C'A' D'A' CA

ce qui prouve que les deux points C, D' divisent harmoniquement la corde A B'.

On a donc ce théorème, qui constitue la propriété connue des pôles et plans polaires :

Dans toute surface du second degré , si autour d'un point fixe on fait tourner une transversale } et qu'on mène les deux plans tangens à la surface, aux pointe où la transversale la rencontre;

1° Ces deux plans se couperont sur un plan fixe ;

2° Le point où ce plan rencontrera la transversale sera le conjugué harmonique du point fixe , par rapport aux deux points où la transversale percera la surface.

C'est ce plan qu'on appelle le plan polaire du point fixe, appelé lui-même le pôle du plan.

(182) La relation harmonique que nous venons d'énoncer fait voir que le plan polaire dun point quelconque d'un plan passe par le pôle de ce plan.

D'où l'on conclut que : Quand un point parcourt une droite, son plan polaire tourne autour d'une seconde droite; et, réciproquement, les plans polaires des points de cette seconde droite passent par la première.

Ces deux droites sont lit. x polaires l'une de l'autre. Si l'une d'elles rencontre la surface, les points de rencontre ont pour plans polaires précisément les plans trangens à la surface en ces points, et ces plans tangens passent par l'autre droite.

Il suit de là que la polaire d'un diajtxètre de la surface est située à l'infini.

(183) Il est évident, d'après ces propriétés des pôles, plans polaires, et droites polaires, que si l'on a deux surfaces du second degTé homographiques, à un point et à son plan polaire par rapport à la

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première surface, correspondront un point et son plan polaire par rapport à la seconde; à deux droites polaires réciproques par rapport à la première surface, correspondront deux droites polaires réciproques par rapport à la seconde.

(184) D'après cela, soient trois diamètres conjugués de la première surface 2; la polaire de chacun d'eux est située à l'infini dans le plan des deux autres; donc, à ces diamètres correspondront, dans la surface homographique 2', trois droites passant par le point G', qui seront telles que la polaire de l'une d'elles sera dans le plan des deux autres ; et ces polaires seront toutes trois dans le plan polaire du point C. On peut dire que ces trois droites sont telles que la polaire de chacune d'ellos passe par le point de concours des deux autres.

Nous avons déjà eu à considérer, dans la première partie de cet écrit, le système des trois droites menées par un point fixe de manière que chacune d'elles ait sa polaire, par rapport à une surface du second degré, comprise dans le plan des deux autres. Nous les avons appelées axes conjugués relatifs au point fixe.

Ainsi, par un point donné, on peut mener une infinité de systèmes de trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré. Ces systèmes de trois axes conjugués jouissent de nombreuses propriétés dont plusieurs sont des généralisations des propriétés connues des systèmes de diamètres conjugués des surfaces du second degré. Nous avons déjà démontré un certain nombre de ces propriétés; mais la matière est loin d'être épuisée, et nous aurons à y revenir dans plusieurs de nos applications de la théorie des figures homographiques.

$ III. Lieu géométrique du point de rencontre de trois pleins tangens à une surface du second degré assujettis à certaine condition.

(185) On sait que si l'on mène trois plans rectangulaires tangens à une surface du second degré 2, leur point d'intersection a pour lieu géométrique une sphère concentrique à la surface. Ce théorème est dû à Monge.

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Pour le généraliser par la déformation homographique , au lieu de dire que les trois plans tangens sont rectangulaires , considérons-les comme étant parallèles à trois plans diamétraux d'un sphère, qui soient conjugués entre eux.

Concevons cette sphère et ses trois plans diamétraux conjugués; désignons là par U, et soit W la sphère décrite par le point d'intersection des trois plans tangens à la surface I. Faisons la déformation homographique. Nous aurons deux surfaces du second degré 2', U'; un plan I correspondant à l'infini de la première figure; trois plans tangens à la surface 2' , ayant pour traces sur le plan 1' trois droites telles que la polaire de chacune d'elles, par rapport à la surface U', passera par le point de rencontre des deux autres (184). Le point de rencontre de ces trois plans engendrera une surface du second degré W, homographique de W, et qui par conséquent aura une courbe d'intersection commune avec U' située sur le plan V (parce que les deux surfaces U et W étant semblables et semblablement placées, ont une courbe d'intersection à l'infini); et ce plan I' aura même pôle dans les deux surfaces 2' et W (parce que ce pôle correspondra au centre commun des deux surfaces U et W).

Nous pouvons donc énoncer ce théorème général :

Étant données deux surfaces quelconques du second degré, si dans un plan fixe on prend arbitrairement trois droites , telles que la polaire de chacune délies, par rapport à la seconde surface , passe par le point de rencontre des deux autres , et que par ces trois droites on mène trois plans tangens à la première surface, le point de rencontre de ces trois plans aura pour lieu géométrique une surface du second degré qui coupera la seconde surface sur le plan fixe; et le pôle de ce plan dans cette nouvelle surface sera le même que dans la première des deux proposées.

Ce théorème général est susceptible de plusieurs corollaires.

(186) D'abord, si le plan I' est à l'infini, on en conclut que :

Étant données deux surfaces du second degré, si ton mène trois plans tangens à la première, qui soient parallèles à trois plans

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diamétraux conjugués de la seconde , le point d intersection de ces trois plans sera une troisième surface du second degré , semblable à la seconde et semblablement placée.

Quand la seconde surface est une sphère, ce théorème est précisément celui de Monge , d'où nous sommes partis.

(187) Si le plan I' coupe la seconde surface suivant une conique, les trois droites prises dans ce plan seront telles que le pôle de chacune d'elles par rapport à cette conique sera le point de concours des deux autres; on peut donc donner au théorème ce second énoncé, qui n'est moins général que le premier, que parce qu'il ne permet plus de supposer que le plan fixe soit À l'infini :

Si ïon a dans l'espace une surface du second degré et une conique; et que par trois droites prises dans le plan de cette courbe de manière que le pôle de chacune délies, par rapport à la courbe, soit le point de concours des deux autres, on mène trois plans tangens à la surface; leur point d intersection aura pour lieu géométrique une surface du second degré qui passera par la conique, et qui sera telle que le cône qui lui serait circonscrit suivant cette courbe aurait pour sommet le pôle du plan de cette courbe pris par rapport à la surface proposée.

La dernière partie de ce théorème prouve que si la conique est une section de la surface proposée , les deux surfaces se toucheront suivant cette courbe.

(188) On peut supposer, dans les théorèmes précédons, que l'un des diamètres principaux de la première surface devienne nul, c'està-dire que cette surface se réduise à une conique; on aura de nouveaux théorèmes, dont nous n'énoncerons que le suivant :

Si l'on a deux coniques situées d'une manière quelconque dans l'espace, et que par trois droites prises dans le plan de la seconde, de manière que le pôle de chacune délies par rapport à cette seconde courbe, soit le point de concours des deux autres, on méfie trois plans tangens à la première conique , leur point d intersection aura pour lieu géométrique une surface du second degré qui pas-

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sera par la seconde conique, et le cône circonscrit à cette surface suivant cette courbe aura pour sommet le pôle de la droite d'intersection des plans des deux coniques, pris par rapport à la première.

U résulte de la dernière partie de ce théorème que , si les plans des deux courbes sont parallèles, le sommet du cône circonscrit à la surface suivant la seconde courbe sera le centre de la première ;

Et que, si la première conique a son centre sur le plan de la seconde, cette seconde conique sera une section diamétrale de la surface.

On pourrait supposer que la première conique eût un de ses axes nul, et se réduisit à une ligne droite limitée à deux point fixes. Des trois plans tangens à cette conique deux passeraient par l'un de ces points, et l'autre par le second point. Et les théorèmes précédens s'appliqueraient encore à ce cas.

On pourrait même supposer que l'un des deux points extrêmes de la droite fixe fût à l'infini.

(189) Reprenons le cas général de deux surfaces quelconques; si le plan P est tangent à la première, il est clair que tout point de ce plan appartiendra à la troisième surface, parce qu'on pourra le considérer comme l'intersection de trois plans tangens à la surface, menés par les trois droites prises dans ce plan ; ces trois plans se confondant avec ce plan lui-même. Il résulte de là que dans ce cas la troisième surface sera le système de deux plans dont l'un est le plan fixe.

On a donc ce théorème :

Étant données deux surfaces du second degré, et un plan fixe, tangent à la première; si par trois droites prises dans ce plan de maière que la polaire de chacune délies, par rapport à la seconde surface, passe par le point de concours des deux autres, on mène trois plans tangens à la première surface, le point d'intersection de ces trois plans sera toujours sur un même plan.

La première surface peut se réduire à une conique, comme dans les théorèmes précédens; et à la seconde surface on peut substituer

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la considération d'une conique. On aurait ainsi divers autres théorèmes.

(190) En appliquant le principe de Dualité au théorème de Monge, ou au théorème général (185), on obtient sur-le-champ cette autre propriété générale des surfaces du second degré :

Étant données deux surfaces quelconques du second degré, si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à la seconde M 84), le plan déterminé par trois des points de rencontre de ces trois axes avec la première surface roulera sur une troisième surface du second degré qui aura pour centre (Thomologie avec la seconde surface le point fixe; et ce point aura le même plan polaire dans cette troisième surface et dans la première des deux proposées.

Nous entendons ici, avec M. Poncelet, par centre dhomologie des deux surfaces, le sommet d'un cône (réel ou imaginaire) circonscrit aux deux surfaces.

Nous ne nous arrêterons pas à montrer les diverses conséquences de ce théorème général.

§ IV. Propriétés des systèmes de trois axes conjugués dune surface du second degré relatifs à un point.

(191) Soient trois diamètres conjugués d'une surface du second degré; la somme des carrés des perpendiculaires abaissées de leurs extrémités sur un plan diamétral fixe sera constante :

Faisant la déformation hoinographique, on conclut de là, d'après ce que nous avons dit ci-dessus (184), et par le principe de relations métriques du n° 176, cette propriété générale des surfaces du second degré :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré , et quon prenne sur chacun d'eus un des deux points où il perce la surface , on aura ainsi trois points qui seront tels que la somme des carrés de leurs distances à un plan

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fixe mené par le point donné, divisés respectivement par les carrés des distances des mêmes points au plan polaire du point donné, sera constante.

Si l'on prend le plan fixe parallèle au plan polaire du point fixe, le théorème sera susceptible d'un autre énoncé qui exprimera une proposition déjà démontrée d'une autre manière (Ire Partie, § XI, art. 49).

(192) Concevons menés par le point fixe trois plans rectangulaires ; pour chacun d'eux on aura l'équation qui exprime le théorème cidessus. Ajoutant membre à membre ces trois équations, on voit qu'il en résulte une autre propriété des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point. Cette propriété est le théorème de l'art. (52).

(193) Si dans le théorème général (191) on suppose le point fixe situé à l'infini, on obtient le théorème suivant , en observant que les trois axes conjugués relatifs au point fixe percent son plan polaire en trois points dont chacun a pour polaire, par rapport à la section de la surface par ce plan , la droite qui joint les deux autres :

Si dans un plan diamétral d'une sur/ace du second degré , on prend trois points tels que chacun deux ait pour polaire , par rapport à la section de la surface par ce plan, la droite qui joint les deux autres, et que par ces points on mène les trois cordes de la sur/ace parallèles au diamètre conjugué au plan diamétral, la somme des carrés des distances de ces trois points à une droite fixe située dans ce plan, divisés respectivement par les carrés des trois cordes, sera constante, quel que soit le système des trois points.

La droite fixe, située dans le plan diamétral, peut être à l'infini; et on en conclut que la somme des valeurs inverses des carrés des trois cordes est constante.

(194) Si on remplace dans ces théorèmes les trois cordes par les produits des segmens faits par la conique contenue dans le plan diamétral, sur des parallèles à une même droite, menées par les trois points en question, on aura de nouveaux énoncés, où n'entrera plus la considération de la surface et qui exprimeront des propriétés des coniques.

To«. XI. 90

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S V. Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués (Tune surface du second degré relatifs à un point.

(195) La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des six extrémités de trois diamètres conjugués d'une surface du second dégré, sur un plan fixe mené arbitrairement dans l'espace, est constante.

On conclut de là, par le principe de relations métriques du n° 176, cette propriété générale des surfaces du second degré :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré , la somme des carrés des distances des six points où ils perceront la surface, à un plan fixe mené arbitrairement dans r espace, divisés respectivement par les carrés des distances de ces points au plan polaire du point fixe, sera constante, quelque soit le système des trois axes conjugués relatifs au point fixe.

(196) Si dans la première figure on prend pour le plan fixe celui qui correspond à l'infini de la seconde figure, on aura, par le principe du n° 177, ce théorème, qui n'est autre que le précédent, où le plan fixe est situé à l'infini :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, la somme des valeurs inverses des carrés des distances des six points où ils perceront la surface, au plan polaire du point fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.

(197) Et appliquant le théorème ci-dessus (195) à trois plans rectangulaires, on aura trois équations qui, ajoutées membre à membre, donneront lieu au théorème suivant :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, ils rencontreront la surface en six points dont les carrés des distances à un second point fixe quelconque, <I inses respectivement par les carrés des distances de ces

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points au plan polaire du premier point fixe, auront une somme constante.

$ VI. Propriété très-générale des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point, de laquelle les autres se déduisent.

(198) Dans nos applications du principe de Dualité, nous sommes parvenu à plusieurs propriétés des axes conjugués d'une surface du second degré relatifs à un point, concernant les plans tangens à la surface aux points où ces axes la rencontrent. Les propriétés de ces mêmes axes, que nous venons de trouver dans les paragraphes procédons , concernent les points mêmes où ces axes percent la surface. Celles-ci peuvent être exprimées toutes sous un seul énoncé trèsgénéral , que nous allons présenter comme application du principe d'Homographie.

Soient trois diamètres conjugués d'une surface du second degré ; si d'un point fixe O on mène des droites aux six points A, a, B, b, C, c, où ils rencontrent la surface, on sait que la somme des carrés de ces six droites est constante, quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

Ainsi l'on a

OÀ* Oo' OB' 06* ■+- OC' ■+■ Oc' = const.

Concevons une sphère qui ait pour centre le point O; et soient A', a', B', b', C, c'y les points où ses six rayons qui aboutissent aux points A, a, etc., la rencontrent; on aura

ÔT* ôT