CA.A'B'.BC = C'A'.AB.B'C

exprime, en même temps, trois égalités de rapports enharmoniques ; savoir, entre les quatre points A, B, G, C et leurs correspondans A', B', C', C; cutre les quatre points A, B, C, B' et leurs correspondans; et enfin entre les quatre points A, B, C, A , et leurs correspondans.

Chacune des autres équations (B) exprime pareillement une égalité de rapports anharmoniques entre trois couples différons de quatre points , et on reconnaît aussi que chacune des équations (A) exprime une égalité de rapports anharmoniques entre deux couples de quatre points. On conclut de là que lté six point* A et A', B et B', C et C , étant en involution , quatre quelconque» d'entre eux, dont trois appartiennent aux

NOTES

trot* système* , ont leur rapport anharmoniqu» égal à celui des point* correspondani.

(35) Nous disons que trois des quatre premiers points doivent appartenir aux trois systèmes; car autrement, deux des six points n'entreraient pas dans l'équation résultant des deux rapports anharmoniqucs. Par exemple, si les quatre premiers pointsélaient A, 6, A', B', leurs correspondans seraient A', B', A, B; et, en égalant le rapport anbarmonique des quatre premiers à celui des quatre autres, on n'aurait pas une relation entre les six points proposés, puisque G et G' n'y entreraient pas. Mais l'équation qu'on obtient ainsi est identique. Nous pouvons donc énoncer d'une manière générale le théorème suivant :

Quand six pointe , qui ee correspondent deux à deux , sont en involution , le rapport anharmonique de quatre quelconques d'entre eux est égal au rapport anharmonique des quatre points qui leur correspondent respectivement.

Ce théorème nous semble exprimer la propriété la plus féconde de la théorie de l'involution de six points; il conduit naturellement à différentes expressions de l'involution , que l'on n'a pas encore aperçues.

Nous allons les faire connaître.

(36) Nous avons vu, dans la Note précédente, que légalité des rapports anhanuoniquesdedeux systèmes de quatre points peut s'exprimer de trois manières par une équation à trois termes; d'après cela on trouve que la condition d'involution de six points peut s'exprimer de douze manières par une équation à trois termes. Quatre de ces douze équations contiennent le segment AA', compris entre deux points conjugués, quatre contiennent le segment BB', et quatre enfin le segment CC.

Voici quelles sont les quatre premières de ces douze équations :