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principe de dualité en algèbre. D'abord comme moyen d'intégration dans plusieurs cas; et ensuite comme pouvant donner, par l'expression algébrique de certains résultats de Géométrie , divers théorèmes d'algèbre.

Nous allons expliquer en peu de mots cette double application du principe de dualité à l'analyse algébrique.

S 8. A une surface donnée, correspond, suivant le principe de dualité, la surface corrélative; et à chacune des propriétés de la première surface correspond une propriété de la seconde.

Si la première surface est exprimée par une équation (dans un système quelconque de coordonnées), les relations géométriques qui ont lieu entre elle et la seconde surface serviront à passer de cette équation à celle de la seconde surface, dans le même système de coordonnées : et, réciproquement, à passer de l'équation de cette seconde surface à celle de la première ( Nous donnerons les formules qui servent à cela dans le système de coordonnées de Descartes). Si la première surface est représentée seulement par une équation aux différentielles partielles, à cette équation en correspondra une autre qui sera sa corrélative et qui appartiendra à la seconde surface. Cette autre équation sera généralement différente de la proposée , et pourra se prêter plus ou moins facilement qu'elle aux méthodes d'intégration. Si l'on peut l'intégrer, on aura l'équation de la seconde surface, et l'on passera, par les formules en question, de cette équation à celle de la première surface; ce sera donc l'intégrale de l'équation aux différences partielles proposée.

Cette méthode est celle, comme on voit, que nous avons développée dans la Note XXX sur les surfaces réciproques de Monge, comme ayant pu avoir été l'objet de cette théorie des surfaces réciproques.

Cette méthode, considérée analytiquement et abstraction faite de toute considération géométrique, n'est au fond qu'un mode de transformation algébrique, dont les relations entre les variables correspondantes nous sont indiquées à priori par l'expression analytique des relations qui ont lieu entre les figures corrélatives construites suivant le principe de dualité.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

§ 9. Voici quelle sera la seconde manière de faire servir le principe de dualité a la découverte de divers théorèmes d'algèbre.

Que Ton ait trouvé par ce principe un théorème de Géométrie ; et qu'en cherchant à démontrer ce théorème par l'analyse, c'est-à-dire, par la méthode des coordonnées, on éprouve une difficulté insurmontable provenant de l'imperfection actuelle de la science algébrique, on cherchera à préciser le point de difficulté, ou en d'autres termes, la notion algébrique qu'il serait nécessaire d'admettre pour arriver à la conclusion désirée. Cette notion algébrique sera un théorème d'algèbre, qui se trouvera, de la sorte, démontré par des considérations géométriques.

Un exemple éclaircira suffisamment cette manière de procéder.

Supposons qu'on veuille démontrer par la méthode des coordonnées en usage, ce théorème : Si à une surface géométrique donnée on mène tous ses plans tangens parallèles à un même plan transversal, leurs points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes distances un même point de l'espace , quelle que soit la position du plan transversal.

En représentant par F y, z)=o l'équation de la surface, on trouve que les coordonnées des points de contact des plans tangens, sont données par cette équation et par les deux suivantes :

f/F rfF

di dx

dF . dF

dï+bdT = 0>

a et b étant les deux quantités angulaires qui déterminent la direction commune aux plans tangens. Eliminant y et s entre ces trois équations, on aura une équation résultante en x dont les racines seront les abscisses des points de contact des plans tangens avec la surface. Il faudra donc, d'après le théorème énoncé, que la somme de ces racines soit la même, quelle que soit la direction commune des plans

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

tançons, c'est-à-dire, quels que soient les deux paramètres a et h. De là résulte donc ce théorème d'algèbre : Si entre les trois équations

V, ») = «i dT d?

dV d¥

dy dz

on élimine les deux variables y et z, V équation résultante en x aura la somme de ses racines indépendante des deux coefficiens a et b.

Cet exemple suffit pour montrer comment on fera usage du principe de dualité pour établir des théorèmes d'algèbre.

S 10. Les idées de dualité que nous avons appliquées, dans les para- Af^t»,^^^ graphes précédens, à deux doctrines géométriques, la méthode des coordonnées de Descartes , et la théorie des transversales , et à une théorie algébrique, l'intégration des équations aux différences partielles, peuvent s'étendre à d'autres parties des mathématiques, principalement à la dynamique. Mais ce n'est point ici le lieu de traiter ce sujet pour lequel nous renvoyons à la Note XXXIV.

§ 1 1 . La seconde partie de cet écrit sera consacrée au second principe général en question, celui de déformation des figures.

Comme les figures que Ton a à considérer dans les applications de ce principe sont du même genre, c'est-à-dire, qu'à chaque point, à chaque droite , à chaque plan de l'une correspondent respectivement un point, une droite, un plan dans l'autre, ainsi que cela a lieu, par exemple , dans deux figures semblables , ou bien dans deux figures planes dont l'une est la perspective de l'autre, nous appellerons ces figures homographiques ; et le principe en question sera dit principe de déformation homographique , ou simplement principe d'homographie.

§ 12. Il ne paraîtra peut-être pas inutile, avant d'entrer en matière,

262 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

de bien préciser le caractère philosophique de ce principe, et la nature de ses applications dans la Géométrie rationnelle. v^au pnoapedw Sa destination première est de généraliser les propriétés de l'étendue.

De là naissent deux usages distincts auxquels il sera propre. Car cette généralisation peut se faire de deux manières; elle peut porter sur la construction et sur la forme de la figure , ou bien sur les propriétés de cette figure.

Dans le premier cas la question qu'on se propose est celle-ci : Connaissant les propriétés d'une certaine figure, en conclure les propriétés analogues dune figure du même genre , mais d une construction plus générale.

Par exemple, étant données certaines propriétés du cercle ou de la sphère, en conclure les propriétés correspondantes des sections coniques ou des surfaces du second degré.

Dans le deuxième cas, la question peut être énoncée ainsi : connaissant quelques cas particuliers dune certaine propriété générale inconnue dune figure, en conclure cette propriété générale.

Par exemple : prenons trois diamètres conjugués d'une surface du second degré ; on sait que la somme de leurs carrés est égale à une quantité constante. Ce théorème donnera lieu à cette question : étant donnée une surface du second degré, et étant pris un point quelconque dans l'espace, par lequel on mène trois droites; à quelles conditions de construction devront satisfaire ces droites, pour que dans le cas particulier où ce point serait le centre de la surface, elles deviennent trois diamètres conjugués ; et quelle sera la propriété de ces trois droites qui deviendra celle des trois diamètres conjugués que nous avons énoncée?

Ainsi, on conçoit bien les deux questions générales auxquelles est destiné le principe de déformation honwgraphique.

S 13. La première de ces deux questions donne lieu à une véritable méthode de recherches.

En effet, qu'il s'agisse de démontrer telle propriété d'une figure; on prendra, parmi l'infinité des figures homographiques possibles, celle dans laquelle, à raison de sa simplicité ou d'autres circonstances,

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 263

le théorème sera, sinon évident, au moins d'une démonstration plus facile. C'est ainsi que l'on a souvent réduit , par l'emploi de la perspective, la recherche des propriétés des coniques à celles du cercle.

§ 14. Sous le point de vue de la seconde question, le principe de déformation homographique peut être regardé comme appartenant à la classe des méthodes inverses. L'opération à laquelle il est propre est l'inverse de celle que nous pratiquons journellement pour conclure d'un théorème général les cas particuliers qui s'y rattachent. Considéré comme une telle méthode, ce principe mérite peut-être quelque attention. En effet, quoi qu'il soit toujours facile en Géométrie de passer d'une vérité à ses corollaires, qui sont autant de vérités moins générales que la première, on n'a point encore de règles inverses pour passer de l'une de ces vérités particulières à la vérité générale. L'iuduction, l'analogie ou quelques considérations particulières, peuvent bien, dans certains cas, mettre sur les traces de cette vérité primitive et la faire deviner; mais ensuite sa démonstration devient une question toute nouvelle, pour laquelle on n'a aucune méthode spéciale. Le principe ({homographie, et les différcns modes de déformation qui en émanent, offrent une méthode de ce genre, véritable méthode de généralisation , la seule, je crois, que l'on ait encore tenté d'introduire dans la Géométrie rationnelle '. On appréciera

1 Oserai-jc, par suite de ce» considérations, indiquer un point do ressemblance entre cette méthode et le calcul intégral. Le but est le même dans l'un et l'autre; il s'agit de passer d'une dérivation d'un objet à cet objet.

Étant donnée une quantité , on sait toujours , et à l'instant même , trouver sa différentielle ; mais pour la question inverse : étant donnée une quantité ou une équation différentielle , trouver son intégrale ; on n'a point de méthodes générales. Pareillement , étant donnée une proposition générale, on peut énoncer sur le champ ses cas particuliers; et dans la question inverse, où, étant donné un cas particulier d'une proposition générale inconnue, ou demande de déterminer cette proposition générale , on n'a point non plus de méthode générale.

Ce rapprochement paraîtra peut-être moins étrange , si nous disons que le caractère plus particulier du principe d'homographie , parmi les autres modes de transformation des figures , est do passer, comme dans le calcul intégral, de l'infini au fini. Ce sont les propriétés d'une figure qui a des parties à l'infini qu'on veut , le plus souvent, dans les applications du principe d'homographie, transporter à une figure du même genre , mais dont les mêmes parties sont placées à des distances finies.

264 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

l'utilité de telles méthodes pour hâter les progrès de la science. Car il n'est point de découverte un peu capitale dont on n'ait rencontré, dès long-temps auparavant, quelques germes et quelques cas particuliers, qui auraient, pu sur-le-champ, à l'aide de ces méthodes de généralisation, conduire a cette découverte. Il est donc important de rechercher et de cultiver ces sortes de méthodes.

§ 15. Nous ferons diverses applications du principe de déformation homographique : l'une d'elles portera sur le système de coordonnées qui constitue la Géométrie de Descartes, et conduira à un nouveau système de Géométrie analytique plus général, et qui serait propre a la démonstration directe par l'analyse, des propositions que ce principe aurait servi à démontrer comme généralisation de celles auxquelles s'applique la doctrine de Descartes.

S 16. Le principe général de déformation homographique compnn , a h^». prenj pjusjeurs méthodes particulières, qui serviront pour des questions spéciales et plus restreintes. Nous en distinguerons trois principales :

La première sera la théorie des figures homologiques de M. Poncelet, qui servira, par exemple, pour déduire des propriétés de la sphère une foule de propriétés des surfaces du second degré de révolution qui ont un foyer; mais nous y joindrons le principe des relations métriques, sans lequel cette élégante théorie ne pourrait atteindre à une foule de questions, et serait incomplète

La seconde sera une méthode propre à l'extension des relations angulaires, qui servira particulièrement pour appliquer les propriétés de la sphère aux surfaces du second degré de révolution qui n'ont pas de foyer. Aucune des méthodes de transformation n'a encore été propre A ce genre de recherches.

Et la troisième sera destinée à une classe très-nombreuse de propriétés appartenant à la Géométrie des mesures, c'est-à-dire aux lou-

1 Par exemple, ce principe des relations de grandeur est indispensable pour connaître les propriétés métriques du système de deux coniques quelconques , dont M. Poncclet a donne les propriétés descriptives; il en est de même pour la théorie des bas-reliefs dont les propriétés métriques ne sont pas moins importantes que leurs propriétés purement descriptives.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE

gueurs, surfaces et volumes des figures, ce sera la traduction en pure Géométrie de la méthode analytique que nous avons déjà employée pour transporter aux surfaces du second degré, les propriétés de la sphère. Cette méthode nous servira particulièrement pour démontrer, par pure intuition, les belles propriétés connues, et plusieurs autres des diamètres conjugués des surfaces du second degré, que Ton n'a démontrées jusqu'ici qu'avec le secours de l'analyse.

S 17. En général, nos applications du principe d'homographie aux surfaces du second degré, nous conduiront naturellement à de nombreuses propriétés de ces surfaces, que les procédés analytiques, employés jusqu'à ce jour, n'avaient point encore indiquées; et ces applications feront peut-être voir qu'il est possible de baser sur de pures considérations de Géométrie et sans le secours du calcul, une théorie très-étendue des surfaces du second degré, ainsi que nous l'avons annoncé plus haut. L'analyse a de si beaux et de si immenses avantages sur la Géométrie, en tant d'autres circonstances, qu'on nous permettra d'ajouter ici que, dans cette théorie des surfaces du second degré, elle les cède à la méthode géométrique. Celle-ci y est beaucoup plus rapide et plus féconde que la voie du calcul; elle est aussi plus lumineuse, parce que ne tirant ses ressources que de la nature même des choses, et sans considérations auxiliaires, elle montre mieux l'enchaînement des propositions, pénètre jusqu'à leur source, et peut conclure de quelque relation primordiale entre les figures, une infinité de déductions qui font autant de propositions diverses dont les rapports n'apparaîtraient pas toujours dans les formules et les transformations analytiques, et qui, dès lors, exigeraient des démonstrations différentes, souvent longues et pénibles

S 18. Indépendamment des usages du principe d'homographie,

1 Nous croyons avoir déjà présenté dans notre Mémoire sur le» propriété» de» cône» du tecond degré, un exemple des avantages que la méthode géométrique peut avoir souvent sur l'analysu dans la théorie des surfaces du second degré. Car , outre que la méthode analytique n'avait point mis sur la voie des divers théorèmes auxquels des considérations géométriques nous ont conduit, elle le» démontrerait plus longuement que nous n'avons Tait; co dont nous nous sommes convaincu en traduisant nos premières démonstrations en analyse.

Ton. XI. 34

266 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

comme moyen de démonstration et de généralisation des propriétés de l'étendue, ce principe, en lui-même, renferme un troisième genre d'utilité, qui consiste dans la notion même de Y homographie des figures. En effet, la considération de deux figures homographiques, et la connaissance des rapports qui les lient l une à l'autre, présentent des vérités géométriques nouvelles , auxquelles peuvent se rattacher, comme corollaires, une foule de théorèmes connus, et qui peuvent conduire a beaucoup d'autres résultats nouveaux qu'on n'obtiendrait que difficilement sans le secours de cette doctrine des figures homographiques.

Par exemple, nous dirons que les diverses manières de décrire les coniques, données par Newton , Maclaurin , De Witt, etc., et un grand nombre de propriétés de ces courbes, qui paraissent n'avoir aucun rapport entre elles, sont des conséquences immédiates de la théorie des figures homographiques. ( Voir les Notes XV et XVI.)

Les propriétés que présente le système de deux corps parfaitement égaux, et même de deux corps semblables situés d'une manière quelconque dans l'espace, sont aussi des conséquences de cette même théorie. Et ces propriétés, qu'on n'a point encore cherchées, sont nombreuses et conduisent à divers théorèmes curieux sur le mouvement infiniment petit, et même sur le déplacement fini quelconque d'un corps solide '.

IVous ne considérerons, dans ce mémoire, les figures homographiques que comme moyen de déformation propre ù la démonstration et à la généralisation des théorèmes ; nous proposant d'exposer dans un autre écrit particulier leurs propriétés générales dont nous venons de parler.

Conclusion.

$ 19. Après les considérations que nous venons de développer, sur

• Nom citerons, par exemple, ce théorème qui peut entrer dam les principes de la mécanique pratique : On peut toujours transporter un corp* solide d'une première position dant une autre position déterminée, par le mouvement continu d'une ris à laquelle on aurait fixé ce corps. ( Voir le Bulletin unircrsel des sciences, novembre 1830 ; ou la Correspondance mathématique d* Bruxelles, tom. VII, pag. 382).

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

la nature et la destination des deux principes de dualité et d'homographie, on pensera peut-être que s'il doit exister, dans la science de l'étendue, quelques lois primordiales vraiment grandes et fécondes, comme en analyse le calcul infinitésimal qui a résumé et perfectionné toutes les méthodes de quadratures et do maxima, comme en mécanique le principe des vitesses virtuelles d'où Lagrange a tiré tous les autres, comme dans les phénomènes célestes la grande loi de Newton on pensera peut-être, dis-je, que les deux simples théorèmes de Géométrie, d'où dérivent les deux principes de dualité et d'homographie, sont de ceux qui approchent le plus, dans l'état actuel de la Géométrie, de ces grandes lois générales qui nous sont encore inconnues.

Ces deux théorèmes, en effet, embrassent dans leurs conséquences directes, non-seulement une multitude de vérités particulières, mais aussi des théories et des méthodes fécondes et d'une grande portée.

Sans entrer dans le détail des applications de ces deux théorèmes, et des routes nouvelles qu'ils ouvrent aux spéculations géométriques, il nous suffira de dire que le premier divise en deux grandes classes toutes les propriétés de l'étendue; qu'il n'en est pas une, quelque générale qu'elle soit, qu'il ne serve à convertir en une autre aussi générale dans son genre;

Que le second généralise toutes les vérités particulières et isolées , en montre les rapports communs, et les lie entre elles en les rattachant

1 C'est l'opinion, sans cloute, des personnes accoutumées à contempler plus particulièrement les propriétés de l'étendue, leur nature, leur enchaînement et surtout cette continuité merveilleuse, qui leur donne, à un degré éminent, un caractère d'extensibilité indéfinie, que ne présentent point d'autres sciences positives; celle des nombres, par exemple. Cette opinion sur la Géométrie et son avenir est celle d'un savant, à qui ses travaux dans plusieurs parties différentes des sciences mathématiques, et la place distinguée qu'il n déjà prise, quoique jeune, dans les premières académies de l'Europe, donnent une grande autorité : « Il est fà- » cheux, m'écrivait M. Quctelet, que la plupart des mathématiciens de nos jours jugent si

» défavorablement de la Géométrie pure Il m'a toujours paru que ce qui les retient

» le plus est le défaut de généralité des méthodes qu'il» pensent y voir. Mais est-co bien la » faute de la Géométrie , ou de ceux qui l'ont cultivée? Je serai très -disposé à croire qu'il » existe quelques grandes vérités qui doivent être pour ainsi dire la sourco de toutes les » autres , à peu près comme le principe des vitesses virtuelles est pour la mécanique. »

HISTOIRE DR LA GÉOMÉTRIE

à une seule et même vérité générale ; et ce théorème comprend aussi , comme le premier, des méthodes dans ses innombrables corollaires.

S 20. Les principes de dualité et d'homographie, et les diverses méthodes qui en dérivent; les autres modes de transformation que nous avons reconnus dans la Géométrie descriptive de Monge et dans la Géométrie perspective de M. Cousincry, et celui que fournit la théorie des projections stéréographiques, font, avec la théorie des transversales, les plus puissantes doctrines actuelles de la Géométrie récente, et lui donnent un caractère de facilité et d'universalité qui la distingue de la Géométrie ancienne.

Ces modes de transformation, en effet, sont autant de moyens sûrs, de moules, pour ainsi dire, qui servent à créer à volonté des vérités géométriques sans nombre.

Qu'on prenne une figure quelconque dans l'espace, et l'une de ses propriétés connues; qu'on applique à cette figure l'un de ces modes de transformation, et qu'on suive les diverses modifications ou transformations qu'éprouve le théorème qui exprime cette propriété, on aura une nouvelle figure, et une propriété de cette figure, qui correspondra à celle de la première.

Ces moyens, que possède la Géométrie récente, de multiplier ainsi à l'infini les vérités géométriques, peuvent être assimilés aux formules et aux transformations générales de l'algèbre , qui donnent avec sûreté et promptitude la réponse aux questions diverses qu'on leur soumet, ou bien , en quelque sorte , aux réactifs du chimiste , qui opèrent d'une manière sûre et invariable la transmutation des matières qu'il leur présente; ces moyens sont donc de véritables instrumens, que ne possédait point l'ancienne Géométrie, et qui font le caractère distinctif de la Géométrie moderne.

Dans la Géométrie ancienne, les vérités étaient isolées; de nouvelles étaient difficiles à imaginer, à créer; et ne devenait pas géomètre inventeur qui voulait.

Aujourd'hui, chacun peut se présenter, prendre une vérité quelconque connue, et la soumettre aux divers principes généraux de i i ans-

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

formation; il en retirera d'autres vérités, différentes ou plus générales ; et celles-ci seront susceptibles de pareilles opérations; de sorte qu'on pourra multiplier, presque a l'infini, le nombre des vérités nouvelles déduites de la première : toutes, il est vrai, ne mériteront pas de voir le jour , mais un certain nombre d'entre elles pourront offrir de l'intérêt et conduire même à quelque chose de très-général.

Peut donc qui voudra, dans l'état actuel de la science, généraliser et créer en Géométrie ; le génie n'est plus indispensable pour ajouter une pierre a l'édifice.

Aussi croyons-nous pouvoir regarder la Géométrie dans un état prononcé de progrès et de perfectionnemens rapides ; et pensons-nous qu'on peut dire aujourd'hui, avec raison, de cette science, ce qui a paru, dans un temps, faire le caractère exclusif de la Géométrie analytique : « L'esprit de la Géométrie moderne est d'élever toujours les w vérités soit anciennes, soit nouvelles, à la plus grande généralité » qu'il se puisse '. »

' Fontanelle , Histoire de l'Académie de, sciences, nnn. 1704 ; svr tes spirales à finfini.

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