ME ' ME ' ME
MB MB' MB"
MF* mf' mT
Faisons la transformation homographique. Nous aurons une surface géométrique, un plan fixe, et deux transversales issues d'un point quelconque de l'espace et passant par deux points fixes Ces deux transversales rencontreront la surface en des points o, a', o",... b, b', A",.... et le plan fixe en e et f; et l'on aura
MA mm
ME me * ta '
MB mb jb MF ~mf :jf
L'équation (1) devient donc
ma ma' ma"
la" 17' jg^llVgj
= const.
mb mb' mb" /«A-
J' ~W' ~W'"":{jf)
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n étant le nombre des points de rencontre de la surface par chacune des transversales. On tire de là
. ma. ma', ma" ta. ta.' ia" /iwe\" fmf\"
{V- • • mb.mb'.mb' ''jb.jb'.jb" = [Z ) 1 \jf) X consl. = con.t.
Ce qui exprime cette propriété générale des surfaces géométriques : Quand on a une surface géométrique et deux points fixes i, j, de quelque point m de l'espace qudn mène deux transversales passant respectivement par ces deux points fixes, le rapport des produits des segmens compris entre le point m et la surface sur ces deux droites, sera au rapport des produits compris sur ces mêmes droites entre les deux points i, j, et la surface, dans une raison constante.
(227) Supposons le point m situé à l'infini sur la droite ij, et soient c, c' , c" les points où cette droite rencontre la surface; les rapports Ïj7,. ... seront égaux à l'unit- et l'équation deviendra
je. je . je".... If. a', te"....
On a donc
ma. ma . ma" ^ ia. ta.' ta" je. je', je"
mb.mb'.mb'' 'jb.jb.'jb" te. fo.'«."
OU
ma. ma', ma". ... ^ jb. jb'. jb" te. ic'. ic" (
ffl. ia , ici .. mb, ntb*' wh Je, Je'» Je* .....
Cette équation exprime le beau théorème de Carnot sur les surfaces géométriques. (Y. Géométrie de position, p. 291.)
On savait que ce théorème donnait comme cas particulier celui de Newton, mais on n'avait pas cherché à remonter de ce cas particulier âu théorème général de Carnot. Le principe d'Homographie, en présentant sous un nouveau point de vue les relations qui ont lieu entre les deux théorèmes, sert à passer aussi facilement du cas particulier au théorème général, que du théorème général au cas particulier.
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(228) Ce théorème conduit naturellement à une solution graphique du problème des tangentes et de celui des rayons de courbure des courbes géométriques. Nous donnerons cette solution, qui est étrangère à notre objet actuel, dans une Note à la suite de cet écrit.
(229) Le théorème de Newton ne pouvait s'appliquer aux courbes tracées sur lu sphère; le théorème général s'applique a ces figures. Pour cela il suffit de substituer dans l'équation (2), aux segmens ma, m,... les sinus des arcs correspondans sur la sphère. Nous n'avons pas besoin d'énoncer le théorème de géométrie sphérique qui en résulte.
$ XII. Généralisation des propriétés des surfaces géométriques rapportées à trois axes coordonnés. Théorèmes très-généraux.
(230) Soient trois axes coordonnés Ox , Oy, Oz; que par un point de l'espace on mène trois plans ; parallèles respectivement aux trois plans ys, zx, xy ; et soient a, b , c, les points où ils rencontreront les trois axes Ox, Oy, Os.
Si l'on a entre les trois segmens Oa, Ob , Oc, une relation constante du degré n F (Oa, Ob, Oc) = o, le point m sera, dans toutes ses positions , sur une surface de l'ordre n ;
Et réciproquement, si le point m appartient à une surface de Tordre n, il y aura entre les trois segmens Oa, Ob , Oc une relation constante
(I) F (Oa, Ob, Oc) = o
du degré n.
C'est cette propriété des surfaces géométriques que nous allons généraliser.
Faisons la figure homographique; nous aurons trois axesOV, 0'y . O's' , et un plan, correspondant à l'infini de la première figure, qui coupera ces trois axes en trois points A', B', C', de sorte que ces trois points correspondront à ceux situés à l'infini sur les trois droites Ox, Oy, Os.
Au point m correspondra un point m', et aux trois plans menés par le premier, parallèlement aux trois plans yOz, zOx, xOy, correspondront trois plans menés par le second, et passant respectivement par les trois droites B'C , C'A', A'B'. Soient a' , b' , c' , les points où ces trois plans rencontreront les trois axes OV , O'y', OV, respectivement. Soient enfin trois points d, e, f, pris arbitrairement sur les trois axes Ox, Oy% Os, et d' , e', f , les points correspondans sur les axes O'x' , O'y', OV; on aura
0a OV < AV
cw — ov : av '
Ob Ob' V'b' Oe ~ 0 V '' BV '
Oc OV Çc'
of - or 1 or'
Et l'équation (1) deviendra
m r f70V °'*\ nJ f°'h' ov\ /°'c' "1
[(xv- : âv) : a?) *• (cv : cr) °' J =
Les facteurs Ot/, Oe, 0/*, sont des constantes que nous pouvons comprendre dans les coefficiens de l'équation, qui sera simplement
\ AV : AV ' BV '* BV ' CV : C T ) ~ °'
Remplaçons les lettres accentuées par les mêmes lettres sans accent, l'équation sera
/Oa OD 06 OE Oc 0F\ ( j [Ta 1 AD' BÏ: BE' C~c 1 CF ) ~ °'
Cette équation signifie que
Si ton a un tétraèdre OABC, et trois points fixes D , E , F, pris sur ses trois arêtes au sommet OA, OB , OC, et que par
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les trois arêtes à la hase, BC, CA, AB, on mène trois plans qui rencontrent respectivement ces trois premières arêtes en trou points a, b, c, de manière que les trois rapports
Oa OD ni OE Oc ^ OF : ÂD ' ÏÏ6 : BË ' Ce" : CF '
aient entre eux une relation constante du degré n , le point d intersection de ces trois plans sera sur une surface de tordre n; Et réciproquement.
(231) Ce théorème est déjà très-général par lui-même, et est susceptible d'un grand nombre de corollaires; mais on peut encore le généraliser, et lui donner une expression qui le rende propre à un plus grand nombre encore de conséquences.
Pour cela, remarquons que les trois rapports qui y entrent sont des rapports anharmoniques de quatre points situés respectivement sur les trois arêtes au sommet du tétraèdre. A ces trois arêtes on peut donc substituer trois autres droites prises tout-à-fait arbitrairement dans l'espace. Ainsi soient A' , D' , a' et A" les quatre points où les quatre plans ABC, DBC, aBC, OBC, qui passent par l'arête BC et par les quatre points A, D, a et O, respectivement, rencontrent une transversale fixe quelconque, on aura
: DA ~~ A a : D'A' '
Soient pareillement B', E', h' et B" les points où les quatre plans BAC, EAC, AAC, OAC, rencontrent une seconde transversale fixe; et C, F', c\ C", les points où les quatre plans CAB, FAB, cAB, OAB , rencontrent une troisième transversale fixe; on aura les deux égalités de rapports anharmoniques
Ob EO B"*' E'B" M : ÊÏÏ = W '' Êi7 '
et
0c . F0 c v F c cê * fc = cv * rc'
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L'équation (3) devient donc
/A'V D'A" B'V EJT CV F'C"\ W ' ' ' * [ AV '• D'A' ' VF '' E'B' ' CV 1 FC7 J = °*
Et, quand cette équation sera du degré n par rapport aux trois rapports qui y entrent , le point d'intersection des trois plans &'ÈC, b'CA, c'AS, sera sur une surface de l'ordre m;
Et réciproquement.
Ce théorème est d'une extrême fécondité, a cause de l'indétermination de position des trois transversales et du triangle ABC. Nous allons examiner les principaux corollaires qu'on en déduit.
(232) D'abord, on remarque sur-le-champ que les trois rapports
FÂ7 ' FS7' FF
étant des constantes , nous aurions pu les comprendre dans les coefficiens de l'équation : nous ne l'avons pas fait de suite, parce que, comme nous le verrons, la présence de ces trois rapports peut être utile pour donner plus de généralité à l'équation, et la rendre susceptible d'un plus grand nombre de conséquences, en permettant de supposer les points A', B',C, A", B", C", à l'infini. Maintenant, comprenons les trois rapports
d777' FF* Fc7
dans les coefficiens de l'équation, ou bien supposons que les trois points fixes D, E, F, soient à l'infini, ce qui nous conduira au même résultat ; l'équation se réduit à
/A'V BV CV\ ^ AV ' BV * CV J "
Ce qui prouve que :
Étant donnés dans l'espace un triangle ABC, et trois droites fixes
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quelconques qui rencontrent le plan du triangle en trois points A', B', C', et sur lesquelles sont pris trois points fixes A", B", C";
Si, par les trois côtés BC, CA,AB, du triangle, on mène trois plans rencontrant , respectivement , les trois droites en trois points a', b' , c', tels qu'il y ait entre les trois rapports
A'V W'b' Ce' AV ' B'6' ' Ce'
une relation constante du degré n , le point ^intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de tordre n. Et réciproquement.
(233) Supposons que dans l'équation (4) les points A', B', C, soient à l'infini , et comprenons les segniens A"D', B"E' , C"F', qui sont des constantes, dans les coefficiens de l'équation; elle deviendra
F (A'V, B"fc'. CV),=o;
ce qui prouve que :
Étant donnés un triangle ABC , et trois droites quelconques parallèles au plan de ce triangle ; et étant pris sur ces droites trois points fixes A', B', C ;
Si par les trois côtés du triangle on mène trois plans qui rencontrent respectivement les droites en trois points a', b', c', de manière que les segmens A'a! , B'b' , Ce' aient entre eux une relation constante du degré n , le lieu géométrique du point de rencontre des trois plans sera une surface de tordre n.
Et réciproquement.
(234) Maintenant supposons que dans l'équation (4) les points A", B", C", soient à l'infini, et comprenons les constantes A'D', B'E' , C'F', dans les coefficiens de l'équation , elle deviendra
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ce qui prouve que :
Etant donné un triangle ABC, et trois droites quelconques menées par trois points A', B', C, pris dans le plan du triangle;
Si par les côtés de ce triangle on mène trois plans qui rencontrent , respectivement , ces trois droites en des points a', b', c', tels que Ion ait entre les valeurs inverses des segmens A'a't B'b', Ce' , une relation du degré n, /e point d intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.
Et réciproquement.
(235) Supposons que le triangle ABC soit à l'infini; les trois transversales conservant des directions arbitraires dans l'espace ; les points A', B', C, seront à l'infini; et l'équation (4), si nous comprenons les constantes A"D', B"E', C"F', dans les coefficiens, se réduira à
Ce qui prouve que :
Étant données trois transversales dans t espace, sur lesquelles sont pris trois points fixes A", B", C", si par chaque point d'une surface de l'ordre n, on mène trois plans parallèles respectivement à trois plans fixes, et rencontrant respectivement les trois transversales en trois points a', b', c', il y aura toujours entre les trois segmens A"a', B"h', C"c', une relation du degré n.
Et réciproquement.
(236) Tels sont les quatre théorèmes principaux qui se déduisent de l'équation (4). Mais chacun d'eux est encore susceptible de plusieurs corollaires , à cause de l'indétermination de position des trois droites fixes.
Le dernier donne immédiatement le principe sur lequel repose le système de coordonnées en usage, si l'on suppose que les trois transversales passent par un môme point, que ce point soit l'origine des segmens comptés sur elles, et que les trois plans menés par chaque point de l'espace soient parallèles respectivement aux plans formés par ces droites deux à deux.
To». XI. 93
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(237) On peut supposer, dans les quatre théorèmes, que les trois transversales se confondent, de sorte que les trois segmens qui servent a déterminer la position d'un point dans l'espace, seront comptés sur une môme droite, à partir de trois origines différentes, qui pourront même se réunir en une seule.
Dans cette hypothèse le théorème (233) prend cet énoncé :
Étant donnés dans l'espace un triangle ABC , et une droite parallèle à son plan , sur laquelle est pris un point fixe;
Si par les trois côtés du triangle on mène trois plans qui fassent sur la droite , à partir du point fixe , trois segmens entre lesquels il y ait une relation du degré n, le point d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de Tordre n.
Et réciproquement.
(238) On peut changer l'énoncé de ce théorème, en prenant sur la droite donnée deux points fixes au lieu d'un seul ; alors le théorème s'exprime ainsi :
Étant donnés dans Tespace un triangle et une droite parallèle à son plan, sur laquelle sont pris deux points fixes 0, 0'; si parles côtés du triangle on mène trois plans , de manière que les six segmens qu'ils feront sur la droite 00' aient entre eux une relation constante du degré n, le point d'intersection des trois plans engendrera une surface de l'ordre n.
En effet soient a, b, c, les points où les trois plans rencontrent la droite 00'; si on remplace, dans la relation donnée entre les segmens Oa, O'a, Ob, Ob, Oc, O'c, les trois segmens O'a, Ob, Oc par leurs valeurs (00'— Oa), (00' — Ob) , (00' — Oc) , on aura une relation entre les trois autres Oa , Ob , Oc , seulement ; et cette relation sera encore du degré n. Donc, par le théorème précédent, le point d'intersection des trois plans sera sur une surface de l'ordre n.
(239) On a pareillement, dans la géométrie plane, le théorème suivant :
Si autour de deux points fixes A, B, on fait tourner deux droites, de manière que les quatre segmens quelles feront sur une droite
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fixe 00' parallèle à AB, aient entre eux une relation constante du degré n, le point d'intersection de ces deux droites engendrera une courbe de l'ordre n,
(240) Donc :
Si la relation entre les quatre segmens est du premier degré, le point d'intersection des deux droites engendrera une droite;
Et si la relation entre les quatre segmens est du second degré, le point d intersection des deux droites engendrera une conique.
(241) Réciproquement :
Si le sommet d'un angle dont les deux côtés tournent autour de deux points fixes, comme pôles , parcourt une ligne droite; les segmens que ses deux côtés feront sur une droite fixe de longueur donnée et parallèle d celle qui joint les deux points fixes, auront entre eux une relation du premier degré;
Et si le sommet de t angle parcourt une conique , les quatre segmens auront entre eux une relation constante du second degré.
(242) Ce dernier théorème exprime une propriété générale des coniques, qui est la clef d'un grand nombre de propositions concernant le cercle, démontrées par Stewart dans son ouvrage intitulé : Propositions geometricœ more veterum demonstratœ. Quelques théorèmes du même géomètre, donnés comme porismes par R. Simson dans son Traité des Porismes, sont aussi des conséquences du théorème précédent.
Si au lieu de prendre la transversale parallèle à la droite qui joint les deux points fixes, on lui suppose une direction arbitraire, on conclura du théorème (232) la propriété des coniques que nous avons énoncée dans le § 34 de notre IVe Époque, et de laquelle peuvent dériver aussi plusieurs des propositions de Stewart, relatives au cercle.
(243) Reprenons le cas général des figures dans l'espace, et supposons que dans le théorème (234) les trois transversales passent par un même point du plan ABC ; on aura le théorème suivant :
Étant donnés un triangle et un angle triédre ayant son sommet situé dans son plan , et dont les trois arêtes correspondent respectivement à ses trois côtés ;
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Si par ces trois côtés on mène trois plans qui fassent respectivement sur les trois arêtes correspondantes de l angle trièdre, à partir de son sommet , trois segmens qui soient tels qu'il y ait entre leurs valeurs inverses une relation du degré n, le point d'intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de f ordre n.
Et réciproquement.
(244) Nous avons démontré dans la première partie de cet écrit (§ XV, art. 77) que dans ce cas, où les scgmens ont entre leurs valeurs inverses une relation du degré n, le plan déterminé par leurs extrémités enveloppe une surface à laquelle on peut mener, par une même droite, n plans trangens. Supposons que la surface soit plane, on conclut de là et du théorème précédent, que :
Étant donnés dans fespace un triangle et un angle trièdre ayant son sommet situé dans le plan du triangle , si par chaque point d'un plan transversal quelconque on mène trois plans passant par les trois côtés du triangle, ils rencontreront respectivement les trois arêtes de F angle trièdre en trois points ; et le plan déterminé par ces trois points passera par un point fixe.
C'est le théorème que nous avions présenté comme la généralisation d'un porisme d'Euclide, pouvant servir à la construction de figures corrélatives dans l'espace (Ve Époque, § 32), et dont nous avons déjà donné une démonstration (première partie, g XX, art. 112).
(245) Enfin supposons, dans le théorème (234), que les trois transversales soient perpendiculaires au plan du triangle ABC; les segmens AW, B'b', Ce', seront proportionnels aux tangentes des inclinaisons des trois plans o'BC, A'CA, c'AB sur le plan ABC; et les valeurs inverses de ces segmens seront proportionnelles aux cotangentes de ces inclinaisons; le théorème peut donc prendre cet énoncé :
Si par les trois côtés d'un triangle on mène trois plans, de manière que les rotang entes de leurs inclinaisons sur le plan du triangle aient entre elles une relation constante du degré n, le
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point d intersection de ces trois plans aura pour lieu géométrique une surface de tordre n.
Et réciproquement.
(246) Dans l'équation (4), au rapport anharmonique des quatre points A', D', a', A", exprimé par
A'V IVV' AV : D'A' '
on peut substituer le rapport anharmonique des quatre plans menés par le côté BC du triangle ABC, et par les quatre points A', D', a', A" respectivement. Aux deux autres rapports anharmoniques qui entrent dans l'équation , on substituera pareillement les rapports anharmoniques de quatre plans : ces rapports s'expriment entre les sinus des angles que les plans font entre eux. Maintenant si l'on considère que les sinus relatifs aux plans qui passent par les points D', E', F', sont constans, et qu'on peut les comprendre dans les coefficiens de l'équation , on aura une équation entre les sinus des inclinaisons des trois plans o'BC, o'CA, c'AB, sur le plan ABC et sur les trois plans fixes A"BC, B'CA, C'AB; ceux-ci forment avec le plan ABC un tétraèdre fixe ; on a donc ce théorème :
Étant donné un tétraèdre , si par les trois arêtes à la base on mène trois plans, de manière que les rapports des sinus de leurs inclinaisons sur la base, aux sinus de leurs inclinaisons sur les faces adjacentes respectivement aux trois arêtes, aient entre eux une relation du degré n, le lieu géométrique du point d'intersection des troûi plans sera une surface de (ordre n.
Et réciproquement.
(247) Le rapport des sinus des inclinaisons d'un plan mené par une arête d'un tétraèdre sur les deux faces adjacentes, est égal au rapport des perpendiculaires abaissées d'un point de ce plan sur ces deux faces; le théorème donne donc le suivant :
Étant donné un tétraèdre, si l'on prend dans F espace un point qui soit tel que ses distances à trois faces du tétraèdre étant divisées
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par sa distance à la quatrième face, les trois quotiens aient entre eux une relation constante du degré n, ce point aura pour lieu géométrique une surface de tordre n. Et réciproquement.
(248) Ainsi soient r, r', r", r"\ les distances d'un point de l'espace aux quatre faces du tétraèdre, on aura entre les trois rapports
jfM » r"' ' j/T7
une relation du degré n ,
<VF ' r'" ' r'" J = °-
Multipliant tous les ternies par r'" on aura une équation homogène du degré n, entre les distances r, r1, r", r'". Ainsi :
Quand un point est pris de manière que ses distances à quatre plans fixes aient entre elles une relation constante du degré n, ce point a pour lieu géométrique une surface de tordre n.
Et réciproquement , étant donnés une surface géométrique de tordre n , et quatre plans fixes, les distances de chaque point de la surface à ces quatre plans auront toujours entre elles une certaine relation homogène du degré n.
(249) Ainsi, par exemple, étant donnés quatre plans dans l'espace, si de chaque point d'un cinquième plan on abaisse sur ces quatre premiers des perpendiculaires r, r' , r" , r"' , on pourra trouver trois quantités a, 6, y, telles qu'on aura entre ces quatre perpendiculaires, la relation constante
r ar Cr' -4- yr"' — o.
Les trois quantités «, 6, y, ne dépendront que de la position du cinquième plan par rapport aux quatre premiers , et varieront avec la position de ce plan.
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Pareillement , si de chaque point d'une surface du second ordre , on abaisse des perpendiculaires r, r1, r", r"'} sur quatre plans fixes, on pourra trouver neuf quantité* constantes , a, b, c, d, e, f, g, h , i , telles quon aura entre ces perpendiculaires la relation constante
r' + or" + b/" + cr"" -4- drr' + err" -h frr " -h jrV' -+- W m- •>' V" = o.
Ces théorèmes sont des porismes. Ils sont propres à montrer la nature de ce genre de propositions ; et font voir comment nous avons pu dire, dans notre Note III sur les porismes d'Euclide, que la géométrie de Descartes avait remplacé cette doctrine.
(250) Les théorèmes démontrés dans ce paragraphe sont de ceux qui n'offrent pas de difficulté à la géométrie analytique; mais par cette voie il faut une démonstration particulière pour chacun d'eux, et on ne découvre pas les rapports intimes qui ont lieu entre eux. Il est intéressant de voir que tous ces théorèmes, au nombre desquels se trouve le principe même de la géométrie analytique en usage, sont ou des expressions différentes ou des corollaires les uns des autres , et tous des conséquences d'un môme et unique principe exprimé par l'équation (3).
Tous ces théorèmes s'appliquent d'eux-mêmes à le géométrie plane , et la plupart ont leurs analogues aussi dans la géométrie de la sphère, où il suffira de remplacer par des rapports de sinus d'arcs de grands cercles, les rapports de segmens rectilignes.
S XIII. Généralisation du système de coordonnées en usage.
(251) Chacun des théorèmes contenus dans le paragraphe précédent peut servir de principe à un système de coordonnées analogue au système en usage, et dans lequel les trois variables qui détermineront chaque point de l'espace, s'élèveront, dans l'équation d'une surface, au degré même marqué par l'ordre de cette surface, c'est-à-dire
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par le nombre de points (réels ou imaginaires) où la surface sera rencontrée par une ligne droite quelconque. De tous ces systèmes de coordonnées, il en est un que nous allons examiner, parce qu'il conserve une analogie parfaite avec le système en usage, dont il est une généralisation très-simple.
Concevons que dans le théorème (232) les trois droites transversales soient les arêtes au sommet d'un tétraèdre OABC, dont la base soit le triangle ABC; et remplaçons les points a' , b', c', dans l'équation, par les points a, h, c, on aura ce théorème :
Si par les (rois arêtes à la base ABC dun tétraèdre OABC, on mène trois plans qui rencontrent respectivement les arêtes opposées aux points a, b, c, tels que Ion ait entre les trois rapports
Oa 06 Oc Âo"' B6' Ce"
une relation constante du degré n, le lieu géométrique du point dintersection de ces trois plans sera une surface de l'ordre n. Et réciproquement.
(252) Puisqu'on a , pour tous les points d'une surface, une relation constante
/Oa 06 0c\ (jû* B6' Ce)-0'
entre les trois rapports
Oo 06 Oc Ka ' B6 ' Ce '
il est clair qu'on peut, en prenant ces trois rapports pour variables indépendantes , représenter la surface par cette équation ; c'est-à-dire que chaque système de valeurs de ces trois rapports qui satisfera à l'équation, donnera trois points a, b, c, sur les trois axes fixes OA, OB, OC, et les plans menés par ces trois points et par les côtés BC, CA, AB, de la base ABC, se couperont en un point qui appartiendra à la surface.
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Appelons ces trois rapports les coordonnées de ce point , et désignons-les par x, y , s; l'équation de la surface sera
Si cette équation est du premier degré, elle représentera un plan; et en général si elle est du degré n, elle représentera une surface de Tordre n.
Deux équations du premier degré donneront tous les points d'une droite.
Ainsi une ligne droite sera représentée par les deux équations
y = ii +
En général, les formules qu'on aura a considérer dans ce système de coordonnées seront de môme forme que les formules du système en usage j seulement les coordonnées courantes , au lieu d'être des lignes, seront des rapports, et leurs cocffîciens seront respectivement égaux aux coefficiens des équations relatives aux mêmes questions dans le système usité, multipliés par des constantes (230).
(253) Les figures construites par ce système de coordonnées pouvant être considérées comme les homographiques des figures construites au moyen d'équations de même forme dans le système ordinaire, on voit sur-le-champ que tous les points de ces dernières figures qui se trouvaient à l'infini, ont pour correspondans, dans les premières, des points situés sur la base ABC.
Ainsi des équations qui représentaient des droites parallèles entre elles, représenteront, dans le nouveau système, des droites concourantes en un même point du plan ABC.
Des équations qui représentaient des plans parallèles entre eux, représenteront des plans passant par une même droite située sur la base ABC.
Ainsi les deux équations
To«. XI. 94
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représentent une première droite; et ces deux -ci :
x mm as Hy = b* C.
représentent une seconde droite qui rencontre la première en un point situé sur la base ABC.
Les deux équations
as ■+- bij •+. es -+- d = o , « + ly + m + (/'=(».
où les coefficiens des variables sont les mêmes, représentent deux plans qui se coupent sur la base ABC.
Les deux équations
Ax' ■+- By1 ■+■ Gs1 K. = o ,
A(#-»)' + B(y-C)' C(z-ry + K' mm o ,
représentent deux surfaces du second degré qui ont une courbe d'intersection sur le plan ABC; parce que, dans le système ordinaire, ces deux équations représentent deux surfaces semblables et semblablcmcnt placées, et qui, conséquemment, ont une courbe plane d'intersection (réelle ou imaginaire) située à l'infini.
(254) Mais ces rapprochemens entre les deux systèmes de coordonnées , qui sont propres à faire ressortir les propriétés caractéristiques du nouveau système, sont insuffisantes pour mettre en état d'en faire usage dans les questions auxquelles ne s'applique pas le principe d'homographie. Car on sent qu'il sera indispensable de connaître les rapports qui ont lieu entre les coefficiens de diverses équations et les élémens fixes du système.
Par exemple, on sait, dans le système ordinaire , ce qu'expriment les coefficiens a, b, dans les équations
< s = as ■+■ a,
y = bz -+- C,
d'une ligne droite ; ce sont des tangentes trigonométriques. Il faudra
donc aussi savoir ce qu'expriment ces coefficiens, et beaucoup d'autres, dans le nouveau système.
Pour cela il faudra exposer le système directement et avec méthode, comme si celui d'où nous le déduisons n'était pas connu. Alors ce nouveau système de coordonnées pourra conduire à des résultats qui échapperaient à la méthode de transformation homographique.
(255) IVous avions déjà exposé succinctement le principe de ce nouveau système de coordonnées , dans la Correspondance mathématique de M. Quetelet (t. VI, p. 81, année 1830); et nous en avons fait alors une application pour démontrer une des propriétés des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degré, relatifs à un point. Nous n'insisterons pas davantage ici sur cet objet. Nous allons seulement démontrer une certaine relation générale entre les trois coordonnées d'un point et la distance de ce point à l'origine ; relation qui sera souvent utile dans les applications du système de coordonnées, et qui, du reste, est un théorème de géométrie qui mérite par lui-même d'être connu.
Soient les trois axes coordonnés ox, oy , os ; par un point m, menons trois plans parallèles aux trois plans coordonnés; ils rencontreront les trois axes aux points a, b, c; les segmens oa, ob, oc, sont les coordonnées du point m : soit mené par le point o un axe fixe oK, et par les points m, a, b, c, des plans parallèles entre eux; ils rencontreront l'axe oK en des points p, «, et l'on aura, comme on sait,
Ofi = ox -t- off -+- oy,
OU
Faisons la figure homographique. Nous aurons trois axes oV , o'y', o'z' , coupés en A, B, C, par le plan qui correspond à l'infini de la première figure. Si par un point m' et les trois côtés du triangle ABC on mène trois plans, ils rencontreront les trois axes aux points a', b' , c' ; que par une droite prise dans le plan ABC, on mène quatre
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plans passant par les quatre points m', a', b', c', ils rencontreront un axe o K en quatre points y.' , «' , S' , / ; et Ton aura, en appelant » le point où Taxe o'K' rencontre le plan ABC,
o'x tV M ~~, 7 • ~ — ~ * »
OfC l/U Oft
o'C if o.' ■ ^
ii'-, i
O Jf O/i
o'y' ^ iy oy o>' * •>' = o/*
on a donc, à cause de l'équation (I),
... tfd or oy 0y
la «C l/ tft
(256) Cette équation exprime un théorème de géométrie très-général, qui est susceptible de plusieurs corollaires, à cause de Indétermination de direction de l'axe o'K', et de position de la droite prise dans le plan ABC.
Si l'axe o'K' est mené parallèlement au plan ABC, l'équation devient
ov -+- o'c + oy = oy.
Si, l'axe o'K' conservant une direction quelconque, on suppose que la droite prise dans le plan ABC soit à l'infini , on aura
— — ob' °V °'c'
m' "° Aa' ' iC Œ W ' iy' ~ Ce' '
Soit h le point où la droite o'm' rencontre le plan ABC; on aura aussi
o'fî o'm' ÏV hm7'
L'équation (2) devient donc
©V t?V «V o'm' "*" W Ce' Tm7'
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Les rapports
j>V oc Ao' ' W ' Ce' '
sont les coordonnées du point m', dans le nouveau système de coordonnées , nous pouvons donc dire que :
La somme des coordonnées d'un point est égale à la distance de ce point à l'origine , divisée par sa distance au point où la droite qui le joint à l'origine perce le plan de la base l.
(257) Nous avons fait dériver le nouveau système de coordonnées du système en usage, par la transformation homographique. Si cette transformation était faite de manière que les trois points A, B, C, fussent à l'infini, alors on aurait un nouveau système semblable au premier; et l'équation (2) du paragraphe précédent fait voir que l'équation d'une surface étant F (x, y,s), = o dans le premier système, l'équation de la surface correspondante dans le second système serait de la forme F (te, /xy, vs) = o.
Ajoutons que les trois axes du nouveau système étant indéterminés de position, on peut supposer qu'ils se confondent avec les premiers, de sorte que les équations F (x, y, s,) = o et F (te, (*y, vz) = o, qui se rapportent à un môme système d'axes coordonnés, représentent deux surfaces homographiques.
C'est un tel mode de déformation des surfaces dont nous avons fait usage dans la Correspondance polytechnique (t. III, p. 326, année 1815), pour appliquer immédiatement aux surfaces du second degré les propriétés de la sphère.
§ XTV. Démonstration géométrique de trois propriétés générales
des surfaces du second degré.
(258) Dans les applications que nous avons faites du principe d'Ho-
1 Nous nous sommes servi de ce théorème, sans le démontrer alors, pour faire une application du nouveau système de coordonnées {Correspondance mathématique de M. Quelelct, t. VI, p. 86). Ce théorème est un de ceux auxquels se prête la méthode étatique de i. Ceva. {Voir la Note VII de Y Aperçu historique, p. 200.)
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mographie, nous avons eu souvent à considérer des points et des droites situés à l'infini, qui se transformaient , dans la Ggure homographique, en des points et des droites situés dans un même plan. Mais on peut avoir à considérer, à l'infini, des figures plus compliquées; alors le principe d'Homographie sera d'un secours très-utile, parce qu'il offrira le moyen de représenter avec vérité l'image de ces figures dans un plan situé à distance finie. Tout ce qui se passerait à l'infini, dans la question proposée, aura lieu, ou s'exécutera en réalité, sur ce plan. Il suffira donc d'étudier les propriétés de la figure située dans ce plan, et d'en transporter l'énoncé à la figure située à l'infini. Par là on saisira mieux l'ensemble et les rapports de toutes les parties d'une figure proposée dans l'espace; plusieurs de ses parties qui, situées à l'infini, échapperaient aux yeux et à l'esprit, deviendront palpables dans la nouvelle figure. On évitera des constructions qu'on serait obligé de concevoir idéalement sur des objets entièrement à l'infini ; et les raisonnemens, devenus plus faciles, seront en même temps plus lumineux, et plus convaincans.
Ainsi, par exemple, quand on a deux surfaces du second degré, si l'on veut connaître la nature des relations qui ont lieu entre les deux courbes d'intersection de ces surfaces par un plan situé à l'infini . il suffira de concevoir deux surfaces homographiques, et de les couper par un plan réel qui représentera l'infini de la première figure; les relations générales des deux sections, transportées aux deux surfaces primitives, deviendront des propriétés de ces deux surfaces.
Cette marche va nous conduire aisément à trois propriétés des surfaces du second degré; propriétés dont on n'a connu jusqu'ici que des cas particuliers, et que nous allons présenter dans une généralité nouvelle qui en fera mieux connaître la nature et la raison première.
Mais nous sommes obligé de rappeler préalablement les propriétés générales du système de deux coniques situées dans un même plan.
(259) Quand on a deux coniques quelconques dans un plan, il y a à considérer :
1° Trois points A, B, C, qui jouissent de la propriété que l'un quel-
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conque d entre eux a même polaire , par rapport à Fune et à Vautre courbe; cette polaire commune est la droite qui joint les deux autres points.
Ces trois points sont toujours réels, quand les deux coniques se coupent en quatre points, ou ne se coupent pas du tout; et l'un d'eux seulement est réel, quand les coniques ne se coupent qu'en deux points.
Quand les deux coniques se coupent en quatre points, ces trois points A, B, C, sont les points de concours des côtés opposés, et le point de rencontre des deux diagonales du quadrilatère qui a pour sommets les quatre points d'insertion des deux courbes.
2° Deux droites L, L', toujours réelles sur lesquelles sont les points d'intersection (réels ou imaginaires)dcs deux courbes, et qui jouissent de la propriété que si par un point pris sur l'une d elles on mène quatre tangentes aux deux coniques , les droites qui joindront les points de contact de la première courbe aux points de contact de la seconde , passeront , deux d deux, par deux points fixes. Nous avons désigné ces deux droites par le nom (Taxes de symptose (Annales de mathématiques, avril et juillet 1828), pour les distinguer des autres sécantes communes aux deux coniques, lesquelles, deux h deux, peuvent être aussi, dans certaines circonstances, des axes de symptose, c'est-à-dire, peuvent jouir de la propriété que nous venons d'énoncer; mais qui peuvent bien aussi selon la disposition des deux coniques, quand elles sont des hyperboles, ne pas jouir de cette propriété.
3° Enfin les deux points fixes dont nous venons de parler, qui sont des points de concours des tangentes (réelles ou imaginaires) communes aux deux coniques. La propriété caractéristique de ces points consiste en ce que une transversale menée par Fun deux , si elle rencontre Fune des coniques, rencontre aussi F autre; et les tangentes aux points de rencontre se coupent deux à deux sur les deux axes de symptose.
Ces deux points, qui, dans le cas de deux coniques semblables et semblablement placées , sont leurs centres de similitude, ont été appe-
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lés par M. Poncelet, dans le cas général de deux coniques quelconques, leurs centres d'homologie. (Traité des propriétés projectives , p. 164.)
Quand les deux coniques se coupent en quatre points, elles peuvent avoir trois systèmes de deux centres d'homologie , ou n'en avoir qu'un seul. Quand elles ne se coupent qu'en deux points , ou qu'elles ne se coupent pas du tout elles n'ont qu'un seul système de deux centres d'homologie. (Annales de mathématiques , t. XIX, p. 30.)
(260) Quand les deux coniques sont les courbes d'intersection de deux surfaces du second degré par un môme plan transversal, chaque plan mené par l'un de leurs deux axes de symptose, coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont évidemment aussi cette droite pour axe de symptose.
Si le plan transversal ne coupait qu'une des deux surfaces, l'une des coniques serait imaginaire; mais les deux axes de symptose subsisteraient toujours; parce qu'il existe généralement trois systèmes de deux axes de symptose ; ce qui prouve que l'un de ces systèmes est toujours réel, ainsi qu'il arrive dans toutes les questions qui admettent généralement trois solutions.
Il en serait de même si le plan transversal ne rencontrait aucune des deux surfaces, ou bien s'il en touchait une, ou s'il les touchait toutes deux.
Nous dirons donc que :
Quand on a deux surfaces du second degré et un plan transversal mené arbitrairement,
\° Il existe toujours dans ce plan deux droites Z, Z', qui sont telles qu'un plan mené par lune délies coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont cette droite pour F un de leurs axes de symptose;
2° Si ces deux coniques ont quatre points communs réels, les deux droites L,L' , seront deux des six cordes communes aux deux courbes ; les quatre autres cordes communes pourront jouir de la même propriété que ces deux premières ; mais ne jouirent pas nécessairement de cette propriété.
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3° Enfin, dans tous les autres cas de la section des deux surfaces par le plan coupant , il n'existera que deux droites L, L'.
(261) Considérons maintenant, dans le plan transversal, les trois points A, B, C, relatifs aux deux coniques (259). L'un d'eux A est le point de concours des deux droites L, L'; ainsi il est toujours réel ; il a la même polaire dans les deux coniques; cette droite a pour polaires dans les deux surfaces les deux droites qui vont du point A aux pôles du plan transversal, par rapport aux deux surfaces respectivement.
Si les deux coniques se coupent en quatre points, ou ne se coupent pas du tout, les deux autres points B, C, sont toujours réels. Cela a encore lieu quand une des coniques est imaginaire; c'est-à-dire quand le plan transversal ne rencontre pas Tune des deux surfaces. En effet, ces deux points B, C, jouissent de la propriété de diviser harmoniquement le segment compris (sur la droite qui les joint) entre les deux axes de symptos des deux coniques, et le segment compris dans une troisième conique quelconque qui passerait par les quatre points d'intersection (réels ou imaginaires) des deux proposées. Si l'une des deux coniques, ou toutes deux sont imaginaires, ces deux segmens ne pourront être superposés, parce que cela indiquerait que les deux axes de symptose rencontrent la troisième conique, ce qui est impossible parce que les points de rencontre appartiendraient aux deux premières, dont nous supposons , au moins l'une imaginaire; donc ces deux segmens ne sont point superposés; et on sait qu'alors les deux points B, C, qui les divisent l'un et l'autre harmoniquement, sont toujours réels. {Traité des propriétés projectiles , p. 201.) Donc
Etant donnés deux surfaces du second degré, et un plan transversai;
1° Si ce plan rencontre la courbe d intersection des deux surfaces en quatre points , ou ne la rencontre pas du tout , il existera dans ce plan trois points, tels que les droites menées de l'un quelconque d entre eux aux pôles du plan , pris par rapport aux deux surfaces, auront la même polaire dans les deux surfaces, cette polaire cow~ mune sera la droite qui joindra les deux autres points; To«. XI. 95
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2° Si le plan transversal rencontre la courbe d'intersection des deux surfaces en deux points , âeux des trois points en question seront imaginaires, et le troisième sera toujours réel; c est-à-dire au il existera dans le plan un point tel que les deux droites qui le joindront aux pôles du plan , pris par rapport aux deux surfaces, auront la même polaire dans les deux surfaces. Cette polaire sera située dans le plan transversal.
Ces principes généraux vont nous conduire aisément aux théorèmes que nous avons en vue.
(262) En effet, considérons les deux surfaces et le plan transversal, et formons la figure homographique de manière que le plan transversal passe à l'inGni ; ses pôles deviendront les centres des nouvelles surfaces; les droites menées de ces pôles au point À deviendront deux diamètres de ces surfaces qui seront parallèles entre eux; et leurs plans conjugués seront aussi parallèles entre eux, parce qu'ils passeront par la droite correspondante à la droite BC, laquelle sera à l'infini; il en sera de même des droites menées des deux pôles à chacun des deux points B, C, si ces points sont réels; dans ce cas la courbe d'intersection des deux nouvelles surfaces aura quatre asymptotes ou n'en aura aucune; et dans le cas où les deux points B, C , sont imaginaires, cette courbe d'intersection aura deux asymptotes. On conclut donc de là ce théorème, dans lequel nous supposons les deux surfaces concentriques, pour en rendre l'énoncé plus facile :
Quand deux surfaces du second degré sont concentriques , et, du reste, dans une position quelconque tune par rapport à Vautre, si leur courbe d intersection a quatre asymptotes, ou n'en a aucune, il existe toujours trois droites diamétrales dont chacune a môme plan conjugué dans les deux surfaces; ces trois droites forment, dans lune et Vautre surface, un système de diamètres conjugués;
Et si la courbe d intersection des deux surfaces a seulement deux asymptotes, deux de ces trois droites diamétrales sont imaginaires , et la troisième est toujours réelle; de sorte quil existe toujours une
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droite diamétrale, et Un en existe qu'une, qui a même plan conjugué dans les deux surfaces.
(263) On conclut de là que s* l une des deux surfaces est un ellipsoïde, le système des trois diamètres conjugués communs existe toujours; parce que la courbe d'intersection des deux surfaces ne peut avoir aucune asymptote.
Mais si les deux surfaces sont des hyperholoïdes , elles n'ont plus ?iécessairement un système de trois diamètres conjugués communs , ainsi qu'on l'avait supposé d'après l'énoncé, trop absolu, du théorème de Monge. (Correspondance sur l'école jx>lytechnique , t. 2, p. 319.)
(264) Reprenons les deux surfaces quelconques et le plan transversal, et considérons les deux droites L, L\ Tout plan mené par l'une d'elles coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui ont cette droite pour axe de symptose.
Faisons la figure homographique de manière que le plan transversal passe à l'infini , les plans menés par l'une des deux droites L , L', deviendront des plans parallèles ; et les deux coniques suivant lesquelles chacun de ces plans coupera les deux surfaces, auront un axe de symptose à l'infini, ce qui prouve qu'elles seront semblables et semblablement placées. On a donc ce théorème :
Étant données deux surfaces du second degré quelconques , placées arbitrairement l'une par rapport à Vautre, il existe toujours deux séries de plans parallèles, dont chacun coupe les deux surfaces suivant deux coniques semblables entre elles et semblablement placées.
Si l'une des surfaces est une sphère on en conclut le théorème suivant, que Monge et Hachette ont démontré analytiquement , et dont M. Poncelct a donné une démonstration purement géométrique dans son Traité des propriétés projectives , p. 299 :
Dans toute surface du second degré, il existe deux séries de plans parallèles qui la coupent suivant des cercles.
(265) Remarquons que les deux droites L, V, se coupent au point \ qui devient, dans la figure homographique , l'extrémité, à l'infini,
d'une droite diamétrale qui a même plan conjugué dans les deux surfaces (que nous supposons concentriques) ; les plans qui coupent les deux surfaces suivant des coniques semblables et semblablement placées sont donc parallèles à cette droite. Donc
Quand deux surfaces du second degré sont concentriques , les deux plans diamétraux qui les coupent suivant des coniques semblables et semblablement placées passent par l'un de leurs trois diamètres conjugués communs.
(266) Quand les deux coniques comprises dans le plan transversal ne se coupent pas, les deux droites L, I/, ne rencontrent pas la surface; quand les deux coniques se coupent en deux points seulement, l'une de ces deux droites passe par ces deux points , et la seconde ne rencontre pas les coniques ; et enfin quand les deux coniques se coupent en quatre points, les deux droites L, L', passent par ces points pris deux a deux. On conclut de là que :
Quand la courbe d'intersection de deux surfaces du second degré concentriques n'a aucune asymptote, les plans des deux séries de courbes en question dans le théorème (264), les coupent suivant des ellipses ;
Quand la courbe d intersection des deux surfaces a deux asymptotes , les plans dune des deux séries les coupent suivant des ellipses, et les plans de l'autre série suivant des hyperboles; ces derniers plans sont parallèles aux deux asymptotes;
Et, quand la courbe d'intersection des deux surfaces a quatre asymptotes, les plans des deux séries les coupent suivant des hyperboles; les plans dune série sont parallèles à deux asymptotes et les plans de l'autre série sont parallèles aux deux autres asymptotes.
(267) Nous avons vu que quand les deux coniques comprises dans le plan transversal ont quatre points d'intersection réels, il peut y avoir, en outre des deux axes de symptose L, L' , deux autres systèmes de deux droites semblables (259); donc
Quand la courbe d intersection de deux hyperboloïdes a quatre asymptotes, il peut exister six séries de plans parallèles qui les
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coupent suivant des coniques semblables et semblablement placée» ; ces plans sont parallèles aux asymptotes prises deux à deux.
(268) Eu6n considérons les deux centres d'homologie des deux coniques suivant lesquelles un plan transversal coupe deux surfaces du second degré. Supposons que le plan transversal ait le même pôle dans les deux surfaces. Autour de ce pôle faisons tourner un plan tangent à la première surface, sa trace sur le plan transversal sera tangente à la courbe d'intersection de cette surface par ce plan transversal ; et quand cette trace passera par l'un des deux centres d'homologie, elle sera aussi tangente a la section de la seconde surface par le plan transversal. Donc , par la droite qui joint l'un des deux centres d'homologie au pôle du plan transversal, on peut mener deux plans tangens communs aux deux surfaces. Donc cette droite jouit de la propriété que, si on prend un quelconque de ses points pour sommet commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces, par cette droite on pourra mener deux plans tangens communs aux deux cônes; et dèslors un plan quelconque coupera les deux cônes suivant deux coniques qui auront pour l'un de leurs centres d'homologie le point où ce plan coupera la droite en question. Nous dirons, par cette raison, que cette droite est un axe central d'homologie des deux cônes.
Faisons la figure homographique , de manière que le plan transversal passe à l'infini ; nous aurons deux surfaces concentriques, et le théorème suivant :
Étant données deux surfaces du second degré concentriques, il existe toujours deux droites diamétrales telles que si on prend un point quelconque de l'une (Telles pour sommet commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces, cette droite sera un axe central d'homologie des deux cônes; c est-à-dire que tout plan coupera ces deux cônes suivant deux coniques qui auront un de leurs centres dhomologie au point où ce plan coupera cette droite.
(269) Si on prend le sommet commun des deux cônes à l'infini sur l'une des deux droites, ces cônes deviendront deux cylindres qui auront pour axe commun cette droite. Tout plan les coupera donc suivant
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deux coniques concentriques dont le centre sera sur celte droite ; mais ce centre sera en môme temps leur centre d'homologie , ce qui exige que les deux coniques soient semblables et scmblablcment placées. Les deux cylindres seront donc eux-mêmes semblables et semblablement placés. Donc
Quand deux surfaces du second degré sont concentriques, il existe deux droites diamétrales telles que si on circonscrit aux deux ■surfaces deux cylindres qui aient lune de ces droites pour axe commun, ces deux cylindres seront semblables et semblablement placés.
(270) Si l'une des surfaces est une sphère, il en résulte que : Dans toute surface du second degré qui a un centre, il existe deux
droites diamétrales , telles que si on circonscrit à la surface un cylindre qui ait ses arêtes parallèles à F une délies, les sections droites de ce cylindre seront des cercles.
(271) Quand les deux coniques comprises dans le plan transversal (259) se coupent en quatre points, elles peuvent avoir six centres
- d'homologie ; on en conclut que :
Quand la courbe d intersection de deux surfaces du second degré concentriques a quatre asymptotes , il peut exister six droites diamétrales telles que si on circonscrit aux deux surfaces deux cylindres qui aient F une de ces droites pour axe commun, ces deux cylindres seront semblables et semblablement placés.
§ XV. Construction géométrique des figures komographiques. — Divers théorèmes de géométrie.
(272) Pour construire une figure homographique d'une figure proposée, on pourra prendre arbitrairement dans l'espace les cinq points a', h', c', d, e', qui devront correspondre respectivement, dans la nouvelle figure, à cinq points désignés a, b, c, d, e, de la figure proposée.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 755
Ces cinq points suffiront pour déterminer chaque point m' et chaque plan M' de la nouvelle figure, qui correspondront respectivement à chaque point m et à chaque plan M de la proposée.
Considérons les deux tétraèdres abcd , a'b'c'd'. Menons dans le premier les deux plans ebc , mbc , qui rencontreront l'arête ad en e, «; et dans le second, les deux plans e'b'c' , m'b'c' , qui rencontreront l'arête a'd' en e', a. Les quatre points a',d', t' , a', seront, dans la seconde figure, les homologues des quatre points a,d, t, «, de la première figure; on aura donc l'équation
a* ^ at a'a' oV
Les trois points a', d' , sont connus; cette équation fera donc connaître le point a. De sorte que le plan mené par l'arête b'c' du tétraèdre a'b'c'd' et par le point cherché m' , sera déterminé. Par deux équations semblales on déterminera les plans qui passeront par les arêtes ac , ab, respectivement, et par le point cherché. Ce point sera donc déterminé par l'intersection de ces trois plans.
(273) Maintenant déterminons le plan M' qui, dans la seconde figure, correspond à un plan M de la première.
Soit a le point où ce plan rencontre l'arête ad, et soit «' le point correspondant à « dans la seconde figure; ce sera le point où le plan cherché W rencontrera l'arête a'd. On aura entre les quatre points a, d, e, a, et les quatre points a', d' , e', a', la relation
fljc at a'a' aV dx ' de d'à' '
qui fera connaître la position du point a'.
On déterminera par deux équations semblables les points où le plan cherché rencontrera deux autres arêtes du tétraèdre a'b'c'd'. Ainsi ce plan sera déterminé.
Si le plan M de la première figure est à l'infini, la solution restera la même ; seulement, dans l'équation précédente , qui sert à détermi-
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ncr la position du point «' du plan cherché, le rapport^ sera égal à l'unité.
Le problème de la construction géométrique des figures homographiqucs est donc résolu complètement.
(274) Ce mode de construction peut être exprimé par trois formules très-simples, qui se prêteront à la discussion des différens cas qui peuvent se présenter, et qui nous conduiront à divers théorèmes de géométrie qui nous paraissent nouveaux.
Reprenons l'équation
m or «y «y
(A) dx ' dt dx' ! </'f"
dans laquelle t et « sont les points où les deux plans ebc , mbc, rencontrent l'arête ad, et a, les points où les deux plans correspondans e'b'c' y tn'b'c, rencontrent l'arête a'd. Écrivons-la sous la forme
xa x'a / of a't ' \ ad = 77' dû')'
Le rapport J : ^7 est une quantité constante, puisqu'il ne dépend que de la position du point fixe e de la première figure et du point fixe e' qui lui correspond dans la seconde figure. Représentons ce rapport constant par A; il viendra
on «V
Pareillement 6 et $' étant les points où les deux plans mac, m'a'c' rencontrent, respectivement, les deux arêtes bd, b'd', des deux tétraèdres, on aura
et trv
ft étant une constante.
MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
Et enfin y, /, étant les points où les deux plans mab, m'a'b', rencontrent, respectivement, les deux arêtes cd , c'd , on aura
v étant une troisième constante.
(275) De ces équations on conclut ce théorème général sur les figures homographiques :
Étant donnés deux tétraèdres quelconques abcd, a'b'c'd', si par chaque point dune figure donnée on mène trois plans passant parles trois arêtes bc, ca, ab, du premier tétraèdre, et rencontrant respectivement les arêtes opposées en a, ê, y, et que sur les trois arêtes a'd', b'd', c'd', du second tétraèdre, on prenne trois points «', 6', /, déterminés par les trois équations
aa «V Cb £T yc yV ad = * a'd' ' Cd — * Cd' ' rd ~ ' yd' '
X, p, v, étant trois constantes, prises arbitrairement;
Le point dinlersection des trois plans *'b'c', 6'c'a', y'a'b', appartiendra à une seconde figure qui sera hojiographiqie à la première.
(276) Le rapport ^ est proportionnel au rapport des perpendiculaires abaissées d'un point quelconque du plan abc sur les deux faces abc, dbc du premier tétraèdre , car s et p étant ces perpendiculaires, on a
aa $ sin. (da,dbc)
— • i ■ ii i - ii— i •
ad p si». (ad,abc)
Pareillement, le rapport est proportionnel au rapport des perpen-
diculaires abaissées d'un point du plan a'b'c' sur les deux faces a'b'c' , db'c' du second tétraèdre.
D'après cela, soient p, q, r, s, les distances d'un point m de la première figure aux quatre faces du premier tétraèdre, et p', q', r1, s', Ton. XI. 96
758 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE
les distances du point homologue m' de la seconde figure aux quatre faces correspondantes du second tétraèdre ; les trois équations (a) se changeront en celles-ci :
De là on conclut ce théorème général :
Étant donnée une figure dans l'espace, et étant pris deux tétraèdres quelconques dont les faces se correspondent une à une;
Si de chaque point de la figure on abaisse des perpendiculaires sur les quatre faces du premier tétraèdre, et qu on prenne les rapports de la première aux trois autres ;
Puis, quon cherche un point , tel quêtant prises ses distances aux quatre faces du second tétraèdre, les rapports de la première aux trois autres soient respectivement dans des raisons constantes avec les trois premiers rapports, ce point, qui correspondra ainsi, dans toutes ses positions , aux points de la figure proposée, appartiendra à une seconde figure homographique à cette proposée.
(277) Maintenant concevons le plan déterminé par les trois points
«, 6, y; le rapport — est égal à celui des perpendiculaires abaissées des points a, d, sur ce plan. Pareillement, le rapport est égal au rapport des perpendiculaires abaissées des points a', d , sur le plan «' 6' /. D'après cela, soient P, Q, R, S, les perpendiculaires abaissées des quatre sommets du premier tétraèdre sur un plan M et P', Q', R', S', les perpendiculaires abaissées des sommets du second tétraèdre sur le plan correspondant M' de la seconde figure, on aura les trois équations
