CHAPITRE PREMIER
né 639 «I
J) 1 . La Géométrie prit naissance chez les Chaldécns et les Égyptiens.
t«*ti$, Thalès qui, né en Phénicie , alla s'instruire en Égypte, et vint ensuite moniw.n. s'établir à Milet, y fonda l'école ionienne, d'où sont sorties les sectes des philosophes de la Grèce, et où commencèrent les premiers progrès de la Géométrie.
Pythagore, né à Samos, disciple de Thalès, qui, comme lui, avait j.-c voyagé en Égypte, puis dans les Indes, vint se retirer en Italie, et y fonda son école, beaucoup plus célèbre que celle d'où elle dérivait. Ce fut principalement à Pythagore, qui incorpora la Géométrie dans sa philosophie, et a ses disciples, que cette science dut ses premières découvertes. Les principales furent la théorie de Y incommensurabilité de certaines lignes , comme la diagonale du carré comparée au côté ; et la théorie des corps réguliers. Ces premiers pas dans la science de l'étendue n'offrirent, du reste, que quelques propositions élémentaires, relatives à la ligne droite et au cercle. Les plus remarquables sont le théorème du carré de thypothénuse d'un triangle rectangle, dont la découverte coûta, dit l'histoire, ou la fable, une hécatombe à Pythagore; et la propriété qu'ont le cercle et la sphère d'être des maxima parmi les figures de même périmètre ou de même surface : propositions qui offrent le premier germe de la doctrine des isopérimètres.
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$» 2. La Géométrie fut ainsi restreinte jusqu'à la fondation de l'école platonicienne, époque de ses grands progrès.
U'Iaton, comme les sages de la Grèce qui l'avaient précédé, alla ,uxo*. s'instruire dans les mathématiques chez les prêtres égyptiens ; puis en ™-*" «•*»-& Italie auprès des pythagoriciens.
IDe retour à Athènes , ce chef du Lycée introduisit dans la Géométrie1 la méthode analytique 1 , les sections coniques, et la doctrine des lietns géométriques. Découvertes mémorables, qui firent de la Géométrie, pour ainsi dire, une science nouvelle, d'un ordre plus élevé que la Géométrie élémentaire cultivée jusque là, et que les disciples de Platon appelèrent Géométrie transcendante.
La doctrine des lieux géométriques 3 fut appliquée , dès ce temps , d'une manière très-savante, aux fameux problèmes de la duplication du cube, des deux moyennes proportionnelles , et de la trisection de [angle.
Le premier de ces problèmes, célèbre par sa difficulté et par son ■»*•*■*»•■ cm, origine fabuleuse , avait déjà occupé les géomètres. Hippocrate de Chio, 4W> J "c si connu par la quadrature de ses lunules, l'avait réduit à la recherche
1 La définition suivante de Yanalyse et de la synthèse, rapportée par Viète , nu commencement do son Isagoge in a rte m analyticem , caractérise parfaitement les deux méthodes des Anciens: u II est en mathématiques une méthode pour la recherche do la vérité, que l'Iaton » passe pour avoir inventée, que Théon a nommée analyse et qu'il a définie ainsi : Regarder » U chose cherchée, comme si elle était donnée, et marcher de conséquences en conséquences, » jusqu'à ce que Von reconnaisse comme craie la chose cherchée. Au contraire , la synthèse se » définit : Partir d'une chose donnée , pour arriver de conséquences en conséquences à trouver une » chose cherchée. »
i On appelle lieu, en Géométrie, une suite de points dont chacun résout une question proposée , ou jouit d'une certaine propriété dont ne jouit pas aucun autre point pris au dehors de ce lieu. Les Anciens distinguèrent le» lieux géométriques en diverses classes. Us nommèrent plan» la ligne droite et la ligne circulaire dont la génération a lieu sur un plan ; lieux solides les sections coniques , parce qu'on concevait leur génération dans le solide ; enfin lieux linéaires toutes les courbes d'un ordre supérieur , telles que le» conchoïdes, les cissoïdes , les spirales et les quadratricos.
On a appelé théorème local, un théorème où il s'agit de démontrer qu'une suite de points d'une ligne, droite ou courbe, satisfait aux conditions d'une question proposée, et problèmo local celui où il s'agit de trouver une suite de points dont chacun satisfasse à une question proposée.
de deux moyennes proportionnelles entre le côté du cube donné eti le double de ce coté; ce qui probablement a douné lieu au problème* général des deux moyennes proportionnelles.
Celui-ci a été résolu de différentes manières qui toutes font honn eur aux géomètres de l'antiquité. La première solution est due a Platon, qui employa un instrument composé d'une équerre sur l'un des c&tés de laquelle glisse une droite qui lui est perpendiculaire, et reste conséquemment parallèle au second côté; premier exemple sans doute, d'une solution mécanique d'un problème de Géométrie. • i
Menechme, disciple de Platon, se servit des lieux géométriques, qui furent deux paraboles, ayant même sommet et leurs axes rectangulaires ; ou bien une parabole et une hyperbole entre ses asymptotes.
Eudoxe, autre disciple et ami de Platon, se servait de certaines courbes qu'il avait inventées pour cet objet ; malheureusement sa solution ne nous est point parvenue ; et nous ne savons quelles étaient ses courbes.
La solution d'Architas, célèbre pythagoricien dont Platon avait suivi les leçons en Italie, était purement spéculative ; mais elle a cela de remarquable qu'elle faisait usage d'une courbe à double courbure , qui parait être la première qui ait été considérée par les géomètres; du moins elle est la plus ancienne de celles qui nous sont parvenues ».
Les quatre solutions du problème des deux moyennes proportionnelles que nous venons de citer sont, comme on voit, essentiellement différentes. Ce problème continua pendant un grand nombre de siècles d'occuper les géomètres, qui en multiplièrent les solutions. Eutocius,
1 Voici la description de cette courbe : « Que, mr le diamètre de la base d'un cylindre » droit circulaire, on conçoive un demi-cercle dont le plan soit perpendiculaire à celui de la » base du cylindre ; que le diamètre tourne autour d'une de ses extrémités et emporte, dans » ce mouvement circulaire, le demi-cercle, toujours situé dans un plan perpendiculaire à » celui de la base du cylindre -, ce demi-cercle rencontrera dans chacune de ses positions la » surface cylindrique en un point; la suite de tous ces points formera la courbe à double » courbure en question. »
Pour résoudre le problème des deux moyennes proportionnelles, Architas coupait celte courbe par un cone de révolution autour de l'arête du cylindre, menée par l'extrémité fixe du diamètre du demi-cercle mobile ; le point d'intersection donnait la solution cherchée.
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mathématicien du VIe siècle , rapporte , dans son commentaire sur le second livre de la sphère et du cylindre d'Archimède, celles d'Ératosthène, d'Apollonius, de Nicomède, de Héron , de Philou de Bisance, de Pappus, de Dioclès et de Sporus. IVous citons ces mathématiciens suivant l'ordre chronologique.
§ 3. Les savantes méthodes ébauchées par Platon et ses disciples, furent cultivées avec ardeur par leurs successeurs, et fournirent la matière à plusieurs ouvrages assez considérables, où furent développées les principales propriétés de ces célèbres courbes, les sections coniques qui, deux mille ans après, ont joué un si grand rôle dans le mécanisme de l'univers, lorsque Kepler les reconnut pour les vraies orbites parcourues par les planètes et leurs satellites, et que Newton découvrit dans leurs foyers les points mêmes où résident les forces qui animent tous les corps du système du monde.
Le principal de ces ouvrages était d'Aristée ; il contenait cinq tunfe, livres sur les sections coniques; les Anciens en parlent avec beaucoup »«« »»»»«« '.-c. d'éloges; mais malheureusement ils ne nous sont point parvenus; non plus que cinq livres sur les lieux solides du même géomètre
§ 4. C'est à peu près à cette époque que remonte la découverte de mtomm. la quadralrice de Dinostrate. Cette courbe dont la principale propriété la rend propre à la division d'un angle en un nombre quelconque de parties proportionnelles à des lignes données, parait avoir été inventée pour résoudre le problème de la trisection de l'angle, agité dans l'école de Platon. Elle résoudrait aussi le problème de la quadrature du cercle, si l'on savait la construire géométriquement; et c'est cette propriété qui lui a fait donner, chez les Anciens, le nom de quadratrice. Il parait, d'après Pappus, que cette propriété a été découverte
• Ce» cinq livres sur les lieux lolides, dont parle Pappns dans le 7* livre de ses Collection* mathématiques , ont été rétablis sur cette indication , par Viviani , dans le style pur de la géométrie ancienne, sous ce titre : De locit tolidù secundo divinatio geometrica t'n quinque libro* *njuriâ temporum amiuos Arittci «en ions geotnelrœ auclore fincentio Ficiani, etc. ( In-fol., Florence, 1701 ). Viviani avait déjà rétabli (en 1689) le 5* livre des coniques d'Apollonius, dont on n'avait alors que les quatre premiers , et qui a été retrouvé avec les O" et 7" par Borelli, pendant que Viviani terminait sou travail.
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par Dinostrate, frère de Menechme. De là, les Modernes ont appelé cette courbe la quadratrice de Dinostrate. Cependant il semble résulter de deux passages de Proclus 1 que Hippias , géomètre et philosophe contemporain de Platon, en est le véritable inventeur, et en avait démontré les propriétés s.
ntttct. S 5. C'est dans ces premiers temps de la Géométrie que nous parait devoir être placé Pcrseus, qui mérite quelque célébrité pour l'invention de ses lignes spiriques. Ce géomètre formait ces courbes en coupant, par un plan, la surface annulaire, ou tore, que produit la révolution d'un cercle autour d'un axe fixe, mené dans son plan.
Il ne nous reste d'autres renseignemens sur ce sujet qu'un passage de Proclus, dans son commentaire sur le 1er livre d'Euclide *, où il décrit distinctement la génération de ces courbes dans la surface annulaire, et en attribue l'invention à Perseus.
Quelques lignes plus bas, Proclus ajoute que Geminus avait écrit sur ces lignes spiriques. Ce document est précieux, parce qu'il prouve l'antériorité de Pcrseus sur Geminus qu'on sait avoir vécu vers le temps d'Hipparque, dans les deux premiers siècles avant l'ère chrétienne.
Il est à regretter que les écrits de Perseus et ceux de Geminus ne nous soient pas parvenus; il serait intéressant de voir leur théorie géométrique de ces spiriques, qui sont des courbes du quatrième degré, dont l'étude semble exiger aujourd'hui des équations de sur-
1 V oy. la proposition 9 du livre 3 , et le commencement du 4» livre du Commentaire de Proclus sur le 1" livre d'Euclide.
2 Le P. Léotaud , géomètre du XVII' siècle , très-versé dans la Géométrie ancienne , a écrit sur cette courbe un traité , où il lui découvre une infinité de propriétés curieuses , qui répondent au titre du livre : Liber in quo mirobiles quadratricis facultates varia exponuntur. L'auteur la compare à la spirale d'Archimède et à la parabole ; la fait servir à la détermination des centres de gravité; lui reconnaît des branches infinies , etc. Jean Bcrnoulli a aussi découvert quelques propriétés de cette courbe. ( V oy. tom. I", pag. 447 de ses OEuvres , et tora. II , pag. 176 et 179 du Commerce èputolaire avec Leibnits. )
* Sur la définition quatrième d'Euclide.
Proclus parle aussi des spiriques dans son commentaire de la définition septième, et au commencement de son 4* livre, où il dit encore le* spiriques de Perseus.
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faces, et un calcul analytique assez profond (voyez la note 1 ).
§ 6. Euclide, le célèbre auteur des Élémens de Géométrie, établit le lien entre l'école de Platon, où il avait étudié, et celle d'Alexandrie, qui prenait naissance.
Beaucoup de géomètres chez les Grecs avaient écrit, avant Euclide, sur les élémens de Géométrie ; Proclus nous transmet leurs noms, et y distingue Ilippocratc de Chio; Léon, dont l'ouvrage était plus plein, plus utile que celui de son prédécesseur ; Theudius de M . • sie , recommandable pour l'ordre qu'il avait mis dans sa rédaction; Iicrmotime de Colophon, qui, perfectionnant les découvertes d'Eudoxe et de Thœtète , mit aussi beaucoup du sien dans les élémens. Peu de temps après vint Euclide, « qui, ajoute Proclus, rassembla les élé- » mens, mit en ordre beaucoup de choses trouvées par Eudoxe, » perfectionna ce qui avait été commencé par Thœtète, et démontra m plus rigoureusement ce qui n'avait encore été que trop mollement » démontré avant lui. »
Euclide introduisit dans les élémens de Géométrie, la méthode appelée Réduction à Vabsurde, qui consiste à prouver que toute supposition contraire a une proposition énoncée conduit à quelque contradiction ; méthode utile surtout dans les questions où l'infini se présentait sous la forme des irrationnelles, dont Archimède dans plusieurs de ses ouvrages, et Apollonius dans son 4e livre des coniques, ont fait un usage heureux, et dont les géomètres, de nos jours encore, ont tiré un grand parti , dans des questions où la science n'était pas encore assez avancée pour procurer des démonstrations directes, les seules qui mettent une vérité dans toute son évidence, et qui éclairent et satisfassent pleinement l'esprit.
Les élémens dTîuclide sont en treize livres. On y joint ordinairement deux autres livres sur les cinq corps réguliers, attribués à Hypsicle, géomètre d'Alexandrie, postérieur à Euclide de 150 ans.
<( Pour se former une idée de l'ouvrage entier, on pourrait le con-
» Proclus , livre 2, chap. IV, de ion Commentaire lur le 1" livre d'Euclide.
To». XI. 2
•<anl J.-C.
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sidérer comme composé de quatre parties. La première comprendrait les 6 premiers livres, et se diviserait en trois sections; savoir : la démonstration des propriétés des figures planes, traitée d'une manière absolue, et comprise dans les livres 1 , 2, 3 et 4; la théorie des proportions des grandeurs en général, objet du 5e livre; et l'application de cette théorie aux figures planes. La seconde partie renfermerait les 7e, 8e et 9e livres, qu'on désigne par l'épithète d'arithmétiques, parce qu'ils traitent des propriétés générales des nombres. La troisième partie serait formée du 10e livre seulement, où l'auteur considère en détail les grandeurs incommensurables. La quatrième partie, enfin, se composerait des 5 derniers livres, qui traitent des plans et des solides. De tout ce grand corps de doctrine, on n'a fait passer dans l'enseignement que les 6 premiers livres, le 11* et le 12e '. »
S 7. C'est surtout à ses Élément qu'Euclide doit la célébrité de son nom. Mais ce n'était pas le seur de ses ouvrages qui méritât l'admiration. Ce grand géomètre avait reculé les bornes de la science par divers autres écrits, qui ne lui feraient pas moins d'honneur, s'ils nous étaient parvenus. L'un d'eux seulement, mais le moins important, intitulé les Données , nous est connu. C'est une continuation des Êlémens , destinée à en faciliter les usages et les applications à toutes les questions qui sont du ressort de la Géométrie.
Euclide appelle donné , ce qui résulte immédiatement, en vertu des propositions comprises dans ses Êlémens , des conditions d'une question.
Par exemple : a Si, d'un point donné on mène une droite qui touche un cercle donné de position, la droite menée est donnée de position et de grandeur. » (Proposition 91 des Données d'Euclide.)
Les propositions des Données étaient toujours citées comme celles des Êlémens, par les géomètres anciens et ceux du moyen âge , dans toutes leurs recherches géométriques; Newton même en fait usage dans ses Principes, ainsi que des coniques d'Apollonius : mais depuis ,
1 Nous empruntons cette analyse des élcmens d'Euclide de l'excellento Notice de H. Lacroix, insérée dans la Biographie Universelle.
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ces traces de l'antiquité ont disparu des écrits des géomètres, et le livre des Données n'est plus guère connu que de ceux qui étudient l'histoire de la science '.
On peut déduire aisément de quelques propositions du livre des Données , la résolution des équations du second degré, qu'on ne trouve, chez les Anciens, que dans Diophante, postérieur de plus de 600 ans à Euclide. Telle est, par exemple, cette proposition : « Si deux droites comprennent un espace donné, dans un angle donné, et si leur somme est donnée, chacune d'elles sera donnée. »( Proposition 85 )*.
Le 13e livre des Élément, qui traite de l'inscription au cercle et à la sphère des polygones et des polyèdres réguliers, contient à la suite de la 5e proposition, la définition suivante de l'analyse et de la synthèse : « Ce que c'est que l'analyse, et ce que c'est que la synthèse.
» Dans l'analyse, on prend comme accordé ce qui est demandé, » parce qu'on arrive de là a quelque vérité qui est accordée.
» Dans la synthèse, on prend ce qui est accordé, parce qu'on » arrive de là a la conclusion , ou à l'intelligence de ce qui est de- » mandé, »
Plusieurs propositions, à la suite de cette définition, sont traitées par l'analyse et par la synthèse.
§ 8. Parmi les ouvrages d'Euclidc qui ne nous sont point parvenus,
1 Eoclide fait usage, dam se» Donnée», d'une expression embarrassante dans le i ment, et dont le sens même est difficile à comprendre dans la définition qu'il en donne. Comme elle se trouve dans Apollonius et dans Pappus , et qu'elle était encore employée dans des ouvrages du dernier siècle, nous croyons utile de faire mention ici de cette expression. Euclide dit que : «Une grandeur est plus grande à l'égard d'une autre d'une donnée qu'en raison , quand la grandeur donnée étant retrauchée , le reste a avec l'autre une raison donnée. » (Définition 11* des Données.) Ainsi soit A plus grand que B d'une donnée qu'en raison-, soit c cette donnée,
et (i la raison , on aura = fx..
Euclide a voulu, comme on voit, énoncer sous forme d'une égalité a deux termes une équation à trois termes.
2 Cette question renferme la résolution des deux équations jry=a', et x y = b, qui donnent immédiatement l'équation du second degré *' — bi -s- <T = o. Ainsi la solution de la question d'Euclide donne les racines de cette équation du second degré.
Une autre proposition (la 87») résout les deux équations xy=a% et *' — ^y' = fc* , i les racines s'obtiennent par une équation du quatrième degré , réductible au second.
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les géomètres regrettent principalement quatre livres sur les sections coniques , dont il avait considérablement augmenté la théorie ; deux livres sur les lieux à la surface 1 ; et enfin , trois livres sur les porismes.
D'après la préface du 7° livre des Collections mathématiques de Pappus, il parait que ce traité des porismes brillait d'un génie pénétrant et profond , et qu'il était éminemment utile pour la résolution des problèmes les plus compliqués. ( Collectio arlificiosissima multarum rerum , quœ spectant ad analysin difficiliorum et generalium prohlematum. ) Trente-huit lemmes , que ce savant commentateur nous a laissés pour l'intelligence de ces porismes, nous prouvent qu'ils formaient un ensemble de propriétés de la ligne droite et du cercle, de la nature de celles que nous fournit, dans la Géométrie récente, la théorie des transversales.
Pappus et Proclus sont les seuls géomètres de l'antiquité qui aient fait mention des porismes; mais déjà, au temps du premier, la signification de ce mot s'était altérée, et les définitions qu'il nous en donne sont obscures. Celles de Proclus n'est pas propre à éclaircir les premières. Aussi, ça été une grande question parmi les Modernes , de savoir la nuance précise que les Anciens avaient établie entre les théorèmes et les problèmes d'une part, et ce troisième genre de propositions, appelées porismes, qui participaient, à ce qu'il paraît, des uns et des autres ; et de savoir particulièrement ce qu'étaient les porismes d'Euclide.
Pappus, il est vrai, nous a transmis les énoncés de trente propositions appartenant à ces porismes, mais ces énoncés sont si succincts, et sont devenus si défectueux par des lacunes et l'absence des figures qui s'y rapportaient, que le célèbre Ilalley, si profondément versé dans la Géométrie ancienne, a confessé n'y rien comprendre1, et
1 Nous formerons , dans la Note II , quelques conjectures sur cet ouvrage d'Euclide , qu'on n'a point encore cherché à rétablir.
2 Note de Hallcy, à la suite du texte de Pappus sur les porismes, reproduit avec la préface du 7» livre des Collections mathématiques , au commencement du traité d'Apollonius de sectionerationù, in~é°, 1706.
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que, jusque vers le milieu du siècle dernier, bien qne des géomètres d'un grand mérite (voyez la Note III) aient fait de cette matière l'objet de leurs méditations, aucun énoncé n'avait encore été rétabli.
Ce fut R. Simson qui eut la gloire de découvrir la signiûcation de plusieurs de ces énigmes, ainsi que la forme des énoncés qui était propre à ce genre de propositions.
Voici le sens de la définition que ce géomètre a donnée des portâmes :
Le porisme est une proposition dans laquelle on annonce pouvoir déterminer , et où Von détermine effectivement certaines chose/s , ayant une relation indiquée , avec des choses fixes et connues, et avec d'autres choses variables à l'infini ; celles-ci étant liées entre elles par une ou plusieurs relations connues, qui établissent la loi de variation à laquelle elles sont soumises.
Exemple : Étant donnés deux axes fixes, si de chaque point d'une droite on abaisse des perpendiculaires p, q sur ces deux axes, on pourra trouver une longueur de ligne o, et une raison a telles, que l'on ait entre ces deux perpendiculaires la relation constante - - = «■
(Ou, suivant le style ancien, la première perpendiculaire sera plus grande à l'égard de la seconde d'une donnée qu'en raison.)
Ici, les choses fixes données sont les deux axes; les choses variables sont les perpendiculaires p , q; la loi commune à laquelle ces deux choses variables sont assujéties, est que le point variable, d'où ces perpendiculaires sont abaissées, appartient à une droite donnée; enfin, les choses à trouver sont la ligne a, et la raison a, qui établiront entre les choses fixes et les choses variables de la question la relation prescrite.
Cet exemple suffit pour faire comprendre la nature des porismes, comme l'a conçue R. Simson, dont l'opinion a été généralement adoptée depuis.
Cependant nous devons ajouter que tous les géomètres n'ont pas reconnu dans l'ouvrage de Simson la vraie divination de celui d'Euclide. Pour nous, en adoptant le sentiment du célèbre professeur de Glasgow, nous dirons pourtant que nous ne trouvons pas dans son
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travail, la divination complète de la grande énigme des porismes. Cette question, en effet, était complexe, et ses différentes parties exigeaient toutes une solution que l'on cherche en vain dans le traité de Simson.
Ainsi l'on devait se demander :
1" Quelle était la forme des énoncés des porismes;
2° Quelles étaient les propositions qui entraient dans l'ouvrage d'Euclide; notamment celles dont l'indication, très-imparfaite, nous est laissée par Pappus;
3° Quels ont été l'intention et le but philosophique d'Euclide, en composant cet ouvrage dans une forme inusitée;
4U Sous quels rapports il méritait l'éminentc distinction qu'en fait Pappus, parmi les autres ouvrages de l'antiquité; car la forme seule de l'énoncé d'un théorème n'en constitue pas le mérite ni l'utilité;
5° Quelles sont les méthodes, ou les opérations actuelles, qui se rapprochent le plus, sous une autre forme, des porismes d'Euclide, et qui les suppléent dans la résolution des problèmes; car on ne peut croire qu'une doctrine aussi belle et aussi féconde ait disparu complètement de la science des géomètres;
6° Et enfin, il y aurait à donner une interprétation satisfaisante de différens passages de Pappus sur ces porismes; par exemple, de celui où il dit que les Modernes ne pouvant tout trouver par eux-mêmes, ou, en quelque sorte, porismer complètement, ont changé la signification du mot; car si le porisme n'avait consisté que dans la forme de son énoncé, comme il semble résulter du traité de R. Simson, il aurait toujours été facile de porismer toutes les propositions qui en auraient été susceptibles, et on ne voit pas pourquoi les Modernes y auraient trouvé des difficultés qui leur auraient fait changer la signification du mot.
Nous sortirions du cadre de cet écrit, en poussant plus loin ces réflexions sur la doctrine des porismes, mais ce sujet nous paraissant offrir beaucoup d'iutérét, à raison surtout de ses rapports avec les théories qui font le domaine de la Géométrie moderne, nous donnerons suite à ce paragraphe, dans la Note III, où nous essaierons même
de présenter quelques idées nouvelles sur cette grande question des porismes.
§ 9. Peu de temps après Euclide, deux hommes d'une force d'esprit imiuém, prodigieuse, Archimède et Apollonius, marquèrent la plus grande mt-ju .«-u -c. époque de la Géométrie chez les Anciens, par de nombreuses découvertes, qui ont fondé plusieurs théories des plus importantes aujourd'hui dans toutes les parties des sciences mathématiques.
La quadrature de la parabole, donnée de deux manières différentes par Archimède, fut le premier exemple de la quadrature rigoureuse d'un espace compris entre une courbe et des lignes droites.
Chacun sait que les spirales, la proportion de leur aire avec celle du cercle, et la manière d'en mener les tangentes; que le centre de gravité d'un secteur parabolique quelconque; l'expression des volumes des segmens des sphéroïdes, et des conoïdes paraboliques et hyperboliques 1 ; la proportion de la sphère et du cylindre circonscrit ; le rapport de la circonférence au diamètre, etc., sont d'autres découvertes d'Archimède. Découvertes à jamais mémorables pour la nouveauté et la difficulté qu'elles présentaient alors, et parce qu'elles sont le germe d'une grande partie de celles qui ont été faites depuis, principalement dans toutes les branches de la Géométrie qui ont pour objet la mesure des dimensions des lignes et des surfaces courbes, et qui exigent la considération de l'infini.
La question du rapport de la circonférence au diamètre était le premier cxemplo d'un problème résolu par approximation ; exemple si utile, et si souvent mis à profit dans le calcul algébrique, comme dans les constructions géométriques.
$ 10. Les procédés d'Archimède, pour démontrer des vérités si nouvelles et si difficiles, constituent la méthode dexhaustion, qui consistait à regarder la grandeur cherchée, l'aire d'une courbe, par exemple, comme la limite dont s'approchaient de plus en plus des polygones
1 Archimède appelle tphéroïdes les solides engendres par la révolution dune ellipse tournant sur son grand ou son petit axe ; et conoïdet les solides engendrés par la révolution d'une parabole ou d'une hyperbole tournant sur son axe.
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inscrits et circonscrits dont on multipliait, par la bissection, le nombre des côtés, de manière que la différence devint plus petite qu'aucune quantité donnée. On épuisait ainsi, en quelque sorte, cette différence ; d'où est venu le nom de méthode dexhaustion. Ce rapprochement continuel entre les polygones et la courbe donnait de celle-ci une idée de plus en plus précise ; et, la loi de continuité servant de guide, on parvenait à la connaissance de la propriété cherchée. Ensuite, on démontrait, en toute rigueur, le résultat ainsi obtenu, par le raisonnement ad ahsurdum.
On a dit souvent que les Anciens avaient regardé les courbes comme des polygones d'une infinité de côtés. Mais ce principe n'a jamais paru dans leurs écrits; il n'aurait pu convenir à la rigueur de leurs démonstrations; et ce sont les Modernes qui l'ont introduit dans la Géométrie, et ont simplifié par là les anciennes démonstrations. Cette idée heureuse fut le passage de la méthode d'exhaustion aux méthodes infinitésimales.
On a dit aussi que la méthode d'Arehimède était embarrassée et difficile à concevoir; et l'on s'appuie du témoignage de Boulliaud , géomètre assez habile du XVIIe siècle, qui dit n'avoir pu bien comprendre les démonstrations du livre des spirales. Mais cette opinion est contraire aux sentimens des Anciens, que l'ordre et la clarté admirables qu'Euclide avait introduits dans la Géométrie, rendaient si bons juges dans cette question. Pour la repousser avec la propre opinion des Modernes, il nous suffit de dire qu'elle est contraire aussi au sentiment de Galilée et de Maclaurin, qui avaient profondément médité sur les ouvrages d'Arehimède. « Il est vrai, ajoute Maclaurin, qu'il a cru devoir établir plusieurs propositions pour préparer à la démonstration des principaux théorèmes, et c'est ce qui a fait regarder sa méthode comme ennuyeuse. Mais le nombre de pas n'est pas le plus grand défaut qu'une démonstration puisse avoir : on doit seulement examiner s'ils sont nécessaires pour rendre la démonstration parfaite et concluante. » {Traité des fluxions, introduction. )
M. Peyrard, qui parait être de nos jours le savant qui a le plus
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approfondi, dans toutes leurs parties, les ouvrages des quatre grands géomètres de l'antiquité, Euclide, Archimède, Apollonius et Pappus, qu'il a traduits et commentés, dit formellement : « Archimède n'est m véritablement difficile que pour ceux à qui les méthodes des An- » ciens ne sont pas familières ; il est clair et facile ii suivre pour ceux » qui les ont étudiées '. »
S 11. Apollonius fit sur les sections coniques un traité en huit li- smumm*, vres. Les quatres premiers renfermaient tout ce qu'on avait écrit avant v 2V ,v"' lui sur cette matière, où il avait seulement étendu et généralisé certaines parties ; c'est ce qu'on appelait alors les Elémens des coniques ; les quatre autres comprenaient les inventions propres de ce grand géomètre.
Ce fut Apollonius qui considéra le premier les coniques dans un cône oblique quelconque à base circulaire; jusque-là on ne les avait conçues que dans le cône droit, ou de révolution; et encore avait-on toujours supposé le plan coupant perpendiculaire à l'une des arêtes du cône; ce qui obligeait à prendre trois cônes d'ouverture différente, pour former les trois sections coniques. On désignait ces courbes par les mots section du cône acutangle , section du cône oblusangle, et section du cône rectangle ; elles ne prirent les noms d'ellipse, , d'hyperbole et de parabole que dans l'ouvrage d'Apollonius î.
Tout ce savant traité repose à peu près sur une propriété unique des sections coniques, qui dérive directement de la naturo du cône où ces courtes sont formées. Cette propriété, que laissent ignorer la plupart des traités modernes, mérite que nous la fassions connaître ici, comme étant la clef de toute la doctrine des Anciens, et comme étant absolument nécessaire pour l'intelligence de leurs ouvrages.
Concevons un cône oblique à base circulaire, la droite menée de
■ Préface de la traduction des OEuvres d'Archimède.
2 Cependant les deux moU ellipte et parabole étaient connus d'Archimède. Le premier se trouve dans le titre de l'un de ses traités (de la quadrature de la parabole), quoiqu'il ne s'y rencontre jamais dans le texte : et le second commence à être employé dans la proposition 9* du livre des conoïdes et des tphèroïde».
To». XI. 3
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son sommet au centre du cercle qui lui sert de base est appelée Vaxe du cône. Le plan mené par l'axe, perpendiculairement au plan de la base, coupe le cône suivant deux arêtes, et détermine dans le cercle un diamètre : le triangle qui a pour base ce diamètre, et pour côtés les deux arêtes, s'appelle le triangle par l'axe. Apollonius suppose, pour former ses sections coniques, le plan coupant perpendiculaire au plan du triangle par l'axe. Les points où ce plan rencontre les deux côtés de ce triangle sont les sommets de la courbe ; et la droite qui joint ces deux points en est un diamètre. Apollonius appelle ce diamètre latus transversum.
Que par l'un des deux sommets de la courbe on élève une perpendiculaire au plan du triangle par l'axe; qu'on lui donne une certaine longueur, déterminée comme nous le dirons après; et que, de l'extrémité de cette perpendiculaire, on mène une droite à l'autre sommet de la courbe , maintenant que par un point quelconque du diamètre de la courbe, on élève perpendiculairement une ordonnée, le carré de cette ordonnée, comprise entre le diamètre et la courbe, sera égal au rectangle construit sur la partie de l'ordonnée comprise entre le diamètre et la droite, et sur la partie du diamètre comprise entre le premier sommet et le pied de l'ordonnée. Telle est la propriété originaire et caractéristique qu'Apollonius reconnaît à ses sections coniques, et dont il se sert pour en conclure, par des transformations et des déductions très-habiles, presque toutes les autres. Elle joue, comme on voit, dans ses mains, à peu près le même rôle que l'équation du second degré à deux variables dans le système de Géométrie analytique de Descartes.
On voit par là que le diamètre de la courbe, et la perpendiculaire élevée à l'une de ses extrémités sufïisent pour construire cette courbe. Ce sont là les deux élémens dont se sont servis les Anciens pour établir leur théorie des coniques. La perpendiculaire en question fut appelée par eux latus erectum ; les Modernes ont d'abord changé ce nom en celui de latus rectum, qui a été long-temps employé; et ensuite l'ont remplacé par celui de paramètre, qui est resté. Apol-
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loriius, et les géomètres qui écrivirent après lui, donnèrent différentes expressions géométriques, prises dans le cône, de la longueur de ce latus rectum pour chaque section : mais aucune ne nous a paru aussi simple et aussi élégante que celle de Jacques Bernouilii. La voici : « Que l'on mène un plan parallèle à la base du cône , et situé à la même distance de son sommet que le plan de la section conique proposée , ce plan coupera le cône suivant ou cercle, dont le diamètre sera le lattis rectum de la conique '. »
De là on conclut aisément la manière de placer une conique donnée sur un cône aussi donné.
$ 12. Les plus belles propriétés des sections coniques se trouvent dans le traité d'Apollonius. Nous citerons celles des asymptotes, qui font la partie la plus considérable du livre 2; le rapport constant des produits des segmens faits par une conique sur deux transversales parallèles à deux axes fixes, et menées par un point quelconque (propositions 16 à 23 du livre 3); les propriétés principales des foyers de l'ellipse et de l'hyperbole, qu'Apollonius appelle point» d'application (même livre, propositions 45 a 52) '; les deux beaux théorèmes sur les diamètres conjugués (7° livre, propositions 12 et 22; 30 et 31).
Nous devons citer encore le théorème suivant, qui est devenu d'une si haute importance dans la Géométrie récente, comme étant la base de la théorie des polaires réciproques, et dont De la Hire, auparavant, avait déjà fait le fondement de sa théorie des coniques :
« Si par le point de concours de deux tangentes à une section » conique, on tire une transversale qui rencontre la courbe en deux » points, et la corde qui joint les points de contact des deux tan- » gentes en un troisième point; ce troisième point, et le point de » concours des deux tangentes seront conjugués harmoniques par » rapport aux deux premiers. » (Livre 3, proposition 37.)
Les 23 premières propositions du livre 4 sont relatives à la division harmonique des lignes droites tirées dans le plan d'une conique. Ce
1 Notum theortma pro doclrina tectionum conicarum ( AcU Erud. ann. 1689, pag. 888 ). 1 V oy. la note IV.
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sont, pour la plupart, divers cas du théorème général que nous venons d'énoncer. Dans les propositions suivantes, Apollonius considère le système de deux coniques, et démontre que ces deux courbes ne peuvent se couper qu'en quatre points. Il examine ce qui arrive quand elles se touchent en un ou en deux points, et traite de divers autres cas de la position respective qu'elles peuvent présenter.
Le cinquième livre est le monument le plus précieux du génie d'Apollonius. C'est là qu'ont paru pour la première fois les questions de maxima et de minima. On y retrouve tout ce que les méthodes analytiques d'aujourd'hui nous apprennent sur ce sujet; et l'on y reconnaît le germe de la belle théorie des développées. En effet, Apollonius prouve qu'il existe, de chaque côté de l'axe d'une conique, une suite de points d'où l'on ne peut mener à la partie opposée de la courbe qu'une normale; il donne la construction de ces points, et observe que leur continuité sépare deux espaces qui présentent cette différence remarquable, savoir : que de chaque point de l'un on peut mener deux normales à la courbe, et que d'aucun point de l'autre on n'en peut mener aucune. Voilà donc les centres dosculation, et la développée d'une conique parfaitement déterminée.
Apollonius fait usage d'une hyperbole auxiliaire, dont il détermine les élémens, pour construire les pieds des normales abaissées d'un point donné sur la conique proposée. Toutes ces recherches sont traitées avec une sagacité admirable.
Ce grand ouvrage avait fait donner a Apollonius le surnom de géomètre par excellence, ainsi que le rapporte Gcminus.
Les sept premiers livres seuls nous sont parvenus; les quatre premiers dans leur langue originale, et les trois suivans en arabe. Halley a rétabli le huitième dans sa magnifique édition des Coniques d Apollonius, la seule qui soit complète1.
S 13. Apollonius avait laissé d'autres écrits nombreux, qui avaient la plupart pour objet Vanalyse géométrique. Mais un seul, le traité De
' Apollonii Pergan amicorum Ubri octo ; in-fol., Oxoniœ ; 1710.
M. Pcyrard , dans les préfaces de la traduction d Archimède , et de ta traduction d'Euclide
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Sectione rationis, nous est parvenu; d'autres, qui avaient pour titres : De Sectione spatiî; De Sectione determinatd; De Tactionibus; De Inclinationibus ; de Lotis ptanis, ont été rétablis par divers géomètres, dans les deux siècles derniers, d'après les indications de Pappus.
Apollonius a la gloire aussi d'avoir appliqué la Géométrie à l'astronomie. On lui attribue' la théorie des épicycles, qui servaient à expliquer les phénomènes des stations et des rétrogradations des planètes. Ptolémée le cite à ce sujet dans son Almageste.
S 14. Parmi les contemporains d'Archimède et d'Apollonius, on distingue Ératosthène, qui naquit 276 ans avant l'ère chrétienne (1 1 ans ■* 178 "'nt J -caprès Archimède et 31 ans avant Apollonius). Ce philosophe, profond dans tous les genres de savoir, et qui fut, sous le troisième Ptolémée, directeur de la bibliothèque d'Alexandrie, avait mérité d'être placé au même rang que les trois célèbres géomètres de l'antiquité, Aristéc, Euclide et Apollonius, qui avaient travaillé sur l'analyse géométrique. Pappus cite de lui un ouvrage en deux livres, qui se rapporte à cette méthode, mais qui ne nous est point parvenu. Il avait pour titre : De Locis ad Medietates; nous ne savons ce qu'étaient ces lieux.
Eratosthène avait inventé pour la solution des deux moyennes proportionnelles, un instrument appelé mèsolahc, qu'il décrit lui-même dans une lettre adressée au roi Ptolémée, et où il fait l'histoire du problème de la duplication du cube. Cette lettre nous a été conservée par Eutocius, dans son commentaire sur la sphère et le cylindre d'Archimède. Pappus donne aussi, dans ses Collections mathématiques, la construction du mésolabe d'Eratosthène.
8 15. Les travaux d'Archimède et d'Apollonius ont marqué l'époque la plus brillante de la Géométrie ancienne.
Depuis, on a pu les regarder comme l'origine et le fondement de
en trois langues, avait annoncé une traduction française des coniques d'Apollonius. Plusieurs feuilles étaient déjà imprimées quand la mort est venu enlever ce savant laborieux. Il serait à regretter que le fruit de ses travaux fût perdu pour la France. Les fonds destinés à l'encouragement des sciences no sauraient avoir une application plus utile que la publication de cet ouvrage.
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deux grandes questions qui ont occupé les géomètres à toutes les époques, et auxquelles se rattachent la plupart de leurs travaux, qu'elles divisent en deux classes; de telle sorte qu'elles semblent se partager le domaine de la Géométrie.
La première de ces deux grandes questions est la quadrature des figures curvilignes, qui a donné naissance au calcul de l'infini, imaginé et perfectionné successivement par Kepler, Gavalleri, Fermât, Lcibnitz et Newton;
La seconde est la théorie des sections coniques, pour laquelle ont été inventées d'abord l'analyse géométrique des Anciens, puis les méthodes de la perspective et des transversales; qui était le prélude de la théorie des courbes géométriques de tous les degrés, et de cette partie considérable de la Géométrie, qui ne considère dans les propriétés générales de l'étendue que les formes et les situations des figures, et ne se sert que d'intersections de lignes ou de surfaces, et de rapports de distances rectilignes.
Ces deux grandes divisions de la Géométrie, qui ont leur caractère particulier, pourraient être désignées par les dénominations de Géométrie des mesures et Géométrie des formes et des situations, ou Géométrie d'Archimède et Géométrie d'Apollonius.
Ces deux divisions, du reste, sont celles de toutes les sciences mathématiques, qui ont pour but, suivant l'expression de Descartes, umwr, la recherche de Yordre et de la mesure1. Aristotc avait déjà émis la ssi-au. même pensée en ces termes : « De quoi s'occupent les mathématiciens » si ce n'est de Yordre et de la proportion? a»
Cette définition des sciences mathématiques, et les deux grandes divisions qu'elle y marque, s'appliquent surtout à la Géométrie. On a donc lieu de s'étonner que celle-ci soit appelée communément, même
1 « Tous let rapports qui peuvent exister entre les êtres d'un même genre se réduisent à denx, Yordre et la mesure. » {Règles pour la direction de l'esprit; ouvrage posthume de Descartes, 14* règle.)
Précédemment Descartes avait déjà dit : u Toutes les sciences qui ont pour but la recherche de l'ordre et de la mesure se rapportent aux mathématiques. » ( Ibid., 4' règle.)
2 3* chapitre du 1 1* livre de la Métaphysique d'Aristote.
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dans les meilleurs traités, la science qui a pour objet la mesure de l'étendue. Cette définition est évidemment incomplète et donne une idée fausse du but et de l'objet de la Géométrie. Cette observation n'est peut-être pas dépourvue de toute espèce d'intérêt, et nous lui donnerons suite dans la Note Y.
S 16. Après Archimède et Apollonius, et pendant trois ou quatre siècles, quelques géomètres renommés à juste titre, sans égaler ces deux grands hommes, continuèrent d'enrichir la Géométrie de découvertes et de théories utiles; ensuite vinrent, pendant deux ou trois siècles encore, les commentateurs qui nous ont transmis les ouvrages et les noms des géomètres de l'antiquité; puis enfin les siècles d'ignorance, où la Géométrie a sommeillé chez les Arabes et les Persans, jusqu'à la renaissance des lettres en Europe.
Nous allons énoncer rapidement les principaux travaux des écrivains les plus célèbres qui fleurirent dans les deux premières périodes de cet intervalle de dix-sept siècles.
Mais nous devons dire d'abord que l'époque où nous entrons est celle des grands progrès de l'astronomie. C'est à cette science principalement que se rapportent les travaux des géomètres que nous allons avoir à citer, et que ces géomètres, à l'exception de Nicomède, doivent eu grande partie leur célébrité.
Ce changement de direction dans les esprits était une suite nécessaire des grandes découvertes d' Archimède et d'Apollonius, qui demandaient des siècles d'étude et de méditation, avant qu'on pût aller au delà, dans les matières qu'avaient traitées ces deux grands génies.
g 17. Les ouvrages de Nicomède ne nous sont point parvenus; et ce géomètre ne nous est connu que comme inventeur de la conchoïde, ' dont il fit un usage ingénieux pour résoudre, par un procédé mécanique, le problème des deux moyennes proportionnelles, et celui de la trisection de l'angle.
La conchoïde, déjà célèbre par cette circonstance, qu'elle résolvait les deux plus fameux problèmes de l'antiquité, acquit une importance nouvelle, par la remarque que fit Yiète, que tous les problèmes dont
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la solution dépend d'une équation du troisième degré peuvent se ramener à ces deux-là, et surtout par l'emploi que Newton fît de cette courbe, dans son Arithmétique universelle, pour construire toutes les équations du troisième degré.
5 18. Hipparque, le plus grand astronome de l'antiquité, le véri- « iso ...». j.-c. tajjie fondateur de l'astronomie mathématique, avait composé un ouvrage en douze livres, où se trouvait la construction des cordes des arcs de cercle \
Ses calculs et ses opérations astronomiques exigeaient la trigonométrie rectiligne et sphérique, dont il avait donné les principes géométriques dans son traité Des Levers et Couchers des étoiles, et dont il parait certain qu'il fut le premier inventeur \
C'est à Ilipparque aussi que parait remonter la découverte des projections stéréographiques, et celle de deux théorèmes célèbres de Géométrie plane et sphérique, que nous citerons en parlant de Ménélaus et de Ptolémée.
■mmm, § 19. On attribue à Geminus, qu'on suppose avoir vécu un peu après ». ioo .».»t j.-c. JVicomède et Hipparque , un ouvtagc sur diverses courbes , entre autres sur l'hélice décrite sur la surface d'un cylindre droit circulaire, dont il démontrait cette propriété, commune avec la ligne droite et le cercle seulement , d'être partout semblable à elle-même 3. Un autre ouvrage de Geminus, intitulé Enarrationes geometricœ , souvent cité par Proclus, devait être une sorte de développement philosophique des découvertes géométriques. Ces deux ouvrages ne nous
1 Thcon cite ce traité (Commentaire $ur l'Almagente , liv. 1 , ch. IX ).
2 Cor, d'une part , Hipparque dit, dans «on Commentaire du poème d'Aratut, qu'tf a démontré la tolution de» triangle» tphériques qui terrent à trouter le point orient de l'écliptique; et ensuite on ne trouve ayant lui aucune trace de trigonométrie sphérique, ni même de trigonométrie rectiligne. Arrhimède, ainsi que le remarque Al. Delambre , dans son Histoire de raitlronomie ancienne ( tom. I", pag. 104), pour mesurer lo diamètre du soleil, superpose un angle sur le quart de cercle ; ce qui prouve qu'il n'avait pas les moyens de calculer l'angle au sommet d'un triangle isoscèle , dont les eûtes et la base sont donnés ; on n'avait pas encore eu l'idée de calculer les cordes des angles. Ainsi la trigonométrie rectiligne était ignorée.
3 Proclus, Commentaire tur le 1" licre d'Euclide, 4' déBnition et proposition 5«.
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sont point parvenus : on prétend que le premier se trouve manuscrit dans la bibliothèque du Vatican.
S 20. Théodose réunit sous le titre de Sphériques (Sph^ricorum n*mu, libri très), diverses propriétés des grands cercles tracés sur la sphère, *• 100 qui étaient nécessaires pour établir solidement les fondemens de l'astronomie, et le calcul des triangles sphériques. Ce calcul n'en fait pas partie , le mot triangle n'y est pas même prononcé. Mais quelque élémentaire que soit cet ouvrage, il a été très-estimé, comme étant méthodique et profond. Aussi a-t-il été commenté par Pappus, et traduit par plusieurs géomètres modernes d'un grand mérite.
On a de Théodose deux autres traités, intitulés De ffabitationibus , et De Diebus et Noctibus , qui ont pour objet la démonstration des phénomènes que doivent apercevoir les habitans de la terre, suivant leur position sur le globe, et celle du soleil dans l'écliptique.
§ 21. Ménélaus, géomètre et astronome, avait écrit comme Théo- mt%tMMs*, dose, sur la géométrie de la sphère, un traité en trois livres, intitulé *• »» »pr*> j -c Sphériques , qui ne nous est parvenu que traduit en arabe et en hébreu : le texte grec a été perdu. Cette ouvrage va au delà de celui de Théodose, car il traite spécialement des propriétés des triangles sphériques; mais non point encore de leur calcul, c'est-à-dire, de la trigonométrie sphérique qui, peut-être, avait fait partie d'un autre écrit de Ménélaus, en six livres, sur le calcul des cordes, dont parle Théon, et qui a été perdu.
La plus importante proposition des sphériques de Ménélaus est la première du 3e livre, qui fut la base de toute la trigonométrie sphérique des Grecs. C'est une propriété des six segmens faits sur les trois côtés d'un triangle sphérique par un arc de grand cercle quelconque. Ce théorème fut aussi en grande considération chez les Arabes, qui le commentèrent dans plusieurs écrits, et l'appelèrent Règle d Intersection. Son analogue dans la Géométrie plane, que donne aussi Ménélaus, comme lemme pour la démonstration du premier, et dont nous allons parler ci-dessous à l'article de Ptolémée, parce que c'est dans l'Almageste que généralement on l'a remarqué, a acquis une nouvelle Tom. XL 4
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et haute importance dans la Géométrie récente où l'illustre Carnot l'a introduit, en en faisant la base de sa théorie des transversales.
Nous citerons encore des sphériques de Ménélaus les deux théorèmes suivans, qui paraissent être dus à ce géomètre : 1° l'arc de grand cercle , qui divise en deux également un angle d'un triangle sphérique, fait sur le côté opposé deux segmens dont les cordes sont entre elles comme celles des côtés adjacens; et, 2° les trois arcs qui divisent en deux également les trois angles d'un triangle, passent par un même point.
Ménélaus avait aussi écrit sur la théorie des lignes courbes. Pappus nous apprend qu'une telle ligne, probablement à double courbure , car elle naissait do l'intersection de surfaces courbes, était appelée admirable par ce géomètre '.
PTOLBan , § 22. Ptolémée, astronome et géomètre d'un savoir immense, nous », las .pri, j -c. a laissé dans son Almageste 2 un traité de trigonométrie rectiligne et sphérique, le seul qui nous soit parvenu des Grecs; les ouvrages d'Hipparque sur cette matière ayant été détruits. On y trouve cette belle propriété du quadrilatère inscrit dans le cercle , que « le produit des deux diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés; » elle est donnée comme lemme, pour la construction d'une table des valeurs des cordes, inscrites dans le cercle et répondant à des arcs donnés \
Ptolémée fonda sa trigonométrie sphérique sur le théorème des six segmens, que donne Ménélaus , et se servit aussi, pour démontrer ce théorème, de son analogue sur le plan. Celui-ci est une relation entre
1 Collections mathématique* , liv. 4, après la proposition 30.
2 Ptolémée avait donné a son Traité d'attronomie le titre de Composition, ou Syntaxe mathématique. Ses éditeurs ont changé ce titre en celui de Grande composition; et les traducteurs arabes en ont fait la Très-grande [Almagesti); et le nom d'Almageste lui est resté.
3 Livre 1, chap. IX. M. Carnot a montré, dans sa Géométrie de position, comment on peut déduire de ce théorème toute la trigonométrie rectiligne; et, depuis, Pergola a repris ce sujet , qu'il a traité complètement sous le titre : Dal teorema Tolemaico ritraggonsi itnmediatamente i teoremi délie sesioni angolari di tieta e di mollis } e le principale rerità proposte nella Trigonometria analitica da moderni (tom. I" des Mémoires de l'Académie des sciences de Noples, ann. 1819).
les segmens, qu'une transversale menée arbitrairement dans le plan d'un triangle fait sur ses trois côtés; à savoir que le produit de trois de ces segmens, qui n'ont pas d extrémité commune , est égal au produit des trois autres '. On voit que c'est une généralisation de la proposition qui est le fondement de la théorie des ligues proportionnelles, savoir que : « une droite menée parallèlement à la base d'un triangle divise ses côtés en parties proportionnelles. » Cette remarque suffit pour faire entrevoir toute l'utilité dont ce théorème peut être dans la Géométrie. Il sert particulièrement dans les questions où l'on a à démontrer que trois points sont en ligne droite; on imagine un triangle dont les côtés passent par ces trois points, et l'on vérifie si la relation en question a lieu entre les six scgmens que ces trois points font sur les trois côtés du triangle.
Ce théorème semblait inconnu, quand il reparut, au commencement de ce siècle, dans la Géométrie de Position, et peu après dans la théorie des transversales, dont il est la base. Mais il avait déjà porté des fruits à plusieurs époques, indépendamment de son utilité comme lemme pour les démonstrations sphériques des Grecs. Il mérite par son importance actuelle, qu'on en fasse l'historique. Nous consacrerons à cet objet la Note VI.
La Géométrie est encore redevable à Ptoléméc de la doctrine des projections, dont il jeta les fondemens en en faisant usage pour la construction des cartes géographiques et la solution des problèmes de gnomonique, dans deux ouvrages curieux intitulés De VAnalemme, et Du Planisphère. Mais ce second ouvrage, où se trouve enseignée et pratiquée la projection stéréographique, paraît à M. Delambre être d'Hipparque et non de Ptolémée, comme on l'avait cru jusqu'ici.
Ptolémée avait composé un traité Des trois dimensions des corps, dans lequel il parla le premier de ces trois axes rectangulaires auxquels la Géométrie moderne rapporte la position d'un point quelconque dans l'espace 2.
1 Lirre 1 , chapitre XI , intitulé : Préliminaire» pour les démonstrations sphériques.
2 Delambre , art. Ptolémée de la Biographie universelle.
Enfin, parmi beaucoup d'autres ouvrages sur des matières diverses, nous citerons l'optique de Ptolémée, où se trouvait résolu ce problème de pure Géométrie, qui a occupé, depuis, plusieurs géomètres du premier rang : il s'agissait de trouver sur un miroir spbérique le point brillant, pour une position donnée de l'œil et du point lumineux.
§ 23. Ici se termine la première des trois périodes dans lesquelles nous avons divisé l'intervalle de dix-sept cents ans, qui sépare Archimède et Apollonius de la renaissance des lettres en Europe.
Les grands progrès que l'antiquité devait faire faire aux sciences mathématiques sont accomplis. Nous n'allons plus trouver d'auteurs originaux; mais seulement de sa vans et célèbres commentateurs des ouvrages de l'école grecque établie a Alexandrie.
Cependant Pappus, qui se présente à leur téte, mérite d'être placé dans un rang plus élevé, parce que ses ouvrages tiennent encore du génie et de la force productrice des siècles antérieurs. mmw, S 24. Ce géomètre, sur la fin du IVe siècle de l'ère chrétienne, rassembla dans ses Collections mathématiques ', diverses découvertes éparses des mathématiciens les plus célèbres, et une multitude de propositions curieuses et de lemmes, destinés à faciliter la lecture de leurs ouvrages. Ces Collections, monument précieux des mathématiques anciennes, dont elles nous représentent à peu près l'état, contiennent aussi diverses inventions de Pappus lui-même, que Descartes estimait comme l'un des plus excellens géomètres de l'antiquité '.
On y trouve la description sur la sphère d'une ligne a double cour-
' Pappi Alcxandrini Mnthcmalica' collectiones , a Frederico Commandino in latinum concertai, et commentant» illuitratw. Pisanii 1888, in- fol.; item Bononiœ 1800. in-fol.
1 * Je me persuade que certains germes primitifs des vérités que la nature a déposés dans » l'intelligence humaine, et que nous étouffons en nous à force de lire et d'entendre tant ■> d'erreurs diverses, avaient, dans cette simple et naïve antiquité, tant de vigueur et de » force que les hommes éclairés de cette lumière de raison qui leur faisait préférer la vertu » aux plaisirs, l'honnête à l'utile, encore qu'ils ne sussent pas la raison de cette préférence, » l'étaient fait des idées vraies et de la philosophie et des mathématiques , quoiqu'ils ne pus- » sent pas encore pousser ces sciences jusqu'à la perfection. Or je crois rencontrer quelques » traces de ces mathématiques véritables dans Pappus et Diophantc..... » (Dcscartes, llègh» pour la direction de l'etprit , 4« règle.)
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bure remarquable. C'est une spirale que Pappus décrivait, à l'imitation de celle d'Archimède, en faisant mouvoir uniformément un point sur un arc de grand cercle de la sphère, qui tourne lui-même autour de son diamètre (livre 4, proposition 30). Pappus trouva l'expression de la surface sphérique, comprise entre cette courbe et sa base; premier exemple de la quadrature d'une surface courbe.
Le fameux théorème de Guldin, qui fait usage du centre de gravité pour la dimension des figures, se trouve dans les Collections mathématiques, et paraît avoir été imaginé par Pappus lui-même1.
S 25. A la suite de la proposition 30 du livre 4, un passage, qui sert d'introduction au problème de la trisection de l'angle, nous apprend que la science des surfaces courbes, et des lignes à double courbure tracées sur ces surfaces, ou produites par des mouvemens composés (comme la spirale sphérique dont nous venons de faire mention), avait été cultivée par les anciens. Pappus y parle des lieux à la surface, et cite à ce sujet les ouvrages de Démétrius d'Alexandrie, et de Philon de Tyane. Le premier avait pour titre : Recherches linéaires; c'est la seule indication qui nous en reste. Le second traitait des courbes qui naissent de l'intersection de certaines surfaces nommées plectoïdcs.
Mont ut-la observe avec raison qu'il n'est pas facile de deviner, sur une aussi légère indication, quelles étaient ces surfaces et quelles étaient ces courbes. Mais un autre passage de Pappus (livre 4, proposition 29), dont il semble que ce savant historien n'ait pas eu connaissance, nous apprend que la surface de la vis h filets carrés, est une surface plectoïde; ce qui nous fait supposer que ce mot désignait d'une manière générale les surfaces réglées, auxquelles il nous paraît convenir à raison de l'entrelacement des lignes droites que présentent ces surfaces, ou bien qu'il désignait les surfaces appelées maintenant conoïdes, engendrées par une droite mobile qui s'appuie sur une droite fixe et sur une courbe, en restant toujours parallèle à
1 Foytz la fin de la Préface du 7' livre de» Collections mathématiques.
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un même plan, ou bien encore qu'il désignait particulièrement les surfaces fiéliçoïdes, ou seulement la surface héliçoîde rampante, c'està-dire celle de la vis à filets carrés.
Un savant géomètre napolitain, M. Flauti, dans un ouvrage récent, affecte, d'une manière générale, le nom de surfaces plecloïdes, à toutes les surfaces engendrées par une ligne droite \
Commandin , dans son commentaire de Pappus, avait pensé que le mot plectoïde pouvait provenir d'une erreur de copiste, et qu'il devait être remplacé par celui de cylindrique. Mais cette supposition est évidemment erronée; car le mot plectoïde, dans le passage de Pappus qui donne lieu à l'observation de Commandin 2, s'applique incontestablement à la surface de lavis à filets carrés, et non à une surface cylindrique.
§ 26. Pappus, à l'occasion de la quadratrice de Dinostrale, fait connaître deux propriétés de la surface héliçoîde rampante, qui méritent d'être remarquées, comme renfermant deux modes de construction de la quadratrice, et surtout comme offrant une des belles spéculations des Anciens sur les surfaces courbes et les lignes à double courbure.
Après avoir donné la génération, qu'il appelle mécanique, de la quadratrice, par l'intersection d'un rayon du cercle, qui tourne autour du centre, et d'un diamètre qui se meut parallèlement à lui-même (livre 4, proposition 25); Pappus dit que cette courbe peut se former par les lieux à la surface, ou bien par la spirale d'Archimède. Voici quels sont ces deux modes de construction :
Premier moyen, proposition 28. « Soit une hélice décrite sur un cylindre droit circulaire; de ses points on abaisse des perpendiculaires sur l'axe du cylindre; ces droites forment la surface héliçoîde rampante;
))Par Tune de ces droites on mène un plan, convenablement incliné sur le plan de la base du cylindre; ce plan coupe la surface héliçoîde suivant uno courbe dont la projection orthogonale sur la base du cylindre est la quadratrice. »
1 Geometria di silo tul piano e nello tpazio; Nnptes 1821.
2 Livre 4, proposition 20, noie F, pag. 92 de l'édition de 1660.
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Second moyen, proposition 29. « Qu'une spirale d'Àrchimède soit prise pour la base d'un cylindre droit; que l'on conçoive un cône de révolution ayant pour axe l'arête du cylindre menée par l'origine de la spirale; ce cône coupera la surface cylindrique suivant une courbe à double courbure
» Les perpendiculaires abaissées des différons points de cette courbe sur l'aréte en question du cylindre, formeront la surface héliçoïdc rampante (que Pappus appelle en cet endroit surface plecloïde);
» Un plan mené par une arête de cette surface, et convenablement incliné, la coupera suivant une courbe dont la projection orthogonale sur le plan de la spirale sera la quadratricc demandée. »
Ces deux constructions consistent, l'une et l'autre, à couper la surface héliçoïde rampante par un plan mené par une arête, et à projeter lu section sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis.
Dans la première solution, on détermine la surface de la vis au moyen d'une hélice, par laquelle on fait passer les génératrices de celte surface; et dans la seconde construction on détermine ces génétriœs par le moyen d'une courbe à double courbure qui est Tintersection d'un cylindre droit qui a pour base une spirale, par un cône de révolution qui a pour axe l'arête du cylindre menée par l'origine de la spirale.
S 27. Nous remarquerons que ces deux constructions reposent sur les deux propriétés suivantes de la surface héliçoïde rampante, que Pappus n'énonce pas expressément, mais qui se trouvent démontrées dans ses deux propositions 28 et 29 :
1 Cette courbe est Vhélice conique : elle est une des lignes à double courbure que les Anciens ont connues. Proclus en parle dans son Commentaire sur la i* définition du l" livre d'Euclide. Dans les temps modernes cette courbe a occupé plusieurs géomètres , parmi lesquels on distingue Pascal {De la dimension d'un solide formé par le moyen d'une spirale autour d'un cône; OEuvres de Pascal, tom. V, pag. 422) ; et Guido-Grandi {Epislola ad Th. Cecam ; Œuvres posthumes d'Huygens, tom. II}.
M. Garbin&ki , proresseur à l'université de Varsovie, a donné, il y a quelques années , une construction graphique des tangentes à cette hélice conique (voyez Annales de mathématiques , tom. XVI, pag. 107 et 376).
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1° Si Ton coupe la surface héliçoïde rampante par un plan mené par une de ses génératrices, la section se projettera orthogonalcment sur un plan perpendiculaire à l'axe de la surface, suivant une quadratrice de Dinostrate 1 ;
2° Un eoue de révolution, qui a pour axe celui d'une surface héliçoïde rampante, coupe cette surface suivant une courbe à double courbure, qui se projette orthogonalcment sur un plan perpendiculaire à cet axe, suivant une spirale d'Archimède.
Co second théorème offre une construction de la spirale par les lieux à la surface, analogue à celle que Pappus donne pour la quadratrice.
S 28. Ces considérations de surfaces courbes et de lignes à double courbure, pour la construction d'une courbe plane, qui rentrent aujourd'hui dans la Géométrie descriptive et font le caractère principal de l'école de Monge, méritaient, ce me semble, d'être remarquées dans l'ouvrage de Pappus. Elles auraient pu conduire ce géomètre à une construction des tangentes à la spirale et à la quadratrice. Il eût suffi de remarquer que ces tangentes étaient les projections des tangentes aux deux courbes tracées sur la surface héliçoïde, et que la tangente en un point de l'intersection de deux surfaces est l'intersection des plans tangens en ce point aux deux surfaces. On parvient ainsi fort aisément aux propriétés connues des tangentes de la spirale et de la quadratrice '. Mais c'est là tout-à-fait l'esprit de notre Géométrie descriptive moderne, et il n'est pas probable que les Anciens aient poussé aussi loin leurs spéculations dans la science des surfaces courbes. Il est douteux même que, du temps de Pappus, on eût une idée bien nette du plan tangent en un point de la surface héliçoïde.
1 Si le plan sécant, au lieu de passer par une génératrice de la surface héliçoïde , est mené d'une manière tout-à-fait arbitraire, nous arons reconnu qu'on obtient alors en projection une quadratrice alongée, ou acconreie, ou en d'autres termes, une conchoide de la quadratrice de Dinostrate.
2 M. Th. Olivier, habile professeur de géométrie descriptive à l'école des arts et manufactures, a déjà fait usage de ce moyen , pour construire la tangente à la spirale d'Archimède ( Bulletin de la Société philotnatique de Paria, année 1833 , pag. 22 ).
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g 29. En réfléchissant sur la nature des deux théorèmes que nous avons énoncés ci-dessus, on est conduit à les regarder comme de simples applications de deux modes généraux de transformation de toutes espèces de courbes planes, en d'autres courbes différentes, au moyen de la surface hélicoïde rampante. Et de ces modes de transformation résultent des relations de construction, et de propriétés, entre des courbes qui ne paraissaient avoir de commun entre elles que la même forme d'équation entre des variables différentes ; telles sont quelques spirales et les courbes qui portent le même nom dans le système de coordonnées ordinaire. Je développerai cette idée dans la IVote VIII.
S 30. On remarque dans les Collections mathématiques plusieurs théorèmes qui appartiennent aujourd'hui à la théorie des transversales, entre autres celui qui en est le fondement, et qui font supposer que cette utile et élégante doctrine était employée par les Anciens, principalement dans leurs écrits sur l'analyse géométrique, auxquels se rapportent ces théorèmes.
Parmi ces propositions, qui appartiennent à la théorie des transversales, et dont plusieurs sont relatives à la proportion harmonique, nous citerons les suivantes, qui sont démontrées dans le 7,: livre, comme lemmes destinés à faciliter la lecture des portantes d'Euclide.
La 129e proposition fait voir que quand quatre droites sont issues d'un même point, elles forment sur une transversale , menée arbitrairement dans leur plan, quatre segmens qui ont entre eux un certain rapport constant , quelle que soit la transversale. Ainsi soient a, b , c , d, les points où les quatre droites sont rencontrées par une transversale quelconque, et oc, àd, bc, bd, les quatre segmens; le rapport jj? : ^ sera constant, quelle que soit la transversale.
Cette proposition mérite que nous lui consacrions tout ce paragraphe, pour appeler sur elle, dès à présent, toute l'attention de nos lecteurs.
Les propositions 136, 137, 140, 142 et 145 sont ou des cas particuliers ou la réciproque de cette proposition principale.
Répétée sous tant de formes par Pappus, elle parait avoir été d'une To«. XI. 5
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grande utilité dans les porismes d'Euclide. Cependant elle est aujourd'hui sans application.
En recherchant les usages que les Modernes en ont pu faire, nous trouvons que Pascal Ta mise, dans son Essai pour les coniques, au nombre des théorèmes principaux dont il se servait dans son Traité de ces courbes ; que Desargues fit d'un de ses cas particuliers ( qui est précisément la 137e proposition de Pappus) la base d'une de ses pratiques de la perspective (édition de Bosse, 1648, pag. 336) ; et que R. Simson l'a démontrée comme lemme de Pappus, et s'en est servi pour la démonstration d'une proposition de son Traité des porismes.
Dans ces derniers temps, M. Brianchon l'a énoncée au commencement de son Mémoire sur les lignes du deuxième ordre, et M. Poncelet l'a citée dans son Traité des propriétés projectives (pag. 12). Mais ces deux habiles géomètres en ont fait peu d'usage, n'ayant eu à considérer le plus souvent que le cas particulier où les quatre droites forment un faisceau harmonique.
Cette proposition nous parait donc avoir à peine, jusqu'ici, fixé l'attention des géomètres. Cependant nous la croyons susceptible de nombreuses applications, et nous la regardons comme pouvant devenir l'une des plus utiles et des plus fécondes de la Géométrie.
Cette proposition jouera un rôle important dans nos deux principes de dualisation et de déformation des figures, comme étant la base de la partie qui concerne leurs relations de grandeur; et nous aurons aussi à en faire usage dans le cours de cette introduction.
Par cette raison nous éprouvons, dès à présent, le besoin de donner un nom au rapport des quatre segmens qu'on y considère. Ce rapport étant dit harmonique dans le cas particulier où il est égal à l'unité, nous l'appellerons dans le cas général rapport ou fonction anharmonique.
Ainsi, quand quatre droites issues d'un même point seront rencontrées par une transversale en quatre points a, b, c, d, le rapport jjj : |j sera dit fonction anharmonique des quatre points a, b, c, d.
La proposition de Pappus consiste en ce que cette fonction a con-
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stamment la mémo valeur, quelle que soit la transversale; les quatre droites, issues d'un même point restant les mômes. C'est là une belle propriété de la fonction anharmonique de quatre points, qui la distingue de toute autre fonction différente qu'on pourrait former avec les segmens compris entre les quatre points.
La notion de la fonction anharmonique nous parait de nature à apporter une grande simplification dans plusieurs théories géométriques.
Elle sera bien plus propre que le théorème de Ptolémée à servir de fondement à la théorie des transversales, où elle procure des démonstrations intuitives de toutes les propositions connues sur les systèmes de lignes droites, et donne lieu à beaucoup d'autres propositions nouvelles.
Elle sera utile surtout dans la théorie des coniques, où elle montrera, entre une infinité de propositions isolées, une liaison et des rapports qui les rattachent toutes à un petit nombre de principes généraux.
Nous comptons consacrer un écrit particulier à la théorie du rapport anharmonique. Mais il nous faut en faire connaître dès à présent quelques propositions principales, particulièrement une autre forme algébrique sous laquelle peut s'exprimer la proposition de Pappus; nous renvoyons pour cet objet à la Note IX.
§ 31. Revenons à Pappus.
La 130e proposition est une relation entre six segmens formés sur une transversale par les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère quelconque. Les 127e et 128e en sont des cas particuliers.
Au lieu de regarder la figure du livre de Pappus comme représentant les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère coupé par une transversale, on peut la considérer comme représentant les trois côtés d'un triangle, et trois droites menées par les sommets de ce triangle et concourant en un même point. Ces six droites déterminent sur la transversale six segmens, dont chacun est pris entre un côté du triangle et une des deux droites menées par les sommets adjacens
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à ce côté. La proposition de Pappus est facile alors à énoncer et à retenir; elle consiste en ce que le produit de trois segmens , qui n'ont point et extrémités communes, est égal au produit des trois autres : rapport semblable à celui qui constitue le théorème de Ptolémée.
Envisagée ainsi, cette proposition de Pappus pourra servir pour démontrer que trois droites menées de certaine manière par les sommets d'un triangle, concourent en un même point, de même que celle de Ptolémée sert à démontrer que trois points placés de certaine manière sur les côtés d'un triangle sont en ligne droite.
La 131e proposition fait voir que dans tout quadrilatère , une diagonale est coupée harmoniquemenl par la deuxième diagonale et par la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.
La 132e énonce un cas particulier de ce théorème, qui, lui-même, peut être regardé comme une conséquence du théorème général exprimé par la proposition 130.
La 139e, dont les propositions 134, 138, 141 et 143 sont, ou la réciproque, ou des cas particuliers, prouve que quand un hexagone a ses six sommets placés, trois à trois, sur deux droites, les trois points de concours de ses côtés opposés sont en ligne droite. Théorème remarquable par lui-même, et parce qu'il peut être considéré comme le germe du fameux théorème de Pascal , sur l'hexagone inscrit à une conique. Au système des deux droites, dans lesquelles Pappus inscrivait son hexagone, se trouve substituée une conique quelconque, dans le théorème de Pascal '.
1 La proposition 139 de Pappus, que nous présentons ici comme exprimant une propriété de l'hexagone inscrit à deux droites, peut être considérée spus un autre point do vue , et donne lieu alors à cet autre théorème remarquable, que Simson a énoncé le premier, comme étant l'un des porismes d'Euclide, celui auquel se rapportent ces mots de Pappus : « Qco» sec ai batdi MJiicTiis vcRciT. » Etant prit, dan* un plan, deux point* fixe* et un angle qui ait ton tommet tituè sur la droite qui joint a» point*; *i de chaque point d'une droite donnée on mène deux droite* à ce* deux point* fixe», elle* rencontreront respectivement le* deux côté* do l'angle en deux point» ; et la droite qui joindra ce* deux point» panera toujour* par un même point (Simson, De Poritmatibu* , proposition 34).
Nous citons ce théorème , parce qu'il nous sera utile dans la suite. Son analogue dans
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La proposition 130°, que nous avons citée plus haut, a reçu une généralisation semblable, que nous ferons connaître en parlant de Desargues.
Pappus énonce dans sa préface, comme généralisation d'un porisme d'Euclide, un beau théorème, relatif à la déformation d'un polygone, dont tous les côtés passent par des points situés en ligne droite, pendant que ses sommets, moins un, parcourent des droites tracées arbitrairement. Ce théorème a acquis quelque célébrité dans le siècle dernier, par la nouvelle généralisation qu'il a reçue entre les mains de Maclaurin et de Braikenridge , et par la rivalité qu'il a excitée entre ces deux illustres géomètres. M. Poncelet a de nouveau traité cette matière avec toute l'étendue et la facilité que comportent les doctrines de son savant Traité des Propriétés projectives des figures. (Section 4, chap. II et III).
5 32. Nous devons faire mention d'une question qui peut se rattacher, comme les précédentes, à la théorie des transversales; c'est le fameux problème ad très aut plures lineas , rapporté par Pappus comme l'écueil des Anciens, et auquel Descartes a donné une nouvelle célébrité, en en faisant la première application de sa Géométrie. U s'agissait, étant données plusieurs lignes droites, de trouver le lieu géométrique d'un point tel que les perpendiculaires, ou plus généralement les obliques abaissées de ce point sur ces droites, sous des angles donnés , satisfissent à la condition , que le produit de certaines d'entre elles fût dans un rapport constant avec le produit de toutes les autres.
Cette question, connue sous le nom de Problème de Pappus, depuis que Descartes l'a ainsi désignée, avait exercé la sagacité d'Euclide et d'Apollonius, qui ne l'avaient résolue que pour trois ou quatre droites, auquel cas le lieu géométrique demandé est une conique : D'où résulte cette propriété générale des coniques : « Quand un quadrila-
lespace , qui n'a point encore été donné , se présentera naturellement comme corollaire de nus principes de transformation des figures.
tèrc quelconque est inscrit dans une conique, le produit des distances de chaque point de la courbe à deux côtés opposés du quadrilatère est au produit des distances du même point aux deux autres côtés, dans un rapport constant. »
Newton a donné de ce beau théorème une démonstration, par la Géométrie pure, et s'en est servi utilement dans ses Principes Matliématiques de la philosophie naturelle. Les traités des coniques, qui ont paru dans les premiers temps après ce grand ouvrage, lui ont emprunté ce théorème; mais sans en faire tout l'usage auquel il était propre; et depuis, il a en quelque sorte disparu de la théorie des coniques Cependant, nous croyons pouvoir le regarder comme la plus universelle et la plus féconde de toutes les propriétés de ces courbes. Nous citerons particulièrement, comme n'étant que des corollaires de ce théorème unique, le fameux hexagramme mystique de Pascal, le théorème de Desargues sur l'involution de six points, le rapport constant du produit des ordonnées au produit des segmens faits sur l'axe, le beau théorème de Newton sur la description organique des coniques, et enfin, un autre théorème fondé sur la notion du rapport que nous avons nommé ci -dessus anharmonique, et d'où se déduisent une infinité de propriétés diverses des coniques.
Mais nous dirons en passant, que ce dernier théorème est lui-même d'une telle généralité, et se démontre à priori d'une manière si facile, que c'est celui que nous proposerions pour fondement d'une théorie des coniques. ( Voir la Note XV).
5 33. Ici se présente naturellement une observation, qui pourra justifier l'importance que nous avons déjà cherché a donner à la proposition 129 de Pappus, et à la notion du rapport anharmonique.
1 La stérilité qa'cut pendant de» siècle» celte proposition fondamentale , d'où dérivent presque toute» le» propriété» des coniques , et le peu d'importance que parurent aussi mériter, jusqu'à ces derniers temps, les beaux théorèmes de Desargues et de Pascal, qui en sont des corollaires naturels, rappellent cette pensée de Bailly, dont la justesse est bien sentie : « Il » semble que les idées aient comme nous une enfance et un premier état de faiblesse ; elles ne » produisent point a leur naissance, et elles ne tiennent que de l'âge et du temps leur vertu » féconde. » (Hittoire de Vaitrotiomie moderne, tom. Il , pag. 60. )
C'est que tous les théorèmes que nous venons de tirer du 7e livre des Collections mathématiques, y compris celui sur la déformation d'un polygone et celui ad quatuor lineas , et plusieurs autres théorèmes sur l'involution de six points, dont nous allons parler tout-à-l'heure, théorèmes qui sont tous des plus généraux et des plus utiles dans la Géométrie récente, peuvent dériver tous, comme de leur source commune, de cette seule propriété du rapport anharmonique de quatre points. Et cette manière de les présenter sera aussi simple que possible; car elle ne nécessitera pour ainsi dire aucune démonstration.
Nous ajouterons, qu'après avoir reconnu que la plupart des lemmes de Pappus, qui paraissent se rapporter au 1er livre desporismes d'Euclide, pouvaient se déduire de la proposition en question, nous avons pensé que cette proposition pourrait bien aussi être la clef de tout ce 1er livre desporismes , et conduire à une interprétation des énoncés que Pappus nous a laissés. Car il existe toujours ainsi, dans toute théorie, quelque vérité principale dont toutes les autres dérivent. Et en effet, en prenant la proposition dont il s'agit pour point de départ dans un essai de divination desporismes , nous avons obtenu divers théorèmes, qui nous ont paru répondre aux énoncés en question.
S 34. Nous citerons encore du 7e livre des Collection mathématiques, une quarantaine de lemmes relatifs au traité de determinald sectione d'Apollonius, et qui rentrent aujourd'hui dans les nouvelles doctrines de la Géométrie. Ce sont des relations entre les segmens faits par plusieurs points sur une ligne droite.
On n'aperçoit pas, au premier abord, la vraie signification de ces nombreuses propositions, ni les rapports qui peuvent les rattacher ensemble à une même question, et la lecture dans cet état en est pénible. Mais avec quelque attention , on reconnaît qu'elles sont toutes relatives à la théorie de ïinvolution de six points, créée par Desargues et devenue d'un grand usage dans la Géométrie récente. Ce ne sont pas les propriétés de la relation d'involution la plus générale, celle qui a lieu entre six points (il parait même que les Anciens n'ont pas connu les transformations de cette relation générale), mais ce sont
des propriétés de plusieurs relations que l'on peut aujourd'hui considérer comme des cas particuliers de cette relation générale.
Ainsi, les propositions 22, 29, 30, 32, 34, 35 , 36 et 44 concernent une involution de cinq points. On y considère deux systèmes de deux points conjugués 1 , et leur point central, celui dont le produit des distances aux deux premiers points est égal au produit de ses distances aux deux autres; et l'on déduit de là une autre relation entre les cinq points.
Pour conclure cette relation de la relation générale entre six points, il faut observer que le conjugué du cinquième point, ou point central, est à l'infini.
Les propositions 37 et 38 concernent une involution de quatre points, qui sont deux points conjugués, un point double et le point central. D'une relation entre ces quatre points, on en conclut une autre.
Les propositions 39 et 40 sont une même propriété d'une involution de cinq points ; on y considère deux systèmes de deux points conjugués , et un point double.
Les propositions 41 , 42 et 43 sont une relation entre deux systèmes de deux points conjugués et leur point central ; relation nouvelle, d'une forme différente des relations connues de l involution de six points.
U en est de même des douze propositions 45, 46, et 56, qui
sont une relation générale entre deux systèmes de deux points conjugués, leur point central et un autre point quelconque. Les propositions 41 , 42 et 43, ne donnent que des corollaires de cette relation générale.
Enfin, les propositions 61, 62 et 64, expriment une belle propriété de maximum et de minimum, concernant deux systèmes de points
1 11 est utile , pour faciliter l'intelligence de ce passage sur les lemmes de Pappus , de lire la Note X , où nous présentons les différentes propriétés de la relation d'involution de six points ; c'est-à-dire les diverses transformations et les conséquences de cette relation. Nous y expliquons ce qu'on doit entendre par points ctmjuguè$ , point crains/, et points double*.
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conjugués et un point double; elle consiste en ce que le rapport des produits des distances de ce point double aux points conjugués est un maximum ou un minimum.
Pappus donne, par une construction élégante, l'expression géométrique de ce rapport; mais il ne fait qu'énoncer sa propriété de maximum ou minimum, qui se trouvait démontrée dans l'ouvrage d'Apollonius. C'est une véritable perte, que celle de la démonstration géométrique de ce cas de maximum ou minimum par les Anciens, quoiqu'elle n'offre aucune difficulté à l'analyse moderne. Fermât en a fait une des premières applications de sa belle méthode de maximis et mini mis ( Opéra mathematica, pag. 67 ).
§ 35. Cette analyse des 43 lemmes de Pappus nous parait pouvoir en faire saisir l'esprit général et en faciliter la lecture. On y voit que plusieurs propositions y expriment un même théorème : c'est que les énoncés de ces propositions s'appliquent à des figures spéciales, et ont entre eux quelques différences provenant de la différence de position des points que l'on y considère. C'est cette différence de position des points donnés et du point cherché par rapport à eux, qui a fait donner a l'ouvrage d'Apollonius le nom de Section Déterminée ; et les différens cas que présentent les variations de position de ces points, sont ce que ce géomètre, et Pappus d'après lui, ont appelé Epitagma '.
C'est un des grands avantages de la Géométrie moderne sur l'ancienne, de pouvoir, par la considération des quantités positives et négatives, comprendre sous un même énoncé tous les cas divers que peut présenter un même théorème, par la diversité de positions relatives des différentes parties d'une figure. Ainsi, de nos jours, les neuf problèmes principaux et leurs nombreux cas particuliers, qui faisaient l'objet des 83 théorèmes contenus dans les deux livres de la section déter-
1 C'est !e sentiment de Halley et de H. Simson. Le «avant Commandin n'avait point trouve la signification de ce mot qu'Apollonius appliquait à une partie do ses propositions ( Collect. math., pag. 200 de l'édition de 1060). Le mot monachi, qu'on trouve aussi dans Pappus, paraît avoir été affecte par Apollonius au» propositions concernant les mai ima et les
To«. XI. 6
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minée d'Apollonius, ne font plus qu'une seule et même question, résolue par une formule unique.
Beaucoup d'auteurs, dans leurs écrits sur l'analyse géométrique des Anciens, se sont occupés de la Section déterminée, et ont cherché, soit à en rétablir complètement les deux livres, soit à en résoudre seulement diverses questions détachées. Nous trouvons au commencement du XVIIe siècle, Snellius, Alexandre Anderson, Marin Ghctaldi; vers la (in du même siècle, Roger de Yintimille, Hugo de Omérique; puis, R. Simson dans son ouvrage posthume, Opéra reliqua anno 1776, et vers le même temps, Giannini dans ses Opuscula mathematica.
Dans ces derniers temps, J. Leslie a encore consacré plusieurs pages à ce problème, dans son Analyse géométrique (livre 2, propositions 10 — 18). Cette question est liée intimement à la théorie de Vinvolution de six points, et sa solution parait devoir dériver de cette théorie. En effet, une propriété nouvelle de l'involution nous a offert naturellement une construction simple et générale du problème de la section déterminée, qui nous parait différer de toutes celles que l'on a données jusqu'ici. La même théorie offre aussi une démonstration du cas de maximum traité par Apollonius. ( Voir la Note X.)
S 36. Les lemmes de Pappus sur les lieux plans d'Apollonius, présentent aussi quelques relations entre les segmens faits par des points sur une droite, mais qui sont différentes des précédentes, et ne dérivent point comme elles des relations générales d'involution de six points. Cependant, on peut les rattacher aussi à une seule et même proposition , qui exprime une propriété générale de quatre points pris arbitrairement sur une ligne droite, laquelle est le second des théorèmes généraux de Mathieu Stevvart '.
Ainsi, les propositions 123 et 124, qui expriment une relation entre quatre points pris arbitrairement sur une droite, et un cin-
' Somc gênerai theoremt of considérable me in the Higher part» of mat hématies. Édirabourg. 1746, in-8°.
Nom donnerons 1 énonce du théorème en question en parlant de Stewart, dan» notre quatrième Époque.
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qnième déterminé d'après une certaine condition , sont une conséquence facile de ce théorème.
Les propositions 125 et 126 expriment une relation entre quatre points pris arbitrairement en ligne droite ; et on reconnaît aisément que cette relation n'est qu'une transformation très-simple du même théorème.
Les quatre propositions 119 — 122, qui, avec les quatre dont nous venons de parler, font les huit lemmes de Pappus sur les lieux plans d'Apollonius, concernent le triangle. Il est assez remarquable que ces quatre propositions, qui paraissent si différentes des autres et n'avoir aucun rapport avec elles, sont aussi des conséquences du même théorème de Stewart.
$ 37. R. Simson, en rétablissant les porismes d'Euclide, la section déterminée et les lieux plans d'Apollonius, a démontré un à un les nombreux lemmes de Pappus relatifs à ces trois ouvrages. On voit par ce que nous venons de dire combien aujourd'hui, en rattachant toutes ces propositions à quelques-unes seulement, on simplifierait ce travail. Mais une telle simplification n'était pas encore dans l'esprit de la Géométrie au temps de R. Simson (il y a près d'un siècle ); et y eût-elle été, elle n'eût point convenu au but de cet habile et profond géomètre, qui était de suivre pas à pas les traces et les indications de Pappus.
$ 38. Les autres lemmes du 7e livre des Collections mathématiques, que nous passons sous silence, nous offrent moins d'intérêt que ceux que nous avons cités. Ce sont des propositions isolées relatives au cercle, aux triangles et aux sections coniques, et qui ne présentent pas de difficultés. Ces lemmes s'appliquent au traité de inclinationihus, à celui de tactionihus, et aux huit livres des coniques d'Apollonius ; et enfin, aux lieux à la surface d'Euclide.
Nous nous bornerons à remarquer parmi les lemmes relatifs au traité de tactionibus, le problème suivant, qui est résolu très-simplement par Pappus : « Faire passer par trois points situés en ligne droite les trois côtés d'un triangle qui soit inscrit dans un cercle donné, v (Proposi-
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tion 117e). Les propositions 105, 107 et 108 sont des cas particuliers de cette question; on y suppose l'un des trois points situé à l'infini.
Ce problème, qu'on a généralisé en plaçant les trois points d'une manière quelconque, est devenu célèbre par la difficulté qu'il présentait, et par les noms des géomètres qui l'ont résolu, et surtout par la solution aussi générale et aussi simple qu'elle pouvait l'être, donnée par un enfant de 16 ans, Oltajano, napolitain {voir la Note XI).
Nous citerons enfin la 238° et dernière proposition, qui s'applique aux lieux à la surface, et qui est la propriété de la directrice dans les trois sections coniques, qui consiste en ce que « les distances de chaque point d'une conique à un foyer et à la directrice correspondante, sont entre elles dans un rapport constant.)) Ce beau théorème ne se trouve pas dans les coniques d'Apollonius.
S 39. Le livre 8e des Collections traite principalement des machines employées dans la mécanique pratique ; on y parle aussi de leur usage pour la description organique des courbes. Diverses propositions de Géométrie se trouvent aussi dans ce livre. Il en est une fort remarquable , sur le centre de gravité d'un triangle ; nous l'énoncerons ainsi : « Si trois mobiles placés aux sommets d'un triangle, partent en même temps et parcourent respectivement les trois côtés , en allant dans le même sens et avec des vitesses proportionnelles aux longueurs de ces côtés, leur centre de gravité restera immobile. »
Les géomètres modernes ont étendu ce théorème à un polygone quelconque plan ou gauche. Montucla , en le démontrant par des considérations de mécanique, dans les Récréations mathématiques d Osanom, avait pensé que sa démonstration par la Géométrie pure offrirait des difficultés. Celle qu'en donne Pappus s'appuie sur le fameux théorème de Ptolémée , concernant les segmens faits sur les côtés d'un triangle par une transversale. Pappus, dans le cours de sa démonstration, suppose la connaissance de ce théorème, dont il donne ensuite la démonstration.
S 40. La proposition 14 du même livre est une solution très-simple de ce problème : étant donnés deux diamètres conjugués d'une el-
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lips?, trouver en grandeur et en direction ses deux axes principaux. Pappus ne fait qu'énoncer sa construction, sans la démontrer. Euler en a rétabli la démonstration, et a donné en même temps plusieurs autres solutions du même problème (IVovi Commenlarii, de Pétersbourg, t. III, ann. 1750-1751). D'autres géomètres l'ont aussi traité à leur manière.
Ayant résolu la question analogue dans l'espace, où il s'agit de trouver, en grandeur et en direction, les trois axes principaux d'un ellipsoïde dont trois diamètres conjugués sont donnés, nous en avons conclu une nouvelle construction des axes de l'ellipse, qui nous parait enchérir encore sur le degré de simplicité que présentaient déjà plusieurs solutions de ce problème1.
Et, en effet, c'est une remarque qu'on peut faire souvent dans l'étude de la Géométrie, que les solutions de la Géométrie plane, qui ont leurs analogues dans l'espace, sont toujours les plus générales et les plus simples.
Ce principe donne un moyen d'épreuve, une sorte de critérium, pour reconnaître si l'on est parvenu, dans une question, à toute la généralité et à toute la perfection dont elle est susceptible, ou en d'autres termes, si l'on a rencontré la méthode et la vraie route qui lui sont propres.
S 41 . La préface du 7e livre des Collections mathématiques contient une définition nette de X analyse et de la synthèse, qui ne laisse aucun doute sur le caractère précis des deux méthodes; et Pappus donne souvent, dans le cours de ce 7e livre, des exemples de l'une et de l'autre, appliquées à une môme question.
1 Soit o le centre de l'ellipse; oa, ob ses deux demi-diamètres conjugués donnés ; Par le point o on mènera une droite perpendiculaire à ob, et on prendra sur elle deux et segraens ae, ae1 égaux à ob ; On tirera les deux droites oe, oe' ;
!• Les axes principaux de l'ellipse diviseront en deux également l'angle de ces deux droites son supplément ;
!• Le grand axe sera égal à la somme de ces deux droite», et le petit axe égal à leur dif-
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A la suite de cette définition, Pappus donne les titres des ouvrages que les Anciens avaient composés sur ce qu'ils appelaient le lieu résolu. Ils comprenaient sous ce mot certaines matières dont la connaissance est nécessaire à ceux qui veulent se mettre en état de pouvoir résoudre les problèmes. Ces ouvrages étaient, pour la plupart, des exemples de leur analyse géométrique; en voici les titres, tels que les rapporte Pappus : un livre d'Euclide, des Données; deux livres d'Apollonius, de La section de fxtison; deux de La section de l espace et deux des Attouchemens, du même; trois livres d'Euclide, des Porismes; deux livres encore d'Apollonius, des Inclinaisons; deux des Lieux plans et huit des Coniques; cinq livres du vieux Aristée, des Lieux solides; deux livres d'Euclide, des Lieux à la surface; et deux livres des Moyennes raisons, par Ératosthène. A ce catalogue il faut ajouter les deux livres d'Apollonius, de la Section déterminée, dont Pappus parle dans la suite.
De tous ces ouvrages, il n'est venu jusqu'à nous que les Données d'Euclide; les sept premiers livres des Coniques d'Apollonius, et son traité de la Section de raison. Mais, sur ce qu'en a dit Pappus, les autres ont été rétablis, aux XVIe et XVIIe siècles, par divers géomètres, dans le style de la Géométrie ancienne.
§ 42. Le goût de cette Géométrie, qui a donné tant d'éclat aux sciences mathématiques jusques il y a près d'un siècle, surtout dans la patrie de Newton, s'est affaibli depuis, et aurait presque disparu, si les géomètres italiens ne lui fussent restés fidèles. On doit, de nos jours, au célèbre Fergola, et à ses disciples, MM. Bruno, Flauti, Scorza, plusieurs écrits importans sur l'analyse géométrique des Anciens, qui s'y trouve rétablie dans sa pureté originaire.
Les ouvrages que les Anciens avaient composés sur cette matière, et dont nous venons de rapporter les titres que nous a laissés Pappus, formaient un système de complémens de Géométrie, qui eussent hâté les progrès de celte science, s'ils nous eussent été transmis intacts à la renaissance des lettres.
De tels complémens manquent à la Géométrie moderne : car on sent
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qu'eu égard à ses progrès et à son état de perfectionnement, ces complément doivent être faits aujourd'hui sur d'autres bases que ceux de l'école grecque. Ils devront être empreints surtout de l'esprit de simplicité et de généralité qui fait le caractère des nouvelles doctrines de la Géométrie.
§ 43. Vers le même temps que Pappus, le géomètre Serenus s'acquit quelque célébrité par un ouvrage en deux livres, sur les sections du cylindre et du cône où il démontra, contre le sentiment de la plupart des géomètres de son temps, l'identité des ellipses faites dans ces deux corps, qu'il suppose à base circulaire et scalènes, c'est-àdire obliques.
On distingue dans le premier livre les deux problèmes suivans, dont les solutions sont d'une facilité et d'une élégance qui ne laissent rien à désirer : ((Étant donné un cône oblique, à base circulaire, coupé suivant une ellipse, faire passer par cette ellipse un cylindre qui ait aussi pour base un cercle, sur le plan de la base du cône (proposition 20). )> Et réciproquement : « Etant donné un cylindre coupé suivant une ellipse, etc.» (Proposition 21.)
Serenus suppose, comme Apollonius, que le plan coupant, dans le cône, est perpendiculaire au triangle par l'axe : et c'est ici le lieu de remarquer, puisque nous n'allons plus trouver jusques aux temps modernes d'autre écrivain sur les coniques, qu'il parait que les Anciens n'ont jamais formé ces courbes que de cette manière particulière; c'est-à-dire par des plans nécessairement perpendiculaires au triangle par l'axe; et que la question de savoir quelles courbes donneraient d'autres plans sécans, menés tout-à-fait arbitrairement, n'a point été agitée par eux, ou au moins n'a pas été résolue. Peut-être leur avait-elle présenté des difficultés qu'il était réservé aux Modernes de surmonter. Nous verrons que ce fut Desargues qui eut le mérite de faire, le premier, ce pas important dans la théorie des coniques,
• Halley a fait réimprimer en grec et en latin ces deux livres , à la suite de son édition des
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où il fut imité immédiatement pur Pascal , et ensuite par De la I lire .
Nous remarquerons encore ici que le cône à base circulaire, où les Anciens formaient leurs coniques, est resté complètement étranger à leurs spéculations; tellement qu'à l'exception du théorème de la section sous-eontrairp , ils ne nous en ont transmis aucune propriété. Ce n'est que dans ces derniers temps qu'on s'est occupé de cette matière, qui offre un nouveau champ de recherches, mois. S 44. Dioclès, inventeur de la cissoîde, dont il se servit pour résoudre le problème des deux moyennes proportionnelles, est de près d'un siècle postérieur à Pappus. On lui doit aussi une solution, par l'emploi de deux sections coniques, d'un problème difficile, traité par Archimède, où il s'agit de mener un plan qui divise la sphère en raison donnée; mais dont ce grand géomètre n'a point laissé la construction qu'il avait promise. La question devant dépendre d'une équation du troisième degré, et par conséquent ne pouvant être construite que par une section conique, ou une courbe d'un genre supérieur, il est probable qu' Archimède, qui ne se sert jamais que de la règle et du compas pour la résolution de ses problèmes, n'avait point donné suite à cette question, après en avoir promis la solution1.
La construction de Dioclès nous a été conservée par Eutocius, dans son commentaire du second livre de la sphère et du cylindre d'Archimède.
rtociss, § 45. Vers le milieu du Ve siècle, un philosophe célèbre, Proclus, •19-4M, chef de l'école Platonicienne établie à Athènes, y cultiva les mathématiques, et contribua par ses travaux et ses instructions A en soutenir l'éclat encore pendant quelque temps. II nous est resté de ce géomètre un commentaire sur le premier livre d'Euclide, qui contient des observations curieuses concernant l'histoire et la métaphysique de
1 Cette question est la proposition 8* du second livre du Traité de la sphère et du cylindre. Elle n donné lieu à une note très-intéressante de M. Poinsot , insérée dans le Commentaire de Peyrard , sur les autres d' Archimède , pag. 465, où l'on trouve l'interprétation géométrique des deux racines étrangères à la question de la sphère. Ces racines se rapportent à une question plus générale, qui comprend la sphero et l'hypcrboloïdc de révolution.
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la Géométrie. On y trouve une description de l'ellipse par le mouvement continu d'un point d'une droite dont les extrémités glissent sur les côtés d'un angle
Parmi les philosophes qui succédèrent à Proclus dans son école, «riscs. nous citerons, comme ayant rendu quelques services à la Géométrie, Marinus, auteur d'une préface ou introduction aux Données d'Euclide, où il explique la nature et le genre d'utilité de ces Données; et Isidore de Millet, très-savant dans la Géométrie, la mécanique et ",B0" «* ■»« l'architecture, auteur d'un instrument pour décrire la parabole d'un mouvement continu et résoudre par là le problème de la duplication du cube; premier exemple, sans doute, avec celui de la description de l'ellipse indiquée par Proclus, de la description organique des coniques, dont les Modernes ont fait une étude spéciale. Cet instrument, dont parle Eutocius, ressemblait à la lettre grecque A.
Eutocius, disciple d'Isidore, nous a laissé des commentaires sur les u iocm» coniques d'Apollonius et sur quelques ouvrages d'Archimède. Celui T 840 du second livre du Traité de la sphère et du cylindre est précieux pour l'histoire de la science, parce qu'il contient plusieurs fragmens de Géométrie des auteurs les plus anciens qui nous soient connus , et dont les ouvrages ne nous sont point parvenus. Ces fragmens sont relatifs â la solution du problème de la duplication du cube, ou des deux moyennes proportionnelles. Nous avons nommé, au commencement de cette Époque, d'après cet ouvrage d'Eutocius, les géomètres auxquels ils appartiennent. C'est en exposant la solution de Menechme qu'Eutocius parle de l'instrument dont Isidore se servait pour décrire la parabole d'un mouvement continu.
S 46. Les travaux des mathématiciens que nous venons de nommer furent les derniers qui illustrèrent l'école d'Alexandrie. Les arts et les sciences s'affaiblissaient déjà, lorsque l'Égypte devint la conquête des Arabes, et que l'embrasement de la fameuse bibliothèque des Ptolémées-, dépôt précieux, depuis dix siècles, de toutes les productions du
I Commentaire sur la définition 4' du 1" livre d'Euclidt. Toi. XI.
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génie et de l'érudition, fut le signal de la barbarie et des longues ténèbres qui enveloppèrent l'esprit humain.
Cependant, ces mômes Arabes, après un ou deux siècles, reconnurent leur ignorance, et entreprirent eux-mêmes la restauration des sciences. Ce sont eux qui nous transmirent soit le texte, soit la traduction dans leur langue, des manuscrits qui avaient échappé à leur fureur fanatique. Mais c'est là, à peu près, la seule obligation que nous leur devions. Car la Géométrie, entre leurs mains, à l'exception toutefois du calcul des triangles sphériques, resta stationnaire, leurs travaux se bornant a admirer et commenter les ouvrages grecs, comme s'ils marquaient le terme le plus élevé et le plus sublime de cette science.
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