OBJET BU MÉMOIRE QUI SUIT

§ 1®'. La Géométrie descriptiTO de Monge est passée dans l'enseignement des mathématiques. La théorie des transversales de Camot^ qu'un des géomètres qui ont le plus approfondi la métaphysique et la nature des sciences a d^à depuis long-temps émis le vœu de voir introduire dans les élémens de Géométrie % est appréciée par la plupart des professeurs^ qui en comprennent aujourd'hui dans leurs cours les théorèmes principaux. Mais les autres méthodes dont nous avons parlé 9 sont encore éparses dans les mémoires des géomètres qui s'^en sont servis^ et dont la lecture^ à cause du très-grand nombre des résultats nouveaux qu'ils contiennent^ peut paraitre longue et pénible. C'est là, je crois^ la véritable cause de l'éloignement pour la Géométrie rationnelle où l'on ne croit voir, et cette erreur est déplorable, qu'un chaos de propositions nouvelles trouvées au hasard , sans liaison entre elles et sans avenir pour un perfectionnement notable de la science de l'étendue.

Nous avions pensé c[u'il serait utile, pour chercher à détruire cette erreur, de coordonner entre elles toutes ces vérités partielles et isolées, de les faire dériver toutes de quelques-unes seulement prises parmi lés

1 <c ... Cette ingénieuse théorie des transverâoks , dont les principes simples et féconds mériteraient bien d^ôtre admis an nombre des élémens de la Géométrie, n ( Journal de Vécoh polytechniqm, 10« cahier; Mémoire sur les polygones ei leê polyèdres, par M. Poinsot. )

plus générales^ et de rattacher celles-ci aux méthodes dont nous avons parlé; ce qui eût été aussi une justification de notre classification. Ce travail aurait porté le titre ^Essais de complëmens de Géométrie rationnelle. Son objet principal eût été une exposition dogmatique des méthodes en question^ et de leurs principales applications. Nous y joignions une théorie nouvelle et purement géométrique des surfaces du second degré ^ et une théorie^ géométrique aussi ^ des courbes planes du troisième degré, avec lesquelles enfin il est temps de se familiariser; condition nécessaire des progrès ultérieurs de la Géométrie, comme a été jusqu'à ce jour la connaissance complète des courbes du second degré.

Nos matériaux étaient plus ou moins avancés, ainsi qu'on peut en juger par diverses Notes que nous y avons puisées pour nous en servir dans cet écrit. Mais, ainsi qu'il devait arriver dans un travail qui embrassait tant de recherches diverses, la matière s'est étendue, et nous avons reconnu qu'il nous fallait un plus long temps et un plus grand cadre que nous n'avions cru d'abord, pour le terminer sans une trop grande imperfection; et des retards trop prolongés devant avoir aussi leurs inconvéniens, nous nous sommes décidé à écrire d'abord séparément sur les différentes parties que nous destinions à cet ouvrage; nous promettant de revenir ensuite à notre premier projet; et désirant toutefois qu'une plume plus habile et plus capable de le mener à bien nous prévienne dans Taccomplissement d'une entreprise que nous croyons utile à la Géométrie.

§ 2. Nous nous proposons de traiter , dans le mémoire qui va suivre, des méthodes comprises dans nos deuxième et troisième, divisions, et de mettre au jour les deux principes généraux de l'étendue, auxquels nous avons dit que toutes ces méthodes peuvent se rattacher ; et qui constituent deux doctrines générales de déformation et de transformation des figures.

S 3. Nous démontrerons ces deux principes d'une manière directe, qui en fera des vérités absolues et abstraites, dégagées et indépendantes de toutes méthodes particulières propres à les justifier ou à en faciliter les applications dans quelques cas particuliers.

Nous les présenterons^ ainsi que nous l'avons déjà dit^ dans une plus grande généralité qu'aucune de ces méthodes. L'extension que nous leur donnerons trouvera sa principale utilité dans un principe de relations de grandeur extrêmement simple^ qui les rendra applicables à de nombreuses (questions nouvelles.

Ce principe repose sur une relation unique ^ à laquelle il suffira toujours de ramener toutes les autres. Cette relation est celle que nous avons appelée rapport anharmonique de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites. C'est là le type unique de toutes les relations transformables par les deux principes que nous démontrons. Et la loi de correspondance entre une figure et sa transformée^ consiste dans l'égalité des rapports anharmoniques correspondans;

La simplicité de cette loi ^ et celle du rapport anharmonique rendent cette forme de relations éminemment propre à jouer un rôle si important dans la science de l'étendue.

Quand les relations proposées paraîtront au premier abord ne pas rentrer dans cette formule^ l'art du géomètre consistera à les y ramener par différentes opérations préparatoires^ analogues^ sous certaines rapports^ aux changemens de variables et aux transformations de l'analyse.

§ 4. Nous commencerons par le principe de transformation dont la théorie des polaires réciproques ofire des applications^ parce que le second 9 quoique tout aussi général dans sa destination^ en sera un corollaire naturel. Nous l'appellerons principe de dualité y suivant l'expression de M. Gergonne; et nous dirons que deux figures qui auront entre elles les dépendances voulues par les lois de ce principe^ sont corrélatives *.

Après avoir démontré ce principe^ nous en ferons diverses applica-

1 Le mot corrélatif éïBiVii employé d*une manière générale dans mille circonstances, il serait bien à désirer qu*on eût un aotre adjectif dérivé du mot dualité. Par cette raison nous avions pensé à substituer au mot dualité celui de diphanie, qui aurait exprimé ce double genre de propriétés que présentent toutes les figures de l'étendue ; nous aurions dit le principe de diphanie, et nous aurions appelé diphaniqties les figures qui auraient eu entre elles les relations prescrites par ce principe. Mais nous n*avons point voulu nous permettre de substituer une nouvelle dénomination h celle qui a été généralement reçue.

256 fflSTOlRE DE LA GÉOMÉTRIE.

lions ^ qui nous conduiront à des propositions nouvelles^ dont plusieurs seront des propriétés générales^ d'un genre tout nouTeau^ des courbes planes et à double courbure^ et des surfaces géométriques : puis nous donnerons la construction analytique et géométrique des figures corrélatives les plus générales ; et enfin y nous exposerons les rapports qui ont lieu entre ce principe et la théorie des polaires réciproques ; et nous en déduirons plusieurs autres méthodes particulières^ qui offriraient^ comme cette théorie^ des moyens faciles de mettre en usage ce principe^ s'il n'était démontré directement et à priori, comme une propriété inhérente à l'étendue figurée.

§ 5. Parmi les applications du principe de dualité y il en est une qui mérite que nous en fassions ici une mention particulière.

En jetant un coup d'œil sur l'état de la Géométrie avant qu'on eût fait usage de la théorie des polaires pour transformer certains théorèmes y on s'aperçoit que l'on ne connaissait que très-peu de vérités qui fussent les corrélatives d'autres vérités connues. Dans la théorie des courbes y par exemple^ aucune de leurs propriétés générales n'avait sa corrélative. Cette circonstance prouve que la méthode analytique de Descartes ^ à laquelle on devait les plus belles découvertes^ particulièrement dans la Gréométrie des courbes^ n'est pas applicable^ ou du moins présenterait des obstacles très-grands si on cherchait à l'appliquer à ce genre de théorèmes qu'on obtient immédiatement^ en vertu du principe de dualité^ comme corrélatifs de théorèmes démontrés par cette méthode de Descartes. Le principe de dualité donne donc^ sous ce rapport^ à la Géométrie pure un avantage incontestable sur la méthode analytique.

Mais on ne conclura pas de là que l'algèbre^ cet instrument merveilleux, qui , jusqu'à ce jour, s'est prêté à toutes les conceptions géométriques, doive refuser son secours aux nouvelles propriétés de l'étendue, qui semblent échapper aux procédés de Descartes. On pensera au contraire qu'il suffira de modifier dans sa mise en œuvre, la grande conception de Descartes, enlui reconnaissant pour objet adéquat l'application des symboles algébriques aux idées de figure et d'étendue.

fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 257

Le moyen employé par Descartes a été de considérer une courbe comme la conjonction de points se succédant d'après une loi donnée^ et d'exprimer la position de tous ces points par une relation constante entre les distances de chacun d'eux à deux axes fixes.

On conçoit sans peine ^ que le procédé analogue dans la nouvelle Géométrie analytique, sera de considérer chaque courbe comme l'en- Teloppe de toutes ses tangentes; et d'exprimer la position de toutes ces droites par une équation unique entre deux variables ^ dont chaque système de valeurs correspondra à l'une de ces droites.

Le principe même de dualité y appliqué aux procédés et aux relations géométriques que représente l'équation d'une courbe ou d'une surface dans le système de Descartes ^ conduira immédiatement au nouveau système de Géométrie analytique en question. C'est ainsi que nous l'exposerons dans cet écrite brièvement^ comme simple application du principe de dualité^ nous réservant de revenir sur cet objet^ que nous avons traité directement^ et sans le secours du principe de dualité^ en suivant à peu près la marche adoptée pour l'exposition de la Géométrie analytique en usage.

Nous avons déjà dit en peu de mots en quoi consiste notre nouveau système de coordonnées , et nous en avons fait des applications (Voir le tom. VI, pag. 81 de la Correspondance mathématique de M. Quetelet). Mais si nous n'avons pas mis d'empressement à publier ce travail qui, si le principe de dualité n'était pas connu, aurait une grande utilité, parce qu'il servirait à démontrer directement tous les théorèmes corrélatifs de ceux qu'on obtient par la Géométrie de Descartes, c'est qu'il n'est point indispensable, aujourd'hui que le principe de dualité sert à transformer sur-le-champ les vérités obtenues par la méthode de Descartes.

Néanmoins ce nouveau système de Géométrie analytique nous pa- ' rait mériter d'être développé, comme complétant, avec la doctrine des

coordonnées de Descartes, l'œuvre que s'est proposée ce grand philosophe dans sa magnifique conception de l'application de l'algèbre à la Géométrie.

ToM. XL 33

258 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

§ 6. Ce que nous venons de dire de la Géométrie analytique^ relativement aux propriétés de l'étendue découvertes par le principe de dualité^ s'applique aussi en partie à la théorie des transversales^ telle que Carnot l'a formée^ et qu'elle a été appliquée depuis une trentaine d'années. Cette théorie ne convient pas^ dans son état actuel^ pour la démonstration de beaucoup de théorèmes relatifs aux lignes et aux surfaces courbes^ qui sont les corrélatifs d'autres théorèmes qu'on a démontrés par cette théorie même. Cependant elle s'applique à ceux de ces théorèmes qui ne concernent que les systèmes de lignes droites^ parce que Carnot a compris dans cette théorie le théorème de Jean BernouUi (ou plutôt de Jean Ceva, comme nous l'avons dit. Note VI), qui se trouve être le corrélatif de celui de Ptolémée,

Il suffira d'introduire pareillement dans la théorie des transversales, quelques théorèmes relatifs aux lignes et aux surfaces courbes , pour la mettre en état de satisfaire par elle-même et directement aux doubles questions qui doivent toujours se présenter désormais dans les spéculations géométriques. Ces théorèmes, qui seront précisément les corrélatifs des principes actuels de la théorie des transversales, ont déjà été obtenus par M. Poncelet dans ses applications de la théorie des polaires réciproques; et cet habile géomètre en a fait usage dans son mémoire intitulé : Analyse des transversales appliquée à la recherche des propriétés prqjectives des lignes et surfaces géométriques (Voir tom. VIII du Journal de M. Crelle). utaitë du principe de § 7. Après avoir montré que le principe de dualité étend ses appli- ^"^ cations sur la Géométrie analytique, en y introduisant un nouveau

système de coordonnées, nous devons ajouter que l'influence et la portée de ce principe peuvent s'étendre jusque sur l'algèbre même , considérée dans son abstraction absolue. On ne doit point s'étonner de cela; car Monge nous a appris, par d'assez beaux exemples, qu'aux lois de l'étendue et qu'à toutes les conceptions de la Géométrie suffisamment générales, peuvent correspondre des considérations et des résultats de pure algèbre.

C'est sous deux points de vue que nous envisageons les usages du

principe de dualité en algèbre. D'abord comme moyen d'intégration dans plusieurs cas; et ensuite comme pouvant donner^ par l'expression algébrique de certains résultats de Géométrie , divers théorèmes d'algèbre.

Nous allons expliquer en peu de mots cette double application du principe de dualité à l'analyse algébrique.

§ 8. Â une surface donnée^ correspond, suivant le principe de dualité, la surface corrélative; et à chacune des propriétés de la première surface correspond une propriété de la seconde.

Si la première surface est exprimée par une équation (dans un système quelconque de coordonnées), les relations géométriques qui ont lieu entre elle et la seconde surface serviront à passer de cette équation à celle de la seconde surface, dans le même système de coordonnées : et, réciproquement, à passer de l'équation de cette seconde surface à celle de la première ( Nous donnerons les formules qui servent à cela dans le système de coordonnées de Descartes). Si la première surface est représentée seulement par une équation aux différentielles partielles, à cette équation en correspondra une autre qui sera sa corrélative et qui appartiendra à la seconde surface. Cette autre équation sera généralement différente de la proposée , et pourra se prêter plus ou moins facilement qu'elle aux méthodes d'intégration. Si l'on peut rintégrer, on aura l'équation de la seconde surface, et l'on passera, par les formules en question, de cette équation à celle de la première surface; ce sera donc l'intégrale de l'équation aux différences partielles proposée.

Cette méthode est celle, comme on voit, que nous avons développée dans la Note XXX sur les surfaces réciproques de Monge, comme ayant pu avoir été l'objet de cette théorie des surfaces réciproques.

Cette méthode, considérée analytiquement et abstraction faite de toute considération géométrique, n'est au fond qu'un mode de transformation algébrique, dont les relations entre les variables correspondantes nous sont indiquées à priori par l'expression analytique des relations qui ont lieu entre les figures corrélatives construites suivant le principe de dualité.

260 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

g 9- Voici quelle sera la seconde manière de faire servir le principe de dualité à la découverte de divers théorèmes d'algèbre.

Que l'on ait trouvé par ce principe un théorème de Géométrie ; et qu'en cherchant à démontrer ce théorème par l'analyse, c'est-à-dire, par la méthode des coordonnées, on éprouve une difficulté insurmontable provenant de l'imperfection actuelle de la science algébrique, on cherchera à préciser le point de difficulté, ou en d'autres termes, la notion algébrique qu'il serait nécessaire d'admettre pour arriver à la conclusion désirée. Cette notion algébrique sera un théorème d'algèbre, qui se trouvera, de la sorte, démontré par des considérations géométriques.

Un exemple éclaircira suffisamment cette manière de procéder.

Supposons qu'on veuille démontrer par la méthode des coordonnées en usage, ce théorème : Si à une surface géométrique donnée on mène toiss ses plans tangens parallèles à un même plan transversal, leurs points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes distances un même point de F espace y quelle que soit la position du plan transversal.

En représentant par F (a?, y, z)=o l'équation de la surface, on trouve que les coordonnées des points de contact des plans tangens, sont données par cette équation et par les deux suivantes :

dx

rfF

dF

aéi b étant les deux quantités angulaires qui déterminent la direction commune aux plans tangens. Éliminant y et s entre ces trois équations, on aura une équation résultante en w dont les racines seront les abscisses des points de contact des plans tangens avec la surface. Il faudra donc, d'après le théorème énoncé, que la somme de ces racines soit la même, quelle que soit la direction commune des plans

tangens^ c'est-à-dire ^ quels que soient les deux paramètres a et b. De là résulte donc ce théorème d'algèbre : Si entre les trois équations

dx dx

d¥ . rfF dy dx

on élimine les deux variables J etz, r équation résultante en x aura la somme de ses racines indépendante des deux coefficiens a et h.

Cet exemple suffit pour montrer comment on fera usage du principe de dualité pour établir des théorèmes d'algèbre.

S 10. Les idées de dualité que nous avons appliquées^ dans les para- Appiiction du principe graphes précédens^ à deux doctrines géométriques ^ la méthode des "**^« coordonnées de Descartes ^ et la théorie des transversales^ et à une théorie algébrique ^ l'intégration des équations aux différences partielles, peuvent s'étendre à d'autres parties des mathématiques^ principalement à la dynamique. Mais ce n'est point ici le lieu de traiter ce sujet pour lequel nous renvoyons à la Note XXXIY.

§ 1 1 . La seconde partie de cet écrit sera consacrée au second prin- Pri»cipe dhomogr.cipe général en question^ celui de déformation des figures.

Gomme les figures que Ton a à considérer dans les applications de ce principe sont du même genre ^ c'est-à-dire^ qu'à chaque points à chaque droite^ à chaque plan de l'une correspondent respectivement un points une droite ^ un plan dans l'autre ^ ainsi que cela a lieu^ par exemple 9 dans deux figures semblables^ ou bien dans deux figures planes dont l'une est la perspective de l'autre^ nous appellerons ces figures homographiques ; et le principe en question sera dit principe de déformation homograpkique , ou simplement principe d'homographie.

§ 12. Il ne paraîtra peut-être pas inutile^ avant d'entrer en matière.

de bien préciser le caractère philosophique de ce principe, et la nature de ses applications dans la Géométrie rationnelle. usagesduprincipediio. Sa dcstiuatiou première est de généraliser les propriétés de Fétendue.

mographie. ^

De là naissent deux usages distincts auxquels il sera propre. Car cette généralisation peut se faire de deux manières ; elle peut porter sur la construction et sur la forme de la figure, ou bien sur les propriétés de cette figure.

Dans le premier cas la question qu'on se propose est celle-ci : Connaissant les propriétés dtune certaine figure, en conclure les propriétés analogues dune figure du même genre , mais dune construction plus générale.

Par exemple, étant données certaines propriétés du cercle ou de la sphère, en conclure les propriétés correspondantes des sections coniques ou des surfaces du second degré.

Dans le deuxième cas, la question peut être énoncée ainsi : connaissant quelques cas particuliers dune certaine propriété générale inconnue dune figure, en conclure cette propriété générale.

Par exemple : prenons trois diamètres conjugués d'une surface du second degré ; on sait que la somme de leurs carrés est égale à une quantité constante. Ce théorème donnera lieu à cette question : étant donnée une surface du second degré, et étant pris un point quelconque dans l'espace, par lequel on mène trois droites ; à quelles conditions de construction devront satisfaire ces droites, pour que dans le cas particulier où ce point serait le centre de la surface, elles deviennent trois diamètres conjugués ; et quelle sera la propriété de ces trois droites qui deviendra celle des trois diamètres conjugués que nous avons énoncée?

Ainsi, on conçoit bien les deux questions générales auxquelles est destiné le principe de déformation homographique.

S 13. La première de ces deux questions donne lieu à une véritable méthode de recherches.

En effet, cpi'il s'agisse de démontrer telle propriété d'une figure j on prendra, parmi l'infinité des figures homographiques possibles, celle dans laquelle, à raison de sa simplicité ou d'autres circonstances.

le théorème sera^ sinon éyident^ au moins d'une démonstration plus facile. C'est ainsi que Ton a souyent réduit^ par l'emploi de la perspective ^ la recherche des propriétés des coniques à celles du cercle.

§ 14. Sous le point de vue de la seconde question ^ le principe de déformation homographique peut être regardé comme appartenant à la classe des méthodes inverses. L'opération à laquelle il est propre est l'inverse de celle que nous pratiquons journellement pour conclure d'un théorème général les cas particuliers qui s'y rattachent. Considéré comme une telle méthode > ce principe mérite peut-être quelque attentioUé £n effets quoi qu'il soit toujours focile en Géométrie de passer d'une vérité à ses corollaires , qui sont autant de vérités moins générales que la première^ on n'a point encore de règles inverses pour passer de l'une de ces vérités particulières à la vérité générale. L'induction^ l'analogie ou quelques considérations particulières^ peuvent bien, dans certains cas, mettre sur les traces de cette vérité primitive et la faire deviner; mais ensuite sa démonstration devient une question toute nouvelle, pour laquelle on n'a aucune méthode spéciale. Le principe d homographie, et les différens modes de déformation qui en émanent, offrent une méthode de ce genre, véritable méthode de généralisation, la seule, je crois, que l'on ait encore tenté d'introduire dans la Géométrie rationnelle ^ On appréciera

> Oserai-je , par suite de ces considérations , indiquer un point de ressemblance entre cette méthode et le calcul intégral. Le but est le même dans Tun et l'autre; il s'agit de passer d'une dérivation d'un objet à cet objet.

Étant donnée une quantité , on sait toujours , et a l'instant même , trouver sa différentielle ; mais pour la question inrerse : étant donnée une quantité ou une équation différentielle , irouTer son intégrale ; on n*a point de méthodes générales. Pareillement , étant donnée une proposition générale, on peut énoncer sur le champ ses cas particuliers; et dans la question inverse , où^ étant donné un cas particulier d'une proposition générale inconnue, on demande de déterminer cette proposition générale , on n'a point non plas de méthode générale.

Ce rapprochement paraîtra peut-être moins étrange , si nous disons que le caractère plus particulier du principe d'homographie , parmi les autres modes de transformation des figures , est de passer, comme dans le calcul intégral , de Vinfini au fini. Ce'sont les propriétés d'une figure qui a des parties a l'infini qu'on veut , le plus souvent, dans les applications du principe d'homographie , transporter à une figure du même genre , mais dont les mêmes parties sont placées a des distances finies.

â64 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

l'utilité de telles méthodes pour hâter les progrès de la science. Car il n'est point de découverte un peu capitale dont on n'ait rencontré, dès long-temps auparavant, quelques germes et quelques cas particuliers, qui auraient ^pu sur-le-champ, à l'aifle de ces méthodes de généralisation, conduire à cette découverte. Il est donc important de rechercher et de cultiver ces sortes de méthodes.

§ 15. Nous ferons diverses applications du principe de déformation homographique : l'une d'elles portera sur le système de coordonnées qui constitue la Géométrie de Descartes, et conduira à un nouveau système de Géométrie analytique plus général, et qui serait propre à la démonstration directe par l'analyse, des propositions (jue ce principe aurait servi à démontrer comme généralisation de celles auxquelles s'applique la doctrine de Descartes. Méthodes dériva dn § 16. Lc prlucipc général de déformation homographique com-

principe d'hoiiiogra~

pï»i« prend plusieurs méthodes particulières, qui serviront pour des questions

spéciales et plus restreintes. Nous en distinguerons trois principales :

La première sera la théorie des figures homologiques de M. Poncelet, (jui servira, par exemple, pour déduire des propriétés de la sphère une foule de propriétés des surfaces du second degré de révolution qui ont un foyer; mais nous y joindrons le principe des relations métriques, sans lequel cette élégante théorie ne pourrait atteindre à une foule de questions, et serait incomplète \

La seconde sera une méthode propre à l'extension des relations angulaires, qui servira particulièrement pour appliquer les propriétés de la sphère aux surfaces du second degré de révolution qui n'ont pas de foyer. Aucune des méthodes de transformation n'a encore été propre à ce genre de recherches.

Et la troisième sera destinée à une classe très-nombreuse de propriétés appartenant à la Géométrie des mesures, c'est-à-dire aux lon-

' Par exemple , ce principe des relations de grandeur est indispensable poar connaître les propriétés métriques du système de deux coniques quelconques , dont M.Poncelet a donné les propriétés descriptives ; il en est de même pour la théorie des bas-reliefs dont les propriétés métriques ne sont pas moins importantes que leurs propriétés purement descriptives.

gueurs^ surfaces et Yolumes des figures^ ce sera la traduction en pure Géométrie de la méthode analytique que nous ayons déjà employée pour transporter aux surfaces du second degré, les propriétés de la sphère. Cette méthode nous servira particulièrement pour démontrer, par pure intuition, les belles propriétés connues, et plusieurs autres des diamètres conjugués des surfaces du second degré, que l'on n'a démontrées jusqu'ici qu'avec le secours de l'analyse.

S 17. En général, nos applications du principe d'homographie aux surfaces du second degré, nous conduiront naturellement à de nombreuses propriétés de ces surfaces, que les procédés analytiques, employés jusqu'à ce jour, n'avaient point encore indiquées; et ces applications feront peut-être voir qu'il est possible de baser sur de pures considérations de Géométrie et sans le secoars du calcul, une théorie très-étendue des surfaces du second degré, ainsi qae nous l'avons annoncé plus haut. L'analyse a de si beaux et de si immenses avantages sur la Géométrie, en tant d'autres circonstances, qu'on nous permettra d'ajouter ici que, dans cette théorie des surfaces du second degré, elle les cède à la méthode géométrique. Celle-ci y est beaucoup plus rapide et plus féconde que la voie du calcul ; elle est aussi pins lumineuse, parce que ne tirant ses ressources que de la nature même des choses, et sans considérations auxiliaires, elle montre mieux l'enchaînement des propositions, pénètre jusqu'à leur source, et peut conclure de quelque relation primordiale entre les figures, une infinité de déductions qui font autant de propositions diverses dont les rapports n'apparaîtraient pas toujours dans les formules et les transformations analytiques, et qui, dès lors, exigeraient des démonstrations différentes, souvent longues et pénibles \

S 18. Indépendamment des usages du principe d'homographie,

' Nous croyons avoir déjà présenté dans notre Mémoire sur les propriétés des cônes du second degré, un exemple des avantages que la méthode géométrique peut avoir souvent sur l'analyse dans la théorie des surfaces du second degré. Car , outre que la méthode analytique n'avait point mis sur la voie des divers théorèmes auxquels des considérations géométriques nous ont conduit , elle les démontrerait plus longuement que nous n'avons fait ; ce dont nous nous sommes convaincu en traduisant nos premières démonstrations en analyse.

Tox. XI. 34

â66 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

comme moyen de démonstration et de généralisation des propriétés de l'étendue, ce principe, en lui-même, renferme un troisième genre d'utilité, qui consiste dans la notion même de Yhomographie des figures. En effet, la considération de deux figures homographiques, et la connaissance des rapports qui les lient Tune à Tautre, présentent des vérités géométriques nouvelles , auxquelles peuvent se rattacher, comme corollaires, une foule de théorèmes connus, et qui peuvent conduire à beaucoup d'autres résultats nouveaux qu'on n'obtiendrait que difficilement sans le secours de cette doctrine des figures homographiques.

Par exemple, nous dirons que les diverses manières de décrire les coniques, données par Newton, Maclaurin, Dç Witt, etc., et un grand nombre de propriétés de ces courbes, qui paraissent n'avoir aucun rapport entre elles, sont des conséquences immédiates de la théorie des figures homographiques. ( Voir les Notes XV et XVI.)

Les propriétés que présente le système de deux corps parfaitement égaux, et même de deux corps semblables situés d'une manière quelconque dans l'espace, sont aussi des conséquences de cette même théorie. Et ces propriétés, qu'on n'a point encore cherchées, sont nombreuses et conduisent à divers théorèmes curieux sur le mouvement infiniment petit, et même sur le déplacement fini quelconque d'un corps solide *.

Nous ne considérerons, dans ce mémoire, les figures homographiques que comme moyen de déformation propre à la démonstration et à la généralisation des théorèmes; nous proposant d'exposer dans un autre écrit particulier leurs propriétés générales dont nous venons de parler.

Conclusion.

S 19. Après les considérations que nous venons de développer, sur

1 Nous cîtQrons, par exemple, ce théorème qui peut entrer dans les principes de la moca* nique pratique : On peut toujours transporter un corps solide d'une première position dans une autre position déterminée , par le mouvement continu d'une vis à laquelle on aurait fixé ce corps. ( F'oir le Bulletin universel des sciences, novembre 1830 ; ou la Correspondance mathématique de Bruxelles, tom. VII, pag. 352).

fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE, 267

la nature et la destination des deux principes de dualité et d'homographie^ on pensera peut-être que s'il doit exister^ dans la science de l'étendue^ quelques lois primordiales vraiment grandes et fécondes^ comme en analyse le calcul infinitésimal qui a résumé et perfectionné toutes les méthodes de quadratures et de maxima^ comme en mécanique le principe des vitesses virtuelles d'où Lagrange a tiré tous les autres^ comme dans les phénomènes célestes la grande loi de Newton \ on pensera peut-être, dis-je, que les deux simples théorèmes de Géométrie^ d'où dérivent les deux principes de dualité et d'homographie, sont de ceux qui approchent le plus, dans l'état actuel de la Géométrie , de ces grandes lois générales qui nous sont encore inconnues.

Ces deux théorèmes, en effet, embrassent dans leurs conséquences directes , non-seulement une multitude de vérités particulières , mais aussi des théories et des méthodes fécondes et d'une grande portée.

Sans entrer dans le détail des applications de ces deux théorèmes, et des routes nouvelles qu'ils ouvrent aux spéculations géométriques, il nous suffira de dire que le premier divise en deux grandes classes toutes les propriétés de l'étendue; qu'il n'en est pas une, quelque générale qu'elle soit, qu'il ne serve à convertir en une autre aussi générale dans son genre;

Que le second généralise toutes les vérités particulières et isolées , en montre les rapports communs, et les lie entre elles en les rattachant

■ C'e«t l'opinion , sans doute , des personnes accoutamées à contempler plus particulièrement les propriétés de retendue, leur nature, leur enchaînement et surtout cette continuité merveilleuse, qui leur donne, a un degré éminent, un caractère d'extensibilité indéfinie, que ne présentent point d'autres sciences positives; celle des nombres , par exemple. Cette opinion sur la Géométrie et son avenir est celle d'un savant, â qui ses travaux dans plusieurs parties différentes des sciences mathématiques, et la place distinguée qu'il a déjà prise, quoique jeune , dans les premières académies de FEurope , donnent une grande autorité : «t II est fâ- » cheux^ m'écrivait M. Quetelet, que la plupart des mathématiciens de nos jours jugent si

» défavorablement de la Géqmétrie pure Il m'a toujours paru que ce qui les retient

» le plus est le défaut de généralité des méthodes qu'ils pensent y voir. Mais est-ce bien la » faute de la Géométrie , ou de ceux qui l'ont cultivée? Je serai très -disposé à croire qu'il » existe quelques grandes vérités qui doivent être pour ainsi dire la source de toutes les » autres , à peu près comme le principe des vitesses virtuelles est pour la mécanique. »

268 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

à une seule et même yérité générale; et ce théorème comprend aussi ^ comme le premier^ des méthodes dans ses innombrables corollaires.

S 20. Les principes de dualité et d'homographie ^ et les diverses méthodes qui en dérivent; les autres modes de transformation que nous avons reconnus dans la Géométrie descriptive de Monge et dans la Géométrie perspective de M. Cousinery, et celui que fournit la théorie des projections stéréographiques ^ font^ avec la théorie des transversales^ les plus puissantes doctrines actuelles de la Géométrie récente 9 et lui donnent un caractère de facilité et d'universalité qui la distingue de la Géométrie ancienne.

Ces modes de transformation^ en effet ^ sont autant de moyens surs ^ de moules^ pour ainsi dire^ qui servent à créer à volonté des vérités géométriques sans nombre.

Qu'on prenne une figure quelconque dans Tespace, et l'une de ses propriétés connues; qu'on applique à cette figure l'un de ces modes de transformation^ et qu'on suive les diverses modifications ou transformations qu'éprouve le théorème qui exprime cette propriété, on aura une nouvelle figure, et une propriété de cette figure, qui correspondra à celle de la première.

Ces moyens, que possède la Géométrie récente, de multiplier ainsi à l'infini les vérités géométriques, peuvent être assimilés aux formules et aux transformations générales de l'algèbre , qui donnent avec sûreté et promptitude la réponse aux questions diverses qu'on leur soumet, ou bien, en quelque sorte, aux réactifs du chimiste, qui opèrent d'une manière sûre et invariable la transmutation des matières qu'il leur présente; ces moyens sont donc de véritables instrumens, que ne possédait point l'ancienne Géométrie, et qui font le caractère distino* tif de la Géométrie moderne.

Dans la Géométrie ancienne, les vérités étaient isolées; de nouvelles étaient difficiles à imaginer, à créer; et ne devenait pas géomètre inventeur qui voulait.

Aujourd'hui, chacun peut se présenter, prendre une vérité quelconque connue, et la soumettre aux divers principes généraux de trans-

formation; il en retirera d'autres vérités^ différentes ou plus générales; et celles-ci seront susceptibles de pareilles opérations ; de sorte qu'on pourra multiplier^ presque à l'infini^ le nombre des vérités nouvelles déduites de la première : toutes, il est vrai, ne mériteront pas de voir le jour , mais un certain nombre d'entre elles pourront offrir de Fintérét et conduire même à quelque chose de très-général.

Peut donc qui voudra^ dans l'état actuel de la science, généraliser et créer en Géométrie; le génie n'est plus indispensable pour ajouter une pierre à l'édifice.

Aussi croyons-nous pouvoir regarder la Géométrie dans un état prononcé de progrès et de perfectionnemens rapides; et pensons-nous qu'on peut dire aujourd'hui, avec raison, de cette science, ce qui a paru, dans un temps, faire le caractère exclusif de la Géométrie analytique : (( L'esprit de la Géométrie moderne est d'élever toujours les )) vérités soit anciennes , soit nouvelles, à la plus grande généralité )) qu'il se puisse \ »

1 Fontenelle , ffiêiotre de V Académie des sciences, ann. 1704 ; sur les spirales à Vinfini.

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