PB. PC , PA.DC , PA.PB

EA* aTac"1" eu- bXbc- ec> CÂTlb^ KU*

Pans cette équation , on donnera le signe -+• au produit de deux segmens comptés dans le même sens à partir du point qui leur est commun, et le signe — au produit de deux segmens comptés dans des sens différens.

Voici quelles sont les relations entre quatre points, qu'on déduit de la relation générale ci-dessus :

1° Si on suppohH le point E à l'infini, on aura, en divisant par EU ,

BC.CP.PB -+- CP.PA.AC — DA.AB.BP — AB.BC.CA =o.

Chaque terme de cette équation est le produit des trois segmens formés par trois points pris deux à deux ;

2° Si les deux points E, P se confondent , il vient :

DA.BC. -+- DB.AC — PC.AB = o.

Cette équation exprime la relation la plus simple entre quatre points A, C,B, P, situés en ligne droite;

3° Enfin , quand le point P est à l'infini , l'équation générale devient

eT'bc -4- eT'ac - e"c7ab = ab.bc.c a.

C'est l'équation de Stewart.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 177

est impair, et pris partout où Von voudra si n est pair), on abaisse des perpendiculaires sur les côtés du polygone, la somme des puissances n de ces perpendiculaire sera égale à

m.(R" Ar'R"— ' -+- Bc«R"-4 -t- Cu6.R"-< etc. );

v étant la distance du point au centre du cercle; et A. étant le coefficient du troisième terme du binôme élevé à la puissance n, multiplié par b B le coefficient du cinquième terme du binôme, multiplié par£; C le coefficient du septième terme multiplié par^j et ainsi des autres. (Prop. 40).

De sorte que

Hfn-l) (w- a; (W- 3)

Etc., etc.

Si le point d'où l'on abaisse les perpendiculaires est pris sur la circonférence, la formule se réduit à

m. Y*"!'1 (in~!) R«. (Propoailion 39.) 1.3.0.4 fi

Ce théorème général comprend les propositions 3, 5, 22, 23, 28, 29 et 45.

2° Soit un polygone régulier do m côtés, inscrit dans un cercle d'un rayon R ; et soit n un nombre plus petit que m ;

Si Von prend arbitrairement un point dont la distance au centre du cercle soit v , la somme des puissances 2n des dislances de ce point à tous les sommets du polygone sera égale à

m(RM -f- aVR'"— ' -♦- ftWH -+- c'€«R"-6 -4- clc.) ;

HISTOIRE DE LÀ. GÉOMÉTRIE

a étant le coefficient du second tertne du binôme élevé à la puissance n; b le coefficient du troisième terme; c le coefficient du quatrième terme; et ainsi des autres. (Prop. 42).

Si le point est pris sur la circonférence, la formule se réduit à