc..~...)

dans lequel ou devrait successivement admettre et rejeter une ou plusieurs des lettres a, àt i eu sorte que le nombre cherché aérait de la forme

12. Remarque II. Si le plus1 grand commun diviseur D des nombres p , q , r, était simplement une puissance a* d'un nombre

premier 0 ; le terme général de la suite deviendrait

cette suite serait donc

r-A» )+— Aa)+— r~/(« H — — r — — <A« )

i3. Remarque III. Si le plus1 grand commun D des nombres

^7, r , était l'unité , ' c'est-à-dire , si ces nombres étaient

premiers entre eux , alors • , fi , y , seraient nuls ; et la

formule se réduirait i son premier terme

m " x roC7»!y!r! )

ainsi que cela doit être (5).

j4< Remarque IV, Si enfin les m lettres données étaient toutes égales entre elles èt à P ; on aurait p—m , et les nombres q , r , n'existeraient pas ; on aurait donc

toutes les fonctions désignées par f se réduiraient donc à l'unité ;

34o QUESTIONS

et , comme , dan» ce cas , le nombre cherché doit évidemment être l'unité ; il s'ensuit que , si Ton a un nombre m , tel que wi—aab^c>..^ ;

o, b', Cf étant des nombres premiers inégaux , la suite dont

le terme général sera égal à

dans laquelle on admettra successivement pour , a' , r' toutes les valeurs entières , positives ou nulles qui n'excéderont

pas respectivement « , a , y , , sera égale au nombre m

lui-même.

i5. Exemple. Soit V^a'b.

Les diviseurs de D seront , dans ce cas , le» termes du de'-: veloppement du produit

(iH-*+*»)(i+*) *

«'est-à-dire ,

b „ ah

En représentant donc par x le nombre cherché , on aura c'est-à-dire ;

*=- -rrr. — r

16. Application. On demande de combien de manières différentes on peut arranger autour d'une table ronde 36 assiettes dont la de vermeil et 24 de porcelaine ?

On a ici m~3G , p=i£ , q=\i ; d'où D= I2=a'.3 • donc a=2 , 3=3 , «=a , a=i. En conséquence , la précédente formule deviendra

J 36T t 18! a j! 4^ 3! * 46 ' a4!ia! 3&* ia*6t "^M * 6»! + 36 * aîi!

+ 36*B!4Î + 36;^aT .

Le premier terme revient *

a5.a6 ^7^8.19.30.3 1^2.3334.35 Le second revient à.

Le troisième revient à

Le quatrième revient 4

Le cinquième revient i

Tom. VU. 46

3<a QUESTION!

Enfin , le sixième revient à

La somme des termes fractionnaires revient a 54q ; et comme d'ailleurs le terme entier est 347687 55 ; on a définitive ment

ar= 3476g3o4 .

17. Nous placerons ici tous les résultats (jue l'on obtient jusqu'à m—S, pour les divers assemblages de lettres qu'on peut former sans excéder cette limite ; ce -sont aussi les résultats les plus usuels: nous y ajoutons en regard , sous la dénomination de y , le nombre des arrange mens rectiiignes correspondans.

Pour P seul. , . . . . ar* I j ysss g •

Pour PQ ar= i , /= a ,

Pour PP . . . . ar= 1 , y= 1 ;

Pour PQR , sss a , y** € ,

Pour PPQ **= t , ysz 3,

Pour PPP ; . 1 ; ya= 1 ;

Poiir PQRS x=a 6 , ys* a4 *

Pour PPQR ;.;,....*= 3 , y= 12 ,

Pour PPQQ „ . . . af=s a , yse. $ ,

Pour PPPQ 1 , y=» 4 ;

Pour PPPP . . , arai i , ys= 1 ;

Pour PQRST 34 , ys»i2q ;

Pour PPQRS « 1a , y= 60 ,

Pour PPQQR ; . ; . . sot 6,7» 3o,

Pour PPPQR 4 , ao .

Pour PPPQQ .... » . « a , r= 10 ,

Pour PPPPQ « x , y» 5,

Pour PPPPP x=s 1,7= x ;

Pour PQRSTLh «=120 , ^-=720 ,

Pour PPQRST *= 60 , /=36o ,

Pour PPQQRS . *= 3o , y= **o »

Pour PPPQRS *= 20 , y=i20 ,

Pour PPQQRR 16 , y= 90 ,

Pour PPPQQR. x= 10 , y- 60 ,

Pour PPPPQR *= 5 , y= 3o ,

Pour PPPQQQ *= 4 , 7= 20 ,

Pour PPPPQQ *= J , js i5 ,

Pour PPPPPQ 1 , r= 6 ,

Pour PPPPPP *= 1 . y=. 1 .

II est essentiel do remarquer qu'iei nous regardons et devons regarder, en effet, comme arrangemens distincts deux arrangemens inverses l'un de l'autre ; deux arrangemens dont l'un devient l'autre, en le renversant le dessus en dessous ; deux arrangemens , en un mot , formés d'un même arrangement rectiligne qu'on aurait successivement ployé en cercle , en le courbant dans deux sens opposés.

18. Si , par exemple , on voulait savoir de combien de manières différentes trois hommes et trois femmes , sans distinction d'individu à individu , dans le même sexe , peuvent être placés au tour d'une table ronde ? Cette question se rapporterait au cas PPPQQQ de notre tableau , et conséquemment le nombre de* arrangemens possibles serait 4'

19. Le premier terme de notre formule générale étant le nombre des arrangemens circulaires qui auraient lieu dans le cas où les périodes seraient impossibles , et les termes qui suivent celui - là étant tous positifs ; il en résulte cette conséquence , pour ainsi dire

344 QUESTIONS PROPOSEES

paradoxale , que l'existence possible des périodes , loin de diminuer le nombre total des arrangeinens , comme il semblerait résulter de ce que nous avons dit (7) , le rend au contraire plus grand*

20. Ceux qui penseraient que la complication de nos méthodes n'est point suffisamment rachetée par l'utilité des résultats qu'on en obtient , •montreraient par là qu'ils ignorent que tout problème de combinaison est en même temps un problème de piobabilité ; et que , dans ceux du genre de celui-ci , le calcul intégral aux différences ne parait pas pouvoir être d'un utile secours.

Les problèmes de combina:son sont d'ailleurs un sujet d'exercice d'autant plus utile , que rien n'est plus aisé que de commettre des paralo^ismes en essayant de les résoudre.

QUESTIONS PROPOSÉES

Problèmes de Combinaison .

I. Combien de mots différens de n lettres peut -on faire, en premnt arbitrairement ces n lettres parmi m lettres , dont un nombre p pareilles à P , un nombre ç pareil à Q , un nombre r pareil à R , et ainsi des autres ; ce qui donne p-\-q-{-r-\-....-=m ?

II. De combien de manières différentes peut-on choisir n lettres, parmi m lettres, dont un nombre p pareilles à P, un nombre ç pareilles à Q , un nombre r pareilles à R, et ainsi des autres ; c qui donne p+y-\-r-i- =/n ?

Problèmes de Géométrie.

I. Quel est le point de l'intérieur d'un triangle duquel menant des droites à ses sommets , ces droites le divisent en trois triangles équivalons ?

II. Quel est le point de l'intérieur d'un triangle duquel abaissant d?s perpendiculaires sur ses côtés , ces perpendiculaires le divisent en trois quadrilatères équivalens ?

AWALISfi ET SYNTHÈSE.