LA AP
La - ap ;
donc
OA Oa
ÂF ~ «7
Ce qu'il fallait prouver.
§ Vil. Propriétés du centre des moyennes harmoniques a" un système
de points dans t espace.
(202) Soient a, h, c, plusieurs points situés en ligne droite, g
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
leur centra des moyennes distances, et 0 un autre point quelconque de cette droite; on aura
(1) oa -+- ob -+- oc -+-....= i». og ;
n étant le nombre des points.
Formons la figure homographique ; nous aurons des points a' , b' , c' situés en ligne droite, un point g' correspondant au point <jr,un point o' pris arbitrairement pour correspondre au point o, et un point £' correspondant au point situé à l'infini sur la droite ab ; et l'on aura
oa o'a t'a' og = o'g' '• iy '
l'équation (1) donne donc celle-ci :
oo' oT oV o'g'
Cette équation a lieu entre les points o', o', c' g' et *', quel que soit le point o', sur la droite qui unit ces points. Si on suppose le point o' à l'infini, on aura
iii ii
v t'a' fb' tV t'y'
Ainsi le point g' , qui correspond au centre des moyennes distances
g des points a, b, c, est déterminé par la condition que la valeur
inverse de sa distance au point i' est moyenne entre les valeurs inverses des distances des points a', b' , c',.... à ce point i'. On dit que tg' est moyenne harmonique entre les distances t'a', i'b', i'c', etc.,
1 Nous avons démontré directement, dans la première partie, § XII , l'identité des équations (S) et (î) , en montrant comment on passe de l'une à l'autre.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 715
et que le point g' est le centre des moyennes harmoniques des points a', b'y par rapport au point ï (Ire Partie, § XII).
Nous dirons donc que :
(( Quand on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre de* » moyennes distances, si l'on fait la transformation homographique, » on aura des points en ligne droite, et leur centre des moyennes » harmoniques par rapport au point qui correspond à l'infini de la » droite sur laquelle sont les poiuts de la première figure. »
(203) Remarquons que l'équation (2) donne, quand le point o' se confond avec le point y' ,
ta' i b te'
relation très-simple, entre les difTércns points et leur centre des moyennes harmoniques.
(204) Si le point f est pris à l'infini, on aura, dans l'équation (2),
121 «Y. eic
et elle deviendra
o"a' -*- o'b' -t- oV -t- .... ». o'g' ;
le point o' est quelconque, cette équation exprime donc que le point g' est le centre des moyennes distances des points o', b', c',....; de sorte que : le centre des moyennes harmoniques d'un système de points en ligne droite , relatif à un point de cette droite, est précisément leur centre des moyennes distances , quand ce point est à l'infini.
Ce qui a été remarqué par M. Poncelet1, et ne l'avait pas été par Maclaurin.
(205) Soient des points a, b, c situés d'une manière quelconque sur un plan, et g leur centre des moyennes distances; ce point jouit de
la propriété que, si par tous ces points on mène des droites toutes parallèles entre elles, mais sous une direction arbitraire, elles rencontreront une transversale quelconque en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres. Faisant la figure homographique, et observant que toutes les droites parallèles ont pour correspondantes des droites concourantes en un même point, et que ce point appartient à une droite qui correspond à la droite située à l'infini sur le plan de la première figure, on aura ce théorème :
Étant donnés , sur un plan, un système de points et une ligne droite , si par un point pris arbitrairement sur cette droite on mène des rayons à tous les points donnés , et un dernier rayon au centre des moyennes harmoniques des points où une transversale quelconque rencontre ces rayons , relatif au point où cette transversale rencontre la droite fixe, ce dernier rayon tournera autour rfun point fixe, quand le point pris sur la droite fixe parcourra cette droite.
Ce point fixe a été appelé par M. Poncelet, le centre des moyennes harmoniques du système de points relatif à la droite fixe '.
(206) Ainsi nous pouvons dire que :
« Quand on a sur un plan un système de points, et leur centre d*s » moyennes distances, la déformation homographique donne un sys- » tème de points, et leur centre des moyennes harmoniques, relatif » à la droite qui correspond à l'infini sur le plan de la première fi- » gure. »
(207) Soit un système de points situés d'une manière quelconque dans l'espace, et leur centre des moyennes distances; si on les projette tous sur un plan, par des droites parallèles entre elles, on aura, en projection , un système de points et leur centre des moyennes distances. Faisant la figure homographique, et observant que les droites projetantes deviendront des droites concourantes en un même point
1 Mémoire sur lté centres de* moyennes harmoniques. Voir Journal de M. C relie , année 1858.
d'un plan fixe correspondant à l'infini de la première figure, on aura, d'après ce qui précède , ce théorème :
Étant donnés un système de points dans l'espace et un plan , si d'un point pris arbitrairement dans ce plan on mène des rayons à tous ces points , et un dernier rayon au centre des moyennes harmoniques des points où ces rayons rencontrent un plan transversal quelconque , pris par rapport à la droite d'intersection de ce plan transversal et du plan donné, ce dernier rayon passera par un point fixe, quel que soit le point pris dans le plan donné.
Ce point est nommé le centre des moyennes harmoniques du système de points, par rapport au plan donné.
(208) Nous pouvons donc dire que :
« Quand on a un système de points dans l'espace, et leur centre w des moyennes distances, le principe d'Homographie donne un sys- » tème de points, et leur centre des moyennes harmoniques, par » rapport au plan qui correspond à l'infini de la première figure. »
(209) Si par des points pris dans l'espace, et par leur centre des moyennes distances, on mène des plans parallèles entre eux, une transversale quelconque les percera en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres ; faisant la figure homographique on conclut de là, d'après ce qui précède, cette autre proposition :
Étant donné un système de points dans t'espace, et un plan fixe, si par une droite prise arbitrairement dans ce plan on mène des plans passant par tous ces points ; et qu'on prenne le centre des moyennes harmoniques des points où une transversale quelconque rencontrera ces plans, par rapport au point où cette transversale rencontrera le plan donné ; le plan mené par ce centre et par la droite , tournera autour d'un point fixe , quand on fera mouvoir celle droite dans le plan donné.
Ce point fixe est le centre des moyennes harmoniques du système de points , par rapport au plan donné.
(210) Ces divers théorèmes sont dus à M. Poncelet qui les a dé-
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montrés par une voie directe dans son Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. Ils expriment, en quelque sorte, les propriétés descriptives du centre des moyennes harmoniques d'un système de points, puisqu'ils apprennent à déterminer ce point par des intersections de lignes droites et sans calcul.
Dans le paragraphe suivant, nous allons présenter quelques autres propriétés du centre des moyennes harmoniques d'un système de points, qui sont d'un autre genre, et qui nous paraissent être les plus importantes de cette théorie, parce que les premières s'en déduisent aisément.
§ VIII. Autres propriétés du centre des moyennes harmoniques
d'un système de points.
(211) Soit un système de points dans l'espace, et leur centre des moyennes distances; ce point jouit de la propriété que sa distance à un plan transversal quelconque , multipliée par le nombre des points , est égale à la somme des distances de tous les points à ce plan.
Faisant la déformation homographique , on aura un système de points et leur centre des moyennes harmoniques par rapport au plan qui correspond à l'infini do la première figure (208). Appliquant à la propriété du centre des moyennes distances, que nous venons d'énoncer, le principe des relations métriques de l'art. (176), on obtient ce théorème :
Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points, pris par rapport à un plan donné, jouit de la propriété que la somme des distances de tous ces points à un plan transversal mené arbitrairement , divisées respectivement par les distances des mêmes points au plan donné, est toujours égale à la distance du centre des moyennes harmoniques au plan transversal, divisée par sa distance au plan donné et multipliée par le nombre des points.
Ainsi, soit I le plan donné, et n le plan transversal mené arbitrairement, et représentons par ai, bi , .... gi, les perpendiculaires
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abaissées des points a, b, et de leur centre des moyennes harmoniques g sur le plan I, et par an, bn, .... g*, les perpendiculaires abaissées des mômes points sur le plan on aura
n-r br or . "T- ' • Ht . .
ai bt tg
quel que soit le plan transversal
(212) Ce théorème peut servir à définir le centre des moyennes harmoniques d'un système de points par rapport à un plan donné. On peut même lui donner un énoncé plus caractéristique ; car si l'on suppose que les points soient matériels et aient, respectivement, leurs masses proportionnelles aux valeurs inverses des distances des points au plan donné, on voit que le centre de gravité de ces poids sera le centre des moyennes harmoniques des points du système. De sorte qu'on peut dire que :
Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points , relatif à un plan donné, est le centre de gravité de ces points, supposés matériels, et ayant leurs masses en raison inverse des distances de ces points au plan donné.
Cette définition du centre des moyennes harmoniques d'un système de points relatif à un plan, comprend les propriétés de ce point, que nous avons démontrées dans le paragraphe précédent ; c'est-à-dire que, de cette définition , on déduit aisément ces propriétés ; et de cette manière la théorie du centre des moyennes harmoniques, bien que plus générale que celle du centre des moyennes distances, devient une simple application de celle-ci.
(213) On peut encore supposer que les points du système soient sollicités par des forces parallèles entre elles, et égales aux valeurs inverses des distances de ces points au plan donné; alors on dira que le centre des moyennes harmoniques de ces points par rapport à ce plan, est le centre de ces forces parallèles, c'est-à-dire le point par où passera leur résultante quelle que soit leur direction commune.
C'est sous ce point de vne que M. Cauchy a considéré le centre
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des moyennes harmoniques d'un système de points 1 , et est parvenu, par des considérations de statique, à en conclure les autres propriétés de ce point. Ce célèbre analyste a tiré de là aussi un moyen facile d'exprimer par trois équations, dans le système de coordonnées ordinaire, la position du centre des moyennes harmoniques, soit d'un système de points, soit d'un corps solide de forme donnée.
(214) Si dans le théorème général (211) on suppose le plan transversal n à l'infini, les rapports , Jy,. .. seront égaux à l'unité, et l'équation deviendra
"T r~. •*- — . • ot bt gi
Ce qui prouve que :
La somme des valeurs inverses des distances de plusieurs points à un plan, est égale à la valeur inverse de la distance, à ce plan, du centre des moyennes harmoniques de ces points, par rapport au plan , multipliée par le nombre des points.
(215 1 Si l'on suppose, dans le théorème général (211), le plan transversal parallèle au plan fixe, en conclut cette autre propriété du centre des moyennes harmoniques :
Quand on a un système de points et leur centre des moyennes harmoniques par rapport à un plan, si d'un point quelconque de îespace on mène des rayons à tous ces points, et qu'on fasse le rapport de chaquo rayon au segment compris entre le point auquel ce rayon est mené et le point où il perce le plan, le rapport relatif au centre des moyennes harmoniques , multiplié par le nombre des points , sera égal à la somme de tous les autres rapports.
$ IX. Propriétés du centre des moyennes harmoniques dun système de points qui se meuvent dans l espace.
(216) Soient des points A, B, C,.... auxquels on imprime desmou-
' Voir dans le tom. XVI des Jnnates de Mathématiques le rapport de MM. Legendre , Ampère et Cauchy sur le Mémoire sur les centres des moyenne* harmoniques de M. Poncclct.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRÏE.
vcmens quelconques, mais uniformes et rectilignes; on sait que leur centre des moyennes distances parcourra une droite.
Soient a, 6, y,.... les positions de ces points après un temps 0; et
a, bf c , leurs positions après un autre temps t; on aura, puisque
les mouvemens sont uniformes
A« 6 RC S
Faisons la figure homographique; nous aurons un système de points A', B', C'f.... qui parcourront des droites, de manière qu'au bout du temps 0 ils seront en 6', / et qu'au bout du temps / ils seront en a', b' , c',.... On aura en désignant par kf... les points où ces droites percent un plan fixe P correspondant à l'infini de la première figure,
A V m Ùt Aa AV : ta' ~ Ao
i£ Bff B'6' : ib' ™ U
OU
AV m AV S
ix' : ut 7
BV s
ib' : ib' = 7
et le centre des moyennes harmoniques de ces points, par rapport au plan P, parcourra une droite, correspondante à la droite décrite par le centre des moyennes distances des points A, B, C,....
Les distances des points et a' au point * sont entre elles comme les distances de ces points au plan P : on peut donc les remplacer par ces dernières, dans la première des équations précédentes; il en est de même des distances des points b' et b' au point; ; et ainsi des autres; on a donc ce théorème :
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Si des point situés dans l'espace prennent dos mouvemens rectilignes , de manière que les espaces qu'ils parcourent, divisés respectivement par les distances des points, dans leurs nouvelles positions, à un plan fixe, soient proportionnels aux temps , le centre des moyennes harmoniques de ces points , pris par rapport à ce plan , parcourra une ligne droite.
(217) Supposons, dans les équations ci-dessus, que les points A' , B' , C... soient à l'infini , il viendra
ùP '' ia' ~~ i '
iS' '• ib' ~ 7 '
ce qui prouve que :
Si des points situés dans Pespace prennent tous des mouvemens rectilignes , de manière que les valeurs inverses de leurs dislances à un plan fixe soient toujours proportionnelles aux temps , le centre des moyennes harmoniques do ces points, par rapport au plan, décrira une ligne droite.
§ X. Propriétés nouvelles des surfaces géométriques.
(218) Nous avons démontré, dans nos applications du principe de dualité : que , Si, par une droite prise arbitrairement dans un plan fixe , on mène les plans tangens à une sur/ace géométrique, leurs points de contact avec la surface ont toujours pour centre des moyennes harmoniques, par rapport au plan, un même point de V espace, quelle que soit cette droite. Cette proposition donne lieu, d'après les théorèmes du $ VIII, à cette autre propriété générale des surfaces géométriques :
Si par une droite , prise arbitrairement dans un plan fixe, on mène les plans tangens à une surface géométrique, la somme des
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distances de leurs points de contact avec la surface, à un plan transversal quelconque , divisées respectivement par les distances de ces points au plan fixe , sera une quantité constante , quelle que soit la droite prise dans le plan fixe.
(219) Si le plan transversal est à l'infini, le théorème devient le suivant :
Si par une droite , prise arbitrairement dans un plan fixe , on mène les plans tangens à une surface géométrique , la somme des valeurs inverses des distances de leurs points de contact avec la surface , au plan fixe , sera constante, quelle que soit la droite prise dans ce plan.
(220) Si c'est le plan fixe qui est à l'infini, le centre des moyennes harmoniques des points de contact devient leur centre des moyennes distances, et le théorème (2 18) exprime une propriété générale des surfaces géométriques que nous avons déjà démontrée. (lru Partie, art. 68).
(221) Ces théorèmes ont également lieu pour une courbe géométrique plane, ou a double courbure.
(222) Ils s'appliquent aussi aux surfaces coniques. Voici ce qu'ils deviennent dans ce cas.
Que dans le théorème général (218) on suppose que la droite prise dans le plan fixe, tourne autour d'un point de ce plan; les plans tangens a la surface, menés par cette droite, seront tangens au cône qui a ce point pour sommet et qui est circonscrit à la surface ; et si l'on suppose que le plan transversal passe par ce point, le rapport des perpendiculaires abaissées du point de contact d'un des plans tangens à la surface sur le plan transversal et sur le plan fixe sera égal au rapport des sinus des angles que l'aréte du cône qui passe par ce point, fait avec ces deux plans ; on a donc cette propriété générale des cônes géométriques :
Étant menés deux plans fixes par le sommet d'un cône géométrique, si par une droite prise dans le premier plan et passant pa r le sommet du cône, on mène à cette surface tous ses plans tangens; la somme des sinus des angles que les arêtes de contact feront avec
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le second plan, divisés respectivement par les sinus des angles que ces arêtes font avec le premier plan , sera constante, quelle que soit, dans le premier plan, la droite par laquelle on a mené les plans tangens.
(223) Par la considération du cône supplémentaire , formé par les perpendiculaires aux plans tangens du premier cône, on conclut de ce théorème cette autre propriété des surfaces coniques :
Étant menées deux droites fixes par le sommet d'un cône géométrique, si autour de la première on fait tourner un plan transversal et qu'on conçoive les plans tangens au cône suivant les ' arêtes comprises dans ce plan , dans chacune de ses positions, la somme des sinus des angles que ces plans feront avec la seconde droite, divisés respectivement par les sinus des angles qu'ils feront avec la première, sera constante pour toutes les positions du plan transversal.
(224) En appliquant aux surfaces du second degré, et particulièrement aux surfaces coniques, les théorèmes généraux de ce paragraphe, on obtient diverses propriétés nouvelles de ces surfaces.
Si Ton prend une surface de révolution ayant un foyer, et que l'on observe que la distance de chaque point de la surface au plan directeur est proportionnelle à la distance de ce point au foyer, le théorème (218) exprimera la propriété générale des surfaces de révolution que nous avons démontrée dans nos applications du principe de Dualité (§ XXIII, art. 133). Ainsi l'on voit que cette propriété, qui paraissait d'un genre tout particulier aux surfaces du second degré de révolution , dérive d'une propriété très-générale des surfaces géométriques, comme nous l'avions dit alors.
(225) Les deux théorèmes (222 et 223) donneront diverses propriétés des cônes du second degré, lesquelles seront applicables immédiatement aux coniques spkériques , et plusieurs correspondront à des propriétés connues des coniques planes.
Et si le cône est supposé de révolution, on aura diverses propositions concernant un petit cercle tracé sur la sphère. Nous énoncerons
les quatre suivantes qui sont assez simples, et qui nous paraissent nouvelles :
Un petit cercle étant tracé sur la sphère;
1° La somme des sinus des arcs menés par les extrémités d'un diamètre quelconque du petit cercle , perpendiculairement sur un grand cercle fixe , sera constante;
2° La somme des sinus des distances d'un point fixe de la sphère aux arcs de grands cercles tangens aux extrémités d'un diamètre du petit cercle , sera constante ;
3° Si, par un point quelconque pris sur un grand cercle fixe, on mène deux arcs tangens au petit cercle, la somme ou la différence des valeurs inverses des sinus des distances des points de contact , au grand cercle fixe , sera constante ;
Ce sera la somme si le grand cercle fixe ne rencontre pas le petit cercle proposé; et la différence s'il le rencontre.
4° Si autour d'un point fixe on fait tourner un arc transversal qui rencontre le petit cercle en deux points , et qu'on mène les arcs tangens en ces points , la somme ou la différence des valeurs inverses des sinus des distances de ces arcs tangens , au point fixe , sera constante.
Ce sera la somme si le point fixe est pris dans l'intérieur du petit cercle, et la différence s'il est pris au dehors.
§ XI. Généralisation du théorème de Newton sur le rapport constant du produit des abscisses au produit des appliquées , dans une courbe géométrique.
(226) Le théorème de Newton, appliqué aux surfaces, consiste en ce que : Dans toute surface géométrique , de quelque point de Vespace qu'on mène deux transversales parallèles à deux axes fixes, le rapport des produits des segmens faits sur ces deux transversales , entre ce point et la surface, sera constant. Tom. XI. 92
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Ainsi soit M ce point, et soient A, A', A",... et B, B', B"...., les points où les deux transversales rencontrent la surface, on aura
