AC.AC A'C.A'C AD.AD' "" A'D.A'IK

Ce qui prouve que les six points A , A', C , C et D , D', sont en involution.

D'où suit cette propriété générale de l'involution des six points, savoir que :

Si Von a en ligne droite plusieurs êystemeê de deux points , tels que les deux pre^ miers systèmes forment avec chacun des autres une involution $ trois quelconques de tous ces systèmes formeront aussi, entre etix une involution.

Ce théorème admet plusieurs conséquences qui sont trés^importantes dans la théorie de l'involution.

(9) La soiyante, par exemple ^ trouvera des applféatîons utiles :

Quand on a, en ligne droite, quatre eyetèmee de deux poinU y formant trois à trois une involution, quatre pointe appartenant respectivement aux quatre eyetèmee ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre autres points.

Ainsi A et A', B et B', G et G', el D et D', étant les quatre systèmes , on aura :

AC BC A^ ^ BT/ AD • BD ~ 17d' • ÏB^ '

En effet, les trois premiers systèmes formant une involution, on a (équations B),

AC A'C AB' BC ~ ¥(7' Tb'

et pareillement les trois systèmes A et A', B et B', et D et D', formant une iuTolution , on a: