CHAPITRE V
S 1. Dans ces derniers temps, après un repos de près d'un siècle, <n<>mii™ de»***, la Géométrie pure s'enrichit d'une doctrine nouvelle , la Géométrie descriptive , qui était le complément nécessaire de la Géométrie analytique de Descartes, et qui, comme elle, devait avoir des résultats immenses , et marquer une ère nouvelle dans l'histoire de la Géométrie.
Cette science est due au génie créateur de Monge. Elle embrasse deux objets :
Le premier est de représenter sur une aire plane tous les corps d'une forme «déterminée , et de transformer ainsi en constructions planes les opérations graphiques qu'il serait impossible d'exécuter dans l'espace.
Le second est de déduire de cette représentation des corps leurs rapports mathématiques , résultans de leurs formes et de leurs positions respectives.
Cette belle création, qui fut d'abord destinée à la Géométrie pratique ot aux arts qui en dépendent, en constitua réellement la théorie générale , puisqu'elle réduisit à un petit nombre de principes abstraits et invariables, et à des constructions faciles et toujours certaines, toutes les opérations géométriques qui peuvent se présenter dans la coupe des pierres, la charpente, la perspective, la fortification, la gnomo-
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nique, etc., et qui auparavant ne s'exécutaient que par des procédés incohérens entre eux, incertains, et souvent peu rigoureux. (Voir la Note XXIII.)
§ 2. Mais outre l'importance due à cette première destination , qui donnait un caractère de rationalité et de précision à tous les arts de construction , la Géométrie descriptive en eut une autre très-grande , due aux services réels qu'elle rendit à la Géométrie rationnelle, sous plusieurs rapports, et aux sciences mathématiques en général.
La Géométrie descriptive, en effet, qui n'est que la traduction graphique de la Géométrie générale et rationnelle, servit de flambeau dans les recherches et dans l'appréciation des résultats de la Géométrie analytique; et, par la nature de ses opérations, qui ont pour but d'établir une correspondance complète et sûre entre des figures effectivement tracées sur un plan et des corps fictifs dans l'espace, elle familiarisa avec les formes de ces corps; les fit concevoir idéalement avec exactitude et promptitude, et doubla de la sorte nos moyens «Tin Vestigation dans la science de l'étendue.
La Géométrie devint ainsi en état de répandre plus aisément sa généralité et son évidence intuitive sur la mécanique et sur les sciences physico-mathématiques.
Cette influence utile de la Géométrie descriptive s'étendit naturellement aussi sur notre style et notre langage en mathématiques, qu'elle rendit plus aisés et plus lucides, en les affranchissant de cette complication de figures dont l'usage distrait de l'attention qu'on doit au fond des idées , et entrave l'imagination et la parole.
La Géométrie descriptive, en un mot, fut propre à fortifier et développer notre puissance de conception; à donner plus de netteté et de sûreté à notre jugement ; de précision et de clarté à notre langage; et sous ce premier rapport elle fut infiniment utile aux sciences muthématiques en général.
S 3. En la considérant en particulier comme simple doctrine géométrique, nous trouvons encore qu'elle apporta un immense secours dans la science de l'étendue. Car elle devint, par ses principes et par
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la corrélation constante qu'elle établissait entre les figures à trois dimensions et les figures planes, un véritable moyen de recherche et de démonstration en Géométrie rationnelle ; et par ses procédés , qui sont en Géométrie pratique ce que les quatre règles de l'arithmétique sont dans la science du calcul, elle fournit un moyen de solution à priori dans des questions où la Géométrie de Descartes, toute puissante en tant d'autres circonstances, se trouvait arrêtée par les bornes que rencontrait l'algèbre elle-même.
g 4. Monge nous donna, dans son Traité de Géométrie descriptive, les premiers exemples de l'utilité de l'alliance intime et systématique entre les figures à trois dimensions et les figures planes. C'est par de telles considérations qu'il démontra, avec une élégance rare et une évidence parfaite, les beaux théorèmes qui constituent la théorie des pôles dans les courbes du second degré; la propriété des centres de similitude de trois cercles pris deux à deux , lesquels centres sont trois à trois en ligne droite ; et diverses autres propositions de Géométrie plane.
Depuis, les élèves de Monge cultivèrent avec succès cette Géométrie, d'un genre vraiment nouveau, et à laquelle on a souvent donné, avec raison, le nom d'école de Monge, et qui consiste, comme nous venons de dire, à introduire dans la Géométrie plane des considérations de Géométrie à trois dimensions.
Les découvertes faites de cette manière sont nombreuses ; leur exposé présenterait certainement une page intéressante dans l'histoire de la Géométrie; mais nous ne pouvons nous le permettre ici, ni entrer dans des détails qui alongcraient beaucoup trop cet écrit \
§ 5. Les procédés par lesquels Monge transforma les figures de ho^unimu.
1 L'un des géomètres qui le» premiers aperçurent toutes les ressources de nette méthode . fut SI. Brianchon , qui , dans un mémoire imprimé dans le treizième cahier du Journal de l'école polytechnique (année 1810 ), présenta sur ce sujet des réflexions neuves et étendnes, auxquelles M. Poncclet nous apprend devoir la première idée des belles et nombreuses recherches géométriques , contenues dans son Trait* de* propriété» projectives. L'école de Monge est très-redevable aussi à M. Gergonne, qui l'a servie utilement par ses propres travaux , toujours empreints de vues philosophiques profondes, et par l'accueil qu'il a fait dans ses Ànnale» de Mathématiques, aux productions des anciens élèves de récolc polytechnique.
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l'espace en figures planes, par les projections orthogonales sur deux plans rectangulaires qu'il suppose abattus l'un sur l'autre, offrent en particulier un moyen de découvrir une foule de propositions de Géométrie plane sur les figures qui résultent de l'ensemble de ces deux projections. De sorte qu'il n'est point tfépure de Géométrie descriptive qui n'exprime quelque théorème de Géométrie plane. Dans la plupart de ces théorèmes, se trouveront des lignes parallèles entre elles et perpendiculaires à la droite qui servait d'intersection aux deux plans de projection; mais si l'on fait ensuite la perspective de la figure sur un plan, ces lignes deviendront concourantes en un point, et le théorème prendra une plus grande généralité.
Voilà donc , comme nous l'avons dit, un moyen très-fécond de démontrer, d'une manière toute nouvelle et toute particulière, une foule de propositions de Géométrie plane. On démontrera, par exemple, la plus grande partie des théorèmes, sinon tous, de la théorie des transversales, et la plupart des innombrables propriétés des sections coniques.
Prenons, par exemple , l'épure où il s'agit de trouver le point d'intersection de trois plans; ce point sera à l'intersection des trois droites suivant lesquelles ces plans se coupent deux à deux; les projections de ces trois droites sur l'un des deux plans de projection passent donc par un même point; ce fait, évident, devient l'expression du théorème suivant :
Si Von a dans un plan deux triangles dont les côtés concourent deux à deux en trois points situés sur une môme droite L, et que par un point, pris arbitrairement , on mène trois droites aux sommets du premier triangle; qu'on les prolonge jusqu'à ce qu'elles rencontrent en trois points la droite L ; qu'on joigne ces trois points respectivement aux trois sommets du second triangle , par trois droites ; ces trois droites iront concourir en un même point.
Ce théorème serait susceptible de plusieurs conséquences : nous nous bornerons à faire remarquer qu'on en conclut, comme corollaire, le théorème de Desargues dont nous avons parlé (deuxième
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Époque, § 28)j s"ff»t de supposer que le point pris arbitrairement est le point de concours de deux des trois droites qui joignent les sommets du premier triangle respectivement aux sommets correspondais du second.
L'épure par laquelle on construit les traces d'un plan qui doit passer par trois points dont les projections sont données, conduit à un autre théorème de même nature que le précédent, et qui donne, comme eorollaire, le réciproque de celui de Desargues.
§ 6. Ce genre de démonstration conduira avec une égale facilité a des propriétés des coniques , et même des courbes de tous les degrés.
Concevons, par exemple, dans le plan horizontal, une conique qui sera la base d'un cylindre dont la direction des arêtes soit donnée ; qu'on construise la trace de ce cylindre sur le plan vertical ; puis, qu'on fasse la perspective de l'épure sur un plan quelconque : on aura une figure qui représentera une première conique tracée arbitrairement, et une seconde conique construite au moyen de la première par les intersections de lignes droites issues de deux points fixes.
Si, au lieu de la première conique, on prend une courbe d'un degré quelconque, on aura une seconde courbe qui sera du même degré.
Voilà donc un moyen de transformer sur un plan, une courbe quelconque en une autre du même degré.
Il est clair que les tangentes à la seconde courbe se détermineront au moyen des tangentes à la première; et ces tangentes se couperont, deux à deux, en des points qui seront tous en ligne droite. Ce sera la droite qui représente l'intersection des deux plans de projection. Cette circonstance offrira un théorème de Géométrie concernant les courbes de tous les degrés.
Prenons, pour dernier exemple, un cylindre vertical ayant pour base sur le plan horizontal une conique; qu'on le coupe par un plan mené arbitrairement, et qu'on construise sur le plan vertical la projection de la courbe d'intersection ; ce sera une seconde conique. Les tangentes à ces deux coniques se correspondront deux à deux, comme représentant les projections de chaque tangente à la courbe d'inter- To». XI. 25
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section du cylindre par le plau transversal ; si donc au moyen de ces projections on cherche les points où ces tangentes, dans l'espace, rencontrent l'un des deux plans de projection, ces points formeront une ligne droite qui sera la trace du pian transversal sur le plan de projection. Cette circonstance donnera lieu a une propriété générale des deux coniques qui sont les projections de la conique située dans l'espace. Qu'on fasse la perspective de l'épure sur un plan, il en résultera une propriété générale du système des deux coniques quelconques, qui est celle-ci :
Si par le point de concours des deux tangentes communes à deux coniques quelconques situées dans un plan, on tire arbitrairement une transversale qui rencontre ces deux courbes chacune en deux points, et qu'on leur mène leurs tangentes en ces points, les tangentes à la première rencontreront les tangentes à la seconde en quatre points qui seront deux à deux sur deux droites fixes, quelle que soit la transversale menée par le point de concours des deux tangente, commune, aux deux coniuue*.
Il est plusieurs autres manières de démontrer par des considérations de Géométrie à trois dimensions, ce théorème important dans la théorie des coniques; par exemple, si par une courbe du second degré on fait passer deux cônes, ayant pour sommets deux points quelconques de l'espace , et qu'on cherche la seconde courbe d'intersection des deux cônes , ce sera une seconde conique. Les relations entre ces deux courbes, situées dans l'espace sur deux cônes, sont faciles a saisir. Maintenant si l'on construit l'épure qui donnera la projection de la seconde conique sur le plan de la première, on aura un système de deux coniques situées dans un même plan , et dont toutes ces relations des deux courbes dans l'espace, ofTriront des propriétés intéressantes, au nombre desquelles se trouvera le théorème que nous venons d'énoncer.
8 7. Ces exemples nous suflisent pour montrer comment chaque épure de Géométrie descriptive pourra exprimer un théorème de Géométrie plane, et nous croyons pouvoir dire que cette voie ouvrira une mine féconde de vérités géométriques. Sous ce point de vue, la Géométrie descriptive de Mongc oflVe une méthode de Géométrie ration-
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nelle. Nous l'appellerons méthode de Transmutation des figures.
Outre ce premier résultat de la Géométrie descriptive, d'opérer la transmutation des propriétés des figures à trois dimensions, en propriétés des figures planes , nous devons faire remarquer un autre usage particulier de cette Géométrie; c'était de conduire à une infinité de moyens d'opérer sur le plan des transformations de figures en figures du même genre, ainsi qu'avaient fait De La Hire et Newton ; c'était, en particulier, d'offrir une infinité de moyens de remplir le but que s'était proposé De La Hire, de décrire sur un plan, au moyen du cercle, les différentes sections coniques, et de transporter ainsi les opérations de la perspective dans le plan. Il suffit, en effet, de concevoir un cône à base circulaire, ayant pour sommet un point quelconque de l'espace, et de couper ce cône par un plan mené arbitrairement; la section sera une conique, dont une des projections pourra être regardée comme une transformée de l'une des projections de la base du cône ; et comme cette transformée se construira par des opérations planes, le but de De La Hire se trouvera atteint.
Cette solution générale du problème de De La Hire conduira, comme on le pressent à cause de l'indétermination des différentes données de la question, à un grand nombre de méthodes différentes; et l'on parviendra, de plusieurs manières, à celle même de De La Hire.
§ 8. Bien qu'on ait apprécié les services rendus par Mongc en familiarisant avec les considérations de la Géométrie à trois dimensions, et en apprenant à passer tour-à-tour de cette Géométrie à la Géométrie plane, et de celle-ci à la première; on n'a peut-être pas reconnu dans le mode particulier de démonstration dont nous venons de donner des exemples, toute l'importance qui lui est due, tant a cause des vérités géométriques auxquelles il pouvait conduire, et dont un grand nombre alors eussent été neuves, que parce qu'il était un premier exemple de transmutation des figures à trois dimensions en figures planes, et réciproquement. Les services rendus par le seul mode de transformation usité jusqu'alors, la perspective, dont Pascal surtout avait fait un si heureux usage, et dont De La Hire, dans son Traité des planiconiques ,
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avait réduit toutes les opérations à des constructions planes, étaient de nature à faire concevoir tous les avantages des autres modes de transformation qui pourraient se présenter, soit dans l'espace, soit sur le plan.
Mais au surplus, en réfléchissant sur les procédés de l'algèbre, et en recherchant la cause des avantages immenses qu'elle apporte dans la Géométrie, ne s'aperçoit-on pas qu'elle doit une partie de ces avantages à la facilité des transformations que l'on fait subir aux expressions qu'on y introduit d'abord? transformations dont le secret et le mécanisme font la véritable science, et l'objet constant des recherches de l'analyste. N'était-il pas naturel de chercher à introduire pareillement dans la Géométrie pure des transformations analogues, portant directement sur les figures proposées, et sur leurs propriétés?
La théorie des projections stéréographiques, par laquelle on applique à des systèmes de coniques semblables et semblablement placées (parmi lesquelles peuvent se trouver des droites et des points), les propriétés évidentes et palpables de systèmes de courbes planes tracées sur une surface du second degré, celte théorie, dis-je, est un exemple frappant des avantages des transformations géométriques. Diverses méthodes qui se rattachent, comme nous le ferons voir, aux deux principes généraux de l'étendue, la dualité et Yhomograpkie des figures, que nous démontrons dans cet écrit, sont de telles méthodes de transformation.
Ces sortes de méthodes, dont l'utilité nous parait bien constatée, méritent d'être cultivées; et, si nous ne nous abusons, les géomètres qui voudront méditer sur cet objet apprécieront davantage l'importance philosophique de la méthode de transmutation que nous avons cherché à faire ressortir des principes de la Géométrie descriptive de Monge.
r.^omé.ric ptr,P*<Mi« S 9. Les doctrines de Monge ont déjà donné lieu à un ouvrage du même genre, dont 1 occasion se présente de parler ici, par anticipation, la Géométrie perspective de M. Cousinery, ingénieur des ponts et chaussées (in-4°, 1828), qui diffère de la méthode de Monge en ce
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que l'auteur ne fait usage que d'une seule projection, ou perspective, sur un plan.
Un plan, situé d'une manière quelconque dans l'espace, est déterminé dans l'épure par deux droites parallèles, dont l'une est la trace de ce plan sur celui de projection , et l'autre est la trace d'un second plan parallèle au premier, mené par l'œil ou point central d'où partent les lignes projetantes. Une droite est déterminée d'une manière analogue par deux points, dont l'un est celui où elle perce le plan de projection, et l'autre est celui où une seconde droite menée par l'œil parallèlement à la première, perce ce même plan. Pour déterminer un point, il faut connaître deux droites sur lesquelles il se trouve, dont l'une peut passer par l'œil, et se réduire à un point en perspective. Ces procédés sont simples et ingénieux; les épures auxquelles ils conduisent ne sont point trop compliquées , et elles sont susceptibles, comme celles de la Géométrie descriptive de Monge, d'exprimer divers théorèmes de Géométrie, ainsi que le fait voir M. Cousinery.
Sans chercher à apprécier les avantages que cette méthode pourra peut-être offrir sous le rapport industriel, c'est-à-dire comme instrument analogue à la Géométrie descriptive de Monge dans les arts de construction, nous ne la considérerons que comme moyen de transformation des figures, et comme méthode pour la recherche et la démonstration d'une foule de vérités géométriques : et sous ce rapport, elle nous parait digne de l'attention des amateurs de la Géométrie. M. Cousinery, en se bornant à quelques exemples qui suffisaient pour convaincre de l'utilité de sa méthode, a ouvert un nouveau champ de spéculations géométriques, où l'on sera sûr de glaner abondamment.
S 10. Il nous reste, au sujet de la Géométrie descriptive de Monge, nou»«u mod« a. g. à parler de l'influence qu'elle a encore eue sur les progrès de la j°,n,Cpi^"'"î'""' Géométrie pure, en introduisant dans cette science un mode de démonstration que les Anciens auraient repoussé comme une licence incompatible avec leurs principes rigoureux , et qui a eu , entre les mains de Monge et des géomètres de son école, les plus heureux résultats.
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Pour définir cette méthode, nous dirons « qu'elle consiste à consi- » dérer la figure, sur laquelle on a à démontrer quelque propriété )) générale, dans des circonstances de construction générale, où la )> présence de certains points, de certains plans ou de certaines lignes, » qui dans d'autres circonstances seraient imaginaires, facilite la dé- » monstration. Ensuite , on applique le théorème qu'on a ainsi dé- » montré aux cas de la figure où ces points , ces plans et ces droites » seraient imaginaires ; c'est-à-dire , qu'on le regarde comme vrai )> dans toutes les circonstances de constructions générales que peut )) présenter la figure à laquelle il se rapporte. » La Géométrie de Monge nous offre de beaux exemples de cette manière d'agir.
Ainsi , pour démontrer que , quand des cônes circonscrits à une surface du second degré ont leurs sommets en ligne droite , les plans de leurs courbes de contact passent tous par une mémo droite, Monge suppose que, par la droite lieu des sommets des cônes, on peut mener deux plans tangentes à la surface ; les courbes de contact des cônes passeront toutes par les deux points de contact de ces plans tangens ; leurs plans passeront donc tous par la droite qui joindra ces deux points. Le théorème est donc démontré, pour la disposition supposée de la figure ; et Monge prononce que cette démonstration s'étend au cas où l'on ne pourra point mener de plans tangens à la surface par la droite lieu des sommets des cônes; c'est-à-dire, que le théorème a lieu pour toute position possible de cette droite.
Cette méthode de Monge nous paraît fondée sur cette remarque, qu'une figure peut présenter dans sa construction la plus générale deux cas différons ; dans le premier, certaines parties (points, plans, lignes ou surfaces) d'où ne dépend pas nécessairement la construction générale de la figure , mais qui en sont des conséquences contingentes ou accidentelles, sont réelles et palpables; dans le second cas, ces mêmes parties n'apparaissent plus; elles sont devenues imaginaires; et cependant les conditions générales de construction de la figure, sout restées les mêmes.
Par exemple, si on dit de tracer dans l'espace une surface du second
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degré et une ligne droite, qui aient entre elles toute la généralité possible de position ; cette question comportera deux cas, celui où la ligne droite rencontre la surface et celui où elle ne la rencontre pas; et ces deux cas oiVrirout la même généralité, parce que dans chacun d'eux ki ligne droite sera tirée arbitrairement, sans avoir égard à la position déjà donnée à la surface du second degré, ils ne différeront qu'en ce que les deux points d'intersection de la ligne droite et de la surface sont réels dans le premier cas, et imaginaires dans le second. INous dirons que ces deux points sont une des relations contingentes ou accidentelles du système de la surface et de la droite.
Nous n'avons pas besoin de faire remarquer que nous n'entendons nullement parler ici des circonstances particulières de construction d'une ligure, auxquelles on a consacré l'expression de cas particuliers , qui sont celles où plusieurs points, lignes, ou surfaces, viennent à se confondre. Ainsi, dans l'exemple précédent, si la droite est tangente à la surface du second degré, ce sera un cas particulier ; et un théorème démontré sur cette figure ne serait point regardé comme s'appliquatit nécessairement à la figure générale.
S 1 1. La méthode dont il s'agit, qui nous parait avoir pris naissance dans les beaux exemples que Monge nous en a donnés dans sa Géométrie descriptive, a été suivie depuis par la plupart de ses disciples, mais toujours tacitement, comme Monge avait fait lui-même, c'est-à-dire sans entrer dans les considérations que nous venons de présenter , et sans chercher à justifier cette manière hardie de raisonner.
Ce n'est que dans ces derniers temps que M. Poncelet a abordé iwr. a. franchement cette question, qui méritait detro approfondie, et qu'il a rattachée à un point de doctrine important dans la Géométrie rationnelle. On voit que nous voulons parler du principe de continuité, que ce savant géomètre a mis en avant et développé dans son Traité des propriétés projectives, et dont il a fait les plus heureuses applications; mais qui, n'étant point démontré rigoureusement, n'a été considéré par d'autres célèbres académiciens que comme une forte induction, et un moyen précieux pour deviner et pressentir les vérités , mais non pour
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suppléer aveuglément, et dans tous les cas, à leur démonstration rigoureuse.
Il faut en convenir, si les géomètres, en pratiquant la méthode de Monge, ou le principe de continuité, devaient justifier cette manière d'agir, par des considérations de pure Géométrie , puisées dans quelques principes préexistais et démontrés à priori, les moyens, jusqu'à ce jour, nous paraîtraient leur manquer : et si leur marche, comme celle de Monge, a toujours été assurée et n'a point laissé de nuage dans leur esprit, ils ont puisé, ce me semble, cette confiance dans le sentiment d'infaillibilité que les habitudes de l'analyse algébrique ont fait naître en eux. D«uoB.tr.t.on a. i. § 12. INous croyons en effet qu'on pourra, dans chaque cas parti culicr, justifier à posteriori la méthode en question, par un raisonnement fondé sur les procédés généraux de l'analyse.
Il suflit de remarquer que les deux circonstances générales de construction d'une figure, dont nous avons parlé, et dont la distinction est importante , parce qu'elles nous paraissent être la véritable origine de la question qui nous occupe, n'entrent jamais en considération dans l'application de l'analyse finie à la Géométrie. Les résultats obtenus par cette méthode s'appliquent dans toute leur étendue à ces deux circonstances générales de construction. Ces résultats sont des théorèmes concernant les parties intégrantes et permanentes de la figure , celles qui appartiennent à sa construction générale, et qui sont toujours réelles dans les deux cas; théorèmes tout-à-fait indépendans des parties secondaires , ou contingentes et accidentelles de la figure, qui peuvent être indifféremment réelles ou imaginaires, sans changer les conditions générales de construction de la figure.
Donc, quand ces résultats généraux sont démontrés, n'importe comment, sur l'une des deux figures, on peut conclure qu'ils ont également lieu dans l'autre figure.
Cette manière de justifier la doctrine de Monge, qu'on regardera peut-être aussi comme une démonstration à posteriori du principe de continuité, considéré en Géométrie, comporte les exceptions dont ce principe sera susceptible ; car ces exceptions ne seront autres que celles
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que rencontrerait l'analyse elle - même. Ainsi , par exemple, on devra se garder d'appliquer ce principe aux questions dans lesquelles, si l'on voulait faire entrer dans l'analyse les circonstances générales de construction dont nous avons parlé, on trouverait qu'il y aurait à changer autre chose que les signes des coefficiens des quantités variables; par exemple, les signes des exposans de ces quantités '; on ne devra point l'appliquer non plus aux questions qui, traitées par l'analyse, exigeraient des intégrales définies, parce qu'un simple changement de signe, qui établirait la différence entre les deux circonstances générales de construction de la figure, changerait totalement les résultats de l'analyse.
Mais dans toutes les questions de Géométrie qui n'exigeraient que le secours de l'analyse finie, telle que Descartes nous a appris à en faire usage, on pourra mettre toute confiance dans la méthode de Monge. Ainsi, par exemple, si l'on considère dans l'espace un cône du second degré et un plan transversal placé de la manière la plus générale par rapport au cône ; ce plan pourra avoir deux positions différentes, qui satisferont également à cette condition de plus grande généralité possible. Dans la première, il coupera le cône suivant une hyperbole, dont on pourra tracer les deux asymptotes : dans la seconde, il coupera le cône suivant une ellipse; et les deux droites qui, dans la première figure, étaient les asymptotes de l'hyperbole, seront imaginaires dans la seconde figure. Néanmoins, toute propriété générale de la première figure, démontrée même avec le secours des deux asymptotes, appartiendra à la seconde figure; pourvu, bien entendu, que cette propriété ne concerne point directement, ni implicitement, les asymptotes , parce que dans ce cas elle ne serait point une propriété générale, indépendante des circonstances de construction qui font que ces asymptotes soient ou ne soient pas réelles.
1 Nous ne pensons pas que de telles questions puissent se présenter. Car les deux circonstances générales de construction d'une figure, dont la considération est la base de notre manière d'envisager la méthode do Monge, nous paraissent ne différer dans l'expression algébrique de la figure que par la différence des signe* des coefiieions indépendnns.
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Ce que nous disons de l'ellipse et de l'hyperbole, ne s'applique pas à la parabole; parce que la position du plan transversal, qui donne pour section dans le cône une parabole, est une position particulière, et non plus parfaitement générale. Ainsi, une propriété de la parabole, qu'on aurait démontrée en s'appuyant sur cette circonstance que le plan transversal qui la fait naître dans le cône, a une position particulière par rapport à ce cône, n'appartiendrait point, par la seule vertu du principe de Monge, à l'ellipse ni à l'hyperbole.
S 13. Les mêmes considérations ont lieu pour les surfaces du second degré. Elles se divisent, sous un certain rapport, en deux classes; pour l'une de ces surfaces (l'hyperboloïde à une nappe), le plan tangent en chacun de ses points la touche suivant deux droites entièrement comprises sur la surface; et pour les deux autres surfaces (l'ellipsoïde et l'hyperboloïde à deux nappes), ces deux droites sont imaginaires. Eh bien, une propriété générale de l'hyperboloïde, démontrée avec le secours des deux droites en question , pourvu qu'elle ne comprenne ni directement, ni implicitement ces deux droites dans son énoncé, appartiendra également aux deux autres surfaces.
Par exemple, qu'on veuille démontrer les deux théorèmes qui constituent la doctrine des projections stéréographiques; on prendra l'hyperboloïde a une nappe, pour lequel, avec le secours des deux droites que, par chaque point, on peut mener sur sa surface, ces deux théorèmes sont évidens;et on conclura immédiatement, avec toute sûreté, qu'ils ont également lieu pour les autres surfaces du second degré
On conçoit que si, au lieu de démontrer ces deux théorèmes relativement à l'hyperboloïde à une nappe, qui est une surface d'une construction tout aussi générale que celle de l'ellipsoïde et de l'hyperboloïde à deux nappes, on les eût démontrés pour la sphère, on n'aurait pas pu les appliquer, en vertu seulement de la méthode de Monge, aux autres surfaces du second degré, parce que la sphère n'est point une surface d'une construction générale, mais au contraire d'une construction particulière.
S 14. Mais nous pouvons dire de suite qu'avec le secours d'une autre
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méthode, on applique les propriétés générales de la sphère à IVIli|>- -,:,.b,M.s.wr.i,>.. soide; et alors, par la méthode de Monge, elles deviennent des propriétés générales de toutes les surfaces du second degré. Cette méthode de transformation, que nous avous exposée dans la Correspondance polytechnique (tom. III, pag. 326), est analytique; elle consiste à faire croître proportionnellement les coordonnées de chaque point de la sphère. Nous nous en sommes servi pour transformer les propriétés descriptives, et celles concernant les volumes des corps; depuis, nous lavons appliquée aux propriétés concernant les longueurs des lignes courbes, et les aires des surfaces courbes. Nous l'avons généralisée aussi sous un autre rapport en la rendant propre à transporter aux hyperboloïdes les propriétés générales des paraboloïdes , comme celles de la sphère à l'ellipsoïde. Mais cette méthode générale étant comprise, comme cas particulier, dans notre principe général de déformation homographique , nous n'insisterons point davantage sur ses usages et son degré d'utilité.
Mais nous devons faire remarquer une différence caractéristique qui distingue cette méthode de celle dont nous parlions d'abord, quoique par l'une et par l'autre on généralise un premier résultat.
Le mode de déformation que nous venons d'indiquer est une véritable méthode de généralisation, qui transporte à une figure d'une construction tout-à-fait générale, les propriétés connues d'une figure d'une construction particulière.
L'autre méthode, au contraire, qui fait usage des relations contingentes, n'opère que sur une propriété d'une figure de la construction la plus générale, et la transporte à une autre figure d'une construction non moins générale, qui ne diffère de la première figure que par des circonstances secondaires et accidentelles qui ont servi à la démonstration, mais qui, ayant en quelque sorte été éliminées dans le résultat des raisonnemens où on les avait fait entrer, ne sont pour rien, ni directement ni implicitement, dans l'énoncé de la proposition qu'il s'agissait de démontrer.
S 15. Cette méthode nous paraîtrait mériter, plus qu'aucune autre,
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le nom de méthode d'intuition , puisqu'elle est véritablement fondée sur la vue des clwaes. Mais ce caractère d'intuition est le propre, en général , des méthodes qui reposent sur la pure contemplation de l'étendue, et particulièrement de celles où l'on fait intervenir la considération des ligures à trois dimensions pour la démonstration des propositions de Géométrie plane. La dénomination de méthode d'intuition , qui convient en général à la Géométrie de Monge , ne caractériserait donc pas ce principe , en vertu duquel on applicpie à un état général d'un système, les propriétés qu'on a démontrées pour un autre état également général du même système. Mais la dénomination de Méthode ou principe des relations contingentes nous paraîtrait la caractériser d'une manière assez précise et assez complète.
Nous préférons cette dénomination a celle de principe de continuité, parce que ce principe implique l'idée de l'infini, qui n'entre nullement dans la méthode des relations contingentes. Nous développerons cette idée dans la Note XXIV.
Nous pourrions citer beaucoup d'exemples de l'application qu'on a faite tacitement du principe des relations contingentes ; mais nous avons trouvé une question nouvelle qui nous parait éminemment propre à montrer l'usage et l'utilité de ce principe, c'est celle où il s'agit de déterminer en grandeur et en direction les trois diamètres principaux d'un ellipsoïde dont trois diamètres conjugués sont donnés. La solution de cette question ne se serait peut-être pas présentée aussi aisément par toute autre méthode. ( Voir la Note XXV.)
$ 16. Ce principe des relations contingentes sera peut-être basé un jour sur quelque principe métaphysique de l'étendue figurée, tenant à des idées d'homogénéité, telles que celles qu'on a apportées quelquefois dans les sciences naturelles, particulièrement dans celles des corps organisés; il semble appartenir déjà à quelque principe général de dualité, tel que celui que semblent présenter ces mêmes corps où l'on a à reconnaître deux genres d'élémens, élémens permanens, élé— mens variables ; fixité et mouvement.
Mais , en attendant que notre principe des relations contingentes
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soit ainsi démontré à pritjri , il nous parait assez justifié par les procédés de l'analyse, comme nous l'avons fait voir, pour qu'on l'emploie avec assurance.
Ce serait, du reste, une chose heureuse pour les progrès de la Géométrie rationnelle, que tous les géomètres n'abandonnassent pas les principes rigoureux des Anciens, et que pendant que les uns, en se confiant aux procédés faciles de la méthode de Monge, enrichiraient la science de vérités nouvelles, les autres cherchassent à établir ces vérités sur d'autres fondemens, offrant toute la rigueur désirable. Cette sorte d'association et ce double but seront utiles à la Géométrie, et contribueront puissamment à la doter de nouveaux principes et à fonder leur véritable métaphysique. Il faudra en effet, après avoir découvert quelque vérité par la méthode, en quelque sorte superficielle, de iMouge, qui s'empare et tire parti de quelque circonstance externe et palpable, mais accidentelle et fugitive, il faudra, dis-je , pour établir cette vérité sur des raisons permanentes et indépendantes des circonstances variables de construction de la ligure, aller au fond des choses et faire usage non plus comme Monge , des propriétés secondaires et contingentes qui suffisent, dans certains cas, pour définir diverses parties de la figure, mais bien des propriétés intrinsèques et permanentes de ces mêmes parties de la figure. iNous entendons par propriétés intrinsèques et permanentes celles qui serviraient, dans tous les cas, à la définition et à la construction des parties de la figure que nous avons appelées intégrantes ou principales ; tandis que les propriétés secondaires et contingentes sont celles qui peuvent disparaître et devenir imaginaires dans certaines circonstances de construction de la figure.
La théorie des cercles tracés sur un plan nous offre un exemple de cette distinction que nous faisons entre les propriétés accidentelles , et les propriétés permanentes d'une figure. Le système de deux cercles comporte toujours l'existence d'une certaine droite, dont la considération est fort utile dans toute cette théorie. Quand les deux cercles se coupent, cette droite est leur corde commune, et cette seule circonstance suffit pour la définir et la construire ; voilà ce que nous
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appelons une de ses propriétés contingentes ou accidentelles. Mais quand les deux cercles ne se coupent pas, cette propriété disparaît quoique la droite pourtant existe toujours , et que sa considération soit encore extrêmement utile dans la théorie des cercles. Il faut donc définir cette droite et la construire par quelqu'une de ses autres propriétés, qui ait lieu dans tous les cas de construction générale de la figure, qui est le système des deux cercles. Ce sera une de ses propriétés permanentes. C'est par ces considérations que M. Gaultier 1 , au lieu d'appeler cette droite la corde commune des deux cercles, l'a appelée axe radical expression puisée dans une propriété permanente de cette droite, qui consiste en ce que les tangentes aux deux cercles, menées par l'un quelconque de ses points, sont égales entre elles, de sorte que chaque point de cette droite est le centre d'un cercle qui coupe orthogonalement les deux cercles proposés \
' Journal de l'école polytechnique, 1G< cahier, ann. 1813,
Le beau Mémoire de M. Gaultier offre la première solution rraiment générale delà question du contact des cercles, ou des sphères ; solution qui permet de supposer que les cercles deriennent des points ou des droites , et les sphères des points ou des plans.
* La même propriété a fait donner, depuis , à celte droite , par M. Steiner, le nom de ligne d'égale puissance. ( Voir le Journal de SI. Crelle, tom. 1", et les Annale» do M. Gergonne, tom. XVII, pag. 295.)
Cette droite jouit, comme on sait, de beaucoup d'autres propriétés permanentes remarquables, qui suffisent pour la construire, et qui auraient pu aussi servir à la définir. Ainsi, si l'on décrit un cercle quelconque qui coupe les deux proposés , ses cordes communes arec eux se rencontreront sur celte droite.
Si par un des deux centres de similitude des deux cercles on mène une transversale qui les rencontre, et que par les points de rencontre on mène les tangentes aux deux cercles, les tangentes du premier cercle rencontreront respectivement celles du second , qui ne leur seront pas parallèles, en deux points qui seront sur la droite en question.
C'est celte dernière propriété, qui a également lieu dans le système de deux coniques quelconques tracées sur un plan , dont nous nous sommes servi pour définir deux droites qui existent toujours dans le système de deux coniques , et dont chacune joue le même rolo , par rapport aux deux coniques , que l'axe radical par rapport à deux cercles. L'expression d'axe radical étant fondée sur une relation de grandeur particulière aux cercles, ne pouvait convenir a ces deux droites, et nous les avons appelées axesde symptose, à cause de la rencontre ou du concourt, qui a lieu sur ces deux droites , des tangentes aux deux coniques , menées en des points situés sur une transversale issue d'un de leurs centres d'homologie. ( Voir Annale* de Mathématiques , tom. XVIII , pag. 285.)
La connaissance des propriétés intrinsèques et permanentes des différentes parties d'une figure, qu'on sera conduit à rechercher quand les propriétés accidentelles disparaîtront, sera très-utile au perfectionnement des théories géométriques , en leur donnant toute la généralité qu'elles comportent, et souvent le degré d'évidence intuitive qui fait un des caractères de la méthode de Monge.
Ainsi, la circonstance que l'axe radical de deux cercles est leur corde commune quand ils se coupent, a conduit Monge à démontrer, en considérant trois cercles sur un plan comme les sections diamétrales de trois sphères, que les axes radicaux de ces cercles, pris deux à deux, passent par un même point. Ce théorème n'est pas moins évident si on part, pour définir ces trois axes, de leur propriété permanente reconnue par M. Gaultier. Car on voit tout de suite que le point d'intersection de ces deux axes jouit d'une propriété caractéristique des points du troisième axe; d'où l'on conclut qu'il se trouve sur ce troisième axe.
S 17. La doctrine des relations contingentes nous semble pouvoir i™^^™ c«» oflrir encore un avantage; c'est de donner une explication satisfaisante du mot imaginaire, employé maintenant en Géométrie pure, où il exprime un être de raison sans existence, mais auquel on peut cependant supposer certaines propriétés dont on se sert momentanément comme d'auxiliaires, et auquel on applique les mêmes raisonnemens qu'à un objet réel et palpable. Cette idée d'imaginaire, qui parait au premier abord obscure et paradoxale , prend donc dans la théorie des relations contingentes un sens clair, précis et légitime. (Voir la Note XXVI.) Sous ce rapport , la distinction que nous avons faite entre les propriétés intrinsèques et permanentes des figures, et leurs propriétés fugitives et contingentes, paraîtra peut-être de quelque utilité.
§ 18. La Géométrie descriptive de Monge est une source de bonnes stvi««UMonf.«cro. doctrines, qui n'a point encore été épuisée. Après y avoir reconnu le germe, plus ou moins développé, de plusieurs méthodes, qui accroissent la puissance et étendent le domaine de la Géométrie, nous y voyons aussi l'origine d'une nouvelle manière d'écrire et de parler
non
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cette science. Le style , en effet , est si intimement lié à l'esprit des méthodes, qu'il doit avancer avec elles; de même qu'il doit aussi, s'il a pris les devans, influer puissamment sur elles et sur les progrès généraux de la science. Cela est incontestable, et n'a pas besoin de preuves.
L'ancienne Géométrie est hérissée de figures. La raison en est simple. Puisqu'on manquait alors de principes généraux et abstraits, chaque question ne pouvait être traitée qu'à l'état concret, sur la figure même qui était l'objet de cette question, et dont la vue seule pouvait faire découvrir les élémens nécessaires à la démonstration ou à la solution cherchée. Mais on n'a pas été sans éprouver les inconvéniens de cette manière de procéder , par la difficulté de construction de certaines figures ; et par leur complication qui en rend l'intelligence laborieuse et pénible. C'est surtout dans les questions de la Géométrie à trois dimensions, où les figures peuvent devenir tout-à-fait impossibles, que l'inconvénient que nous signalons se fait le plus sentir.
Ce défaut de la Géométrie ancienne fait un des avantages relatifs de la Géométrie analytique, où il se trouve éludé de la manière la plus heureuse. On a dû se demander, après cela, s'il n'était point aussi, en Géométrie pure et spéculative, une manière de raisonner sans l'assistance continuelle de figures, dont un inconvénient réel, même quand leur construction est facile, est tout au moins de fatiguer l'esprit et de ralentir la pensée.
Les écrits de Mongc et le professorat de cet illustre maître, dont les manières nous avaient été conservées par l'un de ses plus célèbres disciples, héritier de sa chaire ont résolu la question. Ils nous ont appris qu'il suffit, maintenant que les élémens de la science sont formés et très-étendus , d'introduire dans notre langage et dans nos con-
1 M. Arago, aujourd'hui secrétaire perpétuel de l'Académie des science», quitta le» banc» de l'école, pour devenir suppléant de Monge, et bientôt après professeur titulaire. Les notices scientifiques de Y/innuaire du bureau de» longitude», par lesquelles cet illustre astronome popularise en Europe la «cience si difficile des phénomènes physiques, sont encore un modèle précieux du style sans figure», qui nous parait éminemment propre à hâter le» progrès de la Géométrie.
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ceptions géométriques, ces principes généraux et ces transformations analogues à celles de l'analyse, qui , en nous faisant connaître une vérité dans sa pureté primitive et sous toutes ses faces, se prêtent à des déductions faciles et fécondes par lesquelles on arrive naturellement au but. Tel est l'esprit des doctrines de Monge ; et quoique sa Géométrie descriptive, qui nous en offre des exemples, fasse par sa nature essentiellement usage de figures, ce n'est que dans ses applications effectives et mécaniques, où elle joue le rôle d'instrument, qu'elle opère ainsi : mais personne plus que Monge n'a conçu et n'a fait de la Géométrie sans figures. C'est une tradition dans l'école polytechnique, que Monge savait, à un degré inouï, faire concevoir dans l'espace toutes les formes les plus compliquées de l'étendue, et pénétrer dans leurs relations générales, et leurs propriétés les plus cachées, sans autre secours que celui de ses mains, dont les mouvemens secondaient admirablement sa parole, quelquefois difficile, mais toujours douée de la véritable éloquence du sujet, la netteté et la précision, la richesse et la profondeur d'idées.
S 19. Nous avons essayé, dans les pages qui précèdent, d'apprécier, autant que nos faibles lumières nous le permettaient, la nature et l'étendue des services rendus à la Géométrie rationnelle par les doctrines de Monge. Il nous resterait à parler de l'influence qu'elles ont eue aussi sur la Géométrie analytique, et même sur l'algèbre, considérée comme pure théorie des grandeurs abstraites, en général. Mais ce serait nous écarter du but de cet écrit, et surtout il y aurait témérité à nous d'aborder un tel sujet, où nous ne saurions être qu'historien, et qui a déjà été traité par un géomètre qui joint la profondeur à la variété des connaissances dont il a fait preuve dans toutes les parties des sciences mathématiques et philosophiques '.
Aussi nous nous bornerons à dire simplement que l'algèbre, qui avait déjà dû des progrès considérables à la Géométrie, lors de l'alliance que Descartes fit de ces deux sciences, lui en dut de nouveaux,
' Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge, par M. Ch. Dopin ; pag. 199-Î48 de l'édition in-8».
To«. XI. 27
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dans ses parties les plus relevées et les plus épineuses, l'intégration des équations différentielles à plusieurs variables, par la corrélation profonde que Monge sut établir entre les symboles de cette langue, et les formes et les grandeurs de l'étendue.
Nous citerons, pour exemple, la double expression analytique de certaines familles de surfaces, par une équation différentielle, et par une équation iinie renfermant des fonctions arbitraires, dont la seconde se trouvait précisément l'intégrale complète de la première.
On conçoit qu'en rapportant ainsi les phrases analytiques à des objets visibles, dont les parties ont entre elles des rapports évidens et palpables , la Géométrie ait pu contribuer puissamment aux progrès de l'analyse; et en un mot, que Monge ail pu faire de l'algèbre avec de la Géométrie '.
proKri.d« i. cromé- § 20. Il nous parait résulter des considérations dans lesquelles nous
trieduiauxécnlid* « 1
sommes entré au sujet des doctrines purement géométriques de Monge, qu'à l'apparition de sa Géométrie descriptive, la Géométrie proprement dite, cette science qui avait illustré Euclide, Archimède, Apollonius ; qui avait été le seul instrument de Galilée, de Kepler, de Pascal, d'iluygens, dans leurs sublimes découvertes des lois de l'univers; qui enfin avait produit les immortels Principes mathématiques de la philosophie naturelle de Newton; que cette Géométrie pure, dis-je, qui depuis un siècle était délaissée, fut tout à coup agrandie dans ses conceptions et dans ses propres ressources.
On dut concevoir dès-lors le désir et l'espoir de tirer rationnellement de cette science seule les vérités nombreuses dont l'analyse de Descartes l'avait enrichie.
Outrage» de Carool Divers ouvrages furent entrepris dans ce but et dans cet esprit.
Les premiers qui parurent, et qui, par leur importance et l'influence
1 n 1/annlrso ne peut que retirer un très-grand avantage do son application à ce genre de » Géométrie ; car je donne la solution de plusieurs problèmes d'analyse qu'on aurait peufcétre » beaucoup de peine à résoudre sans les considérations géométriques. » ( Monge , Mémoire *ur les propriétés de plusieurs genres de surfaces courbes , inséré dans le tom. IX des Mftaoïats ots
SAVAIS ETBAICEIIS, nul. 1775.)
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qu'ils ont eue, méritent d'être mis hors ligne, sont la Géométrie de po- , • ration , et F Essai sur la théorie des transversales, de l'illustre Carnot.
Ces deux ouvrages, dans l'histoire des progrès de la Géométrie rationnelle, ne doivent point être séparés de la Géométrie descriptive de Monge, comme ayant été, comme elle, et dans le même temps, une continuation des belles méthodes de Desargues et de Pascal, et ayant aussi comme elle, contribué puissamment aux nouvelles théories et aux découvertes récentes de la Géométrie.
Ce rapprochement entre les doctrines et les travaux des quatre grands géomètres que nous venons de nommer, qu'avaient pu faire pressentir nos observations sur les méthodes de Desargues et de Pascal , nous parait établir la véritable chaîne des pensées qui ont présidé aux progrès de la Géométrie.
Mais peut- être devons-nous ajouter quelques mots pour développer nos idées sur ce point, et justifier ce rapprochement.
8 21. Les figures que considère la Géométrie, et leurs parties, ontD<^l<M. d. »*entre elles deux sortes de relations : les unes qui concernent leurs «*■■•*. formes et leurs situations, appelées relations descriptives , et les autres qui concernent leurs grandeurs, appelées relations métriques. Ainsi, par exemple , qu'autour d'un point fixe , pris dans le plan d'une conique, on fasse tourner une transversale; et que par les deux points où elle rencontre la courbe, dans chacune de ses positions, on mène les tangentes à cette courbe; ces deux tangentes auront leur point de concours sur une droite fixe , qui sera la polaire du point fixe. Voila une propriété descriptive de la conique ; voilà une relation descriptive d'un point et de sa polaire.
Maintenant, que sur chaque transversale on prenne le point conjugué harmonique du point fixe, par rapport aux deux points où la transversale rencontre la courbe ; ce point conjugué harmonique sera précisément sur la polaire du point fixe. Voilà une propriété métrique des coniques; voilà une relation métrique d'un point et de sa polaire.
Ces deux sortes de propriétés descriptives et métriques des figures ,
SU
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suffisent individuellement pour lu solution d'un grand nombre de questions. Mais il est toujours utile, et souvent indispensable , de les considérer, en même temps, les unes et les autres. La science de l'étendue doit les comprendre sans distinction, ou serait incomplète.
De là, on le conçoit, deux genres de méthodes en Géométrie rationnelle ; ou au moins deux parties distinctes d'une méthode générale ; celle des relations descriptives et celle des relations métriques.
Desargues, Pascal, De La Hire et Le Poivre procédèrent des deux manières; c'est-à-dire, qu'ils firent usage des deux genres de relations des figures : des relations descriptives , en se servant de la perspective pour transformer les figures ; et des relations métriques par l'usage répété de la proportion harmonique , de la relation et involution , et de diverses autres propositions appartenant à la théorie des transversales.
Cette distinction admise, on reconnaîtra que la Géométrie descriptive de Monge était une généralisation, immense, il est vrai, de la première méthode, la perspective, que ces géomètres employaient pour la démonstration des relations purement descriptives de leurs figures : nous avons vu en effet qu'elle était propre à cet usage, et c'est même dans le but de justifier nos paroles actuelles que nous nous sommes étendu alors sur ses applications pour cet objet.
Quant à la théorie des transversales, comprise d'abord implicitement dans la Géométrie de position, puis exposée, sous son véritable titre, dans un écrit spécial, nous avons déjà dit et prouvé que ses principes et plusieurs de ses théories principales avaient été la base des découvertes de Desargues et de Pascal; nous devons donc regarder cette théorie comme la mise en corps de doctrine des principes qui avaient servi à ces deux grands géomètres.
Ainsi nous pouvons dire que la méthode de Monge et celle de Carnot sont, en Géométrie rationnelle, la généralisation et le perfectionnement immédiat des méthodes de Desargues et de Pascal ; que ce sont deux branches d'une même méthode générale, qui ont leurs avantages propres et particuliers, et qu'on ne doit point séparer dans l'étude complète
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des propriétés de l'étendue. Il serait, au contraire, extrêmement utile de les y faire toujours marcher simultanément, sur deux lignes parallèles : elles s'aideraient mutuellement, et les progrès de la science en seraient plus complets et plus rapides Monge, et parmi ses disciples, surtout le savant auteur des Développemens et Applications de Géométrie, nous ont donné l'exemple d'une telle corrélation de méthodes, par celle qu'ils ont établie entre les procédés logiques de la pure Géométrie et le langage abstrait et symbolique de l'algèbre.
g 22. Nous ne pouvons faire ici l'analyse des nombreuses et importantes propositions qui abondent dans les deux ouvrages de Carnot; nous nous bornerons à y faire remarquer la belle propriété générale des courbes géométriques de tous les degrés, concernant les segmens qu'une telle courbe fait sur les côtés d'un polygone tracé dans son plan ; propriété qui constitue l'extension de la théorie des transversales à la Géométrie des courbes, et de laquelle, en particulier, se déduit, comme corollaire, le troisième théorème de Newton, relatif aux produits des segmens faits sur des parallèles.
Passons aux autres ouvrages qui, après ceux de Monge et de Carnot, D,«r. d* ont servi le plus utilement la science.
Tels nous paraissent être :
L'intéressant Essai de la Géométrie de la règle, intitulé : Solutions peu connues de différens problèmes de Géométrie pratique (in-8°, 80 pages, an XII); où M. Servois, après avoir réuni les théorèmes
1 Les ouvrages de Monge et de Carnot offrent de beaux exemples de ces deux méthodes pour la démonstration des mêmes théorèmes, et prouvent, déplus, Futilité de la concomitance que nous voudrions voir souvent établie entre elles ; cor les applications que Carnot fait de sa théorie des transversales , portent en partie sur plusieurs propriétés des sections coniques, et sur celles des axes radicaux et des centres de similitude de trois cercles tracés dans un plan , que Mongc avait démontrées par de pures considérations de Géométrie. Mais Carnot , en se servant des relations métriques des figures, parvient, en même temps qu'aux théorèmes de Monge , a plusieurs propriétés concernant ces relations métriques , qui échappent en général à l'autre méthode , fondée en principe sur les propriétés purement descriptives des figures.
Nous avions déjà fait quelques réflexions sur ces deux manières différentes de démontrer et de découvrir en Géométrie, à la suite de nos considérations sur le principe des relations contingentes.
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principaux de la théorie des transversales, en montre les usages, en Géométrie rationnelle, pour la démonstration des propositions, et dans la Géométrie pratique, pour résoudre sur le terrain, par des alignemens, les différens problèmes qui se présentent surtout à la guerre.
Les Développement et les Applications de Géométrie de M. Ch. Dupin, où l'on a vu, pour la première fois, traiter par de pures considérations de Géométrie les questions difficiles de la courbure des surfaces , qui avaient exigé entre les mains d'Euler et de Monge , toutes les ressources de la plus savante analyse.
Les Elémens de Géométrie à trois dimensions (partie synthétique} de M. Hachette, où plusieurs questions sur les tangentes et les cercles oscillateurs des lignes courbes, dont on n'avait jusqu'alors que des solutions analytiques, furent résolues aussi dans toute leur généralité, par des considérations purement géométriques.
Le Mémoire de M. Brianchon sur les lignes du second ordre, où se trouvent déduites, pour la première fois, du célèbre théorème de Desargues sur l'involution de six points, de nombreuses propriétés de ces courbes.
Le Mémoire sur V application de la théorie des transversales , du même auteur '.
1 Cet ouvrage a pour objet, comme celui de M. Servois, la solution de plusieurs problèmes par la ligne droite seulement. Déjà M. brianchon s'était occupé de ccUe partie de In Géométrie , sous le titre même de Géométrie de la règle. ( Voir Correspondance tur l'école Polytechnique , tom. II, pag. 383.)
Ce genre de Géométrie n'est point absolument nouTeau. Nous avons parlé de l'ouvrage de Schooten sur ce sujet, et d'un ouvrage un peu antérieur, intitulé : Geometria peregrinane. Le traité de Schooten De concinnandit demonslrationibus , etc. , contient aussi des exemples de cette Géométrie : on en trouve d'autres dans les Récréations mathématiques d'Ozannm (édition de 1778), et dans divers traités de l'arpentage, particulièrement dans celui de Mascheroni , intitulé : Problèmes pour les arpenteurs , avec différentes solutions. ( Pavie 1793. )
L'occasion se présente ici de faire mention de la Géométrie du compas de Mascheroni (ann. 1797 ) , ouvrage original et curieux , qui a pour objet la résolution , par le compas seulement, des problèmes que l'on résout ordinairement par la règle et le compas. Cette Géométrie est plus riche et plus étendue que celle de la règle, parce qu'elle embrasse les problèmes du second degré, qui sont tous ceux qui forment le domaine de la Géométrie ordinaire. Dlasche-
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Le Traité des propriétés projeclives des figures de M. Poncelet, qui a pour but, comme l'indique le titre, la recherche des propriétés qui se conservent dans la transformation des figures par voie projective ; et où, par l'usage heureux de trois doctrines puissantes, le principe de continuité, la théorie des polaires réciproques y et la théorie des figures hotnologiques à deux et à trois dimensions, le savant auteur a su démontrer, sans un mot de calcul, toutes les propriétés connues des lignes et des surfaces du second degré, et un grand nombre d'autres qui lui sont ducs, et dont plusieurs sont regardées déjà comme des plus importantes de cette riche théorie.
Divers mémoires de M. Gergonne, de M. Quetelet, de M. Dandelin et d'autres géomètres, qui ont paru dans les recueils scientifiques1, ont aussi enrichi la science de découvertes précieuses qui ont contribué à ses progrès.
S 23. De ces ouvrages, dont un mérite commun fut d'offrir, tous, mcu,0.i« m des preuves convaincantes et multipliées des ressources infinies que la Géométrie pure peut puiser eu elle-même, sont nées ces vérités simples et fécondes, qui attestent seules la perfection de la science dont
roni fait voir qu'elle s'applique aussi avec facilité «i la solution approximative des problèmes qui dépendent des sections coniques, et d'une Géométrie plus relevée.
Des essais du même genre que la Géométrie de la règle et celle du compas , et qui tiennent pour ainsi dire le milieu entre les deux , avaient déjà occupé , long-temps auparavant , de célèbres mathématiciens. Cardan , le premier, dans son livre de subtilitate, avait résolu plusieurs problèmes d'Euclide, par la ligne droite et une seule ouverture de compas, comme si l'on n'avait dans la pratique qu'une règle cl un compas invariable. Tartalca ne tarda pas à suivre son rival sur ce terrain, et étendit celte matière par de nouveaux problèmes. General trattato di tiumcri , e miture; .'>' > parte, libro terso; in- fol, Venise , 1K60. Enfin un savant géomètre piémontais J.-B. de Bénédictin en fit l'objet d'un traité intitulé : Retotutio omnium Euclidis problemalum, aliorumque ad hoc neceuarto inrentorum, unà tanlummodo cirant daté aperturâ ; io-4\ Venise, 15JS3.
1 Le Journal et la Correspondance do l'école polytechnique ; les Annale$ de M. Gergonne ; la Corrttpondance mathématique et physique de M. Quetelet; le Journal allemand de SI. Crelle.
Plusieurs géomètres allemands , MM. Steiner, Plûcker, Mobius, etc., dignes collaborateurs des célèbres analystes Gauss , Crelle, Jacobi , Lejcune-Dirichlet , etc., écrivent dans ce dernier recueil sur les nouvelles doctrines de la Géométrie rationnelle. Nous éprouvons un vif regret de ne pouvoir citer ici leurs ouvrages, qui nous sont inconuus, par suite de notre ignorance de la langue dan» laquelle ils sont écrits.
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elles sont les véritables bases : des théories, dont le germe se trouvait inaperçu, depuis des siècles, dans les écrits des géomètres, ont apparu, se sont développées rapidement, et ont donné lieu aux méthodes qui constituent la Géométrie récente.
Parmi ces méthodes, nous distinguerons :
Premièrement , la théorie des transversales, dont le principal théorème, relatif au triangle coupé par une droite, a une haute antiquité, mais auquel Carnot a donné une nouvelle existence, en en montrant, le premier, toute l'utilité et la fécondité, et en le transportant, par une généralisation infiniment heureuse, dans la théorie des lignes et des surfaces courbes '.
Secondement, les doctrines sur la transformation des figures en d'autres figures du même genre, comme fait la perspective.
Parmi les méthodes de cette nature, nous citerons :
1° La perspective elle-même, dont les principes sont la base des ouvrages de Desargues et de Pascal sur les coniques, et dont les usages, depuis, se sont étendus et souvent répétés.
2° La méthode qui consiste à faire croître dans un rapport constant, les rayons visuels menés aux dhTérens points d'une figure, pour former une figure semblable et semblablement placée.
3" Celle qui fait croître proportionnellement les ordonnées des points d'une figure , ainsi qu'on opère dans le dessin d'un profil dont on veut rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables j méthode employée par Durer*, Porta3, Stevin, Mydorge et Grégoire de Sl-Vincent , pour former l'ellipse par le cercle *.
■ Un théorème analogue , relatif aux segmens faits sur les trois côtés d'un triangle par trois droites issues d'un même point et aboutissant respectivement aux sommets opposés, est aussi l'un des principaux de la théorie de* tranteertate*. Celui-ci , qu'on a attribué jusqu'ici à Jean Bernouilli , a été démontré en premier lieu par Jean Ceva. ( PWr la note VU.)
1 Intlilutione* geometrica. Livre I".
> Elementa curoilinea. Livre I*r.
* Le P. Nicolas, qui a fait aussi usage do cette méthode dans son Traité de* conchoîde* et de» ciuoïde», a appelé homogène*, les courbes ainsi formées l'une par l'autre. (De conchoidibu* et ciuoidibu* exercitatione* Geometriœ ; in 4\ Tolosa? , 1693. )
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4° Celle par laquelle on incline toutes les ordonnées d'une figure, en les faisant tourner autour de leurs pieds sur le plan de projection, et en leur conservant le parallélisme entre elles ; procédé usité surtout en architecture, pour la construction des arcs rampans l.
5° La méthode pour la construction des bas-reliefs , enseignée par Bosse et Pétitot1; et celle proposée, depuis, par M. Breysig, sous le titre : Essai <T une théorie de la perspective des reliefs, disposée de manière à servir en même temps aux peintres, in-8°. iMagdebourg, 1798 ».
I On peut, en même temps , augmenter proportionnellement les ordonnées. M. Oachette a fait usage de ce mode de déformation dans deux propositions de Géométrie, pour démontrer qu'une des propriétés de la projection stéréographique de la sphère ne pourrait avoir lieu dans une autre surface qu'autant qu'elle serait du second degré. (Voir Correspondance polytechnique, tom. I", pag. 77. )
II est aisé de voir que ce mode de déformation peut être ramené à celui qui consiste à faire croitre les ordonnées d'une surface suivaut leur propre direction , et dans un rapport constant.
1 La construction des bas-reliefs est regardée généralement comme incertaine et dépourvue de règles rigoureuses, comme était, par exemple, la perspective, il y a deux siècles, dans l'esprit de la plupart des peintres. Cependant, dès il y a long temps, Bosse a écrit quelques règles géométriques pour cette construction. Nous les trouvons dans son Traité des pratiques gtomètrales ei perspectives (in-80, 1665). Un passage du même ouvrage nous apprend que Desargues , qui eut la gloire d'introduire dans les arts de construction les principes et la rigueur des opérations géométriques, avait appliqué à la construction des bas-reliefs sa manière de pratiquer la perspective. Il nous est permis de penser que ce sont les idées de Desargues, on sa méthode racine, que Bosse nous a transmises.
Nous trouvons, depuis, de semblables règles pour les bas-reliefs, dans le Traité de Perspective de Pétitot , intitulé : Raisonnement sur la perspective, pour en faciliter V usage aux artistes , in-fol. , l'arme 1758 (en français et en italien).
Ces règles de construction de bas-reliefs produisant des figures du même genre que les proposées', nous devons les comprendre parmi les méthodes dont nous faisons ici l'énumération. 11 est vrai que ces règles sont presque ignorées , et surtout qu'elles n'ont jamais été employées en Géométrie rationnelle , pour la recherche et la démonstration des propriétés des figures ; mais elles n'en sont pas moins susceptibles d'un tel usage.
* Nous ne connaissons de l'ouvrage de M. Breysig que le litre, qui est rapporté par M. Poncelet à la page 307 du 8' volume du Journal de 81. Crcllo; mais nous n'hésitons point à mettre le mode de construction des reliefs, qu'il contient, au nombre des méthodes propres à transformer les figures à trois dimensions en d'autres figures du même genre, parce que M. Poncelet nous apprend que les préceptes de l'auteur se trouvent d'accord avec les siens propres , qui produisent de telles figures.
Ton. XI. 28
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6° La méthode des Planiconiques de De La Hire, et celle de Le Poivre, ayant pour objet, l'une et l'autre, de décrire, sur le plan de la base d'un cône, les mêmes courbes que donneraient , dans l'espace, les sections du cône par un plan.
7° Celle de Newton , pour transformer les figures en d'autres du môme genre; comprise dans le lemme 22 du premier livre des Principes; et qui fut généralisée par Waring
8° Celle dont nous avons fait usage pour appliquer à l'ellipsoïde les propriétés descriptives et de volumes de la sphère , qui consiste à faire croître dans des rapports constans les coordonnées des points de la figure proposée. (Correspondance sur V école polytechnique , tom. III, pag. 326.) "
9° Enfin , la belle théorie des figures hamologiques ou perspectiverelief de H. Poncclet, qui rentre dans celle de De La Hire et Le Poivre par le cas des figures planes, mais qui n'avait point encore été conçue pour les figures a trois dimensions \
• x et y étant les coordonnées d'un point d'une courbe donnée, et r', y' ccllet du point correspondant de sa transformée , Wnring prend les relations :
pi" ■+- qy' r Px' Qy* R
X Ax' -f- By' + C' y = kï -+- By' -h C*
Il présente ce mode de transformation comme une généralisation de celui de Newton, où I on a
( Principet math., livre 1", lemme 22 ) ; et il se borne a faire voir que la nouvelle courbe sera du même degré que la proposée. ( Miscellanea analytica , pag. 82 ; Propriétaire eu rx a ru m algebraicarum , pag. 240. )
Nous démontreront que les courbes ainsi construites peuvent être, aussi bien que Celles de Newton, produite* par la perspective; de sorte que la généralisation <!<■ JVaring ne port* que tur la position de la nouvelle courbe par rapport à la proposée , et non sur sa forme , ni sur ses propriétés individuelles.
2 Euler avait indiqué ce mode de transformation pour le* courbes plane* ; mais sans en faire d'applications : il dit que les courbe* ainsi construite» l'une par l'autre, ont de l'affinité; il les appelle Lineœ affines. (Jntroductio in analysin infinitorum; livre 2, art. 442.)
i M. Le François a fait usage, dans ces derniers temps, du la théorie des figure* hotnologiques, comme moyen de déformation de quelques courbes du troisième degré, particu-
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
Nous réunissons sous un même titre ces diverses méthodes, parce que nous ferons voir que toutes, et la perspective proprement dite elle-même , dérivent d'un seul principe fondamental , dont elles ne sont que des applications particulières.
Troisièmement, la théorie des polaires réoiproques, que les élèves de Monge puisèrent dans les précieuses leçons de cet illustre professeur; dont il fut fait d abord quelques usages particuliers pour transformer des figures en d autres où des droites correspondaient à des points et des points à des droites {voir la Note XXVI) ; et sur laquelle le célèbre auteur du Traité des propriétés projectives des figures a appelé toute l'attention des géomètres, en la faisant servir, le premier, à la transformation des relations de grandeur métrique et angulaire.
Quatrièmement, la doctrine des projections stéréographiques, qui, considérée d'abord dans la sphère seulement, servait à la construction de certaines cartes géographiques; et qui, accrue d'un nouveau théorème, et étendue d'une manière très-générale aux surfaces du deuxième degré , offre aujourd'hui un moyen de recherche aussi simple qu'expéditif Les mémoires de l'Académie de Bruxelles, particulièrement,
lièrement de» focale» de MSI. Quetelet et Van Rees. (Dissertatio inauguralis malhematica de quibusdam curtis geometricit; in-K Gand , 1830.) La méthode de ce géomètre diffère de celle de M. Poncelet, en ce qu'il se sert, pour construire se» courbes homologiques , d'une de leurs relations métriques. Mais cette relation- n'est pas la plus générale que comporte cette théorie; elle est un rapport harmonique ; tandis qu'on peut prendre un rapport anharmonique qui donne plus de généralité à la construction des figures. Nous reviendrons tur cet objet dans notre Mémoire sur la Déformation homographiquo.
La considération des relations métriques des figures étant la partie principale de ce Mémoire, on nous permettra de rappeler ici qu'il a été adressé à l'Académie de Bruxelles en janvier 1830; et qu'ainsi il a précédé la publication de la thèse de M. Le François, que ce géomètre nous a fait l'honneur de nous adresser quelque temps après.
1 La théorie des projections stéréographiques de la sphère , telle qu'on l'emploie aujourd'hui dans la Géométrie spéculative, se compose des deux principes suivans :
!• La projection de tout cercle tracé tur la sphère ett un cercle;
î° Le centre de ce cercle est ta projection du sommet du cône circonscrit à la sphère suivant le cercle mis en projection.
Ce second théorème, aussi essentiel que le premier, n'est connu que depuis quelques année»; nous l'avons énoncé pour la première foi», et démontré analytiquement , dans les Élèmens deGéomètrie à trois dimensions de M. Hachette (année 1817). Depuis nous avons appliqué,
mO HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.
contiennent les applications les plus heureuses de cette élégante doctrine, par MM. Quetclet et Dandelin.
S 24. Telles nous paraissent être les quatre grandes divisions auxquelles on pourrait rattacher , sous le point de vue philosophique des méthodes , dans l'état actuel de la Géométrie, la plupart de ses nombreuses découvertes récentes. Dans une cinquième, on comprendrait quelques théories particulières et spéciales, que leurs auteurs ont fait reposer sur les seuls principes de la Géométrie pure. Telles sont entre autres, la théorie des tangentes conjuguées , due à M. Dupin, qui en a fait les plus utiles applications spéculatives et pratiques; et la nouvelle Théorie des caustiques, par laquelle M. Quetelet a réduit à quelques principes de Géométrie élémentaire cette partie importante et difficile de l'optique, à laquelle ne pouvaient suffire toutes les ressources de l'analyse.
Ces théories, qui semblent au premier abord étrangères aux méthodes dont nous venons de parler, pourraient pourtant s'y rattacher sous certains rapports, et en recevoir d'utiles secours. Les singuliers rapprochemens que M. Quetelet a faits entre sa théorie des caustiques et celle des projections stéréographiques, en sont une première preuve; nous aurons occasion ailleurs d'en douner d'autres
par de simples considérations de Géométrie, à toute surface du second degré , la théorie de» projections stéréographiques , et l'avons généralisée sous deux rapports : 1« en considérant des surfaces du second degré inscrites dans la proposée, au lieu de sections planes de celle-ci ; î° en prenant pour plan de projection un plan quelconque. ( Voir Annales de mathématiques , tom. XV11I , pag. 305 , et tom. XIX , pag. 157. )
1 Par exemple, M. Ch. Dapin , dans sa belle Théorie géométrique de la courbure de* turface» , n'a pas dégagé entièrement de considérations analytiques la démonstration de cette proposition : « Quand deux surfaces du second degré ont leurs sections principales décrites des mêmes » foyers, elles se coupent partout à angle droit. » Les méthodes récentes conduisent de diverses manières à une démonstration purement géométrique de ce théorème.
Disons mémo , pour offrir un exemple de la portée de ces méthodes , que l'on parvient , sans plus de difficulté, a cette proposition beaucoup plus générale : Quand deux surfaces du second degré ont leurs sections principales décrites det mimes foyers, de quelque point de l'espace qu'on le* considère , leurs contour* apparens paraissent se couper à angle droit.
Nous ajouterons que les beaux résultats contenus dans un mémoire sur le* axe* conjugué* et le* moment d'inertie des corps ( 16' cahier du Journal de l'école polytechnique) , où M. Binet a
g 25. En même temps qu'une étude approfondie de l'état actuel de p«f«tio.»«m«i d« la Géométrie pure tend À justifier la division systématique que nous avons établie, elle fait voir, par le manque de généralité et de caractère précis d'une foule de théorèmes qui se rattachent aux méthodes que nous venons d'indiquer , que ces méthodes elles-mêmes n'ont point encore l'étendue , la fécondité et le degré de puissance désirables.
Ainsi, par exemple, les méthodes comprises dans nos deuxième et troisième divisions, d'un usage facile et général pour la découverte et la démonstration des propriétés descriptives des figures, n'ont encore été appliquées que d'une mauière restreinte aux relations de grandeur (lignes, surfaces ou volumes). N'est-il pas présumable qu'il leur manque quelque principe qui les rende applicables à des relations beaucoup plus générales, et peut-être à toutes sortes de relations?
On 'conçoit donc que ces méthodes ne reposent point encore sur d'assez larges bases. Et en effet, nous croyons pouvoir dire que chacune d'elles est suscëptible d'une très-grande extension.
$ 26. La première, celle des transversales, peut être accrue de tw„ «u, lf»B„„principes nouveaux, qui la rendent propre a de nouveaux usages, et suppléent en mille circonstances, et particulièrement dans l'étude des propriétés générales des courbes géométriques, a l'analyse de Descartes: dans son état actuel même, elle peut servir à diverses questions, qui ne lui ont point encore été soumises; par exemple au problème général des tangentes et à celui des rayons de courbure de toutes les courbes géométriques, dont nous avons indiqué les solutions dans le Bulletin universel des sciences (juin 1830) '.
fait aussi usage de la mémo proposition que M. Ch. Dupin , et ceux auxquels M. Ampère est aussi parvenu sur le même sujet , dans son mémoire intitulé : Quelques propriété» nouvelle» de» axe» permanent de rotation des corps ; nous ajouterons , dis-je , que ces belles découvertes , regardées comme étant du domaine de la mécanique, et que leurs auteurs ont obtenues par l'analyse, peuvent aussi dériver de pures considérations géométriques : et peut-être trouverait-on que cette voie rattache davantage ces diverses découvertes à leurs principes premiers , en montre mieux l'enchaînement, et en rend l'exposition plus facile et plus rationnelle.
C'est ainsi que la Géométrie, en reculant ses limites, apportera toujours son flambeau dans quelque partie nouvelle des sciences physico-mathématiques.
« Construction des tangentes. — Pour déterminer la tangente en un point m d'une courbe
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
projet..», ..^RT- S 27. La doctrine des projections stéréographiques, outre l'exten- Fh,,«,. ^.^^ qU'ejie a déjà reçue par son application à toutes sortes de surfaces du second degré, est susceptible d'une nouvelle généralisation qui consisterait à placer l'œil, non plus en un point de la surface, mais arbitrairement en un lieu quelconque de l'espace , même à l'infini. De cette manière les sections planes de la surface du second degré ne seront plus, en projection, des coniques homothétiques entre elles, ou bien des coniques ayant toutes un même axe de symptose ; ces courbes auront entre elle* une dépendance d'une expression plus générale ; elles auront toutes un double contact (réel ou imaginaire) avec une même conique, qui sera la perspective du contour apparent de la surface du second degré (cette conique pouvant elle-même être imaginaire). ■
géométrique , d'un degré quelconque , on mène par ce point deux transversales m A , m \ , sous des directions arbitraires ; on fait les produits des segmens compris snr ces droites entre le point m et les autres points où elles rencontrent la courbe; soient P, P' ces deux produits ;
Par un point /<, pris arbitrairement dans le plan do la courbo , on mène deux transversales, parallèles aux deux droites m A , »«A'; et on fait les produits des segmens compris sur ces deux transversales entre le point „ et la courbe ; «oient n , n' ces doux produits.
On portera sur les deux droites m.K , »iA', à partir du point m, deux lignes proportionnelles aux rapports^, p respectivement; la droite qui joindra les extrémités de ces lignes sera parallèle à la tangente au point m.
Ainsi la direction de la tangente est déterminée.
On pourrait construire directement la normale. Pour cela, on porterait sur les doux trans-
versales issues du point m, des lignes proportionnelles aux rapports - , — ; par les extrémités de ces lignes et par le point m , on ferait passer un cercle ; son centre serait sur la normale à la courbe au point m.
Construction des cercles osculateurs. — Pour déterminer le cercle oscillateur en un point m d'une courbe géométrique , on mènera , par ce point , la tangente à la courbe , et une transversale quelconque mA; on prendra les produits des segmens compris sur ces deux droites entre le point m et les autres branches de la courbe ; soient T et P ces deux produits.
Pur un point n, pris arbitrairement dans lo plan de la courbe, on mènera deux parallèles à la tangente et à la transversale ; et on fera les produits des segmens compris sur ces deux parallèles entre le point p et la courbe ; soient r et t ces deux produits.
On portera sur la transversale mA une ligne égale à - . ^; {'extrémité de cette ligne stra sur le cercle osculateur cherché.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
Ce théorème appartient à M. Poncelet, qui l'a donné dans son Traité dex propriétés projectives (art. 6 10), et en a montré l'usage pour l'étude des propriétés d'un système de coniques ayant toutes un double contact avec une même conique. Si l'on y joint, comme dans la projection stéréographique proprement dite , un second théorème relatif à la projection des sommets des cônes circonscrits à la surface du second degré suivant ses sections planes, cette théorie nouvelle offrira un champ de recherches intéressantes et inépuisables, et où se trouveront résolus une foule de problèmes sur la construction des coniques assujéties à des conditions diverses. (Voir la Note XXVIII.)
§ 28. Les méthodes comprises dans notre deuxième division , qui paraissent étrangères les unes aux autres, et sont destinées à des usages pratiques différens, peuvent, étant considérées comme moyen théorique de déformation des figures, être résumées en un seul et unique > • ...
Il suit de cette construction que , si l'on désigne par 9 l'angle que la transversale tnK
fait arec la tangente , le rayon de courbure sera égal àR= - — - • - - •
Si la courbe est du degré m, t et r contiendront m facteurs linéaires, P en contiendra m — l , et T en contiendra m — 2.
Quand la courbe sera tracée , ces facteurs seront des lignes comprises sur les transversales ; et quand la courbe sera déterminée par son équation , on connaîtra immédiatement , au moyen de cette équation, les valeurs des quatre produits P, T, r, t; co qui résulte, comme on sait , de la théorie générale des équations.
Quand la courbe est tracée , il faut qu'elle le soit complètement , c'est-à-dire que toutes ses branches soient décrites , pour que les trapsversales la rencontrent en autant de points que l'indique le degré de la courbe. Par exemple , si la courbe est une do celles du quatrième degré , appelées ovales de Descartes, il faut connaître sa compagne, qui est une seconde ovale, jouissant des mêmes propriétés que la première , qui n'est point indiquée par la construction géométrique que Descartes et d'autres géomètres ont donnée de ces courbes , mais qui est renfermée dans la même équation. (Foir la Note XXI.)
Les constructions précédentes peuvent être simplifiées, parce qu'au lieu de quatre transversales, parallèles deux à deux, on peut n'en mener que trois, dont deux issues du point de la courbe, et la troisième tout-à-fait arbitraire. Cette modification des solutions ci-dessus repose sur la belle propriété générale des courbes géométriques donnée par Carnot dans sa Géométrie de position , pag. 201.
M. Poncelet a aussi donné une construction des tangentes aux courbes géométriques dans son Mémoire présenté, en septembre 1831 , à l'Académie des Science» de Paris, sous le titre : Analyse des transversale* appliquée à la recherche des propriétés projectices des lignes et surfaces géométriques. {Voir lu lom. VIII du Journal de M. Crelle, pag. 220.)
•Ir déforma, lion d« l'igurr».
*2A HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
principe de déformation, qui les remplacera toutes; principe qui parait offrir une doctrine nouvelle d'une grande portée, et d'un usage facile et plus étendu que celui de ces diverses méthodes. Cette doctrine reposera sur un seul théorème de Géométrie, que nous regardons comme la dernière généralisation, et pour ainsi dire comme l'original des principes qui donnaient lieu à ces méthodes. Nous ajouterons que toutes autres méthodes semblables, qu'on pourrait découvrir par la suite , pour convertir les figures en d'autres du même genre, ne seront aussi que des déductions de ce seul et unique théorème. roi.,r« r«,,.roqU« n § 29. Quant à la théorie des polaires réciproques, qui sert atrans-
nu tliuiJc» icn
former les figures en d'autres figures de genre différent (dans lesquelles les plans et les points correspondent respectivement à des points et à des plans des figures proposées), et à convertir les propriétés Phèdre fcimtiu. de < o s figures en propriétés des figures nouvelles, ce qui établit une dualité permanente des formes et des propriétés de l'étendue figurée, nous avons déjà annoncé (Annales do mathématiques , tom. XVIII, pag. 270), que cette théorie n'est point une méthode unique pour ces fins, et qu'il en existe plusieurs autres, qui mettent en évidence cette dualité, et qui sont d'un usage aussi facile dans leurs applications.
Ainsi, la dualité reconnue depuis deux siècles 1 dans la Géométrie de la sphère, où chaque figure a sa figure supplémentaire dans laquelle des arcs de grands cercles correspondent aux points de la première, et passent par un même point quand ces points de la première figure sont sur un même arc de grand cercle, cette dualité , dis-je, met dans une évidence parfaite la dualité des figures planes, et offre un moyen facile de transformation de ces figures.
Qu'on conçoive en effet, sur une sphère, une première figure quelconque, et la figure supplémentaire (c'est-à-dire, la figure enveloppe des arcs de grands cercles dont les plans sont perpendiculaires
1 Nous avons dit que le théorème sur lequel repose cette dualité est du à Snellius, et que sa découverte avait été préparée par les transformations de triangles sur la sphère, que Vièlo avait faites pour résoudre quelques cas de la trigonométrie sphérique.
aux rayons qui aboutissent aux points de la première) ; et qu on fasse la perspective de ces deux figures sur un plan , l'œil étant placé au centre de la sphère; on aura en perspective deux figures, dont l'une sera la transformée de l'autre, et où la dualité en question sera évidente.
Mais on reconnaît aisément que cette transformation d'une figure plane peut s'efFectuer directement sur le plan de la figure, sans l'emploi d'une sphère auxiliaire. En effet, la perpendiculaire abaissée de chaque point de la figure proposée sur la droite qui correspond à ce point dans la seconde figure, passera par un point fixe qui est la projection orthogonale du centre de la sphère sur le plan de la figure; et cette perpendiculaire sera divisée en ce point en deux segmens dont le produit sera constant, comme étant égal au carré de la distance du centre de la sphère au plan de la figure. Il suffira donc, pour former une transformée d'une figure proposée, de mener, par un point fixe de son plan, un rayon à chacun des points de cette figure, de prendre sur le prolongement de ce rayon, au delà du point fixe, une ligne proportionnelle à sa valeur inverse, et de mener, à l'extrémité de cette ligne, une perpendiculaire au rayon. Toutes ces perpendiculaires correspondront respectivement aux points de la figure proposée , et envelopperont sa transformée.
g 30. 11 est manifeste que ce procédé de construction des figures transformées s'applique aux figures à trois dimensions ; nous l'énoncerons ainsi :
Etant donnée une future dans l'espace, que d un point fixe, pris arbitrairement, on mène à tous les points de cette figure des rayons , et que sur ces rayons (ou bien sur leurs prolongemens au delà du point fixe), on porte des lignes qui leur soient respectivement proportionnelles , que par les extrémités de ces lignes on mène des plans perpendiculaires aux rayons; tous ces plans envelopperont une seconde figure qui sera la transformée de la proposée, comme on f entend dans le principe do dualité. C'est-à-dire, qu'aux plans dans la figure proposée, correspondront des points dans la nouvelle figure, et To*. XI. 29
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
quand ces plans passeront par un même point, ces points seront sur un même plan '.
Quand les lignes proportionnelles aux valeurs inverses des rayons menés du point fixe aux points de la Ggure proposée, sont prises sur les directions de ces rayons, les plans menés par les extrémités de ces lignes, perpendiculairement aux rayons, peuvent être considérés comme les plans polaires des points de la figure proposée, par rapport a une certaine sphère décrite du point fixe comme centre.
Notre mode de transformation comprend donc celui de la théorie des polaires réciproques considérées dans la sphère; et il est plus général que celui-ci, en ce que dans la théorie des polaires les plans correspondans aux points d'une figure proposée sont toujours menés entre ces points et le centre de la sphère, tandis que dans notre mode de transformation, ces plans peuvent être menés au delà du point fixe qui représente ce centre \
Cette connexion intime entre la théorie des polaires réciproques, d'invention toute récente, et la dualité des figures tracées sur la sphère, connue et usitée depuis près de deux siècles, nous a paru mériter d'être remarquée ici.
S 31. Passons à d'autres modes de transformation.
Il en est deux qui reposent, comme le précédent, sur des théories connues. Le premier est offert par le porisme d'Euclide que nous avons cité en parlant des collections mathématiques de Pappus (Irc Époque, S 31; en note); car, dans ce porisme, pour chaque point d'une figure plane on construit une droite, et on reconnaît aisément que quand les points de la première figure sont en ligne droite, les droites correspondantes dans la seconde figure passent par un même point.
1 La démonstration de ce théorème est extrêmement facile. Noua la donnerons dans la note XXIX.
2 La plus grande généralité quo nous venons de signaler n'a lieu que sous le rapport géométrique, et non quand on emplofe la roie analytique; parce que dans ce dernier cas on peut supposer imaginaire le rayon de la sphère par rapport à laquelle on prend les polaires ; et alors les plans polaires des points de la figure proposée sont menés au delà du point qui représente le centre de la sphère.
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Le second résulte de la théorie des courbes et surfaces réciproques dont Monge a donné l'expression analytique. (Voir la Note XXX.)
S 32. On peut imaginer d'autres modes de transformation.
Par exemple, soient dans l'espace un angle trièdre, et Un triangle situé dans un plan mené par le sommet de l'angle trièdre ; que par chaque point d'une figure donnée dans l'espace on mène trois plans passant pas les trois côtés du triangle; ils rencontreront respectivement les trois arêtes de l'angle trièdre en trois points qui détermineront un plan; tous les plans ainsi déterminés envelopperont une seconde figure, qui aura avec la proposée les rapports et les dépendances qui constituent la dualité en question.
Une figure étant donnée dans l'espace, qu'on lui imprime un mouvement infiniment petit quelconque, et qu'on mène par ses différens points des plans normaux à leurs trajectoires; tous ces plans envelopperont une seconde figure, qui sera une transformation de la proposée, de même nature que la précédente.
Que l'on suppose qu'une figure donnée dans l'espace soit sollicitée par plusieurs forces, et que par chaque point de la figure on mène le plan principal de ces forces relatif à ce point; tous ces plans envelopperont une seconde figure qui sera encore une transformation de la proposée , de même nature que les précédentes.
5 33. De ces trois modes de transformation dans l'espace, le premier, celui qui fait usage de l'angle trièdre, a son analogue sur le plan; c'est le porisme d'Euclide. Les deux autres n'ont point leurs analogues sur le plan : mais ils n'en sont pas moins propres à la transformation des figures planes. En efTet, qu'une figure plane soit donnée à transformer; on imprimera à son plan un mouvement infiniment petit dans l'espace; les plans normaux aux trajectoires des différens points de la figure envelopperont une surface conique (qui aura son sommet en un point du plan de la figure) 1 , et un plan transversal mené arbitraire-
» Nous donnerons la démonstration de ce théorème dans an écrit sur les propriétés géométriques du mouvement d'un corps solide libre dans l'espace.
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ment dans l'espace coupera cette surface conique suivant une ligure qui sera une transformée de la proposée.
On pourra faire servir ainsi, à la transformation des figures planes, chacun des procédés qu'on emploiera pour la transformation des figures dans l'espace, et qui n'aurait pas son analogue sur le plan.
5 34. Nous pourrions citer d'autres modes particuliers de transformation, qui feraient comme les précédens, soit dans l'espace, soit sur le plan, le même office que la théorie des polaires réciproques.
priB.p«d«tr.aifo™.a. Mais toutes ces méthodes peuvent être remplacées, comme celle de P ' déformation, dont nous avons parlé ci-dessus, par un seul et unique principe, plus général et plus étendu que chacune d'elles. Ce principe, qui constitue une doctrine complète de transformation des figures, prend sa source dans un seul théorème de Géométrie , qui nous paraît être la raison première de cette propriété inhérente aux formes de l'étendue, la dualité, sur laquelle de savans géomètres ont déjà écrit, mais sans remonter, malgré les vues très-philosophiques qu'ils ont apportées dans cette partie de la Géométrie, à son principe primordial, indépendant de toute doctrine particulière.
c.r.ct«p.rt1e»i»rd. 8 35. Nous .liions tout de suite faire concevoir, par quelques rén,r»,f,^». "flexions sur la nature de ce principe de transformation, et sur la théorie des polaires réciproques , comment il offire une plus grande généralité que cette théorie.
Les figures considérées dans ce genre de transformation, ont entre elles une concordance, ou réciprocité, qui consiste eu ce que à chaque point de la figure proposée correspond un plan dans sa dérivée, et réciproquement à chaque point de celle-ci correspond un plan dans la figure proposée. Cela résulte d'une seule et unique condition dans la construction de la seconde figure savoir, que : tous les plans qui, dans cette figure, correspondent à des points de la proposée, situés sur un même plan , doivent passer nécessairement par un même point. Voilà comment un point de la seconde figure répond à un plan de la première.
Cette condition , qui constitue à elle seule la doctrine de transfor-
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mation dont nous parlons, parce qu'elle la distingue d'une infinité d'autres modes de transformation, dans lesquels des plans correspondent à des points, ou bien des points à des plans, mais où ces deux circonstances n'ont pas lieu en même temps; cette condition, dis-je, se trouve remplie dans la théorie des polaires, où l'on sait que tous les plans polaires des points d'un même plan passent par un même point, (ou en d'autres termes, quand des cônes circonscrits à une surface du second degré ont leurs sommets sur un même plan, les plans de leurs courbes de contact avec la surface passent par un même point). Voilà pourquoi la théorie des polaires offre un moyen de transformation des figures, et met en évidence la dualité de l'étendue.
Mais cette théorie offre une circonstance particulière; c'est que le point par où passent les plans polaires des points de la première figure qui sont situés sur un même plan, a lui-même pour plan polaire ce plan. De sorte que la première figure se construirait au moyen de la seconde, absolument de la même manière que cette seconde a été construite au moyen de la première. Ainsi, il y a réciprocité parfaite, ou plutôt identité parfaite de construction entre les deux figures.
La théorie des polaires ayant été jusqu'à ce jour le seul moyen employé pour la transformation des figures, on pourrait croire qu'elles doivent leur concordance, ou réciprocité de formes , dont nous parlions tout à l'heure, à l'identité de construction qui a lieu dans cette théorie des polaires. Ce serait une erreur grave. Cette identité de construction est une propriété accidentelle, particulière aux figures que produit la théorie des polaires, et qui se présente aussi dans d'autres modes de transformation ; mais ce n'est point elle qui donne lieu à la dualité de l'étendue ; et en effet , elle n'existe point dans divers autres modes de transformation, et notamment dans celui qui, comme nous le ferons voir, comprend tous les autres comme corollaires, ou cas particuliers. Aussi nous ne ferons aucun usage de cette identité de construction , et nous l'écarterons de l'exposition de notre doctrine de transformation, comme y étant étrangère, et ne s'y rencontrant que par circonstance particulière et accidentelle.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
ca»cwr.r..cui.«r«ir S 36. Dans le mode de transformation par voie de mouvement inû- (r.n>rorm>l niment petit, il y a identité de construction, comme dans la théorie des polaires : c'est-à-dire, que les plans normaux aux trajectoires des points d'une première figure enveloppent une seconde figure, qui est telle, que si elle eût été construite, et qu'elle eût éprouvé le même mouvement que la première, les plans normaux à ses trajectoires envelopperaient la première figure.
Une pareille réciprocité a lieu aussi dans les figures faites par l'emploi d'un système de forces.
Mais il n'en est plus de même dans les transformations faites par la considération de l'angle trièdre. Si un point parcourt une figure donnée, le plan déterminé comme nous avons dit, au moyen de l'angle trièdre, enveloppera une seconde figure qui sera la dérivée ou transformée de la première. Mais si le point parcourt cette seconde figure, le plan mobile n'enveloppera point , comme dans la théorie des polaires et dans la transformation par voie de mouvement infiniment petit, la première figure ; il en enveloppera une troisième toute différente. Dans le cas particulier seulement où les trois sommets du triangle seraient situés dans les plans des faces de l'angle trièdre, il y aurait identité , c'est-à-dire , que la troisième figure ne serait autre que la première.
Dans le mode de transformation des figures planes fourni par le porisme d'Euclide, il ne peut jamais y avoir identité de construction. Ainsi, quand le point mobile parcourt une figure proposée, sa droite correspondante, ou dérivée, enveloppe une seconde figure; mais si le point mobile parcourt cette seconde figure, sa droite dérivée en enveloppera une troisième qui sera différente de la première.
Mais on peut toujours substituer au mode de construction employé pour former la seconde figure au moyen de la première, un autre mode, qui servira à construire cette première au moyen de la seconde. Dans des cas particuliers, tels que ceux que présentent la théorie des polaires, le mouvement infiniment petit de la figure proposée, etc., ces deux moyens de construction, qui généralement sont différens, se trouvent être les mêmes. Nous donnerons les relations générales qui
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
ont lieu entre ces deux modes de construction, de manière à conclure toujours l'un de l'autre.
§ 37. Nous sommes entré dans des considérations, peut-être trop La tinrent do polaires développées, pour bien pénétrer le lecteur de cette idée, que la dualité j};»^;;™' u™'° ,c de l'étendue ne provient nullement des circonstances de construction qui avaient semblé, dans la tbéorie des polaires réciproques, faire le caractère distinctif des modes de transformation propres à mettre cette dualité en évidence.
Il résulte aussi de ces considérations, que la théorie des polaires réciproques n'est pas le mode de transformation le plus général. Mais si c'eut été la seule vérité que nous eussions voulu mettre en évidence, il nous aurait suffi de dire que, dans le mode général, qui comprend tous les autres, on peut, pour construire la figure corrélative d'une figure proposée, prendre arbitrairement dans l'espace cinq plans comme correspondant à cinq points désignés de la première figure; tandis que dans la théorie des polaires réciproques, deux figures corrélatives ont entre elles des dépendances beaucoup plus restreintes. Car si l'on y considère deux tétraèdres dont les sommets de l'un correspondent aux plans du second, les quatre droites qui joindront les sommets du premier respectivement aux sommets du second , opposés aux plans qui correspondent aux quatre sommets du premier, ces quatre droites, dis-je, seront toujours quatre génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe
Les autres modes de transformation offrent pareillement quelques dépendances particulières de situation entre les figures et leurs transformées, mais qui sont différentes de celle que nous venons d'énoncer pour les figures polaires réciproques.
• Cela proTient de ce que h» droites qui joignent le* quatre sommets d'un tétraèdre aux pôle* de» faces opposées , pris par rapport à une surface du second degré quelconque , sont quatre géné~ ratrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe.
Ce théorème , que nous avons démontré dans les Annales de mathématiques, tom. XIX , pag. 76, e$t susceptible d'un grand nombre de corollaires. On en conclut , par exemple, qui; les quatre perpendiculaires abaissées des sommets d'un tétraèdre sur les faces opposées , sont quatre génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde.
HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE
Ainsi, dans la transformation par voie de mouvement infiniment petit, on trouve que deux droites quelconques, et leurs dérivées, sont toujours quatre génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde.
Tr,„.ror«.i»od«r^ § 38. Nous n'avons parlé jusqu'à présent que des relations de des- •efiUurn. cription et de situation entre les ligures et leurs transformées; mais il y a à considérer aussi leurs dépendances de grandeur métrique et angulaire. Ce seront ces dépendances qui serviront à traduire les théorèmes où entreront des relations de grandeur.
Ces dépendances générales de grandeur entre une figure et sa transformée reposent sur un principe très-simple qui n'a point été mis en usage dans la théorie des polaires; aussi, cette théorie, qu'on a appliquée d'une manière fort générale a la transformation des relations de description , ne l'a été que d'une manière restreinte aux relations de grandeur : d'abord parce qu'on ne lui a point soumis toutes les relations auxquelles elle était propre, et ensuite parce que, faute du principe dont nous parlons, il a fallu prendre deux cas particuliers de cette théorie pour opérer la transformation d'une relation de grandeur. On a pris pour surface auxiliaire, ou une sphère, ainsi que l'a fait, le premier, M. Poncelet dans son Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques l, et ensuite M. Bobillier 3 ; ou un paraboloïde, comme nous l'avons proposé dans nos deux mémoires sur la Transformation parabolique des relations métriques 3.
Les dépendances de grandeur, entre une figure et sa dérivée, ne sont pas les mômes dans ces deux modes de transformation. Elles consistent, dans le premier cas, en ce que l'angle de deux plans d'une figure est précisément égal à l'angle des rayons de la sphère auxiliaire qui aboutissent aux deux points correspondans à ces plans dans la seconde figure; et dans le second cas, en ce que le segment intercepté sur l'axe
' Journal de M. Crclle, toni. IV. Ce mémoire a été présenté à l'Académie de» «ciencei de Pari», le 12 avril 1824.
1 Annale* de mathématique* , tom. XVIII, ami. 1827-1828. * Corretpondance mathématique de M. Qaelelet , tom. V et VI.
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du paraboloïde auxiliaire par deux plans d'une figure , est égal à la projection orthogonale, faite sur cet axe, de la droite qui joint les deux points de l'autre figure qui correspondent à ces deux plans.
Ces deux modes de transformation ont été appliqués l'un et l'autre, et avec la même facilité, à toutes les relations qui se présentent dans la théorie des transversales. Le premier l'a été de plus à quelques relations particulières d'angles, par exemple aux théorèmes de Newton et de Ma» 1. uni n sur la description organique des coniques et le second à plusieurs relations de distances rectilignes, particulièrement aux théorèmes de Newton sur les courbes géométriques, ce qui nous a conduit à un genre tout nouveau de propriétés de ces courbes \
S 39. Outre cette différence entre les dépendances générales de grandeur, ces deux modes de transformation différent encore l'un de l'autre par les relations descriptives, qui leur donnent à chacun quelque chose de particulier et de restreint.
Par exemple, quand on emploie une sphère pour surface auxiliaire, s'il se trouve une autre sphère dans la figure qu'on veut transformer, il lui correspondra dans la nouvelle figure une surface du second degré de révolution ; on n'aura donc point les propriétés générales d'une surface du second degré quelconque.
Pareillement , quand on prend pour surface auxiliaire un paraboloïde, si l'on a à transformer les propriétés d'une figure où entre un ellipsoïde , il lui correspondra toujours dans la seconde figure un hyperboloïde, et jamais un ellipsoïde. Mais ce n'est pas ce manque de généralité qui offre le plus d'inconvéniens. C'est que toutes les droites qu'on peut considérer dans la figure proposée comme étant situées à l'infini, auront leurs dérivées, dans la seconde figure, toutes parallèles à l'axe du paraboloïde , et par conséquent concourantes en un point
• Mémoire de M. Poncclet, sur les polaires réciproques.
2 Nous citerons , par exemple, le théorème suivant, qui appartient à ce nouveau genre de propriétés des courbes : Si l'on mine à une courbe géométrique toutes te» tangentes parallèles à une droite quelconque, le centre des moyennes distances de leurs points de contact sera un point unique, quelle que soit la direction commune des tangentes. Nous avons appelé ce point le centre de la courbe. La même propriété a lieu dans les surfaces géométriques.
To». XI. 30
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situé à l'infini. On aura donc une propriété de différentes droites parallèles entre elles ; tandis que si l'on avait pris une autre surface auxiliaire, on aurait eu la propriété correspondante pour des droites concourantes en un même point.
Il est vrai que l'on peut, par une autre voie (et c'est l'objet des méthodes comprises dans notre seconde division), appliquer les propriétés de la sphère aux autres surfaces du second degré, et les propriétés d'un système de droites parallèles entre elles à des droites concourantes en un même point; mais il y aurait à faire deux opérations graphiques ou intellectuelles au lieu d'une.
S 40. Au surplus, sauf quelques cas particuliers, où les relations de description ou de grandeur d'une figure sont trop restreintes pour qu'on emploie le principe de transformation général et absolu, que nous exposerons dans cet écrit, ce principe offrira presque toujours, notamment en ce qui concerne les relations métriques, outre l'avantage d'une plus grande généralité dans les résultats, celui d'une application plus facile et plus spontanée que celle d'aucune méthode particulière.
Sous ce rapport, ce principe de transformation et le principe de déformation qui remplacera les diverses méthodes comprises dans notre seconde division, appliqués dans leur plus grande généralité, et de la manière la plus abstraite, nous paraîtront justifier ce précepte de l'illustre auteur de la Mécanique céleste : « Préférez les méthodes » générales, attachez-vous à les présenter de la manière la plus simple, n et vous verrez en même temps qu'elles sont presque toujours les » plus faciles 1 ; » auquel 31. Lacroix a ajouté, avec l'autorité que lui donnent dans les sciences sa grande expérience et son profond savoir, que « les méthodes générales sont aussi les plus propres à faire con- )> naître la vraie métaphysique de la science »
§ 41. La Géométrie s'est accrue, depuis une trentaine d'années, de propositions, et même de théories nouvelles, si nombreuses et si va-
1 Séances des écolet normale»; in-8", 1800; loin. IV, pag. 49. 3 Essais sur l'enseignement; 3* édition, in-8», 1828.
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riées, que nous avons dû, dans notre aperçu de ses progrès pendant cet intervalle, nous borner à y distinguer les méthodes principales, à en montrer l'origine, la nature et les usages en Géométrie rationnelle.
Une analyse plus étendue de tant de travaux, sur lesquels reposent dans ce moment les progrès virtuels et l'avenir de la Géométrie, serait incontestablement d'une grande utilité, mais exigerait un volume, et dépasserait de beaucoup les limites que nous devons observer ici.
Cependant, nous ne pouvons nous dispenser de signaler, parmi tant d'autres, deux doctrines, qui, sous des rapports différens, nous paraissent d'une importance majeure pour le perfectionnement de la Géométrie spéculative , et pour ses applications aux questions des phénomènes physiques, ^ous voulons parler de la théorie des surfaces du second degré, et de la Géométrie de la sphère, c'est-à-dire, de la doctrine des figures tracées sur la sphère.
Cette dernière est si ancienne, et les surfaces du second degré paraissent un sujet si rebattu, depuis surtout quelques années, que l'on ne pense pas, peut-être, qu'il reste grand'chose à faire sur ces deux objets, et qu'ils méritent l'importance que nous voulons leur donner. Nous devons donc nous empresser de justifier notre opinion, pour prévenir le sentiment d'incrédulité que nous craignons qu'elle ne rencontre chez plusieurs des géomètres qui nous feront l'honneur de nous lire.
$ 42. La Géométrie de la sphère a une haute antiquité; elle a pris c«>mcirtedCuivi.«* naissance le jour où l'astronome philosophe a voulu découvrir la chaîne qui lie les phénomènes du monde planétaire. Ainsi , nous avons vu qu'Hipparquc, Théodose, Ménélaus, Ptolémée, ont été très -avant dans la trigonométrie sphériquc. Mais toute cette théorie se réduisait au calcul des triangles; et si, depuis, elle s'est étendue, et a atteint entre les mains de nos plus célèbres géomètres, un haut degré de perfection, c'a été en conservant toujours à peu près le môme cadre, parce qu'elle avait toujours la même destination, le calcul des triangles pour le service de l'astronome et du navigateur, et pour les grandes opérations géodésiques qui ont fait connaître la véritable forme du globe terrestre. Mais cette doctrine, qui répond à peu près à celle des
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lignes droites et des triangles dans la Géométrie plane , ne constitue point à elle seule la Géométrie de la sphère. Combien d'autres figures, à commencer par la plus simple , le cercle , ne peut-on pas considérer sur cette surface courbe , à l'instar des figures décrites sur le plan ?
Il n'y a pourtant guère qu'une quarantaine d'années que cette extension si naturelle a été introduite dans la Géométrie de la sphère. C'est aux géomètres du nord qu'elle est due. Car si nous en exceptons la théorie des épicycloïdes sphériques, et quelques questions isolées, telles que celle des courbes que Guido Grandi a appelées délies, nous ne voyons guère que l'on ait cherché à résoudre sur la sphère les questions analogues à celles de la Géométrie plane, avant Lexell, qui, dans les Actes de Pétersbourg (tom. V et VI), a recherché les propriétés des cercles décrits sur la sphère , analogues à celles des cercles décrits sur le plan. C'est à ce géomètre qu'on doit l'élégant théorème sur la courbe qui est le lieu des sommets des triangles sphériques de même aire et de même base.
Peu après, son compatriote Fuss, dans deux mémoires qui font partie des Nova acta (tom. II et III), résolut quelques problèmes de la Géométrie de la sphère, et s'occupa particulièrement des propriétés d'une certaine ellipse sphérique. C'est la courbe qui est le lieu des sommets des triangles de même base et dont la somme des deux autres côtés est constante. Fuss trouva que cette courbe est l'intersection de la sphère par un cône du second degré, qui a son sommet au centre de la sphère : en d'autres termes, c'est la ligne de courbure des cônes du second degré '.
Ces premiers travaux de Lexell et de Fuss ne tardèrent point à être continués dans les recueils de la même Académie3, par Schubert, que nous avons déjA cité comme ayant assis toute la trigonométrie sphé-
1 Cette courbe se décrit sur la sphère , comme l'ellipse sur le plan , au moyen d'un fil dont les extrémités sont fixées à deux foyers , et qui est tendu par un stylet mobile. Les formates analytiques dont Fuss fait usage le conduisent à ce résultat remarquable, savoir, que si la longueur du fil est égale à la demi-circonférence de la sphère, la courbe décrite est toujours un grand cercle, quelle que suit la distance des deux foyers.
2 Aora acta, tom. XII, ann. 1794, pag. 196.
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rique sur le seul théorème de Ptolémée. Ce géomètre résolut plusieurs questions sur les lieux géométriques des sommets de triangles qui ont même base, comme dans les problèmes de Lexell et de Fuss, mais dont les deux autres côtés ont entre eux diverses autres relations nouvelles.
Ce genre de recherches, qui promettait une moisson abondante de vérités nouvelles et curieuses, est pourtant resté à peu près inaperçu, à tel point que l'élégant théorème de Lexell, bien qu'il ait été reproduit par M. Legendre dans les nombreuses éditions de sa Géométrie , n'avait point fait soupçonner l'existence du théorème analogue, et non moins curieux, que donne la théorie des figures supplémentaires. Ce n'est que dans ces derniers temps que AI. Sorlin y est parvenu directement, dans un mémoire sur la trigonométrie sphérique, où la dualité, c'est-à-dire , les doubles propriétés des figures tracées sur la sphère sont présentées dans une concordance complète \ Ce n'est aussi qu'il y a peu d'années, que V ellipse sphérique de Fuss a été remise sur la scène par M. Magnus de Berlin, qui, après avoir découvert et démontré directement, par l'analyse, la propriété correspondante dans le cône, en conclut celle de cette ellipse. Mais ce géomètre en découvrit une seconde, non moins belle, et analogue aussi avec l'une des principales propriétés de l'ellipse plane; c'est que les deux arcs de grands cercles menés des deux foyers, à un point de la courbe, font des angles égaux avec l'arc tangent en ce point \
S 43. Quelques autres géomètres avaient déjà, quelques années auparavant, résolu différentes questions de la Géométrie de la sphère, et cherché leurs analogies avec celles de la Géométrie plane. Ainsi M. Lhuillier, de Genève, a trouvé dans les triangles sphériques rectangles, les théorèmes analogues aux principales propriétés des triangles rectilignes rectangles, telles que le carré de l'hypothénuse1; et déterminé le centre des moyennes distances d'un triangle sphérique *. M. Ger-
1 Ânnalt» de Mathématiquee , tom. XV, onn. 1824-1825.
* Ibid., tom. XVI.
* Ibid., loin. I",ann. 1810-1811.
* Ibid., tom. Il, ann. 1811-1812.
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gonne a proposé dans les Annales de Mathématiques > plusieurs questions de Géométrie sphérique, qui avaient aussi leurs analogues sur le plan; nous citerons entre autres, cette belle propriété du quadrilatère sphérique, qui lui est commune avec le quadrilatère rectiligne , savoir que quand la somme de deux côtés opposés est égale à la somme des deux autres côtés, le quadrilatère est circonscriptible au cercle \ Depuis, ML Guéneau d'Aumont, professeur à la faculté des sciences de Dijon, a découvert dans les quadrilatères sphériques inscrits au cercle, cette propriété caractéristique, qui correspond dans la théorie des figures supplémentaires au théorème de M. Gergonne, savoir que la somme de deux angles opposés du quadrilatère est égale à la somme des deux autres angles *; propriété qui sera nécessairement l'une des principales dans les élémens de la Géométrie de la sphère , comme exprimant une relation simple et féconde entre quatre points appartenant à un petit cercle. M. Quetelet a considéré sur la sphère des polygones formés par des arcs de grands ou de petits cercles indifféremment, et a donné pour le calcul de leurs surfaces, une formule simple et élégante 3 : question qui avait déjà à plusieurs reprises occupé les géomètres; d'abord le P. Courcier *, dont nous avons parlé comme ayant écrit sur certaines courbes a double courbure; puis D'Àlembert 5 et Bossut 6, qui y avaient appliqué les ressources de l'analyse, et pour qui cette question avait été une preuve que la Géométrie pure offre souvent une voie plus facile et plus expéditive que le calcul le plus ingénieux et le plus subtil.
S 44. Nous n'apercevons, jusqu'ici, que quelques propositions détachées, fort belles, et bien capables d'inspirer le goût de la Géométrie de la sphère, mais qui n'annoncent point encore une étude
' Énoncée à la pag. 384 du tom. V, et démontrée par M. Durande , à la pag. -19 du loin. VI.
2 Annale» de Mathématique» , tom. XII , ami. 1821-1022.
3 Nouveaux Mémoire» de V . 4 endémie de Bruxelles, tom. Il , ann. 1822.
* Supplementum Mphœrometriœ, tire triangularium et aliarum in tphœra figurarum quoad area* mensuratio. 1670.
5 Mémoire» de la tociélé royale de Turin, tom. IV, pag. 127; ann. I76G-I7u'9. ■ Traité de calcul» différentiel et intégral, loin. Il , png. !>22.
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méthodique et suivie de cette partie de la science de l'étendue. Ce n'est que dans ces derniers temps qu'on a entrepris de fonder les théories de la sphère à l'instar de celles de la Géométrie du plan. M. Steiner, je crois, est entré le premier dans cette voie, par la publication de son mémoire intitulé : Transformation et division des figures sphériques au moyen de constructions graphiques 1 ; qui repose sur l'élégant théorème de M. Guéneau d'Aumont, que nous venons de citer. M. Steiner y démontre la proposition qui correspond, par la théorie des figures supplémentaires, au théorème de Fuss sur l'ellipse sphérique a; et reconnaît dans ces courbes deux arcs de grands cercles qui y jouent le rôle des asymptotes dans l'hyperbole plane. (Ce sont les deux arcs que nous avons nommés arcs cycliques dans notre mémoire sur les coniques sphériques, et auxquels nous étions parvenu de notre côté par la considération des plans des sections circulaires d'un cône du second degré).
Nous ne pouvons entrer dans d'autres détails au sujet du travail de M. Steiner, écrit en allemand, et que nous ne connaissons que par l'analyse qui s'en trouve dans le Bulletin universel des sciences, tom. VIII, pag. 298. C'est ainsi que nous citerons encore M. Guderniann, comme ayant fait aussi une étude spéciale et approfondie de l'analogie des figures sphériques avec les figures planes 3.
1 Journal de M. Crcllc, tom. II.
2 Cette proposition est celle-ci : l'enreloppe des base* des triangle» qui ont môme turface et un angle commun, est une ellipse sphèrique. Nous croyions, quand nous avons aussi démontré cetteproposition, d'abord dans notre mémoire sur les surfaces du second degréde révolution, puisdans un écrit spécial sur les coniques sphériques, y être parvenu le premier, ne connaissant point alors l'analyse du mémoire de M. Steiner, qui se trouve dans le Bulletin de» science». Sans cela , nous n'aurions point manqué de citer le travail de ce profond géomètre, avec lo mémo empressement que nous avons mis à rappeler, en plus d'une occasion, celui de M. Magnus, sur même sujet.
1 Le Bulletin de» teiencet ( tom. XV, pag. 78 , février 1831 ) s'exprime ainsi , dans le compte rendu du tom. VI du Journal de M. Crelle : « M. Gudermann expose quelques théorèmes qui " se rattachent à une théorie nommée par lui la tphèrique analytique , théorie dont il a exposé • les principes dans un écrit publié récemment à Cologne. Il s'agit de passer par la voie de » l'analogie des propriétés des figures planes, à celles des figures tracées sur la surface d'une ' sphère , et rapportées a un système de coordonnées sphériques. %
