OB

Chacune de ces sept équations comporte les six autres y et constitue seule l'insolation des cinq points A, A'^ B, B', et 0. La propriété caractéristique de ce point 0 est que son conjugué se trouve à Tinfini. Nous rappellerons le point central des deux systèmes A, A^ etB,B'.

La position de ce point central est déterminée par chacune des sept équations précédentes. La première exprime que le produit des dùtancee de ce point aux deux premiers pointe conjuguée, est égal au produit de see dietancee aux deux autres pointe confur gués s celte relation Ta nous conduire à une propriété remarquable de TinTolution de six points.

(12) Soient A, A' ? B, B' ; et C, G' ces six points; et soit 0 le point central relatif aux quatre premiers, de sorte qu'on ait OA.OA' =OB.OB'. Appelons un instant 0' son conjugué, lequel est à Tinfini. Les six points A, A', B, B' et 0, 0' forment une involulion. Il résulte donc du théorème (8) que les deux systèmes G, G' et 0, 0', et un quelconque des deux autres, le premier A^ A', par exemple, forment une involulion. G'est-à-dire que le point 0 est le point central des deux systèmes A, A^et G, G'. Ainsi Ton a OA.OA' = OG.OG'. Mais on a déjà OA.OA' = OB.OB' ; on conclut donc delà le théorème général :

Quand trois systèmes de deux points forment une involution, il existe toujours un certain point tel que le produit de ses distances aux deux points de chaque système est constant.

Réciproquement, quand sur une transversale on prend, à partir d*un point fixe O, deux points tels que le produit de leurs distances au point O soit igal à une quantité constante , trois systènus de deux points ainsi déterminés seront en involution.

Quand les deux premiers points seront pris du même côté par rapport au point 0, il en devra être de même des deux points de chacun des deux autres systèmes , pour que les pro-

doits aient le même signe; et pareillement quand les deux premiers points seront pris de côtés opposés par rapport à un point 0.

(13) Le théorème précédent, qui, je crois, n'a point encore asseï fixé l'altentioa dea personnes qui ont écrit sur cette matière, me paraît ulre la propriété la plus simple de l'involution de six points, et celle par laquelle se manifestera , le plys souvent , dans les spéculations géométriques^ cette involution.

Nous dirons que le point 0, considéré dans une involution de six points , est le point central de TinTolution.

(14) Ce point central conduit naturellement aux points doubler, dont nous avons déjà parlé, et fait voir que ces points peuvent être imaginaires.

En effet, soient A , A' ; B , B' , les quatre premiers points d'une involution, Ilssuflisenl pour déterminer le point central 0. Si les deux points A, A' sont d'un même côté par rapport à ce point 0, il en sera de même des deux points B, B% et des deux autres points C,C' qui doivent compléter l'involution. On peut dooc supposer que ces deux derniers se réunissent en un seul, que nous appelons E; et 1 ou aura , pour déterminer ce point, l'équation

OA.OA' = OB.OB' ='Ôe\

Ce point E peut être pris arbitrairement d'un c6té ou de Tautre du point 0; de sorte qu'il y aura deux points K

Ainsi les quatre premiers points A, A' et B, B' étant donnés, l'involution pourra être complétée de deux manières par un cinquième point qui sera considéré comme double*

Mais si l'on suppose que les deux premiers points A, A' soient placés de côtés différens, par rapport au point 0, il en sera de même des deux B, B', et des deux G, C qui doivent compléter l'involution; ces deux derniers ne pourront donc jamais se cooTondre. Ainsi dans ce cas il n'y aura pas de points doublet; l'analyse donnerait pour leur construction une expression imaginaire.

(15) Soient six points en involution A, A' ; B, B' et G, C Que les deux premiers soient du même côté du point central 0; on pourra prendre, des deux côtés de ce point , deux points E, F, tels que

ÔÊ"=ÔF' = 0A,0A',

Cette double équation exprime que les deux points E, F sont conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers A, A'.

Hais on a aussi