Œ) S ==AS7' S^S7' S = T

D'où l'on conclut ce théorème :

Étant donnée une figure dans f espace, et étant pris deux tétraèdres quelconques, dont les sommets se correspondent un à un ;

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Si, pour chaque plan faisant partie de la figure, on forme les rapports de ses distances aux quatre sommets du premier tétraèdre;

Puis, qu'on mène un plan, de manière que les rapports de ses distances aux quatre sommets du second tétraèdre soient respectivement aux premiers rapports dans des raisons constantes, ce plan appartiendra , dans toutes ses positions, à une figure hoihographique à la proposée.

(278) Reprenons les trois équations (a)

Ci'

M Cd"

Ces équations comprennent la construction complète des figures homographiques les plus générales. Car elles donnent les positions des trois points al , €' , / , correspondant respectivement aux trois points «, £, y; et ceux-ci déterminent un plan et un point de la figure proposée. Ce plan est celui des trois points ; et ce point est l'intersection des trois plans menés respectivement par ces trois points et par les arêtes bc, ca, ab, du premier tétraèdre. Les trois autres points «', 6', ■/ , déterminent semblablement un plan et un point de la seconde figure, correspondant respectivement au plan et au point de la première.

Ainsi les trois équations serviront à la construction des points et des plans d'une figure horaographique d'une figure proposée.

(279) Les quatre points a, b, c, d, qui sont les sommets du premier tétraèdre auquel on rapporte la figure proposée, peuvent être pris tout-à-fait arbitrairement dans l'espace, pourvu qu'ils ne soient pas dans un même plan; il en est de même des quatre points a', b', c', d'f qui leur correspondent dans la figure homographique qu'on veut construire.

On pourra donner à ces divers points différentes positions qui sim-

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plifieront les trois équations ci-dessus, ou qui établiront entre les figures des relations de position particulières, propres à la transformation de certaines propriétés de grandeur métrique ou angulaire, de superficie ou de volume.

(280) Supposons le sommet d du premier tétraèdre situé à l'infini, les segmens ad, €d, yd, seront infinis; les faisant entrer dans les constantes X, n, v, les trois équations prendront la forme

yC mm y. —

(281) Mais il nous faut peut-être démontrer rigoureusement ces équations, c'est-à-dire faire voir que nous pouvions comprendre les segmens infinis dans les cofficiens. Pour cela reprenons l'équation

aa ta a'a' m t'a' ad ' td ad" ' t'ct '

qui nous a servi (274) à démontrer les trois équations (a).

Le point d étant à l'infini, les deux segmens «d, td, sont infinis, et leur rapport est égal à l'unité; l'équation se réduit donc à

« «V < fV m Œ a'd' 1 ('d"

(£° : 7l) est une constante indépendante de la position du point a et de son homologue a' ; on a donc

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Ainsi il est prouvé que dans nos formules de construction des figures homographiques, nous pouvons faire entrer les segmens infinis dans les constantes.

(282) D'après cela, supposons que le point d étant à l'infini, auquel cas on a les formules (b) , son point homologue d soit aussi à l'infini; les formules (a) deviendront

sa — >,. n'a , Cb = il Cb' ,

•ye = v y'c'.

(283) Si, au contraire, les points d, d, étant à distances finies, les deux plans abc , a'b'c' sont l'un et l'autre à l'infini , les formules seront de la forme

ad ss5 A a'd- ,

Ces formules comprennent le mode de transformation par accroissement, dans des rapports donnés, des coordonnées des points d'une figure. Mais la transformation qu'elles donnent est plus générale que celle-ci , parce que les coordonnées de la seconde figure peuvent être comptées sur d'autres axes que celles de la figure proposée.

Nous consacrerons deux des paragraphes suivans (§§ XXIII et XXIV) à ce mode de déformation homographique, qui est susceptible de nombreuses applications.

(284) Si l'on suppose le point d à l'infini, et le plan a'b'c' aussi à l'infini, les formules deviendront

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(285) Toutes ces formules sont très-simples. Elles expriment divers théorèmes de géométrie qui seraient nouveaux et qui pourraient offrir quelqu'intérét ; mais comme ils ne sont que des corollaires dn théorème général (275), nous nous dispenserons de les énoncer.

(286) Les formules (a) peuvent donner lieu encore à d'autres cas particuliers du mode général de construction des figures homographiques, qu'on obtient en donnant aux sommets a' , b' , c' , et, du second tétraèdre , différentes positions particulières par rapport au premier tétraède. Il est deux de ces cas dont nous ferons l'objet de deux paragraphes particuliers (§§ XVII et XXII) à cause de leur importance.

(287) Les formules (a') et (a") sont susceptibles aussi d'une discussion analogue à celle des formules (a), et de différons cas particuliers, comme celles-ci. Mais nous n'entrerons pas dans cet examen, qui n'offre aucune difficulté, surtout si l'on a égard aux théorèmes (176 et 177) qui se rapportent à cette question.

(288) Le théorème (275) donne lieu à deux propositions de géométrie , qu'on peut considérer comme indépendantes de la théorie des figures homographiques.

La figure construite dans le théorème (275) étant homographique à la figure proposée, aux points de celle-ci, qui seront sur un même plan, correspondront des points situés aussi sur un même plan; on peut donc énoncer ce simple théorème de géométrie :

Étant donnés un tétraèdre SABC, et un plan mené arbitrairement dans F espace;

Si par cliaque point de ce plan on mène trois plans , passant par les trois arêtes à la base ABC du tétraèdre, et rencontrant les arêtes opposées en a, 6, y, et qu'on forme les rapports des se g mens que ces points font sur ces arêtes, lesquels rapports sont

«S CS yS S* CB'

Puis, qu'on ait un second tétraèdre quelconque SA'B'C, et qu'on

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prenne sur ses trots arêtes au sommet trois points a', 6', /, tels que les trois rapports

soient, respectivement, aux trois premiers dans des raisons données et constantes j

Les plans menés par les trois points a', 6', y, et par les trois arêtes B'C, A'C, A'B' , respectivement, se rencontreront en un point qui aura pour lieu géométrique un plan.

(289) Les trois points «, 6, y, dans le théorème (275), déterminent un plan appartenant à la figure proposée, et les points «' , /, déterminent le plan correspondant dans la figure homographique ; donc, si le premier plan tourne autour d'un point fixe, le second tournera aussi autour d'un point; on en conclut donc ce théorème :

Étant donnés un tétraèdre SABC, et un point situé d'une manière quelconque dans F espace,

Si autour de ce point on fait tourner un plan transversal , qui rencontre les trois arêtes au sommet SA, SB, SC, du tétraèdre, en trois points «, ê, y; et qu'on forme les rapports des segmens que ce plan fait sur ces arêtes, lesquels rapports sont

aS CS yS

•a' CB'

Puis, qu'on prenne un second tétraèdre quelconque S'A'B'C' , et qu'on mène un plan transversal qui rencontre ces arêtes au sommet S'A', S'B' , S'C , en trois points a, ê', y', tels que les trois rapports

a'S' C'S' y 'S' a'A'' CB'' y'C

soient aux trois premiers dans des raisons constantes, ce plan passera toujours, dans toutes ses positions , par un même point.

(290) Ce théorème et le précédent, que nous venons de déduire

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de la théorie des figures homographiques, en renferment, l'un et l'autre , toute la doctrine. Si l'un ou l'autre de ces deux théorèmes était démontré à priori et directement, nous en conclurions notre principe de déformation homographique, comprenant les relations de description et les relations de grandeur des figures.

C'est l'un ou l'autre de ces deux théorèmes dont nous avons voulu parler dans notre Aperçu historique sur les méthodes en géométrie (Ve Époque, g 28) , en disant que toute la doctrine de transformation des figures en d autres du même genre, reposait sur un seul et unique théorème de géométrie. Nous donnerons dans un autre écrit, qui traitera du rapport anharmonique et de ses nombreuses applications, la démonstration directe et géométrique de ce théorème. De sorte que le principe de déformation homographique se trouvera démontré directement, et indépendamment du principe de Dualité.

§ XVI. Construction analytique des figures homographiques.

(291) La propriété des figures homographiques exprimée par le théorème (276) conduit à l'expression analytique la plus générale de ces figures, dans le système de coordonnées de Descartes.

En effet, prenons trois axes coordonnés quelconques ox, oy, os, auxquels nous rapporterons les deux figures j et soient

les équations de quatre plans appartenant à la figure proposée; et

les équations des quatre plans donnés qui doivent correspondre, dans la nouvelle figure, à ces quatre premiers, respectivement.

AT -4- By -+- Cs — 1 =

A'-r -.- By C* — I =

k"'s 4- B'y C"'z — I tr=

ax 6y -» c* —

ax b'y h- c'a —

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Soient X, Y, Z, les coordonnées d'un point M de la figure proposée , et x , y, z, celles du point m qui lui correspondra dans la figure cherchée. Il faut déterminer ces coordonnées x, y, z, en fonction de X , Y, Z.

Le rapport des perpendiculaires abaissées du point M sur le premier et le quatrième plan de la première figure, est égal à

AX + RY Cl - 1

la constante étant indépendante des coordonnées X, Y, Z, et ne renfermant que les coefficiens A,B, C, et A'", B'", C'", des équations des deux plans, et les quantités angulaires relatives aux axes coordonnés, que nous supposons obliques pour plus de généralité

Le rapport des perpendiculaires abaissées du point m (x, y, z) , de la seconde figure, sur le premier et le quatrième plan de cette figure, aura une expression semblable à la précédente.

On aura donc, d'après le théorème (276), les trois équations suivantes, entre les coordonnées de deux points homologues dans les deux figures,

as -+- by -4-