CHAPITRE PREmER

PREHIÈRE ÉPOQUE.

THALES,

$ L La Géométrie prit naissance chez les Ghaldéens et les Égyptiens.

Thaïes qui^ né en Phénicie^ alla s'instruire en Egypte^ et vint ensuite Bë 630 et mort 548 an. s'étafaUr à Milct. v fouda l'école ionienne, d'où sont sorties les sectes

avant J.-G. ^ ^ ^

des philosophes de la Grèce ^ et où commencèrent les premiers progrès de la Géométrie.

FTTHAcoEE, Py thagorc , né à Samos^ disciple de Thaïes, qui, comme lui, avait

néycpi58o.Y.ntj.-c. YQyagé cu Égyptc, puis dans les Indes, vint se retirer en Italie, et y fonda son école, beaucoup plus célèbre que celle d'où elle dérivait. Ge fut principalement à Pythagore, qui incorpora la Géométrie dans sa philosophie, et à ses disciples, que cette science dut ses premières découvertes. Les principales furent la théorie de Vincofnmensurabiltté de certaines lignes , comme la diagonale du carré comparée au côté ; et la théorie des corps réguliers. Ces premiers pas dans la science de l'étendue n'offrirent, du reste, que quelques propositions élémentaires, relatives à la ligne droite et au cercle. Les plus remarquables sont le théorème du carré de Vhypothénuse d'un triangle rectangle, dont la découverte coûta, dit l'histoire, ou la fable, une hécatombe à Pythagore; et la propriété qu'ont le cercle et la sphère d'être des maxima parmi les figures de même périmètre ou de même surface : propositions qui ofirent le premier germe de la doctrine des isopérimètres.

PLATOII ,

fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE, 5

^ 2. La Géométrie fut ainsi restreinte juscpi'à la fondation de l'école platonicienne^ époque de ses grands progrès.

B'iaton^ comme les sages de la Grèce qui l'avaient précédé^ alla s'inktniîre dans les mathématiques chez les prêtres égyptiens^ puis en *8o~847 ayant j.-c. Italjie auprès des pythagoriciens.

^ retour à Athènes , ce chef du Lycée introduisit dans la Géoméfoiet la méthode analytique ^ ^ les sections coniques^ et la doctrine des Uetfi.x géométriques. Découvertes mémorables^ qui firent de la Géométrie ^ pour ainsi dire^ une science nouvelle^ d'un ordre plus élevé que la Géométrie élémentaire cultivée jusque là^ et que les disciples de Platon appelèrent Géométrie transcendante.

La doctrine des lieux géométriques ^ fut appliquée^ dès ce temps ^ d'une manière très-savante^ aux fameux problèmes de la duplication du cube, des deux moyennes proportionnelles ^ et de la trisection de Fangle.

Le premier de ces problèmes^ célèbre par sa difficulté et par son hippoceatedechio, origine fabuleuse^ avait déjà occupé les géomètres. Hippocrate de Ghio^ si connu par la quadrature de ses lunules^ l'avait réduit à la recherche

' La définition suîyante de Vanaiyse et de la synthèse y rapportée par Yiète, au commencement de son Isagoge in artetn analyticem, caractérise parfaitement les deux méthodes des Andens : u II est en mathématiques une méthode pour la recherche de la vérité, que Platon » pusse pour avoir inventée , que Théon a nommée analyse et qu'il a définie ainsi : Regarder a la chose cherchée , comme si elle était donnée, et marcher de conséquences en conséquences, » jusqu^à ce que Von reconnaisse comme vraie la chose cherchée. Au contraire , la synthèse se 1» définit ; Partir d^une chose donnée , pour arriver de conséquences en conséquences à trouver une m ehoêe cherchée. »

2 On appelle lieu, en Géométrie, une suite de points dont chacun résout une question proposée , on jouit d'une certaine propriété dont ne jouit pas aucun autre point pris au dehors de ce lieu. Les Anciens distinguèrent les lieux géométriques en diverses classes. Ils nommèrent iieusB plana la ligne droite et la ligne circulaire dont la génération a lieu sur un plan ; lieux Molides les sections coniques , parce qu'on concevait leur génération dans le solide ; enfin lieux iiméaires toutes les courbes d'un ordre supérieur , telles que les conchoîdes, les cissoïdes , les qyirales et les quadratrices.

On a appelé théorème local, un théorème où il s'agit de démontrer qu'une suite de points d'une ligne , droite ou courbe , satisfait aux conditions d'une question proposée , et problème hcal celui où il s'agit de trouver une suite de points dont chacun satisfasse à une question proposée.

vers 450 avant J.-C.

6 HISTOroE DE LA GEOMETRIE.

de deux moyennes proportionnelles entre le côté du cube donné ett le double de ce coté ; ce qui probablement a donné lieu au problème f général des deux moyennes proportionnelles. ;

Celui-ci a été résolu de différentes manières qui toutes font honnjeur aux géomètres de l'antiquité. La première solution est due à Plaiion^ qui employa un instrument composé d'une équerre sur Fun des cœliés de laquelle glisse une droite qui lui est perpendiculaire^ et reste c|onséquemment parallèle au second coté; premier exemple sans doilté^ d'une solution mécanique d'u|i problème de Géométrie. > /

Menechme^ disciple de Platon^ se servit deH lieua: gëométriqnes ^ qui furent deux paraboles^ ayant même sommet et leurs axes rectaipigu* laires ; ou bien une parabole et une hyperbole entre ses asymptotes.

Eudoxe^ autre disciple et ami de .Platon^ se servait de certames courbes qu41 avait inventées pour cet objet ; malheureusement sa solution ne nous est point parvenue; et nous ne savons quelles étaiei^ ses courbes. ^

La solution d'Architas^ célètre pythagoricien dont Platon avait isuivi les leçons en Italie^ était purement spéculative ; mais elle a cela de remarquable qu'elle faisait usage d'une courbe à double courbure y qui parait être la première qui ait été considérée par les géomètres ; du moins elle est la plus ancienne de celles qui nous sont parvenues ^.

Les quatre solutions du problème des deux moyennes proportionnelles que nous venons de citer sont^ comme on voit ^ essentiellement différentes. Ce problème continua pendant un grand nombre de siècles d'occuper les géomètres^ qui en multiplièrent les solutions. Eutocius^

' Voici la description de cette courbe : « Qae, sar le diamètre de la base d'un cylindre M droit circulaire , on conçoive un demi-cercle dont le plan soit perpendiculaire à celui de la » base du cylindre ; que le diamètre tourne autour d'une de ses extrémités et emporte, dans n ce mouvement circulaire, le demi-cercle, toujours situé dans un plan perpendiculaire à H celui de la base du cylindre ; ce demi-cercle rencontrera dans chacune de ses positions la I» surface cylindrique en un point ^ la suite de tous ces points formera la courbe à double » courbure en question. »

Pour résoudre le problème des deux moyennes proportionnelles, Arcbitas coupait cette courbe par un cône de révolution autour de l'arête du cylindre, menée par l'extrémité fixe du diamètre du demi-cercle mobile \ le point d'intersection donnait la solution cherchée.

mathématicien du YI^ siècle ^ rapporte y dans son commentaire sur le second livre de la sphère et du cylindre d'Archimède, celles d'Ératosthène^ d'Apollonius^ de Nicomède^ de Héron ^ de Philon de Bisance^ de Pappus^ de Dioclès et de Sporus. Nous citons ces mathématiciens suivant l'ordre chronologique.

$ 3. Les savantes méthodes ébauchées par Platon et ses disciples^ furent cultivées avec ardeur par leurs successeurs^ et fournirent la matière à plusieurs ouvrages assez considérables^ où furent développées les principales propriétés de ces célèbres courbes^ les sections coniques qui^ deux mille ans après^ ont joué un si grand rèle dans le mécanisme de l'univers, lorsque Kepler les reconnut pour les vraies orbites parcourues par les planètes et leurs satelUtes, et que Newton découvrit dans leurs foyers les points mêmes où résident les forces qui animent tous les corps du système du monde.

Le principal de ces ouvrages était d'Aristée; il contenait cinq abishêb, livres sur les sections coniques; les Anciens en parlent avec beaucoup Ter«85o.Y.nt j.-c. d'éloges; mais malheureusement ils ne nous sont point parvenus; non plus que cinq livres sur les lieux solides du même géomètre ^

§ 4. C'est à peu près à cette époque que remonte la découverte de dinostbatb. la quadralrice de Dinostrate. Cette courbe dont la principale propriété la rend propre à la division d'un angle en un nombre quelconque de parties proportionnelles à des lignes données, parait avoir été inventée pour-résbudre le problème. de la trisection de l'angle^ agité dans l'école de Platon. Elle résoudrait aussi le problème de la quadrature du cercle^ si l'on savait la construire géométriquement; et c'est cette propriété qui lui a fiait donner^ chez les Anciens^ le nom de quadratrice. Il parait^ d'après Pappus^ que cette propriété a été découverte

I Ces cinq livres sur les lieux solides, dont parle Pappns dans le 7* livre de ses Collections inathématiqaes , ont été rétablis sur cette indication , par Viviani , dans le style par de la géométrie ancienne, sons ce titre : De locie êolidiê êecunda divinatio geometrica in quinque libros injuria temporum amiêsee Aristei êenioriê geotnetrœ auctore Vincentio Viviani^ etc. (In-foL, Florence , 1701 ). Viviani avait déjà rétabli (en 16B9) le 8« livre des coniques d'Apollonius , dont on n'avait alors que les quatre premiers , et qui a été retrouvé avec les 6« et 7" par Borelli I pendant que Viviani terminait son travail.

8 fflSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE.

par Dinostrate^ frère de Menechme. De là^ les Modernes ont appelé cette courbe la quadratrice de Dinostrate. Cependant il semble résulter de deux passages de Proclus * que Hippias , géomètre et philosophe contemporain de Platon, en est le véritable inyonteur, et en avait démontré les propriétés K

§ 5. C'est dans ces premiers temps de la Géométrie que nous parait devoir être placé Perseus, qui mérite quelque célébrité pour l'invention de ses lignes sptriques. Ce géomètre formait ces courbes en coupant, par un plan, la surface annulaire, ou tore, que produit la révolution d'un cercle autour d'un axe fixe, mené dans son plan.

Il ne nous reste d'autres renseignemens sur ce sujet qu'un passage de Proclus, dans son commentaire sur le 1®^ liyre d'Euclide ', où il décrit distinctement la génération de ces courbes dans la surface annulaire, et en attribue l'invention à Perseus.

Quelques lignes plus bas, Proclus ajoute que Geminus avait écrit sur ces lignes spiriques. Ce document est précieux, parce qu'il prouve l'antériorité de Perseus sur Geminus qu'on sait avoir vécu vers le temps d'Hipparque, dans les deux premiers siècles avant l'ère chrétienne.

Il est à regretter que les écrits de Perseus et ceux de Geminus ne nous soient pas parvenus; il serait intéressant de voir leur théorie géométrique de ces spiriques , qui sont des courbes du quatrième degré, dont l'étude semble exiger aujourd'hui des équations de sur-

1 F'oy. la proposition 9 du liyre 3 , et le commencement da 4* livre du Commentaire de Pro» dus sur le 1*" livre d'Euclide.

2 Le P. Lëotaud , géomètre du XTII** siècle , très-yersë dans la Géométrie ancienne , a écrit sar cette courbe un traité , où il lui découvre une infinité de propriétés curieuses , qui répondent au titre du livre : Liher in quo mirabilee quadratricis faculiates variœ exponuntur. L'auteur la compare é la spirale d'Archimède et a la parabole ; la fait servir à la détermination des centres de gravité ; lui reconnaît des branches infinies , etc. Jean Bernoulli a aussi découvert quelques propriétés de cette courbe. ( F'oy. tom* P', pag. 447 de ses Œuvres j et tom. II , pag. 176 et 179 du Commerce épistolaire avec Leibnitz, )

s Sur la définition quatrième d*£uclide.

Proclus parle aussi des spiriques dans son commentaire de la définition septième, et au commencement de son 4« livre, où il dit encore leeêpiriqueê de Perseue.