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Od voit donc que le principe de continuité , comme l'ont entendu Leibnitz et ses sectateurs, implique l'idée de l'infini, laquelle n'entre nullement dans le principe des relation» contingente* tel que nous l'avons développé; et c'est pour cette raison que nous employons celte expression de relation» contingente* , qui présente une idée précise, et une méthode parfaitement justifiée par le raisonnement que nous avons basé sur les procédés de l'analyse.

Mais il est vrai que Leibnitz avait considéré aussi sa loi de continuité comme dérivant d'un principe plus général , qu'il exprime par ces mots : Dati* ordinati* etiam quœtita tant ordinata '. Ce fut, dit-il ailleurs, la règle des conséquences, avant que la logique fût inventée, et elle est encore telle aux yeux du peuple -.

Jean Bernoulli, qui adopta le premier ce principe de Leibnitz , et s'en servit pour la première fois ostensiblement dans la fameuse question des lois de la communication du mouvement, l'exprime en disant que uuand le* hypothète* retient le* même* , le* effet* doivent aiu*i être le* tnème*. (Commerce èpittolaire de Leibnitz et /iernoul/i, tome 1", pag. 300.)

Ce priucipe comprend la loi de continuité comme on a coutume de l'entendre avec l'idée de l'infini, et la loi des relation* contingente*.

L'usage du principe de continuité en Géométrie date probablement de l'origine de cette science, ainsi que le remarque M. Lacroix dans la préface de son grand Traité du calcul différentiel et intégral, au sujet do la proposition seconde du livre douze des Êlémens d'Euclidc, qui a pour objet de prouver que les surfaces des cercles sont entre elles comme les carrés des diamètres. « Dans la proposition précédente , dit M. Lacroix , » Euclide montre que ce rapport est celui des polygones semblables inscrits dans deux » cercles diflTérens ; et il me parait évident que le géomètre, quel qu'il soit , qui décou- )> vrit cette vérité, voyant qu'elle était indépendante du nombre des côtés du polygone , H et qu'en même temps ces polygones différaient d'autant moins des cercles qu'ils avaient » plus de côtés , a dû nécessairement conclure de là, en vertu de la /,--/ de continuité , » que la propriété des premiers convenait aui seconds. »

C'est par des considérations semblables qu'Archimède s'éleva à des propositions beaucoup plus difficiles, telles que les rapports des surfaces et des solidités du cylindre et de la sphère, la quadrature de la parabole, etc. On regarderait aujourd'hui comme suffisamment prouvées par ces raisonnemens, les propositions qui en seraient l'objet; mais les Anciens, tout en se servant de la loi de continuité, comme moyen de découverte , ne l'ont point admise comme moyen suffisant de démonstration, et ont eu recours à des procédés souvent très-pénibles, pour donner des preuves tout-à-fait convaincantes, et hors d'atteinte de toute objection, des vérités qu'ils avaient à démontrer.

Mais, depuis Leibnitz, le principe de continuité fut admis comme un axiome, et pratiqué journellement en mathématiques. Ainsi , c'est sur ce principe que reposent la

1 A'ouceths d, ta Kipubliqut des Lettrts , an lieu cit«f.

1 Comment ipùlalairt de Uilnits et Bernoulli , tom. li , pig. 110.

NOTES. 359

méthode des limites et celle des premières et dernières raisons. Cependant les géomètres ne firent usage de ce principe que tacitement, et sans l'invoquer comme une loi absolue , ainsi que Leibnitz l'avait considéré.

On ne pent se dissimuler qu'on doit à ce relâchement de la rigueur des Anciens, les progrès immenses que les modernes ont faits dans la Géométrie. Les Anciens , plus jaloux de convaincre que d'éclairer, ont caché tous les fils qui auraient pu mettre sur la trace de leurs méthodes de découvertes et d'inventions, et qui auraient pu guider les continuateurs de leurs travaux. Ce fut la cause de cette marche timide et embarrassée de la Géométrie , de l'incohérence do ses méthodes dans des questions de même nature, ou, pour parler plus exactement, de l'absence de méthodes sûres et propres comme celles de la Géométrie moderne à des classes entières de questions comportant une certaine généralité.