BA.BA' B'A.B'A

BCBC

AB.AB^ AC.AC

Ainsi cbacnne des trois équations (A) comporte les deux autres. (5) La propriété des six points, d'être en iuTolution, peut être exprimée par une équation entre six segmens seulement , formés par ces points entre eux. Cette équation sera :

AB'.BC/.CA' = AC'.CB'.BA' , on AB'.BCC'A' = AC.C'B'.BA% ou AB.B'C'.CA' = AC'.CB.B'A' , on AB.B'C.C'A' = AC.C'B.B'A'.

Ainsi chacune de ces quatre équations (B) exprime V involution des six points, et suffit ponr que les trois autres aient lieu.

(6) Les équations (B) se déduisent facilement des équations (A) par voie de mullipli-

cation; et, réciproquement ^ celles-ci se déduiBânl aussi, ai sèment,, des équations (^« Mais, puisque chacune des sept équations constitue^ à elle seule, Tin'volutiondes six points^ il faut que d'une quelconque on puisse aussi déduire celles du même groupe ; c'est-à-dire d'une des trois équations (Â) les deux autres; et d'une des équations (B) les trois autres. C'est en effet ce que Ton peut faire par le calcul, en transformant les différens segmens de l'équation proposée en d'autres qui ste prêtent à la démonstration cherchée. Mais cette sorte de vérification à poêteriori est longue, exige des tâtonnemens, et nVi rien d'élégant

Aussi l'on se sert , pour montrer que l'une des sept équations (A) et (B) comporte les six autres, d'une propriété géométrique tles six points, à savoir: qu'on peut faire passer par ces six points, les quatre côtés et les deux diagonales d'un quadrilatère. C'est ainsi qu'ont fait MM. Brianchon et Poncelet.

Mais nous avons trouvé qoe la notion du rapport anharfhonique de (Quatre ])oint8 procure une démonstration encore plus simple et plus directe , et conduit à beaucoup d^autres relations qui auront, comme les équations (A) et (B), leur degré d^utilité. Nous traiterons de cet objet dans la deuxième partie de cette Note.

(7) Les équations (A), entre huit segmens, sont faciles à former. La nature des relations (B), dans chacune desquelles n'entrent que six segmens^ ne paràtt pas aussi facile, au premier abord , à saisir ni à exprimer. Mais cependant voici une règle qùé nous croyons que l'on pourra retenir sans efforts de mémoire.

Qu'on prenne trois points A, B, C, appartenant aux trois couples; chacun deux fera deux segmens avec les conjugués des deux autres; on aura ainsi six segmens; le produit de trou de ces segmens^ qui ri* ont pas d* extrémité commune , e^t égal au produit de^ troi^ autres.

(8) Considérons un quatrième système de deux points conjugués D, D', et supposons que ces deux points forment une involution avec les quatre A, A' et B, B'; on aura l'équation :

AB.AB' A'B.A'B' AD.AD' "~ A'D.A'iy '

. La comparant avec la troisième des équations (A), on en conclut