ÏO

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

S 45. Ainsi la Géométrie de la sphère est commencée d'une manière régulière et dogmatique; et les noms des géomètres qui l'ont entreprise nous garantissent des progrès rapides dans cette partie de la science de l 'étendue. On ne contestera point l'utilité théorique de pareilles recherches. Il nous suffit, je crois, pour la prouver, de faire remarquer que la Géométrie plane n'est qu'un cas particulier de la Géométrie de la sphère, où l'on suppose le rayon infini; qu'ainsi toutes les vérités principales de la première doivent participer aux propriétés plus générales de la seconde : et il est toujours utile de contempler les vérités géométriques dans leur plus grande étendue, dans leur plus grande généralité, dans leur plus grande approximation, pour ainsi dire, des lois suprêmes, dont la recherche doit être l'objet constant des efforts des géomètres. Elles ont, dans cet état de généralité, des rapports et des analogies qu'on ne rencontre point dans leurs corollaires, et qui en montrent l'enchaînement, et servent à s'élever plus haut et h découvrir des principes généraux , dont les traces étaient effacées ou inaperçues dans les propositions plus circonscrites et plus particulières. La Géométrie de la sphère, ne fut-elle donc considérée que comme mode de généralisation des propriétés des figures planes, et indépendamment de son caractère et de sa valeur propres et absolus, mériterait l'attention et l'étude des géomètres. Car, et nous l'avons déjà dit ailleurs dans l'état où est parvenue la Géométrie, la généralisation est le moyen le plus propre à nous conduire à de nouveaux progrès et à de nouvelles découvertes. Cette manière de procéder dans l'étude de la science doit présider aux travaux du géomètre 2. s0rr.«« S 46. Il nous reste, pour terminer notre aperçu de la marche et des

progrès de la Géométrie récente, à parler de l'une de ses théories particulières les plus importantes et les plus cultivées, celle des surfaces du second degré.

1 Chap. 111,550.

3 « Un aperçu de la science Tëritablement utile est celui qui ne Toit, qui ne cherche dans les progrès qu'elle fait chaque jour, que les moyens d'arriver a des lois générales , de renfermer les notions acquises dans des généralisations d'un ordre plus élevé. » ( llersclt I , Discourt sur l'étude de la philosophie naturelle.)

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

Les Anciens ne nous paraissent avoir connu, parmi ces surfaces , outre le cône et le cylindre, que celles qui sont de révolution, et qu'ils appelaient sphéroïdes et conoides1: et jusqu'à Euler on n'avait point conçu dans l'espace d'autre analogie avec les courbes planes si fameuses, nommées sections coniques. Mais ce grand géomètre, transportant aux surfaces courbes la méthode analytique qui lui avait servi à la discussion des courbes planes 2, découvrit dans l'équation générale du second degré entre les trois coordonnées ordinaires, cinq espèces différentes de surfaces3, dont les sphéroïdes et les conoïdes des Anciens n'étaient plus que des formes particulières. Euler borna son travail à cette classification. C'était une introduction suffisante pour dévoiler aux géomètres le vaste champ de recherches que leur présentait cette théorie des surfaces du second degré.

Monge et son collègue, 31. Hachette, en comprirent toute l'importance , et découvrirent dans une nouvelle discussion analytique de ces surfaces, plus profonde et plus complète que celle d'EuIcr, plusieurs de leurs propriétés principales. On y remarque leur double description par un cercle mobile , qui était connue depuis Desargues * dans le cône à base conique, mais qui n'avait été aperçue, depuis, que dans l'ellipsoïde, par d'Alembert 5 : on y trouve aussi, pour la première fois, la double génération de deux de ces surfaces , l'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique, par une droite mobile 6. Dans une

1 II faut excepter l'hyperboloïde de révolution à une nappe que les A nciena n'ont pas considéré. ■ Introductio in analynin infinitorum , 2 vol. in-4", 1748; Appendice, cap. V.

3 Euler avait indiqué un sixième genre de surfaces du second ordre, c'était le cylindre parabolique; mais depuis on a regardé cette surface, de même que les cylindres à base elliptique et hyperbolique, comme des variétés des cinq espèces principales.

4 Nous avons dit eu parlant de Oesargues, que ce fut ce géomètre qui proposa la question de couper un cone à base conique suivant un cercle, qui fut résolue par lui et par Descartes.

1 Opuscules mathématiques , tom. VU , pag. 163.

6 Cette découverte, l'une des plus importantes de la théorie des surfaces du second degré, dont elle a multiplié les usages dans la Géométrie descriptive et dans ses applications aux arts, est due aux élèves chefs de brigade, qui ont formé le noyau de l'école polytechnique. [Voir le Journal de l'école , tom. I", pag. 8.)

Cette propriété do l'hyperboloïde ne fut démontrée d'abord , et pendant long-temps, que par l'analyse. J'en trouvai , étant élève de l'école polytechnique, une démonstration purement

Toi. XI. 31

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTME

Note placée à la suite de ce Traité des surfaces du second degré, se trouve démontrée, pour la première fois, l'une de leurs plus belles propriétés, à savoir que les trois surfaces douées d'un centre, l'ellip-

géométrique , qui a passe dans l'enseignement de l'école , et a été reproduite dans dirent ouvrages. {Voir le Traité de Géométrie descriptive de M. Vallée , pag. 86; et celui de M. Leroy, professeur à l'école polytechnique, pag. 267.)

Cette démonstration repose sur ce Ihéorème : Étant donné un quadrilatère gauche A BCD , ri une droite mobile s' appuie $ur les deux côté* opposé» AB, CD, en deux points m, n, tels que l'on ait

m\ nD

n étant une constante, cette droite engendrera un hyperboloîde à une nappe. Car elle s'appuiera dans toutes ses positions sur toute autre droite qui rencontrerait les deux autres côtés opposés du quadrilatère en deux pointa », q, tels que l'on ait

q[) ' pC

(Voir Correspondance polytechnique, tom. Il , pag. 446.)

La démonstration de ce théorème est très-facile , puisqu'elle n'exige que la connaissance du théorème de Ptolémée , sur le triangle coupé par une transversale. ( Correspondance polytechnique, tom. III, pag. 6). Depuis, la théorie du rapport anharmonique m'en a offert une seconde démonstration , encore plus simple et plus élémentaire , qui ne repose absolument que sur la notion du rapport anharmonique. {Voir la Note IX.)

Ce théorème s'applique aussi à la génération des sections coniques et exprime une belle propriété générale de ces courbes. ( Voir la Corresp. mathém. de M. Quetelet, t. IV. p. 363).

En disant que la double génération de l'hyperboloïde à une napjKJ prit naissance dans l'école polytechnique, nous n'entendons parler que de l'hyperboloïde a axes inégaux ; et nous devons ajouter que la double génération, par une droite, de l'hyperboloïde à une napp>; de révolution, était connue, mais peut-être oubliée, car sa découverte date de loin, et a été reproduite rarement. Nous trouvons qu'elle est due à Wren , qui la lit connaître dans une note très-courte, insérée dans les Transactions philosophiques (année 1669, pag. 961), sous le titre : Genc ratio corporis cylindroidis hyperbolici , elaborandis lent t bu s hyberbolicit accomodati. Wren indique l'usage qu'on pourra faire de ce mode de génération par une droite , pour la construction de lentilles hyperboliques.

En 1698 , Pareut a aussi trouvé cette propriété de l'hyperboloïde de révolution , qu'il a démontrée dans deux mémoires différons ; par l'analyse et par de simples considérations de Géométrie. {Essais et Recherches de mathématiques et de physique, tom. U, pag. 648, et tom. III, pag. 470.) Cette propriété, que n'ont pas les autres surfaces produites par la révolution d'une conique autour d'un de ses axes principaux , fait dire à Parent que l'hyperboloïde à une nappe est la plus complète de ces surfaces, puisqu'on y peut faire six sections différentes , savoir : l'espace parallèle , l'angle rectiligne , le cercle , la parabole , l'ellipse et l'hyperbole. Ce géomètre appelle cette surface cylindroîd» hyperbolique, de même que Wren, et se sert aussi de sa propriété d'être engendrée par une droite,

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

soïde et les deux hyperboloïdes ont toujours un système de trois diamètres conjugués rectangulaires 2.

S 47. Depuis, les élèves de Monge ont cultivé avec succès la théorie des surfaces du second degré, et ont poussé très-loin la recherche de leurs propriétés : d'abord de celles qui ne concernent que la constitution propre de chaque surface prise isolément, et considérée dans ses relations seulement avec les êtres géométriques plus simples qu'elle, le point, la droite et le plan; et ensuite de celles qui naissent de la comparaison de deux ou plusieurs surfaces entre elles. Et ce fut encore Monge qui fit les premiers pas dans ces recherches plus compliquées. Mais nous ne pouvons entrer dans le détail de toutes ces découvertes, quelqu'attrait qu'il dût nous présenter. Elles se lient tellement à toutes les recherches géométriques qui ont eu lieu depuis trente ans , que nous tomberions, malgré nous, dans une prolixité que nous devons nous efforcer d'éviter. Nous indiquerons, pour suppléer à notre silence sur ce sujet, les passages où M. Ch. Du pin, en analysant les travaux de Monge en Géométrie analytique, a rappelé les services de ses élèves; et l'introduction du Traité des propriétés projectives, où M. Poncelet, avec un soin minutieux et bien louable, a signalé la priorité que d'autres pouvaient avoir sur une partie des vérités géométriques qui devaient découler naturellement de ses nouvelles doctrines.

g 48. Malgré l'importance des progrès qu'a faits la théorie des surfa- pror*, §m u u.*™ ces du second degré, nous devons ajouter qu'ils ne sont qu'une mince partie de ceux dont elle nous parait encore susceptible. On le concevra en jetant un coup d'œil sur les propriétés principales des coniques,

pour la construction, »ur le tour, des meules hyperboliques propres à la dioptrique.

Sauveur avait aussi démontre cette propriété do l'hypcrboloïdc de révolution , ainsi que plusieurs autres propositions concernant les volumes et les surfaces des conoïdes, dont Parent avait communiqué les énoncés à ce géomètre. (Emois et Recherches de mathématique» et de physique, tom. III , pag. 826. )

1 Nous regardons le cone du second degré comme un cas particulier des hyperboloïdes , de même qu'en Géométrie plane on regarde le système de deux lignes droites comme une forme particulière, ou limite, de l'hyperbole. C'est pourquoi nous ne mettons pas la surface conique au nombre des surfaces principales douées d'un centre.

- Voir le 11» cahier du Journal de l'école polytechnique, pag. 170.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

dont nous ne connaissons point encore toutes les propriétés analogues dans les surfaces du second degré. Ces propriétés analogues cependant existent; ne fût-ce que pour donner, comme corollaires, en supposant que la surface perde une de ses dimensions et se réduise à une conique , les propriétés de ces courbes. Non-seulement les surfaces du second degré doivent présenter tous les phénomènes que nous offrent les coniques, mais on y eu doit trouver beaucoup d'autres, qui sont dus à leur forme plus complète, à leurs trois dimensions, et qui disparaissent avec l'une de ces dimensions : tels sont ceux, par exemple, qui concernent ces lignes de courbure , que Monge a fait connaître le premier, et dont MM. Binet et Dupin ont trouvé ensuite d'admirables propriétés \

En nous bornant à celles des propriétés des surfaces du second degré que la simple analogie avec les coniques doit nous faire soupçonner, nous indiquerons , par exemple, les foyers de ces courbes, qui sont la source d'une partie de leurs plus belles et plus importantes propriétés. Ces points se retrouvent dans trois des surfaces de révolution (l'ellipsoïde alongé, Thyperboloïde à deux nappes et le paraboloïde) , où M. Ch. Dupin leur a reconnu aussi des propriétés précieuses, eu théorie, et pour l'explication de certains phénomènes physiques \ C'était là certainement une indication que quelque chose de semblable, et de plus général, devait se trouver dans toute surface du second degré; mais je ne sache pas que Ton ait encore cherché ce que cela pouvait être.

Persuadé qu'une telle théorie, qui correspondrait dans les surfaces du second degré à celle des foyers dans les coniques, serait une source nouvelle de propriétés intéressantes, et très-utiles pour avancer dans la connaissance parfaite de ces surfaces, nous en avons fait l'objet de nos recherches. L'analogie que nous avions déjà suivie assez loin, entre les foyers des coniques et certaines droites dans les cônes du

1 M. Dupin e»l parvenu, entre autres beaux résultats, et par des considérations de pure Géométrie, à une description mécanique des lignes de courbure des surfaces du second degré. {Journal de l'école polytechnique , 14» cahier.)

2 Applications de Géométrie, in-4\ 18.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

deuxième degré nous mettait naturellement sur la voie des propriétés analogues dans les surfaces, en nous indiquant que c'étaient des courbes qui devaient y jouer le rôle de ces droites dans le cône, et de ces points dans les coniques. Nous donnerons dans la Note XXXI quelques résultats qui nous font supposer que nous avons rencontré l'analogie que nous cherchions. Nous comptons publier ce travail, mais nous en livrons, par avance, les élémens, désirant vivement que l'ouverture qu'ils donneront sur cet objet présente assez d'attrait pour provoquer d'autres efforts que les nôtres.

S 49. 11 est une autre question, d'où dépendent aussi les progrès futurs de la théorie des surfaces du second degré , et dont toute l'importance a été appréciée par l'Académie de Bruxelles. C'est celle de l'analogie qui doit exister entre quelque propriété de ces surfaces, encore inconnue, et le célèbre théorème de Pascal dans les coniques 2.

Ce théorème , abstraction faite des différentes transformations dont il est susceptible, et considéré uniquement sous la forme et l'énoncé qui lui sont propres, peut encore être envisagé sous deux aspects différons. On peut le regarder comme exprimant une relation générale et constante entre six points quelconques d'une conique, c est-a-dire un de plus qu'il n'en faut pour déterminer cette courbe ; ou bien comme exprimant une propriété générale d'une conique par rapport à un triangle tracé arbitrairement dans son plan \

D'après cela, on peut concevoir de deux manières, dans l'espace, l'analogue du théorème de Pascal. Ce sera, dans le premier cas, une propriété générale de dix points appartenant à une surface du second degré, c'est-à-dire un point déplus qu'il n'en faut pour déterminer une telle surface. Dans le second cas , ce sera une propriété générale résul-

* Mémoire de Géométrie, sur les cône» du second degré.

* Ce que nous allons dire du théorème de Pascal doil s'entendre aussi do celui do M. Briauchon , qui joue le même rôle dans la théorie des coniques.

* Ce triangle est fariné , par exemple , par les cotés de rang impair de l'hexagone considéré dans le théorème de Pascal ; et alors ce théorème exprime que trois des cordes comprises dans la conique entre les trois angles de triangle rencontrent respectivement les trois cotés opposés en trois points qui sont en ligne droite.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

tant du système d'une surface du second degré et d'un tétraèdre placé d'une manière quelconque dans l'espace.

La première question , qui devait être la plus utile à l'avancement de la théorie des surfaces du second degré , avait été proposée par l'Académie de Bruxelles (année 1825) : elle est restée sans solution. Au concours suivant, l'Académie a donné plus de latitude au géomètre, en demandant simplement le théorème analogue, dans les surfaces du second degré, à celui de Pascal dans les coniques; ce qui comprenait la première question, et laissait en même temps toute liberté sur la manière d'envisager le théorème de Pascal et l'analogie qui pouvait exister, sur ce point, entre les surfaces et les courbes du second degré.

Cette nouvelle question de l'Académie n'offrait point, comme la première, de grandes difficultés. Nous donnons dans la Note XXXII l'énoncé d'un théorème qui nous parait la résoudre. Car il exprime une propriété générale d'un tétraèdre et d'une surface du second degré, analogue à la propriété d'un triangle et d'une conique qu'exprime le théorème de Pascal. Mais il y a loin de ce théorème à la relation générale de dix points quelconques d'une surface du second degré; et la recherche de cette relation est bien digne d'occuper les géomètres. Sans doute que nous n'avons point encore tous les élémens nécessaires pour cette recherche; c'est une raison pour étudier sous tous les rapports, sous toutes les faces, les propriétés des surfaces du second degré. Aucune théorie, aucune découverte, quelque minime qu'elle paraisse d'abord, n'est à négliger; car, à défaut d'une application immédiate, chaque vérité partielle a au moins l'avantage d'être un anneau de la chaîne continue qui lie entre elles toutes les vérités de cette vaste théorie ; et ce simple anneau est peut-être un germe de grandes découvertes, que développeront rapidement les méthodes de généralisation de la Géométrie moderne.

«S 50. Peut-être ce serait une étude préparatoire utile pour parvenir à la relation de dix points d'une surface , de résoudre complètement et dans tous les cas possibles, le problème où il s'agit de construire une surface du second degré assujétic à neuf conditions, qui sont de

HISTOIRE DE LA GEOMETRIE

passer par des points et de toucher des plans. Ce problème mérite déjà par lui-même les efforts des géomètres. Cependant nous ne voyons encore que M. Lamé, jusqu'à ce jour, qui se soit occupé de l'un des cas généraux qu'il présente. Cet habile professeur a déterminé les élémens suffisans pour la construction de la surface du second degré qui doit passer par neuf points donnés '. Mais la discussion de sa solution générale, et l'examen de ses corollaires, et des cas particuliers qui s'y présentent, méritent de nouvelles recherches.

Peut-être encore serait-il utile, avant d'aborder sérieusement la question des dix points d'une surface du second degré, de chercher la relation générale qui a lieu entre neuf points appartenant à la courbe à double courbure du quatrième degré, qui est l'intersection de deux surfaces du second degré quelconques. Huit points dans l'espace déterminent une telle courbe, il doit donc y avoir une relation constante entre ces huit points et un neuvième, pour que ce dernier se trouve sur la courbe que déterminent les huit premiers.

Ou bien, faut-il encore chercher préalablement la relation qui a lieu entre sept points de la courbe à double courbure du troisième degré, qui est l'intersection de deux hyperboloïdes à une nappe, qui ont une génératrice droite commune , et qui est toujours déterminée par six points pris arbitrairement dans l'espace. Cette question n'offre pas les mêmes difficultés que les autres, et nous croyons l'avoir résolue. ( Voir la Note XXXIII).

Peut-être enfin, devrait-on, au lieu de prendre pour original et terme de comparaison le théorème de Pascal, faire les mêmes essais sur l'un des autres théorèmes qui expriment comme lui une propriété de six points d'une conique, et qui en sont ou des conséquences ou de simples transformations , comme nous l'avons fait voir dans la Note XV. Parmi ces théorèmes, nous avions pensé que celui que nous avons présenté comme expression différente de la propriété anharmonique des points d'une conique ( Note citée , art. 21), pourrait, au moyen de trois

1 Examen de» différente» méthode» employée» pour résoudre le» problème» de Géométrie} in-8".

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

transversales prises arbitrairement dans l'espace, conduire à la relation cherchée de dix points d'une surface du second degré. Nos premiers efforts ont été infructueux ; cependant nous fondons encore quelque espoir sur ce môme théorème, et nous désirons que l'on essaye d'en tirer quelque parti.

couri«.idoubi««>ur- § 61. Les courbes à double courbure du quatrième et du troisième

buiralei Iroiticme et j, . j y <». • » 11 il 17 • 1 I 1

<|U.ir»mr d«-gr<-.. degré, qui viennent de s onrir naturellement a 1 occasion de la grande question des dix points d'une surface du second degré, ont d'autres titres pour prendre place dans les recherches des géomètres. Ces courbes peuvent aussi, comme les surfaces du second degré, présenter dans l'espace certaines analogies avec les coniques; et il est une foule de questions dans lesquelles on les trouvera, quand on ne se bornera plus, dans les applications de la Géométrie, à la simple considération des coniques, et qu'on approfondira les questions plus difficiles qui se résolvent par des combinaisons de surfaces du second degré.

Les courbes dont nous parlons n'ont encore été que très-peu étudiées, et nous ne trouvons même que celles du quatrième degré, dont on ait donné quelques propriétés générales, qui sont dues à MM. Hachette, Poncelet et Quetelet.

M. ïlachette, les considérant comme l'intersection de deux cônes quelconques du second degré, a discuté les formes des courbes planes du quatrième degré que donne leur projection ou perspective sur un plan '.

H. Poncelet, dans son Traité des propriétés projeclives (art. 616), a démontré que, par la courbe du quatrième degré provenant de l'intersection de deux surfaces quelconques du second degré, on peut généralement faire passer quatre cônes du second degré.

EtcnGii, M. Quetelet a fait voir qu'en projetant sur un plan la courbe d'intersection de deux surfaces du second degré déterminées convenablement, on peut produire toutes les courbes planes du troisième

1 Corrttpondance tur l'école polytechnique , tom. I", pag. 3(58.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 249

degré Ce théorème , qui sera utile pour transporter aux courbes planes du troisième degré , certaines propriétés des courbes à double courbure du quatrième , et vice versa 3 , peut recevoir une sorte de généralisation qui en rendra souvent les applications plus faciles et plus étendues. On peut dire que la courbe d intersection de deux surfaces du second degré donne en perspective sur un plan, Fœil étant placé en un point de cette courbe, toutes les courbes du troisième degré.

§ 52. La belle proposition de M. Quetelet était de nature à faire supposer que la projection, ou plus généralement la perspective, de l'intersection de deux surfaces du second degré, pouvait aussi produire toutes les courbes planes du quatrième degré , et qu'il sufiisait pour cela de placer l'œil en dehors du périmètre de la courbe. Mais nous croyons pouvoir répondre négativement à cette question ; et déterminer, par le théorème suivant, la nature particulière des courbes du quatrième degré que produit la perspective de la courbe de pénétration de deux surfaces du second degré ; savoir, qu'une telle courbe a toujours (et généralement, c'est-à-dire sauf les modifications particulières) deux points doubles ou conjugués; lesquels peuvent être imaginaires.

Ce théorème mérite quelqu'attention. Car les conséquences qu'on en tire sont nouvelles, et répondent a des questions qui ont occupé les géomètres dans ces derniers temps.

On en conclut d'abord que la courbe du quatrième degré, qui provient de la perspective de l'intersection de deux surfaces du second degré, ne peut admettre plus de huit tangentes issues d'un même point, pris arbitrairement dans son plan ; tandis que la courbe plane du quatrième degré la plus générale admet douze tangentes issues d'un môme point.

1 Correspondance mathématique de Bruxelles, tom. V, pag. 198.

2 Par exempte, de ce qu'une courbe plane du troisième degré a généralement trois pointa d'inflexion , qui sont en ligne droite, on conclut que, \" par un point quelconque de la courbe à double courbure du quatrième degré , en quettion, on peut mener généralement troit plan* qui totem oiculdieur > a celle courue en iro%$ autres points, ei z cet trois point* et ceiut par lequel tont mené* le* troi* plan*, tont tout quatre dan* un même plan.

To». XI. 32

niSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

On conclut encore de là, que la développable circonscrite a deux surfaces du second degré, est généralement, et au plus, du huitième degré. On n'avait point encore indiqué le degré de cette surface ; M. Poncelet s'étant borné à dire qu'il ne pouvait dépasser le douzième

Les applications du théorème en question, à la théorie des courbes planes du quatrième degré , seront nombreuses ; car on rencontre beaucoup de ces courbes que l'on reconnaît provenir de la perspective ou de la projection de l'intersection de deux surfaces du second degré \

§ 53. Ayant à parler des courbes à double courbure du troisième et du quatrième degré, nous avons commencé par celles-ci, parce que nous croyons qu'elles sont les seules dont on se soit occupé jusqu'ici. Les premières cependant sont beaucoup plus simples et plus faciles à étudier. Nous avons trouvé qu'elles jouissent de diverses propriétés intéressantes, et qu'elles se présentent dans beaucoup de questions. Cette matière pourrait donner lieu à un ample développement que nous devons omettre ici.

' Mémoire sur la théorie générale de* polaireê réciproque», art. 103; Journal mathématique de M. Crellc, tom. IV.

2 Ainsi, par exemple, les ovales du Descartes, ou lignes aplanétiques , sont la projection stéréographique de la ligne de pénétration d'une sphère par un cône de révolution (Théorème de M. Quetelct, voir la note XXI). On conclura de là que ces célèbres ovales ont toujours deux points conjugués imaginaires situés à l'infini. Ce que l'on ne verrait peut-être pas par d'autres voies; car on a négligé jusqu'à présent, dans la recherche des points singuliers des courbes, les solutions imaginaires , et même aussi les points situés à l'infini , lesquels échappent souvent à l'analyse. Les uns et les autres cependant font partie des affections particulières des courbes, et doivent jouer un rôle important dans leur théorie.

Ainsi encore , les lemniscates Tonnées par les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point fixe sur les tangentes d'une conique, sont les projections stéréographiques de l'intersection d'une sphère et d'un cone du second degré ( Théorème de M. Dandclin; voir le 4* vol. des Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles) ; on en conclut que ces courbes ont deux points conjugués imaginaires h l'infini. On sait qu'elles ont un troisième point double ou conjugué toujours réel , qui est le point par où l'on mené les perpendiculaires; on conclut de là que ces courbes admettent seulement six tangentes issues d'un même point. D'autres considérations de Géométrie plane m'ont encore conduit à ce résultat.

Beaucoup d'autres courbes du quatrième degré ont pareillement des points conjugues imaginaires situés n l'infini. Telles sont les spiriques ou sections planes de la surface annulaire ; la cassinoïde, etc., etc.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

Nous nous bornerons a dire que la perspective des courbes à double courbure du troisième degré, ne donne point toutes les courbes planes du troisième degré, mais seulement celles qui ont un point double, ou conjugué, ou de rebroussement.

S 54. Nous ne pousserons pas plus loin ces considérations sur la otatf*i>tWo**d« théorie des surfaces du second degré, et sur celle des courbes à double courbure qui naissent de leur intersection. Ce que nous venons de dire montre assez combien l'une et l'autre sont susceptibles d'accroissement, et quel vaste champ de recherches nouvelles elles présentent encore aux géomètres. Recherches que nous regardons comme indispensables pour assurer les progrès ultérieurs de la Géométrie, et ceux des sciences qui naissent du concours de la Géométrie et de la physique.

La Géométrie, en effet, est soumise comme toutes nos autres connaissances positives, à cette condition qui géuc l'esprit humain, de ne marcher d'un pas sûr que progressivement, et toujours du simple au composé : et, de même que les sections coniques ont été dans la Géométrie plane les courbes les plus simples qu'il nous a fallu étudier et approfondir avant de nous élever à de plus hautes conceptions, les surfaces du second degré sont pareillement, dans la Géométrie à trois dimensions, les objets les plus simples qui doivent nous servir d elémens indispensables pour pénétrer plus avant dans la connaissance des propriétés de l'étendue.

Quant aux sciences des phénomènes naturels, nous ne doutons point que les surfaces du second degré ne doivent s'y présenter aussi dans un grand nombre de questions, et y jouer un rôle aussi important que celui des sections coniques dans le système planétaire. Déjà dans les plus savantes recherches physico-mathématiques, l'analyse a dévoilé la présence de ces surfaces; mais le plus souvent on a regardé une si heureuse circonstance comme fortuite et secondaire, sans songer qu'au contraire, elle pouvait se rattacher directement à la cause première du phénomène, et même être prise pour l'origine réelle, et non pas accidentelle, de toutes les circonstances qu'il peut offrir.

Maintenant que la Géométrie pure a en soi les moyens de présenter

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

d'une manière rationnelle, et sans recourir aux calculs et aux transformations savantes et pénibles de l'analyse, les nombreuses propriétés des surfaces du second degré, et de résoudre les questions qui s'y rapportent, il nous parait naturel de penser que, pareillement, dans les phénomènes généraux qui font l'objet de la physique, où ces surfaces joueront un rôle suffisamment important, on devra pouvoir aussi, avec le seul secours de leurs propriétés et des lois générales du sujet, parvenir par le seul raisonnement et la pure Géométrie à l'interprétation et à la théorie complète des phénomènes. C'est-à-dire , en un mot , que la Géométrie appliquée aux phénomènes physiques } cette science de Kepler, d'IIuygens, de Newton, de Maclaurin, de Stewart, de Lambert , se trouvera accrue, par le perfectionnement de la théorie des surfaces du second degré, d'une utile et féconde doctrine qui lui permettra de prendre un nouvel essor, après un repos de près d'un siècle. Et nous ne doutons point que cette méthode toujours directe et naturelle, et si satisfaisante pour l'esprit, ne contribue puissamment à éclairer sa marche et à étendre ses découvertes dans toutes les parties de la philosophie naturelle '.

* Un mémoire tout récent de M. Poinsot, sur la rotation des corps , est un exemple frappant de la facilité et des avantages de la méthode géométrique dont nous parlons. Cette question si difficile , et qui a coûté tant d'efforts aux plus célèbres analystes , depuis un siècle , y est traitée avec une lucidité et une facilité vraiment admirables , et bien faites pour détruire ce préjugé , qui , no voulant voir dans la Géométrie que la haute antiquité de son premier âge, et non la nature de se» services et de sa destination générale, nie son caractère de perfectibilité et l'assimile ù une langue morte , désormais inutile et impuissante pour les besoins de l'esprit humain. Qu'on nous permette d'opposer i cette erreur, qui n'est propre qu'à arrêter les progrès de la science, l'opinion si imposante de l'illustre auteur de la Mécanique analytique, émise il y a soixante ans, à l'occasion même d'une des grandes questions du système du monde, où la Géométrie avait devancé l'analyse : > Quelques avantages que l'ana- » lyse algébrique ait sur les méthodes géométriques des Anciens , qu'on appelle vulgairement » quoique fort improprement tunthèse, il est néanmoins des problèmes où celle-ci paraît » préférable, tant par la clarté lumineuse qui l'accompagne que par l'élégance et la facilité » des solutions qu'elle donne. Il en est même pour lesquels l'analyse algébrique paraît en » quelque sorte insuffisante , et où il semble que la méthode synthétique soit seule capable » d'atteindre. » ( Sur l'attraction des tphéroidci elliptique». Nodvxabx Miioi.es de b'Aciltni os Bem.!*, ami. 1773. )

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

\,V\V\V\V\V\VVVV.V\V\V\VVV\V\V\V\V\V\VVV\\\V\VVV\\A.V\V\V\\\V\V\VV\\\\\\\\VV\\\VV\\.\\V\\\\V\\\\\\\\\>