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HISTOffiE DE LA GÉOMÉTRIE, 147

manière : *St, autour (T un point fixe , on fait tourner une transversale qui rencontre une courbe géométrique en autant de points A, B.... qu^elle a de dimensions y et qu'on prenne sur cette transversale, dans chacune de ses positions y un point M tel que la valeur inverse de sa distance au point fixe soit moyenne arithmétique entre les valeurs inverses des distances des points A, B... à ce point fixe ^ le point M aura pour lieu géométrique une droite.

Maclaurin a appelé le segment compris entre le point fixe et le point M^ moyenne harmonique entre les segmens compris entre le point fixe et la courbe '; et M. Poncelet a appelé le point M, le centre des moyennes harmoniques des points A ^ B.... par rapport au point fixe^. Ce géomètre a fait voir que^ quand le point fixe est à l'infini^ le point M devient précisément le centre des moyennes distances des autres points A^ B.... ^ d'où il résulte que le théorème de Cotes est une généralisation du théorème de Newton sur les diamètres des courbes.

Le deuxième théorème dont se sert Maclaurin^ et qui lui est dû^ est celui-ci :

Que, par un point fixe pris dans le plan d^une courbe géométrique, on mène une transversale qui rencontre la courbe en autant de points qu^elle a de dimensions, qu'en ces points on mène les tangentes à la courbe; et que par le point fixe on tire une seconde droite de direction arbitraire y mais qui restera fixe; les segmens compris sur cette droite entre le point fixe et toutes les tangentes à la courbe, auront la somme de leurs valeurs inverses constante, quelle que soit lapre-mière transversale menée par le point fixe;

Celte somme sera égale à celle des valeurs inverses des segmens compris sur la même droite fixe, entre le m^éme point et ceux où cette droite rencontrera la courbe.

§ 6. Ce second théorème est une généralisation importante de celui

1 Maclaorin dit qu'une quantité est moyenne kamumique entre plusieurs autres , quand sa valeur inverse est moyenne arithmétique entre les valeurs inverses de ces quantités ( Traité des courbes géométriques , § 28).

^ Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques; Jovuial db M. Cbkixb^ tom. III.

de Newton sur les asymptotes. L'un se transforme dans l'autre par la perspective des figures.

Ainsi ^ deux des trois théorèmes de Newton sur les courbes géométriques se trouvent généralisés par ceux de Cotes et de Maclaurin. Le troisième, qui concerne les segmens faits sur des transversales parallèles, a reçu une généralisation semblable dans la Géométrie de position, où les transversales sont prises concourantes en des points fixes. Gamot a même donné une autre généralisation plus étendue et plus féconde de ce théorème, en le considérant comme cas particulier d'une belle proposition générale relative à un polygone quelconque tracé dans le plan d'une courbe géométrique.

S 7. Dans le théorème énoncé ci-dessus, Maclaurin considère le cas où le point fixe, par lequel on mène des transversales, est pris sur la courbe, et, au moyen d'une propriété du cercle, il transforme l'équation qui exprime le théorème en une autre, où entre une corde du cercle osculateur à la courbe au point fixe. De là il conclut deux autres théorèmes, qui lui servent à construire le cercle osculateur, et à trouver l'expression de la différentielle du rayon de courbure.

Cette construction géométrique du cercle osculateur, sur la figure même, et sans le secours du calcul des fluxions, ni même de l'analyse de Descartes, parait être restée inaperçue dans l'ouvrage de Maclaurin, car nous ne voyons pas qu'on en ait jamais parlé. Nous croyons pourtant qu'elle méritait d'y être remarquée, parce que ce problème avait paru jusque là exiger absolument l'emploi de l'analyse.

Maclaurin suppose connue la direction de la normale au point où il détermine le cercle osculateur. Nous nous étonnons qu'il n'ait pas eu l'idée de construire aussi d'une manière purement géométrique, et sans calcul, cette normale. Ce problème était du même ordre, et plus facile que celui du cercle osculateur. Nous avons trouvé de l'une et de l'autre, une construction simple qui dérive du troisième théorème de Newton. Nous ignorions alors que le cercle osculateur eût déjà été construit; notre solution du reste diffère complètement de celle de Maclaurin, puisqu'elle repose sur une autre propriété des courbes géométriques.

§ 8. Les quatre théorèmes généraux dont nous venons de parler font l'objet de la première section de l'ouvrage de Maclaurin. Dans les deux autres sections sont les applications de ces quatre théorèmes aux coniques et aux courbes du troisième degré.

Les diverses propriétés de la diviiSion harmonique des sécantes dans les coniques, et le théorème sur le quadrilatère inscrit^ qui comprend la théorie des pèles (celui que nous avons déduit de Fhexagramme de Pascal)^ se trouvent dans la seconde section. Le théorème de l'hexagramme y est seulement énoncé, Maclaurin l'ayant déjà démontré ailleurs de diverses manières ' •

La troisième section contient un grand nombre de propriétés curieuses des courbes du troisième degré. La plus considérable, d'où se déduisent la plupart des autres, qui sont relatives aux points d'inflexion et au point double, est celle-ci :

Quand un quadrilatère a ses quatre sommets et les deux points de concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré ^ les tangentes à la courbe, menées par deux sommets opposés, se coupent sur cette courbe.

Maclaurin avait déjà fait connaitre ce théorème^ qu'il avait énoncé dans son Traité des fluxions (art. 401), en remarquant que celui sur le quadrilatère inscrit aux coniques dont nous venons de parler, n'en était qu'un cas particulier : ce qu'on voit aisément en considérant la conique et la droite qui joint les points de concours des côtés opposés du quadrilatère, comme représentant une ligne du troisième degré.

Le théorème de Pascal pourrait être, aussi, considéré comme un corollaire d'une propriété des courbes du troisième degré, plus générale que celle de Maclaurin, et dont voici l'énoncé :

Quand un hexagone a ses six sommets et deux des trois points de concours de ses côtés opposés sur une courbe du troisième degré, le troisième de ces points de concours est aussi sur la courbe ^.

1 Transactions philosophiques, «<»• 439 , ann. 173K et Traité des fluxions , fi»* 322 et 623.

2 Pour dëniontrer ce théorème, il suffit de regarder les trois côtés de rang impair de l'hexagone comme formant une première ligne du troisième degré , et les trois côtés de rang pair

§ 9. On a encore de Maclaurîn y sur la théorie des courbes ^ un fragment d'un mémoire qu'il avait écrit en France, en 1721, comme supplément à sa Géométrie organique , et dont l'impression avait été commencée , mais qui n'a point été mis au jour. Ce fragment fut adressé en 1732 à la société royale de Londres, et se trouve dans les Transactions philosophiques pour l'année 1735. On y remarque le théorème général suivant, qui en est la partie principale :

Si un polygone^ de forme variable, se meut de manière que tous ses côtés passent respectivement par autant de points fixes donnés, et que tous ses sommets, moins un, parcourent des courbes géo-* métriques des degrés m, n, p, q...., le sommet libre engendrera une courbe qui sera en général du degré 2mnpq...; et qui se réduira au degré sous-double mnpq...., quand tous les points seront en ligne droite.

Si toutes les lignes directrices sont droites, la courbe engendrée par le sommet libre du polygone est une conique; et si le polygone est un triangle, le théorème alors n'est autre que l'hexagramme de Pascal. Ce théorème avait déjà été donné par Nevi^ton, pour le cas où l'un des trois points par où devaient passer les trois côtés du triangle mobile était situé à l'infini (lemme 20 du 1®^ livre des Principes). Mais c'est à Maclaurin qu'on doit son énoncé général, et d'avoir aperçu dans ce mode de description des coniques, le beau théorème de Pascal, qui était alors ignoré; V Essai sur les coniques , qui en contient l'énoncé, n'ayant été retrouvé qu'en 1779, par les soins de M. l'abbé Bossut *.

Depuis, Maclaurin démontra ce théorème directement pour le cercle,

comme en formant nne seconde. Par les neuf points d'intersection de ces deux lignes on pourra faire passer une infinité de courbes du troisième degré ; mais la proposée passe par huit de ces neuf points; il s'ensuit donc 9 par une propriété générale des courbes du troisième degré, qu'elle passe par le neuvième.

1 11 serait possible, il est vrai, que Maclaurin , qui résida en France vers 17S1, ait eu connaissance de l'ouvrage de Pascal ; maïs le théorème de l'hexagone ressortait si naturellement de la description des coniques par le triangle mobile , qu'il nous paraîtrait étonnant qu'il eût échappé à la pénétration de Maclaurin , qui avait profondément médité sur tout ce qui concernait la description des courbes , ainsi qu'il nous l'apprend lui-même, par sa lettre communiquée à la Société royale de Londres, le 9t décembre 173â {Tram, philoêoph. , année 1735).

d'où il le conclut^ par la perspective^ pour toute espèce de coniques. {Voir le Traité des fluxions, chapitre XIV, dans lequel Maclaurin démontre les propriétés principales de l'ellipse, en la considérant comme section d'un cylindre oblique à base circulaire.)

§ 10. Braikenridge fut, dans la desmption des courbes de tous les degrés, un digne émule de Maclaurin, et la théorie de ces courbes lui est redevable de plusieurs belles propositions fondamentales, relatives principalement à leur description par l'intersection de droites qui tournent autour de pôles fixes, qu'il exposa dans son traité intitulé : Exercitatio Geometriœ de descriptione linearum curvarum (in-4o, 1733), et dans un mémoire qui fait partie des Transactions philosophiques, année 1735.

Depuis, plusieurs autres géomètres appliquèrent avec succès la Géométrie de Descartes à la théorie générale des courbes géométriques.

Nicole j à l'imitation de Stirling, qui avait démontré les propositions seulement énoncées par Newton dans son Énumération des lignes du troisième degré ^ avait aussi commencé une explication des principes qui avaient guidé ce grand géomètre, et la démonstration de son importante et curieuse proposition, non démontrée par Stirling, sur la description de toutes ces courbes par l'ombre des cinq paraboles divergentes ^

L'abbé de Bragelongne, qui, dès 1708, avait démontré, le premier, les beaux théorèmes de Newtom sur la description organique des coniques, et des courbes du troisième et du quatrième degré ayant des points doubles ^, entreprit l'énumération et l'examen des formes et des affections des courbes du quatrième degré. Travail immense et difficile, dont les premières parties seulement ont été publiées, la mort de l'auteur nous ayant privé des suivantes \

BRAIKBllEIDfiE.

BEA6BI.0NGSE , 1688-1744.

^ Mémoireê de V Académie des $cience$y année 1731.

^ Journal des eaffans, 30 septembre 1708.

' La première partie de cette énumération a été insérée dans les Mémoires de P Académie des sciences f années 1780 et 1731 ; la seconde partie n'a pas para ; Tanalyse s'en troave dans \ Histoire de V Académie pour 173â.

DE GUâ,

DIONIS DU SBJOVA , 1734-1794.