EA. EA' / FA.FA

EB. EB' { °U FB.FB' )

est un maximum ou un minimum C'est-à-dire que si l'on prend un autre point quelconque m . le rapport

iw A *iw A mK.mW

atteindra son maximum ou son minimum quand le point m viendra se confondre avec l'un des deux points E, F qui sont conjugués harmoniques par rapport aux deux A, A', et par rapport aux deux B, B'.

(18) Deux systèmes de points A, A' et B, B' et leur point central O, jouissent de la propriété suivante, démontrée par Pappus (propositions 45 , 46 et 56 du livre septième des Collections mathématiques) :

Si l'on prend *ur la droite AB , ou *ur ton prolongement , un point quelconque m, on aura toujour* la relation

«A.mA' mB.«B' = (AB + A'B'). mO.

1 M. Poncelet a prétend d'une autre manière cette discussion relative aux deux points E , /■', en te terrant de la construction géométrique propre à la détermination de cet deux pointa (Voir Traité dit Propriétés profteUwtê, pag. SOI).

XOTES.

prenant les pointe milieux a , ë des n celle-ci :

A A' et BB', on change cette rela-

niA.»i V — tnB.mB — î*£. «iO.

(19) En supposant que le point m se confonde successivement avec A , A' , B, B', on aura des relations particulières entre les cinq points A, A', B, B' et O, qui ont aussi été démontrées par Pappus, propositions 41 , 42 et 43.

Propriété* géométrique*.

(20) La plus ancienne propriété géométrique de l'involution de six points, se trouve dans Pappus (proposition 130 du septième livre), où l'on voit que quand les quatre cotés et les deux diagonales d'un quadrilatère sont rencontrés par une diagonale quelconque en six points, A , A ; B, B ; et C, C',dont les deux premiers appartiennent à deux côtés opposés , les deux suivans aux deux autres côtés opposés , et enfin les deux derniers aux deux diagonales , on a entre les segmens formés par ces points, les équations (B).

Il résulte évidemment de celte proposition que, réciproquement, quand une des équations (B) a lieu, on peut faire passer par les six points , les quatre côté3 et les deux diagonales d'un quadrilatère; et l'on conclut de là, par la proposition de Pappus, que les trois autres équations (B) ont lien en vertu de la première.

Voilà comment, au moven de la proposition géométrique de Pappus , on démontre cette propriété arithmétique de l'involution de six points, savoir, que l'une quelconque des équations (B) comporte les trois autres.

Et comme, en combinant ces équations entre elles, on en déduit immédiatement les équations (A) , il se trouve aussi démontré , par la seule proposition de Pappus, que les six points où une transversale menée arbitrairement dans le plan d'un quadrilatère rencontre ses quatre côtés et ses deux diagonales , ont entre eux les relations exprimées par le» équations (A).

(21) La démonstration du théorème de Pappus est facile; mais au moyen de ce que la relation d'involutiou est projective, on peut simplifier cette démonstration , en projetant le quadrilatère de manière qu'il devienne un parallélogramme.

C'est ainsi qu'a fait M. Brianchon pour démontrer ce théorème, dans son Mémoire sur les lignes du second ordre.

(22) Il ne paraît pas que les relations (A), qui comprennent huit segmens, aient été connues de Pappus. Car parmi ses propositions sur le quadrilatère coupé par une transversale, nous n'en trouvons qu'une qui se rapporte à ces relations; c'en est un cas particulier. La transversale est menée par le point de concours de deux côtés opposés, parallèlement à une diagonale (proposition 133). Les deux propositions qui précédent celle-là pourraient être aussi considérées comme des cas particuliers des relations (A); mais comme elles viennent immédiatement après la proposition 130, dont elles sont aussi des cas par-

NOTES

ticuliers , nous devons les y rattacher , et les regarder comme des corollaires des relations (B) qu'exprime cette proposition 130.

(23) Les équations (A) ne paraissent pas remonter au delà de Desargues; c'est sous leur forme que ce géomètre a caractérisé l'involution de tix point», à l'occasion du beau théorème suivant , qui est devenu si fécond dans la Géométrie récente, savoir , que :

Un quadrilatère étant inscrit dans une conique , le» point» oit une transversale quelconque rencontre la conique et le» quatre côté» du quadrilatère, »ont en involution.

Il est extrêmement facile de démontrer ce théorème par de simples considérations de Géométrie >.

(24) Et l'on en conclut successivement les deux suivans, qui sont plus généraux : Quand deux conique» tout circonterite» à un quadrilatère , »i l'on tire une transver

taie quelconque qui rencontre ce» courbe» en quatre point», et deux côté» opposé» du quadrilatère en deux autre* point» ; ce» »ix point» seront en involution.

Quand trois coniques tout circonterite» à un même quadrilatère , une transversale quelconque le* rencontre en six points qui sont en involution.

Ces deux théorèmes sont, comme on voit, une généralisation de celui de Desargues, qui s'en conclut comme corollaire. M. Slurm les a démontrés le premier par l'analyse 2.

(25) Le dernier pourrait servir à démontrer les différentes propriétés de l'involution de six points, que nous avons appelées arithmétique*. Pour cela on considérerait différentes autres coniques passant par les quatre mêmes points que les trois premières ; chacune d'elles pouvant être déterminée par une cinquième coudition. Si l'on demande qu'une de ces coniques soit tangente à la transversale , on trouvera les points doubles ; si l'on veut qu'une des coniques ait une asymptote parallèle à la transversale , on trouvera le point central; etc.

(26) Une propriété bien importante de l'involution de six points, c'est que : Si d'un point pris arbitrairement , on mène des droites à ces *ix points , les relations d'inoolution (A) et [B) , qui ont lieu entre les segmen* comprit entre le» point» , auront lieu au»»i entre le» tinu» de» angle» formés par les six droites qui interceptent ces s»g-

On a coutume de démontrer cette proposition, en exprimant les segmens en fonction des sinus des angles qui les comprennent. Mais la théorie du rapport enharmonique de quatre points nous en fournit uue démonstration plus simple. Car il suffit de remarquer que chacune des relations d'involution (A) et (B) est une égalité de deux rapports enharmonique* (ainsi que nous le ferons voir dans la deuxième partie de cette Note ). Ces rapports conservent les mêmes valeurs quand on y substitue, aux segmens, les sinus des angles qui comprennent ces segmens ; par conséquent la relation d'involution a lieu entre les sinus des angles que les six droites font entre elles.

Réciproquement , quand une telle relation a lieu entre les sinus des angles que six

1 Voir UltoTt XV.

■ Annotes de .Uuthimatùju., ,tom. XVII, p.g. 180.

NOTES

droites issues d'un même point font entre elles , une transversale quelconque rencontre ces six droites en six points qui sont en involution. On dit que ces six droites forment un faitceau en involution.

(27) Telles sont les six tangentes menées d'un même point à trois coniques qui sont inscrites dans un même quadrilatère.

(28) On peut regarder comme une des coniques, dont un axe est nul, la droite qui joint deux côtés opposés du quadrilatère*, comme une seconde conique, ln droite qui joint les deux autres sommets; et enfin comme une troisième conique, la droite qui joint les points de concours des cotés opposés. Et l'on conclut du théorème général que nous venons d'énoncer plusieurs corollaires , dont l'un est ce théorème :

Le* *ix droite* menée* d'un même point aux quatre tommet* et aux deux point* de concourt de* côté* oppotêt d'un quadrilatère forment un fai*ceau en involution ; de sorte que toute transversale rencontrera ces six droites en six points qui seront en involution.

( 20 ) Nous ne trouvons dans Pappus qu'une proposition qui puisse se rattacher à ce théorème; c'est la 135" du septième livre. Il faut supposer deux côtés du quadrilatère parallèles entre eux , et que la transversale leur soit parallèle et passe par le point de concours des deux autres côtés.

(30) La relation dévolution nous parait devoir se présenter souvent dans plusieurs théories géométriques , particulièrement dans celle des coniques. Cependant on ne l'a guère considérée que dans le système de trois coniques inscrites ou circonscrites à un même quadrilatère , et dans les cas particuliers d'un tel système.

Nous montrerons, à la fin de la deuxième partie de cette Note, que cette relation peut se présenter dans beaucoup d'autres circonstances.