PRINCIPE DE DUALITÉ

$ Ier. Deux méthodes à suivre.

Nous avons dit, dans notre cinquième Époque, que le Principe de Dualité, que nous énoncerons d'une manière absolue, comme une propriété inhérente aux formes de l'étendue, n'est qu'une déduction rationnelle d'un seul théorème de géométrie. Il paraîtrait donc naturel de commencer par démontrer ce théorème, pour en tirer, comme une simple conséquence, le principe en question. C'est en effet ce que l'on peut faire aisément. Mais si, généralement, une déduction d'une vérité fondamentale , offre moins de généralité que cette vérité

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

première, de telle sorte que l'on ne puisse passer indifféremment de l'une à l'autre, il n'en est pas ainsi du principe de dualité, tel que nous allons le présenter. Ce principe comporte une si grand généralité, et il est d'une manière si précise l'expression ou la traduction du théorème en question, dans toute sa portée, que l'on peut passer du principe de dualité à ce théorème, avec la même facilité que du théorème au principe.

De là résulte qu'on peut suivre deux marches différentes, l'une conduisant directement au principe, et l'autre directement au théorème.

Dans la première, nous faisons usage de la géométrie analytique de Descartes, c'est-à-dire de la doctrine des coordonnées; la seconde se renferme dans les seules ressources de la géométrie pure des Anciens qui , de la sorte , auraient pu parvenir , avec leurs seules connaissances acquises, au principe de dualité.

Cette seconde manière de procéder serait plus logique, et plus conforme au but que nous nous sommes proposé dans cet écrit, la généralisation et l'accroissement des doctrines de la géométrie; mais, bien que cette marche soit extrêmement simple , il nous faudrait cependant prendre d'un peu haut diverses considérations géométriques auxquelles on est moins accoutumé aujourd'hui qu'à l'emploi des formules de l'analyse. Pour nous conformer donc aux habitudes de la plupart des géomètres, et offrir une lecture plus facile, nous emploierons, pour le moment, la méthode analytique. Ainsi nous démontrerons directement le principe de duulité, et nous en conclurons le théorème unique de géométrie, dont ce principe n'est que l'expression.

Nous donnerons dans un autre écrit , où nous présenterons la théorie et diverses applications du rapport anhamwnique , la démonstration directe, purement géométrique et indépendante de In doctrine des coordonnées, du- théorème général en question. Cette démonstration, quand les voies seront préparées, sera plus briève et plus facile que la marche analytique que nous allons employer pour le moment.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

§ II. Méthode analytique. — Propositions préliminaires.

(1) Théorème I. Si l'on conçoit dans F espace un plan mobile , déterminé datis chacune de ses positions par une équation rapportée à trois axes coordonnés quelconques des x, y et z; et que les paramètres de cette équation conliennnent , au premier degré, les coordonnées d'un point que nous appellerons directeur ;

1° Quand ce point parcourra un plan, le plan mobile tournera autour cf un point fixe ;

2° Quand le point parcourra une droite, le plan mobile tournera autour d'une seconde droite ;

3° Quand le point parcourra une surface courbe, le plan mobile roulera sur une autre surface courbe;

Si la première surface est du second degré , la seconde sera aussi du second degré ;

Et si la première surface est géométrique et du degré m, lu seconde surface sera aussi géométrique, et telle que par une droite quelconque , on pourra lui mener m plans tangens.

En effet soient x' , y', s', les coordonnées du point directeur, l'équation du plan mobile sera de la forme

(1) Xx' Y y' •+■ Z*' =s U ;

X, Y, Z et U étant des polynômes de la forme ax-\- by -f- es — d, où les coordonnées courantes x, y, z n'entrent qu'au premier degré. Soit

(2) Lx -*- My N* n= 1

l'équation du plan que parcourt le point directeur; L, M, N étant des constantes. Les coordonnées a:', y' , s' de ce point auront entre elles la relation

(3) Lr' ■+■ My' -♦- Ns' = 1.

On voit aisément que les valeurs des trois coordonnées x, y, s , tirées des trois équations suivantes :