CHAPITRE II

$ 1. L'état de stagnation où languirent les lettres, chez les Arabes et les autres nations, après la destruction du musée d'Alexandrie, dura près de mille ans ; et ce ne fut que vers le milieu du XVe siècle crue la Géométrie, suivant le mouvement général des sciences, reprit faveur.

Ses progrès furent lents d'abord; mais néanmoins les conceptions des géomètres ne tardèrent point à prendre un caractère de généralité et d'abstraction qu'elles n'avaient point encore eu jusqu'alors. Chaque méthode, en effet, ne comportait rien de général, et se bornait a la question particulière qui y avait donné lieu j chaque courbe connue , et le nombre en était très-restreint, avait été étudiée isolément, et par des moyens qui lui étaient tout spéciaux, et sans que ses propriétés, et les procédés qui y avaieut conduit, servissent à découvrir les propriétés d'une autre courbe. Nous citerons, par exemple, le fameux problème des tangentes, qui fut résolu pour quelques courbes, telles que les coniques et la spirale d'Archimèdc, par des considérations profondes, mais essentiellement différentes entre elles, et qui ne donnaient aucune ouverture pour la solution du même problème appliqué à d'autres courbes.

La méthode d'exhaustion , qui reposait sur une idée mère tout-à-fait générale, n'ôta point à la Géométrie son caractère d'étroitesse et de spécialité, parce que cette conception y manquant de moyens géné-

sa

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

raux d'application, devenait, dans chaque cas particulier, une question toute nouvelle, qui ne trouvait de ressources que dans les propriétés individuelles de la figure à laquelle on l'appliquait. Cette méthode néanmoins fait beaucoup d'honneur aux géomètres de l'antiquité, parce qu'elle est le germe d'une suite de méthodes de quadratures qui, depuis, ont fait, dans tous les temps, l'objet des travaux des plus célèbres mathématiciens, et dont le but final, et nous pouvons dire le triomphe, fut l'invention du calcul infinitésimal.

Ces considérations, qui tendent à faire ressortir la différence du spécial au général, du concret à l'abstrait, qui distingue la Géométrie jusqu'au XVe siècle, de la Géométrie postérieure, nous portent à regarder cette première époque comme formant les préliminaires de la science.

Le caractère de généralité et d'abstraction, que prit ensuite la Géométrie , s'est prononcé de plus en plus dans les époques suivantes , et fait aujourd'hui une différence immense entre la Géométrie moderne et celle des Anciens.

§ 2. Les principales découvertes de la Géométrie, à sa renaissance , sont dues à Viètc et à Kepler, qui sont à plusieurs titres les premiers auteurs de notre supériorité sur les Anciens. ( Voir la Note XII).

Viète, après avoir complété la méthode analytique de Platon, par l'invention de l'algèbre, ou logistique spécieuse, destinée à mettre cette méthode en pratique dans la science des nombres, eut encore la gloire d'introduire cet instrument admirable dans la science de l'étendue, et d'initier les géomètres, par une construction graphique des équations du second et du troisième degré, dans l'art de représenter géométriquement les résultats de l'algèbre ; premier pas vers une alliance plus intime entre l'algèbre et la Géométrie, qui devait conduire aux grandes découvertes de Descartes, et devenir la clef universelle des mathématiques.

On doit à Viète la doctrine des sections angulaires, c'est-à-dire la connaissance de la loi suivant laquelle croissent ou décroissent les sinus, ou les cordes des arcs multiples ou sous-multiples. La première

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idée d'exprimer l'aire d'une courbe par une suite infinie de termes se trouve aussi dans les ouvrages de ce grand géomètre.

Viète n'était pas moins profond dans la Géométrie pure des Anciens que dans l'analyse algébrique. On lui doit le traité d'Apollonius De Tactionibus, qu'il a restitué sous le titre d'Apollonius Gallus. C'est là qu'il résolut, le premier, le problème du cercle tangent à trois cercles donnés dans un plan, qui occupait alors les géomètres, et leur présentait des difficultés. Le célèbre Adrianus Romanus ne le résolvait que par l'emploi de deux hyperboles; ce qui était une faute contre les règles d'une bonne méthode, puisque la ligne droite seule devait suffire : aussi a-t-elle été relevée par Viète {Opéra Vielœ, pag. 325, édition de Schooten; 1646). Les plus grands géomètres ont continué, depuis, de s'occuper de ce problème , et en ont donné différentes solutions, parmi lesquelles on distingue celles de Descartes, de Newton ', de Th. Simpson, de Lambert, d Eu 1er, de Fuss.

Mais ce problème n'a plus offert aucune difficulté aux méthodes récentes, qui en ont fourni des solutions incomparablement plus élégantes et plus faciles, en théorie et en pratique, que toutes les autres *, et il ne doit plus aujourd'hui sa célébrité qu'aux grands noms qui brillent dans son histoire 3.

On remarque surtout, dans les écrits géométriques de Viète, une

1 On trouve nnc solution analytique du problème en question dans Y Arithmétique unicerselle (prob. 47), et une solution purement géométrique dans le 1" livre des Principe* de la philosophie naturelle (lemme 16). Celle-ci est fondée sur la considération des deux hyperboles d'Adrianus Romanus ; mais Newton n'a pas besoin de les construire , pour trouver leur point d'intersection. Il détermine deux droites qui doivent se couper en ce point.

2 On peut même généraliser la question , en prenant certaines sections coniques au lieu de cercles ; et les constructions conservent leur simplicité (roir la Note XXVlll, où la question analogue sera traitée pour des sphères , et plus généralement pour des surfaces du second degré).

1 M. Camcrcr a publié sur ce problème, il y a une quarantaine d'années , un livre intéressant, à la suite duquel il a reproduit Y Apollonius Gallus de Viète ; voici le titre do cet ouvrage , qui indique les différentes parties dont il se compose : Apollonii de Tactionibus quas nupersunt, ac maxime Lemmata Pappi in hos libros grœcè , nunc primum édita e codicibus mseptis , cum Vietœ librorum Apollonii restitutione , ad Ijtctis obsertationibus , computationibus , ac problematis Apolloniani historia. Gotmc 1 795 , iu 8°.

54 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

partie intitulée Variorum de rébus mathematicis responsorum liber VIII, divisée en vingt chapitres, dont les principaux traitent de la résolution des triangles sphériques, de la duplication du cube et de la quadrature du cercle. Les tentatives des Anciens, pour résoudre ces deux grands problèmes, sont rapportées dans cet écrit avec une précision et une supériorité de savoir, qui font vivement regretter que les autres parties, qui ont dû le précéder, ne nous soient pas parvenues.

La trigonométrie sphérique doit à Viète les plus utiles perfectionnemens; entre autres la résolution de quelques cas nouveaux des triangles, qui n'avaient point eu d'application dans l'astronomie, par exemple, celui où il s'agit de trouver un angle par les trois côtés. Ces questions, qui complétaient la doctrine des triangles sphériques, ont conduit Viète a l'invention des deux formules analytiques générales qui comprennent tous les cas de la trigonométrie sphérique. Les deux autres, dont la première était contenue virtuellement, sans être énoncée expressément dans la trigonométrie des Grecs, avaient été découvertes par les Arabes, qui s'étaient beaucoup occupés de la trigonométrie.

§ 3. Nous devons surtout remarquer dans la trigonométrie de Viète une idée neuve, et infiniment heureuse, qui a un rapport direct avec les nouvelles doctrines de la Géométrie; c'est la transformation des triangles sphériques en d'autres , dont les angles et les côtés répondissent d'une certaine manière aux côtés et aux angles des triangles proposés, a Si des trois sommets d'un triangle sphérique, » dit-il, comme pôles, on décrit des arcs de grands cercles, le triangle » nouveau qui en résultera sera réciproque au premier triangle, tant » par les angles que par les côtés. » Hâtons-nous de dire que ce triangle réciproque n'est pas précisément le triangle polaire ou supplémentaire, dans lequel les côtés sont les supplémeus des angles du triangle primitif, et les angles les supplémens des côtés : deux des côtés du triangle de Viète sont égaux aux angles du triangle proposé, et le troisième côté égal au supplément du troisième angle. De cette manière la parfaite réciprocité des deux triangles supplémeutaires, d'où résulte cette dualité constante des propriétés des figures sphé-

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riques, n'a pas lieu dans les deux triangles de Viète. Mais cette idée féconde de transformer ainsi les triangles, pour certains cas de la trigonométrie, n'en mérite pas moins d'être signalée, comme étant le premier pas de l'esprit inventeur, et le premier germe des méthodes générales de dualisation actuellement en usage.

Les géomètres qui écrivirent sur la Géométrie sphérique après Viète, s'emparèrent de cette heureuse innovation et transformèrent aussi les triangles sphériques; mais en conservant le triangle réciproque même de Viète. Tels sont Adrien Metius, Magini, Pitiscus, Neper etCavalleri Gellibrand, aussi, fit de ces transformations; mais il parait n'avoir pas observé bien exactement les relations qui ont lieu entre les triangles correspondans.

La découverte du véritable triangle supplémentaire, qui devait résulter inévitablement de la doctrine de transformation de Viète, est due à Snellius. Ce géomètre, célèbre à plusieurs titres, l'a exposée comme un principe général fort utile, et dont il a montré les usages, dans son Traité de trigonométrie , qui parut en 1627, après sa mort. (Proposition 8, du livre III.)

C'est sur ce principe de Snellius, considéré d'une manière abstraite, et non point seulement comme moyen particulier de résoudre quelques cas de la trigonométrie sphérique, que repose la loi de dualité de la Géométrie de la sphère; loi qui a été connue depuis lors, mais dont on n'a point aperçu la haute importance; car elle n'a jamais été pratiquée dans toutes ses conséquences, et d'une manière systématique. Aussi la loi générale de dualité de l'étendue, c'est-à-dire cette double face que présentent tous les phénomènes de l'étendue figurée, qu'on aurait pu déduire immédiatement de la dualité des propositions sphériques, comme nous le ferons voir dans le cours de notre cinquième

1 II était difficile d'apercevoir dans la trigonométrie de Viète, les relations exactes qui ont lien entre ses deux triangles réciproques; mais elles sont présentées d'une manière bien pré cise, et qui ne laisse aucun doute, par Neper, dans son Mirifici logarithmorum canonie de»criptio ( in-4°, 1014), et par Cavallcri, d'abord dans son Directorium générale uranometricum (in-*», 103Î), puis dans son Traité de Trigonométrie (in-4», 1643).

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Époque, n'a-t-elle été aperçue que dans ces derniers temps, et par d'autres considérations plus savantes et moins directes. ihu, S 4. Kepler, dans sa Nouvelle stéréométrie introduisit le premier 1571-1631 l'usage de Y infini dans la Géométrie; idée profonde, qui fut le second acheminement, après la méthode d'exhaustion, pratiquée si habilement par Àrchimède, aux méthodes infinitésimales. Kepler appliqua sa méthode à la recherche des volumes des corps engendrés par la révolution d'une conique autour d'une droite , située dans son plan ; généralisation, alors importante, et qui offrait de grandes difficultés, des problèmes d' Archimède , sur les conoïdes et les sphéroïdes.

On doit aussi a Kepler une remarque heureuse, savoir que l'accroissement d'une variable, de l'ordonnée d'une courbe, par exemple, est nul à une distance infiniment proche du maximum ou du minimum; remarque qui contenait le germe de la règle analytique de maximis et minimis, qui illustra Fermât -vingt ans plus tard.

Nous devons citer de Kepler sa belle méthode des projections, pour déterminer, par une construction graphique , les circonstances des éclipses de soleil pour les habitans de différens points de la terre. C'était, 200 ans avant l'invention de la Géométrie descriptive , une application ingénieuse de la doctrine des projections , comme on ferait aujourd'hui. Cette méthode a été suivie par les célèbres astronomes et géomètres Cassini, Flamsteed, Wren, Halley, et généralisée par Lagrange dans un mémoire où il est intéressant de voir avec quelle habileté l'illustre auteur de la Mécanique analytique savait aussi se servir des procédés de la Géométrie descriptive , vingt ans avant que cette production du génie de Monge eût vu le jour \

Les travaux de Kepler ouvrirent un vaste champ de spéculations nouvelles; et si cette tête philosophique, qui créa l'astronomie moderne,

« iVoro itereomrtria doltorum , etc. Àceettit ttereometria Arckimedia tupplementum , in-fol., Lincii, 1615.

2 Le Mémoire de Lngrange a été lu à l'Académie de Berlin en 1778, et imprimé en allemand dans les Épkèmèrides de 1781. 11 a paru en français dans la Connaissance dut Temps pour 1819.

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eût appliqué davantage les forces de son génie à la pure Géométrie, cette science lui eût dû certainement des progrès considérables.

5 5. Quelques années après que Kepler eut donné sa méthode pour '\«tuun . déterminer les volumes des conoîdes, une autre théorie célèbre de la «m». même nature et destinée aussi à évaluer les grandeurs géométriques par leurs élémens, la Géométrie des indivisibles de Cavalleri (publiée en 1635), vint enrichir la science, et marquer l'époque des grands progrès qu'elle a faits dans les temps modernes. Cette méthode, propre principalement à la détermination des aires, des volumes, des centres de gravité des corps, et qui a suppléé avec avantage pendant cinquante ans au calcul intégral, n'était, comme l'a fait voir Cavalleri lui-même, qu'une application heureuse, ou plutôt une transformation de la méthode iïexhaustion.

$ 6. Nous devons placer entre les découvertes de Kepler et de Cavalleri la fameuse règle de Guldin, qui remonte, comme nous avons mm, dit, à Pappus; mais qui était inaperçue, lorsque Guldin la découvrit à 1577 " ,6U son tour, et s'en servit pour résoudre des problèmes difficiles et rebelles aux autres procédés. Mais cette méthode n'était point destinée, comme celles de Kepler et de Cavalleri, à reculer les bornes de la Géométrie.

§ 7. Le commencement du second tiers du XVII0 siècle où nous arrivons, est l'époque des plus sublimes et des plus brillantes découvertes. Presqu'au même instant parurent Descartes, Fermât et Roberval, qui ouvrirent des voies nouvelles aux spéculations les plus relevées.

Ces trois hommes illustres se partagent la gloire d'avoir résolu, chacun d'une manière différente, un problème qu'aucun géomètre n'avait encore osé aborder dans sa généralité; celui des tangentes aux lignes courbes , problème « le plus beau et le plus utile » que Descartes eût désiré savoir; et qui, en effet, était le prélude nécessaire à l'invention du calcul différentiel.

Les anciens géomètres définissaient la tangente à une courbe une droite qui, ayant un point commun avec la courbe, était telle qu'on ne pouvait mener par ce point aucune autre droite entre elle et la courbe. • C'est par ce principe qu'ils ont déterminé les tangentes dans quelques- To«. XI. 8

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unes des courbes qu'ils ont connues. Mais le peu de ressources qu'offrait ce principe , força les géomètres modernes d'envisager les tangentes sous d'autres points de vue. Ils les regardèrent comme des sécantes dont les deux points d'intersection sont réunis, ou comme le prolongement des côtés infiniment petits de la courbe considérée comme un polygone d'une infinité de côtés , ou comme la direction du mouvement composé par lequel la courbe peut être décrite.

La première manière fut celle de Descartes et de Fermât, quoique leurs solutions fussent très- différentes l'une de l'autre; la seconde, qui est la plus usitée maintenant, a été introduite explicitement et définitivement par Barrow, qui simplifia par cette idée la solution de Fermât; et enfin, la troisième est celle de Robcrval '.

La solution de Descartes repose sur les principes de sa nouvelle Géométrie, dont nous parlerons plus tard, en en faisant l'origine de notre troisième Époque.

Nous allons d'abord jeter un coup d'œil sur les travaux de Roberval, de Fermât et de quelques autres géomètres, leurs contemporains, qui contribuèrent en même temps qu'eux aux progrès immenses que fit alors la Géométrie pure des Anciens.

8 8. La méthode de Roberval, pour mener les tangentes, est basée sur la doctrine des mouvemens composés, que Galilée avait déjà, quelques années auparavant, découverte et introduite dans la mécanique, mais sans en faire d'application à la Géométrie.

Roberval énonce distinctement en ces termes son principe :

« Règle générale. Par les propriétés spécifiques do la ligne courbe (qui vous seront données), examinez les divers mouvemens qu'a le point qui la décrit à l'endroit où vous voulez mener la touchante : de tous ces mouvemens composés en un seul, tirez la ligne de direction du mouvement composé, vous aurez la touchante de la ligne courbe. »

1 Depuis, Mnclnurin a repria la définition des Anciens dans son Traité de» fluxion», comme étant la plus conforme à la rigueur géométrique qu'il voulait y observer ; et Lagrange l'adopta aussi comme principe de sa belle théorie de l'osculalion des courbes dans son Traité de» fonction» analytique».

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE

Cette méthode présente, quant au principe métaphysique , une analogie remarquable avec celle des Fluxions, que Newton créa longtemps après. Mais elle n'eut pas entre les mains de Roberval toutes les conséquences dont elle était susceptible, et dont l'honneur était réservé à Newton , parce que le secours d'un procédé analytique uniforme, propre à la mettre en pratique, manquait alors. Néanmoins la conception de Roberval, neuve sous plusieurs rapports, et vraiment philosophique, assure à ce géomètre une place distinguée dans l'histoire des découvertes mathématiques.

Son principe, en effet, créait une nouvelle manière de considérer les grandeurs, et d'en découvrir les relations. Dans la Géométrie, jusque là , on avait supposé les grandeurs déjà formées, pour les comparer entre elles ou avec leurs parties. Roberval, remontant à la génération des quantités , introduisait dans la Géométrie les puissances qu'il concevait les engendrer, et des rapports entre ces puissances, il déduisait ceux qui avaient lieu entre les quantités elles-mêmes. La puissance qu'il imaginait former les grandeurs est le mouvement.

Les Anciens avaient connu la composition des mouvemens , ainsi que nous le voyons dans les questions mécaniques d'Aristote 1 : de plus ils l'avaient appliquée à la Géométrie pour concevoir la génération de certaines courbes. La manière dont Archimède décrivait sa spirale, par la composition du mouvement circulaire et du mouvement rectiligne, et la description de la spirale sphérique de Pappus en sont des preuves. Mais ces géomètres n'appliquèrent ces considérations de mouvement qu'à quelques courbes particulières, et n'eurent point l'idée d'en faire, comme Roberval, un principe de génération de toutes les courbes, et surtout n'en firent point usage pour découvrir leurs propriétés.

1 Pattt igiiur, quotieêcumque aliquid per diametrum duplice fi, in diverta tendent e , impellatur, illud necetiario ferri tecundum rationem laterum. Quœst. mechan. , cap. 11.

Aristote revient sur ce principe dan» sa 23* question , pour montrer que selon que les directions des deux mouvemens composans font un nngle plus grand ou plus petit , la quantité ci la direction du mouvement résultant peuvent devenir très-différentes.

Le célèbre philosophe parle encore asset distinctement du même principe , au chap. VIII du )î' livre de sa Métaphysique.

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Cette circonstance, que la méthode de Roberval comportait la plus grande généralité, mérite d'être remarquée a une époque où la Géométrie se réduisait encore à l'étude particulière de quelques courbes, considérées individuellement. C'est un des premiers exemples du passage des idées concrètes aux idées abstraites dans la science de l'étendue.

On a fait quelques fausses applications de la méthode de Roberval, en observant mal le principe de la composition des mouvemens, comme il est arrivé aussi quelquefois dans des questions de mécanique. Mais ces faits d'inattention ne portent aucune atteinte à la méthode, dont la règle est énoncée par Roberval d'une manière sûre, quoique démontrée d'un style peu facile, et dont les treize applications que l'auteur en fait a des courbes très-difTérentes 1 sont parfaitement exactes.

La conception de Roberval était à la hauteur de celles de Descartes et de Fermât, auxquelles elle ne le cédait que parce que celles-ci s'étaient aidées du secours puissant de l'analyse , sans lequel elles seraient restées stériles. Roberval avait su apprécier cet avantage des méthodes de ses deux illustres rivaux sur la sienne. Le jugement qu'il porta à ce sujet, dans une lettre adressée à Fermât, nous parait pouvoir être confirmé. Roberval, après avoir parlé de diverses applications de sa méthode, ajoute : «Elle n'est pas inventée » avec une si subtile et si profonde Géométrie que la vôtre, ou celle » de M. Descartes, et partant elle parait avec moins d'artifice; en ré- » compense elle me semble plus simple, plus naturelle et plus courte ; » de sorte que, pour toutes les touchantes dont j'ai parlé, il ne m'a » pas même été besoin de mettre la main à la plume. » ( OEuvres de Fermai, pag. 165.)

S 9. Roberval fut encore l'émule de Fermât dans toutes les questions

1 Ln parabole ; l'hyperbole ; l'ellipse ; la concholdo do Nicomède ; direrte» autre» conchoïde« ; le limaçon do Pascal ; la spirale d'Archimède ; la quadratricc de Dinostrate ; la ciwoïdido Dioclès; la cycloîde; la compagne de la cycloîde, et la parabole de Descartes (courbe du troisième degré, que Descartes engendrait d'an mouTcmcnt continu, et dont il faisait usage dans sa Géométrie, pour la construction des équations du sixième degré).

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

des dimensions des figures, et de leurs centres de gravité, qui touchaient de si près au calcul intégral actuel. Il avait imaginé, pour résoudre ces questions, une méthode analogue à celle de Cavalleri, mais qu'il présentait sous un point de vue plus conforme à la rigueur géométrique. 11 intitula cette méthode, qu'il avait puisée, dit-il, dans une lecture approfondie des ouvrages d'Archimède, Traité des indivisibles. Il parait certain qu'il la possédait avant que Cavalleri eût publié la sienne, et qu'il la gardait in petto , dans la vue de se procurer une supériorité flatteuse sur ses rivaux, par la difficulté des problèmes qu'elle le mettait en état de résoudre. Il en résulta que tout l'honneur d'une aussi utile découverte resta à Cavalleri '.

Ç 10. La solution de Fermât, pour les tangentes des courbes, repose sur les mômes principes que sa belle méthode De maximis et minimis, où il introduisait, pour la première fois, l'infini dans le calcul, comme Kepler l'avait introduit dans la Géométrie pure. Aussi cette méthode a fait regarder Fermât comme le premier inventeur du calcul infinitésimal.

Le passage suivant, extrait du Calcul des fonctions de l'illustre Lagrange, fait connaître d'une manière claire et précise l'esprit et le mécanisme des procédés de Fermât, et le lien qui les unit aux nouveaux calculs : « Dans sa méthode De maximis et minimis, il égale l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le minimum , à l'expression de la même quantité dans laquelle l'inconnue est augmentée d'une quantité indéterminée. Il fait disparaître dans cette équation les radicaux et les fractions, s'il y en a, et après avoir effacé les termes communs dans les deux membres, il divise tous les autres par la quantité indéterminée qui se trouve les multiplier; ensuite il fait cette quantité nulle, et il a une équation qui sert à déterminer l'inconnue de la question. Or, il est

1 Le Traité des indivisibles ne parut , ainsi que la plupart des outres ouvrages de Robervnl , qne près de vingt ans après sa mort , dans le recueil intitule : Divers ouvrages de mathématique* et de physique , par MM. de l'académie royale des sciences ; in fol., 1093; puis en 1730, clans le tome VI des anciens Mémoires de l'Académie des science*.

62 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

facile de voir au premier coup d'œil que la règle déduite du calcul différentiel, qui consiste a égaler à zéro la différentielle de l'expression qu'on veut rendre un maximum ou un minimum, prise en faisant varier l'inconnue de cette expression, donne le même résultat, parce que le fond est le même, et que les termes qu'on néglige comme infiniment petits dans le calcul différentiel, sont ceux qu'on doit supprimer comme nuls dans le procédé de Fermât. Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Dans l'équation entre l'abscisse et l'ordonnée, qu'il appelle la propriété spécilique de la courbe, il augmente ou diminue l'abscisse d'une quantité indéterminée, et il regarde la nouvelle ordonnée comme appartenant à la fois à la courbe et à la tangente, ce qui fournit une équation qu'il traite comme celle d'un cas de maximum ou de minimum. On voit encore ici l'analogie de la méthode de Fermât avec celle du calcul différentiel; car la quantité indéterminée dont on augmente l'abscisse, répond à la différentielle de celle-ci, et l'augmentation correspondante de l'ordonnée répond à la différentielle de cette dernière. Il est même remarquable que dans l'écrit qui contient la découverte du calcul différentiel, imprimé dans les Actes de Leipzig du mois d'octobre 1684, sous le titre : Nova methodus pro maximis et minimis , etc., Leibnitz appelle la différentielle de l'ordonnée une ligne qui soit à l'accroissement arbitraire de l'abscisse comme l'ordonnée à la soutangente; ce qui rapproche son analyse de celle de Fermât. 1 »

1 M. Poisson n'a pas été tout-à-fait aussi absolu que Lagrange dans ic jugement qu'il a porté récemment dans cette grande question. L'impartialité que nous devons apporter sur ce point historique , où il s'agit de faire remonter a Fermât l'honneur d'une invention qui a répandu tant de gloire sur l'Angleterre et l'Allemagne , nous fait un devoir de rapporter ici les paroles de M. Poisson, qui d'ailleurs fout connaître de la manière la plus lumineuse le principe de la méthode de Fermât, et la nuance précise qui existe entre elle et l'invention de Leibnitz. A Fermât l'idée philosophique; à Leibnitz l'instrument indispensable pour la mettre en pratique.

« A mesure qu'une grandeur s'approche de son maximum ou de son minimum , elle varie de moins en moins, et sa différentielle s'évanouit lorsqu'elle atteint l'une ou l'autre de ces y valeurs extrêmes. En partant de ce principe , Fermât eut l'heureuse idéo , pour déterminer » le niQXitnufH ou le tntHtmuut d'une quantité, d'attribuer à la variable dont elle dépend,

niSTOIRE DE LA GEOMETRIE.

L'opinion de Lagrange, sur la part qu'on doit donner à Fermât dans l'invention des nouveaux calculs, a été celle aussi de ses illustres confrères Laplace et Fourier; elle avait déjà été émise, dans un temps où l'on n'avait pas encore songé à revendiquer pour Fermât la gloire qui lui est due, par d'Àlembert l, qui a écrit avec tant de profondeur et de sagacité sur la métaphysique de la Géométrie, et même par Buffon 2, traducteur du Traité des fluxions, et admirateur enthousiaste du grand Newton.

S 11. Fermât fut avec Pascal l'inventeur du calcul des probabilités, l'une des plus belles productions du XVIIe siècle.

Il fut sans égal dans la théorie des nombres, où il possédait sans doute une méthode simple qui nous est encore inconnue, malgré les grands perfectionnemens qu'a reçus l'analyse indéterminée; car les beaux théorèmes dont il ne nous a laissé que les énoncés, et qui ont occupé depuis les plus célèbres géomètres, n'ont été démontrés que successivement, à grand'peine et par des méthodes diverses.

> un accroissement infiniment petit , et d'égaler à zéro l'accroissement correspondant de cette " quantité , préalablement réduit au même ordre de grandeur que celui de la variable. C'est » de cette manière qu'il détermina la route de la lumière au passage d'un milieu dans un » autre , en supposant , d'après la théorie qu'il avait adoptée , que le temps de ce trajet

• doit étro un minimum. Lagrange le considère, pour celle raison , comme le premier inven- » leur du calcul différentiel ; mais ce calcul consiste dans un ensemble de règles propres à ■ trouver immédiatement les différentielles de toutes les fonctions , plutôt que dans l'usage

• qu'on fera de ces variations infiniment petites , pour résoudre telle ou telle espèce de pro- » blêmes ; et sous ce rapport, la création du calcul différentiel ne remonte pas au delà de

> Leibnitz, auteur de l'algorithme et de la notation qui ont généralement prévalu , dès l'ori-

• gine de ce calcul , et auxquels l'analyse infinitésimale est principalement redevable de ses » progrès, « {Mémoire sur le calcul des variation*, par M. Poisson, lu à l'Académie le 10 novembre 1831 , inséré dans le tom. XII des Mémoire» de V Académie des sciences).

' » On doit à Descartes l'application de l'algèbre a la Géométrie, sur laquelle le calcul différentiel est fondé, et à Fermât la première application du calcul aux quantités différentielles, pour trouver les tangentes ; la Géométrie nouvelle n'est que cette dernière méthode généralisée. » (Art. Gtoarnut de V Encyclopédie.)

3 ■ Fermât trouva moyen do calculer l'infini , et donna nne méthode excellente pour la résolution des plus grands et des moindres ; cette méthode est la même, à la notation près, que celle dont on se sert encore aujourd'hui ; enfin cette méthode était le calcul différentiel si son auteur l'eut généralisée. . (Préface de la traduction de la Méthode des fluxions de Newton.)

64 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

Malgré sa prédilection pour ces recherches numériques, Fermai enrichit aussi la Géométrie de belles découvertes.

A l'instar d'Archimède, qui avait donné la quadrature de la parabole, il carra les paraboles de tous les ordres; il détermina de plus les volumes et les centres de gravité des paraboloïdes, et de plusieurs autres solides; et il découvrit les propriétés d'une spirale différente de celle d'Archimède. Il alla encore au delà de ce prince des géomètres de l'antiquité en résolvant, par une méthode purement géométrique et fort analogue à la méthode d'exhaustion, une question dontArchimède n'avait point laissé de traces, et que Descartes avait jugée audessus des efforts de l'esprit humain, la rectification absolue de la parabole cubique et de quelques autres courbes {De linearum curvarum cum lineis redis comparai 'ione. Œuvres de Fermât, pag. 80); mais, ce travail n'ayant été publié qu'en 16G0, Fermât fut devancé dans la gloire de cette grande découverte, de la rectification d'une ligne courbe, par IVeil et Van Heuraet.

C'était sa méthode De maximis et minimis qui mettait Fermât en état de résoudre la plupart de ces grandes questions. L'une des plus belles applications qu'il en fit, fut au phénomène de la réfraction de la lumière, qui avait élevé entre lui et Descartes un démêlé célèbre. Sa solution fut la confirmation de la règle trouvée par sou illustre antagoniste, qu'il avait combattue jusque-là. Cette solution parut si belle, qu'elle lui fit partager avec Descartes la gloire d'avoir agrandi le domaine de la Géométrie, en introduisant cette science dans l'étude des phénomènes de la nature.

S 12. Fermât excella aussi dans cette autre partie de la Géométrie, qui se rapporte à l'analyse géométrique des Anciens, et que nous avons appelée la Géométrie d'Apollonius.

Il rétablit les lieux plans de ce géomètre, suivant les énoncés laissés par Pappus. Il annonçait, dans une lettre adressée a Roberval, qu'il en avait trouvé beaucoup d'autres très-beaux et dignes de remarques; mais les deux livres d'Apollonius seuls ont été imprimés, et nous sont connus.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

II apprit à trouver les lieux plans et solides, par une méthode analytique et générale, et à se servir de cette méthode pour la construction des problèmes par les lieux. C'était la méthode des coordonnées de Descartes, que Fermât avait lui-même conçue avant que le célèbre philosophe eût mis au jour sa Géométrie.

Fermât étendit ensuite cette doctrine à la question difficile de la construction des problèmes géométriques en général, par les courbes les plus simples. C'est dans ses recherches sur le degré des courbes nécessaires à la construction d'une équation quelconque, qu'il fut conduit à ce principe général, que Jacques Bernoulli démontra depuis dans les Actes de Leipzig de 1688, en reprochant à la Géométrie de Descartes de l'avoir omis; savoir : qu'il suffit toujours que le produit des dimensions des courbes qu'on emploie ne soit pas moindre que le degré de l'équation '.

§ 13. Dans son traité De contactihus sphœricis, Fermât résolut le premier, et complètement, les problèmes sur les contacts des sphères, comme Viète avait fait pour les contacts des cercles dans son Apollonius Gallu8.

Cette question lui avait été proposée par Descartes, qui dit, dans ses lettres, l'avoir résolue par la ligne droite et le cercle; mais dont la solution ne nous est pas parvenue.

Le travail de Fermât est complet, et écrit d'un style pur qui en fait un modèle de bonne Géométrie. Nous devons dire pourtant qu'on a fait beaucoup mieux dans ces derniers temps 2. Voici sous quel rapport :

1 De soluiione problematum geometricorum per curra$ timpliciuima* , etc. Opéra varia , pag. 110.

2 On n'avait point, jusqu'au commencement do ce siècle, d'autre traité du contact des «phères que celui de Fermât. A cette époque celle question fixa l'attention de quelques disciples de Monge , qui l'envisagèrent sous un point de vue nouveau , qui se ressentait déjà de la généralité de méthodes et do conceptions, qui fait le caractère de la Géométrie de cet illustre maître. Ces premiers essais furent consignés en partie dans le second numéro du 1" volume de la Correspondance polytechnique ; une courte analyse d'un Mémoire de 81. Ch. Dupin, qui devait tes compléter, parut plus tard dans le même recueil (tom. II, pag. 4Î0); elle est de nature, par les résultats élégans et nouveaux qu'elle contient, à faire regretter vivement que ce célèbre académicien n'ait pas publié son travail. On doit à M. Gaultier, professeur au Con-

To». XI. «

ce traité contient, outre le problème principal de la sphère tangente à quatre sphères données, quatorze autres problèmes, qui ne sont au fond que des cas particuliers de celui-là, mais que Ton est obligé de résoudre successivement, en s'élevant de l'un à l'autre, pour enfin arriver, par cette voie progressive, au problème final, dont la solution est élégante et facile, mais ne comprend pas celles des cas particuliers de la question, et se ramène, au contraire, à l'un de ces cas particuliers. La Géométrie moderne procède différemment ; elle donne tout d'un coup la solution du problème général; et celte solution s'applique à tous ces cas particuliers, par lesquels Fermât avait dû passer. On conçoit tout ce qu'a de satisfaisant une telle généralité de conception et de méthode, et l'on y reconnaît de véritables progrès dans la science. Qu'on nous permette d'ajouter que l'on peut, sous un autre point de vue, apporter une nouvelle sorte de généralisation dans cette matière, en substituant aux quatre sphères, quatre surfaces du second degré semblables entre elles , et plus généralement encore quatre surfaces du second degré quelconques, pourvu qu'elles soient inscrites toutes les quatre dans une même surface du même degré ; et l'on fait voir que ce problème et sa solution comprennent, comme corollaire, le cas des quatre sphères. ( Voir la Note XXVIII.)

•errntoire des art* et métiers , d'avoir repris cette question , qu'il a traitée avec une généralité tout à-fait nouvelle et satisfaisante. Des méthodes plus récentes ont encore donne un nouveau degré de simplification à cette matière. Les unes sont purement descriptives, c'est-à-dire qu'elles ne considèrent aucune relation de longueur de lignes , et ce sont les plus générales et les plus simples. Parmi les autres , qui exigent la mesure et la composition de certains rapports de lignes, on distingue celles que le célèbre Pergola et son savant disciple M. Flauti, ont données dans le» Mémoire* de l'Académie des Sciences de Naples. ( V oir aussi la Gcometria di tUê de M. Flauti, seconde édition, ann. 1821, pag. 156.)

La question do la sphère tangente à quatre autres, est une de celles où la Géométrie a eu pendant long-temps l'avantage sur l'analyse. Euler en avait présenté, en 1779, à l'Académie de Pétersbourg, deux solutions analytiques, qui ne parurent qu'au commencement de ce siècle dans le Ilecucil de cette Académie pour les années 1807-1808 (imprimé en 1810). Carnot déjà en avait indiqué une solution analytique dans sa Géométrie de position (p. 410), mais sans en effectuer les dévoloppcmcns qui l'auraient conduit à une équation du second degré. Ce fut , de nos jours, M. Poisson qui résolut , le premier , complètement cette question par le calcul. ( Bulletin de la Société philomatique, ann. 1812, pag. 141.) Peu de temps après,

Cette comparaison de la solution de Fermât aux solutions modernes ne paraîtra peut-être pas déplacée ici, comme montrant bien la nature des progrès que la Géométrie a faits, et de ceux auxquels elle doit tendre, même dans les questions où l'on se borne trop souvent à admirer les productions des grands géomètres, sans oser supposer que la perfectibilité de la science puisse leur porter atteinte.

S 14. Fermât avait commencé et promis la restitution des porismes d'Euclide, en donnant à ce mot un autre sens que celui qui a été généralement adopté depuis, d'après R. Simson. Mais, si le célèbre géomètre écossais a deviné et rétabli la forme des énoncés des porismes, Fermât avait peut-être aussi pénétré, et non moins heureusement, dans ce mystère, en concevant le but, la destination et la haute utilité qu'Euclide avait assignés à son Traité des porismes. Mais Fermât s'exprime a ce sujet si succinctement, qu'il a peut-être fallu trouver à priori les idées et les intentions que nous croyons apercevoir dans sa manière de considérer les porismes; et nous devons remettre à un autre moment le développement de notre opinion sur ce sujet.

Cinq théorèmes que Fermât a laissés, comme exemple ou spécimen des porismes, nous font regretter qu'il n'ait pas donné suite à son travail. Le troisième surtout de ces porismes, aurait mérité de fixer l'attention des géomètres, comme étant certainement l'un des plus beaux et des plus féconds de toute la théorie des coniques. C'est en effet précisément le fameux théorème de Desargues, sur l'involution de six points, si connu dans la Géométrie récente. Un autre porisme, que Fermât avait proposé à démontrer à Wallis, est un corollaire de ce théorème général appliqué à la parabole

Fermât avait promis non-seulement la restitution des trois livres des

MM. Binct et Français en ont donné aussi des solutions analytiques différentes ( 17* cahier du Journal de l'école polytechnique , et tom. III des Annales de mathématiques).

1 R. Simson a emprunté de Fermât ces deux belles propositions, et les a démontrées, la première dans son Traité des porismes, sous le n' 81 , et l'une et l'autre dans son Traité des sections coniques , livre 8e, propositions 12 et 19. La seconde, celle qui concerne la parabole , a aussi été reproduite par Ounam , dans son Dictionnaire de mathématiques , à l'art. Posisms.

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porismes d'Euclidc; mais il devait étendre cette doctrine au delà des bornes que le géomètre grec s'était posées, et l'appliquer aux sections coniques et à toutes sortes d'autres courbes. Il y avait découvert, ditil, des choses ignorées et admirables '. Loin de penser comme Simson que cette promesse était téméraire, nous croyons y voir un indice que Fermât avait compris la vraie doctrine d'Euclide, et avait su en découvrir toute la portée et la fécondité. niu, § 15. Dans le môme temps Pascal, saisissant avec sa pénétration 6î3-i6«î accoutumée l'esprit de la méthode des indivisibles de Cavalleri, en démontrait toute la rigueur, et se l'appropriait en l'appliquant d'une manière générale aux questions difficiles des surfaces, des volumes et des centres de gravité des corps. Ces recherches, qui offrent un monument précieux de la force de l'esprit humain, touchaient de près au calcul intégral ; elles sont le lien entre Àrchimède et Newton.

Avec le secours de cette méthode, Pascal surpassait les plus célèbres géomètres dans la recherche des propriétés de la cycloïde.

Déjà cette courbe fameuse, dont l'histoire se rattache à tontes les grandes conceptions du XVIIe siècle, avait été l'objet des travaux de Galilée, Descartes, Fermât, Roberval, Torricelli. Après avoir dormi quelque temps, elle fut remise sur la scène par Pascal, qui voulut, en quelque sorte, que la grande difficulté des questions nombreuses auxquelles cette courbe donnait lieu , servit d'essai et fût la mesure des forces et de la capacité des géomètres de son temps. Wren, Sluze,

1 fmà et Euclidem ipsum promotebimu* et porismata in coni tectionibu» et alite quibtucumqve curvts mirabilia $anè , et hactenus ignota delegemus. ( Varia opéra Mathcinatioa , png. 119.)

Celte promesse, que le jugement sûr et le noble caractère do l'auteur ne nous permettent pas de regarder comme exagérée, nous montre combien la Géométrie est intéressée à la découverte des manuscrits de Fermât, dont l'analyse, plus particulièrement, jusqu'ici , avait déploré la perte.

Espérons que nous ne sommes pas privés pour toujours d'ouvrages si précieux. Déjà H. Libri, dans les recherches auxquelles il se livre pour une histoire générale des sciences, a eu le bonheur d'en découvrir deux fragmens , qui étaient restés inédits , et de trouver diverses indications qui lui font espérer de nouvelles découvertes. L'esprit supérieur de ce célèbre analyste nous est un sûr garant qu'il attachera un haut prix, dans ses recherches, aux fragmens de pure Géométrie, comme aux productions analytiques du génie de Fermât.

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Wallis, Huygens, La Loubère, Fabri, répondirent a cet appel, et résolurent chacun une partie plus ou moins considérable des questions proposées; mais laissant tous à Pascal la gloire d'une solution complète. Depuis, la cycloïde eut une troisième phase, lors de l'invention du calcul différentiel. Outre ses propriétés géométriques si belles et si diverses, elle en acquit alors, entre les mains de Newton, de Leibnitz, des Bernoulli et du marquis de Lhôpital, de nouvelles, puisées dans des considérations de mécanique, qui ajoutèrent à l'importance et a la célébrité de cette courbe merveilleuse.

Le mouvement d'une roue sur un plan , dans lequel on a découvert la cycloïde, offre une seconde génération de cette courbe, à laquelle je ne crois pas que l'on ait fait attention; c'est que F enveloppe de f espace parcouru par un diamètre de la roue est précisément aussi une cycloïde

La considération de cette courbe a été l'origine d'une classe nombreuse de lignes, produites par le roulement d'une courbe donnée sur une autre courbe fixe, qui ont été considérées dans toute la généralité que comporte cette question, par Leibnitz, De la Hire, NicoUe, etc., et dont Herman et Clairaut ont étendu la théorie aux courbes décrites de la même manière sur la sphère.

S 16. Les travaux de Pascal sur cette autre partie de la Géométrie, qui se rattache à l'analyse géométrique des Anciens et à la théorie des coniques, ne méritent pas moins notre admiration que ses étonnantes découvertes sur la cycloïde, et que ses autres applications de la méthode de Cavalleri. Nous y trouvons, ainsi que dans un écrit de Desargues sur la même matière, le germe des nouvelles doctrines qui constituent la Géométrie moderne. Nous devons donc parler avec quelques détails de cette partie des découvertes de Pascal.

La plus saillante, et qui fut entre ses mains d'un usage magique, est

1 Les ëpicycloîdes sont susceptibles aussi d'une double génération semblable ; et on déduit de là diverses propriétés de ces courbes.

Si, au lieu d'un diamètre, on considère dans le cercle mobile une corde quelconque, son enveloppe sera une développante d'une épicycloîde.

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son beau théorème de l'hexagramme mystique. Il désignait ainsi cette propriété de tout hexagone inscrit à une conique, d'avoir les trois points de concours de ses côtés opposés, toujours en ligne droite. Cinq points déterminent une conique ; ce théorème est donc une relation de position d'un sixième point quelconque de cette courbe par rapport aux cinq premiers ; c'est donc une propriété fondamentale et caractéristique des coniques. Aussi Pascal, alors âgé seulement de seize ans, comme il le dit lui-même en avait fait la base d'un traité complet des coniques. Cet ouvrage ne nous est pas parvenu. Leibnitz, qui, pendant son séjour à Paris, l'a eu entre les mains, nous fait connaître par une lettre adressée en 1676 à 31. Perier, neveu de Pascal, les titres des six parties, ou traités, qui devaient le composer. ( Œuvres de Pascal, tom. V, pag. 459. )

Le titre de la lrc partie nous apprend que Pascal se servait des principes do la perspective, pour engendrer les coniques par le cercle, et tirer, de cette manière, leurs propriétés de celles du cercle. Cette méthode, suivant Leibnitz, était le fondement de tout l'ouvrage.

La 2nie partie roulait sur l'hexagramme mystique. « Après avoir » expliqué, dit Leibnitz, la génération du cône, faite optiquement » par la projection d'un cercle, sur un plan qui coupe le cône des » rayons, il explique les propriétés remarquables d'une certaine » figure, composée de six lignes droites; ce qu'il appelle hexagramme » mystique. »

Dans la 3me partie se trouvaient les applications de l'hexagramme ; les propriétés des cordes et des diamètres coupés harmoniquement ; et probablement les théorèmes qui constituent la théorie des pôles s.

1 Conicomm opus completum , et conica Apotlonii etalia innumera unicà ferè proposition* amplectens; quod quidem non du m ses decimum œtati* annum assecutus excogilavi, et deindè in ordinvm congessi. ( OL'uvres de Pascal, tom. IV, pag. 410.)

2 M. Poncclct a déjà exprimé cette opinion dans son Traité des propriétés projec tiers , pag. 101. Il nous parait facile de la justifier. Car le théorème de l'hexagone, quand on y suppose que deux cotés opposés deviennent infiniment petits, auquel cas la figure représente un quadrilatère inscrit à la conique , et deux tangentes menées par deux sommets opposés , ee théorème, dis-je, donne immédiatement, comme corollaire, le suivant : quand un qua-

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La 4™e partie contenait ce qui a rapport aux segmens faits sur des sécantes menées parallèlement à deux droites fixes, et les propriétés des foyers.

Dans la 5me, Pascal résolvait les problèmes où il s'agit de décrire une conique qui satisfasse à cinq conditions , de passer par des points et de toucher des droites.

Enfin, la 6n,c partie avait été intitulée par Leibnitz De loco solido. Quelques mots nous font supposer qu'il pouvait y être question du lameux problème de Pappus , Ad très aut quatuor lineas.

Quelques fragmens contenaient divers problèmes.

8 17. Heureusement, à l'occasion de ce traité, Pascal avait réuni, sous le titre Essai pour les coniques, quelques-uns des principaux théorèmes qu'il devait contenir, voulant les soumettre à l'examen des géomètres et avoir leur sentiment, avant de pousser plus loin sou travail. C'est cet Essai, qui parut en 1640, quand Pascal avait en effet à peine 16 ans, dont il est question dans quelques lettres de Descartes, à qui le P. Mersenne l'avait envoyé. Depuis il est resté enseveli pendant plus d'un siècle, et n'a revu le jour qu'en 1779, par les soins de M. Bossut, dans son édition complète des Œuvres de Pascal.

Cet écrit, de sept pages in-8°, est un fragment précieux des découvertes et de la méthode du grand Pascal, touchant les coniques. En voici une très-succincte analyse :

Le fameux théorème de l'hexagramme mystique se trouve d'abord énoncé, comme lemme, d'où tout le reste doit se déduire.

La première des propositions qui viennent ensuite est encore relative à l'hexagone inscrit dans une conique; c'est une relation entre les

drilatère est inscrit dans une conique, les tangentes à la courbe, menées par deux sommets apports, se coupent sur la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.

Ce théorème paraît répondre aux mot» de quatuor tamjentibus , et rectis puncta tactuum jungentibus, qui ae trouvent au titre de cette troisième partie, et être l'un de ceux que Pascal avait déduits de son hexagramme. Mai» on reconnaît aisément que ce théorème contient toute la théorie des pôles. 11 nous parait donc prouvé que cette théorie était comprise dans les applications que Pascal avait faites de l'hexagramme.

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segmens faits sur deux de ses côtés par deux autres côtés et deux diagonales. Cette relation n'est au fond que le théorème de Desargues sur linvolution de six points, mais présenté sous un point de vue différent, qui pouvait le rendre propre à de nouveaux usages. Pïous développerons cette idée dans la Note XV.

La proposition suivante, exprimée par une double égalité de rapports, renferme deux propositions différentes. La lre est la 129e du 7e livre des Collections mathématiques de Pappus, qui nous a donné lieu d'introduire la notion du rapport anharmonique , et dont nous avons déjà dit qu'elle pouvait être la base d'une partie considérable de la Géométrie récente ; la seconde est le théorème de Ptolémée sur le triangle coupé par une transversale.

Puis vient une proposition qui, eu égard à ce théorème de Ptolémée, se réduit à la belle et importante propriété des coniques, relative aux segmens qu'une telle courbe fait sur les trois côtés d'un triangle, due dans ces derniers temps à l'illustre auteur de la Géométrie de position.

La proposition suivante est cette même propriété des coniques, étendue à un quadrilatère quelconque, au lieu d'un triangle '. Ce théorème généralisé par Carnot, qui l'a démontré pour un polygone et une courbe géométrique quelconques, et l'a étendu même aux surfaces courbes 3, est un des plus féconds de la théorie des transversales.

Ensuite on remarque le fameux théorème sur l'involution de six points, « dont le premier inventeur est M. Desargues, un des grands esprits de ce temps, et des plus versés aux mathématiques, et entre autres aux coniques. » Pascal ajoute qu'il a « tâché d'imiter sa méthode sur ce sujet, qu'il a traité sans se servir du triangle par

' Si l'on suppose que deux sommets du quadrilatère soient à l'infini , les segmens qui aboutissent à ces sommels seront égaux, deux à deux, comme étant infinis, et comptés sur des droite* parallèles; alors il en résulte la belle propriété des coniques, relative au rapport constant des produits des segmens faits sur doux transversales issues d'un point quelconque , parallèlement à deux droites fixes.

• Géométrie de position , pag. 437.

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l'axe, en traitant généralement de toutes les sections du cône '. »

g 18. Nous concevons parfaitement, d'après la fécondité éprouvée des théorèmes que nous venons de citer, que Pascal en ait fait, comme il l'annonçait, la base tï Élément coniques complets; et qu'en les déduisant de son hexagramme mystique, il ait tiré de ce seul principe 400 corollaires, comme le dit le P. Mersenne, dans son traité De mensuris, ponderibus, etc.; in-fol., 1644 2. ( Voir la Note XIII).

On remarque que ces divers théorèmes principaux exprimaient chacun une certaine propriété de six points situés sur une conique ; ce qui explique comment Pascal avait pu les déduire de son hexagramme mystique, qui était lui-même une propriété générale de ces six points. Mais chacun de ces théorèmes avait pris une forme différente, qui le rendait propre à des usages particuliers qui comprenaient un nombre immense de propriétés des coniques.

C'est cet art infiniment utile de déduire d'un seul principe un grand nombre de vérités, dont les écrits des Anciens ne nous offrent point d'exemples, qui fait l'avantage de nos méthodes sur les leurs.

5 19. Pascal avait écrit plusieurs autres ouvrages de Géométrie, dans le style de son Traité des coniques. Les titres seuls nous en sont parvenus, par une note qu'il adressa en 1654 3 à une société de savans qui se réunissaient les uns chez les autres, avant la fondation de l'Académie des sciences, qui eut lieu en 1666.

Nous y voyons qu'à l'instar de Viète, il avait résolu, mais avec une extension considérable et par une méthode extrêmement simple, les problèmes sur les contacts des cercles; puis les questions analogues sur les contacts des sphères; qu'il avait écrit un traité des lieux plans,

> Nous avons explique, en parlant d'Apollonius , ce qu'on entend par le triangle par l'axe ; et nous avons dit que ce grand géomètre de l'antiquité supposait, pour former ses coniques , le plan coupant perpendiculaire au plan de ce triangle. Desargues , comme on voit , et Pascal , j»on exemple, traitaient les coniques d'une manière beaucoup plus générale, puisqu'ils prenaient le plan coupant dans une position tout-à-fait arbitraire.

s Unira propasitione unicertalissima , 400 corollariië armatd , integrum Apollonium compltxut ett.

» OEuvre» de Patcal, tom. IV, png. -108.

To». XI. 10

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plus étendu et plus considérable que ce qu'avaient fait les Anciens et les Modernes sur ce sujet, et par une méthode neuve et extrêmement expéditive; et enfin qu'il avait imaginé aussi une méthode nouvelle de perspective , aussi simple que possible, puisque chaque point du tableau se construisait par l'intersection de deux lignes droites.

Cette faible indication, que nous trouvons dans la note de Pascal, suffit pour nous faire regretter la perte d'écrits où devaient briller le génie inventeur de ce profond géomètre, et l'art admirable avec lequel il savait généraliser une première découverte, et en tirer toutes les vérités qu'elle renfermait.

g 20. Desargues, que Pascal avait pris pour guide, et qui était digne en effet d'un tel disciple, avait aussi écrit sur les coniques, un an auparavant, d'une manière neuve et originale. Sa méthode reposait, comme celle de Pascal, sur les principes de la perspective 1 , et sur quelques théorèmes de la théorie des transversales. Il ne nous reste que quelques indications peu lucides sur l'un de ses écrits , intitulé : Brouillon projet d'une atteinte aux événement des rencontres du cône avec un plan. Les autres, s'il en a existé plusieurs, ainsi que peut le faire supposer un passage de V Essai de Pascal, étaient peut-être sur des feuilles volantes, comme il parait que Desargues en usait, soit pour communiquer ses découvertes, soit pour répondre à ses nombreux détracteurs.

1 C'est uno question de savoir si les Anciens ont connu les usages de la perspective dans la Géométrie rationnelle ; et cette question, je crois, n'a point été approfondie. Au premier abord on serait tenté de répondre affirmativement; tant celle méthode est naturelle , et paraît liée à leur manière d'engendrer les coniques , dans le cône à base circulaire. Aussi cette opinion est-elle la plus commune chez les géomètres. Elle a été fortiGée dans ces derniers temps par le sentiment particulier de M. Poncclct sur les porismes d'Euclidc, qui auraient été des propositions démontrées par cette méthode ( Traité des propriétés projeclireê ; Introduction, p. xxxvij). Mais, malgré tout le respect que nous professons pour l'opinion de ce célèbre géomètre, nous devons avouer que nous n'avons trouvé dans la lecture des Anciens aucune trace , aucun indice qui nous autorisent à la partager dans cette circonstance. Nous croyons, au contraire, que la méthode de la perspective, comme nous la pratiquons actuellement en Géométrie rationnelle, n'a point été en usage dans l'école grecque. Aussi, jusqu'à un plus approfondi et plus ample examen, nous attribuerons cette méthode aux Modernes, et nous dironB que Desargues et Pascal ont le mérite de l'avoir appliquée, les premiers, à U théorie des coniques.

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Celui que nous venons de citer parut en 1639. D en est parlé dans plusieurs lettres de Descartes.

Cet écrit se distinguait par quelques propositions nouvelles , et surtout par l'esprit de la méthode, qui était fondée sur cette remarque judicieuse et féconde, que les sections coniques, étant formées par les différentes façons dont on coupe un cône qui a pour base un cercle, devaient participer aux propriétés de cette figure.

Desargues apportait donc une double innovation importante dans l'étude des coniques. D'abord il les considérait sur le cône dans toutes les positions possibles du plan coupant, sans se servir, comme les Anciens, du triangle par l'axe : et ensuite, il imaginait d'approprier à ces courbes les propriétés du cercle qui servait de base au cône.

Cette idée, qui nous paraît si simple et si naturelle aujourd'hui, parce que nous sommes accoutumés aux procédés de la perspective, et A divers autres modes de transformation des figures, n'était pas venue à l'esprit des géomètres d'Alexandrie. Car nous n'en trouvons aucune trace dans leurs ouvrages : et nous y voyons qu'en se servant, dans leur théorie des coniques, d'une propriété du cercle (celle du produit des segmens faits sur deux cordes qui se coupent), ils n'ont point eu l'intention de rechercher son analogue dans ces courbes ; mais seulement de démontrer leur théorème du lattis rectum.

§21. La méthode de Desargues lui permit d'apporter dans la théorie des coniques, comme il le fit dans divers autres écrits, des vues nouvelles de généralité, qui agrandissaient les conceptions et la métaphysique de la Géométrie.

Ainsi, il y considéra comme des variétés d'une même courbe les diverses sections du cône (le cercle, l'ellipse, la parabole, l'hyperbole et le système de deux lignes droites), qui, jusque-là, avaient toujours été traitées séparément, et par des moyens particuliers à chacune de ces sections

1 De$argue*i\t* primuê sectioncs conica* unirersali quadam ratione Iractare , ac propositione» multa* tic enuntiare ccepit, ut quacunque »ectio $ubinteliigi posset (Âct. erud., onn. 1688, pag. 400).

Descartes nous apprend que Desargues regardait aussi un système de plusieurs droites parallèles entre elles, comme une variété d'un système de droites concourantes en un même point; dans ce cas le point de concours était à l'infini. « Pour votre façon de considérer » les lignes parallèles comme si elles s'assemblaient à un but à di- » stance infinie, afin de les comprendre sous le même genre que

w celles qui tendent à un point, elle est fort bonne » 1 (Lettres de

Descartes , tom. III, pag. 457, édition in- 12.)

Leibnitz fait mention aussi de cette idée de Desargues dans un mémoire sur la manière de déterminer la courbe enveloppe d'une infinité de lignes (Acta erud. ann. 1692, pag. 168); et dans un autre endroit, il la rattache à sa loi de continuité (Comm. epist., tom. II, pag. 101 ). Newton adopta cette définition des parallèles dans les lemmes 18 et 22 de ses Principes de la philosophie naturelle, où il regarde des droites parallèles comme concourant en un point situé à l'infini.

Desargues appliquait aux systèmes de lignes droites les propriétés des lignes courbes; ce qui est aujourd'hui chose naturelle et trèsusitée, parce qu'un système de droites peut être représenté par une équation unique, comme une courbe géométrique; mais ce qui était alors une conception neuve et originale. Descartes en parle en ces termes , dans une lettre adressée au P. Mersenne :

« La façon dont il commence son raisonnement, en l'appliquant » tout ensemble aux lignes droites et aux courbes, est d'autant plus m belle qu'elle est plus générale, et semble être prise de ce que j'ai » coutume de nommer métaphysique de la Géométrie, qui est une » science dont je n'ai point remarqué qu'aucun autre se soit servi, » sinon Archimède. Pour moi, je m'en sers toujours pour juger en

1 Cette innovation fit sensation dans le temps. Bosse la cite en ces termes , comme exemple des manières universelles de Desargues en Géométrie : « Il fait voir , comme il l'a écrit à un ■ sien ami défunt, le rare et savant M. Pascal, fils, que les parallèles sont tontes semblables à » celle* qui aboutissent à un point, et qu'elles n'en diffèrent point. » ( 7V**M des pratiques gèomê traies et perspectives; in-12, 1665.)

» général des choses qui sont trouvables, et en quels lieux je les dois

» trouver » (Lettres, pag. 379 du tom. IV.)

$ 22. Les idées de Desargues, concernant les systèmes de lignes droites, comparés aux lignes courbes, ont dû le porter à chercher à appliquer aux sections coniques diverses propriétés connues du système de deux droites. L'une d'entre elles que Pascal, dans son Essai pour les coniques, appelle merveilleuse, et qui, en effet, est d'une fécondité extrême, nous a été conservée. C'est la relation des segmens faits par une conique, et par les quatre côtés d'un quadrilatère qui lui est inscrit, sur une transversale menée arbitrairement dans le plan de la courbe.

Cette relation consiste en ce que : « Le produit des segmens compris » sur la transversale, entre un point de la conique et deux côtés op- » posés du quadrilatère, est au produit des segmens compris entre » le même point de la conique et les deux autres côtés opposés du » quadrilatère, dans un rapport qui est égal à celui des produits sem- » blablement faits avec le deuxième point de la conique situé sur la » transversale. »

Ce théorème est énoncé par Pascal dans son Essai pour les coniques, et par Beaugrand dans une lettre critique sur l'ouvrage de Desargues, intitulé Brouillon projet (Tune atteinte aux événemens des rencontres du cône avec un plan. Cette lettre nous apprend que Desargues appelait la relation qui constitue son beau théorème involution de six points.

On voit comment les six points se correspondent, ou sont conjugués deux à deux. Desargues examinait le cas où deux points conjugués venaient à se confondre; il y avait alors involution de cinq points puis celui où deux autres points conjugués se confondaient aussi; alors on

1 11 peut y avoir encore , dans un antre cas , involulion de cinq points : c'est quand le sixième point est à l'in6ni ; alors son conjugué a une position très-remarquable. Je ne sais si l'on n «aminé particulièrement ce cas , qui se présente souvent sans qu'on songe à le rattacher à la théorie de l'involution.

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n'avait plus que quatre points, et la relation d'involution devenait un rapport harmonique.

La relation d'involution de six points, telle que nous l'avons énoncée, contient huit segmens; mais elle peut être remplacée par une autre, où n'entrent que six segmens, et celle-ci est la même que celle que Pappus a donnée pour les segmens faits sur une transversale par les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère (la 130e du livre VII des Collections mathématiques).

En considérant les deux diagonales comme une ligne du second degré qui passe par les quatre sommets du quadrilatère, on voit que le théorème de Desargues est une généralisation de la proposition de Puppus, dans laquelle se trouve substituée, à la place des deux diagonales du quadrilatère, une conique quelconque passant par les quatre sommets.

§ 23. Un excellent écrit de ML Brianchon , intitulé Mémoire sur les lignes du deuxième ordre (P nris 1817), est basé sur ce théorème, et en fait voir toute la fécondité. Mais il paraît que Desargues luimême avait su en tirer un parti considérable, pour démontrer un grand nombre des propriétés des coniques; car d'une part, Beaugrand dit, dans sa lettre 1 , qu'une partie du Brouillon projet, etc. , était employée à examiner les corollaires du théorème en question; et, de plus, nous trouvons dans les Pratiques géométrales et perspectives du graveur Bosse le passage suivant, qui se rapporte probablement à ce même théorème. Bosse répond aux détracteurs de Desargues , et ajoute : « Entre autres ce qu'il a fait imprimer des sections coniques, dont » une des propositions en comprend bien , comme cas , soixante de » celles des quatre premiers livres des coniques d'Apollonius, lui a » acquis l'estime des savans, qui le tiennent avoir été l'un des plus » naturels géomètres de notre temps, et entre autres la merveille de » notre siècle, feu M. Pascal. »

Nous trouvons encore quelques observations qui se rapportent au

• Voir la Note XIV.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

théorème en question, et qui prouvent que Desargues avait su en faire un grand usage, dans un ouvrage du graveur Grégoire Huret, intitulé : Optique de portraiture et peinture, etc. Paris 1670; in-fol.

Ainsi, il est constant que le théorème de Desargues était le fondement de sa théorie des coniques, et que les nombreuses propriétés de ces courbes, que nous avons appris, depuis quelques années, à déduire de ce théorème , n'avaient point échappé à l'esprit logique et essentiellement généralisateur de Desargues.

Mais, outre son extrême fécondité, le théorème en question présente un autre caractère qu'il n'est pas moins important de faire ressortir dans un examen philosophique de la marche et de l'esprit des méthodes concernant les coniques. C'est que ce théorème, par sa nature, permettait à Desargues de considérer, sur un cône à base circulaire , des sections tout-à-fait arbitraires, sans faire usage du triangle par l'axe, comme le dit Pascal; tandis que les Anciens et tous les écrivains après eux n'avaient coupé le cône que par des plans perpendiculaires à ce triangle par l'axe. Cette grande innovation nous parait être le principal mérite du traité des coniques de Desargues.

3 24. On voit par ce qui précède que l'ouvrage de Desargues était vraiment beau et original, et procurait une généralité et des facilités nouvelles à la Géométrie des coniques. Aussi fut-il apprécié comme tel par les grands génies du siècle. ÎVous avons déjà cité le sentiment d'admiration de Pascal pour cet ouvrage; nous trouvons qu'il fut. partagé par Fermât, qui, dans une lettre au P. Mersenne, s'exprime ainsi : « J'estime beaucoup M. Desargues, et d'autant plus qu'il est lui seul m inventeur de ses coniques. Son livret qui passe, dites-vous, pour v jargon, m'a paru très-intelligible et très-ingénieux. » (OEuvresde Fermât, pag. 173.)

Quant à la fécondité du théorème et à la facilité toute nouvelle qu'il apportait dans la théorie des coniques, on aperçoit aisément quelle en est la cause première. C'est qu'il exprimait une relation tout-à-fait générale de six points pris arbitrairement sur une conique. Les Anciens n'avaient connu de telles relations que pour des positions particulières

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

des six points, par exemple, pour le cas où quatre points étaient deux à deux sur deux cordes parallèles entre elles ( la relation dont ils se servaient alors était que les produits des segmens faits sur ces deux cordes par celle qui joignait les deux autres points, étaient entre eux comme les produits des segmens laits sur celle-ci par les deux premières). 11 leur fallait donc toujours diverses propositions intermédiaires, pour passer de la considération directe ou implicite de cinq points d'une conique à la considération d'un sixième point. De là, le grand nombre de propositions qui semblaient devoir entrer nécessairement dans un traité des coniques, et de là surtout la longueur des démonstrations.

La solution du problème ad quatuor fineas , il est vrai, faisait connaître une propriété tout-a-fait générale de six points d'une conique; mais jusqu'à Apollonius, ce problème n'avait point été résolu complètement, et ce grand géomètre, qui dit l'avoir résolu À l'aide des principes qu'il a compris dans son IIIe livre, n'a point eu le temps peutêtre d'en approfondir assez la nature pour le juger propre à entrer dans ses élémens des coniques, de sorte qu'il n'a été d'aucun usage chez les Anciens.

§ 25. Nous avons dit que Fermât avait laissé, parmi quelques propositions présentées comme porismes, le théorème de Desargues; et l'on ne peut douter que ce grand géomètre n'y soit parvenu de son côté. Mais, outre l'avantage d'une antériorité de plus de 25 ans, Desargues a celui d'avoir connu et mis à profit toutes les ressources que ce théorème oiTrait dans la théorie des coMiques.

R. Simson nous paraît être le seul géomètre qui se soit servi, jusqu'à ces derniers temps, de ce théorème qu'il a démontré dans le 5e livre de son Traité des Coniques (Proposition 12e); et dont il avait entrevu la fécondité, car, après en avoir tiré six corollaires, il ajoute qu'ils renferment des démonstrations naturelles et faciles de quelques propositions du premier livre des Principes de Newton. R. Simson avait emprunté ce théorème des OEuvres de Fermât, comme on le voit dans son Traité des Porismes. où il le démontre aussi sous le n° 81.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 81

S 26. On n'a considéré jusqu'à ce jour le théorème de Desargues que sous l'énoncé sous lequel nous l'avons présenté; et c'est ainsi qu'on en a fait de nombreuses applications. Mais, en y introduisant la notion du rapport anharmonique , on peut envisager ce théorème sous un autre point de vue , et lui donner une autre forme , qui en fera une proposition différente, et propre a de nouveaux usages. Cette proposition, qu'on peut regarder comme centrale dans la théorie des coniques, car une infinité de propriétés diverses de ces courbes, qui avaient paru sans liaison, et étrangères les unes aux autres, en dérivent naturellement, comme d'un centre unique; cette proposition, dis -je, offre une voie facile pour passer du théorème de Desargues à celui de Pascal, et vice versâ, et de chacun de ces deux -là à diverses autres propriétés générales des coniques, telles que le beau théorème de Newton sur la description organique de ces courbes. [Voir la Note XV.)

S 27. Les Anciens n'avaient considéré, pour former leurs coniques, que des cônes à base circulaire; et Desargues et Pascal les imitaient en ce point, puisqu'ils formaient ces courbes par la perspective du cercle. Il se présentait donc une question, à savoir si tous les cônes qui avaient pour base une conique quelconque étaient identiques avec les cônes à base circulaire; ou, en d'autres termes, si un cône quelconque à base elliptique, parabolique ou hyperbolique, pouvait être coupé suivant un cercle; et, dans le cas où cela serait, de déterminer la position du plan coupant. Ce fut Desargues, ainsi que nous l'apprend le P. Mersenne ', qûi proposa cette question, qui eut alors une certaine célébrité à raison de sa difliculté ; car elle est de la nature de celles qui, admettant trois solutions, dépendent en analyse d'une équation du troisième degré, et, en Géométrie, des sections coniques. Descartes la résolut par les principes de sa nouvelle Géométrie analytique, et d'une manière fort élégante, pour le cas où la base du cône est une parabole; auquel cas il n'a besoin que d'un cercle, dont l'in-

Unitertœ geometria> , mixtœque mathematicm lynopsiê , pag. 331 ; in-fol., 1644. Tom. XI. 11

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

tersection avec la parabole donne la solution demandée Depuis, cette même question a occupé plusieurs autres géomètres célèbres, le marquis de Lhopital J, Herman 3, le P. Jacquier *, qui suivirent la même marche analytique que Descartes, en y apportant quelques simplifications. Je ne crois pas que l'on ait donné de ce problème une solution purement géométrique et graphique. La difficulté disparait devant les nouvelles doctrines de la Géométrie, qui peuvent en procurer plusieurs solutions différentes5.

5 28. On doit à Desargues une propriété des triangles, qui est devenue fondamentale et d'un usage très-utile dans la Géométrie récente. C'est que : a Si deux triangles, situés dans l'espace, ou dans un même » plan, ont leurs sommets placés deux à deux sur trois droites con-

i Lettre» de Descartes, édition in 12, 1725 ; tom. VI, png. 328.

- ? rai té analytique des section» coniques . livre 10", pag. 407.

1 Commentant Académies Petropolitanœ , toin. VI; ann. 1732 et 1733.

* Elementi di perspettita; in 8». Romrc 1788 , png. 140.

5 II suffit de déterminer les trois axes principaux du cône, car on sait que de leur connaissance on conclut immédiatement la position des plans des sections circulaires.

Pour déterminer ces trois axes, je mène, par le grand axe de la conique G qui sert de base un cône , un plan perpendiculaire à celui de celte courbe ; et dans ce plan je conçois une second» conique qui ait pour sommets, et pour foyers, respectivement les foyers et les sommets de la prem icrc

Je regarde cette seconde conique comme la base d'un second cône qui ait même sommet que le cône proposé. Ce nouveau cône rencontrera le plan de la conique C suivant une autre conique. Ces deux courbes se rencontreront en quatre points qui seront les sommets d'un quadrilatère, dont les points de concours des côtés opposés , et le point de rencontre des deux diagonales , seront trois points appartenant aux trois axes cherchés.

Ainsi , le problème est résolu.

V* solution. Par le sommet du cône proposé, menons des droites perpendiculaires à ses plans tangens; elles forment un second cône du second degré qui rencontre le plan de la conique qui sert de base au premier cône, suivant une seconde conique. Ces deux courbes se rencontrent en quatre points qui servent, comme dans la solution précédente, à résoudre le problème.

Nous devons dire, plus généralement, qu'il existe, dans le plan des deux courbes, trois points tels que chacun d'eux a la même polaire par rapport aux deux coniques ; ces trois points appartiennent aux trois axes principaux cherchés.

Nous avons trouve différentes autres solutions du problème ; mais qui exigent toujours la construction d'une conique; ce qui doit être, puisque le problème admet trois solutions.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

» courantes en un même point, leurs côtés se rencontreront deux a » deux en trois points qui seront situés en ligne droite; » et réciproquement.

Ce théorème se trouve, avec deux autres, dont l'un est sa réciproque, à la suite du Traité de perspective, rédigé par Bosse d'après les principes et la méthode de Desargues, mise au jour en 1636. Quand les deux triangles sont situés dans deux plans différons, le théorème est de vérité intuitive, ainsi que le remarque Desargues; quand ils sont dans le même plan, sa démonstration offre cela de remarquable qu'il y est fait usage du théorème de Ptolémée sur le triangle coupé par une transversale. C'est un des premiers exemples, chez les Modernes, de l'application de ce célèbre théorème, qui depuis est devenu la base de la théorie des transversales.

Le théorème de Desargues a été reproduit, pour la première fois dans ces derniers temps, par M. Servois, dans son ouvrage intitulé : Solutions peu connues, etc.; et a été employé depuis par M. Brianchon (Correspondance polytechnique, t. III, p. 3.), par M. Poncelet, dans son Traité des propriétés projeciives, et par MM. Sturm et Gergonne (Annales de mathématiques, t. XVI et XVII). M. Poncelet en a fait la base de sa belle théorie des figures homologiqucs. Il a appelé les deux triangles en question homologiques, le point de concours des trois droites qui joignent deux à deux leurs sommets, centre dhomologie, et la droite sur laquelle se coupent deux à deux leurs trois côtés, axe dhomologie.

§ 29. Mais on ne s'est servi jusqu'à présent que des propriétés descriptives des deux triangles en question; et leurs relations métriques, ou de grandeur, non moins importantes que celles de situation, n'ont pas encore été considérées d'une manière générale. On n'en connaît que quelques cas particuliers. Ainsi, quand les deux triangles sont semblables et semblablement placés, auquel cas leur axe d'homologie

' Manière universelle de M. Detarguet, pour pratiquer la perspective par petit pied , comme le géomitral. In-8% 1848 , pag. 340.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

est à l'infini, on sait que les distances de leur centre de similitude à deux points homologues quelconques sont entre elles dans un rapport constant; et quand le centre d'homologie des deux triangles est à l'infini, on sait que ce sont les distances de deux points homologues, à l'axe d'homologie, qui sont entre elles dans un rapport constant. On conçoit que ces deux relations ne sont que des cas particuliers d'une certaine relation générale relative à deux triangles homologiques quelconques, dont ni le centre ni Vaxe d'homologie ne sont à l'infini. Nous démontrerons cette relation générale dans un chapitre de ce mémoire; mais sa simplicité nous permet de l'énoncer ici, comme complément du théorème de Desargues : elle consiste en ce que « le » rapport des distances de deux sommets homologues quelconques » des deux triangles, à leur centre d'homologie, est au rapport des )> distances des deux mêmes sommets à l'axe d'homologie, dans une )) raison constante. » Ce théorème nous sera très-utile, en nous offrant de nombreuses propriétés nouvelles des figures homologiques, et particulièrement du système de deux coniques quelconques, dont on n'a encore étudié d'une manière générale que les propriétés descriptives '.

Nous remarquerons encore, au sujet du théorème de Desargues, qu'il conduit naturellement à un beau principe de perspective, qui semble en être, en quelque sorte, la première destination; c'est que : « Quand deux figures planes, situées dans l'espace, sont la perspective » l'une de l'autre, si l'on fait tourner le plan de la première autour » de sa droite d'intersection avec le plan de la seconde, les droites » qui iront des points de la première figure aux points correspondans » de la seconde, concourront toujours en un même point2; et cela » aura encore lieu quand les plans des deux figures seront superposés

1 Les relations métriques de deux coniques quelconques, connues jusqu'à ce jour, se réduisent, jo crois, à quelques relations harmoniques.

2 Ce point de concours variera de position dans l'espace ; et il est facile de roir qu'il décrira un cercle situé dans un plan perpendiculaire h la droite d'intersection des plans des deux figures.

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE

m l'un sur l'autre. » Ce théorème peut offrir une intelligence facile de certaines pratiques de la perspective.

S 30. Desargues s'était occupé des applications de la Géométrie aux arts, et avait traité cet objet en homme supérieur, y apportant, avec une exactitude alors souvent inconnue aux artistes, les principes d'universalité que nous lui avons recouuus dans ses recherches de pure Géométrie.

Divers écrits de lui furent publiés sur la perspective, la coupe des pierres et le tracé des cadrans. Il parait que ces ouvrages étaient très-succincts, et pour ainsi dire comme des essais, qui renfermaient la substance d'ouvrages qui devaient être plus développés et plus complets. Quelques années après, A. Bosse, célèbre graveur, qui, quoique géomètre médiocre, avait eu assez de pénétration pour apprécier le génie de Desargues, fut initié par lui dans ses nouvelles conceptions, et les exposa de nouveau, mais d'une manière trèsdilTuse, qu'il croyait avoir appropriée aux usages des artistes, et qui ne l'était certainement pas à celui du véritable géomètre. Cependant, les écrits originaux de Desargues étant perdus, ceux de Bosse ont acquis, par cette circonstance, un certain mérite. Ils suffiraient, au géomètre qui voudrait les lire avec attention, pour rétablir les principes théoriques qui avaient servi de fondement aux diverses pratiques inventées par Desargues dans ses ouvrages originaux.

Ceux-ci avaient pour titres :

1° Méthode universelle de mettre en perspective les objets donnés réellement, ou en devis, avec leurs proportions, mesures, éloignemens, sans employer aucun point qui soit hors du champ de l'ouvrage, par G. D. L. (Girard Desargues, lyonnais), à Paris, 1636. Le privilège était de 1630.

2° Brouillon projet de la coupe des pierres. 1640.

3° Les cadrans, ou moyen de placer le style, ou F axe, inséré à la fin du Brouillon de la coupe des pierres '.

1 Nous avons trouvé le titre du premier de ces trois ouvrages dans la Pcnpectite de Sicènn

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

Le traité de perspective arrangé par Bosse contient un fragment de l'ouvrage original de Desargues. On y reconnaît le fondement et la substance de tout l'ouvrage de Bosse. Le but que s'y propose Desargues est de pratiquer la perspective sans se servir d'un dessin de l'objet, et au moyen seulement de cotes indiquant la position de chacun de ses points dans l'espace, de même que ces cotes serviraient, en architecture, pour construire le plan géométral et les coupes de cet objet. C'est à cette occasion qu'il imagina l'échelle fuyante, maintenant si en usage chez les artistes, et qui porte le nom de Desargues dans quelques traités de perspective. ( Voir celui d'Ozanam, pag. 62, édition de 1720, in-8°.)

Cet ouvrage était, au témoignage de Fermât « agréable et de )> bon esprit. » Descartes en porta un jugement semblable en écrivant au P. Mersenne : « Je n'ai reçu que depuis peu de jours les deux » petits livres in-folio que vous m'avez envoyés, dont l'un qui m traite de la perspective {et qui était de Desargues), n'est pas à » désapprouver, outre que la curiosité et la netteté de son langage » est à estimer. » {Lettres, tom. IV, pag. 257.)

Le livre des cadrans mérita aussi l'approbation de Descartes, qui trouva que « l'invention en était fort belle, et d'autant plus ingénieuse »' qu'elle était plus simple. » {Lettres, tom. IV, pag. 147.) Ce grand homme n'exprime pas son sentiment sur le livre de la coupe des pierres, parce que les figures y manquaient

Il paraît que l'invention des épicycloïdes et de leur usage en mécanique, dont Leibnitz a revendiqué l'honneur pour le célèbre astro-

( in-fol., 1662), et dans celle de Lambert (2* partie , Zurich 1773; in 8°); et le* titres des deux autres , qui paraissent aujourd'hui tout-à-fait inconnus, car nous n'en avions jamais vu aucune mention nulle part , dans un ouvrage fort rare de J. Curabelle, intitulé : Examen des OEutres du sieur Desargues; Paris 1644, în-4°(81 pages).

1 Baillet, dans la Vie de Descartes, dit que ces deux livres de Desargues ne furent publiés qu'en 1643. C'est une erreur; Baillet les confond avec ceux de Bosse , publiés en effet en 1643. Cet écrivain ignorait que Desargues eût produit en 1640 son Brouillon projet de la coupe des pierres, suivi des cadrans , qui est le seul ouvrage dont ait pu parler Descartes dans sa lettre, écrite en 1641 , au P. Mersenne.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

nome Roemcr, est due à Desargues. Car de La Dire nous apprend , dans la préface de son Traité des épicycloîdes , qu'il a fait au château de Beaulieu, près de Paris, une roue à dents épicycloïdales, à la place d'une autre semblable , qui y avait été autrefois construite par Desargues. De plus, de La Hire répète dans la préface de son Traité de mécanique, publié en 1695, qu'il donne la construction d'une roue où le frottement n'est pas sensible, et dont la première invention était due à Desargues, un des plus excellens géomètres du siècle.

S 31. Le caractère principal des écrits de Desargues était une grande généralité dans ses principes théoriques et dans leurs applications, telle que celle qui fait la beauté et le grand mérite de la Géométrie descriptive de Monge. Ainsi, il dit au commencement de son Brouillon projet de la coupe des pierres , que sa manière de trait pour la coupe des pierres est la même production que la manière de pratiquer la perspective '. Et dans une lettre écrite en 1643, jointe au traité des cadrans, arrangé par Bosse, Desargues parle de sa pensée et façon de concevoir ces matières dans F universel , comme c'est l'unique façon légitime de faire des savons.

Nous citerons encore le passuge suivant des Pratiques géomé- I raies et perspectives de Bosse : a M. Desargues démontrait univer- » sellement, par les solides, ce qui n'est pas l'usage ordinaire de H tous ceux qui se disent géomètres ou mathématiciens. »

Ces mots de Bosse, par les solides , ne signifieraient- ils pas que Desargues employait dans ses démonstrations la considération des figures à trois dimensions, pour parvenir aux propriétés des figures planes? ce qui est aujourd'hui le caractère de l'école de Monge, en Géométrie spéculative.

Plusieurs passages des lettres de Descartes font voir que Desargues ne bornait point ses recherches mathématiques à la Géométrie

' Ces parole» de Desargues sont rapportées par Curabelle , pag. 70 de sou ouvrage cité précédemment.

88 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

et à ses applications ; mais qu'il écrivait aussi sur l'analyse : on y voit môme que les matières philosophiques lui étaient également familières.

Ces détails montrent le génie de Desargues, dont ses plus illustres contemporains, Descartes, Pascal, Fermât, faisaient le plus grand cas; mais que des hommes médiocres, dont la nouveauté et la généralité de ses vues surpassaient l'intelligence , ont persécuté et dégoûté.

On doit à M. Poncelet d'avoir, le premier, dans son Traité des propriétés projectives , apprécié ce véritable et profond géomètre, et de l'avoir reconnu , sous le titre mérité de a Monge de son siècle, » comme l'un des fondateurs de la Géométrie moderne.

Nous ajouterons quelques détails au sujet de Desargues dans la Note XIV.

Nous ne retrouverons que plus d'un siècle après, l'esprit des méthodes de Desargues et de Pascal. C'est de La Hire qui nous le transmettra, dans son premier ouvrage sur les coniques, en 1673. Ce géomètre eut connaissance du Brouillon projet des coniques de Desargues, dont il cite le titre; mais il paraît que déjà VEssai pour les coniques de Pascal était tombé dans l'oubli '.

S 32. En parlant historiquement des travaux de Desargues et de Pascal sur la théorie des coniques, on doit citer un troisième géomètre, leur contemporain, qui les avait devancés de quelques années dans *»doii«, cette partie de la science. Mydorge, célèbre comme savant, et comme imj- 1647 ami (je l'illustre Descartes, eut le mérite d'être le premier en France qui écrivit un traité des sections coniques , et qui entreprit de simplifier les démonstrations des Anciens, et d'aller au delà de ce qu'ils avaient fait sur ce sujet.

Cet ouvrage parut d'abord en 1631 , en deux livres, puis en 1641 ,

' Cum nihil de hù Patealii, Desarguetii autem pauca tint édita , eo gratior fuit labor doctitnimi geometrœ Pli. de La Hirc. qui vestigii» istorum insistent , multaque perpulchra de tuo adjicient , jatn ante 13 annot libellum titulo Nor.i xetoodi MCTIMM CMtCal et ctmsmicas r.xrucasd! edidit {Act. Erud., ann. 1688 , pag. 400.)

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

en quatre livres; et devait être suivi de quatre autres qui sont restés manuscrits. Le P. Mersenne nous en a donné les titres dans son recueil Vniversœ Geometriœ mixtœque, etc., pag. 329. Mydorge n'a pas pour but principal, comme Desargues et Pascal, de faire dériver les propriétés des coniques de celles du cercle par la perspective ou par la considération constante du cône où elles prennent naissance. Son ouvrage est écrit dans le style des Anciens ; mais cependant, en faisant plus d'usage qu'eux de la considération du cône l'auteur peut comprendre dans une seule démonstration des propositions qui en demandaient trois à Apollonius; et il apporte ainsi une grande simpliûcation dans cette matière.

On remarque dans l'ouvrage de Mydorge une solution élégante (le ce problème : « Placer sur un cône donné une section conique donnée, » qu'Apollonius n'avait résolu, dans son sixième livre, que pour un cône droit. '( Propositions 39, 40 et 41 du 3e livre.)

Le second livre est destiné à la description des coniques par points sur le plan; objet dont Apollonius ne s'était pas occupé, mais qui avait dù être compris dans les lieux solides d'Aristée; car cet ouvrage traitait des coniques considérées sur le plan , et devait rouler sur celles de leurs propriétés qui ne font point partie des Elément coniques d'Apollonius, puisque Aristée lui-même avait écrit un pareil traité, différent de ses lieux solides.

Parmi les modes de description de Mydorge, nous citerons celle de l'ellipse par un point d'une droite dont les deux extrémités glissent sur deux droites fixes 2 ; et la description de la même courbe au moyen du cercle dont on alonge toutes les ordonnées dans un rapport constant; description déjà employée parStévin (Œuvres mathématiques,

1 Nous entrerons dans quelques dévcloppemens sur la méthode des Anciens, en parlant du grand Traité des coniquet de De La llire.

» Ce mode de description avait déjà été démontré par Stcvin , qui en attribue l'invention à Guido Ubaldi , qui en effet l'avait donné dans son traité intitulé : Planispkœricorum «ntrertalium Theorica (in--l°, 1579); mais cette description de l'ellipse fut connue des Anciens, ainsi que nous l'apprend Proclus, dans son Commentaire tur la seconde proposition du 1" livre i'Kuclide.

To». XI. 12

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

pag. 348). On trouve dons le même livre que si d'un point pris dans le plan d'une conique on mène des rayons aux points de la courbe, et qu'on les prolonge dans un rapport donné, leurs extrémités seront sur une nouvelle conique, semblable à la première; proposition extrêmement simple, contenue virtuellement dans le sixième livre d'Apollonius, qui traite des coniques semblables, et que nous ne citons ici, que parce qu'elle est, avec le mode de description précédente (l'alongement des ordonnées dans un rapport constant), le point de départ, et le cas le plus simple d'une méthode de déformation des figures, que nous verrons prendre de l'extension entre les mains de De La Hire et de Newton, que M. Poncelet, dans son traité des figures projectives, a étendue aux figures à trois dimensions , et que nous regardons dans l'état d'accroissement où nous la présentons dans lu seconde partie de cet écrit, sous le titre de Déformation homoyraphtque, comme l'une des méthodes les plus puissantes de la Géométrie moderne.

S 33. L'étendue que nous avons donnée à l'analyse des ouvrages de Desargues et de Pascal qui se rapportent à la Géométrie récente, nous a éloigné de cette autre partie de la Géométrie, qui concerne les mesures, et qui fait usage sous une forme explicite ou déguisée avec plus ou moins d'art, des considérations de l'infini.

Revenons à cette partie de la science, où nous avons déjà eu à citer comme inventeurs Kepler, Guldin, Cavalleri, Fermât, Roberval, Pascal. A la suite de ces hommes de génie, et sur le même rang, nous trouvons Grégoire de St.-Vincent.

Ce géomètre, l'un des plus profondément versés dans la Géométrie ancienne, appliqua, comme Cavalleri et Roberval, mais d'une manière qui lui était propre, les méthodes d'Archimède, pour les quadratures des espaces curvilignes. Sa méthode, intitulée Duclus plani in planum , perfectionnement , comme celles de Cavalleri et de Roberval , de la méthode d'exhaustion , était rigoureuse comme celle-ci, et d'un usage plus facile que les autres. La disposition différente des polygones inscrits et circonscrits aux courbes lui donnait

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE

une plus grande portée, dont Grégoire de St. -Vincent sut tirer un parti considérable. Cette différence entre la méthode d'Archimède et celle de Grégoire de St.-Vincent eut un autre avantage très-grand; car on peut regarder avec raison que le petit triangle différentiel qui apparaît dans les figures de Grégoire de St.-Vincent, entre la courbe et deux côtés consécutifs de l'un des deux polygones à échelles ( inscrit ou circonscrit), a conduit Barrow, Leibnitz et Newton au calcul infinitésimal. C'est ainsi que dans les sciences toutes les vérités s'onchainent et s'étendent, et que les plus grandes découvertes, loin d'être inspirées par révélation, ont été préparées de longue main.

Grégoire de St-Vincent», dont le mérité n'a point été assez apprécié, malgré le jugement porté par Huygens et par Leibnitz enrichit aussi la Géométrie de découvertes innombrables sur les sections coniques. C'est à lui qu'on doit la propriété remarquable des espaces

' Voici le« paroles de Leibnitz : Majora (nempè Galileani» et Cacallerianis) tubtidia attulerunt triumtiri célèbres , Cartesius ostensa ratione lineat Gcometria communie esprimendi per œquationes; Fermatiue intenta methodo de maximis et minimis: ac Gregorius a tancto Vincentio multis prœclaris in vent is. f.4cla erudit., 1086, et Œuvres de Leibnitz, tom. III, pag. 192.)

Quinze ans après, Leibnitz écrivait encore : Etsi Gregorius à S. Vincentio quadraturam circuli et kyperbolœ non absolvent, egregia tamen multa dédit. {OEutresde Leibnitz, tom. VI , pag. 189.)

Montucla s'exprime ainsi, dans son Histoire des mathématiques :

« L'ouvrage de Grégoire do St.-Vincent est an vrai trésor, une mine riche de vérités géomé- ■ triques et de découvertes importantes et curieuses. »

Si les travaux de Grégoire de St. -Vincent n'ont point été cultivés comme ils étaient dignes de l'èlre , la cause en est due , sans doute , à l'invention presque contemporaine de la Géométrie de Descartes, et de l'analyse infinitésimale, qui ont tourné toutes les méditations vers le calcul. Nous croyons pouvoir, après le double témoignage que nous venons de citer sur le mérite de ce géomètre , engager les jeunes mathématiciens qui ont foi dans les ressources et dans l'avenir de la Géométrie , à lire ses ouvrages. Plusieurs de ses belles découvertes leur paraîtront encore nouvelles.

Une intéressante notice de M. Quetelet, sur Grégoire de St.-Vincent, nous apprend qu'il a laissé de nombreux manuscrits , qui ont été réunis en 13 vol. in-fol. , et que possède la Bibliothèque de Bruxelles. « Il serait à désirer, ajoute M. Quetelet, qu'un ami des sciences prit la peine d'examiner ce rare monument. Il trouverait peut-être des choses qu'aujourd'hui même nous ignorons. Car les sections coniques offrent une source intarissable de propriétés, et l'on ne peut dire sans témérité que cette matière est épuisée. » ( Correspondance mathématique et fhgtique, tom. I«, pag. 163.)

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

hyperboliques entre les asymptotes, qui sont les logarithmes des abscisses.

Parmi ses nombreuses manières d'engendrer les coniques sur le plan, l'une par l'autre, nous devons citer ici deux procédés, qui, depuis, sont devenus d'un usage fréquent dans les arts, et qui sont le point de départ d'une série de méthodes pour la transformation des figures, qui forment une des doctrines les plus importantes de la Géométrie récente.

Le premier, qui avait déjà été employé par Stévin et Mydorge, consiste à faire croître dans un rapport constant, les ordonnées d'une courbe, et le second à faire tourner ces ordonnées autour de leurs pieds, d'une même quantité angulaire, de sorte qu'elles restent parallèles entre elles.

Grégoire de St.-Vincent transformait le cercle en ellipse, par chacun de ces deux procédés, ou par tous les deux, combinés de diverses manières.

Nous devons dire toutefois que ces deux modes de transformation n'en font réellement qu'un, et produisent identiquement les mêmes figures; mais ils sont présentés sous une forme différente, qui leur donne à chacun des avantages particuliers.

Il est toujours utile de considérer ainsi de plusieurs points de vue une même vérité, pour en faire tous les usages et en tirer toutes les conséquences dont elle est susceptible.

La théorie des coniques nous a déjà ofTert de cela une preuve bien convaincante, par les différentes transformations que nous avons vu que l'on peut faire subir soit au théorème de Desargues, soit à celui de Pascal, et qui les mettent en état d'embrasser dans leurs conséquences infinies la plupart des propriétés des coniques. (Voir la Note XV.)

Grégoire de St.-Vincent fit sur la symbolisation de la spirale et de la parabole, objet dont s'était occupé de son côté Gavalleri, un traité profond, qui contient des rapprochemens étonnans entre ces deux courbes, dont les nombreuses propriétés se correspondent. L'égalité

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de deux arcs correspondans des deux courbes, démontrée aussi par Roberval, mais d'une manière difficile, par sa doctrine des mouvemens composés, a été plus tard le sujet d'un beau mémoire de Pascal, qui offre le premier exemple de la comparaison de deux lignes de différente nature par la pure Géométrie des Anciens, et sans la considération des indivisibles1.

5 34. Si nous écrivions une histoire de la Géométrie, et non point seulement un aperçu de la formation successive de ses méthodes et principalement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne, nous aurions à citer, pour remplir le cadre de cette seconde Époque, les travaux de plusieurs autres géomètres qui cultivèrent aussi avec succès la pure Géométrie des Anciens et la nouvelle doctrine des indivisibles, et qui contribuèrent aux progrès considérables que la science fit alors. A leur téte se présenteraient les deux célèbres disciples de Galilée, Torricelli et Viviani, dont nous aimerions surtout à retracer les belles et importantes recherches, puis Leotaud, La Loubère, Gregory, Étienne de Angelis, Michel- Ange Ricci, Mercator, Schooten, Ceva, Huygens, Sluze, Wren, Nicolas, Lorenzini, Guido-Grandi, etc.

Plusieurs de ces géomètres s'adonnèrent aussi à la Géométrie de Descartes, qui prenait naissance, et vont figurer dans l'Époque suivante, parmi les promoteurs de cette grande invention.

1 Égalité des ligne$ »pirale et parabolique (OEuvres de Pascal , tora. V, pag. 420 452).

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