CA.A'B'.BC' = C'A'.AB.B'C
exprime, en même temps, trois égalités de rapports anharmoniques ^ savoir, entre les quatre points A , B , G, G' et leurs correspondans A', B', G', G; entre les quatre points A, B, G, B' et leurs correspondans; et enfin entre les quatre points A, B', G, A', et leurs correspondans.
Ghacune des autres équations (B) exprime pareillement une égalité de rapports anharmoniques entre trois couples différens de quatre points , et on reconnaît aussi que chacune des équations (A) exprime une égalité de rapports anharmoniques entre deux couples de quatre points. On conclut de là que les six pointé A etA\ B et B', C et C y étant en involutian y quatre quelconques d^ entre eux , dont trois appartiennent aux
iroi^ gyêthneê , ont leur rapport anharmonique égal à celui deê points correë^ pondanê.
(35) Nous disons que trois des quatre premiers points doivent appartenir aux trois systèmes; car autrement, deux des six points n'entreraient pas dans Téquation résultant des deux rapports anharmoniques. Par exemple, si les quatre premiers pointsétaient Â,B, A', B', leurs correspondans seraient A', B', A, B; et, en égalant le rapport anharmonique des quatre premiers à celui des quatre autres, on n'aurait pas une relation entre les six points proposés, puisque G et G' n'y entreraientpas. Mais l'équation qu'on obtient ainsi est identique. Nous pouvons donc énoncer d'une manière générale le théorème suivant :
Quand six points , qui se correspondent deux à deux , sont en involution , le rapport anharmonique de quatre quelconques d^ entre eux est égal au rapport anharmonique des quatre points qui leur correspondent respectivement.
Ge théorème nous semble exprimer la propriété la plus féconde de la théorie de Tin- Tolution de six points; il conduit naturellement à différentes expressions de l'inyolution, que l'on n'a pas encore aperçues.
Nous allons les faire connaître.
(36) Nous avons vu , dans la Note précédente , que l'égalité des rapports dnharmo* niques de deux systèmes de quatre points peut s'exprimer de trois manières par une équation à trois termes; d'après cela on trouve que la condition d'involution de six points peut s'exprimer de douze manières par une équation à trois termes. Quatre de ces douze équations contiennent le segment AA', compris entre deux points conjugués, quatre contiennent le segment BB', et quatre enfin le segment GC
Voici quelles sont les quatre premières de ces douze équations :
