S0TES

» Former arec ces quatre mêmes côlés, un autre quadrilatère qui ait d'autres diago- » nales , et particulièrement celui qui aura ses perpendiculaires égales. » Bhascara résout celte question; puis il ajoute:

« Ainsi avec les mêmes côlés, il peut y avoir différentes diagonales dans le télragone.

» Quoiqu'iudétcrminées, les diagonales ont cependant été trouvées comme déterminées » par Brahmegupla et d'autres. Leur règle est la suivante :

>» § 190. Règle. Les sommes des produits des côtés aboulissans aux extrémités des dia- » gonales étant divisées l une par l'autre, et multipliées par la somme des produits des » côlés opposés, les racines carrées des résultats seront les diagonales dans le trapèze.

» L'objection qu'on peut faire contre ce moyen de trouver les diagonales , c'est qu'il » est long; comme je vais le faire voir en proposant une méthode plus courte.

» § 191-102. Règle. Les cathétes et les côtés de deux triangles rectangles, multipliés » réciproquement par les hypoténuses, sont les côlés; et de celle manière est formé un » trapèze dans lequel les diagonales peuvent se déduire des deux triangles.

» Le produit des cathétes ajouté au produit des côtés est une diagonale; la somme des » produits des cathétes cl des côlés, multipliés réciproquement, est l'autre diagonale.

» Quand cette courte méthode se présentait , je ne sais pourquoi une règle laborieuse » a été employée par les premiers écrivains. »

Bhascara ajoute que : « Si la coraustc et l'un des flancs changent de place, l'une des » diogonalcs deviendra égale au produit des hypoténuses des deux triangles rectangles.»

Nous devons conclure de ce passage, que Bhascara n'a pas compris les propositions de Brahmegupta qu'il reprend. Celui-ci, comme nous l'avons déjà dit, n'a pas énoncé les formules données au § 191-192 de Bhascara, parce qu'elles n'étaient, dans son esprit, qu'une simple vérification de la rationalité des diagonales , et non pas le sujet d'une proposition.

Bhascara remarque qu'en changeant de place deux côtés contigus du quadrilatère, on en forme un second, où l'une des diagonales est différente, et a pour expression le produit des hypoténuses des deux triangles générateurs. Cela est vrai ; mais Bhascara ne dit pas plus pour ce second quadrilatère que pour le premier, quelles seront ses propriétés qui avaient été l'objet de l'ouvrage de Brahmegupta. Il ne remarque pas non plus que ce nouveau quadrilatère a deux augles droits.

9° Calcul des segmens que les diagonales et les perpendiculaires d'un quadrilatère, et les côtés prolongés, font les uns sur les autres; §§ 193-194, 195-190 , 197, 198-200.

On suppose connus les côlés, les diagonales cl les perpendiculaires.

Tous ces calculs sont sans difficulté ; ils reposent sur le principe de la proportionnalité des côtés dans les triangles équianglcs.

Telles sont les propositions sur le quadrilatère. Elles forment, avec celles qui concernent le triangle , la partie de l'ouvrage de Bhascara qui correspond aux dix-huit premiers paragraphes de celui de Brahmegupta. Avant de passer aux autres propositions de Bhascara , nous allons faire ressortir les différences que ces premières ont avec celles de Brahmegupta, dont elles ne sont qu'une imitation.

Ces différences portent sur les points suivans :

NOTES

1° Toutes les propositions de Bhascara sont étrangères au cercle dont il est qucstiou formellement dans l'énoncé des §§ 26 et 27 de Brahmegupta, et qui joue le rôle principal dans plusieurs autres propositions.

2" La formule pour l'aire du quadrilatère (inscrit au cercle), donnée par Brahmegupta, est déclarée inexacte par Bhascara.

3° L'eipression générale des diagonales du quadrilatère inscrit, donnée par Brahmegupta, est censurée par Bhascara, comme étant d'un calcul pénihle, et est regardée par lui comme n'étant applicable qu'à un quadrilatère d'une construction particulière.

4° Plusieurs propositions de Brahmegupta ne se trouvent point dans l'ouvrage de Bhascara. Telles sont les suivantes :

I™. L'expression du diamètre de cercle circonscrit à un triangle ou à un quadrilatère;

II4. L'expression particulière du diamètre du cercle circonscrit à un quadrilatère ayant ses diagonales rectangulaires;

III*. La propriété de ce quadrilatère, qui consiste en ce que la perpendiculaire sur l'un de ses côtés, menée par le point d'intersection des deux diagonales , passe par le milieu du côté opposé;

IV" La manière de former un triangle isocèle ouscaléne dont les côtés et la perpendiculaire soient des nombres rationnels ;

V" La manière de former un quadrilatère inscriptible au cercle, dont deux côtés opposés , ou bien trois côtés, soient égaux, et dont toutes les parties, ainsi que le diamètre du cercle , soient rationnels.

L'absence de ces dernières propositions (IV* et Ve) dans l'ouvrage de Bhascara prouve que ce géomètre n'a point eu en vue comme Brahmegupta, de résoudre la question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, et dont toutes les parties soient rationnelles.

Enfin nous devons dire que l'ouvrage de Bhascara contient quelques propositions sur le triangle rectangle, qui ne se trouvent pas dans celui de Brahmegupta ; et qui, en effet, y eussent été étrangères à la théorie qui est l'objet de cet ouvrage.

En résumé : l'ouvrage de Brahmegupta résolvait complètement, et avec précision , la question de construire un quadrilatère inscriptible au cercle, dont toutes les parties fussent rationnelles. Aucune proposition n'était étrangère à cette question, ni inutile pour sa solution.

Celui de Bhascara n'a point un objet unique. On peut le diviser en trois parties principales , indépendantes les unes des autres.

Dans la première, on donne l'expression de la perpendiculaire dans un triangle; et la formule pour le calcul de l'aire de cette figure en fonction des trois côtés;

Dans la seconde, on traite de la construction d'un triangle rectangle en nombres rationnels, et de quelques questions sur le triangle rectangle;

Dan3 la troisième , l'auteur calcule différentes lignes dans un quadrilatère quelconque dont on connaît les quatre côtés et une diagonale.

Il y a donc des différences nombreuses et tranchées entre les deux ouvrages. Malgré

difïércnccs, nous devons reconnaître que le plus récent n'est qu'une imitation ou copie du premier; copie imparfaite et défigurée, qui prouve évidemment queBhascara n'a pas compris l'ouvrage de Brahmcgiipta.

Les notes de divers scoliasles , qui accompagnent le texte du Lilavati , nous montrent que ces écrivains n'ont pas été plus heureux que Bhascara ,ct qu'ils n'ont pas eu non plus l'intelligence des propositions de Brahmcgiipta.

Mais les propositions qu'il nous reste à citer du chapitre VI du Lilavati ont beaucoup plus de valeur que celles auxquelles elles correspondent dans le Traité de Brahmrgupta. Nous allons en présenter les principales , où l'on aura à remarquer surtout une expression très-approchée du rapport de la circonférence au diamètre, et une formule trèssimple pour le calcul approximatif d'une corde en fonction de sou arc.

S 201. « Le diamètre du cercle étant D, l'expression D. ^ est à peu prés la circonfé- » rence ; D. " est l'approximation employée dans la pratique. »

Ces deux expressions ne se trouvent pas dans l'ouvrage de Brahmcgiipta. Le rapport j est celui d'Archiméde. Le premier est plus exact ; car il est égal à 3,14160 , et l'on a y = 3,1428571.... Pour obtenir une plus grande approximation il faut se servir du rapport 3,1415920....

L'approximation dos Indiens ' est remarquable surtout à cause du petit nombre de

chiffres qui y entrent. Toutefois le rapport d'Adrien Mclius,^ = 3,14159202 est

préférable.

§ 203. « Règle. Le quart du diamètre multplié par la circonférence est l'aire du cercle. » Cette aire multipliée par 4 est la surface de la sphère. Cette surface , multipliée par le » diamètre et divisée par 6 est la valeur précise du volume de la sphère. »

§ 205-200. « Règle. Soit D le diamètre du cercle; D' ^ est l'aire du cercle d'une ma- » niére assez. rapprochée; D'j| est sa mesure grossière employée dans la pratique; » — ^- — est la mesure du volume de la sphère. »

Ces deux dernières expressions résultent du rapport d'Archiméde; car on a

U D* 22 D» J 1)3 D1 22 14~ 4 ' T,Pt 2 2Ï* F~ <T" T*

§ 200-207. Ce sont les relations entre la corde, sa flèche et le diamètre du cercle, données par Brahmcgiipta; §41 et 42.

' Le rjpport î^i ne doil put être attribué à Bhatcara ; il e«l beaucoup plut ancien que ce géomètre On le trouvent ton» la forme c5~ i dan» l'alerbre «le Mohammed ben Muta , nui, aprèa aroir donné Ica deux rapporta — et yiO, dit que l«t oatrouome» »e «errent d'un troisième , qui ett ( Voir p. 71

de la traduction de B. Frédéric Roacn.)

D'aprè» cela on peut le demander *i ce rapport appartient aux Indien* ou aux Arabe» X. Roscn et M. Libri penaent qu'il eat d'origine indienne. (Voir M hammed Un Muta, Àlgtlra translatai ly F. Hôte*, p. 199; et UUtoin da tcie„cei mathèmatiquet «n Italie,^. 188.) Ce rapport cil connu en Europe depui» long-lempa. Purbach en parle dan. aon traité de la conatruction dea tinut , et Slenn dani «a Géographie

NOTES

§ 209-211 et 212. « Dans le cercle dont le diamètre est 2000, les cotés du triangle » équilatéral inscrit, et des autres polygones réguliers sont : pour le triangle 1732 pour »le télragone 1414^; pour le pentagone 1 175 ^ ; pour l'hexagone 1000; pour l'epta- » gone807pj pour l'octogone 765 et pour le nonagone 083 »

L'auteur ajoute : « De différens autres diamètres on déduira d'autres côtés, comme » nous le montrerons sous le titre de construction des sinus, dans le traité sur les sphé- » rique».

» La règle suivante enseigne une méthode expéditive, pour trouver les cordes par » une approximation grossière, »

§ 213. Soit c la circonférence , a l'arc; D le diamètre et C la corde; on aura :

4P. a(c-a) ic"0(c — a)'

Cette formule approximative est très-curieuse; il serait intéressant de savoir comment les Indiens y sont parvenus. 91. Scrvois l'a obtenue en prenant la formule qui donne, en série, le sinus d'un arc en fonction de cet arc (Voir Correspondance sur l'école Polytechnique, tom. III, troisième cahier).

§ 214. Exemple. Le diamètre étant 240, les cordes des arcs de 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 et 180 degrés seront 42,82, 120, 154, 184, 208, 226, 236 et 240.

§ 215. Formule qui donne l'arc a, en fonction de la corde C, de la circonférence c et du diamètre D.

./. >-oc

On tire cette formule de celle du § 213, en résolvant une équation littérale du second degré.

Les chapitres VU, VIII, IX et X ne contiennent rien de plus que ceux auxquels ils correspondent dans l'ouvrage de Brahmegupta.

Le chapitre XI a pour objet le calcul des distantes par l'ombre du gnomon. On y trouve les questions traitées par Brahmegupta, et, de plus, celle-ci: un gnomon étant éclairé par deux points lumineux différens, si on connaît la différence des ombres et la différence de leurs hypoténuses , on saura déterminer les ombres.

Cela se réduit à ce problème :

Connaissant la perpendiculaire d'un triangle , la différence des segmens quelle fait sur la base , et la différence des deux autres câtés , construire le triangle. Soit h la hauteur, ou perpendiculaire, du triangle, <? la différence des segmens; et d

NOTES

la différence des côtés; les segmens seront égaux a C'est la formule de Bhascara.

On trouve dans le Bija-Ganila plusieurs questions de Géométrie résolues par le calcul , et plusieurs règles d'algèbre démontrées par la Géométrie. Toutes ces questions sont traitées avec une précision et une élégance bien remarquables.

Dans quelques-unes , qui pouvaient être résolues de plusieurs manières , c'est la solution la plus simple que l'auteur a choisie , on croit lire un passage de Y Arithmétique universelle, où Newton donne des préceptes si judicieux sur le choix des inconnues.

Ainsi, ayant à trouver la base d'un triangle scaléne dont les côtés sont 13 et 5, et l'aire 4, Bhascara remarque que « si l'on prend pour l'inconnue la base cherchée, » on tombe sur une équation quadratique. Mais si l'on cherche la perpendiculaire abais- » sée sur l'un des côtés donnés, du sommet opposé, et les segmens faits sur ce côté, on » en déduit, par une simple extraction do racine carrée, la base cherchée. Elle est 4. » (Bija-Ganita,§117.)

Bhascara donne deux démonstrations du carré de l'hypoténuse. La première consiste a chercher par une proportion , l'expression des segmens faits sur l'hypoténuse par la perpendiculaire ; et à ajouter ensemble ces deux segmens. C'est la démonstration employée par Wallis. (De tectionibu* angularibut , cap. VI.)

La seconde est loul-à-fait d'origine indienne ; elle est fort remarquable. Sur les côtés d'un carré , Bhascara construit intérieurement quatre triangles rectangles égaux entre eui, ayant pour hypoténuses ces côtés , et il dit voyez. En effet , la vue de la figure suffit pour montrer que l'aire du carré égale les aires des quatre triangles (ou quatre fois l'aire de l'un d'eux), plus l'aire d'un petit carré qui a pour côté la différence des deux côtés de l'angle droit de l'un des quatre triangles. C'est-à-dire que l'on a, en appelant c l'hvpolénuse d'un des triangles et a , b ses deux autres côtés ,

ab

c' = 4y -i- (a—by = 1ab + (o-6)\ ou, c' = a>+b\

ce qui est la proposition qu'il fallait démontrer (Bija-Ganita , § 14(5). Les formules d'analyse

2a6 + (a — by= a' b\ (a + by — (o*-4-fc')= îab , (o + by — kab = (o — by ,

sont démontrées par des figures qui parlent aux yeux et à l'esprit, sans qu'il soit besoin d'aucune explication (§ 147, 149 et 150).

NOTES. 455 Pour la résolution en nombres rationn els de l'équation indéterminée du second degré,

ax ■+■ by c = sy ,

Bhascara fait voir , par une figure qui donne une signification géométrique à cette équation , qu'elle peut se transformer en celle-ci

(z — b) (y — «) = ab •+- c.

D'où il conclut qu'on peut prendre pour les valeurs rationnelles de * et de y

, ab ■+- c

n étant un nombre arbitraire.

Bhascara appelle cette démonstration géométrique. Il en donne ensuite une purement algébrique (§ 212-214).

Plusieurs questions de Géométrie sont résolues dans le Bija-Ganita, comme application des règles d'algèbre. Quelques-unes dépendent d'équations indéterminées du second degré. Telles sont ces deux- ci : « Trouver (en nombre rationnels) les côtés du triangle » rectangle dont l'aire est exprimée par le même nombre que l'hypoténuse , ou bien » est égale au produit des trois côtés. » (§ 120.)

Dans le premier cas, les côtés du triangle sont 7-» 7 et 7 ; et dans le second cas, ils sont ^, ^ et — . Bhascara ajoute qu'on peut trouver d'autres solutions

Ces détails montrent que les Indiens, du temps de Bhascara du moins, appliquaient l'algèbre à la Géométrie, et la Géométrie à l'algèbre. Nous ne trouvons pas les mêmes traces d'une alliance aussi intime entre ces deux sciences , dans l'ouvrage de Brahmegupta. C'est probablement parce qu'il est écrit beaucoup plus succinctement que celui de Bhascara; qu'il contient beaucoup moins d'exemples des règles algébriques, et qu'il n'en donne jamais aucune sorte de démonstration. Mais nous devons penser que celte application de l'algèbre à la Géométrie, qui donne aux ouvrages de Bhascara un caractère particulier, date d'un temps bien antérieur à cet écrivain , d'autant plus qu'elle a fait aussi le caractère des ouvrages arabes plusieurs siècles avant l'âge de Bhascara ; au temps, par exemple, de Mohammed ben Musa (IXe siècle). Les Arabes n'ont pu puiser que chez les Indiens, cette manière de procéder en mathématiques, qui n'était point pratiquée par les Grecs.

Nous avons rejeté l'idée que les ouvrages indiens nous présentassent des éléraens de

> Le» deux problème» dépendent retpecttvement de» deux eqnttion* .

Géométrie, de môme qu'ils nous offrent des traités d'arithmétique et d'algèbre. Nous croyons avoir démontré , en effet , que tel ne pouvait avoir été l'objet de l'ouvrage de Brahmegupta , qui roule sur une seule question de Géométrie. Mais nous ne pouvons en dire autant de l'ouvrage de Bhascara ; et nous consentons à y voir le résumé des connaissances géométriques en circulation dans les temps modernes chei le peuple indien. La manière dont l'auteur a défiguré l'ouvrage de Brahmegupta pour former le sien , et les notes des divers scoliastes , dont aucun ne l'a repris, nous prouvent que la science a siuguliéremcnt décliné chez les Indiens, et qu'ils n'ont plus de véritable traité de Géométrie.

Nous ne saurions nous prononcer de même sur l'étal de la science au temps de Brahmegupta. Les documens nous manquent; et nous ne pourrions dire si l'intelligence et le génie mathématiques de cet écrivain et de ses contemporains étaient bien à la hauteur des ouvrages si parfaits et si remarquables qu'il nous a transmis ; ou bien si ces ouvrages ne seraient pas eux-mêmes, comme ceux des écrivains postérieurs , de simples fragmens d'un savoir véritable et très-ancien, qui auraient échappé à la destruction des temps et qui n'auraient point encore perdu, dans le siècle de Brahmegupta, leur perfection et leur pureté primitive. Le célèbre hollandais Slcvin, qui admettait un ëiècle sage «où les » hommes ont eu une connaissance admirable des sciences», siècle qui avait précédé celui des Grecs et qui ne lui avait transmis qu'une faible partie seulement de son savoir antique 1 , Stevin, disons-nous, et notre illustre Bailly3 ne balanceraient point à se prononcer dans cette question , à la vue des ouvrages si étonnans de Brahmegupta.

Pour nous, qui n'avons point à aborder ici une si haute question historique, nous nous bornerons à appeler sur la partie géométrique des ouvrages de Brahmegupta et de Bhascara, qu'on avait négligée jusqu'ici, l'attention des savans orientalistes, et des érudits qui s'occupent de l'histoire de l'Inde et de la marche de la civilisation humaine. Cette partic géométrique pourra leur procurer quelques documens et quelques aperçus utiles.

Sur la Géométrie des Latins.

Nous continuerions , pour ainsi dire, le même sujet, en passant de la Géométrie des Indiens à celle des Arabes. Mais, comme ce que nous aurons à dire de celle-ci, se liera plus naturellement encore avec les premiers travaux des géomètres européens, à la renaissance des lettres, où nous verrons l'élément arabe non moins répandu, et non moins influent que l'élément grec, nous allons faire de suite uuc courte digression pour dire quelques mots de la Géométrie cher les Latins.

' OEuvrtê matkimatùjuet de Simon Stertn ; in-fol , Leyde, Géographie; définition VI, p. 100.

9 « Ces méthodes savantes , pratiquée» pir in ignorant , cet «yttèmei, cet idée* philosophique* , dan* de* » tète* qui ne *ont point philosophes , tout indique un peuple antérieur aux Indien* et aux Chaldéen* : peuple » qui eut de* science* perfectionnées, une philosophie sublime et sage , et qui, eo disparaissant de dessus la » terra , a laissé aux peuples qui lui ont succédé quelques vérités isolées , échappées a U destruction , et que le » hasard nous a conservées. » {Uittoir* AoVattronomie ancienne, livre III ,§ xvill).

NOTES

Les sciences mathématiques furent extrêmement négligées par le peuple romain , où les esprit» supérieurs ne s'appliquèrent qu'a l'art de la guerre, et à l'éloquence. La Géométrie, particulièrement, fut a peine connue à Rome. L'astronomie y fut plus en honneur, et l'on peut citer plusieurs écrivains célèbres, tels que Varron, J. César, Cicéron, Lucrèce, Virgile, Horace, Sénèquc, Pline, qui possédaient la connaissance des phénomènes du ciel. Mais aucun ne les regarda comme devant être l'objet de recherches scientifiques et ne fit faire un pas à la science. On ne cite même que Sulpicius Gallus qui ait cultivé l'astronomie pratique, et qui ait prédit des éclipses.

La Géométrie semble n'avoir eu pour objet unique chez les Latins, que de mesurer les terres et d'en fixer les limites: el les arpenteurs, qu'on appelait agrimensores ou gramatici, étaient des hommes très considérés , qu'on regardait comme les vrais dépositaires de la science. Cependant, quelques fragmens de leurs écrits qui nous sont parvenus, nous portent à leur refuser absolument le titre de géomètret. Car, outre que ces écrits roulent sur les questions les plus élémentaires de la Géométrie pratique, nous y trouvons des erreurs grossières. L'aire du triangle et l'aire du quadrilatère y sont calculées d'une manière inexacte. Nous avons rapporté leurs règles eu parlant du § 21 de la partie géométrique des ouvrages de Brahmegupta.

Malgré la considération dont les Gromatici ont joui à Rome , à raison des services qu'ils rendaient dans les différentes contrées de ce vaste empire, et quoique les noms des plus habiles nous aient été transmis par Boèce, à peu prés tous aujourd'hui sont inconnus dans l'histoire de la Géométrie.

Mais quelques hommes véritablement célèbres à d'autres titres, avaient cultivé les sciences pour elles-mêmes. Varron, qui passa pour le plus savant des Romains, et qu'ils regardaient comme un second Platon , avait écrit sur l'Arithmétique, la Géométrie, l'Astronomie, la Musique et la Navigation. Il est fâcheux qu'aucun de ces ouvrages ne nous soit parvenu. Cet écrivain mérite d'être cité surtout pour avoir soupçonné l'aplatissement de la terre , comme nous l'apprend un passage de Cassiodore.

L'architecture de Vitruve nous prouve qu'il fut un des hommes de son temps qui eurent le plus de connaissances en mathématiques.

On peut citer encore Julius Scxlus Frontinus, qui a écrit en ingénieur habile sur la conduite des eaux. Son livre, qui est intitulé : De aquœductibtu urbis Rotnœ nous est parvenu. On a de lui un autre ouvrage estimé sur l'art militaire '.

Nous supposons que Frontinus avait écrit aussi sur la Géométrie, et qu'un Traité de la mesure des surfaces, que nous trouvons dans un manuscrit du XIe siècle, avec d'autres fragmens des Gromatici romains, parmi plusieurs ouvrages de Boèce, peut lui être attribué *.

Deux raisons concourent à nous autoriser à former cette coujecture. D'abord , Boèce ,

1 Stratagcmatum lifiri quatuor.

a Ce manuscrit, grand in-folio, «ai parchemin, appartient à la bibliothèque de la ville de Chartres.

M. le D' G. Bacnel lu inscrit dans ses Catahgi librorvm manuteriptorum , etc. (Lipsito, 1810, io-4»).

sons le titre Mitant ! ArùMelit lit,, clettchorum ; Boctii Loyka , Bhttorica , Aritkmetica , Mvsica ;

To». XI. 58

NOTES

au commencement du second livre de sa Géométrie, qui roule sur la mesure des surfaces , nomme Julius Frontinus comme ayant été Irés-habile dans cet art, et annonce qu'il lui a fait des emprunts pour ce second livre. Vers la fin de l'ouvrage, Boécc donne la principaux arpenteurs romains, et y inscrit Julius Frontinus. Celte double nous prouve que cet auteur avait écrit sur la Géométrie pratique. Ensuite, nous remarquons que le morceau de Géométrie que nous trouvons dans le manuscrit dont nous venons de parler, présente avec le secoud livre de Boéce tant de points de ressemblance , qu'on en doit conclure avec certitude que l un des deux ouvrages a été copié en grande partie sur l'autre. Le style pur et plus facile de ce morceau de Géométrie, annonce qu'il est antéricur à l'époque où a vécu Doéce ; nous sommes donc porté naturellement à conclure qu'il est l'ouvrage même de Frontinus auquel Boéce a annoncé qu'il avait fait des emprunts.

Julii Firmici mathematùa ; Mattrni Juniorit gtomelria ; canine», tabula et dicersa de tutrenouui.

Ce titre eit emprunté d'une note placée sur la partie intérieure de la couverture en boi» du volume, et qui parait aussi ancienne que lui; elle est ainsi conçue :

In koe rolumine coutinentur :

Liber elencorum Aristotelie ;

Logica, Htthorica , Arilhmetica, Musica , Boecii y Mathematica Julii Firmici , Materni Juniori* ; Gtomelria ;

Canon i * , tabula et alia dt Attrtnomia.

Vis-à-vis le* mot* Mathematica Julii, etc., »e trouve une annotation qui parait aussi fort ancienne, et ou nous croyons lire : liane euppoiitam credu. Et, en effet, nom ne tromoiis aucune pièce de Julius Firmicns Matcrnus. Sait il est vrai que, malheureusement , il manque 104 feuilles ( 140. ..243) dans ce manuscrit, à partir du chap. 20 du second livre du traité de la musique de Boéce. Sous supposons que le reste de la musique occupait 04 feuilles à peu près; de sorte que 40 feuilles auraient contenu d'autres matière* qui nous •ont inconnues et où aurait pu se trouver quelque chose de Firmicus Matcrnus ; cependant on ne connaît et on ne cite de cet auteur que son traité d'astrologie en 8 livres.

La feuille 244, la première après la lacune, contient la fin d'an écrit sur les corps régulier*. Puis, on trouve différente* pièce*, placée* le* une* à la *uitc de* autres, san* titre* , et «an* indication d'auteur* , et qui traitent, la plupart, de la Géométrie des arpenteur* romain* et des mesures dont ils faisaient usage. Nous avons distingué parmi ce péle-mèle le» morceaux suivons, dont les deux dernier* lurtout rendent le manuscrit tres-précieux :

1" Celui que nous attribuons a Frontinns;

2° Le livre d'arithmétique de Harlianu* Capello ;

3° Le cinquième livre de l'ouvrage Ut re ruttied de Columelle , qui traite de la mesure de* champs 4" Différen* autre* fragmen* de Géométrie, de* arpenteur* romain* ;

6» Un passage dul5« chap. des Etymologits d'Isidore de Sévillc, qui traite des mesure*;

6° Le* deux livre* de la Géométrie de Boéce, dont le premier contient le* neuf chiffres et le passage relatif an nouveau syttème de numération; et dont le second est terminé par un autre pasaage encore relatifs cette numération , et qui ne *e trouve pa* dan* le» édition* qu'on a donnée* de Boéce ;

7» Enfin un autre écrit *ur l'usage de* neuf chiffre*, qui présente de» analogies frappantes , d'une part avec le» pattage* de Boèce et la lettre de Gerberl , et d'autre part avec notre propre système de numération.

Cet écrit, dont il parait qu'on n'a point encore eu connaissance, pourra jeter quelque jour sur la question encore controversée, delà vraie signification de» pa»*age* de Boèce et de Gerberl, et de la date précise de l'introduction en Europe, de la numération indienne.

Le manuscrit est terminé par quelque* notion» de la tphère céleite , pui* un traité d'astrologie et de* table»

ISOTES.

Ce morceau de Géométrie, du reste, peut faire honneur à cet écrivain, et est plus digne de porter son nom que le traité De qualitate agrorum qu'on lui a attribué. Car nous le regardons comme l'écrit le plus parfait qui soit sorti de la plume d'un géomètre latin, sans en excepter le second livre de la Géométrie de Boéce. Car d'une part nous trouvons dans cet écrit la formule pour la mesure de l'aire du triangle par les trois côtés; et d'autre part , nous n'y trouvons pas la règle inexacte dont tous les arpenteurs romains se servaient pour mesurer l'aire du quadrilatère 1 ; règle reproduite par Boèce lui-même.

De nombreux points de ressemblance nous font penser que c'est ce traité qui a servi , à la reuaissanec des lettres, à composer la partie géométrique de l'encyclopédie qui a paru en 1480, et a eu depuis de nombreuses éditions sous le titre de Margarita philotophica. Indépendamment de celle circonstance , qui doit lui donner quelque prix à nos yeux , ce traité aurait mérité les honneurs de l'impression, comme étant le meilleur écrit de Géométrie qui nous soit venu des Romains.

Nous devons dire , cependant , que nous y trouvons , dans le calcul de l'aire des polygones réguliers en fonction du côté, une erreur que Boèce a commise aussi, et qui a encore été reproduite à la fin du XV* siècle dans la Margarita philotophîca.

L'auteur se sert de la formule suivante :

Soit a le côté du polygone régulier, et n le nombre de ses côtés; son aire a pour expression

r«-2V— in— 4> *

L'absurdité de cette formule est palpable; d'abord parce qu'elle n'est pas homogène, et ensuite parce qu'on en conclurait, par une simple équation du second degré, l'expression du côté d'un polygone régulier inscrit au cercle, en fonction du rayon du cercle , et réciproquement le rayon en fonction du côté. Questions qui dépendent, comme on sait , d'équations de degrés supérieurs.

Peut-être tout le passage qui concerne la mesure des polygones réguliers, a-t-il été introduit par un écrivain postérieur dans le morceau de Géométrie que nous attribuons à Frontinus. Car la règle qui concerne le triangle équilatéral est en contradiction avec une autre règle parfaitement géométrique dounée auparavant. Ainsi nous trouvons

' Voir page 31S du recueil intitulé: Rei agraria auctoret iegetque varia; curé Wiltlmi Goetii, cujus acctdunt indues, antiquitatts aararia et n«la, unà eu m Ar. Riaattii nelii et ob»»rvalieniliut. haut, 1874, in-4°; et page 172 de l'ouTrage de Columelle , De re rustied libri XII. Parii , 1543 , in-8».

3 On reconnaît cette formule dan» lei règle» qnc l'auteur donno pour le» polygone» régulier» de 7, 8 , 0 , 10 , Il et 18 coU»; mai» pour le triangle, le pentagone et l'hexagone , il te «ertde» formule, .usante» :

Pour le triangle, - ,

3oa -f- a Pour le pentagone, ,

4a3 -t- a Pour l'hexagone,

NOTES

d'abord, sous le litre de trigono ysopleuro : « a étant le côté d'un triangle isopleurc, » a' — (^est le carré de la perpendiculaire; la perpendiculaire multipliée par y est l'aire » du triangle. Soit a = 30 , il vient

(3or - Ç ^ Y— 073 = (26)' î cl 26 x f - 390-

» C'est l'aire du triangle. » Cette règle est exacte, et l'application numérique l'est aussi, eu négligeant toutefois les fractions dans l'extraction de la racine de 075 '. On doit s'étonner alors de trouver ensuite, encore sous le litre de trigono ytopleuro , cette seconde régie : « a étant le cûlé du triangle isoplcure, son aire est--"^ ".Soit a = 28, l'aire » du triangle sera [2î!l±21 , ou ^ = 400. »

Remarquez que, de la sorlc, le triangle dont le eôlé est 28 , a une plus grande surface que celui dont le côté est 30. Ce rapprochement entre les deux exemples numériques de l'auteur , semble annoncer que la seconde règle lui est étrangère et a été prise d'un autre écrit.

Celte seconde manière de procéder est suivie de sa démonstration , mais qui ne présente qu'une pétition de principe. Voici le raisonnement de l'auteur. Une aire donnée S est la surface d'un certain triangle équilaléral , dont le côté est égal à f/"''-»- ' — i JHcnant j |a place de S l'aire trouvée on a pour résultat o, qui est le côté du triangle proposé ; donc l'aire trouvée est exacte.

Le défaut de cette prétendue démonstration est manifeste, car la formule

Y' S.aire -♦- 1 — I

côté = a »

est précisément, sous une autre forme, la môme que celle-ci : aire =^-^, qu'il s'agit de démontrer.

Mais pour passer de l'une à l'autre de ces deux formules , il faut résoudre une équation littérale du second degré. Celle circonstance est assez, remarquable dans la Géométrie des Latins.

1 Prendre L/87« = 28, e>«l I* même choie que 16.1/3=28, ou |/a =*Jf D'aprèa cel» l'ciprenion de l'aire du triangle, qui e»t exactement

Cent ta formule dont te «ont tcnrii quelque» auteur» latin», tel» que Columelle [De re rutticA; liv.V, ebap. 2) ; et qui a été employée encore dan» le» temp» moderne». On la trouve dan» plutieur» ouvrage» de Géométrie pratique (voir Gtorgii Voila , de expttendis et fvgiendit rebu ; liber XIV et Gtoiniu V; cap. Ml. — // trere Irattalo di Gtometria del sig. Cio. Franc. Pevero*e di CWo; in Lione, 15M, in-4». — Livre M de la Ciomitrit promut de Hcnrion ; p. 341 et 349 ; icconde édition, Pari», 1628)

Le morceau de Géométrie en question étant ce qui nous est parvenu de mieux et de plus complet des écrivains latins, et paraissant résumer tout leur savoir en Géométrie, nous allons donner l'indication des questions sur lesquelles il roule. Ce sont :

1° Le calcul de la perpendiculaire dans un triangle dont les côtés sont donnés 1 ;

2- Le calcul de l'aire du triangle, en fonction de cette perpendiculaire; et la formule qui donne l'aire en fonction des trois côtés ;

3° Les deux formules qui servent à former un triangle rectangle en nombres entiers, l'un des côtés étant donné en nombre pair ou impair , qui sont :

Pour un nombre impair ^ — ^*~^> =

Pour un nombre pair {Yj) "*" !J ~ 'J * ° "

4° L'expression du diamètre du cercle inscrit dans un triangle rectangle, qui est égal à la somme des deux côtés de l'angle droit moins l'hypoténuse;

5° Le calcul de l'aire du carré, du parallélogramme, du losange (ou rbombe) et du quadrilatère à bases parallèles ;

L'auteur appelle l'un des côtés du quadrilatère sa base , et le côté opposé le sommet ou la corausle (vertes sets coraustus). Le mot coraustus ne se trouve plus dans aucun lexique; il n'a peut-être été reproduit chez les Modernes que dans la Margarita philosophica ;

6° Le calcul (basé sur une règle fausse) des surfaces des polygones réguliers ;

7° Le rapport — ou , de la circonférence au diamètre ;

8» Enfin l'aire de la sphère , égalo à celle de quatre grands cercles ;

Les noms sont si rares dans l'histoire des sciences , chez les Latins, que l'on est réduit à citer les écrivains qui nous ont laissé quelques traces d'un faiblo savoir en Géométrie , même sans avoir contribué à ses progrés. C'est ainsi que nous nommerons Marlianus Cape ll.i, saint Augustin, Macrobe, Boèce, Cassiodore et Isidore de Sévillc. Le premier, sur l'époque duquel on n'est pas d'accord, et que les uns fixent au III0 siècle et d'autres au V% nous a laissé un ouvrage en neuf livres 2, dont les deux premiers, qui forment une sorte d'introduction aux sept autres, sont un petit roman philosophique et allégorique , intitulé : des Noce* de la philosophie et de Mercure , et dont les sept autres sont consa-

■ L'auteur prend ponr le* coté* du triangle le* troi* nombre* 13, 14 et 18 , dont «'était terri Héron d'Aleiandrie dana *on traité de Géodéiie, et qu'on trouve au**i dan* la Géométrie de» Indien*. {Voir ci-de**u* l'analyie de l'ouvrage de Brahmegupla).

a Martiani JUinri ftlicis CaptUm , CartkaginienrU , tiri pncvnsvia rù , Sa tt/rice* , in guo dsNuptiit Pkilt* logict tt Msrctirii liM du» « d, «/rte» artibus libsralibui libri singulares , etc.

NOTES

crés aux sept arts libéraux : la Grammaire, la Dialectique, la Rhétorique , la Géométrie , l'Arithmétique, l'Astronomie 1 et la Musique.

Dans le livre de la Géométrie, l'auteur semble aroir employé ce mot suivant son sens étymologique; car il débute par des notions de géographie. Ce qui est de la Géométrie proprement dite, se réduit à quelques déûnilions des lignes, des figures planes et des solides, qui la plupart sont prises d'Euclidc, et énoncées sous leur nom grec. Chose assez remarquable, parce que dans d'autres écrits du mémo temps ou un peu moins anciens , tels que ceux de Boèce, de Cassiodorc, les noms grecs ont été remplacés par des dénominations latines.

Le livre d'arithmétique de Martianus Capella est plus savant que son livre de Géométrie. Il est, comme l'arithmétique de Boèce, une imitation des ouvrages platoniciens et pythagoriciens, particulièrement de celui de Nicomaque ,qui traite des propriétés des nombres et de leurs divisions en diverses catégories, dénombres pairs, impairs , composés, parfaits, imparfaits, abondans, diminutifs, plans, solides, triangulaires, etc.

Saint Augustin a écrit sur la musique. On lui attribue aussi, assez légèrement, des principes d'arithmétique et de Géométrie; mais qui n'offrent qu'une simple nomenclature.

Il en est de même du traité de Géométrie de Cassiodore, compris dans son seizième livre , qui traite des sept arts libéraux , et de la partie géométrique de celle espèce d'encyclopédie que le célèbre Isidore de Sévillc a laissée sous le titre il'Êtymologie*.

La Géométrie de Boèce a plus d'importance que les écrits dont nous venons de parler ; parce qu'elle est plus savante, qu'elle fait connaître pour la première fois, chez les Latins, la Géométrie d'Euclidc, cl qu'elle contient quelques traits intéressans de l'histoire des sciences. Nous allons donner une analyse de cet ouvrage , qui est aujourd'hui peu connu.

Il est en deux livres. Le premier est une traduction a peu prés littérale des définitions et des énoncés des propositions des quatre premiers livres d'Euclide. Ensuite on trouve , sous le titre defiyurit geometricit , quelques problèmes résolus par Boèce, qui n'offrent rien d'intéressant.

Ce premier livre est terminé par l'exposition d'un nonveau système de numération, différent des systèmes grec et romain , qui fait usage de neuf chiffres, et que l'on a cru reconnaître pour être précisément notre système de numération actuel. Mais ce point de l'histoire des sciences , qui depuis deux siècles a fixé l'allention des savans, n'a pas encore été résolu d'une manière définitive. Nous reviendrons , plus loin, sur ce passage intéressant de la Géométrie do Boèce. Nous discuterons aussi , dans un article spécial , un autre passage du même livre , où nous croyons trouver la description du pentagone étoilé ou de seconde espèce.

Le second livre est consacré à la Géométrie pratique, telle qu'elle était connue des arpenteurs romains. L'analyse que nous avons donnée, en parlant de Frontinus, d'un traité de Géométrie pratique, resté manuscrit , répond à co second livre, qui parait avoir

1 Daot ce huitième livre te trouve un chapitre très-remarquable, intitule1 : Quod Ullu* non Ht c*ntntm omnibus planttit , où Hartianut Capella fait tourner Mercure et Venu» autour du loleil. C'est la que Cop ernie a pria la première idée de »on tyatème.

NOTES

été copié sur ce manuscrit, et qui n'en diffère essentiellement qu'en deux points, au désavantage de Boèco. Cet écrivain célèbre ne donne pas la formule pour le calcul de l'aire du triangle par les trois côlés, qui se trouve dans le manuscrit, et donne la règle inexacte, employée par les arpenteurs romains , pour le calcul de l'aire du quadrilatère , qui ne s'y trouve pas.

En donnant les deux formules pour construire un triangle rectangle en nombres entiers, l'un des côtés étant connu, Boècc attribue à Archytas celle où ce côté est pair. Proclus, comme on sait, attribue cette formule à Platon et l'autre à Pythagore.

A la suite de ce livre de Géométrie pratique, on a joint une autre partie, qui ne se trouve pas dans tous les manuscrits de Boèce, et dont voici le sujet. Après une sorte de dissertation sur l'origine, l'utilité et l'excellence do la Géométrie, Boèce rapporte la substance d'une lettre de J. César, où l'on voit que ce grand homme voulait que la Géométrie servit de règle dans tout l'empire romain et ses colonies, pour ce qui regardait la mesure et la limitation des terres, les édifices publics et particuliers, les fortifications des villes et les grands chemins. L'auleur énumère ensuite les diverses matières qui peuvent donner lieu à controverses dans les opérations de la mesure des terres. Il remarque quelles sont les qualités que doit avoir un arpenteur, et donne les noms de ceux qui ont eu le plus de célébrité, et des empereurs par ordre desquels ils ont travaillé. Il donne ensuite la nomenclature des bornes diverses dont on se servait pour distinguer les provinces , les grands chemins et les possessions des particuliers. Puis il énumère les connaissances qui sont nécessaires en arithmétique et en Géométrie , pour être un parfait géomètre. Ces connaissances embrassent les propriétés des nombres et leur divisions en nombres pairs, impairs , composés, etc. ; l'ordre logique que l'on doit suivre en Géométrie ; les définitions des figures que considère la partie la plus élémentaire de cette science , et les différentes mesures en usage chez les arpenteurs romains.

Enfin l'ouvrage est terminé par un morceau qui ne concerne que l'arithmétique, et que nous avons reconnu , en effet, n'être qu'une réunion de divers passages du premier livre de l'arithmétique de Boècc, pris, dans l'ordre suivant, du chapitre 32, de la préface, et des chapitres 1 , 2 , 1 , 32, 19 , 20 , 22 , 12 , 2(1 et 27. Tout ce morceau est sans doute étranger à la Géométrie de Boéce, et y a été joint à tort par quelque compilateur.

Les éditions de Boèce, et la plupart des manuscrits, ne contiennent que deux livres de Géométrie. Cependant il existe quelques manuscrits qui en contiennent cinq. M. Libri en signale un à Florence, à la bibliothèque de St.-Laurent <. Nous voyons dans la Bibliotheca bibliothecarum de Mont faucon (lom. Pr, pag. 88), qu'il en existe aussi un dans la bibliothèque du Vatican , avec un traité sur le* nombres, en Jeux (ivre* [Boetiî de numerit duo libri), qui parait être différent de l'arithmétique. Il est à désirer que ces manuscrits , qui peuvent être utiles pour l'histoire des sciences , sortent enfin de la poussière des bibliothèques.

« HUtoiredtt science* tn Italie, tom. 1« , p 89.

Sur le passage du premier livre de la Géométrie de Boèce, relatif à un nouveau

système de numération .

Le passage de la Géométrie de Boèce, dont il s'agit, paraît être resté inaperçu pendant long-temps, quoique les manuscrits des œuvres de cet écrivain ne soient pas rares , et que sa Géométrie ait été imprimée dés 1401 , puis en 1499 et en 1570. Ce n'est , je crois , que Ters le milieu du XVII* siècle que Isaac Vossius , dans ses notes sur la géographie de Pomponius Mêla , fit connaître ce passage, et signala les neuf caractère» ou chiffres , qu'il contenait. Depuis, ça été une question souvent agitée, de savoir si c'est bien précisément de notre système de numération que Boèce veut parler , et si les Grecs en ont eu connaissance, ainsi qu'il le rapporte.

Ce point historique offrait un grand intérêt , par lui-même , et comme devant être d'une haute importance dans la question plus générale de l'origine du calcul iudien , et des voies qu'il avait suivies pour se répaudre au loin, et apparaître tout à coup parmi nous, au commencement du XIIIe siècle, dans de nombreux ouvrages '.

Cependant on n'a point encore été d'accord jusqu'ici sur la vraie signification du passage de Boèce, et l'opinion émise le plus généralement a été en faveur d'une autre pièce, du Xe siècle, qui est une lettre et un petit traité allrihués à Gcrbcrt (devenu pape en 999,

I 1- L'ouvrage de Léonard Fibotiacci , de Pi»e, commentant ain*i : Incipit liber .iUaci, composUue à Leenardo fi'., Benacci Pieano, in anne 1202; et dan* lequel ae trouvent au«i, pour la première foi», en Europe, le* principe) de l'algèbre.

2» Le Traité d A rithmétique pratique de Jordan Semorariu» {ver* 1200], re»té manuscrit dan* la bibliothèque •avilienne, *ou* le titre : Algoritmus Jordani, ta m in integri* uuam in fractit demonstratus. Cet ouvrage ctt diffèrent de l'Arithmétique *péculative en dix livre* , du même auteur, mi*o au jour et illustrée par Fabre d'Êlaple*, en 1408.

3» Le traité d'Arithmétique do Saoro Bo.co , intitulé : Tractatut Algoritmi , écrit en 1238 , en ver» , et commentant par ce* deux-ci :

Hirc algoritmut, art pnrtenl , dicitur in qui Talibm Indorum fruimur bit quinze /gurit.

4> Un patiage du Spéculum doctrinale , de Vincent de Beauvai* (1104-1284), intitulé : D» computo et algoritmo (livre XVI, chap. 0), où la connaiuance de no* neuf chiffre*, et de leur* valeur* de position , ain*i que l'u»age dutére, «ont parfaitement eipotét.

0* V Algorisme , ou Traiti d'Arithmétique , écrit en françii» par un anonyme, »ou» Philippc-lc-Hardi (1270- 12*3). H Daunnu , dan* le Di*caur* *ur l'état de* lettre* en France , au \\\V aiécle , mi* en tète du tom. XVI de Vl/ùtoire littéraire de la France (in-4>, Pari*, 1824), fait mention de ce Traité , qu'il dit exi*ter dan» la bibliothèque do S"-Gcneviévc , »ou* le il" BB 2 , iti-4-, mai* malgré le* recherche* réitérée* de flH. le* con- «ervateur* de cette bibliothèque, non* n'avou* pu l'y trouver).

8- Le Traite de laxime Planude , écrit en grec, ver* la fin du XIII' .iècle, aou* le titre : Calcul telen les Indiens , dit le grand calcul.

II e»t ai*et aingulier qu'aucun do ce* traité* d'Arithmétique , qui *ont ai précieux pour l'hUtoire de* «cience*, et qui marquent un grand pa* de l'e*prit humain , n'ait pa* encore été imprimé.

Outre ce* ouvrage*, il exitle d'autre* écrit* du même tempt, tel* que le Calendrier de Roger Bacon, le* Lettre» de Jordan Kémorariu* , et le* traité* De sphara et De computo de Sicro Botco, où il e»t fait utage de* chiffre* arabe*.

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NOTES

sous le nom de Sylvestre II) , où l'on a aperçu notre système de numération, et l'on a répété , tlepuis que Wallis a émis cette opinion dans son Hietoire de l'Algèbre, que Gcrbert . le premier, nous a fait connaître le système de numération indien, qu'il avait appris des Sarrazins , en Espagne. El c'est l'opinion émise encore dernièrement par l'illustre président de la société asiatique de Londres , dans sa savante dissertation sur l'origine de l'algèbre1.

Mais il faut dire ici que c'est plutôt d'après le témoignage unique d'un historien du XIIe siècle, Guillaume de Malmesbury, dont les paroles2 ont été empruntées et reproduites un siècle après par Vincent de Beauvais 1 , qu'on a fondé celte opinion, que sur le traité même de Gcrbert, que l'on a rarement lu , et que Wallis particulièrement n*a pas connu. Et, chose asseï singulière , si c'eût élé l'examen de ce traité qui eut servi de base à l'opinion de Wallis, nous ne balancerions pas à dire que la question agitée au sujet du passage de Boèrc est résolue par cela même, cl qu'à Boécc doit être reporté l'honneur attribué à Gcrbert. Car la comparaison que nous avons faite du traité de Gerbert avec le passage de Boéce , ne nous laisse aucun doute qu'il roule absolument sur le même sujet et sur le même système de numération; et que l'un et l'autre ont la même origine. Cette remarque, qui u'avait pas encore élé faite , aura besoin d'être justifiée; j'y reviendrai dans un autre moment, cl ferai alors quelques autres observations auxquelles peul donner lieu le trailé de Gcrbert *. Je dois ici me renfermer uniquement dans l'examen du passage de

' Thit (Gerbert), ttpoo his relurn , he communicated ta Christian Europe , teacking the methad of numbers uuder the désignation of Abacut, a nome apparentlgfirst introduit <i byhim (rutionct numerorum Abaci),»y rvles abstruse and difficult ta be underslood , as William of Matmeshunj affirme. Il «<at probabtg owing to thù obscuritg of his mies and manner or trenting the A ratio h , or rather Indian arithmetic , thaï it mode so Utile progrès» Lr Itère n hit lime and that of the Pisan (Leonardo of Pisa). (Colcbrooke, Brahmegopta and B hase ara , Àigetra , dissertation , p. lui.)

* A bac* m terle primus a Saraeenis rapiens , régulas iedit , quas a sudantibus atocittis vis intellignntur . Voir De gestis Anglarum libri V. (livre II , p. 84 et 85.)

5 Spéculum historiale. Dnaci, 1031. in-f°. Voir livre XXIV, chap. «8, p. M7.

* Par exemple , ce traité , et la lettre d'envoi qui lui »ert de préface , sont-ils bien de Gcrbert ? Et en «uppo- •ant qu'il» roulent »ur notre système de numération (ce que je croi*), leur origine directe vient-elle de» Sarratin» d'E»pagne ? Ce» deux question», qui sont »oulcvéc» ici pour la première fui» depui» que , »ur l'autorité de Malmeibury , on a fait bonneur a Gerbert de l'importation du système arabe . ne »onl peut-être pa» dépourvue» d'intérêt. Car cette lettre et le traité, qu'on croit généralement être re»té manuscrit, aonl imprimé» en entier , acu» le titre de numerorum divisione, dan» le» OEuvre» de Bède (878-7M], comme étant de cet écrivain. Il e»t •*»*» étonnant qu'il» n'y aient pa» été aperçu» , surtout par Monlucla et par Delambre , qui , l'un et l'autre, ont parlé de ce chapitre de» œuvre» mathématique* de Bède. (Voir Histoire des mathématiques , tom. I", p. 485, et Histoire de l'astronomie ancienne, tom. p. 322.)

Maintenant , ce »era peut-être un point d'histoire à réioudre , de «avoir ai la lettre et le »yttéine de numération attribué» à Gerbert, tont de lui ou de Bède.

San» vouloir aborder cette question, qui e»t du ressort de» tavan» écrivain» qui continuent Vffittoire littiroirr de la France , nou» nou» permettront de dire que la grande ressemblance, quant au fond et dana le» mot* mémet, que nou» reconnaissons entre ce Trailé et le passage de Boèce, nou» porte a le croire de l'écrivain le plu» rapproché de ce dernier; c'est-à-dire de Bède, qui ne lui e»t postérieur que de deux iiècle*. Une antre raison , c'est que du trmp» de Gcrbert, le* Maures d'Espagne devaient te »ervir , comme le* Indien* et le» Arabe* , du zéro (ou du point , comme serti . de («rte que Gerbert , en tran»metlant leur »y»tènie de numération, aurait fait uiageet aurait parlé expressément du xéro, dont non* ne pouvons trouver aucune trace dan* le traité en question, où nou* «uppoton* que ce ligne auxiliaire e*t *uppléé par l'emploi de colonne» , comme

Toi. XI. 59

466 NOTES

la Géométrie de Boéce , qui est la partie la plus importante de cet ouvrage, surtout comme

documeut historique unique.

Voici la traduction à peu prés littérale , qui nous parait rendre le sens de ce passage : « Les Anciens avaient coutume d'appeler digitt toute espèce de nombre au-dessous de

» la première limite, c'est-à-dire ceux que nous comptons depuis un jusqu'à dix, qui

» sont 1,2,3,4,5, 0, 7, 8 et 0.

» Us appelaient articulés tous ceux de l'ordre des dixaines, et des ordres suivansà

» l'infini 1 ;

» Nombres compote* tous ceux compris entre la première et la seconde limite , c'est- » à-dire , enlro dix et vingt , et tous les autres suivans , excepté les limite* ; » Et nombres incompoté* tous les digitt et toutes les limite*

» Les nombres multiplicateurs changent de place entre eux ; c'est-à-dire que tau lût le

dans Bnèce , ainsi que nom allons le dire. Enfin une troisième considération, qui rend admissible l'opinion qne Bcde a pu écrire ce Traité , c'est que l'on trouve nos chiffres dans quelques manuscrits tris-ancien* de* œuvres de cet écrivain , ainsi que l'a remarqué Walli» dans son Histoire de C Algèbre (p. 11).

I C'est-a-dirc tout décuple ou centuple , etc., d'un digit.

Celle distinction des nombres, en digitt et en articulés , avait pour objet surtout de donner des dénominations spéciales au chiffre des unités et à celui des dixaines, dan* un nombre exprimé par deux chiffres, tel que 27 ; parce que ce* deux chiffres , considérés dan* un calcul , pouvaient bien ne pa* repré*enter le* véritable* unités et dixaine* de la question. C'eat ce qui a lieu, par exemple, *i le nombre 27 résulte, dan* une multiplication, du produit du premier chiffre du multiplicateur par le second ou le troisième chiffre du multiplicande.

Le* dénomination* de digitt et articule"* {digilut et articulus ) méritent bien d'être remarquée* ici, car on peut dire qu'elle* suffiraient *eulc* pour indiquer qu'il est question de notre système de numération, avec lequel elle* te *ont toujours présentée* depuis : au X* siècle ou antérieurement, dan* le Traité attribué i Gcrbert; au Xlll« *iècle dan* le* ouvrage* de Sacro Bo*co, de Vincent de Beauvai*, etc.; et à la renaissance dans tous les traités d'arithmétique, qui commencent toujour* comme ce passage de Boéce ( Voir Oputculum de praxi numerorum quod algoritmum vocatif, pièce très-ancienne, trouvée et mise au jour en 1603, par Joaie Clictho\ée; Margarita philetopkica ; .Sunna de At ithmetica de Lucas de Burgo ; Algorithme* drmonstratus de Schoncr ; Septem partium Legitticœ arithmeticet guestionet, de Schroter; A rit h me tic a practica in guingue parlât digetta , de Xorsianus ; ArilkmetUa practica librit IV attoluta, d'Orooce îinée ; Arilhmetica practicm wuthodut fucilit , de Gemma Trisiu*, etc.)

9 Ain*i les limittt étaient des nombre*, et n'étaient autre* que le* articulât,

II n'y avait donc , dan* le Tait , que troi» etpiee* de nombre» , le» digitt, le* articulé* et le* nombre* compatit.

Cette division des nombres en trois espèces, était enseignée dans tons les traités d'arithmétique , a la renaissance. Le mot lime* , que nous avons traduit par limite , était aussi employé dam plusieurs ouvrage*; mai* il n'y désignait pas des nombres; il s'appliquait i de* collection* de nombre*. On appelait limites (utini) le* différent ordre* d'unités, dixaiuet, centainet , etc., que Ici Grect appelaient fWJ^i{. Ainsi primut limet était l'ordre ou la colonne det unités ; tecundut limet , l'ordre ou la colonne des dixaines ; et ainsi do suite.

Le pattage suivant de F Algorithme demonslratut ,de Schoner, déûuit bien nettement la significaUon de* mot* digilut , artUulut , numerut competitut, et limet.

Sigitu* ett omnit numerut miner decem. Artieulu* ett cmnit numerut gui digitum décuplai , aul digiti decuptum.aut decupli decuplum, et tic in infinitum. Separantur au Km digiti et articuli in limite*. Lime* ett collectio nere m «umerorum, gui aut digiti tunt,aut digitorum argue multipliées ,</uiliUl eut relatiti. Limet itaque primut digitorum. Secundut prima ru m articulorum. Tertiut ett tecundorum articulorum. £l tic in infinitum. A umem* composilu* est gui constat ex numtrit divertorum limitum. Item i gui pluribut figurit tignificativit reprœtentatur.

NOTES

» plus grand est le multiplicateur du plus petit , et tantôt le plus petit est le multiplicateur » du plus grand. Souvent un nombre est multiplicateur de lui-même. Mais les nombres » les plus petits sont toujours diviseurs des plus grands.

» Des pythagoriciens , pour éviter de se tromper dans leurs multiplications , divisions et » mesures (car ils étaient en toutes choses d'un ge'nie inventeur cl subtil), avaient imaginé » pour leur usage un tableau, qu'ils appelèrent, en l'honneur de leur maître, table de » Pythagore ; parce que, ce qu'ils avaient tracé, ils en tenaient la première idée de ce » philosophe. Ce tableau fut appelé par les Modernes abacus.

» Par ce moyen , ce qu'ils avaient trouvé par un effort d'esprit, ils pouvaient en rendre » plus aisément la connaissance usuelle et générale , en le montrant pour ainsi dire à l'œil. » Ils donnaient à ce tableau une forme assez curieuse , qui est représentée ci-dessous. »

Ici se trouve la toble de multiplication dans les éditions de Boécc , cl probablement dans les manuscrits que les divers écrivains qui ont disserté sur ce passage ont eu à leur disposition , car toujours ils ont raisonné dans cette supposition , et Weidler , particulièrement , s'en est fait un argument pour prouver que ce sont bien nos chiffres et noire système de numération que Boècea décrits'. Mais cette table dePythagore ne se trouve pas dans un très-beau manuscrit du XI" siècle, appartenant à la bibliothèque de Chartres, qui est souvent plus correct que l'édition de 1570. Celte circonstance m'a fait naître l'idée que peut-être ce n'était pas la table de multiplication {à laquelle, sur l'autorité même de ce passage, on avait donné depuis le nom de PytAagore), dont Boèce avait réellement parlé. Et j'ai pensé dès-lors que la difliculté que l'on avait trouvée à donner un sens aui paroles de l'auteur, pouvait provenir de ce qu'on voulait les appliquer à celle table de multiplication. Mais que faut-il mettre à sa place? Notre manuscrit ne répond pas entièrement à cette question ; cependant il peut mettre sur la voie.

Voici ce que nous y trouvons :

Sur une première ligne , sont les neuf caractères par lesquels Boèce représentait les neuf premiers nombres , un, deux, trois , neuf. Ils y sont écrits de droite à gauche , et audessus d'eux sont leurs noms , comme il suit :

Srros

CUMTIS TlIBB il. Zmis. Caiïw. Qci»»» AlKS OlHU. A«»»à«. Ion 3

® (T # A la 4 B H> *C I

On voit à la suite du neuf, un rond dans lequel est inscrite la lettre a; nous parlerons plus loin de ce dixième signe.

' SpicUegivm cbtervalienum ad historiom notarum nu me rut tu m ptrtinentium , etc. Vittemberg , in-4»,

(WpHw),l?M

s Ce» nom» avaient déjJi été trouvé» dan» un manuscrit , par le «avant oriental iatc Greavet. Le célèbre Hnet , évéque d'Avranche , pentait qu'il» y avaient été in«éré» po»lérieurcmenl a Boèce , en faveur de» Orienlau» , au

IVOTES.

Au-dessous de cette première ligne en est une seconde, sur laquelle sont les chiffres romains I, X, C, M, X, C, M.ï, etc , écrits de droites gauche.

Trois autres lignes , ensuite , contiennent en chiffres romains , d'autres nombres qui wnt respectivement la moitié , le quart et le huitième de ces premiers.

Enfin , sur deux autres lignes, sont d'autres caractères romains représentant les fractions de l'once; et sur une dernière ligne , sont les nombres 1,2,3, 4, 12 , écrits en chiffres romains.

De tout cela, nous ne prenons que (aligne des chiffres I, X, C, H, X, etc.; et nous supposons que la table dont Boèce veut parler , « que les Anciens , dit-il , appelaient table de Pythagore , et à laquelle les Modernes ont donné le nom A' Abaque, » n'était point la table de multiplication , mais un tableau destiné à faire les calculs dans le nouveau système de numération qu'il va exposer.

Voici ce qui caractérisait ce tableau , et ce qui le rendait propre a cet usage.

Dans la partie supérieure , était une ligne horizontale , divisée en un certain nombre de parties égaler; et des lignes verticales priaient des points de division. Ces ligues, prises deux à deux consécutivement, formaient des colonne*.

Sur les portions de la ligne horizontale , comprises entre ces colonnes, étaient inscrits . en allant de droite à gauche , les chiffres romains I, X, C, M, X, C, M.ï, X. M.ï, etc., signifiant un, dix, cent, mille, dix mille, cent mille, mille mille , dix mille mille, etc.; comme il suit :

JLLH.I I.M.i CHU X.M.l M.ï

A l'aide de ce tableau , substitué à la tabl* de multiplication , nous allons pouvoir, je crois, donner un sens intelligible au texte de Boèce, dont je reprends la traduction:

« Voici comment ils se servaient du tableau qui vient d'être décrit. Ils avaient des » apicet ou caractèret , de diverses formes. Quelques-uns s'étaient fait des notes à'apktt ,

I répondait à l'unité, à deux ; 5k à trois; (^.Q^ à quatre;

telles

à neuf . Quelques

» t[ à cinq ; P à six ; à sept ; § à huit ; et enfin CJ

temps où U connaissance des lettre» arabe» s'introduisait parmi noua. Il attribuait aux quatre anivans, Aria* , Quimat , Zenii et Ti me nia t -, une origine hcbraîquo (Demonstratio Etangtlica, prop. IV. Voir au»»i Heilbrotiner, Hittoria malhrteci , p. 744/

1 Nom reproduiaona ici le» neuf chiffres soo» la forme qu'ils ont daoa ce passage de notre manoaorit.I

>'OTES.

» autres, pour faire usage de ce tableau, prenaient les lettres de l'alphabet; de manière » que la première répondait à l'unité, la seconde à deux; la troisième à trois, et les » suivantes aux nombres naturels suivans. D'autres enfin , se bornaient à employer, dans » ces opérations, les caractères usités avant eux pour représenter les nombres naturels. » Ces apices (quels qu'ils fussent), iU s'en servaient , comme de la poussière1; de ma- » nière que s'ils les plaçaient sous l'unité , chacun d'eux ne représentait toujours que » des digits. *

Cette dernière phrase et les suivantes sont très-importantes. C'est là que nous croyons voir ce qui fait précisément le caractère propre de notre système de numération , c'est-àdire la valeur de position des chiffres. Pour les comprendre, il faut fixer son attention sur le tableau que nous avons décrit et tracé ci-dessus. Car c'est ici que se montrent l'utilité et l'usage de ce tableau.

Nous reprenons la dernière phrase deBoèce, et nous continuons :

« S'ils plaçaient ces divers apices sous l'unité (c'est-à-dire dans la colonne des unités), » ils représentaient toujours des digits.

» Plaçant le premier nombre, c'est-à-dire deux (car l'unité, comme il est dit dans les » arithmétiques, n'est pas un nombre, mais l'origine et le fondement des nombres), » plaçant donc deux sous la ligne marquée dix , ils convinrent qu'il signifierait vingt ; » que trois signifierait trente; quatre, quarante; et ils donnèrent aux autres nombres » suivans les significations résultantes de leur propre dénomination.

» En plaçant les mêmes apicet sous la ligne marquée du nombre cent , ils établirent » que 2 signifierait deux cents; 3, trois cents; 4, quatre cents ; et que les autres ré- » pondraient aux autres dénominations.

» Et ainsi de suite dans les colonnes suivantes : et ce système n'exposait à aucune erreur. »

On peut voir, je crois , dans ceci une description assez claire du principe de notre système de numération , la valeur de position des chiffres , croissant suivant une progression décuple en allant de droite à gauche. Les colonnes dont il était fait usage, et qui sont formellement indiquées dans le texte par le mot pagina la ou pagina ( petite bande), permettaient de se passer du zéro , parce que là où nous l'employons , on laissait la place vide. Un passage de l'arithmétique de Planude s'accorde avec cette supposition, que, dans l'origine de notre système de numération, on se servait de colonnes qui dispensaient de l'usage du téro. Car Planude dit que le léro #« met dans les places vides ; et

comme les places augmentent les valeurs des chiffres , ainsi font les zéros qui rem-

»ont différent, comme on voit, de ceux qui «c trouvent arec leur* nom* en dehor» du texte, eequi fait «uppoter que ceux-ci ont été ajouté* par quelque copitte. Cela nou* confirme dan* l'opinion que cette ligne de chiffre* ne fai»ait pa» partie, dan» l'autographe de Boèce, du taltrau dont il parle; et que ce tableau *e compotait •enlement de colonne* verticale* au haut detquellc* étaient intcrlt* le* nombre* un, dix, cent, mille, etc., lignifiant unités , dixainet , etntaints , etc.

1 /ta varu ctu pulverem dispergert.... Boèce fait allusion tan» doute à la ponuière, au puleit trviituê de Cicéron {Dénaturé D$or*m,\\b. II), que le* Ancien* étendaient »ur leur» abaque» pour y tracer leur» figure»

NOTES

plittent le» place» vide»1. Ainsi , antérieurement à l'usage du zéro, il y avait des places vides; ce qui ne pouYait se faire qu'au moyen de colonne». Peut-être, quand on aura voulu supprimer les colonnes, et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs, aura-t-on laissé seulement celles où se trouvaient des zéros; de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant une colonne) auraient fait l'office du zéro. Ensuite on aurait changé celle figuro en celle du zéro actuel , qui est d'une description plus simple.

Après avoir exposé succinctement le principe du nouveau système de numération , Boècc donne les régies de la multiplication et de la division. Voici comment il s'exprime:

« Dans les multiplications et les divisions, il faut savoir, et observer avec soin, dans » quelle colouhe on doit placer les digit» , et dans laquelle les articulé». Car, si un » nombre des unité'» est multiplicateur d'un nombre des dizaine», on place les digit* » dans les dixaincs, et les articulés dans les centaines; si le même nombre est multiplica- » tcur d'un nombre des centaines , on place les digits dans les centaines , et les articulés » dans les mille; s'il est multiplicateur d'un nombre des mille, on place les digit» » dans les mille, et les articulés dans les dix mille; et multiplicateur d'un nombre des » cent mille, on place les digit* dans les cent mille, et les articulés dans les mille-mille.

» Mais si un nombre des dixaincs est multiplicateur d'un nombre des dizaines, on » place les digits dans la colqkxe marquée cent, el les articulés dans les mille;

» S'il est multiplicateur d'un nombre des centaines , on place les digit» dans les mille, » et les articulés dans les dix-mille ;

» Multiplicateur d'un nombre des mille , on place les digit» dans la colonne des dix » mille , et les articulés dans celle des cent mille ;

» Et multiplicateur d'un nombre des cent mille, on place les digit» dans les mille- » mille , cl les articulés dans les dix mille-mille.

» Semblablcmcnt, un nombre des centaines étant multiplicateur, etc. , etc.

Tout ce passage est très-intelligible , et répond parfaitement aux règles que nous observons pour la multiplication; il confirmerait, au besoin , le sens que nous avons donné aux phrases précédentes. C'est dans ce passage principalement qu'on a trouvé do l'analogie avec notre système de numération.

Viennent ensuite les règles de la division. L'auteur commence ainsi :

« Maintenant les divisions , de quelques grands nombres qu'il s'agisse , deviennent » faciles pour le lecteur dont l'esprit est préparé par ce qui précède. Aussi nous n'en par- » lerons que sommairement ; et s'il se rencontre quelque difficulté, nous laissons à l'atten- » tion du lecteur le soin de la résoudre. »

L'obscurité du texte ne nous permet pas d'en traduire la suite; nous supposons qu'il nous est parvenu tronqué et défectueux ; mais celte suite n'est pas nécessaire pour fixer notre opinion sur le système de numération que Boèce vient d'exposer; ce qui précède suffit.

1 Dclambre , Hietoire de l'astronomie ancienne, t. I", p. 519.

Les règles que l'auteur donne pour la division , nous paraissent se rapporter aux cinq cas suivans :

1° Diviser des dixaines par des dixaines , ou des centaines par des centaines, etc.;

2° Diviser des dixaines, ou des centaines, ou des mille, etc., par des unités; ou bien des centaines ou des mille, etc., par des dixaines;

3° Diviser des dixaines ou un nombre composé de dixaines et d'unités, par un nombre composé de dixaines et d'unités;

4° Diviser des centaines ou des mille, etc., par un nombre composé de dixaines et d'unités;

6° Enfin, diviser des centaines ou des mille, par un nombre composé de centaines et d'unités.

Ici se termine le premier livre de la Géométrie de Boéce.

Le passage que nous venons de rapporter est le seul que l'on ait cité comme traitant d'un nouveau système de numération, et c'est le seul probablement qui se trouve dans les manuscrits sur lesquels on a travaillé jusqu'ici. Mais celui que nous avons sous les yeux , contient encore, à la fin du second livre, un second passage sur le même sujet , qui mérite d'être connu, car il nous paraît montrer bien distinctement la valeur de position des du 11 Y es. Le voici :

Après le tableau des fractions de l'once, Boèce ajoute :

« Dans la formation du tableau ci-dessus , ils (les Anciens) se servaient de caractères de i» différentes sortes et de formes différentes. Mais nous , nous n'en employons pas d'autres , » dans tout ouvrage de ce genre, que ceux que nous avons tracés dans la construction de » l'abaque. Nous avons assigné la première ligne de ce tableau aux unités; la seconde aux » dixaines; la troisième aux centaines ; la quatrième aux mille; et enfin les autres lignes » aux limite* 1 des autres nombres. Si on place des apicet sur la première ligne , ils repré- » «enteront des unités; sur la seconde des dixaines , sur la troisième des centaines ; sur la » quatrième des mille , et ainsi de suite des autres. »

Ensuite Boèce donne les valeurs des fractions de l'once, dont auparavant il a donné seulement les noms, digitue , siatera , quadrant , drachma , etc.

Tout ce passage se rattache évidemment au tableau des divisions de l'once , et doit être rétabli dans l'ouvrage de Boèce.

De ce qui précède , nous croyons pouvoir conclure que le système de numération exposé par Boéce, est le système décimal , dans lequel les neuf chiffres dont il se sert prenaient des valeurs de position, croissant en progression décuple en allant de droite à gauche; et enfin que ce système de numération était précisément celui des Indiens et des Arabes , et le nôtre actuel; avec cette différence légère, que , dans la pratique, l<,; places où nous mettons le zéro, restaient vides alors; et que cette dixième figure auxiliaire était suppléée par l'emploi de colonnes marquant distinctement l'ordre des unités, dixaines, certaines , etc.

' Ici Boèce donne «a mot limes une ecception icmblable il celle qu'il ■ prite chei Ici Hoderuei. Voir dan» une note ci-dewu., le paa.ago que noua atona eilé de VAlgorithmus demonstrulus de Schoner.

NOTES

Nous devons ajouter ici que dans le manuscrit dont nous nous servons , à la suite des neuf chiffres tracés avec leurs nous sur une mémo ligne, se trouve, après le neuf, un dixième caractère qui est un rond dans lequel est une petite lettre o. Ce dixième signe représente, bien probablement , le zéro ; l a qui y e3t inscrit est peut-être la terminaison du mot eyphru ; ou la première du mot arcut que nous trouvons employé dans une autre pièce contenue dans le même manuscrit , et relative au même système de numération , pour exprimer le mol colonne , parce que les colonnes qui y sont tracées sont surmontées d'arcs de cercles , de sorte que cette lettre a voudrait dire que le rond tient lieu d'une colonne. Cette origine du zéro serait assez naturelle.

Nous ne supposons pas que celte dixième figure se soit trouvée dans l'autographe même de Boècc ;ellc aura été ajoutée plus tard. Mais il est bon de la remarquer dans un manuscrit du XI" siècle, parce que c'est une opinion partagée par des écrivains d'une grande autorité, que le zéro ne nous a été apporté qu'au commencement du XIII* siècle par Fibonacci.

Le sens que nous avons donné au passage de Boècc a reposé sur cette double supposition , que le mot abacu* , qui s'y trouve employé, ne s'applique point à la table de multiplication , comme on l'avait supposé jusqu'ici , mais bien à un tableau d'une disposition particulière, propre à la pratique des nombres dans notre système do numération. Cette double supposition n'est pas contredite par les docurnens littéraires qui nous restent sur la signification ancienne du mot abacu*, et se trouve confirmée par celle qu'il a prise dans le moyen âge , et qu'il avait encore au XVI* siècle.

En effet :

1° On sait par divers auteurs grecs et romains, qui ont fait usage, avant Boéce, des mois et abacut , qu'ils signifiaient proprement un tableau tur lequel le* Ancien» faisaient leur» calculs d'arithmétique et lettre figurée de Géométrie. {V air Polybe , V* livre; Plutarque, Fie de Caton d'Utique , sur la fin; Perse, satyre l,e, vers 131 ; Marlianus Capella, De nuptii* Philologiœ et Mercurii; liber VI, de Geometriâ).

2° Nulle part, avant Boècc, il n'est parlé ni de la table de multiplication, ni de la * table de Pythagore; ce n'est que sur l'autorité de ce passage de sa Géométrie, où s'est trouvée, dans des mauuscrits, la table de multiplication , qu'on a appliqué, depuis, à cette table, les noms de menta pythagorica , et de abacu* jtythagoriru*.

Et il est a remarquer que, dans son traité d'arithmétique, où Boècea fait un grand usage de cette table , pour mettre en évidence les propriétés des nombres considérés dans leurs diverses catégories en nombres triangulaires, pentagonaux , etc., il ne l'a désignée ni sous le nom de Pythagore, ni par le mot abacu*.

On ne trouve après Boècc qu'un seul auteur ancien , Bède, qui ait appelé menta pythagorica teu abacu* numerandi , une table de multiplication, qui est beaucoup plus étendue que celle dont nous faisons usage. Mais il faut vérifier si ce double titre est bien dans les manuscrits de Bède, surtout dans les plus anciens.

3" Le mot abacu* est employé dans la lettre et dans le traité De numerorum àivùione, attribués à Gerbert , et là évidemment il ne désigne pas la lable de multiplication, mais

NOTES

tien le nouveau système de numération que l'auteur expose. Or, comme nous l'avons dit dans une note précédente , ce svstéme est absolument le même que celui de Boèce ; nous en devons donc conclure que, dans Boèce aussi . le mot abacu* a une signification particulière qui se rapporte à ce système.

Nous supposerons que Boèce s'est servi de ce mot abactts (sous-entendant peut-être pythagoricus) pour désigner le tableau propre à faire les calculs dans le nouveau système de numération ; et qu'un écrivain postérieur , tel que Gerbcrt , a donné ce nom au système lui-même.

Cette conjecture semble confirmée par l'opinion que Wallis a fondée sur de nombreux documens historiques , savoir : que le mol abacu* , dans le moyen âge et à la renaissance, a été employé comme synonyme de algoritmtu (De Algebrà tractatu» , p. 16); que l'un et l'autre ont toujours désigné la pratique des nombres par les chiffres arabes, c'est-à-dire notre système de numération 1 (t'oit/., pag. 19); et que dans quelqu'auteur où l'on trouvera le mot algoritmut , on en pourra conclure avec certitude que ces chiffres étaient counus au temps de cet écrivain 2.

Le passage delà Géométrie de Boèce, et le traité de numerorum diviiîone attribué à Gcrbert , sont jusqu'ici les seuls monumens anciens de notre système de numération , qui nous soient connus. Nous en avons trouvé un troisième, à la suite de la Géométrie de Boèce, dans le manuscrit du XI" siècle dont nous avons parlé. Nous ferons connaître cette pièce dans un autre écrit. Elle confirmera, je crois, le sens que nous avons donné au passage de Boèce. Les neuf chiffres y ont les noms igin , andra» , etc.; et leurs valeurs , c'està-dire les nombres qu'ils expriment, sont indiqués par neuf vers que voici :

Online p ri mi (je no 1 nomen possidet /•//.. .

Andrat cccc locum previndicat ipse sec uni Juin. Ormit po»t iiumerus non composilua sibi primu».

' Koiu voyon* qu'en effet au commencement du XIII* ticcle, Fibonacci appelle *on trait* d'arithmétique , Liber abbaci.

Un aiècle aprè» , un autre auteur italien, Paolo di Dagouiari , qui eut de la célébrité comme géomètre, agronome et littérateur, était turnommé Paolo deW aUaco , c'eit-a-dire Paul de l'arithmétique , i, caute de m grande habileté dan* la teienec de* calculs.

A la fin du XV* aiècle , Luca* Pacciolt dit que notre «yitèiue d'arithmétique a été appelé alacut , pour dire à la manière de< Arabe*, muodo arabica ; mai* que luivant d'autre*, ce mot dérive d'un mot grec. (Summa do Arilhmetica. Dittinctio 2"; do numeratione).

Un ouvrage du même teinp* , de îr. Pello*,a pour titre : Son teguede la art de arithmeticha , tembtantment

de jeumetria dich ho nommai compendion de lo àtaoo complida et la opéra per Fr. Petlos Impresso

in Thaurino ,lu prêtent compendion de a»aco per 1492.

Enfin Clicthovée, au commencement du XVI' (iéole, appelle ton traité d'arithmétique Praxit numerandi quem abacutn dicunt , et y joint un traité temblable d'un auteur ancien qui lui e*t inconnu , et qu'il intitule : Opuwculum de Praxi numerorum quod alyoriimum vocant. Ce qui prouve bien qu'au temp* de Clicthovée, abacut et algoritmut étaient tynonyme* et t'appliquaient à notre ay*tème de numération, comme l'a penaé Wall U.

a Et ubicunque in teriptore aliquo Algoritmi nomen reperitur, certo conctudas figurât hatee ed mtate fuùtt cognitat (sa lum» tbactatc», p. 12).

s Ici m trouve un blanc dau* le manuscrit. Le mot tibi conviendrait.

Toi. XI, 60

NOTES

Deniqiie bis binos succedeni indical Arbat.

Significat quinoa ficlo de nomino Çuimat.

Sexla tenet Calcit perfecto minière fraudent.

Ztnit enim digne aepteno fulfjet honore.

Oclo beatifico» Ttmtutat exprimit unua.

Hinc sequilur Sipoi est qui rola namque vocalur '.

Nous ne nous sommes occupé , dans cette note, que de rechercher la vraie signification du passage de Boéce, et de fixer notre opinion dans la question de savoir s'il se rapportait à notre système de numération. Mais ce passage a douné lieu à une autre question , qui est même celle qui a été le plus souvent discutée ; c'est de savoir si , comme le dit Boéce , ce système a été connu des pythagoriciens. Plusieurs écrivains l'ont pensé *J mais le plus grand nombre n'ont pu admettre que les Grecs aient possédé un système de numération supérieur au leur, et dont ils auraient méconnu l'excellence au point de le laisser se perdre dans l'oubli. Celle objection est grave; et Monlucla, pour y répondre, suppose qu'il s'agit des Grecs d'un temps rapproché, où le savoir et l'amour des sciences étaient déjà sur leur déclin. Cette supposition est plausible; mais est-il bien nécessaire d'y avoir recours? Nous pensons que Monlucla ne l'a faite que parce que l'on s'exagère , en général , la différence qu'il y a entre le système de numération des Grecs et celui des Indiens, el la difficulté prétendue à opérer dans le premier. Il nous semble qu'au contraire les deux systèmes diffèrent très-peu l'un de l'autre. Tous deux ont pour base la progression décuple; et expriment un nombre quelconque de la même manière, par unités, dixaines, centaines, mille, etc., au moyen des neuf nombres radicaux et générateurs un, deux,

trois, , neuf , qui forment l'ordre des unités, et servent à former l'ordre des dixaines,

des centaines , des mille, etc. En un mot les deux systèmes de numération reposent l'un et l'autre sur la même formule suivante, qui exprime la composition d'un nombre quelconque :

où chacun des nombres générateurs A, B, C , E,F, est l'un quelconque des neuf

premiers , un , deux , trois , , neuf.

I Ce dernier ver» t'applique ici an chiffre 9. Cependant , dam la luite de l'écrit , le 9 eat Quelle e»t laraiton de ce double nom, tipot et celentit, qui te trouve autti, comme nout l'avon» ' dant le manuscrit de Boèce ?

Dam ce nouvel écrit on remarque, a la tnite det neuf chiffre» , comme auni dant celui de Boèce , un rond , qui reprétente tant doute le siro. Le mot ripoi, dant le principe, n'aurait-il pat été dettiné a cette dixième figure , à laquelle il convient bien? Alort il manquerait ici un vert pour le chiffre 9 , celenlii.

Kout toumettont eet quetliont aux lecteurt a qui la connaitiaucc de l'hébreu pourra en faciliter U tolution.

3 Conrade Datypodiui, Itaac Votaiui, Huet, Don» Calniet, Edouard Bernard, Weidler, Jean Ward , Bayer, Villoiton , Monlucla.

II a paru en Italie, an commencement de ce tiède, une nouvelle ditiertation tnr la quettion qui nous s; elle a pour titre : Mtmori* svtle cifre araiiehe. Xilan , 1813, grand in-+>. » procuré cet écrit.

NOTES

Quelle est donc la différence réelle entre les deux systèmes de numération? C'est qu'après avoir représenté, dans l'un et l'autre, les neuf nombres de l'ordre des unités par neuf caractères particuliers, les Grecs représentent les neuf nombres de chacun des ordres suivans par d'autres caractères différens, tandis que les Indiens les représentent par les neuf premiers caractères eux-mêmes; dont les valeurs diverses sont différences et indiquées par les places qu'ils occupent : et comme ces places sont les mêmes dans les deux systèmes, on voit que les calculs ne doivent point être plus diQicilcs dans l'un que dans l'autre, et qu'ainsi il n'y avait pas de raison bien majeure pour substituer le système indien , quoique plus savant et plus complet , au système grec ; substitution qui aurait pu se faire entre les mathématiciens; mais qu'il n'aurait pas été facile d'imposer à tout un peuple. On en trouve la preuve cbei les Romains, dont le système de numération rendait les calculs extrêmement pénibles, et qui néanmoins l'ont conservé, quoiqu'ils connussent celui des Grecs qui lui était infiniment supérieur.

Une objection, qui au premier abord parait très-forte contre l'opinion de ceux qui pensent que les Grecs ont connu le système indien , c'est que dans le leur ils n'avaient pas de moyen pour exprimer de très-grands nombres (ils s'arrêtaient à quatre-vingt-dix» neuf millions), et qu'Archimèdc a écrit un livre des Principe», pour remédier à ce défaut, et s'est servi dans son Arénaire du moyen qu'il avait imaginé. Si dans l'école de Pythagore , dit-on , on avait possédé le système indien, Arcbiméde l'eût connu, et n'aurait pas eu besoin de chercher les moyens d'exprimer de grands nombres; puisqu'il lui aurait suffi de proposer ce système. Sans doute, si Arcbiméde avait voulu créer un nouveau système de numération, on en conclurait qu'il ne connaissait pas celui des Indiens; mais tel n'a point été son but; il n'a voulu que trouver le moyen d'exprimer de grands nombres dans le système même des Grecs. Qu'a-t-il fait pour cela? Il a appliqué à ce système, à partir de la limite où il cessait de satisfaire aux besoins du calcul , le système indien , c'est-à-dire la valeur de positionnes chiffres. Est-ce là une preuve qu'Archimède ignorait ce système indien? Peut-on dire même qu'il n'en avait pas parlé dans son livre des Principes, qui ne nous est pas parvenu, et qui roulait sur la numération, et appliquait au système des Grecs le principe des valeurs de position des chiffres. Dans son Arénaire il n'a point eu à entrer dans les détails qui se seront trouvés dans les Principes , parce que cet ouvrage n'avait pas pour objet d'exprimer de grands nombres, comme on parait le croire quelquefois ; il avait pour objet uniquement de calculer le nombre des grains de sable qui se trouveraient dans la sphère décrite du soleil comme centre et embrassant les étoiles fixes. Et ce nombre calculé, il voulait l'exprimer dans le système de numération des Grecs. C'est pour cela qu'il propose de donner aux chiffres placés au delà de la huitième colonne, des valeurs de position , qui étaient les mêmes que dans le système indien.

Le peu de documens qui nous restent , ne nous dit pas comment se faisait la fixation de ce point à partir duquel les chiffres avaient une valeur de position. Était-ce par un signe particulier ? ou bien fallait-il que les huit premières colonnes fussent en nombre complet? ce qui aurait introduit dans le svstémc grec la considération du zéro, sous une forme quelconque, telle qu'un point, un yide ou une colonne. On sait, du reste, que le léro était

connu des Grecs , el qu'il leur servait à marquer l'absence de degrés ou de minutes , elc, dans leurs calculs des fractions sexagésimales >.

Toutes ces considérations n'étaient pas au-dessus du génie d'Archimède ; mais rien, ce me semble , ne doit nous autoriser à dire qu'il n'a pas pu en puiser le principe dans la connaissance du svstême indien ; ou bien que s'il avait connu ce système , il eut fait autrement dans son Arénaire.

Mais Apollonius, dira-t on, s'est occupé aussi , après Arcbimède, de perfectionner le système de numération des Grecs ; il a réduit à quatre colonnes les octadei ou tranches de huit colonnes d'Archimède ; s'il eut connu le système indien , il aurait appliqué à partir de la seconde colonne , le principe de valeur de position qu'il appliquait à la cinquième.

Mais, pour juger le travail d'Apollonius, qui ne nous est point parvenu , et dont le résultat seul nous est connu par des fragmens de Pappus , il faut rechercher pourquoi il s'est fixé à quatre colonnes, plutôt qu'à trois ou à cinq. La raison nous parait être celle-ci : C'est que les Grecs avaient trente-six chiffres pour exprimer tous les nombres composés de quatre colonnes, tels que 2354. Les vingt sept premiers chiffres étaient des lettres différentes de leur alphabet; et les neuf suivantes , qui exprimaient les mille, étaient les neuf chiffres des unités, marqués d'un iota, ou d'un accent. C'étaient ces trente-six mêmes chiffres qui leur servaient à exprimer les nombres au delà des simples mille, jusqu'à la huitième colonne exclusivement; et à partir de la cinquième colonne, ces chiffres représentaient des myriades, et on plaçait au-dessus d'eux la lettre x, ou bien après eux, et avant la quatrième colonne, les lettres md pour désigner ces myriades. Ces signes étaient embarrassans, compliquaient les calculs, et pouvaient faire naître des erreurs; et Apollonius a voulu les supprimer. C'est ce qu'il a fait en imaginant les tranches de quatre colonnes, et en leur donuant des valeurs de position.

Nous voyons dans cette idée d'Apollonius, de même que dans celle d'Archimède, l'intention de conserver religieusement les caractères employés par les Grecs avec leur signification, et de les approprier à l'expression de tous les nombres possibles. Et nous voyons que ces deux grands géomètres sont parvenus à leur but de la manière la plus heureuse, en attribuant à ces caractères des valeurs de position, suivant le principe même de la numération indienne.

Cela prouve-t-il qu'ils aient ignoré absolument ce système indien ?

Sur un passage de la Géométrie de Boèce, relatif au pentagone régulier de seconde espèce. — Origine et développement des polygones étoilés.

Boéce, dans le premier livre do sa Géométrie, qui est une traduction de propositions prises des quatre premiers livres d'Euclide, ne donne pour chaque théorème, ou problème, que son énoncé et la figure qui s'y rapporte.

Sa dernière proposition prise d'Euclide est le problème d'inscrire dans un cercle un pentagone régulier ( proposition XIe du 4m» livre d'Euclide) ; après l'énoncé de cette ques~

1 Voir le Mémoire de II. Dclambre sur l'arithmétique de« Grec*

NOTES

tion , so trouve , suivant l'usage , la figure qui s'y rapporte , et cette figure a cela de remarquable, qu'elle présente à la fois le pentagone ordinaire et le pentagone étoile, ou de

»»COnde e»p»C».

De plus, après cette figure se trouve une explication qu'on ne rencontrait pat à la suite des autres propositions , et qui nous a paru avoir pour objet de justifier celle double figure, ou plutôt ce nouveau pentagone , présenté comme répondant au problème proposé.

Comme ce passage de Boèce est assez difficile à comprendre, et que nous pouvons trèsbien nous tromper dans la signification que nous lui donnons, nous allons le rapporter ici , en suivant le texte d'un manuscrit beaucoup plus correct que l'édition de Basle ( 1 570 ).

i fuira dation circulum, quinquanyulum quod ett œquilaterum atque œquiangun lum detignare non disconvenir »

Ici se trouve la figure qui répond à la question, et l'auteur ajoute:

« Nam omnia quœcumqu» »unt numerorum ratione sud constant ; et proportiona- » Uteralii ex alii» conttituuntur. Circumferentiœ aqualitate multiplicationibu» suis » quidem excedentes ; atqne alternatim portionibus suis terminant faciente». »

// faut interire dan» le cercle un pentagone équilate'ral et équiangle.

La figure qui répond à la question, présente deux pentagones, dont l'un est de forme nouvelle , et diffère, par conséquent, du pentagone ordinaire. Boéec le justifie ainsi :

Car tout ce qui e»t exprimé en nombre» , a lieu par la propre raiton de» nombre» ; et ceux-ci »e déduieent proportionnellement le» uns de» autre».

Le» arc» 1 deviennent plu» grand» d'une quantité égale à eux-même», par leur doublement, et leur» corde* 1 , prite» de deux en deux, forment le périmètre 3 de la figure.

Si celte traduction du texte de Boècc est admissible, elle nous parait répondre à la construction du pentagone éloilé. En effet, soient A, B, G, D, E, les cinq sommets du pentagone régulier ordinaire. Les arcs que soutendent ses côtés sont AB, BC, CD, DE, EA. Qu'on les double, ils deviennent ABC, BCD, CDE, DEA, EAB ; et les cordes de ceux-ci sont AC, BD, CE, DA , EB. Qu'on prenne ces cordes de deux en deux, on a AC, CE, EB, BD, DA : et considérées dans cet ordre, ces cordes forment le pentagone étoilé.

> Circumferentia e»t , dm* pluiieur» autre» païugct do Boèce , la dénomination de» arcs do cercle.

» Hou» traduUon» portùnitut par le mot caries , parce que portio eit la dénomination du segment de cercle, qui n'en «tint point d'antre chei le* Latin». ( Portio circuit ett figura tjua sut rectâ et circuit circumftrentiâ continetur). Il ici mm» »uppo»on» que Boèce a pri» le tout pour la partie, c'e»l-a-dire le segment pour in corde , parce que le mot corde n'avait pa» alor» de dénomination «impie, on ditail linta inêcripta.

» U» Ulin» appelaient Urmiuus l'exlrémité d'une ligne, et le périmètre d'nn polygone ou d'une figure quelconque {Figura tti quod eub atiquo ttl aliquibu, m.iiits continetur. DéGnition de Boèce).

NOTES

Du reste, on ne doit peut-être pas s'étonner de trouver dans Boéce cette figure; car U parait, comme nous allons le montrer ci-dessous, qu'elle a été connue dans l'antiquité, particulièrement de Pythagore; et de plus, on la retrouve au XIIIe siècle dans le commentaire de Campanus sur Euclide; et pendant trois ou quatre cents ans, la théorie des polygones étoilés , qu'on appelait alors polygones égrédien* , a été cultivée et avait même pris de l'extension. Mais cette théorie , depuis, s'est perdue , et est restée ignorée, parce que, sans le concours de l'analyse algébrique, elle n'offrait qu'un intérêt de curiosité et n'apportait aucune utilité réelle en Géométrie. Mais l'illustre géomètre qui l'a créée de nouveau au commencement de ce siècle , et dont elle porte le nom, lui a donné une importance qu'elle ne peut plus perdre, en montrant son véritable caractère scientifique, et le lieu analytique qui l'unit nécessairement et d'une manière indissoluble aux polygones anciens '.

Néanmoins celte théorie peut faire honneur au moyen âge , où l'on a si rarement l'occasion de signaler quelques traces de génie, et quelques germes d'innovations fécondes. C'est pourquoi nous allons rapporter ce que nous avons trouvé à ce sujet dans l'histoire d'une époque dont il nous reste de trop rares documens.

Mais disons d'abord sur quelle autorité nous avons avancé que le pentagone étoilé avait été considéré dans l'antiquité, particulièrement par Pythagore.

Nous trouvons dans Y Encyclopédie d'ÀUtediu*1 , au XVe livre, qui traite de la Géométrie , immédiatement après la construction du pentagone régulier ordinaire, le passage suivant :

« Pentagonum etiam ita teribitur , et à tuperttitiotis notntur hoc nomma iesus. » (Ici se trouve figuré le pentagone étoilé, avec les lettres i , e , * . u , * , placées a ses cinq sommets. )

« Si pentagonoita conttructoaddat lineam ex superiori angulo in nppotitum angu- » lum ductam , fiet illa figura, quam voennt sanitulem P\lhngora?; quia Pgthagorat , » hac figura deleclatu* , adteribebat tingulit protninentibut angulit ha* quinque » litteras u , y , « , f* , ». Germani vocant ein Trudcnfus : quia eucerdotet vetere* Gerw manorum et Gallorum vocabantur Druidœ : qui dicunlur calacos (peut-être cai- » ceoe) huju* figurœ geitatee.»

Kircher dans son Arithmologia* ( pars V , De Magicii amuletit) , parle dans le même sens du pentagone étoilé ; qu'il appelle pentalpha, parce que deux côtés contigus forment, avec un autre côté qui les coupe, la lettre A. Il désigne ses sommets par les lettres u, y, t, by a. Voici le passage de cet auteur : « In quibut (sigillis magiciê) nil fre- » quentiu* occurrit , quant pentalpha et hcxalpha ; est autem pentalpha nil aliud, » quant linearit figura in quinque A diductum , quibut Grœci ir/ifa , id ett salu-

1 Voir article 15 du .Hé moire sur les polygones elles polyèdres ; par M. Poioiot. {Journal de Ficvlê polytsthnique ; X« cahier , I. 4).

9 Encyclopadia unieersa. Herbornœ, 1820, in-4". — Item Secundo auela, ibid. 1630, in-fol, 8 vol. — Item Lugduni , 1649, in-fol., 2 vol.

5 Arilhmologia, sice de aUifis uumererum myiUriis, qud ori-jo , antiquitas , et falrica numéro mat esponitur , etc., etc. Romic, 1665, in-4°

NOTES

» te m et tanitatem exjtrimehant ; quo Ântiorhum vexillo impotito , Juttu Alexattdri » m tomno apparent/* , mox admirabilem à Galatit victoriam reportant Magi fin- » gunt, eoque tanquam tu mina- félicitait* tymbolo in sut* nugamenti* utuntur. »

Ensuite Kircher rapporte plusieurs circonstances mystérieuses où l'on faisait usage du pentalpha.

Au XVI4 siècle lo fameux alchimiste Paracelse a encore regardé l'étoile pentagonale comme l'emblème de la santé '.

Nous voyons dans la Bibliothèque mathématique de Murhard que le savant professeur KâstinT a traité du pentalpha et de Yhexalpha , dans ses Recueils de Géométrie {Geometritche Abhandlungen. Ertte Sammlung, Anieendungen der ehenen Géométrie und Trigonométrie. Goltingen, 1790 , iii-8°).

Passons à la théorie proprement dite des polygones éloilés.

Nous en trouvons les premiers germes dans les commentaires que Campanus , géomètre du XIII" siècle , a joints à sa traduction des élémcns d'Euclidc, faite sur un texte arabe, et la première qui ait paru en Europe. Au sujet de la trente-deuxième proposition du premier livre, qui dit que la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits, Campanus a présenté le pentagone étoilé comme exemple d'un polygone jouissant aussi de cette propriété du triangle, d'avoir la somme de ses angles égale à deux droits. Cette proposition a été reproduite dans les éditions de l'Euclide de Zamberti, où se trouvent, avec les commentaires de ce géomètre, ceux de Campanus2; et divers autres auteurs en ont fait usage dans leurs propres commentaires sur les élémens d'Euclidc ; tels sont Lucas de Burgo* , Peleticr 4 et Clavius5. Ramus, dans ses Scholœ malhematicœ*, liv. IX , a aussi cité le pentagone étoilé, comme exemple d'une figure, autre que le triangle, dont les angles ont leur somme égale à deux droits7.

Mais tous ces géomètres se sont bornés, comme Boéce et Campanus, à la considération do pentagone étoilé , sans faire entrevoir la théorie à laquelle ce genre de figures pouvait donner lieu. Nous trouvons que c'est un écrivain du commencement du XIV* siècle, Brad-

1 « Slellam pentagonicam , teu Germanie idiemat* pedem Trutta , Theophratto Paracelto tignum

tanitatit. ( Kepler , Ilarmtnict* Mundi, liber «ecundu. , p 00. )

S Le» Commcntairei de Camp. nu» ont été imprimé» »eul» en 1483 et 1401 , put» avec lea Commentaire» de Zamberti en 1600, 1010, 1637, 1640.

' Euclidit optra a Campano interprète fidittimo Iralata. Lucat Paciolu* , theo/ogut intignit , altittima mathtmaticarum ditciplinarum ni, nti . raristimut judicit cattigatittimo dtltrtit, e men durit , etc., etc. Venetii» , 1609, in-fol.

4 Demtnttrationum in Euclidit Elcmenta Geomelrica , libri ter. Lyon , 1667 , ir.-S\ — Item, 1010, in -I — - Ltt tix premier* livret de* élément géométrique! d~Euclide , avec Ut démonstrations d* Jacquet Peletitr , du Mont. Genève , 1028, ,n-s .

1 Euclidit elementorum , libri XV; accessit XVI de toliderum reyularium comparution* , etc. Romce, 1674, in-8». A eu de nnmbreuae» édition».

• Scholarummatkemalicarum, libri XXXI. Frencf , 165». in-*'. — Item, Ba.ile», 1600. — Item, Francf , 1590. — Item, ibid., 1027.

' Sic quiuquangutum i continuait* ordintstit qvinquanguli laitribut factum atquat quinout inttriortt angutot dnobu* rtciit.

UIÇJIIIZ6C Dy \jUl

NOTES

wardin , qui , le premier, a étendu la théorie du pentagone étoilé aux polvgones d'un plus grand nombre de côlés, et qui a fondé la véritable doctrine des polvgones étoilés.

L'ouvrage dans lequel nous la trouvons, a pour titre: Geometria speculativa Thomt Bravardini , recoligens omnes conclusions geometricas studentibus artium , et philotophiœ Aristotelis ,valde necessarias , xi m ni eu m quodam tractatu de quadraturà circuit ; noviter editio. Parisiis, apud Reginaldum Cbauldicrc, in -fol., vingt feuilles, sans date. La première édition de celle Géométrie était de 140(5'; plusieurs autres ont paru en 1505, 1508, etc.3. Nous ne connaissons que celle que nous venons de, citer.

Après avoir traité des polvgones réguliers ordinaires, qu'il appelle Ggures simplet, Bradwardin consacre un chapitre aux polvgones étoile*, qu'il nomme figure» à angles égrédiens. 11 dit que cet polygones sont forme'* par le prolongement de* côté* d'un polygone timple , jusqu'à leur rencontre deux à deux; et il ajoute qu'il n'a pas vu qu'il ait été parlé de ces nouvelles figures par d'autres géomètres que par Campanus , qui en a traité en peu de mots et accidentellement.

Voici l'analyse de cette partie de l'ouvrage de Bradwardin.

Le pentagone est la première figure à angles égrédiens. La somme de ses angles est égale à deux droits. La somme des angles des autres polygones à angles égrédiens va en augmentant de deux droits, comme dans l'ordre des figures simples.

Cela s'accorde avec la formule S = 2 (m — 4), qui donne la somme des angles du polygone égrédient de m côtés.

Les polvgones égrédiens du premier ordre donnent lieu, parle prolongement de leurs cotés jusqu'à leur rencontre deux à deux, aux polygones égrédiens du second ordre ; comme les polvgones simples ont formé les poly gones égrédiens du premier ordre.

L'cptagone est la première figure à angles égrédiens du second ordre ; il provient de l'épiagoncà angles égrédiens du premier ordre; celui-ci est la troisième figure du premier ordre.

Pareillement le pentagone égrédient, première Ggurc du premier ordre, avait été formé du pentagone simple, troisième figure de l'ordre des polygones simples. Cette analogie conduit Bradwardin à énoncer ce principe général : la première figure d'un ordre est formée par le prolongement des côtés de la troisième figure de l'ordre précédent.

Enfin l'auteur termine en disant qu'il serait trop long de parler des angles de ces figures ; mais qu'il croit , sans pouvoir l'assurer , que la première figure de chaque ordre a la somme de ses angles égale à deux droits, et que dans les autres figures celle somme va en augmentant toujours de deux droits en passant d'une figure à la figure suivante.

Les figures représentées en marge de l'ouvrage, sont le pentagone, l'hexagone, l'cptagone et l'octogone du premier ordre; l'cptagone, l'octogone et le nonagone du second ordre, et enfin le nonagone, le décagone et le dodécagone du troisième ordre.

Deux siècles après Bradwardin, Charles de Bouvelles, dont on ne cite ordinairement qu'une prétendue solution de la quadrature du cercle , a reproduit dans diverses éditions

1 Heilbronner , Ilùtoria Maihcscos , p. 623.

s Hontucla, Histoire des mathématiques , t. I", p. 673.

Digitizec by

NOTES

d'un traité de Géométrie 1 , la théorie des polygones égrédient ; mais moins complètement que n'avait fait Bradwardin. On trouve dans son ouvrage le pentagone égrédient, qu'il a appelé aussi taillant, et dont il prouve que la somme des cinq angles est égale à deux droits , l'hexagone égrédient , composé de deux triangles , l'cptagone égrédient , provenant du prolongement des cotés de l'cptagone ordinaire , et l'cptagone plu* égrédient, formé par le prolongement des côtés de l'cptagone égrédient , et dans lequel l'auteur prouve que la somme des angles est égale à deux droits.

On a fait mention de cette théorie dans l'extrait de la Géométrie de Bouvcllcs, inséré dans les Appendices de la Margarita philoiophica \

Ces premières notions sur la théorie des polygones étoilés, ont passé inaperçues dans les nombreuses éditions de cet ouvrage, comme dans celles de la Géométrie de Rouvellcs, dont on n'a parlé qu'au sujet et sous l'inspiration d'une fausse solution de l'inscription de l'eptagone régulier au cercle, et d'une prétendue quadrature du cercle, empruntée du cardinal Nicolas De Cusa.

On trouve dans les figures de la perspective de Daniel Barbara3, le pentagone, l'hexagonc et les deux eplagoncs étoilés. Mais il ne parait pas que l'auteur ait ru l'intention de produire ces nouveaux polygones, il a voulu seulement montrer que les polygoues réguliers ordinaires donnent lieu de deux manières à d'autres polygones qui leur sont semblables. La première est de prolonger leurs côtés jusqu'à leur rencontre deux à deux (comme pour former le polygone de seconde espèce); les points de rencontre sont les sommets d'un second polygone semblable au proposé. La seconde manière est de tirer toutes les diagonales allant de chaque sommet au second ou au troisième sommet après lui ; elles forment par leurs intersections un autre polygone, semblable aussi au proposé. Mais dans ces deux modes de construction, on forme aussi un polygone étoile, qui se trouve être la partie la plus remarquable de la figure.

Kircher, quo nous avons cité déjà ci-dessus au sujet du pentalpha et de Yhexalpha, a fait usage, dans un autre ouvrage4, de l'eptagone du second ordre (ou troisième espèce) pour rendre sensible l'explication comprise dans un passage remarquable de Dion Cassius, au sujet des sept jours de la semaine que les Égyptiens ont consacrés aux dieux dont les sept planètes portaient le nom. Ces planètes étaient, dans l'ordre de leurs dislances à la terre , Saturne , Jupiter , Mars , le Soleil , Vénus , Mercure et lu Lune. Kircher les suppose

' Geametria introductionit liM im , breritculit annetatitnihut explanati, quibut anntetuntur libelli de eircuti quadraturé , ttde cubicatione tphera , et introduetio in ptrsptctiram Caroli Bovilti. Pari*, 1503, in-fol.

Cet ouvrage, moin» Vintroducti» in ptrtptcticam , a été reproduit en françaia , (oui le titre : Litre tingulier it utile , touchant l'art tt pratique de Géométrie , composé nouvellement en franç mi , par maître Charte* de BtuvtlU* , chanoine de A ray»n , Pari» , 1642, in-4°. D'autre* édition* ont paru en 1547, 1661, 1667 et 1608.

Bouvelle* a compote beaucoup d'autre* ouvrage*, où il »'e»t montré philo*ophe, théologien, hittorien, orateur, poète et canonitle.

3 Page* 1231 , 1233 et 1235 de l'édition de 1S35. a Pentagonus uniformit dicitur , cujuê laUra ne» ** mutuointemdunt Egrtditns eera, a m tjut laitra te invicem tecaut. Uexagtnut.,.. •

3 La pratica delta pertpettita di montignor Daniel Barbara, Veniie, 1689 , in-fol.

* Art magna lucit tt umbret in dtctm librot digttta Rom*, 1W0 , ia-rol , page* 217 et 53".

Toi. XI. Cl

NOTES

rangées dans cet ordre sur une circonférence de cercle ; et en passant successivement de la première à la quatrième, de la quatrième à la septième , de celle-ci à la troisième , etc., il trace une figure qu'il appelle eptagone (c'est l'eptagone de troisième espèce), dont les sommets consécutifs désignent les sept jours de la semaine , dans leur ordre naturel. Ainsi Saturne répond au samedi, le Soleil au dimanche , la Lune à lundi , Mars à mardi, Mercure à mercredi, Jupiter à jeudi et Vénus à vendredi. La formation de cet eptagone , dit KJrchcr , est une belle propriété du nombre sept.

Les ouvrages dont nous avons parlé jusqu'ici , bien que leurs auteurs aient joui d'une certaine célébrité, ne sont plus guère connus depuis long-temps; parce qu'en effet ils ne se recommandaient point par ces productions du génie qui immortalisent les œuvres et leurs auteurs, où l'on aime à rechercher encore, après des siècles, les pensées des inventeurs et les traces de leurs efforts. Il n'y a donc rien d'étonnant que le polygone de Boèce, celui de Gampanus,et la théorie de Bradwardin, soient inconnus aujourd'hui. Mais nous avons à citer maintenant , dans l'histoire de cette théorie , un nom célèbre , un ouvrage mémorable, une de ces découvertes rares qui font la gloiro des temps modernes, enfin des considérations analytiques qui, il y a deux siècles, auraient dû faire une impression profonde sur l'esprit des géomètres. Mais Kepler a devancé son siècle; car c'est de lui qu'il s'agit , et de l'ouvrage de l'Harmonique du monde 1 , et de la belle proposition sur le rapport des carré* de» tempe de» révolution* aux cube» de» distance» au soleil, et de cette autre, d'un genre tout différent, qu'une même équation détermine le» diverse» espèce» de polygone» d'un mime nombre de côté». On observera sans doute aujourd'hui qu'aucune conception nouvelle ne s'était jamais présentée dans des circonstances en apparence plus favorables pour assurer rapidement a l'auteur une gloire durable. Cependant la savante théorie de Kepler est tombée dans l'oubli, et, de son livre immortel, il n'est resté que l'énoncé de sa grande loi des mouvemens des corps célestes; encore a-t-elle été méconnue , et peut-être dédaignée, par ses contemporains, parmi lesquels on nomme à regret et Descartes et Galilée; encore a-t-il fallu que , prés de 80 ans plus tard , Newton l'expliquât, la fit comprendre et lui donnât la vie2! La théorie des polygones , qui a guidé Kepler dans ses longues et pénibles spéculations, a été encore moins favorisée; la simple curiosité ne s'en est pas mêlée ; rien n'a pu la sauver d'un oubli complet : oubli qui nous rappelle cette triste réflexion que fait Baillv, précisément au sujet des lois de Kepler : « C'est donc en vain qu'on découvre des vérités ; on parle â ses contemporains, ils n'écoutent pas ! » Non ce n'est pas en vain ; mais trop souvent les vérités nouvelles ne sont que pour l'avenir.

' Harnonic«$M«ndilibrir Lincii Au.tri* ; 1619 , in-fol.

a Kepler* prévu en quelque sorte que les découverte» qui lui avaient coûté 17 «ni de travail, et de travail continu , ne seraient comprises qu'après on long intervalle de temps :

u le sort en est jeté , dit ce grand homme , avec l'accent de l'enthousiasme , j'écris un livre qui sera la par » ceux de Page présent ou par la postérité, il n'importe : qu'il attende son lecteur pendant cent ans ; Dieu » n'a-t-ilpas attendu six mille ans le contemplateur de ses oeuvres? » (/erse si aleam, liirnmtpit teribo , tut pmentitut , »tu pçittri* Ugtndum; nihii inltrest : esf.ee tat ille suum Ictlorcm yer aunes c-ntum , si Devt ipst ptrannorum iwna nillia conttmplatortm prasloiatus tél. HsMostcu Mr* ni , liber V} p. 17*.)

NOTES. 483

L'ouvrage de Kepler est en cinq livres. Le premier , qui a pour titre : De figurarum regularium ,quœ proportione* harmonica* pariunt , ortu, claieibus , ordine et differentiit , cutuâ teientiœ et demonttrationit , est consacré à la théorie générale de* figures régulières , cl comprend en particulier celle des polygones étoile'*.

Dans le préambule, Kepler reproche à R a nui s d'avoir critiqué le X.0 livre d'Euclide. et d'avoir voulu le rejeter de la Géométrie. Il se propose de le compléter, en traitant des polygones réguliers qui ne sont pas inscriptibles dans le cercle géométriquement , et en montrant ce qui les dislingue de ceux qu'on sait inscrire. Il promet d'écrire sur cette partie de la Géométrie en philosophe, et d'une manière plus claire, plus aisée et plus populaire qu'on n'a fait jusqu'alors.

Ce livre commence par de nombreuses définitions, indispensables pour comprendre l'ouvrage; mais dont nous ne rapporterons ici que les deux ou trois suivantes.

Les figure» régulière* sont celles qui ont leurs côtés égaux, et leurs angles égaux.

On les dislingue en deux classes. Les unes sont primaire» et radicales ; ce sont les polygones réguliers ordinaires; et les autres sont étoilée» } celles-ci sont formées par les prolongcmens des côtés d'une figure radicale '.

Inscrire une figure dans le cercle, c'est déterminer par une construction géométrique (c'eat-à-dire au moyen de la ligne droite et de la circonférence), le rapport de son côté au diamètre du cercle.

Ensuite Kepler rappelle plusieurs propositions du X* livre d'Euclide, dont il se servira. Et il commence à la proposition trente-cinq , à traiter des difTérens polygones réguliers. Il considère d'abord ceux qui sont inscriptibles dans le cercle géométriquement.

On remarque , quant aux polygones étoiles , le pentagone de seconde espèce , l'octogone et le décagone de troisième espèce, le dodécagone des troisième et cinquième espèces, les pentédécagones des deuxième, quatrième et septième espèces, et l'étoile de 24 côtés, des cinquième , septième et onzième espèces.

Passant aux polygones qui ne peuvent pas être construits géométriquement , il démontre que l'eptagone ordinaire et ses deux étoiles sont du nombre. Alors il a recours à l'analyse , pour lui reprocher bientôt de n'être pas plus habile, et de ne rien lui apprendre. Ce passage contient plusieurs aperçus analytiques qui auraient dû préserver l'ouvrage de l'oubli.

<( On m'objectera, dit-il (page 34), l'art analytique, appelé algèbre par l'arabe Geber . » et cotta par les Italiens : car les côtés des polygones de toute espèce paraissent pouvoir » être déterminés par cette méthode.

>» Par exemple, pour l'eptagone, Juste Byrge, qui dans ce genre a imaginé des choses » très-ingénicuscs et même incroyables, procède ainsi etc. »

Kepler cherche par des considérations géométriques l'expression du côté de l'eptagone régulier inscrit au cercle , en fonction du rayon ; et il parvient à cette équation:

7 — 14 ij 7 iiij — 1 vj aqttè calent figurât nihili:

• Kepler ne dit pHMMttl idée de polygone* étoilét eitde lui, on «'il Ta empruntée de quelque ouvrage antérieur.

NOTES

ou, suivant nos symboles actuels,

où x est le rapport du coté de l'eptagone au rayon du cercle.

« La valeur de la racine d'une telle équation , dit-il , n'est pas unique ; car il y en a deux » pour le pentagone, trois pour l'eptagone, quatre pour le nonagone , et ainsi de suite.»

Il ajoute que (pour l'eptagone) les trois racines sont les côtés de trois eptagooes différons , qu'on peut concevoir inscrits dans le même cercle.

Voilà l'interprétation bien nette des trois racines de l'équation qui donne le côté de l'eptagone régulier inscrit au cercle. Voilà la notion analytique qui unit nécessairement la théorie des pohgoncs éloilés à celle des polygones des Anciens.

Kepler exprime encore, plus loin, ce mémo principe en des termes remarquables , car en avouant les difficultés que fait naître la fécondité même de l'analyse, il reconnaît tout ce que cette méthode a de beau.

« Jusqu'ici, dit-il, le côté d'un polygone, et celui d'une étoile du même nom, avaient » eu chacun une description propre et sûre. Dans l'analyse algébrique , ce qu'il y a surtout » d'admirable (quoique ce soit là précisément ce qui embarrasse le géomètre), c'est que » la chose demandée ne peut pas être donnée d'une seule manière. Mais , encore bien que » ce ne soit pas démontré généralement, poursuivons ce que nous avons commencé » plus haut, qu'il y a autant de nombres qui satisfont à l'équation , qu'il se trouve , dans » la figure, de cordes ou de diagonales de longueurs différentes ; comme , dans le penta- » gonc , deux; dans l'eptagone, trois; dont un pour le côté, et les autres pour les diago- » nales. C'est pourquoi , enfin , tout ce qui est énoncé du rapport du côté de la figure » au diamètre, est commun aux rapports de toutes ses autres lignes au même diamètre.»

Kepler reproduit ces mêmes considérations dans la proposition suivante, où il démontre que la division d'un arc en trois, cinq, sept, etc. parties, n'est pas possible géométriquement. «Plusieurs lignes, dit-il, répondent à la question, et d'une propriété corail munc à plusieurs choses on ne peut rien conclure de spécial et de particulier à l'une » d'elles. 1 »

Le second livre, intitulé : De ftguraruin regularium congruentiâ , traite encore des polygones réguliers, puis des polyèdres. Kepler passe en revue les dilférentes manières d'assembler des polygones, soit de même espèce, soit d'espèces différentes, pour remplir exactement une surface plane, et pour former des polyèdres réguliers.

1 An milieu de cet considération» mathématique» ai juste» et ai profonde!, on trouve quelque» réflexion» qui annoncent l'usage bitarre et chimérique que veut faire de se» savante* spéculations sur les polygones le génie de Kepler, dominé par le» idées pythagoriciennes et platoniciennes sur les propriétés cosmographique» de» nombres : tel est ce passage qui termine la proposition 46» : « II est done prouvé que les * coté» de ces figures doivent rester inconnus, et aont de leur nature introuvables. Et il n'y a rien d'éton- » nun! en ceci , que ce gui ne peut se rencontrer dont l'Archétype du monde , ne puiete être exprime dans la v conformation de eee partie*. »

Ce sont de pareilles idées qui ont conduit Kepler à l'une des plus grandes déconvertes qu'on ait jemai. faites !

Le lirre III , De ortu proportionum harmonicarum , deque naturâ et differentii* rerum ad cantum pertinentium , qui ne traite que de l'harmonie musicale , est étranger à la Géométrie et à l'astronomie.

Dans le livre IV, qui a pour titre : De configurationibu* harmonieit radiorum tideralium in Terrâ , earumque effectu in ciendi* Meteori», aliieque Naturalibut , Kepler fait usage des polygones étoilés et de la valeur de leurs angles, auxquels il compare les configuration* , ou distances angulaires des planètes : ces angles correspondent a des circonstances et à des phénomènes sublunaires qui différent suivant qu'ils appartiennent à tels ou tels polygones. Les configuration* efficace* , celles qui sont propres à stimuler la nature sublunaire et les qualités intérieures de l'âme, sont exprimées par les angles des polygones inscriptibles géométriquement. On y trouve le carré, le triangle, le pentagone de seconde espèce, l'eptagone de troisième espèce, le décagone de troisième espèce, et le dodécagone de cinquième espèce.

Le V' livre a pour titre : De harmoniâ perfeetittimâ motuum cœleitium , ortuque ex iiedem Excentricitatum , lemidiametrorumque et Temporum periodicorum. Kepler y compare les cinq corps réguliers aux rapports harmoniques; et cherche à y découvrir des analogies avec les mouvemens des planètes. C'est dans ce V* livre, comme l'indique le titre, que se trouve sa magnifique loi du rapport conttant de» carres de* tempe de* révolution* de* planète* aux cube* de leur* dittance* au * oie il '.

On voit par l'analyse que nous venons de donner de l'ouvrage de Kepler, que la doctrine des polygones étoile* y joue un rôle important et nouveau sous le rapport analytique. Cependant nous ne saurions en trouver depuis aucune trace , quoiqu'elle eût dû se présenter dans la théorie des sections angulaires qui a occupé souvent les géomètres. Wallis particulièrement, qui, un demi-siècle seulement après Kepler, a écrit l'histoire de l'algèbre, et un traité des sections angulaires, n'aurait pas dû la passer sous silence. Ce géomètre a bien vu que la seconde racine de l'équation du second degré par laquelle

1 On revient toojoura avec une aensibilité mêlée de vénération tur le< termes mêmes dont Kepler «e ter! pour annoncer m grande découverte; ils expriment tout ton bonheur, et toute l'importance qu'il e mite à pénétrer ce secret ai ceché :

« Apréa avoir trouvé let vraies dimenaiona des orbites par le* obaervationa de Brahé et par l'effort continu » d'nn long travail, enfin, dit-il, enfin, j'ai déconvert la proportion de. terop. périodiques a l'étendue de » ces orbites ;

Sert qvidem retprril intrftm ,

a Et si voua voulei en savoir ta date précise, c'est le 8 de mars de cette année 1018, que d'abord conçue dans » mon esprit , puis essayée maladroitement par des calculs , partant rejetée comme fausse , puis reproduite le » 16 de mai avec nne nouvelle énergie , elle a surmonté las ténèbres de mon intelligence : mais si plei- » ncment confirmée par mon travail de 17 ans sur les observations de Brahé, et par mes propres médita- > tions parfaitement concordantes, que je croyais d'abord rêver et faire quelque pétition de principe : >• mais plus de doutes; c'est une proposition tree-certaine et très-exacte, que le rapport entre ta temps » périodiques de devs planètes tel préciièment stsqui - attire du rapport det a*eyen*«« distancée. » ( Livre V, PH- 1>» )

jNOTES.

on détermine le côté du pentagone régulier inscrit au cercle, en donnait la diagonale 1 ; mais celte interprétation géométrique de la racine étrangère ne suffisait pas; il fallait la rapprocher de l'énoncé même de la question, pour y voir non pas seulement une diagonale , mais le coté d'un tecond pentagone. Cette idée qui nous parait si simple aujourd'hui, et qui complète la solution analytique de la question, a échappé aux Bernoulli, à Euler, à Lagrange, et n'est venue que de nos jours à l'esprit d'un géomètre.

La doctrine des polygones égrédiens de Bradwardin , a été vivement combattue par un auteur du XVII* siècle, Jean Broscius, dans un ouvrage intitulé : Apologia pro Aritiotete et Euclide contra P. Ramum et alioe. Dantisci , 1052,in-4°. Elle n'avait rien à redouter d'aucune attaque, qui n'aurait dû servir même qu'à la propager, et à en répandre la connaissance. Cependant, par un hasard singulier, cet ouvrage de Broscius est peut-être le dernier qui ail traité de ces polygones , qui depuis sont tombés entièrement dans l'oubli, et qui n'ont même réveillé aucun souvenir, au commencement de ce siècle , quand M. Poinsot les a créés et remis sur la scène.

Voici ce que contient l'ouvrage de Broscius , sur ces polygones.

D'abord il reprend fortement Ramus pour s'être servi du pentagone éloilé, comme exemple d'une figure , autre que le triangle, où la somme des angles était égale à deux droits. « Ce qui prouve, dit-il, l'ignorance de Ramus en Géométrie. Car celle figure est un dé- » cagonc qui a cinq angles renlrans et cinq angles saïllans, et la somme de ces angles est » égale à seiie droits. »

Broscius cite l'ouvrage de Bradwardin , et prouve qu'on peut former une infinité de figures dites à angle» égrédien*, de 7,9, 11, etc., cotés, dans lesquelles , comme dans celle de Ramus, la somme des angles soit égale à deux droits. Bradwardin n'avait fait que soupçonner cette belle proposition, sans la démontrer; et Charles de Bouvelles ne l'avait appliquée qu'à l'eptagone égrédient de troisième espèce. Broscius va plus loin ; il considère les figures de différentes espèces pour un même nombre de côtés, et donne la somme de leurs angles.

Il trouve qu'il y a trois espèces d'eptagones, y compris l'eptagone ordinaire, dans lesquels la somme des angles est 10, 6 et 2 droits ;

Trois espèces d'octogones, dans lesquels la somme des angles est 12, 8, 4 droits;

Six espèces de figures à 14 angles égrédiens (y compris le polygone ordinaire de 14 côtés), dans lesquelles la somme des angles est égale à 24, 20, 10, 12, 8 et 4 droits;

Sept espèces de figures à quinte angles égrédiens, dans lesquelles la somme des angles est égale à 20 , 22 , 1 8 , 1 4 , 1 0 , 0 et 2 droits.

Ces résultats s'accordent avec la loi trouvée par M. Poinsot, d'après laquelle la somme

1 Cette remarque ovaii déjà été faite probablement . un tiède et demi auparavant, par Stifels; car oo trouve dan» «on algèbre Ici expreaaiona du coté et de la diagonale du pentagone régulier en fonction du rayon du cercle circonscrit ( Nt> *on Arithmttica inttgra , fol 178 t° ), e: en supposant qu'il n'ait point

obtenu cea eipreaiiont par la résolution de l'équation du ml degré, leur forme a du lui montrer que

le» rarréa faita aur cet lignes aont les racines d'une semblable équation; car ce géomètre, très-habile algébriste pour son temps, était fort exercé dans la résolution des équations du second degré.

NOTES

des angles de chaque polygone est S=2 (m — 2 A), m étant le nombre de côtés du polygone, et h celui qui marque Yetpèce , ou Y ordre de cette figure.

Le point de rue sous lequel Broscius considère ces nouvelles figures , en les regardant comme des polygones à angles saillant et rentrant alternativement, et dont les côlés ne se coupent pas, le conduit à un modo de construction nouveau de ces figures, et à une propriété curieuse d'isopérimétric.

Prenons pour exemple un eptagone régulier ordinaire, et marquons les points milieux de ses sept côlés. Qu'autour de la droite qui joindra deux points milieux consécutifs, on fasse tourner le petit triangle que celte droite retranche de l'cptagone, et que ce triangle s'appliquo entièrement sur la surface de la figure. Qu'on fasse tourner scmblablement autour de chacune des six autres droites joignant deux points milieux consécutifs , le petit triangle qu'elle retranchait de l'eptagone; tous ces petits triangles formeront , dans leurs nouvelles positions, un nouveau polygone de quatorze côlés , à angles saillans et rentrans

Ce nouveau polygone de quatorze côtés a évidemment le même périmètre que l'eptagone proposé.

Maintenant, qu'autour de chaque droite qui joint deux sommets d'angles rentrans consécutifs , on fasse tourner le petit triangle que cette droite retranche du polygone, on formera de cette manière un troisième polygone de quatone côtés, ayant encore ses angles alternativement saillans et rentrans ; et ce nouveau polygone aura évidemment son périmètre égal a celui du second , et par conséquent à celui du premier.

Les surfaces de ces trois polygones sont extrêmement différentes entre elles ; puisque le second est placé dans l'intérieur du premier, et le troisième dans l'intérieur du second.

Maintenant, on reconnaît aisément que le second polygone n'est autre que l'eptagone de seconde espèce dans lequel les portions de ses côtés comprises dans son intérieur auraient été effacées; et que pareillement le troisième polygone n'est autre que l'eptagone de troisième espèce , dont les parties de ses côlés comprises dans son intérieur auraient aussi élé effacées.

Voici donc une nouvelle manière de former les polygoues égrédiens, en les faisant dériver les uns des autres. Celte méthode méritait d'être remarquée, surtout à cause de cette circonstance singulière, que tous les polygones déduits ainsi d'un premier, quel qu'il soit , ont toujours le même périmètre.

Nous ne trouvons pas d'autre ouvrage où l'on ait parlé des polygones égrédiens, jusqu'au commencement de ce siècle où cette théorie a reparu toute nouvelle, sans que son célèbre auteur cl les géomètres qui l'ont admirée, se soient doutés du rôle qu'elle avait déjà joué pendant quatre siècles.

Géométrie des Arabe».

Depuis le VIII* siècle jusqu'au XIIIe, l'Europe demeura plongée dans une ignorance profonde. L'amour et la culture des sciences furent concentrés pendant ce long intervalle

NOTES

chez un seul peuple , les Arabes de Bagdad et de Gordoue. C'est à eux que nous ayons dû la connaissance des ouvrages grecs qu'ils avaient traduits pour leur usage , et qu'ils nous ont transmis, long-temps avant qu'ils nous parvinssent dans leur langue originale. Jusqu'à ces derniers temps, on a pensé que c'était là la seule obligation que nous eussions aux Arabes; et l'on a négligé de rechercher et d'étudier leurs propres ouvrages, pensant que l'on n'y devait trouver rien d'original , ni d'étranger aux doctrines et à l'érudition grecques. C'est une erreur sur laquelle on revient aujourd'hui, surtout depuis qu'on connaît les ouvrages hindous, et que I on sait que les Arabes y ont puisé les principes du calcul algébrique qui les distingue essentiellement des ouvrages grecs. Mais il y a trop peu de temps que cette erreur est détruite, et les ouvrages arabes nous sont encore inconnus. Un assez grand nombre existent depuis plusieurs siècles en Europe, la plupart dans leur laugue originale et quelques-uns en latin , avant été traduits dans les XIIe et XIIIe siècles. Faisons des vœux pour que leur importance soit appréciée et pour qu'ils ne tardent pas à sortir des bibliothèques où ils sont restés enfouis : alors seulement on pourra songer à une véritable histoire scientifique des Arabes. Pour le moment il n'est possible de réunir que quelques faits principaux et quelques données éparses , qui ne permettraient pas déjuger avec confiance de la part que cette grande et illustre nation a prise dans l'œuvre de la propagation et du perfectionnement des sciences mathématiques, et où n'apparaîtrait pas dans un jour suffisant le caractère que ces sciences ont reçu du mélange des élémcns grec et hindou qui les ont constituées. Mais ce caractère se montre dans les ouvrages des Européens au XV* siècle, ouvrages imités de ceux des Arabes , et c'est là pour le moment où nous pourrons l'étudier et le reconnaître avec évidence.

Le goût et l'ardeur des Arabes pour les sciences se développèrent rapidement au VIII" siècle, où commença le régne des Abbassidc*. Ces princes , nobles imitateurs des Ptolémécs d'Êgypte , firent de Bagdad le centre de tous les taleus du monde '. Ils recueillirent avec activité toutes les lumières qu'ils purent trouver chez les nations que les successeurs du prophète et les Ommiadcs avaient subjuguées. Les Arabes s'approprièrent ainsi des sciences toutes faites2, dont ils devinrent les seuls dépositaires, quand, par suite d'une fatalité attachée à l'espèce humaine, elles déclinaient et se perdaient chez les peuples qui les avaient créées et perfectionnées pendant des siècles. Les Grecs surtout et les Hindous3 furent tributaires dans ce contingent scientifique. Telle est l'origine des sciences, de la Géométrie particulièrement, chez les Arabes.

Les élémens d'Euclide paraissent être le premier ouvrage qu'ils traduisirent, sous le

I libri , //ùfeir* deiteitneet mathématiques en Italie, tom. I", ptg. 117

» . On M peut point douter que le.|Arabe. n'aient en depui» la fondation du Khalifat et rétablissement de leur empire , une grande eatime pour le» arta et pour les aciencea , puisqu'il» ont traduit en leur langue tous le* meilleur» livre» grec» , hébreu* , chaldécn» et indien». » ( D'Herbelot , BM. orientais , au mot Eim [teUmce] ).

» On litdan» la BiU. oritntale de D'/ferbeht, au mot ketab (qui lignine Traité), le» titre» d'un grand nombre d'ouvrage» que le» Arabe» axaient traduit* ou imité* de» ouvrage» indien», »ur toute* le» partie» de* science* mathématique» et philosophique*.

Digitizec by

NOTES

règne d'Almansor, dans le Vin* siècle. Bientôt après on dut aux encouragcmens éclairés du calife Al Mamoun (qui commença à régner à Bagdad en l'an 814) la connaissance des ouvrages d'Archimède, d'Apollonius, d'Hypsicle, de Ménéluus, de Tbéodose et l'Almageste de Ptolémée.

Dès lors les progrès des Arabes dans les sciences furent rapides; et le IXe siècle compta des géomètres habiles et d'un savoir trés-étendu.

Trois frères , Mohammed . Hamet et Hasen . 61s de Musa ben Schakcr , furent célèbres , par les traductions qu'ils donnèrent de divers ouvrages grecs et hindous , et par leurs propres écrits sur toutes les parties des sciences mathématiques, dont plusieurs nous sont parvenus. Des tables astronomiques que Mohammed ben Musa avait dressées dan* le système indien, furent long-temps célèbres dans l'Orient. Mais un ouvrage beaucoup plus précieux et plus important à nos yeux, est son Traite d'Algèbre , le plus ancien qui fût connu jusqu'à ces derniers temps, où ceux des Hindous nous sont parvenus. C'est dans cet ouvrage que nous avons puisé nos premières connaissances algébriques, d'abord par l'entremise de Léonard de Pise qui avait été s'instruire eu Arabie, et ensuite en l'ayant nous-mêmes à notre disposition, et en le traduisant au XIII9 siècle. De là, on a regardé Mohammed ben Musa comme l'inventeur de l'Algèbre >, et son nom est resté, à juste titre, en grande réputation chez les géomètres européens. Cependant

■ Cardan dit, ta commencement de >on Art magna : Hœc ors olim a Mahomcte , M»$is Arabis filio , initium sumpsit. Etenim hujut rei tocupies tes lis Leonardus Pilants*.

Il répète la même cboie dan* ion traité D» subtiiitate (11», XVI) , ou il place Mohammed ben Haie après Archyta» , et le neuvième parmi le* doute plu» grand* génie» de la terre, ffuie Mahomelus Moisis (Mus A rais } Algebraticce ut Ha dicam artis inventer , succtdit. Ob id inventum ab artis nomine cognemen adeptus tst.

Tartalea attribue an mi ù Mohammed ben luu, l'invention de l'algèbre, qu'il appelle dan» le titre de la VI' partie du Traité général des nombres et des mesures s Antica pratiea speculatita de larts magna, delta in Arabo Algebra et Almucabata , over regela délia cosa, travata da âfaumetk, pglio de Moise arabe, la quale s* pue dire la perfetta arte del calculare , etc.

On avait attribue d'abord l'invention de l'algèbre a Geber , autre géomètre arabe. Ainai, Stifcl» , célèbre algcbristre allemand , contemporain de Cardan , écrit au profciteur Milichiu» : Tue quoque consilio usus , Algebram (ouam persuasisti bonis ratienibus d Gebre astronome, autore ejus, ita esse nuncupatam) nul lis ettmplis illustratam scripsi { Aritbmetica intégra, pag. 220 *»); et appelle touvent l'algèbre Régula Cebri. Cette opinion était encore partagée au XVII» «iècle (toir Kepler, l/armoniees Mundi lib. I, prop. 46) ; mai* comme elle n'avait pa* d'autre fondement que la re**emblance de* mot*, elle n'a pu »e «outenir, turtout quand on a connu la vraie élymologie du mot Algèbre , qui provient de la double dénomination Algebr v Almocabelak, dont te servent toujour» le* Arabe», et qui signifie opposition et comparaison. Cette dénomination, que nou» avon» remplacée par le *eul mot Algèbre, »e rapporte attes bien aux équation* dont le mécanisme e»t le fondemenl de toute la «cience.

D'autre* écrivain», à la tète detqnelt on trouve Begiomontanu» et Scheubel, avaient regardé Diophante comme le premier inventeur de l'algèbre, et cette opinion a prévalu généralement; parce qu'en effet, Diopbante avait une grande antériorité »ur le» Arabe». Mai» aujourd'hui la question de priorité e»t entre lea Grec» et le» Hindou». Brahmegupta e»t po»térieur de deui »iécle« a Diopbante, mai» la perfection de •on ouvrage annonce certainement que l'algèbre avait déjà une exiitence lrè»-ancienne dan» l'Inde.

Car, mu m que le dit Peletier dan» »on Algèbre, c'e»t la une de ce» choie» qui, loin de devoir leur ink un leul auteur , n'ont pris règle, form* et ordre qu'après un long temps de circulions , d'intert et de continuelles exenitations d'esprit.

Tom. XI. 62

NOTES

ouvrage, auquel, De fût-ce que par reconnaissance, étaient si légitimement dus les honneurs de l'impression, est resté manuscrit, et depuis trois siècles dans l'oubli, quand pour la première fois, en 1831, M. Rosen l'a publié en arabe et en anglais. M. Libri tient aussi de reproduire, dans le Ier volume de son Histoire de» sciences en Italie, l'une des traductions latines que l'on conservait à la bibliothèque royale. Celle-ci n'est pas aussi complète que le manuscrit dont s'est servi M. Rosen. La partie géométrique, entre autres, ne s'y trouve pas.

On sait que Mohammed ben Musa avait tiré des Indiens une partie de ses connaissances mathématiques '. Nous devons penser que c'est d'eux qu'il reçut l'algèbre. Son ouvrage présente des points de ressemblance certains avec les leurs , et nullement avec celui do Diophante. Mohammed y fait usage, comme les Indiens, de considérations géométriques, pour mettre dans tout son jour la certitude des opérations de l'algèbre; on dislingue surtout la manière dont il démontre , par cette méthode , les règles pour la résolution de l'équation du second degré dont il considère trois cas *. L'ouvrage con-

1 Cssiat , BiUiotheca A rabiot- ffispana , pag. 427-43?. — tamm, Brakmtgupta and Bkatcara Algtbra j Dissertation, pag. ixxtl. — F. Rossa, Algebra of Mohammed ben Muta. Préface , pag. via.

9 Ce» troi» cm dont l'auteur ne donne que dea exemple» numérique*, aont exprimé* par le* troi* équation, littérale*:

ax3 + (r-( = i, ax3 — bx — e = a, as3 — bx •+■ c = o.

Le quatrième ca* que peut présenter l'équation générale du second degTé est

as3 -+- bx + e = o ,

où tout le* terme* «ont positif». Mohammed n'en parle pa* . parce que le* raciue* , dan* ce eaa , aont toujours négative*.

Dan* le* autre* équation* il ne prend que le* racine* positives, et laine de côté , comme insignifiante* , le* racine* négatives.

Dan* la troisième , ax3 — bx ■+■ e = o , où le* deux racine*

•ont positives (sopposé qu'elle* «ont réelle»), Mohammed dit qu'on le» calcule l'une et l'antre, mai* que dan* chaque cat il faut l'axurer qu'elle* répondent à la queition. On earaie d'abord la première , qui provient du »igne plut ; et *i elle ne convient pa* , la *econde, qui provient du aigne moins, conviendra certainement. ( When you mcet uilh an instance which refers you to thit case , try itt solution Ay addition, and if thaï do not serve, then subtraction certainlg will. Page 11.)

Le* Indien* admettaient ant*i le* deux racine*, dan* le* ca* où elle* convenaient toute* deux (Bija-Ganito, $ 130, 139), et en rejetaient une, comme abanrde, dan* d'antre* ca* . r.<j., § 140, 141). Par exemple dan* celte question : L'ombre d'un gnomon qui a doux» doigts de hauteur, étant diminuée du tiers de l'hypoténuse, devient 14 doigts, quelle est l'ombre? On ett conduit pour déterminer l'ombre, k une équation du iccond degré dont le* deux racine* aont potitivea et égale* Il ^ et k 0 La première convient parce qu'étant plu» grande que 14, elle peut, étant diminuée du tier» de i'hypoténu»e , devenir égale 1 14; mai» la aeconde étant plu» petite que 14, elle doit être rejelée, dit Bha»cara, a came do »on absurdité (4y reason of ils incongruitg).

luca» de Burgo suit en tout point Mohammed ben Bu»* ; il considère troi» ca» aussi ; il donne la »olotion de chacun dana un atrophe de quatre ver» latin, j pui» il la ju.tifie par dea con»idérationi géomé-

NOTES

tient aussi , comme ceux des Indiens, une partie géométrique sur la mesure des surfaces.

On y remarque les trois «pressions ~, VÏÔ cl ^ (ju rapport approché de la circonférence au diamètre, qui, comme nous lavons dit, ont élé connues des Indiens 1 ; et les trois nombres 13, 14 et 15 pris pour les cdlés d'un triangle que nous avons trouvés aussi dans les ouvrages de Brahmegupla cl de fibascara.

L'ouvrage de Mohammed est beaucoup moins étendu que ceux-ci; il ne traite pas comme eux des équations indéterminée* du second ni du premier degré. I<ious en trouvons la raison dans la préface de l'auteur qui nous apprend qu'il a composé ce traité succinct, à la demande du calife Al Slamoun, pour faciliter une foule d'opérations qui se présentent dans le commerce des hommes et dans les besoins de la vie.

Ce passage sulfîrait pour nous prouver que les Arabes possédaient alors des ouvrages plus étendus et d'un ordre plus élevé , si nous ne savions pas qu'en effet ils connaissaient les savans ouvrages des Indiens, et qu'eux-mêmes ont écrit sur la résolution des équations du troisième degré, comme nous le dirons plus loin.

Quoi qu'il en soit, c'est un fait bien remarquable et digne de la méditation des savans de l'Europe, qu'un traité d'algèbre, regarde' comme élémentaire au IX* tiède cher les Arabes, et en quelque sorte comme manuel pratique à l'usage du peuple, a été 700 ans après l'Ara magna des Européens, et la base et l'origine de leurs grandes découvertes dans les sciences ».

trique*. Quant au cas où le* deux racine* «ont potitive», i! reconni.it qu'elle* peuvent convenir l'une et l'autre dan* certaine» question* , mai* que dan* d'autre* l'une »eulement *ati*fait. ( Sickt tuno e laltro modo eatitfa el thema. Ma a le colle te hane la eerita a tuno modo. A le voile a laltro. El perche se carunda la radiée del ditto rémanente de la mita de le cote nom tatisfaeette al thema. £ tu la ditta R ( radier ) agiongi a la mita de le cote, e hâterai el guetito ; el mai fallara ehe a uno de li doi modi non *ia satisfatlo el quetito, cioe giongnendola , overo cavandola del dimtecamenlo de le cote, ete ( Sunma de Àrithmetiea, elc. Dittiactio8, tractatu» 6, art 18.)

Ce* rapport* manifeste*, qui ont lieu entre l'ouvrage de Bohammed ben Buta et ceux de* Indien* , d'une part , et celui de Lucat de Burgo, de l'autre, montrent bien l'origine de l'algèbre de* Européen*, et l'influence directe que le» ouvrage* arabe* ont eue *ur le* progrès et le caractère de» «cienee» mathématique» a la renaiiaance. Tel a été l'objet de cette note.

' Il paraît que le rapport .'û(jr)- = j-^j- = 3,14160 e»t dû aux Indien», et qu'il» l'avaient trouvé en calculant le côté du polygone régulier de 768 côté». Gl' Indiani, corne apparitte da un libro deiBramini, intitolato Ajin-Akbari, aeean troralo con ingegnonttime metodo Geomtlrico, mediante l'interitione di un peligono rtgelare di 768 lali, cke la cireonferenza del circolo tta al diamelro corne 3927 a 12-50. ( Saggio tulla ttoria délie materna lie ht , opéra del tig. P. FaiRcnm, Lucca , 1821 , in-8°.) Th. Stmpioo e»t parvenu de luimême au rapport 3,1416, par l'itucription du polygone de 768 côté»; il a obtenu mémo le rapport plut approché "*^^- ( F. »e» Élem. de Geem.) Sa méthode e»t trè»-»imple ; je no «ai» pourquoi on n'en parle jamais.

a Jutqu'ioi nou» n'avion» connu de» Arabe* que le traité d'algèbre de Mohammed ben Bu.a. C'e»t le teul du moin» dont le» géomètre* du XVI' tiède, Lucat de Burgo, Cardan, Peletier , Tartalea, Stevin , etc., aient parlé. Hait beaucoup d'autre* auteur» arabe* ont écrit »ur l'algèbre; on trouve le» nom» de plutieur* d'entre eux et let titret de leurt ouvrage» daut la BMiothègu» oriental» de D'Uerbelnt , au mot Gebr ; el au mot Kttah (pag. 966, 8»« eolonne ; 867 , 1» col. ; 081 , 1" col.; édit. in-fol. de 1697).

Il exitte un ouvrage, traduit de l'arabe en anglai», à Calcutta, en 1812, qui traite de l'Arithmétique, de la Géométrie et de l'Algèbre, et dont je m'étonne que l'on ne parle pa» depuia quelque» année, qu'on

NOTES

Mohammed avait écrit sur les triangles plans et sphériques un traité qu'on dit exister encore sous le titre : De figurie plant* et tphœricit.

On possède aussi un ouvrage de Géométrie qu'il a composé probablement en commun avec ses deux frères, Hamet et Hasen, car il a pour titre Ferha filiorum Moyti , filii Schaker, Mahumeti, Hameti, Haeen. Dans cet ouvrage se trouve démontrée la formule de l'aire du triangle en fonction des trois côtés ; et l'application en est faite au triangle qui a ponr ses côtés les trois nombres 13 , 14 et 15, comme chex les Indiens. La démonstration est celle que Fibonacci et Jordan Nemorarius ont donnée au XIII* siècle et que Lucas de Burgo et Tarlalea nous ont fait connaître. Elle parait appartenir aux Arabes , car elle est différente de celle de Héron d'Alexandrie.

Les trois fils de Musa ben Schaker ont écrit beaucoup d'autres ouvrages dont on trouve l'indication dans la Bibliotheca Ârahico-Hispana de Casiri (tom. Ier, pag. 418).

Alkindus, l'un de leurs plus célèbres contemporains, que Cardan met comme Mohammed ben Musa au nombre des douze plus puissans génies du monde 1 , a aussi écrit sur toutes les parties des mathématiques. Cardan cite avec éloge son traité De régula tex quantitatum \ Nous avons dit dans la Note VI quel était l'objet de cette règle des six quantités, qui s'effectuait par le calcul ou par une construction géométrique déduite du théorème de Ptolémée.

Alkindus avait écrit sur l'arithmétique des Indiens [De ÂrithmeticA indicâ), et sur l'algèbre ( De quantitate relativâ , teu Algebrà). Nous ne citerons pas ses autres ouvrages, qui sont extrêmement nombreux. Une partie doit se trouver encore dans les bibliothèques d'Espagne. Plusieurs, sans doute, offriraient de l'intérêt 3.

•'occupe d'étudier lliitloire dei teience* chez le» Indien» et lei Arabes. Hou» tronvon» le titre mirant de

cet ouvrage que nou» ne connai*»on* pa* encore, dana le cataloguo de la bibl. de M. Langlè*, art. 852, Tht kkoolasut-ool-hisab, a compendium of arithmetic and geomttry; in <A« arabie languagt , by Buhaeoodd-deen, ofAmocl in Syria, with a tramlatitn into persian and comtnentary, by the lot» M Sthm Ruothun Ultt of Juonpoor: to wkich il addtd a trtatitt on alyebra , h y Nujm-ood-den Vite khan , head Qaztt , ta thi

Sudr Veewanee and fliisamut L'dalut. Rtuùtd and tdiltdby Tarincc Chu ru n Mitr, Uuoluwtt Jan CUt and

Ghoolam l'hbur. Calcutta , Pereira, 1812, grand in'-8». H. Libri vient de mettre eu jour un ouvrage d'algèbre traduit de l'original arabe en latin, et re»té raanoa-

crit à la bibliothèque royale, «oui le titre : Liber augmenti tt diminution» vocatus numeratù ditinatianU, es te quod tapienttt Indi potutrunt , qutm Abraham compilavit, tt tecundum librum qui /adora m diehu ttt,

campa tuit.

Cet ouvrage e*t précieux tout pluaieur* rapporta. D'abord il e*t eaaentiellemcnt différent de celui de Mohammed ben Mu*a; car il roule uniquement sur le» règle* de fau*»e poiition aimple et double. Et emuite il noui apprend que ce» règle* viennent dei Indiens. On le» avait attribuée* jusqu'ici aux Arabe*, lur l'autorité de Luca* de Burgo, qui Ira a appelée* règle* i.'1/eleataym , u « tocabulo Aruba. *(Summa dt Arith., etc., Dittinctio aeptima, traclatu* primu*.)

■ai* dan* d'autre* ouvrage* du même tempa, on le* appelle Régula falti , *eu augmtnti tt décrément/ , comme le compilateur Abraham (voir Algorithmut dt in te gris , minutiit tulgaribu* , ae proportitnibut , cura annesis de tri , falsi , aliùque regvti*. Lipttck, 1607 , in-4°. )

' De tubtilitate libri XXI , lib. XVI.

3 Jbid., lib. XVI. — l'ractica arilhmttict , cap. 48. — Oput «ornai de proportionibus numerorum , tte. Propoailio quinta.

* Tel *erait «on traité d'arithmétique indienne. Car il e*t «Met .ingulier que, depui* *i long-temp. qu'on

NOTES

Thébit ben Corah, disciple de Mohammed ben Musa, fut aussi un géomètre célèbre qui embrassa les mathématiques dans toute leur étendue. Parmi les nombreux ouvrages qu'il a laissés , et dont on trouve le catalogue dans Casiri . il en est un dont le litre De prohhmatibuê algebricis geometrieâ ratione comprobandi* , aurait dû piquer vivement la curiosité des géomètres; car il annonce que Thébit avait appliqué l'algèbre à la Géométrie. C'est sans doute le titre de cet ouvrage qui a fait dire à Montucla que : « Thébit a écrit sur la certitude des démonstrations du calcul algébrique, ce qui pour- * rail donner lieu de penser que les Arabes eurent aussi l'idée heureuse d'appliquer » l'algèbre à la Géométrie. » Celte conjecture est devenue pour nous un fait certain , constaté déjà par l'algèbre de Mohammed ben Musa , et dont on trouve une preuve plus convaincante encore dans un autre ouvrage dont on doit la connaissance récente à M. L-Am. Sédillot.

Cet ouvrage est un fragment d'algèbre (trouvé dans le manuscrit arabe n° 1104 de la bibl. royale), où les équations du troisième degré sont résolues géométriquement.

M. Sédillot nous apprend qu'avant de passer à la solution de ces équations, l'auteur donne celle du problème des deux moyennes proportionnelles, qu'il résout par deux paraboles, et dont il se sert pour la solution de certaines équations. Le géomètre arabe se serait-il aperçu que toutes les équations du troisième degré peuvent se résoudre par les deux moyennes proportionnelles, et la trisection de l'angle; ce qui est, comme on sait, une des découvertes qui ont fait honneur a Viétc. Il construit les racines des équations de la forme s3 — ax — b=o, par un cercle et une parabole. Mais nous pensons qu'il ne s'agit encore que d'équations numériques, les seules qu'on trouve dans les ouvrages arabes et chez les Modernes jusqu'à Yiète, à qui est dû le pas immense qu'il fallait franchir pour arriver à l'idée et à la considération d'équations littérales.

Toutefois , malgré cette restriction dans les spéculations algébriques des Arabes , nous pouvons dire que non-seulement ils ont possédé l'algèbre, mais qu'ils ont connu aussi l'art d'exprimer graphiquement les formules, et d'en présenter aux yeux la signification; art si beau et si précieux que Kepler regrettait de ne pas savoir et qui a été l'une des grandes conceptions de Viète.

On avait toujours pensé que les Arabes n'avaient pas été au delà des équations du second degré. On fondait cotte opinion sur ce que Fibonacci et Lucas de Burgo s'étaient

agile la question de l'origine de notre système de numération , et qu'on ne peut s'accorder aur la lignification du passage de Bocce et de le lettre de Gcrbert qui t'y rapportent , on n'ait pat, au lieu de raisonner sur la forme des chiffres, qui nécessairement a dû varier , comparé cet deux pièces arec le* traités d'arithmétique que let Arabes nous ont laissés, et dont aucun, je croit, n'a été ni traduit, ni publié dant le texte original.

1 Kepler , ne pouvant traduire graphiquement la propriété que représente l'équation du second degré qui donne le rapport du côté du pentagone régulier au rayon dn cercle circonterit , t'exprime ainsi : Quomodo affectianem rtprttienlabo ? qtio actu gtomttrico? Ifulto alù> id doctor facirt , quàn uturpando proporliotttm , quam qvœro , principium pttitur. Miitr calculator, destilutut omnibux geomttria pmtidiis , haren» inter

Mcat d,Urmi»ation,[ ( H*a.oMcts *orm libTr I ; pag. 37 ) '

NOTES

arrêtés à ce point île la science1. Montucla , le premier, l'a mise en doute, et a pensé que les Arabes pouvaient bien avoir traité des équations du troisième degré ; il se fondait sur le titre Algebra cubica , teu de problematum tolidorum résolutions , d'un manuscrit apporté de l'Orient par le célèbre Golius, et qui se trouve dans la bibl. de Lcydc 2. Le fragment d'algèbre trouvé par M. Sédillot confirme la conjecture do Montucla, et en fait un des points les plus imporlans de l'histoire scientifique des Arabes.

Mais nous devons dire que rien ne nous autorise encore à penser qu'ils aient connu la résolution algébrique des équations du troisième degré, c'est-à-dire l'expression des racines de ces équations. Le titre du manuscrit de la bibl. de Lcydc semble, au contraire, indiquer qu'il y est question de leur construction géométrique par les lieux solides ( les sections coniques), comme dans celui de la bibl. royale de Paris.

La trigonométrie est une des parties des mathématiques que les Arabes cultivèrent avec le plus de soin, a cause de ses applications à l'astronomie. Aussi leur dut -elle de nombreux perfectionnemens qui lui donnèrent une forme nouvelle, et la rendirent propre à des applications que les Grecs n'auraient pu faire que très-péniblement.

Les premiers progrés de la trigonométrie datent d' Albategnius, prince de Syrie1, qui florissait vers l'an 880 et qui mourut en 028. C'est ce grand astronome, surnommé le Ptolémée des Arabes, qui eut l'heureuse et féconde idée de substituer aux cordes des arcs, dont les Grecs se servaient dans leurs calculs trigonométriques , les demi-cordes des arcs doubles, c'est-à-dire les mw des arcs proposés. « Ptolémée, dit-il, ne se servait des cordes entières que pour la facilité des démonstrations ; mais nous , nous avons pris les moitiés des arcs doubles *. »

Albategnius est parvenu à la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique cos. o — cos. b cos. c. ■+■ sin. b. sin. c. cos. A , dont il a fait diverses applications 5.

On trouve dans ses ouvrages la première idée des tangentes des arcs, et l'expression cot,„„t , dont les Grecs ne se sont pas servis. Albategnius la fait entrer dans les calculs de gnoraonique et l'appelle ombre étendue. C'est la tangente trigonométrique des Modernes. On voit qu' Albategnius avait des tables doubles, qui donnaient les ombres correspondantes aui hauteurs du soleil, et les hauteurs correspondantes, à des ombres; c'est-à-diro les tangentes des arcs, et les arcs correspondans à des tangentes. Mais ses tables étaient calculées pour le rayon 12 , tandis que celles des sinus l'étaient pour le rayon 00; ce qui prouve qu'il n'a pas eu la pensée d'introduire ces tangentes dans les calculs trigonométriques

1 F ibonacci rétout bien quelque* équation» d'un degré aupérieur . mai* qni le relouent au aecond. a Histoire des Matlicmatiquc s , tum. t« , pag. 383.

' Le nom propre de ce géomitre e»t Mohammed ben Geler ; il fut aurnommé «I Balani , parce qu'il était né a Batan , Tille de la létopotauiie , et de ce nom les Moderne* ont fait celui de Albategniu».

* Delambre , Histoire do l'astronomie du moyen dge , pag 13.

• flid, , pag. 81, 104. On tait que la formule correspondante, coi. A = ain. B tin. C co». a — co». B cot. C , ctt due a Viéle qui l'a donnée en 1593 dant ton Variorum de rébus matktmaticis respontorum liber octavut.

0 Delambre, Histoire de l'astronomie du moyen âge , p. 17.

NOTES

C'est à Aboul Wcfa et à Ebn Jounis , qui lui «ont postérieurs d'un siècle, qu'est dû ce nouveau pas.

Aboul Wefa (937-008), après avoir exposé la théorie des sinus , définit d'autres lignes lrigonométriqucs « qu'il emploiera dans son ouvrage pour les faire servir à la solution de différens problèmes de l'astronomie sphérique. »

Ce sont les tangente* ei cotangente* , qu'il appelle ombre perte et ombre droite, et les ëécantet qu'il appelle diamètre de l'ombre.

Aboul Wefa a calculé sa table de tangentes pour un rayon égal à 00 : il n'a pas calculé les sécantes.

On n'a point cette table des tangentes ; mais ce qu'il importait de savoir , c'était la date certaine de leur introduction dans le calcul trigonométrique.

Cette heureuse révolution dans la science, qui en bannissait ces expressions composées et incommodes qui contenaient le sinus et le cosinus de l'inconnue, ne s'est opérée que 600 ans plus tard chez les Modernes; on en a fait honneur à Regiomontanus ; et près d'un siècle après lui Copernic ne la connaissait pas encore.

Ebn Jounis (079-1008) se servit aussi des ombres ou tangentes et cotangenles , et en eut aussi des tables sexagésimales '.

Il eut le premier l'idée de calculer des arcs subsidiaires qui simplifient les formules, et dispensent de ces extractions de racines carrées qui rendaient les méthodes si pénibles. Ces artifices de calcul, aujourd'hui si communs, sont restés long-temps inconnus en Europe, et ce n'est que 700 ans plus tard qu'on en trouve quelques exemples dans les ouvrages de Simpson (Dclambre, Flittoire de l'astronomie du moyen Age, pag. 165).

La trigonométrie sphérique doit à Geber, astronome qu'on suppose avoir vécu vers l'an 1050, la formule Cos. C=sin. B cos. c, qui est la cinquième des six qui servent à la résolution des triangles rectangles 2. La sixième, Cos. <z*= cot. B. cot. C, est resté inconnue jusqu'au XVIe siècle; on la doit à Viète.

Ces deux formules sont celles qui contiennent les deux angles obliques du triangle. Les Grecs n'avaient eu que les quatre premières, qui leur suffisaient, parce que dans leurs applications de la trigonométrie à l'astronomie , le cas des trois angles connus ne se présentait pas.

Tels sont les principaux perfectionnemens que les Arabes apportèrent à la trigonométrie.

Ils purent ainsi cultiver l'astronomie avec succès. Aussi compte-t-on un très-grand nombre d'auteurs arabes qui s'adonnèrent à cette science. Nous n'avons point à parler ici des progrés qu'ils y firent ; et nous dirons seulement quelques mots de l'une de ses applications , la gnomonique, qui n'est au fond qu'une question de pure Géométrie.

Les Arabes attachèrent une grande importance à la construction des cadrans qui étaient à peu près leur seul moyen de compter le temps. Dès le neuvième siècle, des géomètres

• Deltmbre, Hittoirt d« VastronomU du ««yen o>,p.

» îfoui appelon* B , C , le. deux «ngle. oblique, do triangle ; b , e, le» eèié» oppo»éi , et a l'hypotcnutc.

NOTES

célèbres s'en occupaient. C'est à cet art que se rapportaient sans doute deux ouvrages d'Alkindus, intitulés : De horolog. aciathericorum deteriptione jet De horolog. horitontali prœttantiore , et les deux suivans de Tbébit ben Corah : De horometriâ teu hori* diurnit ac nocturnit; et De figuré linearum guat gnomometrum (ttgli apicit umbra) percurrit. Ce dernier titre semble annoncer que Tbébit se sciait de la considération des sections coniques daus la construction des cadrans. Nous allons voir cette méthode pratiquée savamment par un autre géomètre arabe du XIIIe siècle. Maurolycus en a eu la première idée chez les Modernes; et elle a donné à son ouvrage un caractère d'originalité qui lui a fait honneur.

L'écrivain arabeauquel la gnomonique parait le plus redevable, est Aboul Hhassan Ali, de Maroc, qui vivait au commencement du XIIIe siècle; son ouvrage avait pour litre: Livre gui réunit (et commencement et lea fin», parce qu'il se compose de deux parties distinctes, dont la première traite des calcul* et la seconde des instrument et de leur usage. M. Sédillot , dont les sciences mathématiques et les langues orientales déplorent la perte récente (en 1832), a fait une traduction de cet ouvrage qui a été mise au jour par les soins de M. L. Am. Sédillot, son fils , sous le litre : Traité det inttrument attronomiguet det Arabet ( 2 vol. in-4°, Paris, 1834).

Cet ouvrage est un traité complet et trés-détaillé de la gnomonique des Arabes. Il contient plusieurs choses nouvelles qui sont de l'invention d Aboul Hhassan.

On y trouve pour la première fois les lignes des heures égalée , dont les Grecs n'avaient point fait usage. Il paraît que cette innovation, qui a été conservée chez les Modernes, est due à l'auteur lui-même , car il dit : « Ceci fait partie des choses inusitées que nous donnons dans cet ouvrage, comme le résultat de nos méditations et de nos réflexions.» (Liv. III,chap. 14). Il expose dans le plus grand détail la construction des lignes d'heures temporairet (appelées aussi heures antiguet , inégalée 1 ,judaïguet).

Dans les chapitres XXVI et suivans, intitulés : Détermination du paramètre et de l'axe principal det parallèlet , en guelgue lieu gue ce toit, Aboul Hhassan se sert des propriétés des sections coniques pour décrire les arcs des signes. II calcule les paramétres et les axes de ces courbes , en fonction de la latitude du lieu , de la déclinaison du soleil et de la hauteur du gnomon.

Cette partie de l'ouvrage prouve que le géomètre astronome Aboul Hhassan, était un homme de mérite. 11 ne donne pas la démonstration de ses règles , mais elle devait se

• Ce* heures étaient égale» entre elles pendant on même jour, mai* leur durée changeait d'an jour a l'autre, parce qu'elle était toujour» la douiiéme partie du temps compris entre le lever et le coucher du soleil. Le* lignes qui marquaient ces heures étaient des courbes très-peu différentes de la ligne droite , ainsi que l'a reconnu H. Dclambre , par le calcul, (flittoir* de l'attronoinie ancien*» , 1.3 , p. 481 ). lais la nature de ce« ligues n'est pas encore connue ; elle peut faire le sujet d'une belle question d'analyse , qui se réduit à ceci :

Que tur une detni-tphir* en tuppote tract* de* arc* de cercle dan* des pian* parallèle* entre eus, et ieuttimi* *ur le plan du grand cent* qui tert de bote à ta demi-tphtre ; que cet arc* parallèle* toienl divisé* dans un rapport donné ; le* point* de division formeront une courbe i double courbure, titmie tur la demi-tpkère ; que par cette courbe on fa**e patter un cône ayant ton tommet au centre de la demi-*phire , la ttetion de ce cône par un plan, tera la liane d'un* de* heure* égale*.

NOTES

trouver dans un Traité de* tection* conique* , qu'il avait composé. M. Dclambrc , qui a approfondi toute cette partie géométrique de l'ouvrage d'Aboul Hhassao, la trouve bien préférable aux procédés enseignés par Commandin et Clavius, qui ont aussi tracé leurs arcs des signes par des moyens tirés de la théorie des coniques. Cependant il reconnaît que les régies du géomètre arabe n'ont pas encore toute la simplicité dont elles sont susceptibles : il fait usage de la hauteur du pôle pour déterminer le paramétre , ce qui complique et allonge les calculs bien inutilement, puisque l'expression de ce paramètre, réduite aux élémens indispensables, est indépendante de la hauteur du pôle, et ne contient que la déclinaison et la hauteur du gnomon , ainsi que le démontre M. Delambrc. C'est là un théorème assez remarquable, dit-il, et qui était assez important en gnomonique pour n'être pas négligé parles auteurs qui ont donné des méthodes si compliquées pour tracer les arcs des signes d'après les propriétés des sections coniques '.

Ce théorème, en langage géométrique, signifie que toute* le* tection* d'un cône droit, faite* par de* plan* coupant , également éloigné* de ton sommet , ont le même paramètre.

Cette propriété du cône droit a lieu aussi dans le cône oblique. Cela résulte du beau théorème de Jacques Bernoulli, que nous avons énoncé en parlant des coniques d'Apollonius, et qui lui a servi à déterminer le paramètre dans les sections du cône oblique (en supposant les plans coupans perpendiculaires au triangle par l'axe).

On attribue à Mahomet Bagdadin , géomètre du Xe siècle , un élégant traité sur la division des surfaces, qui a été traduit par Jean Dée et Commandin 3.

Cet ouvrage a pour objet de diviser une figure en parties proportionnelles à des nombres donnés, par une droite menée d'après certaines conditions. Il se compose de vingt-deux propositions , dont sept sont relatives au triangle, neuf au quadrilatère et six au pentagone. L'auteur les énonce sous la forme de problèmes , dont il donne la solution , qu'il démontre ensuite.

Cet ouvrage, par sa nature , est un complément nécessaire d'un traité de géodésie; aussi il a été imité par tous les géomètres modernes dans leurs traités de Géométrie pratique.

Dée et Commandin pensèrent que ce traité pouvait provenir d'Euclide , qui, au rapport de Proclus, dans son commentaire sur le premier livre des Élémens , avait aussi écrit sur la division des figures. Cette opinion n'a pas été partagée par Savile; et depuis, la question est restée indécise. Nous sommes tout-à-fait porté à attribuer l'ouvrage à un géomètre grec; à Euclidc, si l'on veut (puisque Proclus cite de lui un traité De divitionibut); car il ressemble parfaitement, par sa forme et par la pureté du style géométrique, aux ouvrages des Grecs, et nullement à ceux des Arabes, qui , alliant la science des premiers à celle des Hindous, avaient introduit le calcul algébrique dans leur Géométrie, et démontraient leurs propositions les plus générales sur des données numériques, et non pas dans

1 Histoire de Fattronomie du moyen âge , p 538.

9 De tuperficierum divitionibut liber Mac home to Bagdedin» ateriptu*. Nune primùm Jeannit D*>t Lendintntit , et Ftderici Comtnandini Vrbinatit optrd in lucem vditus. Fedtrici Commundini dt eadtm rt libellas. PUauri , 1870 , in-4».

To*. XI. 63

NOTES

l'état de généralité et d'abstraction que présentent celles du traité en question. Ajoutons que les Grecs avaient écrit sur la Géodésie des les premiers temps de l'école d'Alexandrie , comme nous le voyons par un ouvrage de Héron l'ancien , mis au jour par M. Venturi; et que s'ils n'avaient pas eu leur traité De divùionibu* tuperficierum , c'eût été une lacune que ne peut faire supposer la perfection qu'ils donnaient à leurs ouvrages.

L'optique a été traitée chez les Arabes par un grand nombre d'autours, dont le plus célèbre est Alhascn. Son ouvrage, qui nous est parvenu1 , se recommande par des considérations de Géométrie savantes et étendues. Ou y remarque surtout la solution d'un problème qui dépendrait, en analyse, d'une équation du quatrième degré. 11 s'agit de trouver le point de réllcxion sur un miroir sphérique, le lieu de l'œil et celui de l'objet étant donnés. Ce problème a occupé de célèbres géomètres modernes, tels que Sluze, Huygcns, Rarrow, le marquis de Lhopital, R. Simson. Ce dernier l'a résolu très -simplement par de pures considérations de Géométrie. (Sectionum conicarum libri V. Appendix, p. 223.)

Ou a pensé que l'ouvrage d'Albascn était imité du traité d'optique de Ptolémée. Ça été l'opinion de Montucla. Mais Dclambrc , quoiqu'il fût généralement porté en faveur des Grecs, ne l'a pas partagée. Il a même pensé qu'il se pouvait qu'Alhasen n'eût pas eu connaissance de l'ouvrage de Ptolémée, parce que le sien lui est très-supérieur Quoi qu'il en soit, l'ouvrage d'Albasen fait honneur aux Arabes, et nous devons le regarder comme avant été l'origine de nos connaissances en optique. Vitcllion, géomètre polonais, l'un des plus savans du XIIIe siècle , y a puisé utilement pour la composition de son traité d'optique, le premier qu'ait fait paraître un géomètre européen.

On doit à M. L. Ain. Sédillot la connaissance récente d'un ouvrage original des Arabes . intitulé : Traité de* connue* géométrique* , par Uassan ben Uailhem *,

Ce géomètre florissait vers l'an 1000, et mourut au Caire, en 1038. Il a composé un commentaire de l'Almagcste , et un autre sur les définitions qui sont en léte des Elémcns d'Euclide.

Son traité des connue* est divisé en deux livres: «Le premier, dit-il , comprend des » choses tout-à-fait neuves et dont le genre même n'a pas été connu des anciens géome- » très, et le second contient uuc suite do propositions analogues à celles qui ont été » traitées dans le livre des Data , mais qui ne se trouvent pas clans cet ouvrage d'Euclide. »

Sous le titre de Prolégomène* , l'auteur se livre à une discussion métaphysique sur la

' Imprimé a Bille en 1572, btcc ta troiiième édition de l'optique de Yitellion , »ou» le titre : Opticathesavm. A Ikaxeni A roUi lilri septem , nu ne primum editi. Ejnedetn liber de creputcvlû et n uiiu m atceniienilvM. Item

ntelUonu Thuri»3o-Poloni libri dreem , à Fr. Risnero , in-fol . 3 Histoire de t'antronomie ancienne , p. 412 du tome II. ' Nouveau journal asiatique, mai 1H34.

Lu copie »ur laquelle M. Sédillot a fait cette traduction e»t du 3 juin 1144; elle »c troore, a»ec »i* autre» «putculet »ur le» mathématique», dan» le manu*cril arabe, n» 1104 de la bibl. royale. H. Sédillot promet de Taire connaître re» pièce», dont une, qui e»t le fragment d'algèbre »ur la ré»olution de» équation» du troiiième degré dont mm avon» parlé plus haut , »era l'un de» monument le» plu» précieux de l'hutoire de» «cience» chei le» Yrabe».

NOTES

définition des connue» , leur» divisions et subdivisions; et la nature des quantités auxquelles elles se rapportent.

Ces préliminaires , dit M. Sédillot, qui caractérisent l'esprit des érudits du temps de Hassan ben Haithem, permettent d'apprécier asse?. exactement la philosophie mathématique des Arabes.

Mais le savant traducteur ne nous fait connaître que le commencement de ces prolégomènes, et nous ne voyons pas bien quelle peut être l'application de ces distinctions subtiles aux propositions de Géométrie qui forment le corps de l'ouvrage; sans doute elles portaient sur la forme même que l'auteur a donnée aux énoncés de ces propositions ; mais montraient-elles l'utilité de cette forme inusitée, cl le caractère scientifique, ainsi que la vraie destination de ces propositions? C'est là ce qu'il nous importerait de savoir.

Cette forme est la même que celle des donnée* d'Euclide, de sorte que ce traité est une imitation et une continuation du livre des donnée» du géomètre grec; mais avec cette différence que les propositions du premier livre «choses tout-à-fait neuves, et dont le genre même n'a pas été connu des Anciens, » roulent sur des propositions locales, tandis que toutes celles d'Euclide étaient des théorèmos ordinaires où tout est déterminé.

Ainsi, dans les donnée» d'Euclide, l'objet d'une proposition était de démontrer que telle chose (point, droite, ou quantité), devant résulter de telle construction ou de telles conditions, était parfaitement connue; et de déterminer la valeur et la position de cette chose.

C'est là aussi l'objet des propositions du premier livre des connue» de Hassan ben Haithem ; mais il y a dans chaque question une indétermination de condition , résultante de la considération d'un lieu géométrique.

Ces propositions sont de deux espèces.

Dans les premières il s'agit de démontrer que tel lieu, formé par la succession de points déterminés par telles conditions, est parfaitement connu; et de donner la construction directe et immédiate de ce lieu.

Voici l'énoncé d'une proposition de celte espèce :

« Lonque de deux point» connu» de potilion on mène deux ligne» droite» qui »e coupent enun point, où elle* forment un angle connu,èt quentuite on prolonge directement une de* deux ligne», »i le rapport de cette ligne à ton prolongement e»t connu. »on extrémité tera »ur une circonférence de cercle connue de potition. » (Proposition VII du 1er livre.)

Dans toutes ces propositions, le lieu géométrique est la ligne droite ou circulaire. Elles paraissent prises en général des lieux plan* d'Apollonius.

Dans les propositions de la seconde espèce , ce n'est pas le lieu géométrique qu'il s'agit de déterminer , mais quelqu'autre chose qui s'y rapporte , et qui doit être commune à une infinité de points ou de lignes , à cause d'une indétermination dans les conditions de construction. Exemple:

« Loreque deux cercle* connu* «ont tangen*, et que l'un e*t dan* l'intérieur de l'autre , ai l'on mène au petit cercle une tangente dont l'extrémité [autre que le point de

NOTES

tangence) toit terminée à la circonférence du grand cercle, et qu'on joigne par une droite cette extrémité au point de tangence det deux cercle», le rapport de cette dernière ligne à la tangente e»t un rapport connu. » (Proposition XIX.)

Celte dernière proposition et celles de son espèce, sont , comme on voit, dans le genre des poritmet d'Euclide, entendus suivant la doctrine de R. Simson.

Les premières , qui sont différentes , parce que la chose à déterminer est le lieu géométrique, répondent à l'idée que nous nous étions faite sur la nature et la vraie destination de ces porismes, avant de connaître cet opuscule du géomètre arabe. (Voir Note III.)

Cet ouvrage est le seul, jusqu'à ce jour, qui nous ait présenté de l'analogie, ou du moins une apparence d'analogie, avec le célèbre traité des porismes d'Euclide. Cette circonstance lui donne du prix à nos yeux; et la découverte de cet opuscule , qui vient confirmer en quelque sorte l'opinion du savant géomètre Castillon,qui pensait qu'au XIII' siècle le traité d'Euclide existait encore en Orient, nous permet du moins d'espérer de trouver encore parmi les nombreux manuscrits arabes, restés jusqu'ici inconnus au fond des bibliothèques , quelques traces de cette doctrine des porismes. Nous ne savons si c'est à cette théorie que se rapporte un ouvrage de Thébit ben Corah , que nous trouvons indiqué sous le litre suivant dans le catalogue des manuscrits orientaux de la bibliothèque de Leyde : Datorum tive determinatorum liber continent problemata geometrica. Cet ouvrage , par son titre et par le nom de l'auteur , se recommande à l'attention des géomètres qui possèdent la langue arabe.

Toutes les propositions du second livre des connuet sont dans le genre , mais différentes de celles d'Euclide ; elles appartiennent, comme celles-ci , à la Géométrie élémentaire , (à la ligne droite et au cercle); mais plusieurs ofTrent un degré de plus de difficulté. Elles sont de celles qu'on propose aujourd'hui comme exercices , aux jeunes étudians qui possèdent déjà les élémens de la Géométrie. Nous citerons les suivantes:

Lortqu'on a un triangle dont let cotés et let anglet tont connut , et qu'on mène une ligne du tommet à la hate , ti le rapport du carré de la ligne au rectangle formé tur let deux tegment de la bate ett un rapport connu , la ligne menée tera connue de potilion. (Proposition XV.)

Lorsque sur la circonférence d'un cercle connu de grandeur et de potition on prend deux pointe par letquelt on mène deux droilet qui te rencontrent en un autre point de cette circonférence , ti le produit det deux droitet ett connu , chacune de cet droitet tera connue de grandeur et depotition. (Proposition XXII.)

Lortqu'on a dettx cerclet connut de grandeur et de potition , et qu'on mine une droite tangente aux deux cerclet , cette droite ett connue de grandeur et de potition. (Propositions XXIV et XXV, dernières de l'ouvrage.)

« Toutes ces choses, dit en terminant Hassan ben Haithem, sont dune utilité majeure pour la résolution des questions géométriques , et n'ont été dites par aucun des anciens géomètres. »

Cet ouvrage mérite , par sa nature, d'être placé entre les donnéet et les porismes d'Euclide, et les lieux plant d'Apollonius, d'une part, et les ouvrages de R. Simson et de

SOTES.

Stewart, de l'autre; il forme comme eux des complément de la Géométrie élémentaire, destinés à faciliter la résolution des problèmes.

On a cru trouver dans cet ouvrage de Hassan ben Haitbcm , de l'analogie avec la Géométrie de position « comme D'Alcmbert et Carnot l'ont entendue. » Mais nous ne pouvons voir dans la pensée de D'Alcmbert, qui lui-même en reconnaissait la réalisation contraire à la nature de l'algèbre 1 , dans la Géométrie de position de Carnot , et dans l'ouvrage du géomètre arabe, une telle analogie. Carnot, dans sa Géométrie de position , a eu principa- , leraent en vue d'établir la véritable théorie des quantités négative* ; et la Géométrie de position ne fut , dans son esprit , et dans le fait , que la Géométrie ordinaire , dans laquelle, d'après cette doctrine des quantités négatives , une seule démonstration , établie sur un état suffisamment général d'une figure , devait s'appliquer immédiatement et sans nouveaux frais, à toute autre forme de la figure -.

C'est à ce caractère nouveau do généralité , de facilité et de brièveté , et à la nature des théories et des nombreuses propositions nouvelles que contenait l'ouvrage de Carnot, qu'il a dû son importance scientifique et l'heureuse influence qu'il a eue sur les progrès de la Géométrie pure.

Sans mettre en oeuvre l'idée de D'Alembcrt, le livre de Carnot n'a donc aucune analogie avec l'ouvrage du géomètre arabe sur les connues géométrique».

Nous ne pouvons terminer notre aperçu des travaux des Arabes en Géométrie sans dire un mot du célèbre astronome et géomètre persan Nassir Eddin de Thus ( 1201-1274 ) , dont les ouvrages, qui traitent de toutes les parties des connaissances humaines, sont écrits en langue arabe. On y remarque, outre ceux qui se rapportent à l'astronomie, des traductions de plusieurs ouvrages grecs, d'Euclide, d'Archimède et de Théodose; un traité d'algèbre et un compendium d'arithmétique et d'algèbre. De tous ces ouvrages , les élémens d'Euclide seuls ont été publiés dans la célèbre imprimerie des Médicis (Rome, 1594, in-fol.), avec les commentaires de Nassir Eddin, qui sont estimés et qui, contenant plusieurs démonstrations nouvelles des propositions d'Euclide, ont servi à plusieurs auteurs modernes , dans le temps où la connaissance de la langue arabe était plus répandue qu'aujourd'hui. On y distingue une démonstration du cinquième postulatum ,

' . 11 teralt a «ouhaiter que l'on trouvât moyen de faire entrer la tituation dani le calcul de» problème» ; cela le* aimplifierait extrêmement pour la plupart ; mai» l'état et la nature de l'analyae algébrique ne paraixen*. pai le permettre. » {Encyclopédie , article smunoR.)

9 C'était là une véritable innovation que n'avaient point o«é ce permettre , quelqnea année* auparavant , deux mathématicien! qui avaient fait de la Géométrie pure l'objet *péciat de leur» travaux , et qui lui avaient dû leur célébrité. Roua voulon* parler de R. Simion et de Stewart qui donnaient , d'une propoaition , autant de démonstration* que la figure à laquelle elle »e rapportait prenait de forme* différente* par le changement de position re»pective de *e» partie*. Carnot , au contraire , aprèt avoir démontré une proposition *ur une figure considérée dan* un état général de conttruction , montrait ce que devenaient cette propoiition et le* formule» qui l'exprimaient , ou qui s'y rapportaient , quand la figure changeait de forme par le changement de position de »e» différente» partie*. Ce* nouvelle* formule* , qu'il appelait corrélatives , par rapport à la première, et qu'il déduiaait immédiatement de celle-ci, «an* démonstration , auraient été démontrée» directement comme la première elle-même, par Siroton et Stewart.

NOTES

que Wallis a trouvée ingénieuse, et qu'il a reproduite dans le tom. II de ses oeuvres. De ce qui précède nous conclurons en résumé:

Que les Arabes ont montré une grande estime et un goût prononcé pour les science» mathématiques ;

Qu'ils ont eu une connaissance complète des ouvrages et du savoir des géométrea grecs ;

Qu ils ont perfectionné la trigonométrie d'une manière notable , et que cette partie de la Géométrie a reçu d'eux sa forme moderne, indispensable pour les progrés de l'astronomie ;

Qu'ils ne paraissent pas avoir été au delà des Grecs dans les autres parties de la Géométrie, soit parce qu'ils n'ont pas eu le génie inventeur, soit parce qu'ayant acquis rapidement de grandes connaissances dans toutes les parties des sciences, ils ne se sont pas donné la peine de chercher à en reculer les limites ;

Mais qu'ils ont eu, sous un autre rapport, un véritable avantage sur les Grecs;

Qu'ils ont possédé l'algèbre des Indiens , et qu'ils ont connu l'application de l'algèbre a la Géométrie;

Que leurs travaux en ce genre ont été poussés jusqu'à la solution des équations du troisième degré par une construction géométrique ;

Enfin, qu'en traitant l'une par l'autre, et par les secours que ces deux parties se prêtaient mutuellement, la Géométrie des Grecs et l'algèbre des Hindous, ils ont empreint leur science mathématique d'un caractère propre , caractère original qu'ils ont transmis aux Européens, et qu'il faut prendre entre les mains de ceux-ci pour l'origine et le fondement de la supériorité rapidement acquise au XVIe siècle sur les géomètres de l'Antiquité.

Géométrie chez les Occidentaux au moyen âge.

Pendant que les Arabes fournissaient une rapide et brillante carrière dans les sciences, les Européens étaient plongés dans l'ignorance. Ainsi , après Isidore de Séville , qui est le dernier que nous ayons nommé dans notre aperçu sur les travaux des Latins, peu d'écrivains, jusqu'au XIIe siècle, nous ont laissé quelques traces, non-seulement de la culture, mais de quelques connaissances des sciences. Vers cette époque, un premier mouvement intellectuel s'opéra en Europe, et de nombreux eflbrls furent faits pour y transporter les sciences anciennes de la Grèce, conservées et cultivées par les Arabes. Ce mouvement se reproduisit avec une nouvelle énergie vers le milieu du XVe siècle, et favorisé alors par la connaissance que l'on eut des manuscrits grecs , prépara les grandes découvertes du XVIe siècle, d'où date l'immense supériorité des Modernes sur les Anciens, dans les sciences mathématiques.

Nous allons jeter un coup d'œil rapide sur les travaux qui se rapportent à la Géométrie pendant cet intervalle de 800 ans.

vin nicii. Au commencement du VIII" siècle, Bède eut une grande érudition pour son temps,

NOTES

et écrivit sur beaucoup de matières différentes. Ses ouvrages qui se rapportent aux mathématiques sout : 1" deux traités sur la musique théorique cl pratique; 2" différentes pièces sur l'astronomie, où l'on distingue un petit écrit De circuit* tphœrœ et polo, un de gnomonique sous le titre De metuurâ horologii , et uu De attrolahio , où il se sert de constructions graphiques ; 3° et enfin quelques pièces sur l'arithmétique. Une intitulée De arithmelici» numerit , est un extrait extrêmement succinct de quelques définitions prises des traités d'arithmétique d'Apulée et de Boéce^ dont les noms sont cités par Bèdc. Une autre , De loquelâ per gestum digitorum , montre à compter par les doigts et leurs articulations. Ce livre a été emprunté et reproduit par divers auteurs.

Une troisième, qui nous parait offrir aujourd'hui le plus d'intérêt dans le volumineux recueil des œuvres de Béde, est lo traité De numerorum dioisione, auquel on a fait jusqu'ici si peu d'attention, que les écrivains qui en ont rendu compte, se sont mépris sur son contenu Ce traité est précisément le même que celui qui fait suite à la lettre de Gerhert à Constantin, où généralement on a cru voir l'exposition de notre système de numération. Est-il de Béde ou de Gerhert ? Nous avons déjà soulevé cette question, en parlant du passage de la Géométrie de Boéce, relatif au même système de numération, et dont ce traité nous a semblé être une imitation et un développement: du moins l'un et l'autre roulent sur la mémo matière, et ont, à notre sens, la même origine *. Du reste on trouve dans les manuscrits anciens de Bèdc les chiffres arabes comme dans ceux de Boèce. ( fV allié , de algebrd tractatut, cap. IV. )

Enfin, les œuvres de Béde contiennent un livre De arithmetici» propotitionibus , où l'on trouve d'abord différentes manières de deviner un nombre qui a été pensé; et ensuite un assez grand nombre de questions arithmétiques, ad acuendos juvenet , est-il dit, et qui prouvent l'iutention d'entretenir la culture des mathématiques. Mais on voit dans quel état déplorable elles étaient tombées , par les règles dont l'auteur se sert pour calculer l'aire du triangle et du quadrilatère. Nous avons rapporté ces règles en parlant des ouvrages de Brahmcgupta.

1 Bontucla, Histoire des matkimatiquts , t. I, p. 405 : • Bèdc fut auteur d'un livre d'arithmétique intitulé De numeris; et d'un autre , De numerorum dirisione , par lequel on Toit combien dan» ton temp», cette opération était erobarrattée. » — Delainbrc , Histoire de l'astronomie ancienne, t. I, p. 383. « Dan» ce chapitre [De la division des nombres), Béde enseigne à »e »ervir de» doigt* et de leur» articulation* , ponr faciliter lea divUion* et le* multiplication*, h

3 Tina» nou* empret*on* de réparer ici une erreur que non* avont faite en di*ant précédemment, que l'on n'avait point encore remarqué que la lettre de Gerbert *e trouvait dan* le* oeuvre* de Bède. flou* ne noua étions pa* aperçu alor* que la rcmarquo en avait été faite par André», dan* ton ouvrage DelVorigine , de progressi , e dellostato altuals d'ognilitteratura , Parme, 7 vol. in-4°, 1788-1709; où il l'exprime aimi: Ma i da osservarsi , cin ehe non redo riflettut* né da matematici.ni da crilici , cht taie letlera riportata fra le Gsrleraiane i tjuella medesima aff'ntio , che ri ritrova nelle opère di Beda al principio del litre De numerorum diviiioncad comtantinum; neio roglio décidées se sio da riporsi frais Of ort di Gtrberto ovver fra quolU di Beda (t. IV, p. M).

■ai. André* ne parle que delà lettre même, et non do traité qni Ini fait tuile; traité qu'il n'a connu que dan» le* oeuvre» de Béde , et qu'il n'a pa* *u être le même qne celui qu'on attribue a Gerbert.

Hou* ajouteront enfin que ce célèbre liittorien, qui a commenté longuement le pa**age de Boéce, pour prouver qu'il ne peut en aucune manière t'appliquer a notre «yttème de numération (t. IV, p. 41-4A) , n'a pa. remarqué «on analogie avec le traité Do numerorum divisions en queition.

NOTES

Le livre De arithmeticit propotitionibtu a élé revendiqué pour Alcuin, et compris dans ses œuvres. La question de propriété ici est sans intérêt.

Alcuin, disciple de Bède, fut, comme lui, un prodige d'érudition dans son temps. Nous nous bornerons ici à dire qu'il a écrit sur les sept arts libéraux , et en particulier sur l'astronomie. Il ne nous est parvenu de ces ouvrages que les parties qui traitent de la grammaire et de la rhétorique; on reconnaît qu'elles sont imitées des écrits de Cassiodore. La célébrité qu'Afcuin a conservée provient surtout de la part qu'il a prise dans la fondation des universités de Paris et de Pavie, et dans les efTorts de Charlemagne pour résister au torrent des ténèbres qui se répandaient sur l'Europe , et rallumer le flambeau de la science.

Mais la scolastique prenait naissance, et l'élément religieux qui lui servait de base, fut tout puissant et occupa exclusivement les esprits. Aussi, chose très-remarquable dans l'histoire , aux efforts mêmes de Charlemagne succéda précisément l'époque de la plus profonde ignorance. Elle dura prés de deux siècles. «* siècle. Pendant ce temps l'histoire ne prononce guère que le nom de Gerbert (qui devint pape en 999 et mourut en 1003), et de quelques-uns de ses disciples. Ce moine, à l'exemple des sages de la Grèce qui avaient été s'instruire en Egypte, alla aussi s'instruire en Espagne, seul point de l'Europe où les sciences, importées de l'Orient fussent cultivées par les Sarrazins. De retour en France, il répandit avec ardeur ses connaissances. Elles tenaient du prodige aux yeux de ses contemporains, au point qu'il fut accusé de magie. Mais cela montre combien l'ignorance était profonde alors , car on doit convenir que l'ouvrage de Gerbert sur la Géométrie et ses traités de la sphère, de l'astrolabe et des cadrans solaires , ne roulent que sur les matières les plus élémentaires de la science , et ne comportent que des connaissances très-superficielles. Le contraste que ces ouvrages présentent avec l'état avancé des sciences à cette époque , chei les Arabes de Séville et de Cordoue , fait douter que ce fût d'eux que Gerbert ait reçu ses connaissances, comme on a coutume de le répéter d'après Guillaume de Malmcsbury. On y reconnaît plutôt, surtout dans sa Géométrie, une imitation et un commentaire des ouvrages de Boécc, qu'un reflet du savoir et des méthodes arabes 1 dont nous ne trouverons les premiers germes, en France, qu'au XII' siècle.

1 Celte observation «'accorde avec celle de Goujel, qui dit que le vojage de Gerbert en Espagne eit réel , mais que le motif qu'on en donne ne l'est pu (De l'état det sciences en France depuis la mort de Charlemagne jusqu'à celledu rot Robert, p 65).

Andréa, au contraire, qui «attaché une grande importance historique anx connaissances et aux travaux de Gerbert , leur attribue une origine arabe , en supposant toutefois que ce notaient pas précisément lea Sarrasin* qui avaient été Ici maître* de Gerbert , mai* bien le* chrétien* etpagnol» leur* disciple» , qui ne pouvaient en*eigner autii que le* science» et le* méthode* de* arabe*. « Queste ragioni mi fanno congetturare non tenta qualche probabilité, che quel dotto e grand'uomo che fu Gerberto tutto egli ri fece totto ta disciplina de' cristiani tpagnuoli, senta avère avuto bisogno di mendicare il saccorso dalle scuole oV Saraceni. Ma quantunque spagnvoli fossero i maestri di Gerberto , arabica pur era la dotirina , ch'ri trasst dalle Spagne e cemunicà ail* Gallie ed all'Italia La teienta favorita di lui era la matematica ; e la matematica, que si sapera in Ispagna, tutta rentre délie scuole e da' liiri de' Saraceni. Se vero i, cke Gerberto delta Spagna aile tuuole Europee recasse t aritmetica arabica, colla guaie facili dieenieano moite operatiani, che nell'antico metodo troppo erone , imba-

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NOTES

Voici l'analyse de ce traité de Géométrie qui a été mis au jour par Bernard Pcz, dans le tora. III, seconde partie, de son Thetauru* anecdotorum novittimu*. (Auguste? Vindelicorum, 1721, in-f°.)

Après avoir donné les premières définitions relatives a la Géométrie, Gerbert fait connaître les mesures dont les Anciens faisaient usage; ce sont les digitus , uncia, palmu-t , eexta , dodrant , etc., des Romains, dont on trouve la nomenclature dans la Géométrie de Boéce. Il se sert de ces mesures dans tout le cours de son livre , ainsi que des signes qui les représentent, et qui expriment aussi d'une manière abstraite les fraction* telles que § , etc. Il emploie le root coruwtttu pour désigner la base supé rieure d'un quadrilatère. Il consacre plusieurs chapitres aux triangles rectangles, qu'il appelle trianguli pythagorici, et qu'il apprend à construire en nombres rationnels, un côté étant donné. Il se sert pour cela des règles connues , attribuées à Pylhagorc et à Platon, qui donnent des nombres entiers pour les côtés du triangle ; et d'autres règles qui donnent des nombres fractionnaires. Les unes et les autres qui sont du même genre, dérivent des formules générales que nous avons trouvées dans les ouvrages indiens. Au sujet de ces triangles rectangles, Gerbert résout un problème rcmarquabte pour l'époque, parce qu'il dépend d'une équation du second degré; c'est celui où, étant données l'aire et l'hy— potbénuse, on demande les deux côtés. Soit A l'aire, et c fhypothénuse , la solution de Gerbert, traduite en formule, donne pour les deux côtés la double expression :

i\Vc + 4A± W-4A ]•

Ensuite il apprend à calculer avec l'astrolabe ou avec un autre instrument qu'il appelle horoecope , la hauteur d'une tour, la profondeur d'un puits, et la distance d'un objet inaccessible. Puis il calcule la perpendiculaire dans un triangle dont les côtés sont connus. Il prend pour ces côtés les trois nombres 13 , 14 et 15. Il donne pour la surface des polygones réguliers les formules fausses des arpenteurs romains , et résout aussi comme eux le problème inverse, étant donnée faire d'un polygone régulier, trouver ton côté. Pour le cercle, il donne le rapport y. On trouve sous les titres : In canipo quadrangulo agripennot cognoscere, et In campo triangulo agripennoi invenire , les formules fausses que nous avons déjà signalées dans les œuvres de Bède, pour la mesure de l'aire du quadrilatère et du triangle; el Gerbert, dans ces exemples, se sert des mêmes nombres que Bède. Enfin on trouve (chapitre 85) la formule qui donne la somme des termes d'une progression arithmétique La formule pour l'aire du triangle en fonction

rotsanti, ijvesta o immediatamente , o per meazo de' maettri spagnuoti rapita fu da lui à Saraceni , corne dicr Guglitmo di Maleiluri. { Dell' origine , de progreaai , etc., I* parte , cep. IX. ) — La nature de* outragea de Gerbert ne noua permet paa de partager cette opinion sur l'origine de aea connaiaaancea.

1 Villoiaon dit que dana un manuacrit trèa-ancien, ce chapitre H"> contient le* chiflrea arabe». (Yo'tr Anaiecta •jr jlu, t. 8, p. 163) Maia noua détona contenir que dana Ira deux manuacrita de la Géométrie de Gerbert qui exiatent à la bibliothèque royale de Paria (n- 7185 et 7377 c), noua n'aton» tu qne lea chiflrea romaina, et lea aignea par leaquela lea Latin» représentaient lea fraction*. Cea aigne* ont été rapportéa fidèlement par Pet dana «on édition de la Géométrie de Gerbert.

Ton. XI. 6 '4

NOTES

des trois côtés n'y est pas; et on en trouve une autre pour le triangle rectangle, qui n'est pas exacte.

A la suite île la Géométrie, est un petit écrit intitulé: Gerberti epittola ad Adolboldutn de eutitâ divertituti* arearum in trigono œquilatero geometricè arithmetieèce

expenso. Gerbert explique que la formule géométrique *\V 3 de l'aire du triangle équilatéral est exacte, et que la formule arithmétique ne l'est pas, et qu'elle n'est qu'ap-

proximative. Dans son explication Gerbert commet une erreur, car c'est la formule Kg „ui Jevait résulter de son raisonnement: et celle-ci est véritablement approximative. Car si ou la rend homogène, en y introduisant l'unité de mesure linéaire, que nous appellerons a, elle devient , cl celle-ci approche d'autant plus de

l'expression "r 1^3, qui est l'aire exacte du triangle, que c? est plus petit.

On voit par cette analyse de la géométrie de Gerbert, qu'elle est dans le genre des écrits de Boèce et de Bédc ; et qu'on n'y peut reconnaître l'origine arabe qu'on a attribuée légèrement, et sans critique, aux connaissances scientifiques de l'auteur.

Il parait que Gerbert a beaucoup écrit sur l'arithmétique, particulièrement sur un svslèrne de numération ilifTérent du s\ sterne lalin alors en usage; et c'est pour cela principalement que son nom est resté célèbre dans l'histoire des sciences. Nous avons parlé, au sujet du passage de la Géométrie de Boèce , du traité de numerorum divitione qu'on lui attribue •; et, en remarquant que celte pièce se trouve dans les deux éditions que l'on a des œuvres de Bètle, nous avons eu la pensée qu'elle pourrait être de ce dernier. Mais Gerbert et ses disciples ont laissé plusieurs autres écrits sur le même sujet, qui prouvent qu'ils avaient alors une grande connaissance des procédés du calcul dans ce système de numération, qu'ils appelaient le système de X Abaque. Les écrits de Gerbert, qui la plupart se trouvent dans la bibliothèque du Vatican, sont intitulés : 1° Gerberti icholastici Abacu* composilu» ; 2° De numerie ; 3" Hegulœ Ahuci ; 4° Fragmentum Gerberti regulœ de Ahaco; 5° Gerberti arithmetica. Le premier, Abacu* compotittië . existe dans plusieurs autres bibliothèques. Pei ayant trouvé à sa suite , dans la bibliothèque de l'abbaye de S'-Émeran à Ratisbonne, une autre pièce intitulée : G. Liber tubtilittimut de Arithmeticâ , l'a attribuée , à cause de l'initiale G, à Gerbert. Dans ce manuscrit de Ratisbonne , le traité de Y Abattit porte aussi le nom à' Algorismu* ; il est adressé à l'empereur Olhon 111 2. La bibliothèque de Leyde possède deux manuscrits provenant deScaliger et de Vossius, dont le premier est intitulé: Libellut multiplicationum. in qttoepistola Gerberti ad Coiutantinum de doctrinâ Abaci ; et le second: Gerberti de Divitionibm eum notit ad illat. (Catalogus Bibliothecs ukiversitatis Ltomwh Batav*, p. 341 et3U0.)

1 Le premier éditeur de* te lire» de Gerbert a rapporté , a la iuite de la 161e et dernière lettre , lei première* ligne* de ce traité. Le «econd éditeur en con»errant la lettre , en a *upprimé ce* première* ligne».

3 Gerberti Aiacui teu Ataeritmu» ad Ottenem imp. (Voir Thtiaurvt antcdatorttm nocùnmus, t. I Di**ertatio îiagogica, p ixxmii.)

NOTES

Quant au traité De numerorum divûione , il est assez singulier qu'il ne se trouve sous ce titre dans aucun des grands dépôts littéraires; du moins on ne le cite dans aucun catalogue, sous ce titre, disons-nous. Cette circonstance avait contribué à nous faire supposer que ce trailé pourrait être do Bède, tout en reconnaissant que le procédé do calcul sur lequel il roule était familier à Gerhcrt '. Quel qu'en soit l'auteur, nous persistons à le regarder comme imité du passage deBoéce sur le môme sujet, et à penser qu'il roule sur un système de numération qui ne diffère du nôtre qu'en un seul point, l'emploi du zéro qui y a été introduit postérieurement et a permis alors de supprimer les colonnes. Dans celte manière do voir, il ne resterait à résoudre, au sujet de cet Ahacue, que la question de savoir, si cette innovation heureuse, l'emploi du zéro, a été un perfectionnement direct du système môme de l' Abaque , ou bien si les Européens l'ont prise dans l'arithmétique arabe, vers le XI" ou le XIIe siècle.

Plusieurs contemporains de Gcrbert, qu'on regarde comme ayant été ses disciples, ont aussi écrit sur l'arithmétique pratiquée dans le système de XAbaqut. Tels sont Adaibolde, évêque d'Utrech, Hcriger, abbé de Latines, et Bernelio.

11 reste du premier, dans la bibliothèque du Vatican, un écrit intitulé: Alholdi ad Gerbertum echolatticum de Attronomiâ , teu Abaco 3. On trouve dans le t. III du Thesauru* anecdolorum novittimu-t de Pci (2« partie, p. 80) un autre écrit d'Adalbolde intitulé: Libellue de ratione inveniendi crat*itudinem «phterœ, où il donne pour le volume de la sphère, la formule !)•''. I) étant le diamètre, qui a pour base le rapport d'Archimèdc. Dans son calcul numérique Adalbolilc se sert, comme Gcrbert dans sa Géométrie, des caractères romains qui exprimaient les fractions J, § , etc.

Heriger commenta l'Abacu* de Gerbert, dans un écrit qui se trouve dans la bibliothèque de Leydc, sous le titre: Ratio Abaci secundùm divum Herigerum 3.

Bcrnelin avait écrit sur la Musique, la Géométrie et l'Arithmétique, un ouvrage inscrit dans la bibliothèque du Vatican, sous le titre : Bemelini Abaci, Mutica, Arithmetica et Geometria*;et un autre trailé en quatre livres, De Abaco et numeri», que Vignier, dans sa Bibliothèque historiale , assure que le célèbre jurisconsulte Pierre Pithou avait possédé ». On voit dans le t. XII de Y Histoire littéraire de la France , écrit en 1 773, qu'alors un exemplaire de cet ouvrage se trouvait dans l'abbaye de S'-Victor de Paris. La préface

1 Deux exemplaire* de cet écrit, qui ae trouvent a la bibliothèque royale de Paria aoui d'antres titrea, portent le nom de Gerbert, qui, il eat Trai, a été ajouté k une époque rapprochée : le premier cit intitulé Ration»» numervrum Abaci (manuicrit n« 6620) ; et le second Tractatu» de Abaco {n* 7188. K). Nous auppotons qu'une partie dea manuacrits dont noua avons rapporté lea titrea ci-deaaua, particulièrement ceux de la bibliothèque de Leydc, ne aont aussi que ce même trailé De numerorum divieione.

3 Hontfaucon, Biiliotkeca biblïothecarum manvscriptorum nova , t. I, p. 87

s IIU taire littéraire do la France, t 7, p. 206.

* Montfaucon , ibid, 1. 1 , p. 24: on »oit k la pag. 116 que la bibliothèque du Vatican poaaède d'autrea pièce» do même auteur aoua le titre : Bemelinut junior do Abaco et alia pturima.

' Noua allons rapporter ce passage de Vignier, auquel il ne parait pas qu'on ait fait attention, et qui cependant a une importance historique qui n'est point k dédaigner, car il nous prouve qu'au X V'I« siècle on regardait nos chiffres et notre aystème de numération comme dérivant , si non du système même de VAboguo, du moin.

NOTES

avait pour titre : Incipit prœfatio libri Abaci qttem junior Bernelinua edidit PariêUê '. C'est peut-être encore à ce traité de l'Abaque que se rapporte une autre pièce «le Bernelin qui se trouve dans la bibliothèque de Leyde, a la suite de VJbactude Gerbert, sous le titre : Scolica (Scholia probablement) Bernelini Parisiie ad Âmelium tuum édita de minuliit.

On cite encore un moine nommé Halber qui, dans le même temps, a aussi écrit sur YAbaeUë de Gerbert. (Histoire littéraire de la France, t. 7, p. 138.)

Il serait bien utile, pour éclaircir enGn les questions historiques relatives à l'origine et à l'introduction en Europe de notre arithmétique, et particulièrement à ce système de X Abaque, qui tient une grande place dans l'histoire littéraire du X« siècle, et qui probablement n'était que renouvelé, après quelques siècles d'oubli , des ouvrages de Boèce, et de quelques auteurs du même temps J, qui eux mêmes le tenaient de l'école de Pythagore, ainsi que le dit Boèce 3, il serait utile, dis-je, que l'on mit au jour les différentes pièces de Gerbert et de ses disciples , dont nous avons rapporté les titres ci-dessus, et que l'on fît attention, dans les bibliothèques de manuscrits, aux pièces semblables que certainement on y devra découvrir.

\r «feu. Au XIe siècle, Uermanu Gontraclus se fil un nom par dilTérens écrits sur les mathématiques, dont un sur la quadrature du cercle, et un sur l'astrolabe. Celui-ci, en deux livres, qui traitent de la construction et de l'usage de l'astrolable, a été imprimé dans le tome III du Thetauru» novittimut de Pcl Wallis dit, dans son histoire de l'algèbre, qu'un passage d'un manuscrit ancien de la bibliothèque Bodléicnne l'autorise à

«Je la même origine que lui ; ce partageaient a l'appui de l'interprétation que noua avon* donnée de VAbaeut

de Boèce :

« Gerbert , dit Vignier, eut encore un autre tien compagnon ou disciple èa sciences géométriques et ma- » thématiques nommé Bernclinus, qui composa quatre litres De A baeo et numrris. Desquels se peult apprendre » l'origine de Chiffre dont nous usons aujourd'hui ès comptes d'arithmétique, lesquels livres M. SaToye Pithou » m'a assuré avoir en sa bibliothèque, el recognoistre en iceux un sçavoir et intelligence admirable de la * science qu'il* traitent. Et pour ce qu'avec ceux ta furent encore fort renommés au même temps en la France a plusieurs autres grands personnages , a cause de leur grand sçavoir ès mêmes sciences philosophique* et » mathématiques , comme, etc. >■ (ttildiolhiijtte hi.ttoriale , 3 vol. in-f\; Paris 1J588 ; second vol. p. 648.)

> Il existait dans la bibliothèque de l'abbaye deS'-Victor un autre traité de V Abaque , que Honlfaucon inscrit sous le titre : Badulyhi Laudunensis de Abaco. (Bib. bib. t. II , p. 1374.)

3 Par exemple nous sommes porté à croire que Victorius, mathématicien contemporain de Boèce, avait aussi écrit sur ce système, ou du moins avait laissé des calculs qui s'y rapportaient ; et que c'est a ce sujet que Gerbert et ses disciples citent souvent le calcul de Victorius et sa brièveté , car il ne parait pas que cela doive s'entendre du nouveau canon pascal que Victorius avait calculé

1 II n'est pas rare de trouver dans l'histoire des sciences, des idée*, des principes, des théorie* même, qui ont paru et disparu ain*i , plusieurs fois et a de longs intervalles , avant de trouver un sol préparé pour y jeter de profondes racines et prendre une existence durable. Les polygones étoilés nous offrent un exemple de pareilles intermissions. Considérée d'abord dans l'école de Pythagore, et oubliée pendant dix siècle*, Vf toile ptntagonale reprend naissance dans la Géométrie de Boèce ; oubliée encore pendant six siècle*, elle doit une nouvelle vie » Campanus ; un siècle après elle produit la théorie des polygones ègridiens ; deux siècles plus tard . le nom et les travaux mémorables de Kepler semblent devoir nsaarer un rôle brillant et durable à cette théorie , qui pourtant retombe dans un oubli complet pendant deux aiècles , pour reprendre enGn l'existence impensable que lui a»stirent le* considérations analytiques qui Punissent à la théorie des polygones ordinaire*.

KOTES.

penser que Uermann Contractas connaissait notre système de numération; et il le met après Gerbert, en tête des auteurs qui ont écrit sur ce sujet '.

Le XII" siècle se distingue par quelques efforts contre l'ignorance générale. Plu- su» »».cit. sieurs Européens, suivant l'exemple de Gerbert , quittent leur pays pour aller s'instruire au loin. On distingue parmi eux Adbélard, ou Athélard, et Gérard de Crémone. Le premier visita 1 Espagne, l'Egypte et l'Arabie; et à son retour traduisit de l'arabe plusieurs ouvrages, au nombre desquels se trouvent les Élémcns d Euclidc. C'est la première traduction que l'on ait eue en Europe de cet ouvrage, que l'on ne connaissait que par l'extrait trés-restrcinl cl qui se bornait à quelques énoncés de propositions, que Boèce en avait donné dans le premier livre de sa Géométrie. Adbélard avait joint a sa traduction , des Commentaires sur les propositions d'Euclide. Cet ouvrage est resté manuscrit a.

M. Jourdain attribue à Adbélard un Traité de l'Astrolabe et une doctrine de VAbaqut '. ( Recherche* tur le* traduction* d'Ârittote , pag. 100.)

Gérard de Crémone ( 1114-1167 ) alla résider pendant long-temps à Tolède, pour y apprendre l'arabe et y faire de nombreuses traductions qu'il rapporta dans sa patrie. Elles s'étendaient sur toutes les parties des sciences qui florissaient parmi les Maures d'Espagne. On y distingue l'Almageste de Ptoléméc, le traité des crépuscules d'Alhazcn et le

1 ffujuter llcrmanni mentionem rfprrio in quodam Ifiiiielhtca Bodleiana USO, uLi dicitur quod ait liermanno et ProdocimodiJicerint Ancr», hoc eut (u/i'o nomine) Amoaisar».

Hcrratnn Contracta» passe aux yeux de quelque» historien», de Brucker particulièrement, pour avoir cultive de» premier» la langue arabe , et fait le» première» traduction» latine» d'Arislole. Mai» X. Jourdain , en remontant à la tource de celte opinion, croit qu'elle e»t erronée, ou du moin» qu'elle n'c»t pa» justifiée ; il peine que le traité de l'astrolabe d'ITerraann n'est pas une version d'un ouvrage arabe , mai» bien composé d'aprè» de» matériaux déjà publié», [liechtrchrs tur l'âge et l'origine dei traduction* latines d'Arittote, p. 1S8.)

Je rapproche ce »cntiraent de H.Jourdain du fait cité par Walli», parce qu'on en tire une induction favorable à l'opinion que j'ai déjà émi»e souvent , (avoir que tous le» écrit» »ur VAtaqui , tel» que ceux de Gerbert et de •es disciple», émanent de la même source que celui de Boèce et ne proviennent poiul directement de» ouvrage» arabe» emprunté» de» Sarraiina d'Espagne.

3 Ilac trouve dan» la bibliothèque de» dominicain» deS'-Itarc à Florence, «ou» le titre : Euclidit Grametriu eu m Commenta Adelardi; et dan» la bibliothèque Bodléienne «ou» celui de : Euclidit elementa cum scholiit et diayrammatit latini reddita per Adelardum Bathonientem. La bibliothèque royale de Pari» en possède aussi une copie (n* 7213 de» manuscrit» latin»;, l/'nc autre, qui a appartenu à Rcgiomontanu» . »c trouve dan» la bibliothèque de Nuremberg.

>ou» ne aavon» sur quelle autorité H. Jourdain »e fonde, au tujet de cette doctrine de V Abaque, ni si clic portait précisément sur le système de Y Alucus de Boèce et de Gerbert. Co point historique est d'une grandiimportance , parce que tous le* travaux d'Adhélard ont eu pour objet de faire connaître le* ouvrage» philosophique* et mathématique* de* Arabe*, dont il reconnaissait la haute supériorité sur les doctrines de la scolasliqoe du temps ; et nous serions porté il croire que s'il a écrit sur l'arithmétique, ce serait sur l'arithmétique même des Arabe», qui reposait bien sur le même principe de la valeur de pétition de» chiffre» , que le »y»tème de l'Abaque , mai» qui en différait, suivant nout , par l'usage du téro. Peut-être l'ouvrage d'Adhélard établissait-il lu transition du système de l'Abaque I celui des Arabes, et montrait il l'identité de* deux systèmes, dont le second néanmoin» était d'une application pratique plu» facile , et a remplacé le premier en prenant le nom d'.i/jorir- «s*». Cet ouvrage d'Adhélard pourrait donc être trèa-précieux . comme résolvant peut-être la question , encore irrésolue , de la véritable origine , parmi nou» , du »y»tème de numération en usage depuis cinq on »ix siècle».

livre de scientiis d'Alfarabius '. M. Jourdain pense que c'est aussi à Gérard de Crémone qu'on doit le traité de perspective d'Alhazcn. ( Recherche* critiquée eur les traductions latines d'Aristote, pag. 128.) Un traité d arithmétique, qui se trouve dans la bibliothèque Bodléienne sous le titre Algorismus matjistri Gerardi in integris et minutiis ï, serait-il aussi de Gérard de Crémone, qui, en effet, en rapportant d'Espagne une partie des connaissances scientifiques des Arabes, n'a pu négliger leur ingénieux svstéme de numération , à moins que déjà il ne fut bien connu des hommes qui se livraient à l'étude des sciences, ainsi que nous serons porté à le penser, en voyant dans le siècle suivant le grand nombre d'auteurs qui ont écrit sur ce système de numération ou qui s'en sont servis dans leurs ouvrages.

Trois autres hommes, contemporains d'Adhélard et de Gérard de Crémone, travaillèrent aussi à faire connaître les ouvrages mathématiques répandus chez les Arabes. Ce sont Platon de Tivoli ( Plato Tiburtinus) , le juif Jean de Séville, connu sous le nom Johannes Ilispalensis, et Rodolphe de Bruges ( Brughensis ).

Le premier traduisit de l'arabe les sphériques de Théodose, vers l'an 1120 ( imprimé en 1518); de l'hébreu, un traité de Géométrie de Savosarda 'j et divers autres ouvrages.

Jean Hispalensis traduisit les élémens astronomiques d'Alfraganus (en 1142, suivant G. J. Vossius et plusieurs autres auteurs ) , et divers ouvrages sur l'astrologie, au nombre desquels est un traité d'Albumasar qui se trouve en manuscrit dans la bibliothèque Magliahecchi sous le titre : Liber introductorii majoris in magisterio scientia Aslrorum, editione Albumazar et interpretatione Johannis Hispalensis ex arabica in latinutn. Cette version parait avoir été faite en l'an 1171, car elle se termine par ces mots, scriptus est liber iste anno domini nos tri Jesu Christi 1171. Elle est précieuse, en ce qu'elle contient des tables astronomiques en chiffres arabes4. Ce sont peut-être les plus ancieunes qui aient une date certaine. Jean Hispalensis a aussi laissé un traité d'arithmétique arabe sous le titre ù' Algorismus. C'est , jusqu'ici , le plus ancien traité d'arithmétique qui porte ce nom, que nous trouverons dans tous les ouvrages du XII* siècle. Ce traité commence ainsi : Incipit prologus in libro Algorismi de practicâ Arithmeticœ , qui editus est à Magistro Johanne Hispalensi. Il est très-complet; il comprend les sept opérations, addition , soustraction, duplation, médiaion, multiplication , division et extraction de racines, d'abord pour les nombres entiers, puis pour les fractions. On trouve à la suite, sans interruption , et de la même écriture , sous le titre :

' Fabriciua a formé une première liste de* traductions attribuée» a Gérard de Crémone. (Bit. med. et infimet lut., t. 3, p. 116.} fl. Jourdain en a donné une seconde presque double. L'ouvrage d'Alfarabius n'y estpaa compris C'est K. Libri qui Ta trouvé dans un manuscrit de la Bibliothèque royale , sous le titre : Liber AlfarnMi , de scientiis, translate! à magistro Gherardo Crtmonensi, in Teitto, ds arabic* sa /afin h m. (Histoire des sciences mathématiques en Italie, t. 1 , p. 173.)

3 Heilbronner, Uist. Math. , p. 801.

' LU* r Embadorvm a Sarosarda judao in hebraico composites , et a Platane Tilmrtino in Lait nu m sermentm translates. (In Bibliothecè S. Marci Dominicorum Florentin.) UW doit donner dan* le second volume de son Histoire des sciences mathématiques , une analyse de cet ouvrage important.

1 Targioni , Relasioni di alcuni Viogqi, etc. ,1 2, p. 87.

NOTES

Ex ce rp t ion et de libro qui dicitur Gebra et Mucabula ', un morceau d'algèbre i|ui paraît en faire partie. C'est la résolution des équations du second degré. On y résout plusieurs questions telles que celles-ci : Quel est le nombre qui, ajouté à 10 fois sa racine, donne 39? Quel est le nombre qui, ajouté à 0, égale 0 fois sa racine?

Cet ouTrage , qui parait être resté ignoré jusqu'ici , est précieux 3 , comme étant le plux ancien traité d'arithmétique arabe et d'algèbre qui soit connu. On avait regardé jusqu'ici celui de Léonard de Pise comme étant le plus ancien.

On doit à Rodolphe de Bruges la connaissance du Planisphère do Ptolcmée, qu'il traduisit de l'arabe , sur une version commentée par un auteur nommé Molsem. Le texte, grec ne nous est pas parvenu. L'ouvrage de Rodolphe de Bruges a été imprimé pour lit première fois en 1507, à la suite de la géographie de Ploléraéc ( Rome, in-folio): puis en 1530 s. Commandin en a donné en 1558 , une traduction plus correcte , accompagnée d'un commentaire qui est, en grande partie, un traité général de perspective; ouvrage écrit d'un style géométrique assez facile qu'on ne rencontre pas, généralement, dans ta nombreux traités de perspective qui ont paru dans les XVI* et XVII'' siècles.

Le Mil siècle marque une ère nouvelle dans l'histoire des sciences. Il prépare leur rétablissement en répandant la connaissance usuelle du système de numération arabe, de l'algèbre, et de plusieurs ouvrages importans de l'école grecque. Celte époque est presque féconde en écrivains ; on y trouve Jordan Ncniorarius, Léonard Fibonacci de Pise , Sacro-Bosco , Campanus deNovarre, A Ibcrt-le-Grand, Vincent de Beau vais, Roger Bacon, Vitellion, dont les noms sont restés célèbres et honorent le moyen âge.

Campanus traduisit sur un texte arabe et accompagna de commentaires les treize livres des élémens d'Euclide et les deux qu'on a attribués à Hypsicle *. C'est cet ouvrage qui a servi à répandre eu Europe la connaissance de la Géométrie. Il a été imprimé pour la première fois en 1482, et a eu plusieurs autres éditions. Pendant long-temps encore , après la renaissance des sciences , il a joui d'une grande estime; et les commentaires de Campanus ont été consultés par les géomètres qui ont écrit sur les élémens de la Géométrie,

< Le maintient dit Esceptionet de lièro gui dicitur Gleba et Afutabilia ; mai* cela provient probablement d'erreur* du copule.

9 Le* copie* en doivent être très-rares, car lea catalogue* de manuscrit* n'en indiquent aucune.

5 Avec le Planisphère de Jordan , et différente» autrea pièce* concernant l'astronomie, *ou* le titre général . sphartr atque aetrorum calestium ratio, naturel et motus ; Talderu* , Batileaa, 1538 , in— 1".

M. Delambre, dan* «on ffittoire de l'Astronomie ancienne (t. 2, p. 430), a donné à la traduction latine dr Rodolphe de Brugc* la date de 1544 , au lieu de 1144. Cette erreur a été cau»e que ce célèbre astronome «'est étonné qu'une traduction faite en 1544 »e trouvât dan* un ouvrage imprimé en 1536.

« Quelque* historien* ont pensé que cet ouvrage de Campanus n'était autre que la traduction d'Adhélard , « laquelle Campanus avait joint de* commentaire*. Voici comment s'exprime André* à ce *ujet , Soi [Campano) non traduite corne ti dice cornu nemente ; certo illustra con eomenti l'Euclide , tradotto primo dalt' Arabo in Latino ialV Inglese Atelardo Gelho, corne ha faite tedere il Tiraboschi [Dell' origine, de pregressi, e delto statu aituale d'ogni littérature. Partr I, cap. IX). Le titre suivant d'un exemplaire manuscrit de l'Euclide de Cunpanu* qui *e trouve a la bibliothèque royale de Pari», *ou* le n» 7813, vient confirmer celle opinion : Euclidis philosophi tocratici ineipit Hier Elementorum ortie geometrica Iran s la tus ab Arabica in Latinum per Adehrdum Gothum Batkonientem , tub comment» Magistri Campant IVotnrrieneis. (MS. du XIV' .iècle).

TSOTES.

tels que JLamberti , Lucas de Burgo , Peletier du Mans, Clavius, etc., et par les algébristes qui ont traité des quantités incommensurables, comme Slifeh dans son Arithmelica in tegra.

Nous avons dit , en parlant du passage de Boéce où nous avons cru apercevoir le pentagone étoile , que cette figure a été considérée expressément par Campanus, dans son commentaire sur la proposition 32e du premier livre d'Euclidc, et que c'est là que Bradvrardin , dans le siècle suivant, a pris l'idée de ses polygones égrédien* , dont il a donné une théorie assez étendue.

On trouve, â la fin du quatrième livre, deux propositionsde Catnpanus ', dont la première a pour objet la trisection d'un angle; et la seconde, l'inscription, dans le cercle, du nonagonc régulier. Ce second problème dépend de celui de la trisection de l'angle; et la solution que Campauus donne de celui-ci est remarquable par sa simplicité; elle se réduit, en pratique, à la construction d'une conchoïde de Nicoméde. En voici le principe: Que du sommet de l'angle, comme centre, avec un rayon arbitraire, ou décrive une circonférence de cercle, qui rencontrera les deux côtés de l'angle en deux points a ; b; que l'on mène un demi-diamétr.c perpendiculaire au premier côté, et que par le point h on mène une droite, de manière que sa partie comprise entre ce demi-diamètre et la circonférence du cercle soit égale au rayon ; et enfin que par le sommet de l'angle on tire une parallèle à cette droite, cette parallèle opérera la trisection de l'angle.

Campanus ne dit pas comment on déterminera la direction de cette droite issue d'un point de la circonférence, et dont la partie comprise entre le diamètre et l'autre partie de la circonférence, doit être égale au rayon. Peut-être était-ce là un problème dont il avait donné ailleurs la solution. On voit qu'elle peut s'effectuer, comme nous l'avons dit , par une conchoïde de Nicoméde. Ce problème a eu quelque célébrité vers la fin du XVII" siècle, parce qu'ayant été proposé publiquement avec deux autres, dans le Journal des Savant (août 1G76), il a été résolu par Viviani , dans son ouvrage intitulé : Enodatio problematum univerti* géométrie propositorum à Cl. et R. D. Claudio Comier*, canonico Ebredunetui, colle gialit eccletiœ de Ternant Prœpotito dignietimo. Prmmiëêû , hontm occatione, tentumenti* variit aq\ tolutionem illustrit veterum problemati» de anguli trisectione (Florentin, 1077, in-4°). Viviani fil voir, par une démonstration géométrique très-simple , que les trois points où la conchoïde rencontre la circonférence du cercle, et qui répondent aux trois solutions du problème de la trisection de l'angle, sont sur une hyperbole équilatére.

On sait que la section d'une droite en moyenne et extrême raison, joue un grand rôle dans la théorie des quantités incommensurables du dixit-mc livre d'Euclide, dans son treizième livre, et dans la théorie des corps réguliers. Les nombreuses propriétés de cette division d'une droite n'ont point échappé à Campanus , qui les a signalées comme étant admirables, et dérivant de quelque principe digne de l'attention des philosophes2. C'est cette

1 Dan» l'édition de 1537 l Bailc , in-fol.), qui comprend tout le» ouvrage» d'Euclide qui non» iont pâment» , ce» deux proportion» «ont placée» i la fin du volume.

7 ViraMIit ilaqut tst potenlia lineœ secundum pnpertior.evi ha^nletn mtdium daeifut l'Xtrtma divitir.

NOTES

division que Lucas de Burgo a appelée proportion divine , dans son ouvrage qui a pour titre: Divina proportione, etc. , et dont il a détaillé treize effet ti . ou utilités. Aujourd'hui ces propriétés sont peu connues, parce qu'on ne voit dans la division d'une droite en moyenne et extrême raison, que la résolution d'une équation du second degré qui doit renfermer toutes ces propriétés. Cela est vrai de celles qui sont purement analytiques, mais les plus remarquables et les plus nombreuses sont celles qui naissent de considérations géométriques. Elles mériteraient qu'on réunît de nouveau toutes les propositions qui s'y rapportent, comme quelques géomètres ont fait à l'égard de la division harmonique d'une droite Ce serait assurément un recueil de propositions intéressantes, qui donneraient lieu à de nouvelles découvertes sur le même sujet, et à quelques relations semblables et d'une plus grande généralité *.

Campanus cite, dans une notequi est àla suite delà première proposition du quatorzième livre (le premier des deux d'Hypsicle), Aristée et Apollonius comme ayant démontré cette proposition, que le* turface* du dodécaèdre et de l'icotaèdre régulier* inscrit* dan* la même tphère tont entre elle* dan* le rapport de* volume* de ce* deux corpt. L'ouvrage d'Aristée , dit-il , était intitulé : E.vpoeitio teientiœ quinque corporum, et celui d'Apollonius avait pour objet la Comparaùon du dodécaèdre et de l'icotaèdre. Au commencement de la proposition dixième du même livre, qui est précisément celle que nous venons d'énoncer, Campanus prononce encore les noms d'Aristée et d'Apollonius. Les ouvrages de ces deux géomètres célèbres de l'antiquité ne nous sont point parvenus ; et peut-être étaient-ils inconnus aussi de Campanus , qui a pu en parler d'après Hypsicle qui les cite à peu près dans les mêmes termes , au commencement de la seconde proposition de son premier livre. Dans sa préface, Hypsicle avait déjà parlé longuement d'Apollonius et de son ouvrage De dodecahedri et Icotahedriin câdem *phœrâde*criptorum comparatione. Il parait qu'on n'a fait attention généralement qu'à ce passage; car on ne cite ordinairement que l'ouvrage d'Apollonius, et nullement celui d'Aristée, et je ne vois que Ramus

Cui cm M plttrima philoeophantium admiration* (ligna conveniant, hoc principium rtl pracipuum es tuperiorum principiorum invariabili proeedit natura , ut iam divtrsa tolida tum magnitudine tum basium numéro ,tum etiam figuré ,irrationali quadam tymphonia rationabiliter concilitt. (Lib. XIV, propotilion 10.)

1 De ts . I : v , Tractatus do proportione harmonica. Paru, 1658, in-4».— Saladini , Délia proporsione onuiitca. Bologne, 1761, in-8*.

3 P»r exemple : la division d'une droite en moyenne et extrême raison, se réduite a trouver entre deux pointa donné* A, B, un troisième point C, tel que l'on ait ÂC = AB. CB : un moyen facile de généraliser cette question, c'est de la regarder comme dérivant d'une autre , dan» laquelle on a supposé qu'un point de la droite proposée a disparu en passant à l'infini. Soit I ce point ; le point cherché C devra satisfaire , par rapport aux trois pointa donné* A , B , I , à l'équation :

ÏÏ\'"ÏB? = CB.CI.BA.tA.

En effet, si l'on suppose le point la l'infini, l'équation se réduit a la première ci-destu*.

Cette équation a cela de remarquable, que chacun des quatre point* qui y entrent y joue le même rôle par rapport aux trou autre*; et que, quel que soit celui des quatre points qu'on suppose a l'infini, l'équation résultante exprime toujours la division d'une droite en moyenne et extrême raison.

To*. XI. 65

NOTES

qui ait mis ce dernier au nombre de ccui qui ont écrit sur les cinq corps réguliers. Les historiens des mathématiques ne parlent de lui qu'au sujet de ses cinq livres à'Élétnen* conique*, et de ses lieux géométriques . dont Viviani , comme on sait , a donné une divination.

Du reste, il n'est pas étonnant qu'Aristée ail écrit sur les cinq corps réguliers ; car cette théorie a été fort cultivée, et en grand honneur dès la plus haute antiquité des sciences chez les Grecs. Pythagorc en avait fait le principe de sa cosmogonie , dans laquelle les cinq corps réguliers répondaient aux quatre élémens et à l'univers ce qui a fait qu'on les appelait les cinq figures mondaine* [figurœ mundanœ *). Platon adoptait ces idées 3 , et avait aussi cultivé cette théorie * ,sur laquelle Theatètc, l'un de ses disciples, passe pour avoir écrit le premier s. Ensuite, on trouve donc Arislée, puis Euclide, Apollonius et Hypsicle 6. Ce dernier cite dans ses deux livres, Isidore-le-Grand , son maître, de qui il avait appris ce qu'il savait sur cet objet. Ces cinq corps réguliers ont joué un si grand rôle dans l'antiquité , par suite des idées pythagoriciennes et platoniciennes , qu'on les regardait comme étant le but final auquel étaient destinées et l'étude et la science des géomètres 7.

Pappus nous apprend "■ qu'Archimède a cherché à étendre cette théorie , et que ne pouvant former plus de cinq polyèdres réguliers, il en avait imaginé d'un nouveau genre, qu'on a appelés semi-réguliers : leurs faces étaient, comme dans les cinq premiers, des polygones réguliers, mais non tous semblables entre eux. Ces nouveaux corps étaient au nombre de trciie. Pappus en a donné une description très-claire, que Kepler a repro-

' Le cube représentait la terre; le tétraèdre , le feu; l'octaèdre, l'air ; l'icosaèdrc, l'eau; et le dodécaèdre l'univers. (Plutarque, Placit phUos., liv. II , cap. 6.)

» Proclut, Commentant!* in Kuclidem, lib. Il, cap. 4.— Kepler, harmonica mundi liber secundua , p 68. 5 Timéc, 3« partie — Plutarque, Ptatonicœ questiones.

* Papput, Collections mathimati^es , livre 6, a la luite de la proportion xvn. — Proelua, in Euclidem , lib. 11, cap. -I.

5 Theatrtus, Athenitntis , Archytm todalis , Géométrie a auxit, primusque de quinque sotidis tractavit ut Laertius et Proclut produnt. (Ueiibronncr , Itistoria matheseos , p 140.)

* On n'est paa d'accurd sur l'époque où a vécu flypsicle que le* uns placent dan* le tecond tiède de notre ère , et le* autres dan* le second siècle avant J.-C, un peu après Apollonius. C'est celte accoude époque que nous avons adoptée en parlant d'Euclidc; nous avoua dit qu'Hypsicle lui était postérieur de près de lôO ans.

Ce fut la lo sentiment de Bernardin Baldi, dans sa Cronica de matematici, p. 37, et de Vossius, qui pensa qu'HypsicIc avait vécu vers te temp» de Ptolémée Lathyre ; et Isidore-le-Grand, son maître, dont il parle dans ses deux livres , sous Ptolémée Physcone. Cet Isidore-le-Grand pourrait être , suivant Vossius , celui que cite Pline dans sa Géographie. (Vossius , De scientiis mathematicis , p. 328.)

Le savant médecin Hentel , dans la préface de sa traduction latine du petit ouvrage astronomique d'Hypsiclc, intitulé Anaphorieus tire de Ascensionibus ; Paris 1657—4' ; et récemment 9. Delambro (Histoire de l'astronomie ancienne , t. I", p 246) , et I. Franchini (Saggio delta storia dette matematùhe , p. 146), ont placé aussi Hypsicle vers l'an 148 avant J.-C. Mais fabricius (ItiUiotheca grœea, t. II , p. 01) , et d'après lui , Weidler, Ueiibronncr , Hontucla et Lalande l'ont fait naître dans le second siècle de notre ère.

7 fl'ihil in antiqud GeometriA spteiosius ri su m est quinque cennribut ordinalis, eorumque gratùl Geometriam , ut es Proclo, initia, dictum est, inventa esse veteres illi crediderunt. (Ramus, .ScAaJorsJW matkematicartim , liber \\\.)

* Collections mathématiques , livre 6 , à la suite de la proposition 17.

NOTES

duite, en donnant les figurée qui s'y rapportent , dans le second livre de son Harmonie du Monda. Les historiens passent sous silence ce travail d'Arcbimcde : il est vrai qu'il est , par sa nature, bien inférieur aux outres découvertes de ce grand homme. 11 eût été plus digne du génie d'Archiméde . puisqu'il voulait aller au delà d'Euclide et des autres géomètres, dans cette théorie des figures régulières, de créer les nouveaux polvèdres étoiles , qu'a décrits M. Poinsot, et qui forment la véritable extension dont cette antique et célèbre théorie était susceptible.

Revenons à Gampanus. Lucas Gauricus, astronome et astrologue napolitain, a mis au jour, au commencement du seizième siècle , sous le nom de ce géomètre , un traité De tetragonitmo , eeu Quadratura circuli1; et depuis, quelques auteurs ont répété que Campanus a écrit sur la quadrature du cercle. Mais l'ouvrage dont il s'agit ne dénote qu'ignorance dans son auteur, et est absolument indigne de porter le nom du savant interprète d'Euclide. L'auteur prend pour base de sa quadrature le rapport " de la circonférence au diamètre, « tecundùm ijuod pleriaue mathematici ecripserunt et Juxta phyiicam veritatem» ;et, en passant par quelques propositions intermédiaires, il en conclut que le côté du carré qui est égal en surface à un cercle, est 5 fois et i la septième partie du diamètre du cercle. De sorte que D étant le diamètre, l'air du cercle serait -7-1 — ) , au lieu de — •

Sacro Bosco a dû une longue célébrité à son traité De ephœrâ mundi, qui est un extrait de l'Almagcste de Ptolémée , et qui pendant plus de 400 ans a servi dans les écoles à enseigner l'astronomie. Imprimé pour la première fois en 1472 à Ferrare , il a eu depuis au moins cinquante éditions. Un grand nombre d'auteurs des plus célèbres , tels que Purbach , Regiomontanus, Elie Vinet, Glavius, etc., l'ont éclairci par des notes ou des coniuicijloircst

Mais il est important de remarquer ici, pour so faire une idée vraie de l'état de la science alors, que cet ouvrage ne contenait que les notions les plus élémentaires de Ptolémée; il faisait connaître les cercles de la sphère, les phénomènes du mouvement diurne , et disait quelques mots des éclipses. Ge n'est que deux siècles plus tard que l'on fit un pas de plus dans la connaissance de l'Almageslc , et que Purbach expliqua la théorie des planètes, qui en est la partie la plus importante et la plus difficile.

Sacro Bosco a laissé sous le titre De Àlgorismo,ua traité d'arithmétique écrit en vers. C'est notre arithmétique actuelle 2 : Sacro Bosco l'attribue aux Indiens. Il la divise en 9 parties, qui sont: Numération, addition, soustraction, médiation*, duplation".

1 Tttragoniemue , id est circuli quadratura per Camynnum , Arthtmtdem Syracusanum atyut Orntium , nathematira pcitpicacissimos adinventa. Venctiii , 1503 , in-4».

9 On ■ do même temps, un autre traité d'arithmétique écrit aussi en vers latins, par Alexandre de Villedieu. (Voulus, De êcUntiû mathematici* , p. 40. — Daunou, Histoire littéraire de la France , t XVI, p. 113.)

' Division par deux.

4 Multiplication par deux. Cette opération et la médiation ont été comprises dan» let ouvrages du \ M tiède, dan» les régie* générale* de la multiplication et de \* division ; de sorte que let traités d'arithmétique n'ont plut eu que sept chapitres au lieu de neuf. (Voir la Au m mu de arilkmelica de Lucas de Burgo )

ol6

NOTES

multiplication , division, progression et extraction des racines carrées et cubiques. Pendant très-long-temps , les traités d'arithmétique se sont composés de ces 9 chapitres : on les trouve encore dans des ouvrages du XVI" siècle.

On a de Sacro Bosco quelques écrits sur l'astronomie , où les calculs sont faits en chiffres arabes. Ces pièces et le traité de l'algorisme sont restés manuscrits. Les chiffres de Sacro Bosco sont l'origine des nôtres ; on suit très-bien dans les manuscrits des XIV" cl XV siècles, et môme dans plusieurs ouvrages des premiers temps de l'imprimerie, les petites altérations successives qui leur ont donné définircment la forme actuelle.

On doit à Jordan Némorarius :

1" Un ouvrage d'arithmétique en dix livres, qui est un traité sur les propriétés des nombres , imité de ceui de Nicomaquc et de Boéce. Cet ouvrage a été imprimé avec des commentaires de Fabre d'Étaples ( Faber Stapulensis ) en 1406, et a eu depuis plusieurs autres éditions.

2° Un traité d'arithmétique pratique, dans le système arabe, intitulé Algorismu* . qui est resté manuscrit.

3° Un traité du planisphère, qui a été imprimé en 1507, 1530 et 1558 avec celui de Ptolémée. C'est dans cet ouvrage que se trouve démontrée pour la première fois dans toute sa généralité, cette belle propriété de la projection sléréographique qui est le fondement de la construction du planisphère, savoir que : tout cercle se projette suivant un cercle. Ptolémée n'avait démontré ce théorème que pour des positions particulières du cercle de la sphère mis en perspective, parce que cherchant partout lu clarté et la facilité, comme le dit Proclus au chapitre X de son Hypolypose, il n'introduisait daus ses ouvrages et n'y démontrait que les propositions géométriques qui lui étaient absolument indispensables.

Ptolémée faisait la projection sur le plan de l'équateur, l'œil étant placé au pôle, Jordan l'a faite sur le plan langent à la sphère mené par le second pôle. Depuis, Maurolycus et les autres géomètres l'ont imité. Nous remarquons ces légères différences entre l'ouvrage de Jordan et celui de Ptolémée, parce qu'elles sont, pour l'époque, de véritables Minorations qui marquent les premiers pas de l'esprit de recherche et d'invention qui était rare au Mil siècle, où les intelligences avaient assez à faire d'acquérir les connaissances que les Arabes leur livraient.

La dénomination de projection stéréographique , que l'on a dounée à la projection employée par Ptolémée dans son planisphère, est moderne; elle est due à Aguilon qui l'a proposée et s'en est servi dans son optique '.

La projection sléréographique jouit d'une propriété très-remarquable , qui consiste en ce que l'angle de deux cercle* tracés sur la sphère , est égal à l'angle des deux

' Â)mtl$n« Opticormm libriitx. P.ri* ICI S, in-f».

" Quart tamrtti >•. t**oe>*ra!Ct» Matin* nmtqnam reentum hoc projection it gtnut reperimm ; quià tawun *<c alto tjuidtm ullo niilum tst apptllari , plaçait hoc nomen uturjmrr , quod uotiit in prasinli tins est ad rem ipsam quàm masimt accommodatum > (tn pr«f*tione)

ISOTES.

cercle* en projection. Ce beau théorème n'a pas été aperçu par Ptoléméc ni par Jordan '. L'ouvrage le plus ancien, à la connaissance de M. Delambre, où il se trouve, est le traité de navigation de Roberston (1754). (Voir Traité d'astronomie , t. III. ) Il existe un traité manuscrit De triangulis de Jordan

Il avait aussi écrit trois livres De geometriâ , que Vossius suppose devoir se trouver dans la bibliothèque du Vatican 3 , et qu'a possédés aussi la bibliothèque de l'académie de Lcipsick 4.

Ramus lui attribue la démonstration de l'élégante formule pour l'aire du triangle en fonction des côtés5. Nous ne savons dans quel ouvrage Jordan l'a donnée; M. Venturi ne l'a pas trouvée dans son traité De triangulii*. Cette démonstration est la même que celle que Léonard de Pisc a donnée dans le même siècle , dans sa géométrie pratique. Elle parait être d'origine arabe, car elle se trouve dans l'ouvrage des trois géomètres, fils de Musa ben Schaker, et dans celui du juif Savosarda.

Jordan a aussi écrit sur l'optique, et sur la mécanique 7.

Albert-le-Grand , ainsi nommé, dit Montucla , soit à cause de sa réputation , soit parce que son nom propre qui est Grott, signifiait grand dans le langage du temps, avait écrit sur l'arithmétique, la géométrie, l'astronomie et la musique. Ces ouvrages ne nous sont point parvenus. Il ^fut célèbre par son habileté en mécanique. Cet écrivain , d'une fécondité étonnante , avait une connaissance étendue des ouvrages arabes.

Roger Bacon, l'un des plus puissans génies du moyen âge, occupe le premier rang parmi les promoteurs de la renaissance générale des lettres et des sciences. Il contribua particulièrement aux progrès des mathématiques en montrant dans plusieurs de ses 011rrages8 le rang qu'elles tiennent dans l'ensemble des connaissances humaines, et les secours qu'elles peuvent procurer dans toutes les recherches scientifiques , dont elles sont le fondement. Son optique contient, comme tout le monde sait, de sa vans aperçus et des découvertes réelles en théorie, et l'invention de plusieurs instrumens devenus de la plus haute utilité.

Ses connaissances en astronomie lui firent reconnaître les erreurs du calendrier, dont il conçut la réformation. Le calendrier qu'il calcula, et qui est resté manuscrit, se distingue par sa correction et par l'usage des chiffres arabes, qui sont les mêmes que ceux de Sacro Bosco.

1 Août avon* dit dan* noire cinquième Époque que la projection ttéréographique jouit d'une autre propriété atset belle, concernant la détermination du centre d'un cercle en perspective ; et que le* principe! de cette projection , transporté* aux aurfacet du lecond degTé , forment aujourd'hui uno méthode de recherche en Géométrie rationnelle.

» Ce traité te troure dans la bibliothèque de» Dominicain* à florence (Montfaucon , Bib. bib.) ; dan* celle de la Tille deBa»le(Ha5nel,ca/o'o<T», etc.), et dan* la bibliothèque royale de Pari» (o' 7378. A.). 3 De seientiis matkematicis , p. 333.

* C. Cetnet , Bibliotheca unirersalis ,etc , t. II, fol. 77 V».

* Sehola nathemathica ; à la luile du lirrc XXII»

« Commentari sopra ta storia t U ttori* diU'otlica. Comraenlario It ; del Traguardo , cap. xxx. 7 Jordani de pondtribvs proposition™ XIII et démonstration»*. Korimbergae, 1531 , in-4

* Spécula mathematica. — Opu* IU a jus ,- quatrième, cinquième et liiième partie*.

NOTES

Vitellion a laissé un savant traité d'optique, imité de celui de l'arabe Alhaseo,et qui est remarquable , surtout pour l'époque où il parut, par les principes de bonne Géométrie de l'école grecque, sur lesquels il repose.

Tout le premier livre est consacré à la Géométrie. L'auteur y a réuni les propositions dont il aura à faire souvent usage dans la suite, et qui ne se trouvent pas dans les élémens d'Euclide. Quelques-unes sont prises des coniques d'Apollonius que cite Vitellion. D'autres qui concernent la division harmonique d'une ligne droite, sont dans le genre de celles qu'on trouve dans le septième livre des collections mathématiques de Pappus. D'autres cnûu sont dans le genre de celles qui se trouvent dans le traité De inclinationibtu d'Apollonius. Mais il n'est pas fait mention de cet ouvrage, ni do celui de Pappus.

Vitellion, en citant les élémens d'Euclide et les coniques d'Apollonius, ouvrages avec lesquels il parait familiarisé, nous montre, d'une part, qu'une autre traduction d'Euclide que celle de Gampanus alors trop récente, était déjà en circulation en Europe, et ensuite que le fameux traité des Coniques y était aussi déjà connu. On avait pensé qu'on n'avait commencé à le connaître que 200 ans plus tard , vers le milieu du XV* siècle où Regiomontanus en méditait une édition '.

Un autre écrivain, contemporain de Vitellion, Peccam, archevêque de Cantorbéry, a aussi laissé un traité d'optique; mais qui est moins savant que celui du géomètre polonais.

Vincent de Bcauvais n'est point un auteur original ; mais son spéculum mundi, recueil immense , qui a reçu le nom A' Encyclopédie du XI 11* siècle, mérite d'être cité comme donnant une idée de l'état où les sciences se trouvaient à cette époque , si l'on n'y comprend pas, toutefois, les progrès notables qu'elles ont faits dans ce siècle même. On trouve dans cet ouvrage des extraits d'Euclide, d'Arislote, de Vitruve qui avait paru jusque là inconnu dans le moyen âge, de Boèce , de Cassiodore, d'Isidore de Séville, d'Alfarabius, d'Avicenne et de divers autres auteurs arabes.

Vincent de Bcauvais dit qu'Alfarabius 3 distinguait huit sciences mathématiques , qui sont l'arithmétique, la géométrie, la perspective, l'astronomie, la musique, la métrique ou la science des poids et mesures, et la science des esprits (c'est-à-dire la métaphysique). Il n'v a là que sept sciences ; la 8" qui est omise, est l'algèbre, qu'Alfarabius avait placée après l'arithmétique. Vincent de Beauvais n'en parle pas non plus dans la suite , ce qui fait penser qu'alors l'algèbre avait à peine pénétré en France, ou du moins qu'elle n'y était connue que dans le cercle restreint d'un très-petit nombre de mathématiciens.

Notre svstéme de numération est exposé très-clairement avec le zéro, sous le titre A! AlgorUmus.h* Géométrie se réduit aux définitions et à quelques notions élémentaires. Ce qui nous prouve que les matières sur lesquelles roulaient les savans ouvrages de Sacra Bosco, de Gampanus, de Jordan, de Vitellion, étaient encore toutes nouvelles, et que la connaissance n'en était point parvenue à Vinceut de Bcauvais.

1 Muntuola, tliêtoirc dts malhématù/uts , l. I, p. 248.

- Alfarabiut fut l'un de» arabe» le* pli» célèbre» du X' «iècle , aurtout comme géomètre et aitronome. Dam le catalogue de ici nombreux ouvrage» on en remarque un dont le titre : NUh% feticitatuwt, ëtu dùciplinarmm uaihematicarum ThcsauruM , prouve tout le prix qu'il attachait à la culture de* mathématique*.

NOTES. 519

Si nous avions suivi l'ordre chronologique, dans notre examen des écrivains du XIII*siècle, nous l'aurions commencé sans doute par Fibonacci, appelé communément Léonard de Pise , dont le Liber Abbaci porte la date de 1202. Mais cet ouvrage a eu une telle influence sur la direction qu'ont prise les sciences mathématiques au XVe siècle, que nous avons voulu le distinguer spécialement de ceux dont nous avons parlé jusqu'ici. Ceux-ci appartenaient à l'école grecque, quoique ce soit par l'entremise des Arabes, et dans leur langue, qu'ils aient pénétré en Europe. Ceux de Léonard de Pise, au contraire nous paraissent être d'origine Hindoue, quoiqu'ils aient passé aussi par la main des Arabes. C'est de là que provient le caractère qui les distingue des autres.

Léonard Fibonacci a voyagé, comme on sait, en Orient; et à son retour a fait paraîtra un traité d'arithmétique et d'algèbre , commençant par ces mots : Ineipit Liber Abbaci compatittu à Leonardo filio Bonacci Pisano , in anno 1202. L'arithmétique est notre système actuel , avec le xéro ; Fibonacci l'attribue aux Indiens :

« Novem figura Indorum hœ tunt :

VIHI, VIII, VII, VI, V, mi, III, II, L

9, 8, 7, fi, 5. 4, 3, 2, 1.'

cum ht» itaque nocem figuris et cum hoc signo o quod amhicè zephirum appeltatur, srribitiir qiiilibet tiumerits, etc. » 2.

Le traité d'algèbre que Fibonacci appelle, comme les Arabes , J/gebra et Âlmuchaha. s'étend jusqu'à la résolution des équations du second degré , et de quelques autres qui se réduisent à celle-là. Il est une imitation de cette partie de l'algèbre, traitée par Mohammed ben Musa, qui était élémentaire, et en quelque sorte populaire au IX" siècle chez les Arabes. Fibonacci y fait des application de celte science à la Géométrie. Et c'est là le premier exemple et l'origine, chez les mathématiciens européens, de l'introduction de l'algèbre dans les démonstrations et les spéculations de la Géométrie. Cette alliance de deux sciences qui avaient été si distinctes chez, les Grecs, forme le caractère propre de l'ouvrage de Fibonacci, où non-seulement elle se trouve mise en pratique, mais où elle

I Ce» chiffre» re»«emb!ent à ceux de Sacro Bosco que beaucoup d'auteur* ont rapporté» dan» leur» ■ {Voir particulièrement Heilbronner et Mon tue la.} Ou retl bre de manuscrit» latin* de» Mil* et XIV» «iècle* ont toujour* la l

-' On toit que pretque tou» le» auteur» du XIII' siècle , Fibonacci , Jordan, Sacro Bosco , Vincent de Beeuvai», Alexandre de Villedieu , Roger Bacon, ont écrit sur le système de numération arabe , ou plutôt indien. Cela prouve évidemment que depui» long-temp» ce système était déjà connu et pratiqué de» mathématicien»; et que le* recherche* i faire pour fixer la date de ton introduction en Europe, dont l'honneur ne pent être attribué à Fibonacci ni à aucun de* autre* écrivain* que noua venons de nommer, doivent remonter au delà du XIIIe siècle. On ne peut croire en effet que les écrivain* du «iècle précédent, qui avaient rapporté d'Espagne de nombreuse* traduction* de* principaux ouvrage» de* Arabe* , n'y aient pa* comprit leur système de numération, tant pour lui-même que parce qu'il devenait indi»pen»able pour traduire leur* tables et autres ouvrages astronomiques , tel* que ceux d'Ariachel, d'Alfraganus , etc.

Et en effet nous avons déjà cité un traité d'Algorismc qui parait être de Gérard de Crémone , et un autre de Jean Hispalensis Ce» deux écrivain* ont vécu dans le Xll* siècle.

NOTES

est exprimée formellement comme tenant à la nature même des deux sciences, qui doivent se prêter de mutuels secours ;car dans sa préface, Fibonacci dit : Et quia arithmetica et Geometriœ teientia *unt connexœ, et tuffragatoriœ »ibi ad invicetn, non potett de numéro plena tradi doctrina, nui interantur geometrica quœdam , tel ad Geometriam tpectantia; et il ajoute que souvent les règles et les opérations de l'algèbre tirent leur évidence et leurs démonstrations des figures et de considérations géométriques. Ensuite l'auteur annonce qu'il traitera avec plus d'étendue de ce qui concerne la Géométrie, dans un livre de Géométrie pratique qu'il a composé.

Cet ouvrage divisé en huit chapitres est intitulé : Leonardi Pitani de filiit Bonaeci Practica Geometriœ , comporta anno MCCXX. Il est resté manuscrit, de même que le traité d'algèbre. Bernardin Raidi nous apprend queCommandin avait préparé une édition de ce traité de Géométrie, mais qu'il est mort sans avoir pu réaliser ce projet >. Édouard Bernard, savant géomètre et astronome anglais du XVII" siècle, devait comprendre le traité d'algèbre dans le septième volume de la magnifique collection qu'il avait préparée des ouvrages des mathématiciens anciens 2.

Fibonacci avait laissé aussi un traité de* nombres carrés, qui , d'après ce qu'on en peut juger par des passages de la tumma de arithmetica , etc., de Lucas de Burgo, et de l'arithmétique de Cardan , qui le citent, roulait sur l'analyse indéterminée du premier et du second degré. Les formules dont ces deux géomètres font usage diffèrent de celles de Diophanlc, et sont les mêmes que celles que l'on trouve dans les ouvrages indiens , à l'exception toutefois qu'elles ne résolvent point des questions aussi difficiles et aussi générales que dan» ces ouvrages indiens. Nous devons regarder ce traité de Fibonacci comme une copie de quelque ouvrage arabe, emprunté lui-même de ceux des Hindous.

Ainsi, en somme, les écrits de Fibonacci, qui au XVI" siècle ont été le modèle et le fondement de ceux de Lucas de Burgo, de Cardan et de Tartalea, avaient une origine purement arabe, et primitivement hindoue. C'est donc une opinion erronée, sur laquelle il faut revenir , que nous avons dû notre savoir et nos progrès dans les sciences , directement et exclusivement aux ouvrages des Grecs.

Les ouvrages de Fibonacci, dont on reconnaît aujourd'hui toute l'importance, sont cependant encore inédits; les manuscrits en sont très-rares; et le traité des nombres carrés est déjà perdu, depuis une soixantaine d'années. C'est le sort réservé aux traités

' Cronica de mntematici , p. 88

- Celle collection devait avoir 14 volume* ; le détail de* ouvrage» qui (levaient y entrer *e IrotiTc dan» U RiUiotheca yrœca Je Fabriciu-. (lib. 3, cap. 23)

On remarque dan» le volume VI , deitiné a l'algèbre , le titre mirant d'un outrage de Thebil ben Corah , qui montre bien l'alliance intime que le» Arabe* avaient établie entre l'algèbre et la Géométrie, qui forme le caractère propre de leur icience mathématique : Tkabtti tractatus de vtritate proposition** algtbricorum oVmo»stralionibut Gcometricii aditruenda , cum aliit traelatibut tgrtgiit , qnm Geirieam arlem tpectant. Arabicé et latine

Le* immente» et prérieux matériaux préparé» par Éd. Bernard ont paué aprèt »a mort dan» la bibliothèque Bodléicnnc. On a lieu de «'étonner qu'une au»»i belle et autti utile entreprise n'ait pai reçu »ou exécution, dan» un pay» où le» «cicncc* ont trouvé touvenl de noble* et généreux encouragement.

NOTES

d'algèbre et de Géométrie, si l'impression ne vient proraptemcnt nous assurer la conservation de ces monumens si précieux de l'histoire scientifique des Européens '.

Le XIV» siècle paraît arec moins d'éclat que le XIII* , dans l'histoire du moyen âge; «v sut", parce qu'en effet les productions neuves et importantes qui rendent célèbres les noms de Fibonacci , de Sacro Bosco, de Gampanus , de Jordan , de Vitellion, de Roger Bacon , demandaient à être méditées et étudiées silencieusement pour être bien comprises et porter leur fruit. Toutefois le XIV" siècle, trop peu connu encore, nous semble avoir rempli sa tâche; les études mathématiques ont continué d'être cultivées, et elles ne se sont point réduites à la simple reproduction ou à 1 imitation de quelques ouvrages arabes: de premiers efforts ont été faits pour appliquer les connaissances acquises, et pour aller au delà ; les esprits ont été préparés à la lecture des textes grecs et au mouvement rapide et général qui a produit , dans le siècle suivant, le renouvellement des sciences.

Le premier tiers du XIV4 siècle nous offre un homme qui a eu une grande célébrité par son savoir en philosophie, en mathématiques , en théologie et dans la littérature arabe, Thomas de Bradwardin, archevêque de Cantorbéry. Nous avons fait connaître la savante théorie des polygones égrédient que ce géomètre imagina, sur la simple donnée du pentagone étoilé de Gampanus. Cette théorie était véritablement une conception nouvelle, qui doit faire honneur au XIVe siècle. Elle se trouve, comme nous l'avons dit, dans un traité intitulé : Geometria tpecutativa, qui a été imprimé en 1406, et a eu depuis plusieurs autres éditions 2. Cette date de 1 406 parait avoir induit en erreur les historiens des mathématiques, Bernardin Baldi, Heilbronner et Montucla, qui ont placé l'auteur à la fin du XV* siècle; et c'est peut-être là la cause pour laquelle on n'a pas fait attention jus-

1 «Le* penonnes qui ne se sont pas spécialement occupées de recherches historique*, ne miraient s'imaginer

» combien de manuscrits précieux ont été détruits, même dans ces derniers temps Après de »i coupable*

» négligence*, comment ose-t-on parler encore de la destruction des manuscrit* an moyen ige ? Sou* peine de m paner pour de* barbare* aux yeux de la pottérité , il faut arrêter une telle d<Ta»lation. » (Hùtoire dis teitnee* mathématique i en Italie , t. I, p. ij).

Itou* nou* faitona un devoir de répéter ce* paroles de 9. Libri ; nous voudrions qu'elle* eussent souvent de l'écho. Bai* on aent que le devoir qu'elle* commandent n'est point celui de «impie* particulier* ; mais bien celai des gouvernetnens désireux de contribuer aux progrè* deitciencet et au développement de l'intelligence humaine. L'impression de quelque* rnanuterit» auxquel* «'attache un intérêt »cientiGque et historique, de même que la reproduction dan* la langue nationale de quelque* ouvrage* étrangers , serait de leur part une digne et utile coopération , peu coùteu*e du re*te , aux travaux de* homme* qui »e vouent à l'étude.

Une leconde me»ure à prendre, pour arrêter la de»truction de* rareté* littéraire* ( telle» , par exemple , que le* production* du XVII- «iècle , qui disparaissent ton* les jours) , serait l'établissement d'une bibliothèque spéciale destinée aux sciences ; bibliothèque en quelque sorte historique . où se trouveraient réunies, par «iècle*, toute* le* production* du «avoir et du génie , et qui deviendrait un centre où chacun «e ferait un devoir et un bonheur de porter «es petites propriétés particulières, qu'on laisse perdre aujourd'hui parce qu'on ne sait réellement a quoi le* réunir pour le* rendre utiles et leur assurer une conservation durable.

3 Dans un manuscrit de la bibliothèque royale (n* 7308 , copie du XIVe siècle) *e trouve une pièce intitulée dan* le catalogue, Fraamentvtn elementvnim Geometria, où nou» avon» reconnu des pasiagesde la Géométrie de Bradwardin. La théorie de» polygone» ègridientj est; mais on ne trouve dans les figures que le pentagone de seconde espèce et l'eplagone de troisième eipèce, qui y «ont appelé*, comme dan* l'ouvrage imprimé, pentagone du yremitr ordre , et eptagone du second ordre,. Le* antre* polygone* égTédiens n'y sont pas représentés.

Ton. XI. 66

NOTES

qu'ici à son outrage; car le rajeunir ainsi de plus d'un siècle et demi , c'était en diminuer le mérite. Pour l'époque où il fut écrit, il nous parait remarquable , non-seulement par la théorie des polygones égrédiens, mais encore par plusieurs autres, parmi lesquelles on dislingue quelques propositions sur les figures isopérimélres. Voici l'analyse de cet ouvrage :

Son second titre est : Brève compendium artit Geometriœ à Thoma Bravardini ex libris Euclidis, Boetii, et Campant peroptimè compilation. L'auteur aurait dû nommer aussi Arcbimédc et Théodose , qu'il cite souvent, et de qui il a fait plusieurs emprunts, pris du livre De quadraturâ circuit du premier, et des Sphêi iquea du second.

L'ouvrage est en quatre parties :

La première comprend les définitions , les axiomes et les postulata qui sont en tête des élémens d'Euclidc; et la théorie des polygones égrédiens.

La seconde partie traite des triangles, des quadrilatères, du cercle, et des figures isopérimètre» , dont Euclide n'a pas parlé dans sa Géométrie , ainsi que le remarque Bradwardin. Mais on sait que daus l'école même de Pythagore cette théorie a été ébauchée ; et que Zénodore, disciple de ce philosophera laissé sur cette matière un écrit, destiné à combattre ce préjugé vulgaire que les figures do contours égaux avaient des capacités égales. Cet ouvrage , le plus ancien des écrits géométriques des Grecs qui nous sont parvenus, a été conservé par Tbéon dans son commentaire sur l'Almageste Pappus a traité aussi cette matière, au commencement <lu cinquième livre de ses collections mathématiques. Bradwardin ne dit pas si les propositions qu'il démontre sont prises de cet ouvrage, ou de l'Almageste, ou bien s'il les a imaginées de lui-même. En voici les énoncés :

Première proposition. — De tout les polygones isopérimètres , celui qui a le plus grand nombre d'angles est le plus grand en surface.

Seconde proposition. — De tous les polygones isopérimètres d'un même nombre d'angles , le plus grand est celui gui a ses angles égaux.

Troisième proposition. — De tous les polygones isopérimètres gui ont le même nombre de cotés et leurs angles égaux, te plus grand est celui gui a set côtés égaux.

Quatrième proposition. — De toutes les figures isopérimélres , le cercle est la plus grande. L'auteur ajoute que la sphère jouit delà même propriété parmi les solides.

La troisième partie de l'ouvrage traite des proportions et de la mesure des aires du triangle, du quadrilatère, des polygones et du cercle.

Bradwardin dit que l'aire du cercle est égale à celle du rectangle construit sur la moitié de la circonférence et la moitié du diamètre , pour côtés. 11 conclut cette proposition de celle d'Archimède qui est la même, en d'autres termes, cl qu'il emprunte, sans démonstration, du livre De circuli guadraturâ , où elle est énoncée ainsi : Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon de ce cercle , et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce

' Clatiu* l'a reproduit dan* »on commentaire tur la iphère de Sacro Bo»co.

NOTES. 523

même cercle. Bradwardin ajoute que le rapport de la circonférence au diamètre est — : «hoc ut habetur ab eodem Archimenide ' in prœdicto libello (De guadraturâ circuit.)»

La quatrième partie traite des figures à trois dimensions , des places , des angles solides , des cinq corps réguliers et de la sphère.

Le chapitre de la sphère est une collection de diverses propositions sur les cercles tracés sur cette surface , que Bradwardin dit avoir prises du livre des ephdriqnet de Théodose.

Enfin on trouve un petit traité particulier sur la quadrature du cercle, qui est intitulé : Tractatut de quadraturâ circuli editut à quodam archiepiecopo ordinit fratrum minorum. Ce traité est précisément le même que celui que Gauricus a attribué à Campanus. D'après ce que nous en avons dit, on pensera qu'il ne doit pas plus porter le nom de Bradwardin que celui de Campanus.

Une idée de Bradwardin , fruit des premières lueurs de la philosophie platonicienne qui commençait à pénétrer en Europe, mérite d'être remarquée. C'est que cet écrivain chercha , le premier , à appliquer la méthode géométrique à la théologie ; et répandit de la sorte les premiers germes de cet esprit d'indépendance qui ne tarda point à se faire sentir dans les cloîtres et les couvens; et qui, cultivé avec plus de succès dans le siècle suivant par un autre prince de l'église, le cardinal Nicolas de Cusa , philosophe platonicien, secoua le joug de la scolastique du moyen âge, et aboutit à la philosophie moderne.

Continuons l'histoire du XIVe siècle. Pediasimus, au commencement de ce siècle, a écrit sur la Géométrie et la géodésie; le moine Barlaam a laissé un traité d'arithmétique, et un traité d'algèbre en six livres, intitulé : Logieticœ libri VI y écrit en grec 3, quoique l'auteur fût italien ; mais il avait été résider en Orient pour apprendre la langue grecque. Une version latine du traité d'algèbre a été imprimée en 1572 (Strasbourg, in-8°), puis en 1608 (Paris , in-4°) , avec des scolies de Jean Chamber. Le traité original est peutêtre le plus ancien ouvrage d'algèbre qui nous soit parvenu , après celui de Fibonacci , qui lui est antérieur de plus d'un siècle.

Killingworth a laissé des tables astronomiques, et un traité d'algorisme.

Simon de Bredon a commenté l'AlmagesledePtolémée », et a écrit sur l'arithmétique.

Isaac Argyrus, moine grec, a calculé des tables astronomiques, et a écrit sur l'astrolabe ; sur l'arithmétique, De extraction* radici» quadraticœ quadratorum irrationalium ; sur la géodésie , Compendium geodœtiœ eeu de dirneneione locorum methodu* brevi* ac tuta; et sur différentes parties de la Géométrie, De inventions quadrangularium laterum ; Theoremata de triangulie; De dirneneione triangulorum aliarumque figurarum : De figurù non rectanguli* ad rectangulat reducendi*.

1 Bradwardin appelle Areh imcdc A rch imenidt s.

a Delambre, en rendant compte do livre de cet ouvrage «roi »e rapporte aux calcul* astronomique» , a placé l'auteur avant Bède , en diiant toutefois que l'on ignore l'époque précise où il a vécu. Cette inadvertance est singulière, car Barlaam est un personnage encore célèbre dans l'histoire littéraire et politique du XIV- siècle.

* Ed. Bernard devait comprendre cet ouvrage dans le t. Vllf de sa collection dont nous avons parlé pins haut. Il l'intitule : S*f*r <Umomtration»$ aliquat Almuyviti : Otvi niHcni.

Aucun de ces écrits n'a élé imprimé ; nous regrettons de ne pouToir dire quel en est l'objet, ni ce qu'ils offraient, dans le temps où ils ont paru, de neuf et d'utile. Edouard Bernard devait en comprendre un, en grec et en latin, sous le titre : De figurarum transmutatione , dans sa collection des auteurs anciens.

Paolo di Uigomari , connu sous le nom de Paolo dell Abbaco, a écrit sur l'algèbre, la Géométrie et l'astronomie, et fut aussi un littérateur distingué, qui a mérité d'être cité à côté de ses célèbres contemporains le Dante et Pétrarque.

Monlucla place au XIV0 siècle Biagio di Parma qui écrivit sur l'arithmétique, la Géométrie, l'astronomie et l'optique, et qui fut un homme distingué dans son temps. Lucas de Burgo le cite parmi quelques auteurs modernes dont les ouvrages lui ont été utiles pour composer sa Summu de Àrithmetica, etc. Mais il le place immédiatement après Léonard de Pise , et avant Sacro Bosco et Prosdocimo dcPadoue, ce qui nous porterait à croire que ce géomètre l'a regardé comme étant du XIII' siècle ;car il a observé, du reste, l'ordre chronologique dans renonciation des autres noms qu'il cite. Ce sont parmi les Anciens, Euclide et Boèce , et parmi les Modernes, Léonard de Pise, Biagio di Parma, Sacro Bosco et Prosdocimo de Padoue.

Ce dernier a vécu sur la fin du XIVe siècle et dans le commencement du XV"; il a calculé des tables astronomiques, et écrit un livre De algorithmo , où Monlucla suppose qu'il a traité de l'algèbre {Histoire des Mathématique* , t. II, p. 716); mais cet ouvrage est probablement un simple traité d'arithmétique pratique, comme tous ceux qui portent le même nom d'algorisme ; d'autant plus que Bernardin Baldi ne cite Prosdocimo que comme ayant écrit sur l'arithmétique , et non sur l'algèbre. Du reste, le traité De algorithmo a été imprimé en 1483. C'est peut-être le premier ouvrage sur notre système de numération que l'imprimerie ait mis au jour. Le Compendium arithmetices Boetii de Fabre d'Elaples a bien été imprime en 1480 ; mais cet ouvrage ne roule que sur l'arithmétique spéculative, ou théorie des nombres, qui est indépendante de la manière de les représenter en se servant de quelques-uns seulement pour exprimer tous les autres '.

Cossali, dans son histoire de l'Algèbre2, cite plusieurs autres Italiens qui ont écrit sur cette science dans le XIV" siècle. On y voit que Guillaume de Lunis avait traduit l'algèbre de Mohammed ben Musa, sous le titre La Reyola delC aUjebra. Nous avons dit, en parlant de la Géométrie chez les Arabes, qu'on avait eu dans les XIIIe et XIVe siècles plusieurs autres traductions latines de cet ouvrage, dont l'une a élé reproduite par M. Libri dans le premier volume de son Histoire des sciences mathématiques.

L'astronomie a été la science la plus cultivée dans le cours du XIVe siècle, où l'ou

1 Le traité De algorithmo de Proidoeimo nom parait offrir de l'intérêt , parce qu'il confirme l'opinion de W allia tur l'identité de la lignification de* mot» obtient et algorismu* , dont il pentait que le aecond avait remplacé le premier dan* le* dernier* temp* du moyen âge. Walli» ayant lu dan* un manuscrit de la Bib. Bodléieone que Hermann Contractu* et Pro*docimo avaient écrit *ur l'alacut , ajoute que cela aignifie , *ou* un autre nom , algoritmus, ou *y*tème de numération arabe. Le titre de l'ouvrage de Poadocimo , que Walli» ne connaioait pa*, juttifie pleinement ton opinion.

3 Storia critica ftW origine , traiporU e primi progressi in flotta d'elf Atgebra. Parme , 1797 ; 2 vol. in-l».

NOTES

trou un grand nombre d'astronome»; la plupart ont laissé des traités de l'astrolabe. Nous n'avons point eu à les nommer, parce qu'il paraît qu'ils n'ont pas écrit particulièrement sur la Géométrie.

On voit, par ce qui précède, que les connaissances mathématiques chei les chrétiens du moyen âge, se sont formées lentement depuis le VIIIe siècle jusqu'à la fin du XIVe, d'abord de quelques notions superficielles empruntées primitivement des Grecs et transmises parBoèce, Cassiodore et Isidore de Séville, et ensuite des ouvrages véritablement sa vans , que vers le XII4 siècle on a tirés de l'Espagne et traduits de l'arabe en latin. Ceux-ci paraissent aujourd'hui , d'après les citations que nous avons faites , avoir été en très-petit nombre; car après avoir trouvé des traductions d'Euclidc, de Théodose, de Ptoiémée, d'Alhazen,de Mohammed ben Musa, nous avons auguré seulement, de quelques passages de l'optique de Vitellion, que les coniques d'Apollonius étaient connues, mais nous n'avons eu à citer aucune traduction de cet ouvrage important, ni de ceux d'Ârchimède, de Héron, de Ménélaus, de Pappus, de Serenus, de Proclus. Cependant nous ne pouvons croire que les ouvrages de ces géomètres grecs , dont il existait de nombreuses traductions arabes, n'aient pas pénétré chez les chrétiens d'Europe aux XIIe et Mil' siècles, en même temps que les élémens d'Euclide. Et en effet il existe des traductions latines de quelques-uns '. Mais leur rareté, et le silence gardé sur les géomètres qui en ont été les auteurs , ou qui s'en sont servis, prouvent que ces ouvrage ont été peu connus , et que les sciences mathématiques, à la fin du XIVe siècle, étaient encore dans l'enfance , en comparaison de l'état florissant qu'elles avaient atteint dés les premiers temps de l'école d'Alexandrie chez les Grecs , et dès le IXe siècle chez les Arabes 2.

Mais au XVe siècle, qui est l'époque de la renaissance générale des lettres, des scien- »v niai, ces et des arts, en Europe, les sciences mathématiques reçurent une impulsion nouvelle et féconde qui prépara rapidement les grands progrès qu'elles firent dans le siècle suivant. Cette impulsion fut provoquée par la connaissance des ouvrages grecs que l'on étudia pour la première fois dans leur langue originale, et dont on prépara aussitôt des traductions qui firent connaître dans toute sa pureté la Géométrie d'Euclide , d'Archimède, d'Apollonius, et des autres grands écrivains de l'antiquité.

Ces premiers pas étaient déjà un progrès notable dans l'étude des sciences, qui suffirail seul pour rendre célèbre le XV* siècle. Mais en même temps, un autre élément scientifique, en quelque sorte étranger aux connaissances des Grecs , l'algèbre indienne qui languissait depuis bientôt 300 ans en Europe, sans qu'on parût y faire attention, fut reproduite de nouveau; ses usages furent enseignés, et son importance mise dans

1 Particulièrement dan* le manuscrit de U Bibliothèque royale intitulé: Malhematica (supplément latin, n° 40, in-foi.) M. Libri a donné dan* son Histoire des sciences math. Sn Italie , t. I'T, p. 285, la lUte de* ouvrage* qui *e trouvent dan» ce volume.

9 U faut convenir tootefoi* que non* oonnaiatan* trè»-imperiaitement l'histoire dn moyen ige , que l'on a négligée ju*qu1ici , tout occupé que l'on a été, depuis le XV» tiède , d'étudier la littérature et le* science» grecque* , et de puiier aux toorce* incomparablement plu* précieuse» qu'elle* non* ont offerte» , pour établir le» fondement de no» connai**ance*.

NOTES

tout son jour. L'alliance entre elle et la Géométrie, que Fibonacci avait prescrite, ne fut plus une idée stérile, mais un principe mis déjà en pratique. Enfin quelques ouvrages originaux, premiers essais du génie, et premières applications des connaissances empruntées des Grecs et des Arabes , viennent encore contribuer à l'éclat du XV* siècle. Ajoutons que l'invention de l'imprimerie, qui prit naissance au milieu de ce siècle, apporta un secours immense et merveilleux aux efforts do l'esprit humain entravé et rebuté auparavant par la rareté et la défectuosité des manuscrits. Cette invention mémorable était le complément, en quelque sorte, d'un autre grand événement du XV* siècle, la prise de Constantinople qui livrait à l'Europe les arts, la littérature, U philosophie et les sciences de la Grèce ancienne '.

Nous allons passer rapidement en revue les géomètres à qui sont dus les premiers travaux d'où datent nos progrès dans les sciences.

A leur tête on trouve Purbach, et surtout son célèbre disciple Regiomontanus.

Le premier est connu surtout comme astronome, et comme auteur du livre des Théorique» de» planitet*. Cet ouvrage était une suite de la sphère de Sacro Bosco, destiné à compléter la connaissance de l'almageste de Ptolémée, que Purbach avait débarassé des calculs et des démonstrations géométriques. Ensuite Purbach entreprit une traduction sur le texte grec, récemment apporté en Europe par le cardinal Bessarion, do la partie géométrique de cet ouvrage de Ptolémée. Cette traduction , qu'une mort prématurée l'empêcha de terminer, fut continuée par Regiomontanus, et parut à Venise en 1496, sous le titre : Ptolemei .4lexandrini attronomorum principù in magnant conttrurtionem Georgii Purbachii , ejtuque diteipuli Johannis de Regiomonte aetronomicon epitoma. Venctiis , 1496 , in folio.

Les deux savaus traducteurs substituent dans les calculs trigonométriques de Ptolémée, les *inu« anx corde*, ainsi qu'avait fait Albategnius, et après lui les autres écrivains arabes ; mais ils conservent les expressions , et ne font pas usage des tangentes

qu'Ebn Jounis avait connues et qu'Aboul Wefa avait introduites dans la trigonométrie 500 ans auparavant. Plus tard Regiomontanus les imagina, à son tour, et en fit une table connue sous le titre de table féconde , qu'il lui donna.

Regiomontanus est un des hommes les plus remarquables que présente l'histoire des mathématiques. L'universalité de ses connaissances, la fécondité extrême de son esprit infatigable et le nombre de ses productions, peuvent le faire regarder comme le véritable restaurateur des sciences en Europe. Ces productions comprennent, d'une part, les principaux ouvrages des grands géomètres de l'école d'Alexandrie, Euclide, Archimède, Apollonius, Ménélaus, etc. , que Regiomontanus, le premier, lut dans leur langue ori-

1 Plu»ieur» autre* événement contemporain» , comme la découverte de l'Amérique, du Cap-de-bonne-E«ptfranec et de* Inde* Orientale* , qui amrna le perfectionnement de l'attronomio , de l'optique , de la Géométrie, vinrent contribuer auiti a l'activité générale de* e*prit* , et il l'impultion forte que reçut la culture de* *cience* à cette époque.

3 Thtorica Ptanttarum, imprimé pour la première foi* a Venite, in-+>, 1488, 28 an* «prè» la mort de lenteur ; et réimprimé depui* , un grand nombre de foi* , le plu* touvent avec de» commentaire*.

NOTES

ginale et dont il avait fait des versions plus correctes que celles qui nous venaient des Arabes; et, d'autre part, les propres découvertes de Regioroontanus. Parmi celles-ci on distingue surtout son traité/)* trianguli* omnitnodit libri (juitujue (Norimhcrgœ, 1533, in-folio). Cet ouvrage est un traité complet de trigonométrie plane et sphérique. Les deux premiers livres sont pour les triangles rectilignes; ils renferment une foule de problèmes qui paraissent pour la première fois. Il s'agit toujours de déterminer, au moyen de trois données quelconques, les autres parties d'un triangle. Ainsi par exemple, dans le problème 7 du livre II, on donne le périmètre et deux angles d'un triangle; dans le problème 12 du même livre, on donne la base, la perpendiculaire et le rapport des deux cotés. Regiomonlanus dit que ce problème n'a pas encore été résolu par la Géométrie '. Et il y applique l'algèbre, qu'il appelle art rei et cmtut; elle le conduit à une équation du second degré ; et il ajoute quod restât prœeepta artit edocehunt 2. On voit par là que Rcgiomontanus possédait la connaissance do l'algèbre , qu'il avait acquise soit par l'ouvrage de Léonard de Pise, qu'il avait pu consulter en Italie; soit par les traductions de l'algèbre de Mohammed ben Musa ; et cela n'est point étonnant , car un esprit vaste et pénétrant comme celui de Regiomontanus ne pouvait ignorer une invention aussi belle et aussi utile, l'un des plus précieux dons que nous aient faits les Arabes; mais ce passage offre de l'intérêt, parce que ses termes prouvent que déjà, ▼ers le milieu du XVe siècle , la connaissance des régies de l'algèbre était répandue et vulgaire parmi les mathématiciens. Et en effet Regiomontanus, qui fait encore usage souvent de la régie rei et centtu , dans ses lettres que le célèbre bibliographe De Murr a publiées3, écrit à l'astronome Blanchinus, qu'il pense que cet art lui est

1 La tolution de ce problème par la seule Géométrie n'offrait pai de difficulté, et je ne sais pourquoi Regiotnontanu* a cru devoir y employer nécessairement l'algèbre. En effet d'après l'énoncé de la question, le sommet du triangle cherché se trouvera d'abord sur nne droite parallèle à la base donnée , et ensuite sur une circonférence de cercle, qui est le lieu des points dont le* dUtaacet aux deux extrémités de la base sont entre elle* dans le rapport des deux côtés.

Cette proposition était connue des Anciens : Pappus l'énonce comme l'une de celle* qui se trouvaient dan* le second livre de Lieux plant d'Apollonius, et Kutocius l'a démontrée au commencement de ses commentaire* sur le* coniques de ce géomètre, pour donner un exemple des lieux géométriques qui servaient anx Ancien* dan* la solution des problème*. Elle se trouve dans le Trusté * connues géométriques de l'arabe Hassan ben Ilaitem (1" livre, proposition 9) Chex les Modernes nous la trouvons dans le livre De proportionibvs numrrorum , motuum t etc., de Cardin ; puis dans un ouvrage d'Alexandre Anderson (voir notre note III sur le* porismes) ; dans les IHscorsi e dimosirazioni matematiche , etc. (p. 39) de Galilée ; dans les Lieux plans d'Apollonius , restitué* par Fermât , Schooten et A. Simson; dans la Dioptriqu» de Huygens, et dans beaucoup d'autres ouvrage» 31 Legendre l'a comprise dan* ses élémen» de Géométrie.

3 La base étant 20, la perpendiculaire fi, et le rapport des deux côtés - , Regiomontanus prend pour l'inconnue la différence des deux segmens faits *ur la base par la perpendiculaire; et il arrive, par des considération* géométriques , à l'équation 20 ceii.ro* plu* 2000 atquale* 680 rébus ; c'e»t-à-dire 20 *:,-+-2O00=880 x.

Dan* le problème 23 , où il s'agit de construire un triangle dont on connaît la différence des deux côtés, la perpendiculaire , et la différence des segmen* qu'elle fait sur la base , Regiomontanus emploie encore la règle rei et etnsus. Hou* avons dit, en parlant de la Géométrie de* Indien» , que ce problème »e trouvait résolu dan* le Lilavati de Rhascara.

3 Dans le premier volume de son recueil intitulé : MemorabMa BMiothecarum publiearum iVorimborgennum et univerritatis Âltdorfinm Norimbergss, 1780, 2 vol. in-8».

NOTES

tris-familier l ; et celui-ci, en effet, s'en sert aussi dans ses réponses à Regiomontanus. Les litres III , IV et V traitent des triangles sphériques.

Le livre III est dans le genre des sphériques de Ménélaus. Le litre IV renferme une trigonométrie complète ; et le litre V divers problèmes qui sont résolus pour la première fois. On y remarque cette proposition, qui correspond à une propriété des triangles plans connue des Grecs , savoir que : L'arc de grand cercle qui dieise en deux également l'angle au sommet d'un triangle sphérique, fait sur la base deuxsegmené dont les sinus sont entre eux comme les sinus des côtés qui comprennent l'angle.

Regiomontanus a écrit un traité d'arithmétique pratique qu'il appela Algorismus demonstratus. C'est l'ouvrage que Schoncr a imprimé en 1534 sous le titre Algoritkmus demonstratus; changeant ainsi le mot algorismus en algorith m us , parce qu'il pensait que l'ouvrage de Regiomontanus, dont il avait trouvé une copie, avait dû être intitulé par ce géomètre algorithmes , ce mot provenant, dit-il, du mot grec olu'vjx, altéré par les Surrauns. Schoner ignorait donc que le mot algorismus était consacré depuis plusieurs siècles, comme on le voit par les ouvrages de Sacro Bosco, de Vincent de Beauvais, etc., pour désigner notre système de numération 2; et qu'ainsi c'était à dessein que Regiomontanus l'avait employé. Cet outrage , que nous avons déjà eu occasion de citer plusieurs fois, est très-remarquable sous un rapport dont nous n'avons point eu encore à parler ; c'est qu'il fait partout usage de lettres au lieu de quantités numériques suivant la coutume du temps; et ces signes abstraits, qui constituent la forme des sciences mathématiques modernes, sont employés même pour exposer le système de numération , et pour démontrer les régies de l'arithmétique pratique. Si une mort prématurée n'avait enlevé Regiomontanus dans la première période d'une carrière si brillante , peut-être lui aurions-nous dû la grande conception de Viéle.

Dans le recueil de lettres que nous avons cité précédemment on remarque une solution trigonométrique de la question de construire avec quatre côtés donnés . un quadrilatère qui soit inscriptible au cercle. Nous avons donné, en parlant de la Géométrie des Indiens, une notice historique sur ce problème dont plusieurs géomètres se sont occupés dans le XVI* siècle.

Nous ne parlerons point des autres outrages de Regiomontanus, dont le nombre < -t très-considérable, mais dont la plupart, malheureusement, sont restés inédits. La liste s'en trouve dans plusieurs ouvrages dont nous citerons, comme étant les plus répandus, YHistoria matheseos de Ueilbronncr, et VIJistoria astronomiœ de VVeidler.

On concevra, à l'inspection de cette liste, d'autant plus étonnante que l'auteur a été enlevé aux sciences à l'âge de quarante ans, et que pendant sa courte existence il s'était

' Sed «une tam tliyi qvam vobit arbitrer fanMarissimam, per artem videlictt rei *t i nsu, quod quartbatù absolvendo, p. 94 du I" vol. du recueil cité.

9 U pièce ancienne mite au jour par Clichtovée loui le titre Opusculum dt praxi numerorum, qvod e/jorùmum rocant , et quelques autres , restée! manuscrite* (dont deux existent à la bibliothèque S"-Géneviè»e , et une, êit français, à la bibliothèque de l'Arsenal), disent que le mot aiaoritmui provient du nom d'an philosophe appelé Aigu». Bais on ne trouve aucune preuve de cette origine.

NOTES

livré principalement aux observations et aux calculs astronomiques, qu'il avait fait des éphémérides comprenant trente années, dans un temps où le secours des logarithmes manquait au calculateur, qu'il était habile mécanicien et qu'il dirigeait une imprimerie, on concevra, dis-je, que Ramus l'ait mis sur le même rang que les grands génies qui ont honoré la Grèce '.

Le cardinal Nicolas de Gusa, bien que ses œuvres mathématiques soient empreintes souvent de paralogismes qui leur ôtent aujourd'hui toute valeur, est cependant un des hommes qui ont le plus contribué au rétablissement des sciences, par l'importance qu'il leur reconnut et en les popularisant par l'usage qu'il chercha à en faire dans tous ses écrits, et même dans ceux qui se rapportaient à la théologie. Il suivait en cela l'exemple donné un siècle et demi auparavant par Bradwardin.

On cite Nicolas de Cusa surtout au sujet de sa quadrature du cercle , où il a eu le premier l'idée, en spéculations mathématiques, de faire rouler un cercle sur une ligue droite. On a cru voir dans cette idée les premières traces de la cycloïde, et Wallis s'est efforcé de faire remonter l'origine de cette courbe, devenue si fameuse dans le XVII' siècle, à Nicolas de Gusa ; lui reprochant toutefois de l'avoir crue un arc de cercle. Mais rien ne nous parait annoncer, dans l'ouvrage de ce cardinal, qu'il ait songé à considérer la courbe engendrée par un point de la circonférence qu'il faisait mouvoir sur une ligne droite; et, l'arc du cercle qu'il décrit sert seulement pour déterminer le point de la droite où venait se placer, après une révolution du cercle , le point de sa circonférence qui touchait d'abord cette droite. Il nous parait probable que l'auteur avait trouvé par des expériences mécaniques les principes de sa construction 2.

Le cardinal Cusa est resté célèbre dans l'histoire, pour avoir adopté les principes de la philosophie platonicienne qui prenait naissance, et surtout pour avoir eu l'honneur de ressusciter, le premier parmi les Modernes, le système de Pylhagorc sur le mouvement de la terre autour du soleil , renouvelé depuis avec plus de succès par Copernic et Galilée.

Le XV° siècle nous présente deux peintres célèbres Albert Durer et Léonard de Vinci , qui méritent d'être comptés aussi au rang des géomètres les plus savans de leur époque. Le premier a laissé un ouvrage de Géométrie destiné aux architectes et aux peintres, écrit en allemand et qui a été reproduit en latin sous le titre suivant, qui fait connaître l'objet

1 Noriberga ium Regiomontano fruebatur; mathematici indi et studii et operis gloriam tantam adepta,ut Tarentum Arckuta , Syracuta Arekimede, Bitantium Proclo, Alexandrie Ctesibio , non juetiut quâm Noriberga Regiomontano gloriaripotêit. (Se ho lie mathematicae , lib.2, p. 02.}

3 Le» écrit» mathématique» de Kicnla» de Cuta forment la troi»ième partie de le» Œuvre» complète» imprimée» àPari» en 1514, in-f°, et i Batle en 1505, in-f . Il» »e compotent de» pièce» auivantec 1 • De Geemttricii tranamutationibut ; 2» Dt antkmetieù complementit ; 3» Dt matkematieit compléments , 4> Dt quadraturâ circuit; 6> De rinibu* et chordiê ; 8" De uhû reeti curvùjve meneur, l , 7» Complementum tkeologicum figura tu m in compUmtntie matkematicù , 8» De matkematied perfection* ; 8» Reparatio calendarii ; 10» Correctio tabula-ru* Alfonsi ; II" Alia querdam es G aune in Cusam adjecta.

La plupart de ce* écrit» roulent »ur la quadrature du cercle , qui parait a»oir occupé constamment Jticola» de Cu»a.Dan* celui D* matkematicù complément** , l'auteur parle de» »ection» conique», et apprend à le» décrire aur le plan.

Ton. XI. 67

NOTES

de cet ouvrage : Inttitutionutn geometricarum libri quatuor, inquibu* lineat , superficie* et tolida corpora ita tractaoit , ut non matheteot *olum *tudio*i* , *ed et pictoribu* , fabri* œrariit ac lignarii* , lapicidie , *tatuarii* , et univerti* demùm qui circino, gnomone , libella, aut alioqui certà meuturâ opéra tua examinant, tint *umrnè utile* et nece**arii.

Dans le premier livre, Albert Durer apprend à décrire différentes lignes courbes; on y trouve plusieurs bélices planes, cylindriques, sphériques et coniques, la description de l'ellipse par rallongement des ordonnées du cercle dans un rapport constant; ou bien en la considérant comme la section d'un cône droit, que l'auteur appelle pyramide. Il apprend à décrire aussi les deux autres sections coniques, l'hyperbole et la parabole. C'est un des ouTrages les plus anciens chez les Modernes , qui aient traité des sections coniques.

On trouve aussi dans ce premier livre, la description par points, de l'épicycloïde engendrée par un point du plan d'un cercle qui roule sur une circonférence fixe.

Dans le second livre on trouve l'inscription des polygones dans le cercle, et différentes autres figures régulières formées par des arcs de cercle; puis une quadrature du cercle et la manière d'assembler dilTérens polygones pour remplir exactement une surface plane; on n'y voit point les polygones étoilés. Après avoir donné la construction du pentagone inscrit au cercle qui se trouve dans le premier livre de l'Almagcste de Ptolémée, Durer apprend à construire un pentagone régulier sur un côté donné; et sa construction a cela de remarquable qu'elle se fait avec une seule ouverture de compas ; mais clic n'est qu'approximative, et la figure, qui a conservé le nom de pentagone de Durer, n'a pas tous ses angles égaux ', ainsi que l'ont démontré J.-B. de Benedictis -, et Glavius3 dans le siècle suivant. Cependant à cause de sa facilité , la construction de Durer est employée par la plupart des architectes.

Le livre III traite des corps solides; des colonnes et des pyramides de différentes formes; et des lignes qu'on trace sur leurs surfaces , dans les arts ; de la construction des cadrans solaires, et de celle des lettres de l'alphabet.

Dans le cinquième livre, l'auteur donne la description des cinq corps réguliers, et de plusieurs autres corps formés par des polygones réguliers , mais non tous semblables entre eux, comme sont les treito corps semi-réguliers d'Archiméde. Puis on trouve plusieurs solutions de la duplication du cube; et cnGu un traité de perspective , dans lequel Durer a imaginé le premier instrument connu, pour faire la perspective mécaniquement sur un verre ou une toile transparente. C'est surtout pour cette partie que l'ouvrage de Durer est cité dans l'histoire des mathématiques.

Léonard de Vinci , l'un des plus grands peintres de l'Italie, fut un de ces génies rares qui manient avec une égale facilité tous les objets des connaissances humaines, et dont le nom se présente dans l'histoire de chacune d'elles. Il cultiva particulièrement les ma-

1 Chacun do angle» d'un vrai pentagone régulier est de 1C8 degré». Dan» le pentagone d'Albert Durer, deux angle» «ont de 107» 2'; dcui antre» de 108» 22', et le cinquième a 100* 18'. 3 Dirtrsarum sj/teulaliunum mathtmaticarum et physicarum f.iber ; Turin 18S8, in-f». ' Geometria practica , lib. vm, prop*. 28.

NOTES

thématiques, et les sciences qui en dépendent, telles que la physique, la mécanique rationnelle et pratique, l'hydrostatique, la musique, etc., persuadé, comme il ledit, qu'i'/ n'y a point de certitude dans le» teience» où on ne peut pas appliquer quelque partie de» mathématique», ou qui n'en dépendent pat de quelque manière. Vérité trop peu sentie de nos jours encore, malgré les progrès qua faits depuis trois siècles, la raison humaine.

Léonard de Vinci a laissé de nombreux manuscrits , où se trouvent répandues ses vues nouvelles et ses spéculations sur toutes les parties des sciences mathématiques : mais malheureusement ils n'ont point encore été étudiés ; et sont restés jusqu'à ce jour sans porter aucun fruit. M. Venluri, savant professeur de Bologne, devait en faire connaître les parties les plus importantes dans trois traités qui se seraient rapportés à la mécanique, à l'hydraulique et à l'optique. Malheureusement ce projet n'a pas reçu d'exécution. On doit seulement à M. Venluri la connaissance de quelques fragmens détachés des œuvres physicomathématiques de Vinci '. Dans le premier, intitulé : De la deteente de» corpt grave* combinée avec la rotation de la terre, on voit que le célèbre peintre admettait l'idée du mouvement de la terre, émise déjà quelques années auparavant, par Nicolas de Cusa dont les œuvres n'étaient point encore publiées.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur les travaux physico-mathématiques de Léonard de Vinci. Mais il est une de ses inventions en mécanique que nous devons distinguer ici, parce qu'elle se rapporte essentiellement à la Géométrie, et que nous la regardons comme le premier germe d'une théorie , peu cultivée depuis , et qui mérite néanmoins de fixer l'attention des géomètres. Nous voulons parler du tour à ovale, queLomazzo, élève de Vinci, lui attribue en ces termes : « Pinci fut autti l'inventeur du tour ovale . ouvrage admirable qu'un élève de Melzi apprit à Déni» , Frère de Maggiore, qui »'en terl aujourd'hui avec beaucoup <t adrette (Lomazzo, Trattato délia Pittura, p. 17.)

Or il nous parait que le tour à ovale , auquel les géomètres ont fait peu d'attention , car on n'en trouve nulle part la théorie mathématique, reposait sur une idée tout-à-fait nouvelle, concernant la description des courbes; et celte idée donnait lieu à une spéculation nouvelle en Géométrie.

Jusque là ou avait décrit les courbes par la trace d'un stylet mobile, imprimée sur un plan fixe: Vinci conçut leur description d'une manière inverse, c'est-à-dire au moyen d'un slylel fixe qui imprime sa trace sur un plan mobile. Tel est l'office du tour à ovale, qui sert à décrire l'ellipse.

Quel mouvement fallait-il donner au plan mobile, pour obtenir ainsi une ellipse? Telle est la question qu'a dû se proposer Léonard de Vinci. Elle était, comme on voit, d'un genre tout nouveau ; cl ce célèbre peintre a su découvrir, parmi une infinité de solutions dont elle était susceptible , la plus simple incontestablement; elle se réduit à donner au plan mobile le mouvement d'un angle de grandeur constante, dont les deux côtés glissent

1 Entai ivr le* ouvrages phytico-mathimatvptet de Léonard de Vinci, arec dee fragment tirée de tes MUM» crilt. Pari», an V, io-4«.

ÔZ2

NOTES

sur deux points fixes. L'histoire de la science serait intéressée à connaître les considérations de Géométrie qui l'ont conduit à ce beau résultat.

Malgré tout l'intérêt que cette question, considérée comme moyen nouveau et général de décrire les cou rhes, devait offrir,et dans les arts, et comme pure spéculation géométrique, elle n'a fait presqu'aucun progrèsjusqu'àce jour.Si nos recherches historiques à ce sujet ne uous induisent point en erreur , uous croyons qu'elle n'a fixé l'attention que d'un seul géomètre, le célèbre Clairaut,qui l'a traitée dans un mémoire lu en 1740 à l'académie des sciences. Après avoir signalé le nouveau mode de description des courbes dont le tour à ovale offrait le seul exemple connu, Glairaut dit qu'il avait supposé d'abord que la courbe décrite sur ce tour devait être une conchoïde du cercle, mais qu'il n'a pas tardé à reconnaître qu'elle est une vraie ellipse d'Apollonius. Puis il fait deux applications de ce nouveau mode de génération des courbes. Il suppose dans la première qu'un cercle roule sur une droite; et dans la seconde qu'un cercle roule sur un autre cercle. Un stylet fixe imprime sa trace sur le plan du cercle mobile, et celle trace forme une courbe dont Glairaut cherche les équations. Sa solution est entièrement analytique, cl les équations auxquelles il parvient contiennent même des intégrations qui ne sont pas effectuées. Dans un seul cas les intégrales disparaissent et l'on reconnaît la spirale d'Archimède.

Ainsi , sous le rapport géométrique, Glairaut a laissé cette question intacte; c'est-à-dire que les diverses propriétés géométriques de ce mode de description des courbes, ses rapports avec la description ordinaire par un point mobile, et la manière de substituer un mode de description à l'autre, pour produire la même courbe, sont encore des questions neuves.

Ces questions nous paraissent, tant sous le rapport théorique qu'à cause de leurs applications aux arts, mériter d'entrer dans les spéculations de la science. Nous y reviendrons dans un autre écrit. Pour le moment nous renvoyons à la Noie XXXIV, où se trouvent quelques dévcloppemens sur cette théorie , qui offre un exemple assez remarquable de dualité. Nous nous bornerons a ajouter ici que de celle théorie il résultera , sans calcul , que les courbes dont Glairaut a trouvé des expressions algébriques forl compliquées , qui ne lui ont permis de reconnaître la nature que d'une seule d'entre elles, la spirale d'Archimède, sont tout simplement des épicycloïdes. Les unes peuvent être engendrées par un point mobile lié fixement à une droite qui roule sur une circonférence de cercle ; et les autres, par un point du plan d'une circonférence de cercle qui roule sur un cercle fixe.

J. Verner n'a pas été un écrivain d'un esprit aussi vaste et aussi fécond que Léonard de Viuci et Régiomontanus, les deux plus grands hommes du XVe siècle que nous avons nommés. Mais, considéré comme simple géomètre, il nous parait devoir être placé immédiatement après Régiomontanus. Ses ouvrages ne sont point l'imitation ou la reproduction des ouvrages grecs, comme c'était l'usage dans ces premiers temps de la culture des sciences; mais ils sont le fruit des propres idées de l'auteur et porlcnt avec le cachet de l'originalité, celui d'une excellente et solide Géométrie.

Dans un livre qui a été imprimé en 1522, Verner traite des sections coniques, de la

NOTES

duplication du cube, et du problème d'Archimédc où il s'agit de diviser une sphère par un plan en deux parties qui soient entre elles dans uu rapport donné '. Une quatrième partie de l'ouvrage est consacrée ù l'astronomie \ Nous avons déjà parlé, dans notre III* Époque , du petit traité des coniques, qui, outre l'avantage d'être le premier qui ait paru en Europe, avait aussi celui de reposer sur une méthode différente du i-elledcs Anciens. Ter Mr considérait les coniques dans le cône, et se servait des propriétés de ce solide pour eu déduire, d'une manière très-facile, celles de ces courbes. Méthode rationnelle , qui a été mise en usage aussi , ">Oans après, par Maurolycus et sur laquelle ont reposé ensuite les ouvrages de Desargues, de Pascal et de Dclahire.

Verner avait composé plusieurs autres écrits qui n'ont point vu le jour. Ucilbronncr en donne la liste dans son histoire des mathématiques ( p. 513). On y remarque un traité des triangles sphériques, en cinq livres, et un autre sur les applications de la trigonométrie à l'astronomie et a la géographie; un traité d'arithmétique et un de gnomonique, et un ouvrage intitulé : Travtattu retolutoriut qui propè pedisequu* exittit lihrit Datorum Euclidit , qui parait, d'après ce litre, se rapportera l'analyse géométrique des Anciens. Peut-être, faisant suite aux données d'Euclide, était-il dans le genre des porismes. {Foir notre opinion émise à ce sujet dans la Note III.) Nous serions curieux de connaître cet ouvrage de Verner.

Il nous reste à parler de Lucas Paccioli , connu généralement sous le nom de Lucas de Burgo, dont l'ouvrage principal appartient à la fin du XV* siècle et peut être regardé comme l'origine de l'école italienne qui a produit Cardan et Tartalea , et qui a contribué si puissamment à donner aux sciences mathématiques la forme nouvelle qu'elles ont prise, dès la renaissance , et qui résultait de l'alliance de l'algèbre des Hindous et de la Géométrie des Grecs. Cet ouvrage est intitulé : Summa de Artthmetica . Geometria , Proporlioni e Proportionalita. Il a été imprimé pour la première fois en 1 494 par Paganiuo de Paganinis de Brescia , et a eu une seconde édition en 1523. Nous avons eu occasion de le citer souvent , et de «lire déjà 1 influence qu'il a eue sur le renouvellement des sciences ; aussi nous nous bornerons à en donner ici une analyse briève, dont nous nous dispenserions même si cet ouvrage était moins rare et plus connu.

Il est divisé eu deux parties principales : l'une, relative à la science du calcul, comprend l'arithmétique et l'algèbre, et l'autre traite de la Géométrie. Les ouvrages dont l'auteur annonce s'être servi pour composer le sien sont ceux d'Euclide, de Boèce, de Léonard de Pisc, de Giordano Biagio de Parme, de Sacro Bosco, et de Prosdocimo de Padoue.

1 Eutocius, dam «on commentaire *nr le second livre de la sphère et du cylindre, a rapporté le* solution» de ce problème données par Dionytidore et par Dinclca.

3 Libellas super tiyinti duolus eu mentit conicis. — i.ommrntarius , seu parapkraslica tnarrutio in undccim modot conpcisndi rjus proUcmatis ovod cuti duplicatia dicitur. — Commentât^ in Dionysidari prabltwa . <juo data spharra piano sut datd rations sscatur. Alius moàus idem prvbttma canficiendi ai eodem Vernira noviitimi compertus , demonstratusque. — Demain oc ta va sphcei-r trac ta tus duo , ut et summa ria enarrntio M rurica motus cc/orcr spharra 3orimberg*e , 162Ï , in-4'.

NOTES

La première partie est un traité complet de l'arithmétique spéculative, qui considère le» propriétés de» nombres, et de l'arithmétique pratique.

L'arithmétique spéculative est dans le genre des ouvrages de Nicomaque, de Théon,de Boèce et de Jordan Ncmorarius. Mais elle est terminée par une partie sur les nombres carrés, qui ne se trouvait pas dans ces ouvrages et qui est très-remarquable. C'est une suite de questions qui appartiennent aujourd'hui h l'analyse indéterminée du second degré. Lucas de Burgo en donne seulement les solutions sans démonstration; il les emprunte, dit-il, du Traité de* nombres carré* de Léonard de Pise, où elles étaient démontrées par de* contidératiott* et *ur de* figure* géométrique*. Ces solutions, particulièrement celle qui se rapporte à l'équation x'-t-y* = A, sont différentes de celles de Diophante, et sont les mêmes que celles qu'on trouve dans les ouvrages indiens, et qui ont été imaginées dans le siècle dernier par Euler, ainsi que nous l'avons déjà dit en parlant de la Géométrie de Brahmegupta.

L'arithmétique pratique commence par l'exposition du système de numération , «dont les premiers inventeurs, suivant quelques-uns, dit Lucas de Burgo, sont les Arabes; ce qui fait que cet art a été appelé abaco pour dire el muodo arabico; mais d'autres, ajoutet-il , font dériver ce nom d'un mot grec '. » On trouve les quatre opérations fondamentales de l'arilhméliquc z, la théorie des progressions, et l'extraction des racines carrées et cubiques des nombres, arithmétiquement el géométriquement ; puis le calcul des fractions; les règles de trois; celles de fausse position que l'auteur appelle, d'après Léonard de Pise, régies d'Heicatai/m , et qu'il attribue aux Arabes , mais qui leur venaient des Indiens ; et l'arithmétique commerciale, traitée avec une grande profusion de questions et d'exemples: cette partie de l'ouvrage a été imitée par beaucoup d'auteurs allemands , dans la première moitié du XVI» siècle.

Lucas de Burgo , en passant à l'algèbre [Dittinctio octaca}, la regarde comme la partie de la science du calcul la plus nécessaire a l'arithmétique el à la Géométrie. Il dil qu'on l'appelle communément X Arte maggiore , ou la règle de la cota, ou Algebra e Almucabala. Comme cet ouvrage est le premier traité d'algèbre qui ait été imprimé , et qu'on a

' Ce paatage Tait voir que , du lemp» de Lucat de Burgo , on nVtait pa» fixé »ur la vraie origine de noire »y»tème de numération. La lignification que nous avoni donnée au mot abacus employé par Boèce nout autorité h adopter la acconde auppoiilion de Lucaa de Burgo, c'eat-à-dire à regarder le mot abaco comme dérivé du grec. Quoi qu'il en »oil ce patange mérite d'être pria en conaidéralion dan» le» recherche» »ur l'origine de notre •yttèrne de numération.

3 L'auteur donne pluaieur» procédé» pour chaque opération. Parmi ceux de la multiplication »e trouve une méthode indienne donnée par Gane»a dan» »c» commentaire» »ur le Litaeati de Bhaacara , qui con»i»te & écrire le produit de chaque chiffre du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, en plaçant séparément , dan» le» deux caae» triangulaire» d'un carré, le» chiffre» de» unité» et de» diiaine». Cette méthode ingénieute »ur laquelle repo»e celle de» bâton* de iïeper , parait avoir été trè»-u»iléc dan» le moyen âge et au XVI' siècle ; car on la trouve dan» plu»ieur» manuscrit» [roir le» n°"7378 A et 7342 de» manuicrita de la bibliothèque royale de Pari») et dan» plutienrt ouvrage» imprimé», dont noua citeron» le Compendion de h abace de Pelloa , IWAa»r/«ca practica d'Oronce Finéc; YarilhmctUa practica de Peverone , et lea scheltr matkematUtr de Ramu». H. Libri l'a trouvée auaai dana un ouvrage chinoia. {Histoire des sciences mathématiques en /lotie, t. I , p. 341.)

NOTES

coutume de le regarder comme ayant initié le» géomètres dans cette science, il est essentiel de remarquer que Lucas de Burgo ne présente point l'algèbre comme un art nouveau, mais bien comme une chose connue depuis long-temps du vulgaire (del vulgo i. Cela s'accorde avec la remarque que nous avons faite en rendant compte du traité De triangulù de Rcgiomontanus, qui parle aussi des régies de l'algèbre comme d'une méthode familière aux géomètres. On peut en conclure que, depuis le XIIIe siècle où l'algèbre a été introduite en Europe par Fibonacci 1 et par les traductions qu'on a faites alors de l'ou- ▼rage de Mohammed ben Musa , celte science a toujours continué d'être cultivée.

Lucas de Burgo démontre d'abord la règle des signes; il apprend à faire les opérations arithmétiques sur les quantités irrationnelles , et démontre la plupart des propositions du dixième livre des élémens d'Euclide, qui forme une théorie étendue de ces quantités. Puis il passe aux équations du second degré , dont il considère trois cas , comme nous l'avons dit en parlant de l'algèbre de Mohammed ben Musa. Il dit que plusieurs autres équations d'un degré supérieur peuvent être ramenées à celles-là. 11 considère les équations qui contiennent l'inconnue, son carré , et sa quatrième puissance ; ce qui donne lieu à huit cas qui s'expriment, par les symboles actuels, de cette manière:

x* = ax ,

x4 = ax' ,

xi + as' = bx ,

x'i ai = bx1 .

xi a = bx' .

xi h- ox'= b , x'< = a -♦- ox' ».

Il apprend à résoudre les trois premières . et les trois dernières ; mais la quatrième et la cinquième, dit-il, sont impottiblet. En efTet elles ne peuvent se réduire au second degré, mais seulement au troisième. Cela prouve qu'au temps de Lucas de Burgo la résolution des équations du troisième degré était inconnue.

Cette première partie de l'ouvrage (arithmétique et algèbre) est terminée par les régies de société et une foule de questions relatives aux opérations commerciales, et même à la tenue des livres en partie» doublet.

Dans beaucoup de passages, Lucas de Burgo se sert de considérations géométriques pour illustrer ses règles de calcul; il démontre ainsi les règles de fausse position; la

1 Roui noua conforment it l'opinion reçue , en répétant que Fibonacci •, le premier, introduit l'algèbre en Europe, au commencement du XUI'aiècle ; mais noua penton* cependant que , depuia uu (iècleau moioa, on avait déjà quelque connai».ancc de cette .cience ; et noua fondom cette opinion aur ce fait rapporté précédemment , que Jean UUpalenti* a écrit dan* le XII' aiècle août le titre d'Algorùmus , un traité d'arithmétique, a la tuite duquel ae trouve la résolution dea équaliona du aecond degré, extraito, eat-il dit, du livre De GebrA et Mucabald.

a Lucaa de Burgo énonce ae* équation* en langage ordinaire; aculement, par abréviation, il ae aert dea lettre* net ai pour aiguiller plut{più) et nom» (mino) { il te aert du mot égal , mai* non du*igne = . Il appelle l'inconnue coin , ton carré cento; et ta quatrième puiaiance cento de cento , et la quantité connue il numéro. De aorte qu'il énonce la dernière équation , par exemple , ainti : cento de cento tqualo a numéro e cento.

NOTES

règle des signes en algèbre; et les formules pour la résolution des équations du second degré. Nous allons voir que, réciproquement, dans la seconde partie de l'ouvrage, qui traite de la Géométrie, Lucas de fiurgo fait un grand usage de l'algèbre.

Ce traité comprend des élémens de Géométrie assex complets. Il repose en partie sur les élémens d'Euclide; cependant, comme il en diffère sous plusieurs rapports, nous allons en donner l'analyse. Il se divise en huit parties, en considération, dit l'auteur, des huit béatitudes (a reverentia de h 8 heatitudine).

Dans la première, qui traite <lcs figures triangulaires et quadrilatérales, on trouve la plupart des propositions qui font l'objet des Ier, H" et VIe livres d'Euclide. L'auteur démontre à la manière des Indiens que l'aire du triangle est égale au produit de la base par la moitié de la hauteur; il démontre la formule de l'aire en fonction des trois côtés, comme Fibonacci et les trois frères arabes Mohammed, Harnet et Hasen, dans leur ouvrage intitulé Verba filiorum Moiti filii Schaker. Il apprend à calculer la perpendiculaire dans un triangle, et pour cela il se sert du théorème des deux segmens qu'elle fait sur la base. Il donne de ce théorème une démonstration géométrique très-remarquable. Il s'agit de prouver que la différence des carrés des deux côtés du triangle est égale à la différence des carrés des deux segmens faits par la perpendiculaire sur la base; ou bien, que le produit de la somme des deux côtés, multipliée par leur différence, est égal au produit de la base multipliée par la différence des deux segmens. Lucas de Burgo construit une figure dans laquelle se trouvent les expressions géométriques des quatre facteurs qui forment cette égalité; et, par la comparaison de deux triangles semblables , il conclut que le premier produit est égal au second. Cette démonstration est très-élégante et élémentaire, puisqu'elle ne fait pas usage de la proposition du carré de l'hypothénuse. Elle a été reproduite par Tartalea dans son General Trattalo di Numeri « Miture ( 4" parle, f° 8 ).

Dans la seconde partie on résout de plusieurs manières ce problème : Étant donnés les trois côtés d'un triangle et étant pris deux points sur deux d'entre eux, trouver la longueur de la droite qui joint ces deux points.

La troisième partie traite de l'aire des quadrilatères et des autres polygones ; on y résout plusieurs problèmes sur les rectangles, par la voie algébrique : Lucas de Burgo se sert des formules qu'il a enseignées précédemment pour la résolution des équations du second degré.

La quatrième partie comprend les propositions qui sont l'objet du IIIe livre d'Euclide et la mesure du cercle. L'auteur démontre le rapport -7, comme Archiméde, par l'inscription du polygone de 9(1 côtés; et apprend à former la table des cordes des arcs, donnée par Ploléméc dans le premier livre de l'Almagcste.

La cinquième partie traite de la division des figures dans des rapports donnés; c'est celte partie de la Géométrie qui fait l'objet de l'ouvrage De tuperficierum divisionihtu , de Mahomet Bagdadin, qu'on regarde comme imité d'un ouvrage d'Euclide, ou comme étant de ce géomètre lui-même. Lucas de Burgo complète cette matière, en traitant aussi de la division du cercle suivant des conditions données.

NOTES

La sixième partie concerne les Tolumes des corps; elle contient les propositions du XMivre d'Euclide.

Dans la septième partie on parle des différens instrumens qui servent, dans la pratique, pour mesurer, à la vue simple, les dimensions des corps.

Enfin la huitième partie est un recueil de cent problèmes de Géométrie , résolus la plupart par l'algèbre, suivi d'un traité particulier des cinq corps réguliers.

Voici quelques-unes des questions qui font partie de ces cent problèmes :

Étant donnés deux côtés d'un triangle et son aire , trouver le troisième côté.

Étant données l'aire et la différence des deux côtés d'un rectangle, trouver ces côtés.

Soit a' l'aire, et d la différence des deux côtés; Lucas de Burgo prend pour le plus grand côté cota più *, c'est-à-dire et pour le second côté cota mèno j , ou

x — \ On a immédiatement, pour déterminer l'inconnue, l'équation

x -T««', d'où x = •/ - +

d'où se concluent les valeurs des deux côtés.

Cette solution est plus simple que si l'on avait pris directement pour inconnues les deux côtés, ce qui eût conduit aux deux équations

yj = a' , y — s = d , et à l'équation finale du second degré,

y" — dy = a'.

Dans la première partie de son ouvrage, Lucas de Burgo a donné d'autres exemples de pareils artifices de calcul, qui prouvent que l'algèbre, dans de certaines limites , était cultivée et perfectionnée depuis long-temps. Par exemple, que l'on demande deux nombres dont la somme des carrés soit égale à 20, et le produit égal à ft. Lucas de Burgo ne pose pas les deux équations y' = 20 etay = 8, qui conduisent à une équation du quatrième degré , réductible au second. Il fait mieux : il prend la somme de deux inconnues (x-*-x) pour le premier nombre cherché, et leur différence (x — *) pour le second'; de sorte qu'on a immédiatement les deux équations :

x1 »' = 10, et x' — «' = 8;

d'où

x' = 0 et s* as l ; isl, s » 1.

Les deux nombres sont donc 4 et 2.

> Lucm de Burgo appelle 1* première inconnue cota, et la «econde qnantità. Il dit que lei Anciens appelaient celle-ci cota teconda ; mai» que lei Moderne* la nomment aimplement q*antità.(Dutinctù> octava ; tractât** ttxtut.)

Tom. XI. 68

Cette solution ressemble, par son élégance et sa simplicité , à celle* que nous ayons remarquées dans les ouvrages indiens.'

Trouver le diamètre du cercle inscrit dans un triangle dont les côtés sont connus.

Dans un triangle décrire deux cercles égaux , tangens entre eux, et dont chacun louche deux côtés.

Étant donné un cercle , en décrire S, ou 4, ou 5 , ou 0 autres égaux entre eux , tangens au cercle proposé, et tels que le premier touche le second, le second touche le troisième, le troisième touche le suivant, etc.

Trouver le diamètre du cercle circonscrit à un triangle dont les côtés sont donnés.

Étant donnée l'aire d'un triangle dont on sait que le second côté surpasse le premier d'une uuilé , et le troisième côté surpasse le second aussi d'une unité , quels sont les côtés du triangle.

L'aire du triangle étant 84 , Lucas de Burgo détermine ses côtés par une équation du quatrième degré , résoluble comme celles du second; il trouve pour ces côtés les nombres 13,14 et 15.

Par les sommets d'un triangle on élève trois perpendiculaires sur son plan , et l'on demande de déterminer le point de ce plan qui se trouve à égale distance des extrémités des trois perpendiculaires.

Étant donné un triangle, on demande le diamètre du cercle qui , étant tangent à ses deux côtés , aura son centre sur la base.

Dans tous ces problèmes les données sont numériques , et leurs solutions sont algébriques et dépendent la plupart d'équations du second degré.

Pareillement , dans les premières parties de l'ouvrage, qui forment des élémeus de Géométrie, les figures sont toujours exprimées par des nombres , comme s'il s'agissait de faire une application particulière d'un théorème. Ainsi , par exemple , pour démontrer la formule qui donne l'aire du triangle en fonction des trois côtés, l'auteur prend le triangle ABC dont les côtés sont 13, 14 et 15, et se sert toujours, dans tous le cours de son raisonnement , de ces nombres, à la place des côtés, que les Grecs employaient d'une manière abstraite en les désignant ainsi AB, BC, CA. Cette méthode était empruntée des Arabes, qui la tenaient des Indiens; elle a été suivie exclusivement par tous les géomètres du XVI* siècle, Cardan, Stifcls , Tartalea , J.-B. Benedictis, Memmius , Commandin , Clavius, Slcvin , Ad. Romanus, Ludolph Van Ceulcn , etc , jusqu'à ce que Vièlc introduisit l'usage des lettres dans l'algèbre. Nous dirons plus loin la cause de cette manière de procéder, les avantages qu'elle o lira il et les graves inconvéniens qui en résultaient.

Lucas de Burgo a laissé deux autres ouvrages, qui méritent d'être cités, mais qui n'ont pas l'importance de celui dont nous venons de présenter l'analyse. Le premier est intitulé : Lucœ Pacioli divina proportione, opéra à tutti glingegni pertpicaci e curioti necettaria ; ove ciacun ttudioeo di philotophia , protpettica , pictura , teulptura , architectura , mutica e altre matematiche , toavittima , tottile e admirabile dottrina conteqitira e delectarutti con varie quettione di tecretittima ecientia. Vcncliis, 1509, in-4*. L'auteur appelle proportion divine la division d'une droite en moyenne et extrême

NOTES

raison, dont il démontre de nombreuses propriétés, et dont il fait diverses applications aux arts. L'autre ouvrage île Lucas de Burgo roule sur les polygones et les polyèdres réguliers, et sur l'inscription mutuelle de ces figures les unes dans les autres; il a pour titre: Libellas in ires partiale» trac ta tus , divisas quorumeumque eorporum regularium et dependentium active perscrutationis ; Venise, 1508, in-4°. L'auteur fait encore un fréquent usage de l'algèbre dans ces deux ouvrages de Géométrie.

On voit par ce qui précède, que les ouvrages de Lucas de Burgo, comparés à ceux des géomètres grecs, présentaient un caractère propre qui mettait entre eux et ceux-ci une différence bien marquée; c'est qu'ils reposaient sur une union constante entre l'algèbre et la Géométrie ; et ce caractère a été celui de presque tous les écrits mathématiques du XVI* siècle. Comme les ouvrages de Lucas de Burgo sont les premiers , parmi ceux qui ont enseigné les préceptes de l'algèbre et son application à la Géométrie , qui aient été imprimés, on les a regardés généralement comme la seule origine, au commencement du XVIe siècle , de la forme nouvelle que les sciences mathématiques ont prise , et des progrés immenses qu'elles ont faits depuis. Il n'est pas douteux, en effet, que les deux célèbres géomètres de l'Italie Cardan et Tartalea , n'aient dû leurs connaissances et la méthode qu'ils ont suivie à la Summa de Arithmetica , etc., de Lucas de Burgo, qu'ils citent souvent. Nais il y a lieu de croire qu'en Allemagne surtout, quelques autres ouvrages formaient un autre foyer de lumières, et ont répandu les mêmes principes d'algèbre et d'application de l'algèbre à la Géométrie. On en juge parle savant ouvrage deSlifelsqui a paru en 1544 sous le titre Arithmetica intégra (Nuremberg, in-4"), où se trouvent des élémens d'algèbre et une foule de questions de Géométrie , résolues par cette voie, comme dans la Summa de Lucas de Burgo. Et cet ouvrage de Stifels présente avec celui-ci des différences qui y font reconnaître une plus profonde connaissance et une plus ancienne culture de la science algébrique, ainsi que quelques pas de plus vers la forme abstraite qu'elle a prise depuis. Ainsi , par exemple , on y trouve les signes -t- et — et lo signe radical \/ ; l'inconnue et ses puissances sont représentées aussi par des symboles, au lieu de l'être par les mots cota, eenso , cubo , censo de censo , etc.; et quand il y a plusieurs inconnues , les seconde, troisième, quatrième, etc., sont représentées par les lettres A, B, C, etc. '; le principe de la multiplicité des racines dans une équation , que Lucas de Burgo avait méconnu, est exprimé formellement et démontré2; el quant à l'application dogmatiquede l'algèbre a la Géométrie, les exemples que Stifels en donne sont extrêmement

1 Voir liTre 3, chip. 0, intitulé Dt Mteundit radieibus,

C'e»t le premier exemple de l'uiage de» UttrtM, pour représenter dan* le» équation* le* inconnue* de la que»tion. Il n'apa* tardé a être «uiti par Peletier dan* ion AtgUrt (ann 1564 ) et parButéon dan* ta LoyitHca (ann 16750). Il eit aiseï lingulier qu'une idée auiti heureuie, qui apportait dan* le calcul une facilité actuelle •i évidente , n'ait cependant pa* été appréciée de Cardan ni de Tartalea. C'c»t là une de* preuve» le* plu* frappante* de l'empire de l'habitude, même chet le» tiprit» le* plu* «îpéricura.

J Sttnt auttm CtqvaHsnet quadam , qvibiu natura rtrum kujus modi , dédit habert dupticem radie tm, ridelictt mejon m tt minorem . id quod plant doetbc atque demonsirabo, (Arithmetica intégra, f». 243). Plu* loin l'auteur ajoute que 1 équation ne peut a»oir plu* de deux racine» : pturtt auttm duabus, nulla œqvatio kabebit. f».244,v».

NOTES

nombreux ; on y remarque particulièrement toutes les propositions du 13» livre d'Euclide, qui s'expédient facilement par le calcul des équations du second degré. Cet ouvrage, il est vrai , est postérieur de près d'un demi-siècle à celui de Lucas de Burgo ; et l'on pourrait croire que les différences que nous venons de signaler sont le fruit de la culture, pendant ce demi-siécle, des principes mêmes enseignés par Lucas de Burgo. Mais l'ouvrage de Stifels n'est, dans tout ce qui concerne cette partie de l'algèbre, qu'une imitation des ouvrages de deux autres algébristes allemands, Adam Risen et Christophe RudollF, qu'il cite souvent avec de grands éloges, le second surtout. On avait déjà de celui-ci un traité d'algèbre en allemand , imprimé en 1522 sous le titre Die Coss , et dont il a été fait , dans le temps, en Italie, une traduction latine qui existe dans les manuscrits de la bibliothèque royale (n° 7305, in-4°, des manuscrits latins), sous le litre: Àrithmetica Chrùtophori Rodolphi ab Jamer, è germanicâ linguâin latinamà Christophoro Auvero , Pétri Danetii mandate, Romœ anno Christi 1540 conversa. Nous avons reconnu dans cet ouvrage les progrès notables de l'algèbre et ses applications à la Géométrie que nous venons de signaler dans celui de Stifels. On trouve encore, dans quelques petits traités d'arithmétique qui ont paru en Allemagne dans les premières années du XVI* siècle, des exemples de l'application des régies du calcul aux questions de Géométrie: ainsi dans un Algorithmus de integris et minutiis , imprimé à Leipsick en 1507, les règles de fausse position sont appliquées à cette question : Etant donnés un coté de l'angle droit d'un triangle rectangle, et la somme des deux autres côtés, trouver ces côtés. Nous rappellerons enfin que , dés le XVe siècle , Regiomontanus et l'astronome Blanchinus étaient très-versés dans la pratique des règles de l'algèbre, et que le premier en faisait usage dans son traité De triangulis , pour résoudre les propositions de Géométrie.

Ainsi nous pensons pouvoir dire avec certitude que l'algèbre, dès les premiers temps du renouvellement des sciences en Europe, a été cultivée et appliquée particulièrement aux questions de Géométrie, et que le caractère des sciences mathématiques, au XVI* siècle, qui est résulté de cette union intime entre l'algèbre et la Géométrie, s'est manifesté même avant qu'eût paru l'ouvrage de Lucas de Burgo ; mais que celui-ci ayant été, le premier, mis au jour par la voie de l'impression, est devenu le plus répandu et a eu la plus grande influence sur les progrès des sciences mathématiques et la direction qu'elles ont prise.

Les bornes de cet écrit, que nous avons déjà depuis long-temps dépassées, ne nous permettent pas de donner une analyse des ouvrages de Cardan , de Tartalea, de J. B. Benedictis > et de quelques autres géomètres du XVI* siècle, où nous aurions aimé à étudier la

1 J.B. Benedicli», dan» ton ouTrage intitulé : Divenarum sptcutatiouum mathematicarum II pkusicarum

liber ; Taurini, 1585, in-f-, fait utage continuellement de considération» géométrique* pour démontrer on vérifier lea règle» d'arithmétique et d'algèbre. Voici un exemple curieux de cette méthode. L'auteur te propoie

une qucation à troii inconnue», qui «'exprime parle» troia équation» jr-4-y=o, y4-*=à, i4-f=c. Il la r ni

algébriquement , et pour térifier le» cxpre»»iou» qu'il a troutée» pour le» inconnue» , il »e »ert de cette conaidération géométrique : Qu'an forme un triangle qui ail pour cùlei Ut trois nu mire a, b, c, et qu'on lui inscrive un cercle tangent à ses trois cités, lis sigmens que tes points de contact formeront sur en c6Us lirons les

NOTES

marche de cette science, qui différait tant alors, par sa forme, de celle des Grecs, à en suivre les pas et à en constater les progrès , jusqu'aux travaux de Viéte qui lui ont fait subir une nouvelle transformation éminemment heureuse, qui était nécessaire pour assurer à la Géométrie , dans toute l'étendue de ses besoins, les secours que la science du calcul devait lui prêter.

Mais il nous faut bien préciser cette nouvelle forme qu'a prise la Géométrie , qui fait la différence immense qui a lieu entre les ouvrages du XVII" siècle et ceux du XVIe, et d'où datent véritablement les grands progrès qu'elle a faits depuis.

La Géométrie, dans tout le cours du XVIe siècle , différait essentiellement de celle des Grecs, sous un certain rapport, c'est qu'elle n'opérait que sur des données numériques , ainsi que nous l'avons déjà dit .a la suite de notre analyse des ouvrages de Lucas dcBurgo. Cela était une conséquence naturelle de l'union intime qui s'était établie entre cette science et l'algèbre, union qui n'était possible qu'avec des données numériques, car l'algèbre alors n'était qu'une arithmétique supérieure, exclusivement numérique , qui ne différait essentiellement de l'arithmétique ordinaire que par l'usage de la règle des signes, et dn mécanisme des équations; elle n'était point une science de symboles abstraits, comme Viètc l'a constituée sous le nom de Logittique tpdciaute. Les opérations et les artifices de calcul , qui simplifiaient les démonstrations et remplaçaient les considérations géométriques dont tout géomètre grec aurait fait usage exclusivement, n'étaient donc possibles , dans le XVIe siècle , que quand la Géomètre se faisait sur des données numériques. Aussi c'est ce qui a eu lieu jusqu'à Vièle, ainsi qu'on le voit dans tous les ouvrages de cette

valeurs des trois inconnu** x, y,i; d'où l'on conclut immédiatement que le* valeur* de ce* inconnue* •ont x = * "*" e ~ * , etc., comme le calcul le* aTait donnée*. ( r p. 82.)

Benedictis conttruit géométriquement, comme on fait aujourd'hui, laracine positive de l'équation x»-r-nx=6> . 11 e*l vrai qu'il ne propo*e pa* pécisément cette équation elle-même; mai* elle exprime immédiatement la quettion qu'il ré»out, et qui e»t celle-ci : Étant données deux droites a, b, on demande <Ten trouver tint troisième i telle ave Ton ait (x-f a) x=<V>. (F. p. 388.) Ce»t peut-être le premier exemple de la construction géométrique d'une équation du «econd degré. Car le* problème* qu'Euclide a rétolu* (propo*itiom 28 et M du eixième litre de» Élément , et 84, 88, 80 et 87 de* Données ), bien que, traduit* en algèbre . il* conduisent finalement a une éqnation du «econd degré, différaient euenticllement , par leur énoncé géométrique, d'une question algébrique.

Le* ouvrage* de Cardan et de Tartalea , infiniment supérieurs à celui de 1. B Benedicti*, font au**i constamment utage de l'algèbre en Géométrie et de la Géométrie en algèbre Le* principe* d'une alliance intime entre ce* deux *cience«»ont exprimé* trop formellement, et le* exemple* en «ont trop nombreux pour que nou» •yon* be*oin d'in*i*ter *ur cet objet.

Outre la partie algébrique de» ouvrage* de Tartalea, qui e*t la (ixième partie de *on Traité général des nom- 1res et des mesures , ce géomètre avait compoié un traité d'algèbre »ou» le titre & Atgehra n»ro, qui ne nou» est pa* parvenu, et dont la perte e*t bien regrettable. Dan* la cinquième partie du Traité général (f° 88 v»), Tartalea donne la «olution d'une quettion de maximum , dont la démonatration devait *e trouver dan» cet ouvrage d'algèbre. Cette quettion e»l remarquable pour le temp» ; il »'agil de diviser le nombre 8 en 8 partie*, telle* que leur produit multiplié par leur différence, «oit un maximum. La solution de Tartalea e»t générale, et telle que la donnent le» règle* du calcul infinitésimal actuel. Prenez, dit-il , le corré de S, ajoutez-y le tiers de ce carré, et prenez la racine carrée delà somme, ce sera la différence des deux nombres cherchés. Ce choix de l'inconnue, la différence de* deux partie* du nombre propo»é, eit trè*-hcurcux et annonce une profonde connaissance des pratique* de la «cience.

NOTES

époque, l'une des plus mémorables de l'histoire de la science. Mais on conçoit que de la sorte la Géométrie avait perdu celte pureté de forme, et ce caractère de généralité et d'abstraction auxquels s'étaient tant attachés les Anciens, et qui paraissaient être l'apanage de cette science; et si , sous un rapport, il y avait avantages réels, sous un autre, il y avait inconvéniens graves, provenant, d'une part, de ce que l'esprit, en opérant sur des nombres , perdait de vue les objets qu'ils représentaient , et ensuite , de ce que , en effectuant au fur et h mesure les calculs , on détruisait la trace et le fil du raisonnement. Aussi les démonstrations géométriques sont-elles d'une lecture très-pénible dans les ouvrages du XVI* siècle.

La Géométrie des Grecs avait donc subi une véritable altération, mais altération trèsheureuse , puisque c'est dans cet état que Viète a du la prendre , pour lui appliquer sa grande conception de l'algèbre littérale, et lui rendre ainsi toute sa pureté et son abstraction primitives, en conservant néanmoins tous les avantages que la science du calcul pouvait lui apporter. Mais il est fort remarquable qu'il ait fallu, pour arriver à ce grand résultat, à ce perfectionnement de la Géométrie des Grec» , passer par un état d'altération, qui faisait perdre à cette science son caractère d'abstraction et de généralité, et qui la faisait descendre au rang des opérations concrètes et numériques.

Ces considérations peuvent nous faire regarder les XV* et XVI* siècles, comme marquant dans l'histoire de la Géométrie une époque de préparations et de transition , où s'est élaborée la nouvelle forme qu'ont prise les sciences mathématiques; et nous devons ajouter que les Indiens et les Arabes ont une grande part dans cette transformation et ce perfectionnement , puisque le germe s'en trouvait dans leur principe d'application de l'algèbre à la Géométrie, et qu'ils l'ont développé eux-mêmes par leurs travaux d'un grand nombre de siècles.

PIS DES HOTF.S

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ADDITIONS

Pa« 28.

Héron d'Alexandrie, disciple du célèbre mécanicien Ctésibius, et célèbre lui-même par son Traité des Pneumatiques, et par diverses autres inventions mécaniques pour lesquelles il est cité dans le huitième livre des Collections de Pappus , excella aussi dans la Géométrie. Eutocius nous a conservé sa solution du problème des deux moyennes proportionnelles , et a emprunté d'un de ses ouvrages , xff) (urptuw la règle arithmétique pour l'extraction de la racine carrée d'un nombre. Proclus le cite comme auteur de nouvelles démonstrations de diverses propositions des élémens , où il n'admettait que trois seulement des axiomes d'Euclide 1 ; et Grégoire de Nazianzc (ann. 328-389) le met au rang des grands géomètres de l'antiquité. (Oratio 10.)

Les ouvrages de Héron étaient nombreux, mais la plupart ne nous sont pas parvenus, ou sont restés inédits. De ceux qui concernaient spécialement la Géométrie il n en est que deux qui aient été traduits et mis au jour. Le premier, dont les historiens des mathématiques . je ne sais pourquoi , n'ont point parlé, est dû à Dasypodius. Il a pour titre : Nomenclature! rocabuiomm geomeiricorum 2. C'est une suite de définitions des différentes matières qui font l'objet de la Géométrie. Ces définitions sont accompagnées de commentaires et de développemens présentés avec clarté s.

Dans sa préface , Dasypodius annonçait qu'il possédait plusieurs autres ouvrages de Héron , qu'il se proposait de faire connaître. L'un d'eux, qu'il appelait àizrrpncx, est le second des deux ouvrages géométriques de Héron qui nous sont parvenus. Mais celui-ci ne nous est connu que depuis quelques années. Nous en sommes redevables au savant professeur de Bologne J.-B. Venturi, qui l'a traduit en italien, sous le titre : // Traguardo (Le Niveau), répondant

1 Cammentariut in EuelùUm , liber terttu».

3 Euclidit Elenentorum liber primut. Item Hennit A lertndrini rocabula quadam Geometria anted nuu<ptam «oïta, grâce et latine ; per CunradumDasypodium. Argentine , 1571, in-»».— Oratio C. Daegpodiide Ditciplinis tnalhtmaticis Ejuidcm fftronis Alesandrini tSamenclaturœ vacabutorum geometricorutn translatio. Ejutdem Ltxicon tnathtmaticum , ts diversis collection antiquis teriptis. Argent., 1670, in-8>.

1 Fabricim (BAI. grttca , lib. S, cap. 24), et Hcilbronner [flist. Malhtttos , p. 398) , attribuent cet uuTrage > Héron le jeune qui a iccn a Conttantinople , au VI[< siècle de notre ère. Bernardin Baldi l'avait mit , comme Daijpodiu», au nombre de* ouTrage» de Héron l'ancien. Voir Cronica de matematici,p. Mi.

ADDITIONS

au titre du texte grec, mp) Scrrpm, et l'a mis au jour dans ses commentaires sur l'histoire et la théorie de l'optique Cet ouvrage est un traité de géodésie dans lequel se trouvent résolues graphiquement sur le terrain, à l'aide de l'instrument appelé la dioptre par les Anciens, une foule de questions de géométrie pratique.

Ce traité est digne du nom de Héron ; il est un monument précieux de la Géométrie des Grecs , et doit prendre place à la suite des ouvrages d'Euclide , d'Archimède et d'Apollonius. Il remplit une lacune qui existait dans les écrits qui nous sont parvenus de l'antiquité. Car les Anciens ayant toujours distingué sous le nom de géodésie , la Géométrie pratique de la Géométrie proprement dite 2, ils ont dû écrire particulièrement sur cette géodésie; et cependant il ne nous était rien venu de l'école d'Alexandrie, sur cette branche de la Géométrie.

Nous connaissions seulement le traité de géodésie de Héron le jeune, postérieur de près de huit siècles à Héron l'ancien. Mais cet ouvrage, qui se réduit aux opérations les plus simples, dépourvues de démonstrations , n'était pas digne de figurer à coté des ouvrages géométriques des Grecs. La proposition la plus importante qu'on y remarquât était la formule qui donne l'aire du triangle en fonction des trois côtés. C'était le seul ouvrage grec où l'on trouvât cette formule, si répandue en Europe dès le commencement du treizième siècle , et qui paraissait d'origine arabe. Mais elle se trouve aussi dans le traité de Héron l'ancien , où elle est démontrée par une construction géométrique très-élégante. C'est là probablement que Héron le jeune l'a prise , car il cite souvent les ouvrages de son homonyme et ceux d'Archimède , et de plus il se sert dans l'application numérique qu'il fait de la formule , des trois nombres 13 , U et 18 pour cotés du triangle , qui sont ceux précisément de Héron l'ancien.

Ces trois nombres , et la formule en question , se rencontrent aussi dans la Géométrie des Indiens et dans celle des Arabes , et même chez les Latins, ainsi que nous l'avons dit en parlant des ouvrages de Brahmegupta.

Le traité de géodésie de Héron l'ancien étant encore a peine connu , nous allons énoncer plusieurs des questions qui s'y trouvent résolues au moyen de l'instrument qu'il appelle la dioptre. Elles font connaître ce qui constituait la géodésie , ou Géométrie pratique chez les Grecs ; et elles sont de nature à faire regretter que le texte original de l'ouvrage de Héron , et d'autres versions que celle de M. Venturi, n'aient pas encore été publiés '.

1 Commtntari ttpra la ttoria $ le Uorie dtWottica. Bologne, 1814, in-4».

Cet ouvrage »e compote de» quatre partie* «uivante* :

1 ■ Contidtrasioni sopra varie parti dcU'ottica prtsso di anticki ;

8» Eront il tneccanica dtl (raguardo tradatte dal grtc* ed iUtutruto con note ;

S» Delfiride , degli alcni t dé partait ;

4° Appendice intorn» aWettica di Tolommto.

3 Si m in hoc differret tolum Otometria à Gtodatia , quod hwc guident torum est guet scntunu* , Ma vero non ttnsililiunt ttt. (Arùlote, Ht. 2 de la Métaphytiqut , ebap. 11.)

• K. Venturi cite troi» bibliothèque» qui poiaèdent le traité de Héron ; ce «ont la bibliothèque royale de Pari», celle de Strasbourg et celle de Vienne ; dan» celle-ci l'exemplaire eut incomplet ; il e»t le »eul dont le» bibliographe» aient Tait mention; on l'a pria, d'aprè» lambeciu», pour un traité de Dioptriqut. — {Voir Fabriciu» , Bit. grttca, lib. 3, c.24; — Hcilbronner, ffitt. math. p. 882.)

H. Venturi a fait m traduction sur une copie de l'exemplaire de la bibliothèque royale , collalionné aux celui de Strasbourg. Ce dernier e»t probablement l'exemplaire qui a été en la po»»e*»ian de Daiypodiu» Que «ont deTcnu» le» autre» ouvrage» de Héron qne ce géomètre pouédait au»»i ?

Conrad Gctner dit , dan» »a BiUiotkeca nnivtrsalit (tire catalogue omnium teriptorum lecupletistimu* in tribus linguù latina , graca et htbraica. Tiguri, 1545, fol.) que le célèbre Diego Hurtardo de Kendota,

ADDITIONS

1° Mesurer la différence de hauteur de deux points invisibles l'un de l'autre. 5° Tirer une ligne droite entre deux points invisibles l'un de l'autre.

3° Trouver la distance du lieu où l'on est, à un point éloigné duquel on ne peut approclu-r. 4" Mesurer la largeur d'une rivière qu'on ne peut traverser. B* Mesurer la dislance qui sépare deux points éloignés.

6" Mener, par un point donné , une perpendiculaire sur une droite dont on ne peut approcher.

7* Mesurer la hauteur d'un point inaccessible.

8" Mesurer la différence de hauteur de deux point* inaccessibles.

0° Mesurer la profondeur d'un trou.

10° Traverser une montagne en suivant une ligne droite qui joigne deux points donnés des deux cotés de la montagne.

1 1° Creuser un puits sur une montagne , de manière qu'il aboutisse à une excavation souter-

raine octorniince.

12° Tracer le contour d'un rivage.

18° Donner au terrain la forme d'un segment de sphère détermine. U' Donner au terrain une pente déterminée. 15* Mesurer un champ sans entrer dedans.

16* Le diviser en parties données par des droites partant d'un même point. 17* Diviser dans une raison donnée un triangle et un trapèze.

Page 48.

La première proposition du livre IV des collections mathématiques de Pappus est une propriété générale des triangles , que l'auteur présente comme une généralisation du théorème du carré de l'hypothénuse dans les triangles rectangles. On n'a pas encore remarqué que cette proposition est précisément, sous une autre forme, la propriété des parallélogrammes sur laquelle repose en mécanique la théorie des moment; laquelle propriété n'a été découverte qu'au commencement du siècle dernier par Varignon qui l'a présentée aussi comme « quelque chose de semblable à la proposition 47 du I" livre des Eléincns d'Euclide (celle du carré de l'hypothénuse) , m et l'a énoncée ainsi :

Si sur deux côtés conligua d'un parallélogramme , et §ur la diagonale issue du même tommit qu'eus, on construit trois triangles ayant un sommet commun situé en un point quelconque du plan de la figure, la somme ou la différence des deux premiers triangles sera égale au troisième triangle. (Voir les Mémoires de l'académie des Sciences de Paris, année 1719.)

Déjà , long-temps auparavant , Varignon avait démontré , et avait employé en mécanique un théorème sur le parallélogramme, très-connu dans la Géométrie moderne , et qui n'est au fond que ce premier, sous un énoncé très-différent , savoir que : Si deux côtés contigus d'un parallélogramme et la diagonale issue de leur sommet commun, sont projetés sur une droite quelconque, la projection de la diagonale sera égale à la somme ou à la différence des projections des deux côtes. (Voir Projet d'une nouvelle Mécanique, in-4", 1687, pag. 180.)

a qui l'Europe fut redevable d'an grand fol 319 verso). Ceux-ci ic collection de Mendoia.

Ton. XI.

de munuicriU grec» , eu «Tait plo«ieur> de Béron (p la bibliothèque de I E.cur.al, où est entrée la precieo.e

ADDITIONS

Pa« 85. 5 8.

Au nombre des géomètres qui , h l'imitation de Yiètc, ont fait des transformations de triangles sphériques, il faut placer Albert Girard qui a fait aussi usage du triangle réciproque, dans sa trigonométrie, imprimée en 1(520, un an avant celle île Snellius; mais ce géomètre a compris sous ce mot les quatre triangles diiïércns formés par les arcs de cercle qui ont pour pôles les trois sommet» du triangle proposé ; de sorte qu'il regarde comme réciproque» d'un triangle donné, le triangle de Vièle et celui de Snellius.

Ce Traité de Trigonométrie d'Albert Girard , qui est à la suite d'une table des sinus, tangentes et sécantes, est très-succinct, et néanmoius contient plusieurs choses intéressantes. Dans la préface on voit que l'auteur s'était occupé de V^nalysc géométrique des Anciens, et avait rétabli leurs traités dont les titres nous ont été transmis par l'appus ; il dit , à ce sujet , qu'après ce petit Traité de Trigonométrie, « qu'il donne comme échantillon, il mettra au jour quelque chose de plus grand. »

Pag« 68. § U.

Fermât avait écrit sur les Uni à la turface.

Mersennc nous l'apprend en ces termes : Omitto tocos ad êuperficiem, cuju* itagogem tir idem Cl. (Fermatius) amici» communem fecil , et alia quœ utinam ab co tantum impetremus. (Voir i nicertœ Geomc trias mistœque mathematicœ tynoptit, in-4% 16-M, p. 388).

Page 81. S 27.

Nous avons dit que Desargues avait proposé la question de couper un cône à base elliptique , hyperbolique ou parabolique, suivant un cercle , et que Descartes en avait donné une solution fondée sur les principes de sa Géométrie analytique. Nous aurions dû ajouter que Desargues avait résolu aussi ce problème , par une construction graphique '. Ce que nous voyons dans la préface de la Synopsi* unirersœ Gcomctriœ du P. Mcrscntie. Desargues réduisait ce problème à la recherche de l'axe principal du cône , c'est-à-dire de celui qui jouit de la propriété qu'un plan qui lui est perpendiculaire coupe le cAnc suivant une ellipse qui a son centre sur cet axe. Il construisait cet axe en employant deux lignes dont il déterminait autant de points qu'il voulait. Mersennc ne dit pas quelles étaient ces lignes : c'étaient probablement des sections coniques.

Après avoir déterminé les sections circulaires du cône , Desargues s'en servait pour résoudre différens autres problèmes , tels que de couper le cône suivant une conique semblable à une conique donnée, ou qui satisfasse à la condition que le plus grand angle que fassent deux diamètres conjugués soit de grandeur donnée.

1 Archimcde a résolu ce problème pour le cas où le lominet du orne e»t «tant le plan mené par l'un de» diamètre» principaux de ta conique perpendiculairement à ion plan; ce qu'on voit par le» proposition» 8 cl 8 du livre dci Sphiroidtt et des Consîtie*.

Ce* proposition» montrent au»»i qu'Archimède avait déjà, avant Apolloniui, considère le cùnc oblique à base circulaire , mai» néanmoin» c'e»l Apollonius qui , le premier, a étudié la tbéorie de* conique» dan* le cône oblique.

ADDITIONS

Desargues résolvait encore ce problème , le plus général , dit Mcrsenne , qu'on puisse se proposer sur cette matière :

Étant donnés un cône à base elliptique, parabolique, ou hyperljoliquc , et un plan sécant, déterminer, sans construire la courbe d'intersection du cône par ce plan , ses diamètres conjugé» faisant entre eux un angle de grandeur donnée, ses tangentes, ses ordonnées, ses paramètres, et les autres principales lignes de cette courbe.

Desargues fait lui-même mention d'un problème de celte nature, à la fin de son livret sur la perspective, compris dans le Traité de Perspective, arrangé par Bosse (in-8% 1648; roir p. 324) ; où il s'exprime ainsi :

Ayant à pourtraire une coupe de cône plate , y mener deux lignes dont les apparences soient les essieux de la figure qui la représente.

C'est-à-dire; une conique étant mise en perspective, trouver sur son plan les deux droites qui seront , en perspective , les deux axes principaux de la perspective de la conique.

Enfin nous voyons encore dans la préface de la Synopsie de Mcrsenne, que Desargues avait composé un traité complet sur l'angle solide où il résolvait ces quatre problèmes :

1° Étant donnés les trois angles plans, troucer les trois angles dièdres;

2° Étant donnés deux angles plans et un angle dièdre, trouver l'autre angle plan et les deux autres angles dièdres;

3° Étant donnés un angle plan avec deux angles dièdres, troucer les deux autres angles plans, et le troisième angle dièdre;

•4" Enfin, étant donnés les trois angles dièdres, trouver les trois angles plans.

Mersenne ajoute que Desargues formait un second angle trièdre , dans lequel les angles plans étaient les supplèmens des angles dièdres du premier, et réciproquement. Ce qui réduisait les quatre problèmes à deux.

C'est, comme on voit, l'angle trièdre supplémentaire, qui répond au triangle supplémentaire de la trigonométrie sphérique que Snellius avait imaginé quelques années auparavant, dans son Traité de Trigonométrie. Et quant aux problèmes, ils constituent une solution graphique de la trigonométrie sphérique. C'est ce qu'on a appelé depuis la solution de la pyramide triangulaire. Ils forment aujourd'hui un chapitre des Traités de Géométrie descriptive et sont d'un fréquent usage dans les applications de cette science, principalement & la coupe des pierres. (Voir le Traité de Géométrie descriptive, de M. Hachette, et le 3« cahier du 1" volume de la Correspondance polytechnique.)

Page 88. § 28.

M. Poncelet a donné, comme correspondant, dans la Géométrie à trois dimensions, au théorème de Géométrie plane de Desargues , le suivant : Quand deux tétraèdres ont leurs sommets placés deux à deux sur quatre droites concourantes en un même point, les plans de leurs faces se coupent deux à deux suivant quatre droites qui sont dans un même plan. (Traité des Propriétés projectives, art. 582.) Ce théorème peut être généralisé de cette manière :

Quanti deux tétraèdres ont leurs sommets placés deux à deux sur quatre droites qui sont les génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe , leurs faces se coupent deux à deux suivant quatre autres droites qui sont les génératrices d'un second hyperboloïde.

ADDITIONS

Page flo.

On trouve dan* les lettre» de Descartes de nombreux passades relatifs à la Géométrie. Son volume d'Opuscula posthuma ( \mst. 1701 , in— 1°) , contient aussi quelques morceaux de Géométrie. Il est à regretter que l'on n'ait pas encore songé à réunir tous ces passages épars, et à les comprendre dans une des nombreuses éditions que l'on a faites de la Géométrie de Descartes.

Nous nous bornerons ici à remarquer dans ses lettres, uM méthode particulière, que ce célèbre philosophe a imaginée pour résoudre un problème, alors fort agité entre lui et «es illustres contemporains Fermât , Koberval et Pascal ; le problème de la tangente à la cycloide. Celte méthode, qui a eu alors une grande célébrité, était d'une simplicité extrême, et convenait aux eveloïdes aecourcies et allongées , comme l'u très-bien vu Desearles, et même h toutes sortes de roulettes, décrites par un point du plan d'une courbe quelconque qui roule sur une autre courbe Oxe. Elle consiste à regarder les deux courbes comme deux polygones d'une infinité de côtés. Ces polygones sont en contact suivant un coté commun , et coiiséqucmment ont à chaque instant deux sommets communs ; pendant un mouvement infiniment petit le premier polygone tourne autour d'un de ces deux sommets qui reste fixe; le point décrivant engendre donc un arc de cercle qui a son centre en ce sommet fixe; la normale à cet arc de cercle , qui est un élément de la roulette décrite , passe donc par ce sommet.

Cette méthode , qui diffère essentiellement de toutes les autres méthodes pour mener les tangentes, est d'une simplicité extrême, et a toujours été employée depuis. Mais, a raison sans doute de cette simplicité même, elle n'a point attiré autant l'attention des géomètres qui n'en ont fait usage que dans la même question , en se bornant seulement à l'étendre aux épicycloïdes sphériques. En reconnaissant ce que cette méthode a de distinctif et de spécial par rapport aux autres solutions du problème des tangentes, il était naturel de chercher si le principe sur lequel elle reposait n'était pas susceptible de quelque généralisation qui le rendrait applicable à d'autres questions.

Le théorème suivant nous paraît offrir la généralisation de celui de Descartes :

Quand une figure plane èproure un mouvement infiniment petit dan» son plan, il existe toujours un point qui, pendant ce mouvement, reste fixe;

Les droites menées par les di/frrrns points de la figure, perpendiculairement aux trajectoire qu'ils décrivent pendant le mouvement infiniment petit, passent toutes par ce point fixe.

D'après ce théorème , quand une courbe est décrite par un point d'une figure en mouvement daus son plan, il suffira, pour mener sa normale par le point décrivant, de déterminer le point qui restera fixe au moment du mouvement où le point décrivant aura la position qu'on considère. Ce point se déterminera par les différentes conditions du mouvement de la figure.

Par exemple , si l'on connaît le mouvement de deux points de la figure , on mènera par ces points les normales aux courbes qu'ils parcourent, le point d'intersection de ces deux normales sera le point cherché.

Ainsi , qu'une droite de longueur donnée se meuve de manière que ses deux extrémités parcourent deux droites fixes, ou sait que chaque point de la droite, et même que chaque point pris au dehors de la droite , mais fixé invariablement à elle, décrit une ellipse. Pour déterminer la normale à cette courbe, on mènera les normales aux deux droites fixes par les extrémités de la droite mobile ; ces deux normales se rencontreront en un point par où passera la uormale cherchée.

ADDITIONS

Le mouvement de la figure mobile peut être réglé par diverse* autres conditions qui permettraient encore de déterminer très-aisément le point en question.

Soit , par exemple , la conclioïde de Nicomède décrite par un point d'une droite dont rentrémité parcourt une droite fixe , pendant que celte droite mobile glisse sur un point fixe. Considérant la droite mobile dans une de ses positions, par le point fixe ou lui mènera une perpendiculaire , et par son extrémité on mènera une droite perpendiculaire à la droite fixe ; le point de concours de ces deux perpendiculaires sera le point cherebé par lequel passera la normale à la conchoïde.

Nous ne passerons point en revue ici toutes les autres conditions diverses du mouvement de la figure mobile pour lesquelles on saura déterminer le point en question, ni toutes les courbes auxquelles il sera facile par ce moyen de mener les tangentes.

Ce qui précède sufllt pour faire voir que le tbéorème que nous avons énoncé est une généralisation de l'idée de Descartes au sujet de la tangente à la cycloïde, et qu'il constitue une véritable mélbode des tangentes , mélbode différente de toutes les autres , et même de celle de Roberval, quoiqu'elle repose comme celle-ci sur des considérations de mouvement. Maison conçoit que cette méthode, si facile, sera aussi comme celle de Roberval, bornée dans ses applications, puisqu'elle suppose qu'on connaît les conditions géométriques du mouvement d'une figure déforme invariable, à laquelle appartient le point décrivant. Cependant elle s'applique à un grand nombre de courbes particulières et à des familles entières de courbes.

Les usages de notre théorème ne se bornent pas à la simple Géométrie ; il peut être utile aussi en mécanique pour le calcul des forces vives : car il en résulte que les forces vives des différens points de la figure mobile sont proportionnelles aux carrés des distances de ces points à celui qui , pendant l'instant où l'on considère le mouvement, est resté fixe : il suffit donc, ce point étant déterminé, de connaître la force vive d'un autre point quelconque de la figure. M. Poncelet nous a appris qu'il avait fait un tel usage de ce théorème dans plusieurs questions sur les machines, où l'on n'avait point jusqu'ici de méthode géométrique pour le calcul des forces vives.

En énonçant le théorème en question , il y a quelques années (voir Bulletin l'nirer$el des Science», t. XIV) , nous l'avons présenté comme un cas particulier d'un théorème sur le déplacement fini quelconque d'une figure plane dans son plan, et même d'un théorème encore plus général relatif à deux figures semblables, situées d'une manière quelconque dans un plan. Mais ces théorèmes dépendent eux-mêmes d'un principe encore plus général , que voici :

Si l'on conçoit dan» un plan deux figures qui ont été primilircment la perspectire l'une de Vautre, et qui te trouvent actuellement placée» d'une manière quelconque l'une par rapport à l'autre;

Chaque point de Vune des figure» aura ton homologue dont l'autre figure;

Jl existera généralement troit points dant l'une det figure* qui le trouveront superposés retptxtireinent turleur* homologue» dans la teconde figure;

L'un de ce» troi» point» sera loujourt réel; les deux autres pourront être imaginaires.

II résulte de là qu'il y a aussi trois droites dans l'une des figures , qui se trouvent superposées sur leurs homologues dans la seconde Ggure; ce sont les droites qui joignent deux à deux les trois points.

L'une de ces droites est toujours réelle , et les deux autres peuveut être imaginaires.

Quand les deux figures sont semblables, ce qui est un cas particulier de la perspective.

ADDITIONS

deux des trois points , et deux des trois droites sont toujours imaginaires ; le troisième point est réel ; la troisième droite est aussi réelle ; mais elle se trouve située ù l'infini. Cela a lieu pareillement quand les deux figures sont égales entre elles.

Ces propriétés des figures planes ont leurs analogues dans les figures à trois dimensions, pour lesquelles j'ai déjà énoncé quelques théorèmes qui se rapportent à cette théorie. ( Voir Bulletin Iniversel dea Sciences, t. XIV, p. 821 , année 1830.)

Paue 08. § 4.

Les Arabes se sont occupés aussi de la description organique des courbes , et particulièrement des sections coniques. Nous le voyons par le titre des trois ouvrages suivons qui se trouvent dans la bibliothèque de Leydc :

1* Ahmed ben Ghalil Sugiureus De conicarum tectionum deacriptionts ;

2° Abu Schel Cumœus De circino perfecto, quo etiam aectionea conicœ et alite lineœ eut rat deacribi poasunt ;

8° Mah. ben I/usein De circino perfecto et formatione linearum. (Voir Catalogua librorum tam impreMorum quant manuscriptorum bibliothecœ publicœ unirersitatia Lugduno liatarœ, infolio, 1716, p. 454 et 453.)

Page 119.

Parmi les pratiques nouvelles que contenait la Gnomonique de De la Hire , il en est une que nous aurions dû citer , parce qu'elle repose sur des considérations géométriques qui rentrent dans les doctrines de la Géométrie moderne.

Il s'agit de la construction des lignes horaires, en se servant de quelques-unes d'entre elles, qui sont déjà tracées. De la Hire résout trois questions :

Dans la première il suppose connues sept lignes horaires consécutives;

Dans la seconde, 4 heures consécutives et l'équinoxiale ;

Et dans la troisième, 3 heures consécutives , l'équinoxiale et l'horizontale.

Et il détermine les autres lignes horaires.

Soient connues, dans le premier cas, les sept lignes des heures consécutives X, XI, XII , 1,11, III et IV. Voici quelle est la construction de l'auteur pour déterminer les cinq autres :

Par un point o de la ligne IV, on mène une transversale parallèle à la ligne X ; elle rencontre les lignes III, II, I, XII et XI en des points a, b, c, d, e; on porte sur cette transversale, de l'autre coté du point o, des segmens oa', ob', oc', od', oe' égaux respectivement à oa, ob, oc, od, oe; et les points a', b', c', d', e' appartiennent aux cinq heures cherchées.

En effet, les deux plans horaires X et IV sont à angle droit; les deux plans horaires III et V sont inclinés également sur le plan IV, et conséquemment ces deux plans sont conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers X et IV. Il suit de là que les deux lignes horaires III et V sont conjugées harmoniques par rapport aux deux lignes horaires X et IV : donc toute transversale rencontrera ces quatre lignes en quatre points harmoniques ; et conséquemment , si cette transversale est parallèle à la ligne X , les deux point* où clic rencontrera les lignes III et V seront à égale distance de celui où elle rencontrera la ligne IV. C. Q. F. P. ».

■ Celte démonstration géométrique, que nou» empruntant de l'ouvrage de De la Hire, e»t auui rigourcoie

ADDITIONS

Nous ne rapporterons pas les pratiques de De la Hire pour les deux autres questions; elles sont aussi simples que la première , et reposent aussi sur les principes de la Géométrie élémentaire qui rentrent dans la théorie des transversales.

Mais ces trois problèmes donnent naturellement lieu à une observation que je m'étonne qu'où n'ait pas faite dans les ouvrages qui les ont reproduits. Cette observation porte sur le grand nombre de données que prend De la Hire pour construire les lignes horaires inconnues. Dans le 1" cas il en prend sept, dans le 2a quatre, plus la ligne équinoxialc ; et dans le 3" trois, plus la ligne équinoxiale et la ligne horizontale : ajoutez à cela que les lignes données doivent être consécutives.

Est-il besoin de toutes ces données? Et quel est le plus petit nombre de lignes horaires qui soit suffisant pour construire les autres?

La réponse à ces questions , c'est que trois lignes horaires quelconques suffisent pour déterminer toutes les autres , dont on peut donner une construction tout aussi simple que celle de De la Hire pour le cas de sept lignes horaires consécutives connues.

Voici quelle sera cette construction , qui va nous offrir une nouvelle application de la Théorie du rapport anharmonique , sur laquelle nous avons déjà cherché dans plusieurs passages de cet ouvrage à appeler l'attention des géomètres.

Désignons par a, b, c les trois lignes données , qui répondent à des heures déterminées , mais quelconques, et qui seront même des fractions d'heure, si l'on veut. Soit d la ligne d'une 4e heure quelconque , qu'on veut construire au moyen des trois premières. Le rapport anharmonique de ces quatre droites sera égal à celui des quatre plans horaires dont elles sont les traces sur le plan du cadran. Ainsi soient A , B , C , D ces quatre plans , on aura

sin. c,a ^ sin. d,a sin. C,A # sin. D,A sin. cjb ' sin. d,b sin. C,B * sin. D,B

que briève ; cependant M. Delambre ne la regarde pas comme bien satisfaisante ; et comme la pratique en question lui parait utile et curieuse , et mérite une démonstration en forme, il te propote de la démontrer de la manière la plui générale et la plu* rigoureuse, {flist. d» l'astronomie au moyeu due, p. 634.) Bais nous devons le dire , la démonstration de M. Delambre occupe prés de deux pages de calculs , et assurément n'est pas plus rigoureuse que le court raisonnement de De la 11 ire.

Nous ne faisons point cette observation dans un esprit de critique; le nom et les travaux de M. Delambre, son dévouement a la science et les recherche* fastidieuses et pénible* auxquelles il *"e»t livré pour écrire »on hiitnire de l'astronomie , ne trouvent en nous que respect et admiration. Mai* notre remarque rentre essentiellement dans l'esprit qui a présidé a la composition de notre ouvrage ; parce qu'elle présente , d'une part, un exemple palpable des avantages que peut offrir souvent la voie géométrique ou du simple raisonnement , sur celle du calcul ; et qu'elle montre ensuite ectte direction qu'ont prise les études mathématique*, où l'on ne trouve plu* de preuve* claire* et convaincante* de la vérité en Géométrie, et de démonstration en forme , que dan* une vérification par le calcul algébrique. Cette direction nouvelle est l'inverse de ce qui t'est fait dan* tous les temps : chet les Grecs, où la Géométrie fut renommée pour la rigueur de ses démonstrations; chex le* Hindou* et les Arabes qui se rendaient compte des résultat* de l'algèbre, par une démonilration géométrique; chet le* Modernes, jusqu'au siècle dernier où Newton et XTaclauriu n'employaient le calcul qu'à regret et au point où il devenait indispensable.

Quelle est la cause de cette direction exclusive dan* le* étude* mathématique* ? Quelle sera son influence sur le caractère et les progrès de la science? Nous n'essaierons pa* de répondre à ces questions, sur lesquelles on serait peut-être difficilement d'accord. Mais quelles que «oient les opinions à leur égard, on no disconviendra pat du moins, qu'il serait utile que la méthode ancienne, suivie jusqu'au siècle dernier, continuât d'être encouragée et cultivée concurremment avec la nouvelle.

ADDITIONS

Les angles que font entre eux les quatre plans A , R , C , D sont connus , puisque ces plans correspondent à quatre heures déterminées ; le second nombre est donc une quantité connue n.

On voit donc déjà que notre équation servira à déterminer la direction de la ligne d, et qu'ainsi elle résout la question.

Pour en déduire une construction facile, menons arbitrairement une transversale qui rencontrera les trois lignes a, b, c en des points a, f, yet appelons Jlc point où elle rencontrera la ligne cherchée d. Le rapport anharmonique des quatre points a, 6, y, J sera le même que celui des quatre droites a, b, c, d; l'équation précédente se transformera donc en celle-ci :

yx Jx 1 ^

— : — = n; dou — = — ♦ yC JC *C n <>C

Le second membre est connu ; cette équation fera donc connaître la position du point * qui appartient à la ligne cherchée.

Cette solution devient d'une facilite extrême, si l'on mène la transversale parallèle à l'une des deux lignes a, b, à la première, par exemple, car alors on a — = I . et l'équation se réduit à

JC=n . yC.

Le segment - .est connu, donc le segment JC l'est aussi; le point Jet, par conséquent , la droite d sont donc déterminés. Ainsi le problème est résolu. Et cette construction générale , qui ne fait usage que de trois lignes horaires quelconques, et qui sert pour en déterminer une quatrième aussi quelconque, est, comme nous l'avons annoncé, tout aussi simple que celle de De la Hire qui nécessitait la connaissance de sept lignes au lieu de trois.

Quant à la quantité n , qui n'est pas dounée directement, mais qui dépend des angles que les quatre plans horaires A , B , C , D font entre eux , il est facile d'en calculer la valeur graphiquement, sans faire usage des lignes trigonométriques qui entrent dans son expression. Pour cela, on mènera par un point O quatre droites OV, OB', OC, OD' faisant entre elles, deux à deux , des angles égaux à ceux des plans horaires ; on tirera une transversale quelconque , qui rencontrera ces droites en quatre points te', C, y', J'; le rapport anharmonique de ces quatre points sera égal à celui des quatre plans ; de sorte qu'on aura

yV rfV

y'c : rê ~ "

Telle est la valeur de n. On simplifie son expression, en menant la transversale parallèlement à l'une des quatre droites OA', OB', OC. 01)', à la première, par exemple, car on a

alors = I , et il vient

ADDITIONS

Page 161 , § 17.

La considération des épicycloïdes remonte très-haut , puisqu'elles ont joué un grand rôle dans le système astronomique de Ptolémée. Mais il ne parait pas que l'on ait jamais étudié géométriquement la nature et les propriétés de ces courbes. Albert Durer les a mises au nombre des lignes courbes qu'il a appris à décrire par points et dont l'usage pouvait être utile dans les arts de construction ; mais il n'en a point étudié non plus aucune propriété.

La première épicycloïde dont la nature ait été connue est due à Cardan ; c'est celle que décrit un point de la circonférence «l'un cercle qui roule sur la concavité d'un cercle d'un rayon double. Cette ligne est , comme on sait , une droite. Cardan a démontré celte proposition dans son livre intitulé : Opus norum de proport ioni bus numerorum , motuum , etc. ( Voir Proposition 178, p. 180).

Ensuite Huygens a trouvé (en 1678) que la ligne enveloppe des ondes par réflexion, dans un cercle sur lequel tombent des rayons parallèles est une épicycloïde engendrée par un point de la circonférence d'un cercle qui roulerait sur la concavité du cercle éclairé ; ce cercle mobile ayant son diamètre égal au quart du diamètre de celui-ci. Huygens a donné la rectification et la quadrature de cette courbe (voir son Traité de la Lumière, ebap. VI).

Vers le même temps , De la Hire a trouvé que la caustique de Tschirnhauscn , formée par la réflexion dans un cercle éclairé par des rayons parallèles est aussi une épicycloïde , qu'on engendre en faisant rouler une circonférence de cercle sur la convexité d'un autre cercle d'un diamètre double de celui du cercle fixe.

Cette courbe est précisément la développée de celle de Huygens.

Ce sont là , je crois , les premières épicycloïdes dont on ait connu quelques propriétés géométriques. Ces courbes se sont présentées ensuite dans plusieurs autres questions de physique et de mécanique où elles ont joué un rôle remarquable.

Page 218.

Clairaut a considéré avant Euler les courbes que celui-ci appelle lineœ affines; il les regarde comme étant la projection l'une de l'autre, c'est-à-dire comme deux sections planes d'un même cylindre; et il les appelle courbes de même espèce. Il fait voir que les coordonnées d'un point de l'une rapportées a deux axes pris dans son plan , étant x et y, les coordonnées du point correspondant dans la seconde courbe , rapportées aux deux axes qui correspondent dans le plan de cette courbe aux deux premiers axes, sont de la forme X = Ax, Y=/xy. Ce qui montre que ces courbes de Clairaut sont les mêmes que celle* d'Euler. (Voir Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, année 1731.)

Page 265.

Un caractère propre des principes de dualité et d'homographie tels que nous les exposerons, et qui repose sur l'usage que nous y faisons du rapport anharmonique, c'est que, par la nature même de ce rapport, tous le* théorèmes que nous obtiendrons s'appliqueront d'eux-mêmes . presque toujours , aux figures tracées sur la sphère. De sorte que ces deux théories offriront un

Toi. XI. 70

ADDITIONS

moyen facile et naturel de transporter aux figures sphériques toutes les propriétés des figures planes , et de généraliser même les propriétés déjà connues des figures spliériqucs.

Le principe de dualité, par exemple, fera voir qu'une première Ggurc étaut tracée sur la sphère, outre la figure supplémentaire , la seule connue jusqu'ici comme jouissant de la propriété que , aux point* et aux arcs de grand* cercle* de la figure proposée , correspondent , dam cette figure supplémentaire , des arc* de grand* cercle* et des point* , respectivement ; outre cette figure supplémentaire, dis-jc, on en pourra tracer sur la sphère une infinité d'autres jouissant des mêmes propriétés; et ce principe enseigne le mode de construction de ces figures, parmi lesquelles la figure supplémentaire n'est plus qu'un cas particulier.

Ainsi nous pouvons dire que les deux principes de dualité et d'homographie offrent une véritable méthode rationnelle pour appliquer aux figures sphériques les propriétés des figures planes, et, en un mot, pour former la Géométrie de la sphère; et cette partie de la science de l'étendue peut dès aujourd'hui faire de rapides et faciles progrès.

Page 2B2.

Les deux porismes de Géométrie plane que nous avons appliqués à la Géométrie à trois dimensions ont aussi leurs analogues sur la sphère. En voici les énoncés :

l"porismc. Étant pri* *ur la sphère deux point* fixe* P,P", et deux arc* qui rencontrent l'arc PP' en E et E' ; et étant pri* *ur ce* deux arc*, respectivement , deux point* fixe* O, O' ;

Si de chaque point d'un arc donné on mène deux arc* aux point* P, P', qui rencontreront respectivement le* deux arc* EO, E'O' en deux point* a , a', on pourra trouver deux quantités A , u, telles qu'on aura toujours la relation

sin. Oa sin. OV

sin. Ea sin. EV

î* porisme. Étant menés sur la sphère deux arcs de grand* cercle*, qui se rencontrent en S , er étant pris *ur ce* deux arc* respectivement deux point* fixe* O, O' ;

Si autour d'un point donné de la *phère on fait tourner un arc qui rencontrera les deux arcs fixes en deux points a, a', o» pourra trouver deux quantités X, p telles qu'on aura toujours la

sin. Oa sin. OV

sin. Sa sin. Sa

Paoi 29*.

Depuis que la note VII , sur Pouvragc De lineis rectis se inrieem secantibus statica constructio de Jean Ccva , était imprimée, a paru le 24e cahier du Journal de l'école Polytechnique, où se trouve un mémoire de M. Coriolis , intitulé : Sur la Théorie des moment considérés comme analyse des rencontres des lignes droites, qui a le même objet que cet ouvrage de Ceva. M. Coriolis y démontre , en peu de mots et sans calculs , par la théorie des momens , des théorèmes de la nature de ceux qui se trouvent dans la théorie des transversales de Carnot , mais qui présen-

ADDITIONS

tent une plus grande généralité. On y remarque particulièrement une démonstration de la double génération de l'hyper boloïdc à une nappe par uue ligne droite.

Page 313.

A la suite de l'article (12) , ajouter :

(12 bis). Il suit du théorème (12) que si l'on a trois systèmes de deux points A, A', B, B' et C, C, conjugués harmoniques par rapport à deux points fixes E, F, les six points A, A', B, B', C, C seront en involution.

Car soitO le point milieu du segment EF , on aura

OA.OA' = ÔË' , OB.OB' = ÔT , OC.OC = 5E\ Donc les six points A, A', B, B', C, C forment une involution (art. 12).

Pam 390, A«t. 27.

Dans un mémoire qui a pour titre : Recherches sur ce qu'il y a d'analogue au centre de» forces parallèles, dans un système à forets non parallèles, M. Minding , docteur à l'université de Berlin , a démontré un théorème remarquable qui offre une nouvelle propriété des deux coniques excentriques d'une surface du second degré. Voici l'énoncé de ce théorème :

« Les forces d'un système étant supposées telles qu'elles ne se fassent pas équilibre, si on les fait tourner autour de leurs points respectifs d'application, sans déranger leurs inclinaisons mutuelles, il y a une infinité de positions du système dans lesquelles toutes les forces peuvent être remplacées par une résultante unique. La direction de cette résultante coupe toujours les contours d'une ellipse et d'une hyperbole situées dans deux plans perpendiculaire» entre eux; ces deux courbes sont d'ailleurs dans dételles relations, que les foyers de l'une coïncident avec les sommets de rautre.

» Réciproquement , chaque droite qui joint un point de l'ellipse à un point de l'hyperbole, peut être considérée comme la direction de la résultante unique , pour une certaine position du système. » (Voir le Compte rendu des séances de l'académie des sciences de Paris, par MM. les secrétaires perpétuels, année 1835, p. 282.)

En considérant les deux courbes en question comme les limites d'une série de surfaces du second degré toutes inscrites dans une même dcvcloppable (coy. p. 397), on est conduit à penser que le théorème de M. Minding n'est qu'un cas particulier de quelque théorème plus général , dans lequel ces surfaces du second degré joueraient un rôle analogue & celui de ces coniques.

Par exemple, au lieu de supposer que toutes les forces du système doivent prendre autour de leurs points d'applications des directions telles qu'elles aient une résultante unique , qu'on suppose que le couple minimum relatif à chaque position du système ait une valeur donnée (qui sera zéro dans le cas de la résultante unique), et qu'on demande quelle sera dans l'espace la position de l'axe de ce couple minimum ou axe central des moment. (Voir les Elément de sta-

ADDITIONS

tique de M. Poinsot, 6"* édition , p. 159). Le résultat de cette recherche offrira nécessairement une généralisation du beau théorème de M. Minding; et peut-être que les surfaces du sccoml degré y joueront le rôle que nous venons d'indiquer.

Cette théorie d'un système de forces qui tournent autour de leurs points d'application , en conservant leurs grandeurs et leurs inclinaisons mutuelles, peut prendre une grande extension et donner lieu à plusieurs questions intéressantes , si Ton y introduit la considération de l'axe central de* moment , au lieu de se borner au cas particulier d'une résultante unique. Par exemple :

I* Que l'axe central des momens doive rester parallèle à une même droite ; quelle sera la surface cylindrique qu'il décrira?

S* Qu'il doive rester parallèle à un même plan ; quelle sera la surface courbe qu'il louchera dans toutes ses positions?

8* Qu'il doive passer toujours par un même point; quelle sera la surface conique qu'il décrira ?

4" Qu'il doive être situé dans un plan donnné ; quelle sera la courbe qu'il enveloppera? Nous ne pouvons nous occuper dans ce moment de ce genre de recherches; nous l'indiquons , dans l'espoir qu'il offrira de l'intérêt à quelques lecteurs.

Page 396 , § 45.

Depuis que cette Note est imprimée , je suis parvenu à la généralisation des deux théorèmes des §5-11 et 43 , et j'ui reconnu, comme je l'avais pensé, que le second conduit à une démonstration purement synthétique et indépendante d'aucune formule d'analyse, du beau théorème sur l'attraction que deux ellipsoïdes dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers , exercent sur un même point situé au dehors de leurs surfaces. Une telle démonstration avait paru à d'illustres géomètres devoir offrir des difficultés , et être peut-être au-dessus des ressources de la synthèse '.

Les deux théorèmes généralisés peuvent se déduire des deux cas particuliers énoncés aux §5 41 et 43, au moyen d'un autre théorème qui est aussi une belle propriété des surfaces du second degré qui ont les mêmes coniques excentriques. Nous nous bornerons ici à l'énoncé de ce théorème î

Quand pluticur» turface* du tecond degré A , A', A", etc. , ont le» même* conique» excentrique», ti autour d'un point fixe S on fait tourner une trantrcrsale qui rencontre l'une d'elle» A en deux point» a , a', et qu'en appelant D le diamètre de cette turface qui e»t parallèle à la corde aa' . on porte tur la trantccrtale , à partir du point S un segment 5m égal à J , J étant une con-

fiante, l'extrémité m de ce tegment sera tur une turface du tecond degré s, qui aura ton ccnln au point S;

Pour let autre» turface» A', A", etc., on formera temblablement , arec d'autres conttante* S, i", etc., d'autret turface» i", etc.;

Toutet let turfacet S, 1', i", etc. , auront, en direction, le» même» axe» principaux ;

Et on pourra prendre le* conttante» J', J", etc. , de manière qu'elle» aient aussi le» même* conique* excenlriquct.

' legendre , Mémoire sur l'attraction des ellipsoïdes , iméré dan< le* Màmoirt» dt l'Académie des sciences , année 1788 ; r»ir page 488. — Poiisoa , KoU sur h mouvement de relation d'un cerys solide, usait 18M.

ADDITIONS

Pa« 489.

La formule

dont les arpenteurs romain* se servaient pour calculer l'aire du polygone régulier de n cotés, est celle qui exprime les nombres polygonaux de l'ordre (n — 2).

Ces nombres polygonaux étaient très-connus des Anciens ; on les trouve dans les ouvrages de Nicomaque , de Jambliquc, de Théon , de Diophante , et dans l'arithmétique de Boèce , où ils occupent une grande place. C'est là l'origine de cette formule , employée par les écrivains latins , et qui n'a dû être regardée par eux que comme approximative. Mais l'approximation est très-grossière, et ne repose sur aucune considération vraiment géométrique.

Nous avons dit que Gerbert avait reconnu que la formule relative au triangle n'était pas exacte , et qu'il avait essayé de la démontrer comme une formule approximative ; mais que sou raisonnement aurait dû le conduire à l'expression

qui est véritablement la formule approximative : l'approximation est d'autant plus grande que l'unité linéaire prise pour exprimer le côté a est plus petite.

Pagi 469.

Les mots pagina et paginula que nous avons traduits par le mot colonne, ce qui nous a conduit à un sens clair du texte de Boèce, sont employés par cet auteur dans le chapitre XVI du 4* livre de son Traité de la Musique, où ils ont évidemment cette même signification; les colonnes étant décrites , et indiquées dans la figure et dans le texte par des lettres.

Nous trouvons encore une signification à peu près semblable des mots pagina et paginula dans uue pièce sur l'astronomie, où ils sont employés pour exprimer l'intervalle entre deux cercles concentriques , dans la description d'un astrolabe. CcUc pièce se trouve dans un manuscrit du XIe siècle , à la suite de la lettre de Gerbert à Constantin, sur la construction d'une sphère céleste. ( Manuscrit* de la bibliothèque de Chartres. )

Page 470.

Au lieu de celte phrase : • Peut-être, quand on aura voulu supprimer les colonnes, et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs , aura-t-on laissé seulement celle» où se trouvaient des zéros , de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant une colonne), auraient fait l'office du zéro.'» Il faut substituer celle-ci : ■ Peut-être, quand on aura voulu supprimer les colonnes, et ne pas s'astreindre à l'usage d'un tableau préparé pour ce genre de calculs, aura-t-on laissé seulement celles où se trouvaient des places vides; de sorte qu'alors deux petites lignes verticales (formant une colonne) auraient indique une place vide, et fait l'office du xéro actuel. »

ADDITIONS

Page 472.

Le yocabularium de Nestor Dionisyus donne au mot Jbacus la signification suivante : Tabtlla super qua decuplationes fiunt : ./bacus dicta est quin etiam ipta decuplatio. (Édition dc 1400 . Venise, in-folio.) Ce passage s'applique parfaitement à notre explication de W-fbacus, et semblerait prouver qu'au XV' siècle la signification de ce mot n'était pas encore perdue , comme nous l'as uns pense déjà d'après un passage de la Bibliothèque hittoriale de Vignier.

Ptti 476.

Cela prouce-t-il qu'ils aient ignoré absolument ce système indien? C'est par une inadvertance, causée par la précipitation que nous avons mise dans la rédaction de cette dissertation qu'attendait l'imprimeur dont nous retardions à regret le travail, que nous nous sommes servi de l'expression système indien, au lieu de dire système de «"Abaccs. Il est évident que nous avons eu en vue seulement dc prouver que l'assertion dc Boèce n'était point inadmissible ; c'est-à-dire que le système de numération qu'il exposait, avait pu être connu des Pythagoriciens , comme il le dit : et ce système , nous le répétons , n'était pas précisément celui des Indiens , c'est-à-dire le notre actuel ; mais il n'en différait que par l'absence du sèro, et par l'usage nécessaire de colonnes qui marquaient la place des chiffres.

Ce système n'était au fond que la représentation écrite de la table à compter, connue chez les Romains sous le même nom d'.ibacus, qui était formée de cordons placés parallèlement, sur chacun desquels on pouvait faire glisser neuf boules, destinées à former des groupes qui représentaient les nombres 1,2,3, 4,8,6, 7 , 8 et 9; et les cordons exprimaient la nature des unités que ces groupes représentaient ; le premier cordon était celui des unités simples; le second celui des dixaines ; le troisième celui des centaines , et ainsi de suite.

On voit que Wl bacus figuré n'était autre que Wibacus manuel ou palpable; les colonnes représentaient les cordons, et les neuf caractères (ou chiffres) représentaient les neufs collections de boules que l'on pouvait former sur chaque cordon.

La transition de Wibacus manuel à l\*oacu» figuré, était donc naturelle, et n'exigeait aucun effort dc génie ; on ne refuserait pas d'eu faire honneur aux Romains , si Boèce ne l'attribuait pas à Pythagore. Et c'est ce nom de Pythagore qui donne lieu , aux yeux dc quelques personnes, à l'objection la plus forte contre notre explication du passage de Boèce; car on ne veut |>as admettre qu'Archimède et Apollonius aient eu connaissance de ce système de numération qui leur cul donné l'idée de la râleur de position des chiffres.

Mais déjà plusieurs écrivains ont pensé que les Grecs, du temps même dc Pythagore, ont connu la machine à compter, que nous venons de décrire sous le nom d'Jbacus des Romains ; car cette machine est de la plus haute antiquité chez tous les peuples ». Or, cette machine ,

' Cette machine ett le suanpau de* Chinois. Elle était en usage non-seulement dam pliuieur* partie* de l'Asie, maii dans plusieurs autre* contrée» de la terre, chei le* Étrusque* , en tgvpte, au Pérou. Voir le mémoire de M. Alex, de Mumboldt , in*éré dan* le loin. IV du Journal de mathématiques de H. Crelle, pag. 20JS, ioui le titre : l'ier dis bei verschiedenen l'olkern Michen Système ton Zahlzeiihen m ni ùber den Crspruny det Stelhnuerthes in den inditchen Zahlen : c'e*l-a-dire , Sur tes systèmes de chiffres usités thes les diffèrens peuples, et sur l'origine de la valeur de position dans V arithmétique indienne.

On trouve cette machine , »oit celle de* Chinoi», «oit celle de* Romains, représentée dans plusieurs oit-

ADDITIONS

comme l'observe l'illustre M. de Humboldt 1 , est fondée sur le principe de la râleur de potition des signes représentatifs des nombres. Elle devait donc, tout aussi bien que Wlbacus figuré, décrit par Boèce, donner à Archimède et à Apollonius l'idée de la râleur de potition, idée, du reste , que ces deux grands hommes ont eue , puisqu'ils l'ont appliquée , comme nous l'avons dit , le premier à ses octadet et le second à ses tétrades.

Page B16.

On a imprimé sous le nom de Sacro Bosco, un traité d\4lgoritme , intitulé : Algorismu* douant Joannis de Sacro Ruseo, notiter impressum, Venctiis, 1523, in-4°. Cet ouvrage n'est pas de Sacro Bosco, dont le traité d'arithmétique est écrit en vers; mais il est le même que celui que Clichtovée a fait imprimer sous le titre : Opu$culum de praxi numerorum quod Algorismum rocant.

Ce traité présente avec les autres une différence légère, mais qui mérite néanmoins d'être remarquée. C'est que l'auteur dit de placer un point au-dessus du chiffre des m t'Aie, pour le distinguer des autres; puis semblablement , un point sur le quatrième chiffre après celui des mille; et ainsi de suite sur les chiffres pris de quatre en quatre. Ce sont , comme on voit , les tétrades d'Apollonius qui sont réduites , daus le système actuel , à des tranches de trois chiffres , puisque nous dénommons un nombre par tranches de trois chiffres en nous servant des mots unités , mille, millions, billions, etc. Au point on a substitué des virgules qui séparent ces tranches de trois chiffres.

On trou ve aussi ces tétrades marquées par un point , dans le Traité d'arithmétique de Purbach , Algorithmus G. Peurbachii in integris , Viennx, 1515, in-°.

vragei. ( KoiVVelier, Ré rit m auguttauarum vindelicarum UM octo, Venite, 1603, in-folio, pag. 268. — La Loubère, Ou royaume de S tant , Pari*, 1601 , 2 vol. in-13. — Du Molinel, Le cabinet de la bibliothèque de S --',c,u i ,/ît , Pari», 1602, in-folio, pag. 33. — Hager, An Exploitation t-f tke lltmtnlary Ckaracters oftht Chimie; lond.,1801, in-folio.

■ Toit le mémoire cité de M. de Hamboldt.

ADDITION

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TABLE DES MATIÈRES