t OU Ci -4- «y s=s C

Cy yS

NOTES

C'est une relation identique entre les trois points 6, a, y, supposés placés dans l'ordre où nous les écrivons.

Ainsi , les équations (B) sont démontrées.

Remarquons que l'équation ci-dessus , qui devient , quand on chasse les dénominateurs ,

ab.cd— ac.bd -+- bc.ad = o,

exprime une relation générale entre quatre points quelconques situés en ligne droite.

Cette relation a été démontrée par Eulcr, algébriquement et géométriquement : par la première méthode, en substituant à certains facteurs leurs expressions en fonction des autres, de manière à produire une équation identique; et par la seconde méthode, en formant la figure qui représente les trois rectangles dont se compose l'équation; on voit aisément que l'un d'eux égale la somme des deux autres. {Novi Commentarii de Pétersbourg, tom. I", ann. 1747 et 1748. Fariœ demonttratione* Geometricœ.)

M. Poncelet a démontré aussi la même relation dans son Mémoire tur let centre* de* moyenne» harmonique*. [Journal de M. Crelle, tom. UI , pag. 2(59. )

Le cercle jouit, par rapport à quatre droites issues d'un môme point, d'une propriété analogue à celle du système de deux transversales droites, exprimée par les équations (A) ou (B).

Cette propriété consiste en ce que :

Quand quatre droite*, ittue* d'un même point , rencontrent une circonférence de cercle , la première en a, a'; la teconde en b, b'; la troit'ième en c, c' ; et la quatrième en d , d' ; on a la relation

sin. 1 ca tin. I da sin. { c'a' sin. { d'à' sin. ■ cb ' sin. { db sin. { c'b' * sin. j d"b'

Cette équation est aualogue à la première des équations (À). On aura semblablement deux autres équations semblables aux deux autres équations (A); et trois équations semblables aux équations (B).

Celte propriété du cercle donne lieu à diverses propositions nouvelles.

Nous appelons toute l'attention des géomètres sur la notion du rapport anharmonique, qui, bien que très-élémentaire, pourra être extrêmement utile dans une foule de spéculations géométriques ,»où elle procurera des démonstrations faciles et simples autant que possible. Nous en ferons usage dans la Note X, sur l'involution de six points, et dans les Notes XV cl XVI, pour démontrer, en quelques mots, pour ainsi dire, les propriétés les plus générales des sections coniques.

Celte théorie ne sera pas moins utile dans la Géométrie à trois dimensions.

Proposons-nous , par exemple , de démontrer la double génération de l'hypcrbololde à une nappe par une droite, que nous présenterons sous cet énoncé :

La eurface engendrée par une droite mobile qui t'appuie tur troi* droite* fixe* , peut être engendrée d'une teconde manière, par une droite mobile qui t'appuie tur

To». XI. 39

NOTES

trot* potition* de la première droite génératrice ; et cette surface jouit de la propriété que tout plan la coupe suivant une conique

La première parlie de cette proposition repose sur le» deux lemmes suivans, dont l'un est la réciproque de l'autre , et qui méritent eux-metnes d'être énoncés comme théorèmes :

Thorémc I. Quand quatre droite* t'appuient chacune tur troit droite» fixe» *ituée» d~ une manière quelconque dans l'espace , le rapport anharmon\que de* eegmen* qu'elle* forment *ur l'une de ce* troi* droite*, e*t égal au rapport anhartnonique de* tegmen* quelle* forment titr l'une quelconque de* deux autre*.

Ainsi soient L, L', L" les trois droites données dans l'espace; a, b, c , d, les points où les quatre droites A, B, C, D, qui s'appuient sur elles, rencontrent la première L, et a , b' , c', d ; a", b", c", d" , les points où ces mêmes droites rencontrent les deux autres L', L". Je dis que le rapport anharmonîque des quatre points a, b, c , d, est égal à celui des quatre points a', h', c', d'. En effet, chacun de ces deux rapports est égal à celui des quatre plans qui ont pour intersection commune la droite L", et qui passent respectivement par les quatre droites A, B,C, D. Ces deux rapports sont donc égaux entre eux.

Théorème H. Réciproquement : Si quatre droite* t'appuient *ur deux droite* fixe* dan* l'etpace , de manière que le rapport anharmonique de* tegmen* qu'elle* font *ur l'une de cet deux droitet toit égal au rapport anharmonique det segment qu'e/let font tur l'autre, toute droite qui t'appuiera tur troit de ce* quatre droitet t'appuiera néce**airement tur la quatrième.

En effet, soient deux droites L, L' dans l'espace, et quatre droites A, B, C, D, qui rencontrent la première aux points a, h, c, rf, et la seconde aux points a ,b, c , tf , de manière qu'on ait

ca ^ da c'a' ^ d'à'

7b ' db = 7v 1 7b' ;

il faut prouTer que ces quatre droites sont telles qu'une droite quelconque L", qui s'appuiera sur les trois premières A, B, C, rencontrera nécessairement la quatrième D.

Pour cela, par le point d de la droite L, menons une droite D' qui s'appuie surja droite L' et sur la droite L" ; soient J', â"t les points où elle rencontrera ces deux droites. Les quatre droites A, B, C, D', s'appuyant sur les trois droites L, L' et L", on aura, d'après le théorème I,

M ( dm c'a' Sa' cl'd~b=~cl/''lTv'

Cette équation, comparée k la précédente, fait \oir que le point o* se confond avec le point d. Ainsi la droite D' menée par le point d, de manière qu'elle s'appuie sur les deux droites L' et L" est précisément la droite D. La droite L", qui s'appuie sur les trois droites A, B, C, s'appuie donc sur la quatrième D. Ainsi le théorème est démontré.

Maintenant, soient trois droites L, L', L" dans l'espace, et soient A, B, C, D, etc. ,

NOTES

des positions différentes d'une droite mobile qui s'appuie sur ces trois droites : je dis qu'une droite quelconque M, qui s'appuiera sur les droites A, B, G, rencontrera nécessairement une quatrième D. Car en vertu du théorème I, les quatre droites A, B, CI), font sur les deux L , L', des segmensdont les rapports anharmoniques sont égaux; donc, en vertu du théorème II, une droite qui s'appuie sur les trois premières, rencontre nécessairement la quatrième.

Ainsi, quand une droite mobile t'appuie sur trois droite* fixes, toute droite qui s'appuiera sur trois positions de la droite mobile, s'appuiera sur toutes les autres positions de cette droite.

Cela exprime la première partie du théorème énoncé.

Pour démontrer la seconde partie, concevons un plan transversal quelconque, qui rencontrera les deux droites L,L', en deux points À, À', et les quatre droites A, B, C, D, en quatre points a, S, y, £ Ces six points sont sur la courbe d'intersection de la surface par le plan. Il s'agit donc de démontrer qu'ils sont sur une section conique. Pour cela il suffit de fuire voir , d'après une propriété générale des coniques , que nous démontrerons dans la Note XV, que les quatre droites menées des points a , € , y, 3 , au point / , ont leur rapport anbarmonique égal à celui des quatre droites menées des mêmes points au point a. Or, le rapport anharmonique des quatre droites ?Jt, )£ , ly, \$, est le même que celui des quatre plans menés par la droite L, et dont ces droites sont les traces sur le plan transversal; et ce rapport est le même que celui des quatre points où les droites A, B, C, D. par lesquelles passent ces plans, s'appuient sur la droite L'. Pareillement le rapport anharmonique des quatre droites /'«, /'©, ),'y, \'d est égal à celui des quatre points où les mêmes droites A, B, C, D s'appuient sur la droite L. Hais ces deux rapports anharmoniques des points où les quatre droites A , B, C, D, rencontrent les deux droites L, L', sont égaux entre eux (théorème I) : donc le rapport anharmonique des quatre droites XS , Xy, 73, est égal à celui des quatre droites X'a, 'a'6, X'y, /.'à. Donc les six points et, S, y, eî, X, X', sont sur une conique. Donc la section de la surface par un plan transversal quelconque est une conique. C. Q. F. P.

Ainsi le théorème de la double génération de l'hyperboloïde a une nappe par une droite est démontré complètement, et par des considérations géométriques tout-à-fait élémentaires.

On démontre en analyse que les droites menées par un point de l'espace parallèlement aux génératrices de l'hyperboloïde, forment un cône qui est du second degré. La théorie du rapport anharmonique donne encore une démonstration extrêmement facile de cette proposition. Il suffit d'appliquer à la section du cône par un plan le raisonnement que nous venons de faire pour une section plane de l'hyperboloïde ; ou voit que celte section est encore une conique.

Corollaire. — Le théorème I, considéré par rapport à l'hyperboloïde, exprime cette propriété de cette surface :

Quatre génératrices d'un même mode de génération d'un hgperboloïde à une nappe font sur une génératrice quelconque du second mode de génération, quatre seg-

308 NOTES

mens dont le rapport ankarmonique a une valeur eons tante , quelle que toit la position de cette génératrice du second mode de génération.

Ainsi soient a, b, o , d, les points où les quatre génératrices du premier mode de génération A, B, C, D, rencontrent une génératrice L du second mode; et a', b', c , d', les points où elles rencontrent une seconde génératrice L' du second mode de génération ; on aura

ca da c'a' d'à' 7L : db = 7b7 '' 7b''

Cette équation se met sous la forme

co cV fda rfV \ ca c'a'

7b ~ 7F * [ïb : 7b'' J ' 00 IT ~ TV x

const.

Ce qui exprime que : Si ton a un quadrilatère abbV , et qu'on dioise ses côté* opposés ab, a'b' aux points c, c', de manière qu'on ait

ca c'a'

= corn.. ,

la droite ce' engendrera un hyperboloïde à une nappe.

Nous avions démontré d'une autre manière cette propriété de l'hvperboloïde, qui a servi jusqu'ici pour prouver la double génération de cette surface par une droite. (Correspondance sur técole polytechnique , tom. Il, p. 446.)