CHAPITRE IV

QUATRlÈnS ÉPOQUE.

Calcul infinitéaimai. § 1. Ginquaxite dus Eprès que Descartes avait mis au jour sa Géométrie^ une autre grande conception préparée par Fermât et Barrow^ le calcul infinitésimal de Leibnitz et de P^ewton^ prit naissance (en 1684 et 1687).

Cette sublime inyention^ qui remplaçait avec un avantage immense les méthodes de Cavalleri, de Roberval, de Fermât, de Grégoire de St.- Vincent, pour les dimensions des figures et les questions de tnamma etminima^ s'appliqua aussi avec une facilité si prodigieuse aux grandes questions des phénomènes de la nature, qu'elle devint presque exclusivement l'objet des méditations des plus célèbres géomètres. Dès lors , la Géométrie ancienne et les belles méthodes de Desargues et de Pascal^ de De LaHire et de Le Poivre, pour l'étude des coniques, forent négligées.

L'analyse de Descartes, seule des grandes productions de nos deuxième et troisième Epoques ^ survécut à cet abandon général. C'est qu'elle était le véritable fondement des doctrines de Leibnitz et de Newton , qui allaient envahir tout le domaine des sciences mathématiques.

Cependant, quelques géomètres, dans les premiers temps , et à leur tète Huygens, quoiqu'il sut apprécier toutes les ressources de l'analyse infinitésimale y Maclaurin, profond commentateur du Traité des fluxions de Newton, et Newton lui-même, furent fidèles à la méthode des Anciens, et surent pénétrer dans les mystères de la plus profonde

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Géométrie^ pour résoudre avec son seul secours les plus hautes questions des sciences physico-mathématiques.

Quelques autres géomètres ensuite^ tels que Stewart^ Lambert^ dignes admirateurs de ces grands hommes^ marchèrent sur leurs traces et continuèrent leurs savantes méthodes. Mais enfin l'attrait de la nouveauté et les puissantes ressources que présentait l'analyse infinitésimale^ tournèrent tous les esprits vers d'autres idées et d^autres spéculations. De sorte que^ si l'on peut dire parfois que la Géométrie d'Huygens et de Newton y après avoir posé les véritables fondemens de nos connaissances positives^ devenait insufiisante pour continuer son œuvre ^ il est juste de convenir aussi que des disciples lui ont manqué; car je ne sache pas que^ depuis trois quarts de siècle^ on ait fait de nouvelles q)pUcations de cette méthode; et c'est aujourd'hui par tradition et seulement sur parole, que, légèrement peut-être, on parle de son impuissance et des limites qui en restreignent pour toujours les usages.

§ 2» Nous ne pouvons entreprendre ici d'analyser tous les travaux des grands géomètres que nous avons nommés; cette tâche n'entre point dans notre cadre et serait au-dessus de nos forces. Nous ne devons citer que ceux de ces travaux qui se rapportent à cette partie de la science de l'étendue, que nous avons appelée Géométrie des formes et des situations; qui prend son origine dans V analyse géométrique des Anciens; qui, pendant deux mille ans, s'est exercée sur l'inépuisable théorie des sections coniques, et à laquelle enfin Descartes a soumis d'un trait de plume l'innombrable famille des courbes géométriques.

Nous allons présenter d'abord un aperçu rapide des découvertes successives, des principales propriétés de ces courbes, puis, en revenant sur nos pas, nous parlerons des progrès que la Gréométrie a faits dans diverses autres parties.

S 3. La Géométrie analytique de Descartes était un instrument uni- propriété, gënërdes

V *f M. des courbes geome-

versel, éminemment propre à l'étude des courbes géométriques; et ce ^'^'^' philosophe en avait montré l'usage et toute la puissance dans la solution des questions les plus diverses. Mais ce furent Newton et Maclaurin qui, les premiers, l'appliquèrent à la recherche des propriétés générales et

caractéristicpies de ce genre de courbes; et c'est à ces deux illustres géomètres et à leur célèbre contemporain Cotes ^ que l'on doit la découverte des premières et plus importantes propriétés des courbes géométriques.

Newton, dans son Enumeratio linearum tertii ordinis (anno 1 706), modèle admirable de haute Géométrie, fit connaître les trois suivantes , qu'il présenta comme extensions des propriétés principales des coniques^

La première concerne leurs diamètres; elle consiste en ce que : étant menées, dans le plan dune courbe géométrique, des transversales parallèles entre elles, et étant pris sur chacune délies le centre des moyennes distances de tous les points où elle rencontre la courbe, tous ces centres se trouvent toujours en ligne droite. C'est cette droite qu'on appelle diamètre de la courbe correspondant, ou conjugué, à la direction des transversales.

La seconde propriété générale concerne les asymptotes, et consiste en ce que : quand une courbe a autant d'asymptotes qu'il y ad unités dans le degré de son équation, sous quelque direction qu'on tire une transversale , le centre des moyennes distances des points où elle rencontrera les asymptotes sera le même que celui des points où elle rencontrera la courbe.

Ou, en d'autres termes, la somme des segmens compris entre chaque branche de la courbe et son asymptote, sera la même départ et d autre du diamètre conjugué à la transversale.

Enfin , la troisième propriété générale est celle du rapport constant des produits des segmeus compris sur deux transversales parallèles respectivement à deux axes fixes. On l'énonce d'une manière générale, en disant que : si par un point quelconque, pris dans le plan dune courbe géœnétrique , on mène deux transversales parallèles à deux axes fixes, les produits des segmens compris sur ces deux droites, entre le point par lequel elles sont menées et la courbe, sont entre eux dans un rapport constant, quel que soit ce point.

1 Proprietaies sectionum conicarum compeiunt curvis superiorum generum.

Il est aisé de reconnaitre que ces trois belles propriétés^ communes à toutes les courbes géométriques^ étaient une généralisation de trois propositions de la théorie des coniques.

S 4. L'objet principal de Fouvrage de Newton était Fénumération des lignes comprises dans l'équation du troisième degré à deux variables, où il en reconnut soixante-douze espèces différentes, auxquelles Stirling en ajouta quatre.

A la suite de cette énumération. Newton donna cette belle et curieuse proposition, qui range ces courbes en cinq grandes classes principales, savoir : a Qu'ainsi que le cercle , étant présenté à un point )) lumineux, donne par son ombre toutes les courbes du second degré, )) de même les cinq paraboles divergentes donnent par leur ombre » toutes les courbes du troisième degré. » >

L'ouvrage est terminé par la description organique des coniques au moyen de deux angles mobiles autour de leurs sommets, dont deux côtés se coupant toujours sur une droite, les deux autres engendrent, par leur intersection, une conique ; et ce mode de description est étendu aux lignes du troisième et du quatrième degré qui ont un point double.

Il est fâcheux que Newton se soit contenté d'énoncer ces belles découvertes, sans démonstration , ni aucune indication de la méthode qu'il avait suivie. Stirling, peu d'années après , suppléa à ce défaut en rétablissant, avec les développemens préliminaires nécessaires, les démonstrations des propositions de Newton, relatives à l'énumération des lignes du troisième degré. Les autres parties de l'ouvrage ont été, depuis, démontrées par divers géomètres. Le beau théorème sur la génération de toutes les courbes du troisième degré par Tombre des cinq paraboles divergentes, qui avait paru l'un des plus difficiles, l'a été par Qairaut \ Nicole % Murdoch ' et le Père Jacquier *. Mais il nous semble que les considérations analytiques dans lesquelles ces géomètres

^ Mèmoireê de VÀc<iâèmie des scieneeê, ann. 1731.

2 Ibid.

' Neutoni Genesis curvarum per umbrae ; in-8«. Lond., 1746.

^ Elementi di perspettiva ; Appendice y in-8**. Romœ , 1 755.

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ont puisé des preuves suflisantes de la Térité du théorème de Newton , n'en ont pas pénétré la nature ni l'origine. Aussi un autre théorème semblable y c'est-à-dire y un autre mode de génération de toutes les courbes du troisième degré par l'ombre de cinq d'entre elles ^ qui a une connexité intime avec celui de Newton^ a-t-il échappé aux géomètres qui ont écrit sur cette matière. Ce théorie consiste en ce que : parmi toutes les courbes du troisième degré , il en est cinq qui ont un centre V et ces cinq courbes^ par leur ombre projetée sur un plan , donnent naissance à toutes les autres.

Ce nouveau théorème et celui de Newton reposent l'un et l'autre sur une même propriété des points d'inflexion, qui nous parait en être la véritable origine, et pouvoir être utile pour une classification purement géométrique des courbes du troisième degré, basée sur leurs différentes formes. Nous donnerons Ténoncé de cette propriété dans la Note XX.

HàGiâOE», § 5. Maclaurin, inspiré par les belles découvertes de Newton, proiwft-1746. duisit sur les courbes géométriques deux écrits d'une haute importance. Dans le premier, consacré à la description organique des courbes géométriques ^y l'auteur apprend à décrire de diverses manières, par l'intersection de deux cotés de deux angles mobiles, dont le mouvement est déterminé convenablement, toutes les courbes géométriques. Ses démonstrations, traitées par la méthode des coordonnées, n'oflBrent pas toujours un degré de simplicité satisfaisant; mais le deuxième écrit de MaclauriU; intitulé : De Imearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus, est d'une élégance et d'une précision admirables. Tout cet ouvrage repose sur deux théorèmes, qui sont deux belles propriétés générales des courbes géométriques. Le premier est celui coTis, du célèbre Cotes, que son ami, le savant physicien R. Smith trouva dans SQS papiers et communiqua à Maclaurin. On peut l'énoncer de cette

1 Ce sont , dans rénumération des 72 espèces de Newton , les cinq courbes classées soas les n«* â7, 38 , 59, 6â , 7â , et représentées par les figures 37, 47, 67, 70 et 81.

^ Geometria organica , sive descriptio linearum curcarum universaliê, in4<', 1719.