Troisième partie. Proposition* tur le quadrilatère

1° La demi-somme des côtés est écrite quatre fois , on en retranche séparément les côtés, et l'on fait le produit des restes. La racine carrée de ce produit est l'aire, inexacte dans le quadrilatère , mais reconnue exacte dans le triangle; §§ 167 , 168.

C'est la formule de Brahmegupta, que Bhascara a copiée, sans l'avoir comprise, et sans avoir aperçu qu'il y était question de quadrilatère inscrit au cercle. Voilà pourquoi il dit que la règle est inexacte pour le quadrilatère ; et qu'il prouve ensuite qu'il est absurde de demander l'aire d'un quadrilatère dont on ne connaît que les côtés , parce qu'avec les mêmes côtés, dit -il, on peut former plusieurs quadrilatères diifércns '. §§ 169-170, 171 , 172.

2° Dans le quadrilatère équilatéral, ou losange, l'aire est égale à la moitié du produit

tl forme un rectangle qui ■ même bute que le triangle ,et pour hauteur la moitié de la perpendiculaire. La baie tupérieure du rectangle retranche du triangle un petit triangle qui ett divisé par la perpendiculaire en deux triangle* rectangle*. Ceux-ci »ont égaux reipectivement aux deux triangle* qu'il faut ajouter k la portion inférieure du triangle propoté pour compléter le rectangle. D'où il conclut que l'aire du triangle ett égale k celle du rectangle, et contéquemment égale au produit de la ba*e par la moitié de la perpendiculaire.

Cette démonttralion e*t trèt-timple et parle aux yeux autant qu'à l'etprit. C'e*t celle qu'emploient le* Arabe», et qni a été adoptée k la renaittance, particulièrement par Luca* dcBurgo et Tartaléa.

■ Le icol.a.lc Suryadata. auteur de deux commentaire* excellent, rar le Lilavali et le Bija-Ganita (Colebrooke ; Brahmegupta and Bhatcara , algebra , p. xxvi . ne parait pa* avoir été plu* habile que Bhatcara dan* l'intelligence de la proposition de Brahmegupta. Car il donne cette *ingulière raiion pour prouver que l'aire ett exacte dan* le triangle et inexacte dan» le quadrilatère :

« Si le* troi* re*te* (ont additionné* entemble , leur comme est égale k la moitié de la tomme de tou* le* côté*. Le produit de la multiplication continue det troit rettet étant multiplié par la «ont me de ce* rettet , le produit ■inti obtenu ett égal au produit du carré de la perpendiculaire multiplié par le carré de la moitié de la baie. Ce*t une quantité carrée , car un carré multiplié par un carré , doune un carré. La racine carrée étant extraite, le rétultat ett le produit de la perpendiculaire par la moitié de la ba*e, et c'ctl l'aire du triangle. Donc la véritable aire e*t ain*i trouvée. Dan* un quadrilatère, le produit de la multiplication ne donne pa* une quantité carrée , mai* une irrationnelle. Sa racine approximative e*t l'aire de la figure ; non pat toutefoi* la véritable, car divitée par la perpendiculaire elle devrait donner la moitié de la tomme de la baie et de la corautte » (LUavati,P 73).

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des deux diagonales. L'aire du rectangle est le produit de la base par la hauteur; § 174.

3° Dans le quadrilatère dont les deux perpendiculaires sont égales , l'aire est le produit de la demi-somme des deux bases par la perpendiculaire; §§ 175 , 177.

4° Dans le losange, la somme des carrés des deux diagonales est égale à quatre fois le carré du côté; § 173-175.

5° Formules qui donnent les segmens que les diagonales d'un quadrilatère dont les flancs sont perpendiculaires sur la hase, font l'une sur l'autre par leur point d'intersection; et expression de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la base; § 150, 1G0.

0° Connaissant les côtés d'un quadrilatère, cl l'une de ses diagonales, trouver l'autre diagonale, les perpendiculaires du quadrilatère, et son aire;§§ 178, .... 184.

L'aire est la somme des aires des deux triangles qui ont la diagonale connue pour base; §184.

Les propositions où les différentes parties de celte question sont résolues ne présentent aucune difficulté. Elles reposent sur le principe de la proportionalilé des côtés dans les triangles équiangles.

7° Règle pour former arec quatre côtés donnés, un quadrilatère qui ait ses deux perpendiculaires égales; § 185-186.

8° Règle pour trouver les diagonales d'un quadrilatère; § 100.

C'est la règle donnée au § 28 de Brahmegupta, pour le quadrilatère inscrit au cercle. Mais elle ne s'applique point, dans l'ouvrage de Bhascara, à un quadrilatère inscriptiblo quelconque, parce que ce géomètre n'a jamais prononcé le mot cercle dans aucune de ses propositions relatives au triangle ou au quadrilatère; et qu'il a ignoré absolument que les propositions de Brahmegupta concernassent le quadrilatère inscrit.

On reconnaît que la règle énoncée par Bhascara concernait seulement , dans l'esprit de ce géomètre, le quadrilatère â diagonales rectangulaires, formé au moyen de deux triangles rectangles générateur» , comme nous l'avons dit dans nos observations à la suite du § 38 de Brahmegupta. Cela est conûrmé parla règle plus simple, et propre uniquement à ce cas particulier, que Bhascara substitue à la règle générale dans son § 191-102.

Une autre observation de Bhascara prouve encore bien clairement qu'il a ignoré qu'il fit question dans Brahmegupta du quadrilatère inscriptible au cercle; c'est qu'il lui reproche d'avoir donné une règle générale pour déterminer des diagonales qui, dit-il, étaient indéterminées. Voici tout ce passage de Bhascara:

« § 187-180. Le» côtés ont pour mesure 52, et 30'; la corauste est égale a 25 et » la base à 00. Ces nombres ont été pris par les anciens auteurs , comme exemple d'une » figure ayant ses perpendiculaires inégales ; et les mesures précises des diagonales ont » été trouvées 56 et 03.

> Remarquons ici en panant que Bhaicara, ponr exprimer 39, procède par soustraction , ù la manière de» Latin* ; il dit : 40 moin* I (ont Itss than forty). Bai» il purait que ce mode de compétition de» nombre» n'ett pat général dan» l'Inde. Chaturveda ne le »uit pat; il prononce toujour» trtnte-iuuf (<*»'rty-«in«). (Voir »c» commentaire* tur in 21 et 32 de Brahmegupta).