X = LU, Y = MU, X = NU
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
déterminent un point qui se trouve sur le plan mobile dans toutes ses positions. Car si on substitue ces coordonnées dans l'équation (1) du plan mobile , il en résultera l'équation La?' + My' -f- Na' = 1 , qui est identique, puisqu'elle n'est autre que l'équation de condition (3).
Ainsi le plan mobile, dans toutes ses positions, passe par un point fixe, dont les coordonnées sont déterminées par les trois équations (4); ce qui démontre la première partie du théorème.
Appelons ce point fixe le pôle du plan que le point directeur a parcouru.
Quand le point directeur parcourt une droite, qu'on imagine deux plans passant par cette droite ; le point directeur se mouvra dans ces deux plans en même temps; le plan mobile passera donc par deux points fixes qui seront les pôles de ces plans ; ce plan mobile tournera donc autour de la droite qui joint ces points ; ce qui est la seconde partie du théorème.
Si le point directeur parcourt une surface courbe A , le plan mobile enveloppera une seconde surface courbe A'.
Supposons la surface A géométrique et du degré m : une transversale menée arbitrairement la rencontrera en m points ; à chacun de ces points, considéré comme point directeur, correspondra un plan tangent à la surfuce A'; ces plans tangens, qui seront en nombre m, passeront tous par une même droite ( d'après la seconde partie du théorème) ; la surface A' admettra donc m plans tangens passant par une même droite quelconque.
Si la surface A est du second degré, la surface A' sera donc aussi du second degré ; ce qui démontre les deux dernières parties du théorème.
(2) La surface A' , qui est l'enveloppe du plan mobile, quand le point directeur parcourt la surface A, peut être déterminée d'une seconde manière, par points, au moyen du théorème suivant:
Théorème II. Quand le point directeur parcourt une surface courbe A, la surface enveloppe du plan mobile est le lieu géométrique des pôles de tous les plans tangens à la surface A ;
Et le point où le plan mobile, dans une de ses positions, touche
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
cette surface enveloppe, est le pôle du plan tangent à la surface A, mené par le point directeur auquel correspond cette position du plan mobile.
En effet, pour obtenir le point où le plan mobile, dans une de ses positions, touche sa surface enveloppe A', on regarde ce point comme l'intersection de ce plan tangent et de deux autres plans tangens infiniment peu différons ; or ces trois plans correspondent à trois positions du point directeur infiniment voisines, c'est-à-dire à trois points d'un élément de la surface A. , lesquels sont sur son plan tangent. Le point de contact du plan mobile et de la surface A' est donc le pôle de ce plan tangent à la surface A ; ce qui démontre, en même temps , les deux parties du théorème énoncé.
(3) Remarque. Ce théorème sera très-utile pour construire, par points, la surface enveloppe du plan mobile, quand le point directeur parcourra une surface donnée A.
Car il suffira de mener les plans tangens de la surface A, et de chercher leurs pôles ; ce seront les points de la nouvelle surface. Or ces pôles se déterminent, aisément, car soit La? + My -f Ns— 1 l'équation d'un plan tangent à la surface A, les coordonnées de son pôle seront données par les trois équations linéaires
X = LU , Y = MU , Z s= NU.
Ce moyen de construire par points la surface enveloppe du plan mobile, sert aussi pour trouver immédiatement l'équation de cette surface , sans recourir au calcul différentiel , ordinairement indispensable dans les questions de surfaces enveloppes.
Car le calcul se réduira à éliminer entre les trois équations que nous venons d'écrire, et l'équation de la surface proposée A, les coordonnées x', y' , s' appartenant à cette surface; l'équation résultante en X, Y, Z, qui sont des fonctions des coordonnées x , y, s de la surface enveloppe du plan mobile, sera précisément l'équation de cette surface.
Supposons, par exemple, que le point directeur parcourre la sur-
580 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
face du second degré représentée par l'équation
A*' -4- By1 Cs1 ï (Djt -4 Ey ¥s) — k;
l'équation du plan tangent au point ( x' , y' , z' ) de cette surface sera
jr(A*' + D)+y (By' + E) -♦- s (Cs' + P) = K - (Djt' -f- Ey' F*').
Les trois équations de condition ci-dessus seront donc
X [(K — (Djt' 4- Ey' 4- Fa')] = (A^ + D). U . Y L(K ^ (D,' + Ey' F*')] = (By' -4- E) U . Z [(K - (D*' ■+- Ey' -f- F*')] = (C*» + F) U.
11 suffit d'éliminer x' ,y' , z' entre ces trois équations et la suivante
A*'- ■+- By'1 -4- Ci" -t- 2 ( Dx' -t- Ey' -t- Fa' ) = k.
Le résultat
(V X* D' E' F'\ /, LD ME ISF\.
. (r-* f - ëj( k - r - r * c) - ( 1 - t - ■? + ■
est l'équation de la surface enveloppe. Cette équation est du second degré, puisque X, Y, Z sont des fonctions linéaires des coordonnées courantes x } y s z.
(4) Théorème III. Quand le point directeur se meut à l'infini, le plan mobile tourne autour d'un point fixe , comme si le point directeur parcourait un plan.
En effet, si le point directeur est situé à l'infini sur une droite ayant pour équations
r = az, y = bi,
on aura
et l'équation (1) du plan mobile, correspondante à cette position du point directeur, deviendra
(aX -+- AY Z)*' = l>.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 581 Or z' est infini; cette équation se réduit donc à
Telle est l'équation du plan mobile, dans sa position correspondante au point directeur situé à l'infini sur la droite dont nous avons posé les équations.
Ce plan passe évidemment par le point dont les coordonnées x , y , z sont déterminées par les trois équations
Donc, dans quelque position que soit situé, à l'infini, le point directeur, le plan mobile passera par le point fixe que déterminent ces trois équations; comme si le point directeur parcourait un plan. C. Q. F. D.
(5) Si l'on cherchait à déterminer ce plan, il faudrait mettre dans les trois équations (4), à la place do s, y, s, leurs valeurs tirées des trois équations ci-dessus; on aurait ainsi les valeurs des coefliciens L, M, N correspondantes à la position de ce plan. Or ces équations deviennnent
LU s o, MU ==o, NU = o,
U n'est pas nulle, puisque c'est une fonction de x, y, z, qui est devenue un nombre par la substitution des valeurs de ces coordonnées; il faut donc qu'on ait
L bb o, M — o , N ss o;
et dès lors l'équation hx + My + = 1 représente un plan situé à l'infini, et indéterminé de direction.
Nous pouvons donc énoncer, avec M. Poncelet, cette' idée paradoxale . mais d'une justesse mathématique :
L'espace indéfini a pour enveloppe une surface plane. ( Traité
DES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES, p. 373).
To». XI. 74
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
(6) Théorème IV. Quand le point directeur prend quatre positions a, b, c, d, en ligne droite, le plan mobile prend quatre positions correspondantes , que nous désignons par A, B, C, D;
Ces quatre plans passent par une même droite, et leur rapport anharmonique1 est égal à celui des quatre points a, b, c , d ; c'est-àdire que l'on a
sin. C.A ^ sin. D,A ca da sin. C,B * sin. D,B = cï ' db '
En effet, les quatre plans A, B, C, D passent par une môme droite, puisque les quatre points a, b, c, rfsont en ligne droite; par conséquent si on tire une transversale quelconque qui rencontre ces quatre plans aux points a, 6, y, $, on aura
ya &a. sin. C,A ^ sin. D,A <yC ' JC sin. C,B * sin. D,B
11 suffit donc de prouver que le premier membre de cette équation est égal au second membre de l'équation ci-dessus.
Pour cela, soient l, v,ï, les coordonnées d'un point fixe K , pris sur la droite des quatre points a, b, c, d; et soient r' , r" , r1", rIV, les distances de ces quatre points au point K. ; leurs coordonnées seront
li«*ir le point a ; pour le point b; pour le point c;
z'" = Ç -4- nr'";
pour le point d ;
y mr' ,
K nr';
y mr" ,
Ç -»- nr" ;
g ■+• Ir" ,
v -4- mr" ,
Ç + nr";
1 Nous avons donne dans la Note IX la définition du rapport anharmonique de quatre points, ou de quatre plans.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
/, m, » étant les quantités angulaires qui déterminent la direction de la droite ab.
L'équation du plan mobile, dans sa position A , correspondante au point directeur a , est
U ï» + U - U -f- (/X m Y -4- nZ) r = o.
soit p' la distance du point K au point où ce plan rencontre le droite ab ; les coordonnées de ce dernier point seront de la forme
elles doivent satisfaire à l'équation du plan; les y mettant, on aura une équation qui donnera la valeur de Cette équation sera évidemment de la forme
P, Q, R, S étant des fonctions de £, v, ç, /, m, ».
Les distances p" f p'" , p™, du point K aux points où les trois autres plans B, C, D rencontrent la droite ab, seront données parles équations semblables
p -4- Q," + (R S?" ) r" = o, P + Qy» -h (R -f- S/")r"'=o, P + Q^iy + (R + Sp" ) r" = o.
De ces équations, on tire
— r"'r" Q-+-Sr'
?» — />' f* ■r' Q-4-Sr"
,s'» — fi" f" — t" QH-Sr'
D'où
p"' — p" 'fi" — ?" r'" — r" * ri*— r" '
équation qui démontre le théorème énoncé.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
(7) Remarque. L'équation P -f- Qp' + (R -f- Sp' ) r1 — o fait voir que : sur une droite quelconque , il se trouve en général deux points qui, regardés comme deux positions du point directeur , donnent deux plans mobiles qui passent par ces points respectivement.
En effet , si on veut que le plan A , correspondant au point a , passe par ce point, on aura, dans l'équation ci-dessus, p' = r1 , et elle deviendra
P + (Q + R)r' + Sr"=o.
Les deux racines de cette équation détermineront les deux points en question sur chaque transversale.
Eu général, quand le plan mobile passe par son point directeur, ce point a pour lieu géométrique une surface du second degré.
En effet l'équation du plan mobile est
si ce plan passe par le point directeur , cette équation sera satisfaite quand on mettra x' , y', z' à la place de x, y, s, dans X, Y, Z et U. Mais alors on aura une équation du second degré; cette équation représentera donc une surface du second degré sur laquelle sera le point directeur ; ce qui démontre le théorème.
Il faut observer, cependant, que si l'équation du plan mobile était telle qu'en y faisant x=x', y~y',z=z' , on la rendit identique, ce qui est possible, ainsi que nous le verrons (155), le plan mobile passerait constamment par le point directeur.
(8) Théorème V. Etant données cinq positions du point directeur, on pourra prendre arbitrairement dans l'espace cinq plans qui seront les cinq positions du plan mobile, correspondantes respectivement à ces cinq points.
En effet soient x' , y' , z' les coordonnées d'un des cinq points donnés, et
l'équation du plan qui doit correspondre à ce point.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 5585
Cette équation doit être identique a l'équation générale du plan mobile, que nous avons représentée par
X*' + Yy' Z, = U.
X, Y, Z et U sont des fonctions linéaires de x, y , z de la forme
X = ax by ■+- a — d,
Y bb a'x + A'y c'* - d' , Z = a"x h- i'y -+- c"i — d" ,
V = a"'x -+- fc"'y -+- c"s — d"'.
D'après cela, l'équation générale du plan mobile est
(«» + by -+- cz — d) x' -4- (a'x -»- b'y + c'a —df)y' -+- (o"x -♦- fc"y -+- c 'a — d" )*'
ou
( ax' + a'y' + a"^ — a"')x + (bx1 + *y + fc'V —6"') y + (c** -♦- c'y' -«- <•"*' - c l')z
Pour que cette équation soit identique à l'équation particulière du plan donné , il faut qu'on ait les trois équations de condition
ax' -+- o'y' o"a' — a'" mm P (dx' ■+■ d'y' + d"s' — d"') , bx> + b'y' -+- b"%' — b'" = Q (dx' -+- d'y' + d"s' — d'"), ex1 -4- c'y' + c'V — c'" = R (dx- + iTy' <i"*' - <f ").
Pour chacun des quatre autres plans donnés, on aura trois équations de condition semblables à celles-ci, et où entreront les coordonnées du point auquel correspond ce plan. On aura donc en tout quinze équations de condition, qui serviront à déterminer quinze des seize coeiliciens a, b, c, </, o', etc.; et comme ces cofficiens n'entrent qu'au premier degré dans ces quinze équations, leurs valeurs seront toujours réelles, et s'obtiendront facilement. Le théorème est donc démontré.
On voit par la forme des quinze équations, qui n'ont pas de termes connus , que le seizième coefficient restera indéterminé. Car on peut diviser ces quinze équations par l'un des seize coefficiens.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
(9) Le théorème I conduit à une proposition de Géométrie analytique dont nous aurons occasion de faire usage ( § XVII ) ; la voici :
Quand les coefficient des trois coordonnées , dans t équation dun plan mobile, sont variables et ont entre eux une relation du premier degré, ce plan passe constamment par un point fixe ;
Si ces coefficient ont entre eux une relation du second degré, le plan enveloppe une surface du second degré ;
Et 3 en général, si ces coefjiciens ont entre eux une relation du degré m , le plan enveloppe une surface géométrique à laquelle on peut mener m plans tangens par une mémo droite.
En effet, soient x' , y' , s', les trois coeificiens de l'équation du plan mobile; cette équation sera
chaque système de valeurs de x' , y', s' déterminera un plan.
Mais on peut regarder ces trois variables comme les coordonnées d'un point, et la relation donnée entre elles représentera une surface, lieu géométrique de ce point; le théorème énoncé est donc une conséquence du théorème I.
$ III. Démonstration du Principe de Dualité.
(10) Nous diviserons ce principe en deux parties, dont la première est relative à la corrélation des relations descriptives des figures; et la seconde à la corrélation de leurs relations de grandeur, ou métriques.
Première partie. Lorsqu'une figure de forme quelconque est donnée, on peut toujours former, d'une infinité de manières, une autre figure , dans laquelle les points, les plans, les droites, correspondront respectivement à des plans, à des points, à des droites de la première figure;
Les points situés sur un même plan , dans F une des deux figu-
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
res, auront pour correspondons des platis passant tous par le point qui correspond à ce plan ;
Les points situés sur une mémo droite , dans l'une des deux figures, auront pour correspondons , dans l'autre figure, des plans passant par la droite gui correspondra à la première;
L.es points situés sur une surface courbe, dans la première figure, auront pour correspondons , dans la seconde, des plans tangens à une autre surface courbe j et les plans tangens à la première surface , en ces points , auront pour correspondans précisément les points de contact des plans tangens à la seconde surface ;
Enfin, tous les points situés à l'infini, considérés comme appartenant à la première figure, seront regardés comme situés sur un même plan, et tous les plans qui leur correspondront passeront par un même point , qui correspondra à ce plan situé à l infini.
Ce sont tes deux figures que nous appellerons corrélatives.
Ce principe résulte évidemment des théorèmes 1, II et III. Car on formera la seconde figure, en faisant mouvoir un plan dont l'équation contienne au premier degré les coordonnées d'un point mobile auquel on fera parcourir toutes les parties de la première figure. La seconde figure sera l'enveloppe du plan mobile.
(1 1) Il est clair que des droites situées dans un même plan auront pour correspondantes, dans la seconde figure, des droites qui passeront toutes par un môme point ; ce point correspondra au plan des premières droites.
Par conséquent, des droites situées a l'infini auront pour correspondantes des droites passant toutes par le point de la seconde figure qui correspond à l'infini de la première.
Pareillement des droites passant toutes par un même point, dans la première figure, donneront lieu a des droites situées toutes dans le plan correspondant à ce point.
Par conséquent, des droites parallèles entre elles donneront lieu a des droites situées toutes dans un même plan passant par le point de la seconde figure qui correspond à l'infini de la première.
588 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Des plans parallèles entre eux donneront lieu, dans la seconde figure, à des points situés sur une même droite passant par le point qui correspond, dans cette seconde figure, à l'infini de la première. Car les plans parallèles entre eux seront considérés comme passant par une môme droite située à l'infini.
Enfin des plans parallèles à une même droite donneront lieu à des points situés tous sur un même plan passant par le point qui correspond à l'infini.
(12) Deuxième partie. Dans deux figures corrélatives , à quatre points de la première, situés en ligne droite, correspondent, dans la seconde, quatre plans passant par une même droite, et dont le rapport anharmonique est toujours égal au rapport anharmonique des quatre points ;
El, à quatre plans de la première figure, passant par une même droite, correspondent dans la seconde figure, quatre points situés en ligne droite, dont le rapport anharmonique est égal précisément au rapport anharmonique des quatre plans.
Ainsi soient a, b, c, d quatre points de l'une des deux figures, situés en ligne droite, et A, B, C, D les quatre plans correspondans, dans l'autre figure, on aura toujours
»in. ÇA , sin. D,A ça % da V' »in. C,B 1 sin. D,B ~~ cb db
Cela résulte du théorème IV.
Si on tire arbitrairement une transversale , qui rencontre les quatre plans A, B, C, D aux points a, S, y, d, on aura
yx ix ca da
{i) Çe : Te = êb : Jb'
Car le premier membre de cette équation est égal au premier membre de l'équation du théorème.
(13) Si le point d est situé à l'infini, le plan D passera par le point qui correspond, dans la seconde figure, à l'infini de la première ; le
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
rapport pb sera égal à l'unité, et les deux équations ci-dessus se réduiront à
sin. C,A sin. D,.\ ca sin. C,B ' sin. D,B ~~ 7b'
y* Jx ca
Ajoutons que si le point de la seconde figure, qui correspond à l'infini de la première, est lui-même à l'infini, tous les plans qui répondront dans la seconde figure aux points a l'infini de la première , seront parallèles à une môme droite.
Si donc on prend pour transversale une parallèle à cette droite , le point tJ sera à l'infini, et la seconde des deux équations précédentes se simplifiera encore; elle deviendra
<ya ca yl~ 7b'
Ainsi une partie des relations métriques des deux figures pourront être exprimées par des équations de cette forme.
(14) L'équation (l) exprime la propriété la plus importante des figures corrélatives. On peut dire qu'elle est le fondement de toute cette théorie. Car c'est sur cette relation si simple que reposent la construction des figures corrélatives les plus générales, et la plupart des applications du principe de dualité.
C'est, le plus généralement, sous sa forme même , ou sous celle de l'équation (2), que nous appliquerons cette relation. Mais cependant elle est susceptible d'une autre expression , qui simplifiera extrêmement les transformations, dans certains cas, et que nous allons de suite faire connaître.
Écrivons l'équation ( 1 ) de cette manière :
sin. C,A < ca «in. D,A < da sin. C,B : 7b ~ sin. D,B '' 7b'
A un cinquième plan E de la première figure, passant par la même Tos. XI. 75
droite que les quatre premiers, correspondra un cinquième point e de la seconde figure, situé sur la môme droite que les quatre premiers ; et l'on aura l'équation
»in. E.A ea sin. I>. V da
sin. E.B : cf. ~~ sin. D,B ' db'
Donc , en général , quel que soit un plan C mené dans la première figure , par la droite d'intersection de deux plans fixes A, B de cette figure, il lui correspondra un point c de la seconde figure, situé sur la droite qui joint les deux points fixes a, h qui correspondent aux plans A, B ; et l'on a entre ce plan C et ce point c la relation
sin. C,A ca
— — — ; — = consl .
sin. C,B cb
Maintenant, concevons dans le plan C un point quelconque m; le rapport sera égal au rapport des distances de ce point aux deux plans A, B.
Au point m correspond, dans la seconde figure, un plan M. qui passe par le point c, puisque le point m est pris dans le plan C. Le rapport g est égal au rapport des perpendiculaires abaissées des deux points a, b sur le plan M. Notre équation exprime donc que le rapport des distances du point m de la première figure, aux deux plans fixes , est au rapport des distances du plan M de la seconde figure , aux deux points a, h, dans une raison constante, quel que soit le point m, et le plan M qui lui correspond.
(15) Ainsi nous pouvons énoncer comme principe des relations métriques des figures corrélatives , ce théorème , qui est une autre expression de la seconde partie du principe de dualité :
Dans deux figures corrélatives, le rapport des distances d'un point quelconque de la première figure, à deux plans fixes de cette figure, est au rapport des distances du plan qui correspond à ce point, dans la seconde figure, aux deux points qui correspondent
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
aux deux plans de la première , dans une raison constante, quel que soit le point pris dans la première figure.
(16) Examinons le cas où I nu des deux plans fixes de la première figure est à l'infini. Soit le plan B situé à l'infini. Il nous faudra alors nous servir de l'équation (2), qui devient
yx ca da Z =7b ' db'
OU
OU
quel que soit, dans la première figure, le plan C mené parallèlement au plan A.
Or yx est proportionnel à la perpendiculaire abaissée d'un point m du plan C sur le plan A; " est égal au rapport des distances du plan M, qui correspond au point m, aux deux points a, c; l'équation exprime donc ce théorème :
Dans deux figures corrélatives , la distance d'un point quelconque de la première figure , à un plan fixe de celte figure, est au rapport des dislances du plan qui correspond à ce point dans la seconde figure, au point qui correspond à ce plan fixe, et au point qui correspond à l'infini de la première figure, dans une raison constante, quel que soit le point pris dans la première figure.
Ce théorème et le précédent seront d'une application spontanée dans beaucoup de cas de la transformation des figures.
S IV. Applications du Principe de Dualité aux propriétés descriptives des figures.
(17) Pour appliquer le principe de dualité, on devra d'abord con-
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
cevoir la forme et la description de la figure corrélative de la figure proposée; ce qui se fera rapidement et sans difficulté, au moyen de la première partie du principe.
Par exemple, que la figure proposée soit une courbe à double courbure ; à chacun de ses points correspondra un plan dans la figure corrélative ; et cette figure sera une surface dévcloppable , enveloppe de tous ces plans. Chaque tangente à la courbe étant considérée comme le prolongement de la corde qui joint deux points infiniment voisins, à cette tangente correspondra une droite qui sera l'intersection de deux plans tangens à la développable, infiniment voisins, c'est-à-dire une arête ou caractéristique de cette surface. A un plan mené par une tangente à la courbe , correspondra un point de la caractéristique correspondante à cette tangente. Le plan osculateur en un point de la courbe proposée passe par deux tangentes infiniment voisines ; le point qui lui correspondra sur la développable sera donc à l'intersection de deux caractéristiques consécutives; ce sera donc un point de l'aréto de rebroussement de la surface.
Ainsi on voit que la forme générale de la figure corrélative d'une courbe à double courbure est parfaitement déterminée.
Réciproquement, à une surface développable proposée, correspondra, dans la figure corrélative, une courbe à double courbure.
(18) Que la figure proposée soit une surface courbe coupée par un plan ; à celte surface correspondra dans la figure corrélative une seconde surface courbe; aux points d'intersection par le plan correspondront des plans tangens à la seconde surface; et tous ces points étant dans un plan, tous ces plans tangens passeront par un même point, qui correspondra à ce plan; ces plans formeront donc un cône. Ainsi on aura, pour figure corrélative, une surface courbe inscrite dans un cône.
(19) Si deux surfaces ont un point de contact, les deux surfaces corrélatives auront aussi un point de contact. Car au point de contact des deux premières, et à leur plan tangent commun en ce point, correspondront un plan tangent commun aux deux autres surfaces,
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
et un point qui sera sur ces deux surfaces leur point de contact commun avec ce plan (Théorème 11).
D'après cela, si deux surfaces sont circonscrites Tune à l'autre suivant une courbe, les deux surfaces corrélatives seront aussi circonscrites l'une à l'autre, et les plans tangens à ces surfaces, menés par les points de leur courbe de contact, formeront une développable correspondante à la ligne de contact des deux premières surfaces.
(20) Si deux courbes ont un contact de l'ordre n eu un point , c'està-dire ont n élémens consécutifs communs, les deux développables corrélatives de ces courbes auront n caractéristiques consécutives communes; conséquemment tout plan les coupera suivant deux courbes qui auront un contact de l'ordre n; ces deux surfaces auront donc un contact de l'ordre n suivant une caractéristique commune.
(21) D'après cela, soient deux surfaces ayant un contact du premier ordre suivant toute l'étendue d'une courbe, coupons- les par un plan tangent à cette courbe; on sait que les deux sections auront un contact du troisième ordre; formons la figure corrélative, nous en conclurons aisément que :
Quand deux surfaces ont un contact du premier ordre suivant une courbe, si on conçoit la développable qui leur sera circonscrite suivant cette courbe , et qu'on regarde un point d'une caractéristique de cette développable comme le sommet commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces , ces doux cônes auront un contact du troisième ordre suivant cette droite.
(22) Si le plan sécant, au lieu d'être simplement tangent à la courbe de contact des deux premières surfaces, était un plan oscillateur de cette courbe, les deux courbes d'intersection des surfaces par ce plan auraient, comme on sait, un contact du cinquième ordre (Développemens de Géométrie de M. Ch. Dupin, p. 230 ) ; on en conclut que :
Quand deux surfaces ont un contact du premier ordre suivant une courbe, si on conçoit la développable circonscrite à ces surfaces suivant cette courbe, et qu'on regarde un point de l'arête de rebroussement de cette développable comme le sommet commun de
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
deux cônes circonscrits aux deux surfaces, ces deux cônes auront un contact du cinquième ordre suivant leur arête commune, qui sera la caractéristique de la développablc , sur laquelle est pris leur sommet commun.
On voit comment les théorèmes généraux sur les contacts des surfaces, démontrés par M. Ch. Dupin dans ses Développement de Géométrie , donneront lieu à d'autres théorèmes aussi généraux , qui seront leurs corrélatifs.
(23) Soit ce beau théorème de M. Monge : « Si, par tous les points )> d'une surface courbe, on conçoit des droites menées dans l'espace sui- » vantune loi quelconque, et qu'on considère lune de ces droites; de » toutes celles qui lui sont infiniment voisines, il n'y en a générale- » ment que deux qui la rencontrent. » ( Voir le Mémoire de Monge sur les déblais et remblais , inséré dans les Mémoires de l'académie de Paris, ann. 1 781 , et la Correspondance polytechnique, t. III, p. 152.)
Formant la figure corrélative , on aura une seconde surface courbe, dont les plans tangens correspondront aux points de la première. Les droites menées par ces points, auront pour correspondantes des droites menées dans les plans tangens de la seconde surface , suivant une certaine loi. Or, quand deux droites se rencontrent, leurs corrélatives se rencontrent aussi; on conclut donc du théorème énoncé le suivant :
Si, dans tous les plans tangens d'une surface courbe, on conçoit des droites menées suivant une certaine loi, et que Von considère une de ces droites: de toutes celles qui lui sont infiniment voisines, c'est-à-dire qui sont situées dans les plans tangens infiniment voisins de celui où se trouve la première droite, il n'y en aura généralement que deux qui la rencontreront.
Ainsi, par exemple, si l'on projette une droite fixe sur tous les plans tangens d'une surface courbe quelconque, et qu'on considère l'une de ses projections; de toutes les projections infiniment voisines de celle-là, il n'y en aura généralement que deux qui la rencontreront.
(24) Le théorème général que nous venons de déduire de celui de Monge, comme son corrélatif pouvait s'en conclure directement,
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
comme n'étant au fond que ce théorème même, présenté sous une autre forme. Car toutes les droites comprises dans les plans tangens a la surface vont rencontrer un plan fixe, mené arbitrairement, en ses dilTérens points ; on peut donc les considérer comme issues de ces points, suivant une certaine loi déterminée; dès lors chacune d'elles doit être rencontrée par deux de celles qui en sont infiniment voisines.
Il arrive ainsi quelquefois qu'un théorème a pour corrélatif ce théorème lui-même , présenté sous le môme énoncé ou sous un énoncé différent. Mais ce sont là des exceptions; car généralement deux théorèmes corrélatifs sont essentiellement dhTérens.
§ V. Applications du Principe de Dualité aux propriétés métriques
des figures.
(25) Ce qui précède suffit pour montrer comment on établira toujours la corrélation de formes et de description des figures. Nous pouvons donc, sans entrer dans de plus longs développemens, nous occuper de la corrélation de leurs relations de grandeur ; ce qui est la partie la plus importante du principe de dualité, parce qu'on a presque toujours de telles relations à considérer dans les recherches des propriétés de l'étendue.
C'est au moyen de la seconde partie du principe qu'on établira la corrélation des relations métriques des figures.
Supposons qu'on ait une relation entre les distances de plusieurs points d'une figure; on formera, relativement à ces points et aux plans qui leur correspondront dans la figure corrélative, autant d'équations semblables à celle du principe (12), que la question en comportera; et , au moyen de ces équations , on cherchera à éliminer dans la relation donnée les distances des points de la première figure ; il restera une relation entre les sinus des angles des plans correspondans de la seconde figure; ou bien entre les segmens que ces plans feront sur certaines transversales; ce sera la relation corrélative cherchée.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Il ne faut pas perdre de vue que quand des points de la première figure seront situés à l'infini, les équations se simplifieront beaucoup (13).
Divers exemples vont faire comprendre parfaitement l'usage de cette méthode.
j) VI. Sur les pôles et les plans polaires des surfaces
du second degré.
(26) Soit une surface du second degré ; si on lui mène deux plans tangens parallèles entre eux, la droite qui joindra les deux points de contact a y b passera par le centre o de la surface; et l'on aura
oa — oh , ou ^ = 1.
ob
Faisons la figure corrélative; nous aurons une seconde surface da second degré, un point fixe t correspondant à l'infini (10) , une droite menée par ce point , correspondant à la droite d'intersection , située à l'infini , des deux plans tangens ; les deux points où cette droite percera la surface correspondront à ces deux plans tangens; et les plans A, B, tangens en ces points, correspondront aux deux points a, b /donc leur intersection correspondra à la droite ab, et sera par conséquent dans un plan fixe O correspondant au centre o de la première surface; soit I le plan mené par cette droite et par le point/, il correspondra au point a l'infini sur la droite ab ; on aura donc
«in. 0,A sin. [,A oa
ftiu. 0,B * siu. I,B ob
Soient », 6 , &» les points où une transversale menée par le point i perce les plans A, B, O; on aura, d'après cette équation,
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 597
On conclut de là que :
Si, autour d'un point fixe pris arbitrairement, on fait tourner une transversale qui rencontre une surface du second degré, les plans tangens à la surface aux deux points de rencontre se couperont sur un plan fixe; et la transversale percera ce plan au point conjugué harmonique du point fixe, par rapport aux deux points de la surface.
C'est la propriété fondamentale des pôles et plans polaires dans les surfaces du second degré.
(27) Nous pouvons donc dire que : quand on fait la figure corrélative dune surface du second degré, on a une seconde surface du second degré dans laquelle le plan qui correspond au centre de la première a pour pôle, pris par rapport à celle seconde surface, le point qui correspond à F infini de la première figure.
(28) La droite d'intersection de deux plans tangens à une surface du second degré s'appelle la polaire de la corde qui joint les deux points de contact de ces plans. Le théorème que nous venons de démontrer prouve donc que : Toutes les droites qui passent par un mémo point ont leurs polaires situées dans un même plan; et réciproquement.
Nous ne nous étendrons pas davantage sur la théorie des pôles et des plans polaires , qui est parfaitement connue.
§ VIL Généralisation du théorème sur la proportionnalité des rayons homologues dans deux figures homothétiques l. — Construction nouvelle des bas-reliefs.
(29) Soient deux tétraèdres abcd, a'h'c'd' semblables et semblablement placés; c'est-à-dire ayant leurs faces respectivement parallèles; on sait que les quatre droites qui joignent un à un leurs sommets homologues concourent en un même point u ; et le rapport des distances
' Nous avons appelé ainsi deux figures semblables entre elles et semblablcment placées. (Voir Annales de mathématiques, tom. XVIII , pag. 280.) Depuis, plusieurs géomètres ont employé cette expression abreviative , dont nous continuerons dès lors à faire usage.
To«. XI. 76
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
de ce point à deux sommets homologues est constant ; c'est-à-dire qu'on a
MO ub
(I) — , = — = etc.
ua ub
Faisons la figure corrélative ; nous aurons deux tétraèdres, dont les sommets correspondront respectivement aux faces des deux tétraèdres proposés; ces sommets seront donc, deux à deux, sur quatre droites qui passeront par un même point t correspondant à l'infini (11). Les faces A,B... de ces deux tétraèdres correspondront aux sommets a ,b... des deux premiers; elles se couperont donc, deux à deux, suivant quatre droites qui seront dans un même plan U, correspondant au point u (10). Que, par la droite d'intersection des deux faces A, A', on mène un plan I passant par le point /, il correspondra au point situé à l'infini sur la droite aa' ; on aura donc
sin. U,A t sin. I,A ua sin. U, A' : «in. I,A' = ~uZ' '
ou, en appelant a, a', 1 les points où une transversale, menée par le point i, rencontre les trois plans A, A', U,
Ai ix ua
Soient pareillement 6, ê' et ^ les points où une transversale, menée par le point i , rencontre les plans B, B' et U, on aura
iC ub
: î? = Zb''
On a donc, en vertu de l'équation (1) ,
ut ^ À* iC ftff
71' 1 Â7 = le- 1 ~i£ ' Les segmens sont proportionnels aux distances des deux points
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
«, a au plan U; pareillemeut [£, (<£' sont proportionnels aux distances des deux points 6, €' à ce plan. On conclut donc de là le théorème suivant :
Quand deux tétraèdres ont leurs sommets situés deux à deux sur quatre droites concourantes en un même point i,
1° Leurs faces se coupent deux à deux suivant quatre droites qui sont comprises dans un même plan U;
2° Le rapport des distances du point i à deux sommets homologues des deux tétraèdres est au rapport des distances de ces points au plan U, dans une raison constante , quels que soient ces deux sommets homologues.
(30) La première partie seule de ce théorème était connue; elle est la base de la construction géométrique des figures homologiques dans l'espace , de M. Poncelet. ( Voir Traité des propriétés projectives , supplément, p. 374.)
La seconde partie, qui est une généralisation de la proportionnalité des rayons homologues dans deux figures semblables et scmblablement placées, peut devenir très- utile en géométrie. Elle complète la théorie des figures homologiques , et servira pour les construire par de simples calculs numériques ; car on cherche ainsi , le plus souvent , dans la pratique, à remplacer les opérations graphiques par des opérations numériques.
Soient a, a deux points correspondans quelconques, dans deux figures homologiques ; i le centre d'homologie , et X le point où la droite ixx rencontre le plan d'homologie; on aura, suivant le théorème que nous venons de démontrer ,
— I — - = const. — n.
tV Xx
Cette relation prend la forme
ta ix iX
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
D'où Ton tire une expression très-simple de iJ en fonction de ta, et réciproquement.
Il est diverses autres expressions qui simplifient encore les calculs; mais nous ne pouvons entrer ici dans ces détails.
Les bas-reliefs étant de véritables figures homologiques, ainsi que l'a fait voir M. Poncclet la relation générale que nous venons de donner sera utile aussi pour leur construction , qui pourra se faire , comme dans certaines pratiques de la prespective, par des cotes calculées numériquement.
Cette relation servira aussi pour exprimer, en géométrie analytique, la position des diflerens points d'un bas-relief, ou l'équation de sa surface, si le modèle est lui-même une surface exprimée par une équation.
Nous reviendrons dans un autre moment , sur la construction des bas-reliefs; et nous ferons voir qu'il est plusieurs moyens très-simples de la pratiquer. On peut, par exemple, en réduire toutes les opérations à une seule et unique perspective du modèle proposé, sur un plan. Cette manière, je crois, pourrait être agréée des artistes, auxquels, généralement, maintenant, les pratiques de la perspective sont familières *.
5 VIII. Relations descriptives et métriques de deux surfaces du second degré inscrites dant un cône; et de deux coniques quelconques situées dans un même plan.
(31) Soient deux surfaces du second degré semblables et semblablement placées; on sait qu'elles se coupent suivant une courbe plane,
1 Voir le supplément du Traité des propriétés projrcticr*.
5 Celle construction des bas-reliefs , par une perspective du modèle sur un plan , esl facile à concevoir. Elle repose sur ce théorème : Étant donné un corps dans l'espace; si, de se* points m. m', or» abaisse des perpendiculaires rap. m'p', .. .. sur un plan 1'; et qu'on fasse Ij perspectire du corps sur un plan parallèle à ces droites, l'œil étant pla(é en tin lieu quelconque de l'espace; puis, qu'on abatte ce plan sur le premier P , en le faisant tourner autour de Uur intersection commune; Us perpendiculaires mp, m'p', .... seront, en perspectire, des droites fir, M*' , .... parallèles entre elles; qu'on relire ces droites, en les faisant tourner autour de leurs
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
et qu'elles ont une autre courbe d'intersection ( réelle ou imaginaire) située à l'infini.
Si on mène quatre plans tangens à ces surfaces, parallèles entre eux, les droites qui joindront deux à deux les points de contact sur la première surface aux points de contact sur la seconde, concourront deux à deux en deux points fixes qui seront les contres de similitude des deux surfaces; et ces deux points seront les sommets de deux cônes (réels ou imaginaires) circonscrits aux deux surfaces.
Faisant la figure corrélative , on aura deux surfaces du second degré, qui seront inscrites dans un mémo cône dont le sommet correspondra au plan situé à l'infini, sur lequel est une des deux courbes d'intersection des deux premières surfaces; on aura donc ce théorème, dont la demière partie se démontre absolument comme dans le théorème précédent :
Quand deux surfaces du second degré sont inscrites dam un même cône, si par le sommet de ce cône on tire une transversale qui les rencontre en quatre points , et qu'on mène les plans tangens à cessurfaces en ces points; les plans tangens à la première couperont les plans tangens à la seconde suivant quatre droites qui seront deux à deux sur deux plans fixes ;
L'intersection des deux surfaces se composera de deux courbes planes (réelles ou imaginaires) situées dans ces deux plans ;
Le rapport des distances du sommet du cône à deux points pris sur les deux surfaces, en ligne droite avec ce sommet, est au rapport des distances de ces deux points au plan fixe sur lequel se coupent les deux plans tangens en ces points , dans une raison constante.
(32) La dernière partie de ce théorème donne les relations métriques qui out lieu entre deux surfaces du second degré qui se coupent suivant des courbes planes.
pieds r . t' , jusqu'à cequ'elles soient perpendiculaires au plan P, leurs extrémités p, (t\ ....
formeront un corps qui sera un rclirf du corps proposé.
Pour construire un relief par cette méthode, on disposera du point de l'œil, du plan de projection et du plan sur lequel on fait lu pcrsjwctive , de manière à satisfaire aux conditions qu'on veut observer, «oit duns la position, soit dans les proportions du relief par rapport au modèle.
On ne connaissait ces relations que dans deux cas particuliers ; celui où les deux surfaces sont semblables et semblablement placées, et celui où les deux surfaces sont inscrites dans un cylindre. Ces deux cas sont des corollaires du théorème général que nous venons d énoncer.
11 est clair que les mêmes relations métriques appartiennent au système do deux coniques quelconques situées dans un même plan. On n'avait considéré, d'une manière générale, que les rapports de situation que présente ce système; et quaut aux relations métriques des deux courbes, on s'était borné, je crois, a quelques relations harmoniques, qu'on déduira aisément de la relation métrique fondamentale comprise dans la dernière partie du théorème ci-dessus.
Deux surfaces du second degré inscrites dans un même cône . ou bien deux coniques placées d'une manière quelconque dans un plan , ont entre elles diverses relations métriques remarquables dont nous parlerons eu traitant spécialement des figures homologiques dans la seconde partie de cet écrit.
§ IX. Transformation de diverses propriétés des diamètres conjugués • des surfaces du second degré. — Théorie des axes conjugués relatifs à un point.
(33) Soit une surface du second degré ; menons trois diamètre conjugués, c'est-à-dire, tels que les plans tangensaux extrémités de l'un quelconque d'entre eux soient parallèles au plan des deux autres; faisons la figure corrélative; nous aurons une surface du second degré ; un plan fixe correspondant au centre de la proposée, et un point i correspondant a l'infini; ce point sera le pôle du plan fixe (27). Aux trois diamètres conjugués, correspondront trois droites situées dans le plan fixe; aux points où un diamètre rencontre la première surface correspondront les plans tangens à la seconde surface, menés par une des trois droites ; et les points de contact de ces deux plans tangens correspondront aux plans tangens aux extrémités du diamètre; la droite qui
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
joindra ces deux points de contact, qui sera la polaire de la droite en question, correspondra a la droite d'intersection, située à l'infini, des deux plans tangens aux extrémités du diamètre; le plan des deux autres diamètres passe par cette droite située à l'infini ; donc le point d'intersection des deux droites correspondantes à ces deux diamètres se trouve sur la droite qui joint les deux points de contact sur la seconde surface ; donc
A trois diamètres conjugués dune surface du second degré, correspondent, dans la surface corrélative, trois droites situées dans un même plan fixe, qui sont telles que la polaire de chacune délies, prise par rapport à cette seconde surface , passe par le point d'intetsection des deux autres;
Aux extrémités des trois diamètres de la première surface, correspondent les plans tangens à la seconde surface , menés par ces trois droites;
Et enfin , les points de contact de ces plans tangens avec la seconde surface correspondent aux plans tangens à la première surface, menés par les extrémités de ses trois diamètres conjugués.
(34) Soient A, B, C les trois droites en question; et A', B', C leurs polaires, prises par rapport à la seconde surface ; ces trois droites passent par le pôle du plan fixe dans lequel sont situées les trois premières, A , B, C (28); et elles jouissent de cette propriété caractéristique que la polaire de chacune d'elles est comprise dans le plan des deux autres. En effet la polaire de A' est la droite A; il faut donc prouver que la droite A est comprise dans le plan des deux droites B', C. Mais B' , par construction, passe par le point de rencontre de A et C; C passe par le point de rencontre de A etB; donc B' et C s'appuient sur A. Donc la droite A, polaire de A', est dans le plan des deux autres droites B', C.
Chacune des trois droites A' , B' , C passe par les points de contact de la surface et de ses deux plans tangens menés par la polaire de cette droite. De sorte que les trois droites A', B', C, menées par le pôle du plan fixe, peuvent servir pour déterminer les plans tangens à la surface, qui passent par les trois droites A, B, C.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
(35) Quand le point par où sont menées les trois droites A', B',C, est le centre de la surface, ces trois droites sont trois diamètres conjugués; de sorte que les théorèmes que nous allons trouver, relativement soit à ces droites, soit a leurs polaires A, B, C, seront une généralisation des propriétés des diamètres conjugués des surfaces du second degré.
Les trois droites menées par un point fixe, de manière que la polaire de chacune délies, par rapport à une surface du second degré, soit comprise dans lo plan des deux autres, donnent donc lieu à une théorie analogue à celle des diamètres conjugués. Les propriétés de ces trois droites sont nombreuses; et nous allons avoir plusieurs fois à parler de ces systèmes de trois droites, dans nos applications du principe de dualité, puis du principe d'homographie; par cette raison, et pour abréger le discours, nous les appellerons axes conjugués , relatifs au point par lequel elles sont menées.
(36) Si l'on conçoit que ce point soit le sommet d'un cône circouscrit a la surface, ces axes seront trois axes conjugués du cône, c'est-àdire que les plans tangens au cône menés par chacun d'eux auront leurs arêtes de contact situées dans le plan des deux autres. Et si l'on conçoit un hypcrboloïde ayant son centre au point fixe , et auquel le cône soit asymptotique, ces trois axes seront trois diamètres conjugués de Tbyperboloïde. Ainsi nous pouvons dire que :
Trois axes conjugués dune surface du second degré, relatifs à un point fixe, sont toujours, en direction, trois diamètres conjugués dune autre surface du second degré ayant son centre au point fixe.
Nous donnerons . dans nos applications du principe d'homographie , une autre démonstration de ce théorème, qui est l'un des plus importans de la théorie des axes conjugués, et nous apprendrons à construire la surface par rapport à laquelle ces axes sont toujours trois diamètres
conjugués.
(37) Soit une surface du second degré, dont le centre est o; prenons trois demi-diamètres conjugués; on sait que la somme des carrés des perpendiculaires abaissées de leurs extrémités sur un plan diamé-
)igitized by Googl
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
tral de la surface, sera constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.
Faisons la figure corrélative ; nous aurons une surface du second degré; un plan fixe O , et un système de trois droites situées dans ce plan, telles que la polaire de chacune d'elles passera par le point de concours des deux autres (33). Nous aurons de plus trois plans tangens à la surface, menés par ces trois droites respectivement; un point fixe pris dans le plan O, et correspondant au plan diamétral de la surface, dans la première figure; et enfin un second point fixe correspondant à l'infini de la première figure, et qui sera le pôle du plan 0 par rapport à la nouvelle surface (27).
Appliquant à la propriété énoncée des trois diamètres conjugués, le principe de transformation des relations métriques de l'art. (16), nous en conclurons immédiatement ce théorème :
Si par trois droites , prises dans un plan fixe, de manière que la polaire do chacune d'elles, par rapport à une surface du second degré, passe par le point de concours des deux autres , on mène trois plans tangens à la surface, la somme des carrés des distances de ces trois plans à un point fixe pris arbitrairement dans le plan fixe, divisés respectivement par les carrés des dislances de ces plans au pôle du plan fixe, sera constante.
(38) Les droites menées du pôle du plan fixe aux points de contact des trois plans tangens, sont, comme nous l'avons fait voir (34), les polaires des trois droites prises dans le plan; ce sont les droites que nous avons appelées axes conjugués relatifs au point par lequel elles sont menées; nous pouvons donc donner au théorème précédent cet autre énoncé :
Si, par un point fixe o, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré , les plans tangens à la surface en trois des points où ces axes la perceront jouiront de cette propriété, que la somme des carrés de leurs distances à un point pris arbitrairement dans le plan polaire du point o, divisés respectivement par les carrés de leurs distances à ce point o, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.
To«. XI. 77
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
(39) Soit i le point pris dans le plan polaire du point o; a le point où l'un des plans tangens à la surface rencontre la droite oi; le rapport des distances de ce plan aux deux points i, o, sera égal au rapport des segraens ai, «o. Ainsi le théorème exprime que la somme des carrés des trois rapports, tels que ^ , sera constante.
(40) Si la droite oi est parallèle au plan polaire du point o, tous les segmcns ai seront égaux , comme étant infinis et comptés sur une même droite; on en conclut ce théorème :
Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, les plans tangens à la surface , menés par trois des points où ces axes la rencontreront, feront sur une droite menée par le point fixe parallèlement au plan polaire de ce point, trois segmens dont la somme des valeurs inverses des carrés sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.
(41) Si le point fixe est le centre de la surface, les trois axes seront trois diamètres conjugués de cette surface; le plan polaire du point fixe sera à l'infini, et d'une direction indéterminée; de sorte que toute droite menée par le point fixe pourra être considérée comme parallèle à ce plan ; on conclut donc du dernier théorème cette propriété des diamètres conjugués :
Les plans tangens à une surface du second degré menés par les extrémités de trois demi-diamètres conjugués font, sur un axe fixe mené arbitrairement par le centre de la surface, trois segmens dont les carrés ont la somme de leurs valeurs inverses, constante.
§ X. Suite du précédent. — Propriétés plus générales des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point.
(42) La somme des perpendiculaires abaissées des six extrémités de trois diamètres conjugués d'une surface du second degré, sur un plan fixe mené arbitrairement dans l'espace, est constante.
On en conclut, par le principe de l'art. (16), que :
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Si par trois droites, prises dans un plan fixe, de manière que la polaire de chacune ef elles , par rapport à une surface du second degré , passe par le point de concours des deux autres, on mène si.v plans tangent à la turface , la somme des carrés dislances de ces six plans à un point fixe, pris arbitrairement dans t 'espace, divisés respectivement par les carrés det dislances de ces plans au pôle du plan fixe, est constante.
(43) Par la considération des axes conjugués, on donne a ce théorème cet autre énoncé :
Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré , les six plans tangent à la surface, menés par les six points où ces trois axes la rencontreront, jouiront de celle propriété que, la somme des carrés de leurs distances à un point pris arbitrairement dans F espace, divisés respectivement par les carrés de leurs dislances au point fixe, sera constante , quel que soit le système des trois axes conjugués menés par ce point.
(44) Soit o le point par lequel sont menés les trois axes conjugués, et i le second point fixe pris arbitrairement dans l'espace; soit a le point où l'un des six plans tangens rencontre la droite oi; le rapport des distances de ce plan aux deux points t et o sera égal à ^. On aura donc six rapports semblables à g , dont la somme des carrés sera constante.
Ainsi l'on aura
. -4 CtC. =
« Ta
(45) Supposons le point t situé à l'infini, tous les segmens ai, Si, etc., seront égaux , comme infinis et comptés sur une même droite; il restera donc
