CHAPITRE IV

.n«»iu,1m.i § 1. Cinquante ans après que Descartes avait mis au jour sa Géométrie, une autre grande conception préparée par Fermât et Barrow, le calcul inûnitésimal de Leibnitz, et de Newton, prit naissance (en 1684 et 1687).

Cette sublime invention, qui remplaçait avec un avantage immense les méthodes de Cavalleri, de Roberval, de Fermât, de Grégoire de St.- Vincent, pour les dimensions des figures et les questions de maaritna et minima, s'appliqua aussi avec une facilité si prodigieuse aux grandes questions des phénomènes de la nature, qu'elle devint presque exclusivement l'objet des méditations des plus célèbres géomètres. Dès lors , la Géométrie ancienne et les belles méthodes de Desargues et de Pascal, de De LaHirc et de Le Poivre, pour l'étude des coniques, furent négligées.

L'analyse de Descartes, seule des grandes productions de nos deuxième et troisième Époques, survécut à cet abandon général. C'est qu'elle était le véritable fondement des doctrines de Leibnitz et de Newton , qui allaient envahir tout le domaine des sciences mathématiques.

Cependant, quelques géomètres , dans les premiers temps , et à leur téte Iluygens, quoiqu'il sût apprécier toutes les ressources de l'analyse infinitésimale, Maclaurin, profond commentateur du Traité des fluxions de Newton, et Newton lui-même, furent fidèles à la méthode des Anciens, et surent pénétrer dans les mystères de la plus profonde

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Géométrie, pour résoudre avec son seul secours les plus hautes questions des sciences physico-mathématiques.

Quelques autres géomètres ensuite, tels que Stewart, Lambert, dignes admirateurs de ces grands hommes, marchèrent sur leurs traces et continuèrent leurs savantes méthodes. Mais enfin l'attrait de la nouveauté et les puissantes ressources que présentait l'analyse infinitésimale, tournèrent tous les esprits vers d'autres idées et d'autres spéculations. De sorte que, si Ton peut dire parfois que la Géométrie d'Huygens et de Newton, après avoir posé les véritables fondemens de nos connaissances positives, devenait insuffisante pour continuer son œuvre, il est juste de convenir aussi que des disciples lui ont manqué; car je ne sache pas que, depuis trois quarts de siècle, on ait fait de nouvelles applications de cette méthode; et c'est aujourd'hui par tradition et seulement sur parole, que, légèrement peut-être, on parle de son impuissance et des limites qui en restreignent pour toujours les usages.

S 2. Nous ne pouvons entreprendre ici d'analyser tous les travaux des grands géomètres que nous avons nommés; cette tâche n'entre point dans notre cadre et serait au-dessus de nos forces. Nous ne devons citer que ceux de ces travaux qui se rapportent a cette partie de la science de l'étendue, que nous avons appelée Géométrie des formes et des situations; qui prend son origine dans Y analyse géométrique des Anciens; qui, pendant deux mille ans, s'est exercée sur l'inépuisable théorie des sections coniques, et à laquelle enfin Descartes a soumis d'un trait de plume l'innombrable famille des courbes géométriques.

Nous allons présenter d'abord un aperçu rapide des découvertes successives des principales propriétés de ces courbes, puis, en revenant sur nos pas, nous parlerons des progrès que la Géométrie a faits dans diverses autres parties.

S 3. La Géométrie analytique de Descartes était un instrument uni- p«;pr*i« «««.i..

17 » t art rourbri fiomt-

versel, éminemment propre à l'étude des courbes géométriques; et ce tr",n**philosophe en avait montré l'usage et toute la puissance dans la solution des questions les plus diverses. Mais ce furent Newton et Maclaurin qui , les premiers, l'appliquèrent à la recherche des propriétés générales et

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caractéristiques de ce genre de courbes ; et c'est à ces deux illustres géomètres et à leur célèbre contemporain Cotes , que l'on doit la découverte des premières et plus importantes propriétés des courbes géométriques.

Newton, dans son Enumeratio linearum tertii ordinis (anno 1 706), modèle admirable de haute Géométrie, fit connaître les trois suivantes , qu'il présenta comme extensions des propriétés principales des coniques1.

La première concerne leurs diamètres; elle consiste en ce que : étant menées, dans le plan dune courbe géométrique , des transversales parallèles entre elles, et étant pris sur chacune d'elles le centre des moyennes distances de tous les points où elle rencontre la courbe, tous ces centres se trouvent toujours en ligne droite. C'est cette droite qu'on appelle diamètre de la courbe correspondant, ou conjugué, à la direction des transversales.

La seconde propriété générale concerne les asymptotes, et consiste en ce que : quand une courbe a autant d'asymptotes qu'il y a d'unités dans le degré de son équation, sous quelque direction qu'on tire une transversale , le centre des moyennes distances des points où elle rencontrera les asymptotes sera le même que celui des points où elle rencontrera la courbe.

Ou, en d'autres termes, la somme dessegmens compris entre chaque branche de la courbe et son asymptote, sera la même départ et d'autre du diamètre conjugué à la transversale.

Enfin , la troisième propriété générale est celle du rapport constant des produits des segmeus compris sur deux transversales parallèles respectivement à deux axes fixes. On l'énonce d'une manière générale, en disant que : si par un point quelconque, pris datis le plan dune courbe géométrique , on mène deux transversales parallèles à deux axes fixes, les produits des segmens compris sur ces deux droites, entre le point pa r lequel elles sont menées et la courbe , sont entre eux dans un rapport constant, quel que soit ce point.

• Proprietatcs tcctioitum amicarum competunt curris tuperiorum generum.

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II est aisé de reconnaître que ces trois belles propriétés, communes à toutes les courbes géométriques, étaient une généralisation de trois propositions de la théorie des coniques.

S 4. L'objet principal de l'ouvrage de Newton était rénumération des lignes comprises dans l'équation du troisième degré a deux variables, où il en reconnut soixante-douze espèces différentes, auxquelles Stirling en ajouta quatre.

A la suite de cette énumération, Newton donna cette belle et curieuse proposition, qui range ces courbes en cinq grandes classes principales, savoir : « Qu'ainsi que le cercle , étant présenté à un point m lumineux, donne par son ombre toutes les courbes du second degré, )> de même les cinq paraboles divergentes donnent par leur ombre » toutes les courbes du troisième degré. » •

L'ouvrage est terminé par la description organique des coniques au moyen de deux angles mobiles autour de leurs sommets, dont deux côtés se coupant toujours sur une droite, les deux autres engendrent, par leur intersection, une conique ; et ce mode de description est étendu aux lignes du troisième et du quatrième degré qui ont un point double.

Il est fâcheux que Newton se soit contenté d'énoncer ces belles découvertes, sans démonstration, ni aucune indication de la méthode qu'il avait suivie. Stirling, peu d'années après , suppléa à ce défaut en rétablissant, avec les développemens préliminaires nécessaires, les démonstrations des propositions de Newton, relatives à l'énumération des lignes du troisième degré. Les autres parties de l'ouvrage ont été, depuis, démontrées par divers géomètres. Le beau théorème sur la génération de toutes les courbes du troisième degré par l'ombre des cinq paraboles divergentes, qui avait paru l'un des plus difficiles, l'a été par Ciairaut Nicole a, Murdoch 3 et le Père Jacquier *. Mais il nous semble que les considérations analytiques dans lesquelles ces géomètres

1 Mémoire» de l'Académie de, fCMMM, ann. 1731. i Mi.

1 Nevtoni Geneti$ currarum per umbras; in-B". Lond., 1740. * EUmenli di perspettiva ; Appendice, in-8°. Roinac , 17S5.

To*. XI. 19

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ont puisé des preuves suffisantes de la vérité du théorème de Newton , n'en ont pas pénétré la nature ni l'origine. Aussi un autre théorème semblable , c'est-à-dire , un autre mode de génération de toutes les courbes du troisième degré par l'ombre de cinq d'entre elles, qui a une connexité intime avec celui de Newton , a-t-il échappé aux géomètres qui ont écrit sur cette matière. Ce théorème consiste en ce que : parmi foutes les courbes du troisième degré, il en est cinq qui ont un centre '/ et ces cinq courbes, par leur ombre projetée sur un plan, donnent naissance à toutes les autres.

Ce nouveau théorème et celui de Newton reposent l'un et l'autre sur une même propriété des points d'inflexion, qui nous parait en être la véritable origine, et pouvoir être utile pour une classification purement géométrique des courbes du troisième degré, basée sur leurs différentes formes. Nous donnerons l'énoncé de cette propriété dans la Note XX.

§ 5. Maclaurin, inspiré par les belles découvertes de Newton, produisit sur les courbes géométriques deux écrits d'une haute importance. Dans le premier, consacré à la description organique des courbes géométriques -, l'auteur apprend à décrire de diverses manières, par l'intersection de deux côtés de deux angles mobiles, dont le mouvement est déterminé convenablement, toutes les courbes géométriques. Ses démonstrations, traitées par la méthode des coordonnées, n'offrent pas toujours un degré de simplicité satisfaisant; mais le deuxième écrit de Maclaurin, intitulé : De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus, est d'une élégance et d'une précision admirables.

Tout cet ouvrage repose sur deux théorèmes, qui sont deux belles propriétés générales des courbes géométriques. Le premier est celui du célèbre Cotes, que son ami, le savant physicien R. Smith trouva dans ses papiers et communiqua à Maclaurin. On peut l'énoncer de cette

1 Ce sont, dans I enumération des 72 espèces de Newton , les cinq courbes classées sous les n« 27, 38 , 59, 62 , 72 , et représentées par les figures 37, 47, 67, 70 et 81 .

s Geomelria organica , «w de$criptio linearum curcarum unicersalii, in4°, 1719.

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manière : Si, autour d'un point fixe, on fait tourner une transversale qui rencontre une courbe géométrique en autant de points A, B.... quelle a de dimensions, et qu'on prenne sur cette transversale, dans chacune de ses positions, un point M tel que la valeur inverse de sa distance au point fixe soit moyenne arithmétique entre les valeurs inverses des distances des points A, B... à ce point fixe, le point M aura pour lieu géométrique une droite.

Maclaurin a appelé le segment compris entre le point fixe et le point M, moyenne harmonique entre les segmens compris entre le point fixe et la courbe et M. Poncelct a appelé le point M, le centre des moyennes harmoniques des points A, B.... par rapport au point fixe2. Ce géomètre a fait voir que, quand le point fixe est à l'infini, le point M devient précisément le centre des moyennes distances des autres points A, B.... , d'où il résulte que le théorème de Cotes est une généralisation du théorème de Newton sur les diamètres des courbes.

Le deuxième théorème dont se sert Maclaurin, et qui lui est dû, est celui-ci :

Que, par un point fixe pris dans le plan dune courbe géométrique, on mène une transversale qui rencontre la courbe en autant de points qu'elle a de dimensions , qu'en ces points on mène les tangentes à la courbe; et que par le point fixe on tire une seconde droite de direction arbitraire, mais qui restera fixe ; les segmens compris sur cette droite entre le point fixe et toutes les tangentes à la courbe , auront la somme de leurs valeurs inverses constante , quelle que soit la première transversale menée par le point fixe ;

Celte somme sera égale à celle des valeurs inverses des segmens compris sur la même droite fixe, entre le même point et ceux où cette droite rencontrera la courbe.

$ 6. Ce second théorème est une généralisation importante de celui

1 Maclaurin dit qu'une quantité est moyenne harmonique entre plusieurs autres , quand sa Talcur inverse est moyenne arithmétique entre les valeurs inverses de cca quantités ( Traité de» Courbet géométriques , § 28).

3 Mémoire sur le» centre» de» moyennes harmoniques ; Jocuial de M. Chlls, tom. III.

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de Newton sur les asymptotes. L'un se transforme dans l'autre par la perspective des figures.

Ainsi, deux des trois théorèmes de Newton sur les courbes géométriques se trouvent généralisés par ceux de Cotes et de Maclaurin. Le troisième, qui concerne les segmens faits sur des transversales parallèles, a reçu une généralisation semblable dans la Géométrie de position , où les transversales sont prises concourantes en des points fixes. Carnot a même donné une autre généralisation plus étendue et plus féconde de ce théorème, eu le considérant comme cas particulier d'une belle proposition générale relative à un polygone quelconque tracé dans le plan d'une courbe géométrique.

§ 7. Dans le théorème énoncé ci-dessus, Maclaurin considère le cas où le point fixe, par lequel on mène des transversales, est pris sur la courbe, et, au moyen d'une propriété du cercle, il transforme l'équation qui exprime le théorème en une autre, où entre une corde du cercle osculateur à la courbe au point fixe. De là il conclut deux autres théorèmes, qui lui servent à construire le cercle osculateur, et à trouver l'expression de la différentielle du rayon de courbure.

Cette construction géométrique du cercle osculateur, sur la figure même, et sans le secours du calcul des fluxions, ni même de l'analyse de Descartes, paraît être restée inaperçue dans l'ouvrage de Maclaurin, car nous ne voyons pas qu'on en ait jamais parlé. Nous croyons pourtant qu'elle méritait d'y être remarquée, parce que ce problème avait paru jusque la exiger absolument l'emploi do l'analyse.

Maclaurin suppose connue la direction de la normale au point où il détermine le cercle osculateur. Nous nous étonnons qu'il n'ait pas eu l'idée de construire aussi d'une manière purement géométrique , et sans calcul, cette normale. Ce problème était du même ordre, et plus facile que celui du cercle osculateur. Nous avons trouvé de l'une et de l'autre, une construction simple qui dérive du troisième théorème de Newton. Nous ignorions alors que le cercle osculateur eût déjà été construit ; notre solution du reste diffère complètement de celle de Maclaurin, puisqu'elle repose sur une autre propriété des courbes géométriques.

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$ 8. Les quatre théorèmes généraux dont nous venons de parler font l'objet de la première section de l'ouvrage de Maclaurin. Dans les deux autres sections sont les applications de ces quatre théorèmes aux coniques et aux courbes du troisième degré.

Les diverses propriétés de la division harmonique des sécantes dans les coniques , et le théorème sur le quadrilatère inscrit , qui comprend la théorie des pôles (celui que nous avons déduit de l'hcxagramme de Pascal), se trouvent dans la seconde section. Le théorème de l'hexagramme y est seulement énoncé, Maclaurin l'ayant déjà démontré ailleurs de diverses manières ' .

La troisième section contient un grand nombre de propriétés curieuses des courbes du troisième degré. La plus considérable, d'où se déduisent la plupart des autres, qui sont relatives aux points d'inflexion et au point double, est celle-ci :

Quand un quadrilatère a ses quatre sommets et les deux points de concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré , les tangentes à la courbe, menées par deux sommets opposés, se coupent sur cette courbe.

Maclaurin avait déjà fait connaître ce théorème, qu'il avait énoncé dans son Traité des fluxions (art. 401), en remarquant que celui sur le quadrilatère inscrit aux coniques dont nous venons de parler, n'en était qu'un cas particulier : ce qu'on voit aisément en considérant la conique et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère , comme représentant une ligne du troisième degré.

Le théorème de Pascal pourrait être, aussi, considéré comme un corollaire d'une propriété des courbes du troisième degré, plus générale que celle de Maclaurin, et dont voici l'énoncé :

Quand un hexagone a ses six sommets et deux des trois points de concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré, le troisième de ces points de concours est aussi sur la courbe 2.

1 Transaction» philosophique», n" 439, ann. 1738 et Traité de» fluxion», n" 322 et Gi3. 1 Pour démontrer ce théorème, il suffit de regarder les trois cotés de rang impair de l'hexagone comme formant une première ligne du troisième degré , et les trois cotés de rang pair

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S 9. On a encore de Maclaurin , sur la théorie des courbes , un fragment d'un mémoire qu'il avait écrit en France, en 1721, comme supplément à sa Géométrie organique , et dont l'impression avait été commencée, mais qui n'a point été mis au jour. Ce fragment fut adressé en 1 732 à la société royale de Londres, et se trouve dans les Transacfions philosophiques pour l'année 1735. On y remarque le théorème général suivant, qui en est la partie principale :

Si un polygone, de forme variable, se meut de manière que tous ses côtés passent respectivement par autant de points fixes donnés, et que tous ses sommets, moins un , parcourent des courbes géométriques des degrés m, n, p, q...., le sommet libre engendrera une courbe qui sera en général du degré 2mnpq...; et qui se réduira au degré sous-double mnpq...., quand tous les points seront en ligne droite.

Si toutes les lignes directrices sont droites, la courbe engendrée par le sommet libre du polygone est une conique; et si le polygone est un triangle, le théorème alors n'est autre que l'hexagramme de Pascal. Ce théorème avait déjà été donné par Newton, pour le cas où l'un des trois points par où devaient passer les trois côtés du triangle mobile était situé à l'infini (lemme 20 du 1er livre des Principes). Mais c'est a Maclaurin qu'on doit son énoncé général, et d'avoir aperçu dans ce mode de description des coniques, le beau théorème de Pascal, qui était alors ignoré; V Essai sur les coniques , qui en contient l'énoncé, n'ayant été retrouvé qu'en 1779, par les soins de M. l'abbé Bossut

Depuis, Maclaurin démontra ce théorème directement pour le cercle,

comme en formant une seconde. Par les neuf points d'intersection de ces deux lignes on pourra faire [tasser une infinité de courbes du troisième degré; mais la proposée passe par huit de ces neuf points; il s'ensuit donc, par une propriété générale des courbes du troisième degré, qu'elle passe par le neuvième.

1 11 serait possible, il est vrai, que Maclaurin, qui résida en France vers 1711, ait eu connaissance de l'ouvrage de Pascal ; mais le théorème de l'hexagone ressortait si naturellement de la description des coniques par le triangle mobile, qu'il nous paraîtrait étonnant qu'il eût échappé à la pénétration de Maclaurin , qui avait profondément médité sur tout ce qui concernait la description des courbes, ainsi qu'il nous l'apprend lui-même, par sa lettre communiquée à la Société royale de Londres, le 31 décembre 1732 [Tran*. philoioph. , année 1735).

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d'où il lo conclut, par la perspective, pour toute espèce de coniques. ( Voir le Traité des fluxions, chapitre XIV, dans lequel Maclaurin démontre les propriétés principales de l'ellipse, en la considérant comme section d'un cylindre oblique à base circulaire.)

§ 10. Braikenridge fut, dans la description des courbes de tous les degrés, un digne émule de Maclaurin, et la théorie de ces courbes lui est redevable de plusieurs belles propositions fondamentales, relatives principalement à leur description par l'intersection de droites qui tournent autour de pôles fixes, qu'il exposa dans son traité intitulé : Exercitatio G cornet riœ de descriplione linearum curvarum (in-4°, 1733), et dans un mémoire qui fait partie des Transactions philosophiques, année 1735.

Depuis, plusieurs autres géomètres appliquèrent avec succès la Géométrie de Descartes à la théorie générale des courbes géométriques.

Nicole, à l'imitation de Stirling, qui avait démontré les propositions seulement énoncées par Newton dans son Énumération des lignes du troisième degré, avait aussi commencé une explication des principes qui avaient guidé ce grand géomètre, et la démonstration de son importante et curieuse proposition, non démontrée par Stirling, sur la description de toutes ces courbes par l'ombre des cinq paraboles divergentes '.

L'abbé de Bragelongne, qui, dès 1708, avait démontré, le premier, les beaux théorèmes de Newtom sur la description organique des coniques, et des courbes du troisième et du quatrième degré ayant des points doubles *, entreprit l'énumération et l'examen des formes et des affections des courbes du quatrième degré. Travail immense et difficile , dont les premières parties seulement ont été publiées, la mort de l'auteur nous ayant privé des suivantes 3.

MCOLE , 18BÎ-17S9.

EUl «.ELU* G JE ,

1 Mémoires de l'Académie des sciences, année 1731.

2 Journal des tarons , 30 septembre 1708.

1 La première partie de cette énumération a été insérée dans les Mémoires de f Académie des sciences, années 1730 et 1731; la seconde partie n'a pas paru ; l'analyse s'en trouve dan-. l'Histoire de f Académie pour 1732.

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L'abbé De Gua, dans un excellent ouvrage intitulé : Usages de V analyse de Descartes (in- 12, 1740), donna les moyens de déterminer les tangentes, les asymptotes et les points singuliers (multiples, conjugués, d'inflexion et de rebroussement), des courbes de tous les degrés, et fit voir, le premier, par les principes de la perspective, que plusieurs de ces points peuvent se trouver à l'infini ; ce qui lui donna l'explication à priori d'une analogie singulière entre les différentes espèces de points et les différentes espèces de branches infinies, hyperboliques ou paraboliques , que peuvent présenter les courbes ; analogie a laquelle le calcul l'avait déjà conduit.

Le but que s'était proposé cet habile géomètre, était de démontrer que l'analyse de Descartes pouvait être employée avec autant de succès que le calcul différentiel, dans la plupart des recherches relatives aux courbes géométriques. Il ne reconnaissait l'utilité de l'analyse infinitésimale que pour la solution des problèmes de calcul intégral, et de ceux qui concernent les courbes mécaniques. Ce sont en effet les seuls pour lesquels il paraît impossible de s'en passer, et ce sont même les seuls que Newton ait résolus par cette voie.

Euler, dans son Iniroduclio in analysin infmitorum (2 vol. in-4°, 1748), exposa les principes généraux de la théorie analytique des courbes géométriques, avec cette généralité et cette clarté qui caractérisent les écrits de ce grand géomètre ; et, étendant ce genre de recherches à la Géométrie à trois dimensions, discuta pour la première fois l'équation à trois variables, qui renferme les surfaces du second degré.

Dans le même temps Cramer donna, sous le titre : Introduction à V analyse des lignes courbes algébriques (in-4°, 1750), un traité spécial, le plus complet, et encore aujourd'hui le plus estimé, sur cette vaste et importante branche de la Géométrie.

Peu après, parut le Traité des courbes algébriques (in- 12, 1756) de Dionis du Séjour et Goudin, où se trouvaient résolus par l'analyse seule de Descartes, et avec clarté et précision, les problèmes sur les affections des courbes, leurs tangentes, asymptotes, rayons de courbure , etc.

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lo3

On a encore de Goudin un Traité des propriétés communes à toutes les courbes, qui a pour objet de transformer une équation quelconque d'une courbe, en une autre qui ait des coordonnées différentes. C'est une suite de formules, à trois et à quatre variables , dont chacune exprime une propriété différente des courbes en général '.

Nous citerons enfin Waring, qui, dans plusieurs écrits, a porté plus «ahu*. loin que ses prédécesseurs ses découvertes dans la théorie des courbes *. im-iw».

Ce sont là, je crois, les derniers perfection nemens notables que la science des courbes dut à la Géométrie des Anciens et à l'analyse de Descartes.

§11. Les progrès dans les autres parties de la science de l'étendue , ont été moins marqués et moins satisfaisans pendant l'intervalle de temps que nous venons de parcourir, que ceux qu'elle a faits dans la théorie générale des courbes géométriques. Cependant, les coniques ont continué d'être étudiées; et de nouveaux efforts pour donner l'intelligence et ranimer le goût de la Géométrie ancienne , ont été faits par des mathématiciens d'un grand nom, tels que Halley, Stewart, Simson, etc. : quelques questions particulières ont encore été traitées, de loin en loin, par les célèbres analystes Euler , Lambert, Lagrange, Fuss, etc., dans les courts instans de loisir que leur laissaient leurs recherches de prédilection. Mais ces travaux, propres à entretenir la connaissance des doctrines anciennes, ne nous paraissent pas en avoir fait naître de nouvelles; et les véritables progrès de la Géométrie pure ne datent que du commencement de ce siècle.

1 On y trouve, en particulier, quarante-cinq équations différentes de l'ellipse, en prenant soit le centre , soit le foyer, pour origine des coordonnées.

Cet intéressant ouvrage de Goudin a eu 3 éditions, dont la dernière est de 1803; on a joint à celle ci, comme aux deux premières, un mémoire sur les éclipses de soleil, et un précis sur les courbes algébriques, et, de plus qu'aux deux premières, un mémoire sur les usages de l'ellipse dans la trigonométrie.

2 Outre plusieurs mémoires , écrits en anglais dans les Transaction» philosophique» , de 1763 à 1791 , Waring a donné sur les courbes géométriques les deux traités intitulés : Mitcel/anea analytica de œquationibus algebraicie et currarum proprietatibut , in -4°, 1762; et Proprielates geometricarum currarum, in -i", 1772.

To». XI. 20

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°.«^!.X01»^«$* Mais, la Géométrie s'est acquis, à l'époque qui nous occupe, un »v» autre titre à notre admiration, par ses applications aux phénomènes

physiques, et par les grandes découvertes auxquelles elle a conduit INewton, Maclaurin, Stewart, Lambert, dans le système du monde. A aucune époque, cette Géométrie appliquée n'a jeté un aussi vif éclat; malheureusement, il a été de peu de durée, et nous devons convenir que, de nos jours, cette science est à peu près inconnue. Le calcul infinitésimal s'est emparé exclusivement de toutes les questions auxquelles elle avait été propre entre les mains de Newton et de ses disciples.

rrogrèi d. i. cfomë- g 12. Revenons à la Géométrie théorique, et essayons de nous rendre compte, par l'analyse des principaux ouvrages des géomètres qui l'ont cultivée pour elle-même, ou qui s'en sont servis comme d'un instrument dans l'étude des phénomènes physiques, de la nature et de l'étendue des recherches qui ont pu contribuer aux progrès de cette science.

■»ntT, Le célèbre astronome Halley, d'une grande érudition et très-versé i«s«-it»2 dans ia Géométrie de l'école grecque, lui éleva un magnifique monument par ses traductions, plus fidèle» que lcs-précédentes, de plusieurs ouvrages principaux des géomètres anciens. On distingue surtout sa superbe édition du traité des coniques d'Apollonius, où se trouve restitué, avec un grand talent, le 8e livre dont le texte jusqu'à ce jour n'a point encore été retrouvé. A la suite, sont les deux livres de Serenus sur les sections du cône et du cylindre.

On doit encore à Halley, la traduction, sur un manuscrit arabe, du traité De sectione rationis , jusqu'alors inconnu; et la divination du traité De sectione spatii, rétabli sur les indications de Pappus.

L'objet de ces deux ouvrages était, comme on sait, de mener par un point pris au dehors de deux droites, une transversale qui fit sur les deux droites, à partir de deux points fixes, deux segmens, dont le rapport dans le premier cas, et le produit dans le second cas, était donné.

Chacune de ces deux questions admet généralement deux solutions,

niSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 155

et, par conséquent , conduirait en analyse à une équation du second degré. Il est intéressant de voir avec quel art Apollonius résout la première par une moyenne proportionnelle. Ses considérations géométriques correspondent à l'opération que nous ferions pour chasser le second terme d'une équation du second degré.

Dans l'estime que Newton portait a la Géométrie ancienne, il distinguait particulièrement ce traité d'Apollonius, a Plus d'une fois, nous » dit le savant Pemberton je lui ai entendu approuver l'entreprise » de Hugues d'Omérique, de rétablir l'ancienne analyse, et faire de » grands éloges du livre d'Apollonius De sectione rationis, ce livre » nous développant mieux la nature de cette analyse qu'aucun autre » ouvrage de l'antiquité. »

La traduction de Halley est enrichie de plusieurs scholies, qui embrassent dans des constructions générales et très-élégantes, le grand nombre de cas que comporte la question, et qu'Apollonius traite minutieusement, comme autant de formules que le géomètre doit toujours avoir sous sa main dans la résolution des problèmes. Dans un de ces scholies, on voit que le cas le plus général se réduit à mener, par un point donné, deux tangentes à une parabole déterminée suffisamment par les données de la question. Remarque heureuse, qui se prête à une discussion facile et lumineuse des cas particuliers du problème , et qui a conduit llallcy à la connaissance de diverses propriétés de la parabole concernant ses tangentes, telles que celle-ci : Quand un quadrilatère est circonscrit à une parabole, toute tangente à cette courbe divise deux côtés opposés du quadrilatère en segmens proportionnels. Ces diverses propositions ne sout que des cas particuliers de la proposition générale que nous avons appelée propriété anharmonique des tangentes d'une conique. [Voir la Note XVI.)

Halley ne savait pas un mot d'arabe, quand son amour de la Géométrie ancienue lui fit entreprendre la traduction du manuscrit de la

1 View of sir Isaac Newlon's philosophy, in4°, 1728 ; traduil en français en 1755 , sons le tilre d'Élémens de la philosophie NewUmienne.

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section de raison. Dans sa préface, il fait l'histoire de ce manuscrit enfoui depuis de longues années dans la bibliothèque Bodleïenne. Il déplore la perte d'une infinité d'autres ouvrages de l'école grecque; et ne doute pas que beaucoup ne nous seraient rendus, si l'on voulait se donner la peine de les rechercher. Il adresse à ce sujet une prière à tous les savans qui peuvent avoir accès dans les bibliothèques de manuscrits. Nous nous faisons un devoir de rapporter ici, et le sentiment, et les vœux du célèbre Ilalley, qui doivent avoir une si imposante autorité auprès de toutes personnes éclairées et en position de rendre, de quelque manière que ce soit, quelques services aux sciences mathématiques.

Une édition des sphériques de Menelaus, en trois livres, revue sur un manuscrit hébreu, avait été préparée par Halley. Mais elle ne vit le jour qu'en 1758, par les soins de son ami le docteur Costard, auteur d'une histoire de l'astronomie.

Halley joignait à une profonde connaissance de la Géométrie ancienne une parfaite intelligence de la méthode de Descartes. Il en fit usage particulièrement pour perfectionner la construction des équations des troisième et quatrième degrés, par le moyen d'une parabole quelconque donnée et d'un cercle

Les éditions qu'il a données des ouvrages d'Apollonius, de Serenus et de Menelaus, sont très-recherchées des amateurs de la Géométrie 2, et suffiraient seules pour assurer à Halley une place distinguée parmi les savans qui ont contribué aux progrès des mathématiques, si ses travaux en astronomie ne l'avaient placé a côté des hommes les plus célèbres d'une époque qui a réuni les noms de Dominique Cassini, deHuygens et de Newton.

§ 13. Quoique Newton et Maclaurin, dont nous avons déjà fait connaître les belles recherches sur la théorie des courbes géométriques, n'aient pas écrit spécialement sur la Géométrie des Anciens, ils portè-

' Transactions philosophiques, année 1687, n» 188.

3 Tous ces ouvrages sont très-rarcs, surtout le traité De sectione rationis, qui est encore aujourd'hui le seul livre où l'on trouve , avec une traduction plus exacte que celle de Commandin , le texte grec de toute la préface du 7' livre des Collections mathématiques de Papput.

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rent une telle estime à cette méthode qu'ils s'en servirent presque exclusivement dans leurs recherches physico-mathématiques. Nous avons donc encore à jeter un coup d'œil sur les travaux de ces deux grands géomètres.

Nous citerons de Newton son Arithmétique universelle, et son grand «mo*. ouvrage des Principes.

L'Arithmétique universelle , modèle parfait de l'application de la méthode de Descartes à la résolution des problèmes de Géométrie et à la construction des racines des équations, présentait une foule de questions variées se rapportant à toutes les parties des mathématiques. Cet ouvrage est trop peu lu de nos jours, parce qu'on oublie sans doute que son illustre auteur, en en faisant le texte de ses leçons à l'université de Cambridge, l'avait jugé propre à initier ses élèves dans la science et dans l'art du géomètre.

S 14. Le premier livre des Principes contient un grand nombre de propositions diverses de pure Géométrie. On y remarque particulièrement de belles propriétés des coniques, et les problèmes sur la construction d'une conique assujettie à passer par des points et à toucher des droites , ou à avoir l'un de ses foyers en un point donné. Ces recherches, nouvelles alors pour la plupart, étaient des préliminaires qui suffirent à Newton pour soumettre à sa loi de la gravitation universelle tous les phénomènes du ciel, et pour déduire de ce principe unique l'explication, à priori, et le calcul de tous les mouvemens des corps célestes. C'est là le plus bel hommage rendu aux recherches des géomètres de l'antiquité sur les coniques , depuis que Kepler y avait puisé la découverte des véritables formes des orbites planétaires.

Le peu d'usage que l'on fait maintenant des propositions de Géométrie, et des nombreuses propriétés des coniques , par lesquelles il faut passer pour traiter par la méthode de Newton les grandes questions du système du monde , a contribué , indépendamment des avantages que présentait, sous d'autres rapports, la voie analytique, à faire abandonner cette première méthode que l'on a jugée longue et pénible, et qu'on a regardée comme ne promettant rien ou presque rien pour l'ave-

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nir. Et ce jugement a acquis chaque jour d'autant plus d'autorité que l'analyse, cultivée exclusivement, a fait des progrès continus qui permettent de simplifier et de perfectionner, de plus en plus, les premières méthodes analytiques que l'on a substituées à celle de Newton. Celle-ci au contraire, ayant cessé d'être cultivée, est restée dans l'état où elle était en sortant des mains de son illustre auteur. Et l'on ne songe pas, quand on la met en parallèle avec l'autre, à prendre celle-ci à son origine, et à citer les premiers essais des analystes pour convertir les beaux résultats de Newton en une analyse d'abord pénible et sans élégance, mais qui, depuis, s'est perfectionnée de jour en jour par les efforts continus des plus célèbres géomètres. Pourquoi donc, au moins, ne pas tenir compte des perfectionnemens que la méthode géométrique, qui peut devenir si souvent intuitive, eût reçus aussi, si elle n'avait pas été abandonnée complètement ?

Un examen attentif des diverses propositions de pure Géométrie , dont il est fait usage dans les Principes de Newton, donnera une idée de ce qu'auraieut pu être ces perfectionnemens. En effet, on reconnaît que ces diverses propositions, qui paraissent différentes entre elles, et dont chacune a sa démonstration particulière, peuvent pourtant se rattacher toutes à deux ou trois propriétés principales des coniques , dont elles ne sont que des cas particuliers, ou des conséquences faciles. Aujourd'hui donc, un commentaire nouveau des Principes de Newton, fait dans l'esprit et dans les formes de la Géométrie moderne, abrégerait et faciliterait singulièrement la lecture de cet ouvrage immortel.

S 15. Nous allons voir que les propositions de Newton peuvent dériver, comme nous venons de le dire, de deux ou trois seulement des propriétés les plus générales des coniques.

Dans les propositions 19 , 20 et 21 , sont résolus tous les problèmes sur la construction d'une conique dont un foyer est donné, et qui doit toucher des droites et passer par des points. Or les solutions de toutes ces questions se déduisent aujourd'hui immédiatement des questions analogues sur le cercle assujetti à trois conditions, soit parla théorie des figures homologiques, comme l'a montré M. Poncelet, soit parles

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transformations polaires, comme nous l'avons fait. (Annales de mathématiques, tom. XVIII.)

Leslemmes 17, 18 et 19, sont la propriété du quadrilatère inscrit aux coniques, ou théorème ad quatuor lineas des Anciens. Nous avons fait voir que ce théorème se déduit avec une extrême facilité de la proposition que nous avons appelée propriété anhannonique des points d'une conique ; et celle-ci se démontre d'une manière intuitive, sans qu'il soit besoin de faire usage d'aucune propriété des coniques. (Voir la Note XV.)

Les lemmes 20 et 21 , concernent la génération des coniques par l'intersection de deux droites qui tournent autour de deux pôles fixes.

Dans le premier, les deux droites mobiles aboutissent respectivement aux points où des transversales, parallèles entre elles, rencontrent deux droites fixes. C'est le théorème que nous avons énoncé en parlant des coniques de De Witt, et dont nous avons signalé un cas particulier dans un ouvrage de Cavallcri.

Si les transversales, au lieu d'être parallèles, concouraient en un point, ce serait dans toute sa généralité le théorème de Maclaurin et de Braikenridge , que nous avons cité, comme étant, sous un autre énoncé, le théorème de l'hexagone de Pascal, et qui se déduit immédiatement, comme nous l'avons fait voir (même Note), de la propriété anharmonique des points d'une conique.

Dans le second lemme, les deux droites mobiles sont deux côtés de deux angles de grandeur constante, dont les deux autres côtés se croisent sur une droite fixe. C'est la description organique des coniques, qui a été reproduite par Newton dans son Enumération des lignes du troisième ordre , et dans son Arithmétique universelle. Nous avons montré ( même Note ) que ce mode de description , dont les démonstrations qu'on en a données ont toujours été assez longues , se déduit avec une facilité extrême, comme le précédent, de la même propriété anharmonique.

Les lemmes 23 , 24 et 25 , et leurs corollaires , sont des cas particuliers de la propriété générale du quadrilatère circonscrit a une conique ,

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analogue à celle du quadrilatère inscrit , et que nous avons appelée propriété anharmonique des tangentes d'une conique. ( Voir la Note XVI).

Le corollaire 3 du lemme 25 prouve cette belle proposition, démontrée depuis de bien des manières, savoir que : « dans tout quadrilatère circon- » scrit à une conique, la droite qui joint les points milieux des deux » diagonales passe par le centre de la courbe. »

Beaucoup d'autres propositions sont des problèmes sur la description des coniques assujetties à cinq conditions, de passer par des points et de toucher des droites. Toutes ces questions se résolvent aujourd'hui, comme on sait, avec une grande facilité.

Le lemme 22 sert à changer les figures en d'autres figures du même genre. Dans les propositions suivantes, Newton s'en sert pour transformer des lignes concourantes, en des lignes parallèles, et faciliter la solution de quelques problèmes. Nous avons parlé de cette méthode dans notre troisième Époque; et nous avons fait voir qu'elle n'était autre qu'une des pratiques de la perspective. Cette remarque nous paraît propre à en faciliter l'intelligence.

S 16. Dans toutes ces propositions préliminaires, et dans leurs corollaires, Newton a borné ses recherches à ce qui lui était strictement nécessaire pour sa grande entreprise. Mais on voit, par la nature de ces propositions, que s'il eût eu en vue l'accroissement et le perfectionnement de la théorie des coniques, elles l'eussent conduit facilement, par des généralisations naturelles de ses premiers résultats, aux propriétés les plus générales de ces courbes.

Il ne lui aurait point échappé, non plus, que sa méthode peur la transformation des figures, s'appliquait naturellement aux figures à trois dimensions; et, depuis près d'un siècle et demi, nous saurions, ce que l'on n'a fait que dans ces derniers temps , transformer la sphère, par exemple, en une surface quelconque du second degré, comme on transforme par la perspective, depuis Desargues et Pascal, le cercle en une conique, pour découvrir et démontrer les propriétés de cette courbe.

Toutes ces généralisations n'entraient point dans le but de Newton.

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Mais elles n'auraient pu échapper aux géomètres qui auraient médité sur la partie purement géométrique du livre des Principes; et cette circonstance prouve combien peu les doctrines géométriques ont été cultivées depuis lors.

§ 17. C'est dans l'ouvrage de Newton qu'a paru pour la première fois la rectification des épicycloïdes. Il n'avait encore rien été écrit sur ces courbes célèbres, quoi qu'il paraisse, au rapport deLeibnitz, que, 10 ans auparavant, Roemer les avait déjà imaginées; et même, d'après De La llire, que la première découverte de ces courbes et de leur usage pour la confection des roues dentées, remonte à Desargues, dont le génie, aujourd'hui mieux apprécié, était à la hauteur d'une aussi grande et aussi utile invention. C'est quelques années après que l'ouvrage de Newton avait paru, que De La llire donna son Traité géométrique des épicycloïdes.

$ 1 8. Nous citerons encore, du livre des Principes, les fameuses ovales , imaginées par Descartes pour réunir en un seul point, par la réfraction, les rayons de lumière émanés d'un autre point, comme font l'ellipse et l'hyperbole à l'égard des rayons de lumière parallèles entre eux1. Newton fait voir, d'une manière très-simple, que ces courbes sont le lieu d'un point dont les distances à deux circonférences de cercles sont entre elles dans un rapport constant. C'est aussi ce qu'avait montré la construction géométrique de ces courbes donnée par Descartes, et ce que Huygens avait conclu immédiatement, et sans démonstration, de son système ondulatoire, dans son Traité de la lumière.

Nous ferons ici, à ce sujet, une observation qui se rapporte à la Géométrie de Descartes, mais que nous n'avons point trouvé l'occasion de placer plus tôt : c'est que la construction géométrique de ses ovales, qui était suffisante pour l'application spéciale que le célèbre philosophe fit de ces courbes à la dioptrique, n'était pas propre à les lui faire connaître complètement. Et Roberval, qui avait donné aussi, peu de temps

1 Cette propriété des coniques , qui repose sur la relation entre le foyer et la directrice , est due aussi à Descartes , qui l'a démontrée dans sa Dioptrique.

To«. XI. 21

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après , la construction de ces ovales et discuté leurs formes, ni Iluygens , ni Newton n'en ont point eu non plus une connaissance complète, sous le point de vue géométrique. En effet, une de ces ovales n'est point à elle seule le lieu exprimé par la propriété démontrée par Newton, ou par l'équation du quatrième degré trouvée par Descartes; mais ce lieu doit toujours être l'ensemble de deux ovales conjuguées , inséparables l'une de l'autre dans leur expression analytique.

Cette remarque a échappé a Descartes, dans sa Géométrie comme dans sa Dioptrique, et ensuite aux célèbres géomètres que nous venons de nommer. Elle pouvait bien être omise dans la Dioptrique , mais elle eût dû, ce me semble, être faite dans la Géométrie. Il est résulté de son omission que Tune des formes des courbes en question a échappé à l'analyse de Descartes; c'est le cas où les deux ovales conjuguées ont un point commun et forment une courbe unique ayant un point double; on trouve que cette courbe est celle qu'on appelle le limaçon de Pascal. Il résulte de là, que cette courbe remarquable, qui est tout a la fois, comme on sait, une épicycloïde et une conchoïde du cercle, jouit de cette" autre propriété, qu'on ne lui avait pas encore reconnue, d'avoir deux foyers , comme les ovales de Descartes.

Dans ces derniers temps, ces ovales ont reparu sur la scène géométrique. Le célèbre astronome J. Herschel les a appelées lignes aplanétiques ', à cause de leur usage en optique. M. Quetelet leur a découvert de singulières et curieuses propriétés que nous ferons connaître dans la Note XXI.

uomw. § 19. Maclaurin partagea le goût de Newton pour la Géométrie pure, et sut l'appliquer aussi avec la plus grande habileté aux recherches philosophiques. Son Traité des fluxions, où il se proposait, en établissant le lien et les rapports entre les méthodes d'Archimède et celle de Newton, de démontrer celle-ci avec toute la rigueur de l'école grecque, présente une foule de démonstrations synthétiques dans des questions diverses de mécanique et de haute Géométrie, où l'analyse

1 Sam aberration.

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n'eût été ni plus facile, ni plus expéditive. Tout le monde sait avec quelle élégance et quelle facilité il résolut, par cette voie, la grande question de la figure de la terre , qui suffirait seule pour rendre son nom immortel.

Il fallait connaître l'attraction d'un ellipsoïde de révolution sur des points situés à sa surface ou dans son intérieur. Maclaurin sut tirer de quelques propriétés des coniques , toutes les ressources suffisantes pour la solution de cette question qui a toujours passé auprès des plus célèbres analystes pour l'une des plus difficiles. Le jugement porté par l'illustre Lagrange à ce sujet, fera mieux apprécier que tout ce que nous pourrions en dire , le mérite du travail et de la méthode de Maclaurin. Après avoir dit qu'il est des questions où la méthode géométrique des Anciens a des avantages sur l'analyse, Lagrange ajoute : « Le problème où il s'agit de déterminer l'attraction qu'un sphéroïde )) elliptique exerce sur un point quelconque placé a sa surface ou dans » son intérieur est de cette espèce. M. Maclaurin, quia, le premier, )> résolu ce problème dans son excellente pièce sur le flux et le reflux » de la mer, couronnée par l'Académie des sciences de Paris, en 1 740, )> a suivi une méthode purement géométrique, et fondée uniquement » sur quelques propriétés de l'ellipse et des sphéroïdes elliptiques ; et » il faut avouer que cette partie de l'ouvrage de M. Maclaurin est un )) chef-d'œuvre de Géométrie , qu'on peut comparer à tout ce qu'Ar- » chimède nous a laissé de plus beau et de plus ingénieux. Comme » M. Maclaurin avait une sorte de prédilection pour la méthode des » Anciens , il n'est pas étonnant qu'il Tait employée dans la solution )> du problème dont nous venons de parler ; mais il l'est extrêmement, m ce me semble, qu'un problème aussi important que celui-là n'ait )> pas été résolu depuis d'une manière directe et analytique, surtout » dans ces derniers temps où l'analyse est devenue d'un usage si com- » mun et si général. On ne peut, je crois, en attribuer la cause qu'aux » difficultés de calcul que la solution de cette question doit renfermer,

» lorsqu'on l'envisage sous un point de vue purement analytique

)> Je me propose, dans ce mémoire, de faire voir que loin que le pro-

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» blême dont il s'agit se refuse à l'analyse, il peut être résolu par ce » moyen d'une manière, sinon plus simple, du moins plus directe et » plus générale que par la voie de la synthèse , etc. »

Cette plus grande généralité consistait à calculer l'attraction dans un ellipsoïde à trois axes inégaux, au lieu d'un ellipsoïde de révolution, comme avait fait Maclaurin. Mais déjà, D'AJembert s'était proposé cette extension, et l'avait obtenue par de pures considérations de Géométrie, en suivant pas à pas la marche tracée par Maclaurin \

g 20. Il est une autre partie du travail de Maclaurin, dont Lagrangc ne parle pas encore dans son premier mémoire que nous venons de citer, et qui conservait à la méthode géométrique un véritable avantage sur l'analyse; c'était le fameux théorème des ellipsoïdes dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers. Il consiste en ce que les attractions de deux tels ellipsoïdes, sur un même point situé au dehors de leurs surfaces, s'exercent suivant la même direction, et sont proportionnelles aux masses des deux corps. Maclaurin n'avait démontré que le cas particulier le plus simple de ce beau théorème, celui où le point attiré est sur l'un des axes principaux des deux ellipsoïdes (Art. 653 du Traité des fluxions). Mais, ce cas particulier présentait d'assez grandes difficultés pour que les efforts de d'Alembert, qui y appliquait l'analyse, ne conduisissent ce grand géomètre qu'à supposer

1 Mémoires de l'Académie de Berlin, ann. 1773.

3 Opuscule» mathématiques, tom. VI , pag. 165 ; ann. 1773.

Avant do «avoir que d'Alembcrt , eu suivant les traces de Maclaurin , était parvenu par de pures considérations de Géométrie, à une formule d'intégrale simple, pour l'attraction d'un ellipsoïde à trois axes inégaux sur un point situé à sa surface ou dans son intérieur , nous avions cherché à donner cette même extension à la théorie de Maclaurin ; et , en adoptant le mode de décomposition du solide en cônes élémentaires , qui a été employé par Lagrange , nous sommes parvenu, par la Géométrie seule, à la formule de quadrature que l'on obtient en analyse. Notre procédé consiste à remplacer par des considérations géométriques , la première intégration que l'on effectue en analyse; et cela se fait en remarquant qnc cette intégration correspond, en Géométrie, à l'évaluation de l'aire d'une ellipse, qui est la projection , sur un des trois plans principaux de l'ellipsoïde , de l'intersection de cette surface par celle d'un cône de révolution autour d'un axe perpendiculaire à ce plan principal ; ce cône ayant même centre que l'ellipsoïde.

faux le théorème de Maclaurin 1 ; et pour que Lagrange, qui le démontra quelque temps après, bornât sa démonstration au cas particulier en question2. D'Alembert, pour réparer son erreur, en donna aussi trois démonstrations; mais, comme Lagrange, sans aller au delà de Maclaurin3. C'est M. Legendre qui, peu de temps après, fit faire un pas à cette question, en démontrant le théorème pour le cas ou le point attiré est dans l'un des plans principaux des ellipsoïdes, et qui, dès lors soupçonna toute sa généralité*, qu'il démontra en effet, quelques années après, dans un mémoire d'analyse, qu'on peut regarder comme un chef-d'œuvre de difficulté vaincue; mémoire fort beau et très- profond, et qui serait plus riche encore en résultats intéressans, si M. Legendre avait donné la signification géométrique de plusieurs des nombreuses formules par lesquelles il lui faut passer, pour arriver à la conclusion du théorème en question \

Depuis, on a trouvé diverses autres démonstrations du théorème de M. Legendre, dont une que nous pouvons citer ici comme rentrant dans la méthode synthétique. C'est celle qui dérive du beau théorème de AI. Ivory, par lequel on ramène le calcul de l'attraction sur des points extérieurs à celui des attractions sur des points intérieurs à l'ellipsoïde. Les différentes démonstrations qu'on a données de ce théorème s'écartent peu de celle même de son célèbre auteur , et l'on y fait usage de quelques transformations de formules analytiques. 11 est peut- être à désirer , pour faire entrer ce théorème dans la théorie géométrique de l'attraction des ellipsoïdes, à laquelle il appartient par sa nature, d'en avoir une démonstration plus synthétique que les premières, c'est-àdire, tout-à-fait indépendante des formules de l'analyse.

La question de l'attraction des ellipsoïdes, restreinte au simple calcul de cette attraction, est maintenant résolue aussi complètement que le permettent les bornes de l'analyse, puisqu'elle se réduit à une

1 Opuscules mathématiques , tom. VI , pag. Î4S.

2 Mémoires de l'Académie de Berlin, ann. 1774 et 1775.

1 Opuscules mathématiques , tom. VU, pag. 101; ann. 1780.

* Mémoires des tarons étrangers, tom. X.

* Mémoires de l'Académie des sciences, ann. 1788.

formule de quadratures elliptiques, qu'on ne sait pas intégrer en termes finis. Mais, cette grande question, envisagée sous d'autres points de vue, est loin d'être épuisée, et donnera lieu encore certainement à bien des recherches et à de belles découvertes '. Les travaux tout récens de deux célèbres analystes de France et de Koenisberg, MM. Poisson et Jacobi, sont une preuve qu'il restait encore beaucoup à faire, et appelleront de nouvelles méditations sur cette matière d'un si haut intérêt.

§ 21. Le problème de l'attraction des ellipsoïdes, considéré indépendamment de son application à plusieurs questions de la philosophie naturelle, appartient à la Géométrie, et la solution qu'en a donnée Maclaurin est un des morceaux les plus propres à ranimer le goût et l'intelligence de cette Géométrie pure et intuitive, si méconnue depuis bientôt un siècle. Nous espérons que, par cette raison, op nous pardonnera d'être entré à ce sujet dans quelques détails, qui nous ont éloigné de la direction que nous aurions dû suivre dans l'examen des travaux géométriques de Maclaurin : ce sera rentrer dans

I Par exemple , quoiqu'on ne sache pas déterminer d'une manière absolue , ni en grandeur ni en direction, l'attraction d'un ellipsoïde sur différens points, ne pourrait-on pas trouver certains rapports entre ces attractions , ou entre leurs directions ?

Biais , sans imaginer de nouvelles questions , qui se présenteraient en foule à l'esprit, il en est une qui, ce me semble, s'est offerte d'elle-même, et dont il ne paraît pas qu'auoun des géomètres qui ont écrit sur cette matière , se soit occupé. On sait que la formule relative à l'attraction sur un point extérieur contient un coefficient, qui n'est pas connu à priori, mais qui dépend d'une équation du troisième degré, parfaitement déterminée; l'expression géométrique de ce coefficient est connue; c'est un des axes principaux de l'ellipsoïde qui passe par lo point attiré, et qui a ses sections principales décrites des mêmes foyers que celles de l'ellipsoïde attirant. Mais cette équation du troisième degré est un fait d'analyse, que l'on ne pouvait prévoir à priori d'après la nature de la question, et que l'on n'a point encore expliqué. Il annonce que le problème de l'attraction d'un ellipsoïde dérive d'une autre question , d'un énoncé plus général , et qui admet généralement trois solutions. Dans deux do ces solutions, les deux hyperboloïdes à une et à deux nappes , que l'on peut faire passer par le point attiré, de manière que leurs sections principales soient décrites des mêmes foyers que celles de l'ellipsoïde donné, feront la même fonction que l'ellipsoïde qui passe parce point fait à l'égard de la première solution qui résout la question même de l'attraction.

II n'est pas rare de rencontrer de pareils faits d'analyse ; mais il est toujours intéressant d'en savoir l'origine et la signification. Alors seulement une question peut être regardée comme résolue complètement.

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cette direction que d'indiquer maintenant sur quelles propriétés des coniques ce géomètre avait établi sa solution.

Une seule suffit pour le calcul de l'attraction sur des points situés à la surface, ou dans l'intérieur de l'ellipsoïde, la voici :

« Étant données deux ellipses semblables, semblablement placées » et concentriques; par un des sommets de la plus petite, on lui » mène sa tangente qui rencontre l'autre ellipse en deux points;

» Par l'un de ces points, on mène dans cette seconde ellipse deux » cordes quelconques, mais également inclinées sur la tangente en » question;

)) Par le sommet de la première ellipse, on mène dans cette courbe » deux cordes parallèles à celles de l'autre ellipse;

» La somme de ces deux cordes est égale à celle des deux autres » cordes. »

Maclaurin démontre ce théorème dans le cercle, par la Géométrie élémentaire ; et ensuite , en projetant les deux ellipses sur un plan parallèle à la tangente en question, et convenablement incliné pour que les ellipses deviennent en projection des cercles, il en conclut le théorème énoncé \

S 22. Le calcul de l'attraction sur les points extérieurs à l'ellipsoïde, n'était pas aussi facile; Maclaurin se servit, pour y parvenir, des deux propositions suivantes, dont il n'énonça que la première , mais dont on aperçoit la seconde dans le cours de la démonstration de cette première :

« 1° Quand deux ellipses sont décrites des mêmes foyers, si, par » un point, pris sur un de leurs axes principaux, on mène deux trans- » versales, de manière que les cosinus des angles qu'elles feront avec » l'autre axe soient proportionnels respectivement aux diamètres des

1 C'est le «cul théorème qui servit à Maclaurin pour démontrer cette importante proposition , admise par Newton sans preuve, savoir qu'une masse fluide homogène, tournant autour d'ellemême, devait prendre la figure d'un ellipsoïde de révolution, dans l'hypothèse de l'attraction en raison inverse du carré des distances. Et cette voie parut si belle à Clairaut, qu'il abandonna , dans sa Théorie de la figure de la terre, sa méthode analytique, pour suivre celle de Maclaurin.

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m deux coniques, dirigés suivant cet axe, les parties des deux transverw sales, comprises entre les deux courbes respectivement, seront pro- )) portionnelles aux diamètres dirigés suivant leur premier axe.

)) 2° Quand deux ellipses sont décrites des mêmes foyers, si l'on » mène deux diamètres quelconques, aboutissans à deux points cor- » respondans des deux courbes, la différence de leurs carrés sera con- » stante. )>

Nous appelons points correspondons , ceux dont les distances à chacun des axes principaux sont proportionnelles aux diamètres des deux ellipses, perpendiculaires à ces axes respectivement.

La première de ces deux propositions suffit à Maclaurin pour démontrer que les attractions que deux ellipsoïdes de révolution, décrits des mêmes foyers, exercent sur un même point pris sur le prolongement de Taxe de révolution, sont entre elles comme les masses des deux corps. De là, il conclut, au moyen de la seconde proposition, que ce théorème a lieu aussi à l'égard des points situés sur le plan de l'équateur des deux sphéroïdes, au dehors de leurs surfaces. Ensuite, il remarque que sa démonstration de ce second théorème s'applique aux ellipsoïdes à trois axes inégaux , dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers, quand le point attiré est sur le prolongement d'un de leurs axes; d'où résulte le célèbre théorème dont nous avons parlé.

D'Alembert, et ensuite Lagrange et Legendre, avaient pensé que Maclaurin n'avait fait qu'énoncer son théorème, sans en donner la démonstration ; c'était une erreur de la part de ces trois illustres géomètres, car cette démonstration est identiquement la même que celle du cas qui avait précédé, et l'auteur dès lors devait se borner, comme il a fait, à ces seuls mots : ton prouvera de la même manière, etc.; et ne pas répéter des raisonnemens qu'il venait de faire quelques lignes plus haut, et auxquels il n'y avait à changer, ni ajouter, ou retrancher aucun mot l.

1 La méprise des trois grands géomètres que je viens de nommer n'a peut-être pas été aperçue, quoiqu'on se soit tant occupé, depuis, de la question de l'attraction des ellipsoïdes. Je n'en Tais la remarque ici , que parco qu'elle nous offre une preuve bien certaine de l'abandon

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S 23. Les deux propriétés des ellipses décrites des mêmes foyers, que nous avons énoncées ci-dessus, sont dues à Maclaurin; ce sont probablement les premières que l'on ait données sur les coniques biconfocales; de même que son théorème sur l'attraction des ellipsoïdes dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers , offre la première circonstance où il ait été question de deux tels ellipsoïdes. Ces surfaces se sont présentées, depuis quelques années, dans d'autres questions particulières; et elles nous paraissent devoir jouer désormais un rôle important dans la théorie générale des surfaces du second degré. Elles jouissent d'un grand nombre de propriétés qui n'ont point encore été remarquées, et dont nous parlerons dans une des Notes relatives à notre cinquième Époque.

g 24. C'est eu considérant l'ellipse comme section oblique d'un cylindre à base circulaire, que Maclaurin démontre les propriétés de

où i-st tombée la Géométrie, dans la tecoode moitié du siècle dernier, et du peu de justice qu'il y aurait aujourd'hui à l'accuser d'impuissance , puisque, loin de la soumettre à de nouveaux essais, on n'a pas même approfondi la nature et l'esprit des belles méthodes qui ont conduit Newton et Maclaurin à leurs grandes découvertes. On a préféré , au contraire , après avoir traduit ces méthodes en analyse, faire honneur à celle-ci des grands travaux de Newton , que ce philosophe aurait revêtus ensuite de la forme géométrique. Supposition gratuite , qui montre qu'on méconnaît le caractère de fécondité de la Géométrie , et la facilité extrême de ses déductions naturelles, et souvent même intuitives, dans les questions où elle peut avoir un premier accès. Mais sans entrer en discussion, sur la nature et les moyens de celte méthode qui demanderait un défenseur habile , il nous suffit de rappeler que , pour attrihuer à la méthode analytique les découvertes de Newton, on est obligé de convenir que ce géomètre, en suivant cette voie, aurait fait usage du calcul des variations , dont l'invention est due à l'illustre Lagrange. Est-il possible d'admettre que le grand Newton, d'un esprit si réfléchi et d'une vue si sûre et si étendue, aurait méconnu assez le caractère et l'immense importance d'une telle découverte, pour la passer sous silence , et dédaigner de s'en servir ensuite dans la lutte si pénible et si passionnée qu'il soutint contre Leibnitz? Autant valait qu'il ne produisit pas même son calcul des fluxions. Au reste, en attribuant à l'analyso les découvertes de Newton, on devrait, pour être conséquent et pouvoir en conclure l'impuissance de la méthode géométrique , en dire autant des travaux de Maclaurin, de Stewart, et même de la célèbre formule de Lambert, proclamée par Lagrange lui-même, la plus belle et la plus importante découverte de toute la théorie des comètes, quoiqu'elle ait dù le jour à de simples considérations de Géométrie.

Laissons donc à la Géométrie ses oeuvres. L'analyse a déjà d'assez brillans trophées, elle est > riebe d'avenir, pour applaudir franchement aux anciens succès de sa sœur ainée.

Tom. XI. 22

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cette courbe, en les faisant dériver de celles du cercle. Il ne s'est pas borné aux propositions que nous avons citées ; mais ayant trouvé cette méthode fort expéditive, il voulut la pousser plus loin que n'avait fait le marquis de Lhopital , qui l'avait déjà enseignée à la suite de son traité analytique des sections coniques ( Iiv. VI). En quelques pages seulement, Maclaurin démontra, avec une simplicité extrême, les principales propriétés de l'ellipse. On y remarque une démonstration naturelle, et qui surpasse en brièveté celles de Newton , pour le problème des forces centrales dans l'ellipse, le point attirant étant placé d'une manière quelconque dans le plan de la courbe : on y voit immédiatement que l'attraction est en raison directe de la distance, quand le point attirant est au centre de l'ellipse ; et en raison inverse du carré de cette distance, quand le point attirant est au foyer de la courbe.

Le Traité des fluxions de Maclaurin pourrait donner lieu à beaucoup d'autres remarques concernant l'histoire et les progrès de la Géométrie; mais nous avons déjà dépassé les limites que nous prescrivait la destination do cet écrit; nous arrêterons donc ici notre aperçu sur les travaux de ce grand géomètre, t. nim», § 25. Robert Simson, que nous avons déjà eu plusieurs fois l'occa- 18S7.1TB8 sjon je citer ? est un des géomètres du siècle dernier qui ont le plus approfondi la Géométrie ancienne, et qui ont le plus contribué à en répandre la connaissance. On lui doit un Traité des sections coniques en cinq livres, écrit dans le style rigoureux d'Apollonius, que l'on commençait à abandonner pour suivre exclusivement la méthode analytique. Cet ouvrage était le premier qui contint les deux célèbres théorèmes de Desargues et de Pascal. On y trouve aussi le théorème ad quatuor lineas ; mais celui-ci avait déjà paru dans un traité des coniques de Mi lues ', qui l'avait emprunté des Principes de Newton.

• Sectionum conicarum elemenla nota methodo demonêlrata ; Ononii 170Î. Cet ouvrage, imité du grand traité de De La Hire , comme l'auteur l'avoue dans sa prérace , eut un grand succès et plusieurs éditions. On y considérait les coniques comme sections d'un c6ne à base circulaire , par un plan tout à-fait arbitraire, sans so servir du triangle par l'axe. Hais la méthode nous y parait moins heureuse que celle de De La llire , en ce qu'elle consiste à démontrer d'abord en

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Cette circonstance, que l'ouvrage de Simson contenait les trois théorèmes principaux que nous venons de citer, était la seule qui pût lui donner quelque avantage sur le grand traité de De La Jlirc ; car, sous le rapport de la méthode, celui-ci nous paraît lui être à plusieurs égards infiniment supérieur; il avait été un perfectionnement notable de la méthode des Anciens, et celui de Simson faisait sous ce rapport un pas rétrograde.

En effet, Simson, à l'instar de De La Ilire dans son petit traité de 1679, et du marquis de Lhopital en suite, considère les coniques sur le plan, en les définissant chacune par une propriété spécifique et particulière. Pour la parabole , c'est l'égalité des distances de chaque point de la courbe au foyer et a la directrice; pour l'ellipse, c'est la somme constante, et pour l'hyperbole, la différence, des distances de chaque point de la courbe aux deux foyers. De ces modes de description des trois courbes, Simson déduit les propriétés principales de chacune d'elles, et montre ensuite que ces courbes sont les mêmes que celles qu'Apollonius formait dans le cône oblique, en se servant du triangle par l'axe.

Ce n'est qu'après avoir traité ainsi en particulier des trois sections coniques, dans les trois premiers livres de son ouvrage, que Simson les considère, dans les deux livres suivans, toutes trois ensemble, dune manière générale, et démontre un grand nombre de leurs propriétés communes.

Le théorème ad quatuor lineas est la vingt-huitième proposition du livre quatre; l'hexagramme de Pascal est la quarante-septième du livre cinq; et le théorème de Desargues est démontré dans les propositions 12 et 49 du même livre. Simson n'a pas connu les rapports intimes

particulier certaines propriétés de l'hyperbole , qui servent de rondement pour passer à celles de l'ellipse.

Les démonstrations, du reste, sont purement synthétiques, et d'une grande simplicité; quoique les proportions, sans cesse répétées, sous la forme ancienne , qu'il serait plus commode et plus rationnel de remplacer par celle d'une égalité de rapports, en rendent aujourd'hui la lecture fatigante.

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qui lient ces trois théorèmes entre eux, et qui n'en font, pour ainsi dire, que des expressions différentes d'une seule et unique propriété générale des coniques ; mais il a su apercevoir toute la fécondité des deux derniers , car il a fait voir que toute la théorie des pôles se déduit de l'un, et après avoir tiré de l'autre six corollaires, il ajoute qu'ils contiennent des démonstrations générales de plusieurs propositions du premier livre des Principes de Newton.

Il est à regretter que Simson n'ait pas mis à profit cet aperçu heureux , pour comprendre sous un seul énoncé général , et dans une seule démonstration, une foule de propositions partielles et restreintes, dont il avait donné auparavant autant de démonstrations différentes. C'était la seule manière de simplifier la théorie des coniques, d'en faciliter et d'en étendre la connaissance et les usages, et de lui préparer de nouvelles acquisitions.

g 26. Nous ne ferons que mentionner ici le célèbre Traité des porismes, où Simson a fait connaître la nature de ces propositions, qui avaient été jusqu'à lui une énigme indéchiffrable pour les plus savans géomètres : nous en avons parlé longuement k l'article d'Euclide et dans la Note III.

La section déterminée, rétablie par Simson, fait partie du même volume que les porismes.

Ce géomètre a aussi rétabli les Lieux plans d'Apollonius ', avec plus d'exactitude et de fidélité que n'avaient fait Schooten et Fermât.

Il avait préparé une traduction nouvelle des œuvres de Pappus, qu'on a trouvée dans ses manuscrits qu'il avait légués au collège de Glascow : il est à regretter qu'elle n'ait pas été publiée; car c'était une entreprise moins facile qu'on n'a peut-être pensé alors, et qui exigeait une profonde instruction dans la Géométrie ancienne. Personne n'était plus capable que le savant Simson de remplir cette tâche avec intelligence et habileté. On doit s'étonner que ses compatriotes n'aient pas recueilli un tel travail; et qu'en cette circonstance, le noble exemple de Milord

' Àpollonii Pergœi locorutn planorum, libri II rettitutt ; in-4°. Glosgutc, 1749.

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Stanhop, à qui fut due la publication des porismes et de la section déterminée, n'ait pas eu d'imitateur dans la patrie de Newton, où la Géométrie ancienne a toujours compté de dignes et célèbres admirateurs.

S 27. Mathieu Stewart, disciple de Simson et de Maclaurin au collège de Glascow, puis à l'université d'Édimbourg, reçut de ses maîtres le goût de la Géométrie ancienne, et lui dut, comme eux , sa célébrité. Le premier de ses ouvrages, intitulé : Quelques théorèmes généraux d'un grand usage dans les hautes mathématiques (écrit en anglais), in-8°, 1746, le plaça aussitôt dans un rang distingué parmi les géomètres; et lui procura, peu de temps après, la chaire de mathématiques devenue vacante par la mort de Maclaurin. La nature de ses fonctions, et la direction de ses premières études, le portèrent à continuer de cultiver particulièrement la méthode géométrique, et lui firent concevoir le projet de l'appliquer aux questions les plus difficiles de l'astronomie physique, agitées alors parmi les géomètres, et qui, suivant eux, n'étaient accessibles qu'à la plus sublime analyse. C'était continuer les méthodes de Newton et de Maclaurin, dans les problèmes du système du monde, devenus, par les progrès naturels de la science, plus nombreux et plus compliqués qu'au temps de ces deux grands géomètres. Dans cette vue, Stewart mit au jour, en 1761 , l'ouvrage intitulé : Tracts physical and malhemalical , etc. , c'est-à-dire : a Traités de » physique et de mathématiques, contenant l'explication de plusieurs » points importans de l'astronomie physique, et une nouvelle méthode » pour déterminer la distance du soleil à la terre, par la théorie de la )) gravité. » Une théorie très-étendue des forces centripètes, le calcul de la distance du soleil à la terre, et le problème si difficile des trois corps, où il s'agissait de calculer l'action réciproque du soleil, de la terre et de la lune, étaient les questions principales que Stewart résolut dans une suite de propositions qui n'exigeaient d'autres connaissances mathématiques que celles des élémens de la Géométrie plane et des sections coniques. L'ordre et la clarté de ces propositions, la simplicité de leurs démonstrations et la nature des questions difficiles qu'elles résolvaient, méritèrent à Stewart de grands éloges, et le firent estimer

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l'un des plus profonds géomètres de l'époque. Cependant, nous devons dire que son calcul de la distance du soleil à la terre était erroné. La cause de Terreur fut reconnue et expliquée d'abord par Dawson en 1769 l, puis en 1771, par Landcn 2. Elle provenait, non de la méthode en elle-même, mais de quelques quantités négligées à tort dans le but de la simplifier. On a fait depuis, de cette circonstance, un argument contre la méthode géométrique; mais ilsuflit, pour lé réfuter, de rappeler que de telles fautes ont échappé aux plus célèbres analystes , et qu'elles ont été communes en astronomie surtout, ou l'analyse ne procède que par voie d'approximations successives.

§ 28. Nous avons encore à citer de Stewart un ouvrage de pure Géométrie, intitulé : Propositiones geometricœ , more Veterum demonslratœ , ad Geometriam antiquam illustrandam et promovendam idoneœ. Édim., 1763, in-8°.

II nous faut entrer dans quelques détails , pour faire connaître cet ouvrage, ainsi que celui des Théorèmes généraux , qui l'avait précédé de dix-neuf ans. Peut-être à raison de la rareté de ces deux livres, aimera-t-on à en trouver ici l'analyse et l'énoncé des principaux théorèmes qu'ils contiennent.

Le livre des théorèmes généraux contient soixante-quatre propositions , dont cinquante seulement ont le titre de théorèmes ; des quatorze autres, trois sont au commencement de l'ouvrage, et servent pour les démonstrations des théorèmes, et les onze autres le terminent ; celles-ci sont pour la plupart des propriétés du cercle.

Des soixante quatre propositions, les huit premières seulement sont démontrées; on y trouve les cinq premiers théorèmes. L'auteur annonce, dans une courte préface, que pour démontrer tant de théorèmes si généraux , et de si grande difficulté, il lui aurait fallu plus de temps qu'il ne pouvait en consacrer à ce travail. Je ne sais si, dans la suite, Stewart

1 Four Proposition», etc.; c'est à-dire, Quatre propositions pour prouver que la distance, du soleil déterminée par M. Stewart est erronée.

1 Animadvertions on d' Stetcart» computation of the tun't distance from the earth ; in 8». London.

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a restitué les démonstrations de ses théorèmes, ou si on les a trouvées dans ses papiers, et quel usage on en a fait.

Les deux premières propositions expriment des propriétés générales de quatre points, dont trois sont en ligne droite, et le quatrième placé arbitrairement. Dans la seconde de ces propositions, le quatrième point peut être pris sur la droite où sont situés les trois autres. Cette proposition mériterait d'être plus connue qu'elle ne nous paraît l'être. En voici l'énoncé :

Étant pris en ligne droite trois points A, C, B, et un autre point quelconque D, en dehors ou dans la direction de la droite, on aura

DX'BG -t- DbTAC — "DÏTaB = AB.AC.BC.

C'est cette proposition dont nous avons dit que les huit In urnes de Pappus sur les lieux plans d'Apollonius peuvent dériver comme co- Tollaircs ou conséquences faciles. Peu de temps après qu'elle avait paru dans l'ouvrage de Stewart, Robert Simson en a fait un usage utile dans un appendice à ses Loca plana restitula , et un autre géomètre célèbre , Th. Simpson, l'a aussi démontrée et s'en est servi , sous le titre de lemme, pour résoudre plusieurs problèmes, dans ses exercices choisis pour les jeunes étudians en mathématiques '. Plus tard, Euler l'a aussi démontrée comme lemme, pour inscrire dans un cercle un triangle dont les trois côtés passent par trois points donnés \ Nous trouvons enfin que le célèbre physicien et géomètre John Leslie l'a aussi démontrée et s'en est servi dans le troisième livre de son Analyse géométrique \

On voit par ces citations, que cette proposition, qui est à peu près

1 Select exercises for tjoung proficients in the mathematicks ; in-B', 1781.

Les deux premières parties de cet ouvrage «ont un recueil de nombreux problèmes d'Algèbre et de Géométrie , résolus très-élégamment. Elles ont été traduites en français, sous le titre d'Êlemens d'analyse pratique, ou application des principes de l'Algèbre et de la Géométrie, à la solution d'un très-grand nombre de problèmes numériques et géométriques ; in-8% 1771 .

1 Mémoires de /' Académie de Pétersbourg , ann. 1780.

5 Geometrical analysis. Edinburgh, 1809; in-8°. Seconde édition en 1021 .

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inconnue de nos jours , mériterait bien de prendre place dans les élémens ou au moins dans les complémens de Géométrie

Les cinquante théorèmes de Stewart peuvent être compris, à peu près, tous dans les quatre suivans, qui sont les plus généraux, et dont la plupart des autres ne sont que des cas particuliers :

1° Soit un polygone régulier de m côtés, circonscrit à un cercle du rayon R; soit n un nombre quelconque plus petit que m;

Si d'un point quelconque {pris dans F intérieur du polygone si n

1 Quand le point D est pri* sur la même droite que les trois points fixes , le théorème de Stewart exprime une relation générale entre quatre points quelconques situés en ligne droite. Nous avons reconnu que cette relation, ainsi que d'autres concernant aussi quatre points en ligne droite, dérivent d'une relation générale entre cinq points situés en ligne droite :

Soient A , B , 0 , I) , E , ces cinq points , on aura

ËÂ? BC.CD.DB -+- ÊÏÏT CP.PA.AC — EUT* PA.AB.BP — EST* AB.BC.CA = o.

La manière de former les termes de cette équatiou est manifeste. Pour déterminer leurs signes , on divisera tous les termes par le produit AB.BC.CA. L'équation prend la forme :