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mSTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE. 9

laces ^ et un calcul analytique assez profond {voyez la note 1).

§ 6. Euclide^ le célèbre auteur des Élémens çle Géométrie , établit le buclide, lien entre l'école de Platon^ où il avait étudié^ et celle d'Alexandrie^ qui prenait naissance.

Beaucoup de géomètres chez les Grecs avaient écrite ayant Ëuclide, sur les élémens de Géométrie j Proclus nous transmet leurs noms^ et y distingue Hippocrate de Ghio; Léon^ dont l'ouvrage était plus plein ^ plus utile que celui de son prédécesseur; Theudius de Magnésie ^ recommandable pour Tordre qu'il avait mis dans sa rédaction; Hermotime de Golophon^ qui^ perfectionnant les découvertes d'Eudoxe et de Thœtéte ^ mit aussi beaucoup du sien dans les élémens. Peu de temps après vint Euclide^ « qui^ ajoute Proclus^ rassembla les élé- » mens^ mit en ordre beaucoup de choses trouvées par Eudoxe^ » perfectionna ce qui avait été commencé par Thœtète, et démontra » plus rigoureusement ce qui n'avait encore été que trop mollement )) démontré avant lui. )> ^.

Euclide introduisit dans les élémens de Géométrie^ la méthode appelée Réduction à Fabsurde, qui consiste à prouver que toute supposition contraire à une proposition énoncée conduit à quelque contradiction ; méthode utile surtout dans les questions où l'infini se présentait sous la forme des irrationnelles^ dont Archiméde dans plusieurs de ses ouvrages^ et Apollonius dans son 4^ livre des coniques^ ont fait un usage heureux^ et dont les géomètres^ de nos jours encore, ont tiré un grand parti , dans des questions où la science n'était pas encore assez avancée pour procurer des démonstrations directes, les seules qui mettent une vérité dans toute son évidence, et qui éclairent et satisfassent pleinement l'esprit.

Les élémens d'Euclide sont en treize livres. On y joint ordinairement deux autres livres sur les cinq corps réguliers, attribués à Hypsicle, géomètre d'Alexandrie, postérieur à Euclide de 150 ans.

a Pour se former une idée de l'ouvrage entier, on pourrait le con-

' Proclas , liyre 2, chap. IV, de ton Commentaire sqr le 1^' livre d'Euclida.

To«. XI. 2

sidérer comme composé de quatre parties. La première comprendrait les 6 premiers livres, et se diviserait en trois sections ; savoir : la démonstration des propriétés des figures planes, traitée d'une manière absolue, et comprise dans les livres 1 , 2, 3 et 4; la théorie des proportions des grandeurs en général, objet du 5^ livre; et l'application de cette théorie aux figures planes. La seconde partie renfermerait les 7®, 8® et 9® livres, qu'on désigne par l'épithète ^arithmétiques y parce qu'ils traitent des propriétés générales des nombres. La troisième partie serait formée du 10^ livre seulement, où. l'auteur considère en détail les grandeurs incommensurables. La quatrième partie, enfin, se composerait des 5 derniers livres, qui traitent des plans et des solides. De tout ce grand corps de doctrine, on n'a fait passer dans l'enseignement que les 6 premiers livres, le 11® et le 12® \ »

§ 7. C'est surtout à ses Élémens qu'Euclide doit la célébrité de son nom. Mais ce n'était pas le seuf de ses ouvrages qui méritât l'admiration. Ce grand géomètre avait reculé les bornes de la science par divers autres écrits, qui ne lui feraient pas moins d'honneur, s'ils nous étaiejit parvenus. L'un d'eux seulement, mais le moins important, intitulé les Données ^nons est connu. C'est une continuation des Élémens^ destinée à en faciliter les usages et les applications à toutes les questions qui sont du ressort de la Géométrie.

Euclide appelle donné ^ ce qui résulte immédiatement, en vertu des propositicms comprises dans ses Élémens ^ des conditions d'une question.

Par exemple : a Si, d'un point donné on mène une droite qui touche un cercle donné de position, la droite menée est donhee de position et de grandeur. » (Proposition 91 des Données d'Euclide.)

Les propositions des Données étaient toujours citées comme celles des Élémens^ par les géomètres anciens et ceux du moyen âge, dans toutes leurs recherches géométriques; Newton même en fait usage dans ses Principes^ ainsi que des coniques d'Apollonius : mais depuis,

1 Nous empruntons cette analyse des ëlémens d'Euclide de Texcellente Notice de H. Lacroix, insérée dans la Biographie Univetêelle,

ces traces de l'antiquité ont disparu des écrits des géomètres^ et le livre des Données n'est plus guère connu que de ceux qui étudient l'histoire de la science *.

On peut déduire aisément de quelques propositions du livre des Données^ la résolution des équations du second degré ^ qu'on ne trouve^ chez les Anciens^ que dans Diophante^ postérieur de plus de 600 ans à Euclide. Telle est^ par exemple^ cette proposition : k Si deux droites comprennent un espace donnée dans un angle donnée et si leur somme est donnée^ chacune d'elles sera donnée. »( Proposition 85 )^

Le 13® livre des Élémens, qui traite de l'inscription au cercle et à la sphère des polygones et des polyèdres réguliers^ contient à la suite de la 5^ proposition^ la définition suivante de l'analyse et de la synthèse : (( Ce que c'est que l'analyse, et ce que c'est que la synthèse.

)) Dans l'analyse, on prend comme accordé ce qui est demandé, » parce qu'on arrive de là à quelque vérité qui est accordée.

» Dans la synthèse^ on prend ce qui est accordé, parce qu'on )) arrive de là à la conclusion , ou à l'intelligence de ce qui est de- » mandé. »

Plusieurs propositions, à la suite de cette définition, sont traitées par l'analyse et par la synthèse.

$ 8. Parmi les ouvrages d'Euclide qui ne nous sont point parvenus,

^ Eaclide fait usage, dans ses Données ^ d*une expression embarrassante dans le raisonnement, et dont le sens même est difficile à comprendre dans la définition qu'il en donne. Comme elle se trouve dans Apollonius et dans Pappus, et qu'elle était encore employée dans des oq- Trages du dernier siècle , nous croyons utile de faire mention ici de cette expression. Eudide dit que : « Une grandeur est plus grande a Tégard d'une autre d^une donnéequ'en raison , quand la grandeur donnée étant retranchée , le reste a avec l'autre une raison donnée, n (Définition 11* des Données.) Ainsi soit A plus grand que B d'une donnée qu'en raison; soit c cette donnée,

et fc la raison , on aura — ~ — sas ^, B

Eudide a touIu , comme on Toit , énoncer sous forme d'une égalité ii deux termes une équation à trois termes.

2 Cette question renferme la résolution des deux équations sy=a^j et â; + y=b, qui donnent immédiatement l'équation du second degré x^^-bx-^ a*^zo. Ainsi la solution de la question d'Euclide donne les racines de cette équation du second degré.

Une autre proposition (la 87«) résout les deux équations xy^s^sa^j et x^ — fiy^sszfi^ , dont les racines s'obtiennent par une équation du quatrième degré , réductible au second.

les géomètres regrettent principalement quatre liyres sur les sections coniques^ dont il avait considérablement augmenté la théorie; deux livres sur les lieua; à la surface * ; et enfin ^ trois livres sur les porismes.

D'après la préface du 7^ livre des Collections mathématiques de Pappus^ il parait que ce traité des porismes brillait d'un génie pénétrant et profond^ et qu'il était éminemment utile pour la résolution des problèmes les plus compliqués. ( CoUectio artificiosissima tnultarum rerum^ quœ spectant ad analysin difficiliorum et generalium problematum.) Trente-huit lemmes^ que ce savant commentateur nous a laissés pour l'intelligence de ces porismes , nous prouvent qu'ils formaient un ensemble de propriétés de la ligne droite et du cercle^ de la nature de celles que nous fournit^ dans la Géométrie récente^ la théorie des transversales.

Pappus et Proclus sont les seuls géomètres de l'antiquité qui aient fait mention des porismes; mais déjà^ au temps du premier^ la signification de ce mot s'était altérée, et les définitions qu'il nous en donne sont obscures. Celles de Proclus n'est pas propre à éclaircir les premières. Aussi^ ça été une grande question parmi les Modernes^ de savoir la nuance précise que les Anciens avaient établie entre les théorèmes et les problèmes d'une part, et ce troisième genre de propositions, appelées porismes, qui participaient, à ce qu'il parait, des uns et des autres ; et de savoir particulièrement ce qu'étaient les porismes d'Euclide.

Pappus, il est vrai, nous a transmis les énoncés de trente propositions appartenant à ces porismes , mais ces énoncés sont si succincts , et sont devenus si défectueux par des lacunes et l'absence des figures qui s'y rapportaient, que le célèbre Halley, si profondément versé dans la Géométrie ancienne, a confessé n'y rien comprendre*, et

1 Nous formerons , dans la Note II, quelques conjectores sar cet ouvrage d'Euclide, qu'on n'a point encore cherche à rétahlir.

^ Note de Halley, à la suite du texte de Pappus sur les porismes , reproduit arec la préface du 7* liyre des Collections mathématiques , au commencement du traité d'Apollonius de sectione rattonù , in-Ào ^ 1706.

qae^ jusque vers le milieu du siècle dernier^ bien que des géomètres d'un grand mérite {voyez la Note III) aient fait de cette matière l'objet de leurs méditations^ aucun énoncé n'ayait encore été rétabli.

Ce fut R. Simson qui eut la gloire de découvrir la signification de plusieurs de ces énigmes^ ainsi que la forme des énoncés qui était propre à ce genre de propositions.

Voici le sens de la définition que ce géomètre a donnée desporismes :

Le porisme est une proposition dans laquelle on annonce pourvoir déterminer y et où Von détermine effectivement certaines choses ^ ayant une relation indiquée y avec des choses fixes et connues ^ et avec d autres choses variables à V infini ; celles-ci étant liées entre elles par une ou plusieurs relations connues ^ qui établissent la loi de variation à laquelle elles sont soumises.

Exemple : Étant donnés deux axes fixes^ si de chaque point d'une droite on abaisse des perpendiculaires j9^ q sur ces deux axes^ on pourra trouver une longueur de ligne a^ et une raison a telles^ que l'on ait entre ces deux perpendiculaires la relation constante ^^ = «.

(Ou, suivant le style ancien, la première perpendiculaire sera plus grande à l'égard de la seconde d'une donnée qu'en raison. )

Ici, les choses fixes données sont les deux axes; les choses variables sont les perpendiculaires p^ q; la loi commune à laquelle ces deux choses variables sont assujéties, est que le point variable, d'où ces perpendiculaires sont abaissées, appartient à une droite donnée; enfin, les choses à trouver sont la ligne a, et la raison a, qui établiront entre les choses fixes et les choses variables de la question la relation prescrite.

Cet exemple suffit pour faire comprendre la nature des porismes, comme l'a conçue R. Simson, dont l'opinion a été généralement adoptée depuis.

Cependant nous devons ajouter que tous les géomètres n'ont pas reconnu dans l'ouvrage de Simson la vraie divination de celui d'Euclide. Pour nous, en adoptant le sentiment du célèbre professeur de Glasgow, nous dirons pourtant que nous ne trouvons pas dans son

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trayail^ la divination complète de la grande énigme des porismes. Cette question^ en effets était complexe^ et ses différentes parties exigeaient toutes une solution que Ton cherche en Tain dans le traité de Simson.

Ainsi l'oji devait se demander :

1^ Quelle était la forme des énoncés des porismes;

2^ Quelles étaient les propositions qui entraient dans l'ouvrage d'Ëuclide; notamment celles dont l'indication^ très-imparfaite^ nous est laissée par Pappus;

3<^ Quels ont été l'intention et le but philosophique d'Ëuclide^ en composant cet ouvrage dans une forme inusitée ;

4^ Sous quels rapports il méritait l'éminente distinction qu'en fait Pappus^ parmi les autres ouvrages de l'antiquité; car la forme seule de l'énoncé d'un théorème n'en constitue pas le mérite ni l'utilité;

5^ Quelles sont les méthodes^ ou les opérations actuelles^ qui se rapprochent le plus^ sous une autre forme ^ des porismes d'Ëuclide^ et qui les suppléent dans la résolution des problèmes; car on ne peut croire qu'une doctrine aussi belle et aussi féconde ait disparu complètement de la science des géomètres;

6^ Et enfin^ il y aurait à donner une interprétation satisfaisante de différens passages de Pappus sur ces porismes; par exemple^ de celui où il dit que les Modernes ne pouvant tout trouver par eux-mêmes^ ou^ en quelque sorte^ porismer complètement^ ont changé la signification du mot; car si le porisme n'avait consisté que dans la forme de son énoncé^ comme il semble résulter du traité de R. Simson^ il aurait toujours été facile de porismer toutes les propositions qui en auraient été susceptibles^ et on ne voit pas pourquoi les Modernes y auraient trouvé des difficultés qui leur auraient fait changer la signification du mot.

Nous sortirions du cadre de cet écrite en poussant plus loin ces réflexions sur la doctrine des porismes^ mais ce sujet nous paraissant offirir beaucoup d'intérêt^ à raison surtout de ses rapports avec les théories qui font le domaine de la Géométrie moderne^ nous donnerons suite à ce paragraphe^ dans la Note III^ où nous essaierons même

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de présenter quelques idées nouvelles sur cette grande question des porismes.

§ 9. Peu de temps après Euclide^ deux hommes d'une force d'esprit ahchmède, prodigieuse^ Archimède et Apollonius ^ marquèrent la plus grande 287.212 .t«i j.-c. époque de la Géométrie chez les Anciens^ par de nombreuses décou* Tertes^ qui ont fondé plusieurs théories des plus importantes aujour* d'hui dans toutes les parties des sciences mathématiques.

La quadrature de la parabole ^ donnée de deux manières différentes par Archimède^ fut le premier exemple de la quadrature rigoureuse d'un espace compris entre une courbe et des lignes droites.

Chacun sait que les spirales^ la proportion de leur aire avec celle du cercle^ et la manière d'en mener les tangentes^ que le centre de gravité d'un secteur parabolique quelconque; l'expression des volumes des segmens des sphéroïdes^ et des conoïdes paraboliques et hyperboliques *j la proportion de la sphère et du cylindre circonscrit; le rapport de la circonférence au diamètre^ etc.^ sont d'autres découvertes d'Archimède. Découvertes à jamais mémorables pour la nouveauté et la difficulté qu'elles présentaient alors ^ et parce qu'elles sont le germe d'une grande partie de celles qui ont été faites depuis^ principalement dans toutes les branches de la Géométrie qui ont pour objet la mesure des dimensions des lignes et des surfaces courbes^ et qui exigent la considération de l'infini.

La question du rapport de la circonférence au diamètre était le prraûer exemple d'un problème résolu par approximation; exemple si utile ^ et si souvent mis à profit dans le calcul algébrique^ comme dans les constructions géométriques.

$ 10. Les procédés d'Archimède^ pour démontrer des vérités si nouyelles et si difficiles^ constituent la méthode dewhau^tion, qui consistait à regarder la grandeur cherchée^ l'aire d'une courbe ^ par exemple ^ conune la limite dont s'approchaient de plus en plus des polygones

^ Arcbimëde appelle sphérotâes les solides engendres par la révolntion d*une ellipse toarnant sar son grand on son petit axe ; et conoïdeê les solides engendrés par la révolution d'une parabole ou d'une hyperbole tournant sur son axe.

inscrits et circonscrits dont on multipliait^ par la bissection^ le nombre des côtés ^ de manière que la différence devint plus petite qu'aucune quantité donnée. On épuisait ainsi ^ en quelque sorte ^ cette différence ; d'o ji est yenu le nom de méthode d ewhaustion. Ce rapprochement continuel entre les polygones et la courbe donnait de celle-ci une idée de plus en plus précise; et, la loi de continuité servant de guide, on parvenait à la connaissance de la propriété cherchée. Ensuite, on démontrait, en toute rigueur, le résultat ainsi obtenu^ par le raisonnement ad absurdum.

On a dit souvent que les Anciens avaient regardé les courbes comme des polygones d'une infinité de cètés. Mais ce principe n'a jamais paru dans leurs écrits ; il n'aurait pu convenir à la rigueur de leurs démonstrations; et ce sont les Modernes qui l'ont introduit dans la Géométrie, et ont simplifié par là les anciennes démonstrations. Cette idée heureuse fut le passage de la méthode d'exhaustion aux méthodes infinitésimales.

On a dit aussi que la méthode d'Archimède était embarrassée et difficile à concevoir; et Ton s'appuie du témoignage de Boulliaud, géomètre assez habile du XYII^ siècle, qui dit n'avoir pu bien comprendre les démonstrations du livre des spirales. Mais cette opinion est contraire aux sentimens des Anciens, que l'ordre et la clarté admirables qu'Euclide avait introduits dans la Géométrie, rendaient si bons juges dans cette question. Pour la repousser avec la propre opinion des Modernes, il nous suffit de dire qu'elle est contraire aussi au sentiment de Galilée et de Maclaurin, qui avaient profondément médité sur les ouvrages d'Archimède. « Il est vrai, ajoute Maclaurin, qu'il a cru devoir établir plusieurs propositions pour préparer à la démonstration des principaux théorèmes, et c'est ce qui a fait regarder sa méthode comme ennuyeuse. Mais le nombre dé pas n'est pas le plus grand défaut qu'une démonstration puisse avoir : on doit seulement examiner s'ils sont nécessaires pour rendre la démonstration parfaite et concluante. » {Traité des fluxions y introduction. )

M. Peyrard, qui paraît être de nos jours le savant qui a le plus