AB.AB' A'B.A'B

AC.AC À'C.A'C

Ainsi chacune des trois équations (A) comporte les deux autres.

(5) La propriété des six points, d'être en involution, peut être exprimée par une équation entre six segmens seulement , formés par ces points entre eux. Cette équation sera :

AB'.BC'.CA' = AC'.CB'.BA' , on AB.BC.C'A' = AC.C'B'.BA' , ou AB.B'C'.CA' = AC'.CB.B'A' , ou AB.B'C.C'A' = AC.C'B.B'A'.

Ainsi chacune de ces quatre équations (B) exprime Y involution àes six points, et suffit pour que les trois autres aient lieu.

(6) Les équations (B) se déduisent facilement des équations (A) par voie de mullipli-

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cation; et, réciproquement, celles-ci se déduisent aussi, aisément, des équations (B). Mais, puisque chacune des sept équations constitue, à elle seule, l'involution des six points, il faut que d'une quelconque on puisse aussi déduire celles du même groupe ; c'est-à-dire d'une des trois équations (A) les deux autres; et d'une des équations (B) les trois autres. C'est en effet ce que l'on peut faire par le calcul , en transformant les difTércns segmens de l'équation proposée en d'autres qui se prêtent à la démonstration cherchée. Mais cette sorte de vérification à posteriori est longue, exige des tàtonncmens, et n'a rien d'élégant

Aussi l'on se sert , pour montrer que l'une des sept équations (A) et (R) comporte les six autres, d'une propriété géométrique des six points, à savoir: qu'on peut faire passer par ces six points, les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère. C'est ainsi qu'ont fait MM. Brianchon et Foncelet.

Mais nous avons trouvé que la notion du rapport anharmonique de quatre points procure une démonstration encore plus simple et plus directe, et conduit à beaucoup d'autres relations qui auront, comme les équations (A) et (B), leur degré d'utilité Nous traiterons de cet objet dans la deuxième partie de celte Note.

(7) Les équations (A), entre huit segmens, sont faciles à former. La nature des relations (B), dans chacune desquelles n'entrent que six segmens, ne paraît pas aussi facile, au premier abord , à saisir ni à exprimer. Mais cependant voici une règle que nous croyons que l'on pourra retenir sans efforts de mémoire.

Qu'on prenne trois points A, B, C, appartenant aux trois couples; chacun deux fera deux segmens avec les conjugués des deux autres; on aura ainsi six segmens; le produit de trois de cet segment, qui n'ont pat d'extrémité" commune , ett égalait produit du troit atttret.

(8) Considérons un quatrième système de deux points conjugués D, D', et supposons que ces deux points forment une iuvolulion avec les quatre A, A' et B, B'; on aura l'équation :

AB.AB' A'B.A'B' AD. Ali' ~ A'D.A'D' ;

La comparant avec la troisième des équations (A), on en conclut

AC. AC A'C.A'C