etc. = const

Faisons la figure homographique , et désignons par les mêmes lettres les points correspondans, dans cette figure, aux points 0, A, a, etc., de la première; soient de plus L, /, M, m, N, n, les points

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

où les six droites OA, Oa, OB, Ob, OC, Oc, dans la nouvelle figure, percent le plan qui correspond à l'infini de la première, on aura, en appliquant à chacun des termes de l'équation ci-dessus , la formule du n° 173, le théorème suivant :

Étant donnés deux surfaces du second degré et un plan fixe; si par le pôle de ce plan par rapport à la première surface, on mène trois axes conjugués par rapport à cette surface, qui la rencontreront aux six points A,u,B,b, C, c,el que par le pôle du plan , par rapport à la deuxième surface, on mène six rayons aboutissant à ces points, et rencontrant la deuxième surface aux six points A', a', B', b', C, c', et lo plan fixe aux points L, I, M, m, N, n,on aura F équation

/OA LA Y /Oa la V

(ôt:lv) -

quel que soit le système des trois axes conjugués pris par rapport à la première surface.

(199) Ce théorème est Tune des propriétés les plus complètes et les plus générales des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré relatifs à un point. Aussi ses corollaires sont très-nombreux. On les obtiendra en faisant diverses suppositions sur la forme et la position des deux surfaces, et celle du plan fixe. On pourra supposer que la seconde surface soit l'ensemble de deux plans, lesquels pourront être parallèles, ou bien qu'elle soit de révolution et qu'elle ait pour foyer le point 0; puis, que le plan fixe soit à l'infini, etc.

Nous n'entrerons pas dans l'examen de tous les théorèmes que l'on obtient ainsi , dont la plupart sont des propriétés de trois axes conjugués d'une surface du second degré relatifs à un point, que nous avons déjà démontrées, ou des propriétés connues des systèmes de trois diamètres conjugués.

Nous n'énoncerons que le suivant, que nous n'avons pas encore eu l'occasion de démontrer.

(200) Que l'on suppose que le plan fixe ait un môme point O pour

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE

pôle dans les deux surfaces , et que la première surface soit de révolution et ait ce point pour foyer, et le plan fixe pour plan directeur correspondant; que dans l'équation qui exprime le théorème général, on remplace chaque rapport ^ par le rapport des perpendiculaires abaissées des points A, A', sur ce plan fixe; on aura le théorème suivant :

Si autour d'un point fixe pris arbitrairement par rapport à une surface du deuxième degré, on fait tourner trois droites rectangulaires , qui rencontreront la surface en six points , la somme des carrés des distances de ces points au plan polaire du point fixe, divisés respectivement par les carrés des distances de ces mêmes points au point fixe , sera constante.

(201) Ce théorème a lieu aussi pour trois seulement des six points où les trois droites rectangulaires rencontrent la surface ; parce que les six termes de l'équation sont égaux deux à deux. Car A et a étant les points où l'une des trois droites menées par le point 0 rencontre la surface, et L le point où elle perce le plan polaire du point 0, on a entre les quatre points 0, L, A et o, la relation harmonique

OA LA Oa ~ Ta

is AP et ap étant les perpendiculaires abaissées sur le plan , on a