BX.B'C B'A'.B'A
CB.CB' CA'.CA
De ces huit équations, les quatre dernières, numérotées T, 2', 3', 4', se déduisent respectWeinent des quatre premières numérotées 1, 2, 3, 4, au moyen des équations (A).
Nous donnerons plus loin (45), la démonstration de ces huit équations.
(38) Voici une formule d'une autre forme, qui exprime TinToIution de six points, par une équation à quatre termes, entre six segmens différens.
Soient a, S, y, les points milieux des trois segmens AA', BB',CC'; supposons ces trois points placés dans Tordre a, S, y y on aura la relation
«A .Cy — ^B .ay H- yC .«^ = aS,Cy.ya.
Cette équation est unique; c'est-à-dire qu'il n'en existe point une seconde qui ait la même forme.
Sa démonstration se déduira (46) d'une autre relation générale, que nous donnerons ci-dessous.
(39) Quand les deux points C, G' se confondent en un seul point £, la relation deyient
âÂ\^E — 7B\aE = aC. «E. CE. Si les deux points B, B' se confondent aussi en un seul F, il yient :
Toi. XI.
C'est une des formules qui expriment que les points A , A' sont conjugués bannoniques par rapport aux deux E, F.
(40) On peut exprimer , comme on sait^ la relation harmonique de quatre points, au moyen d'un cinquième point arbitraire, auquel on rapporte les quatre points proposés. Il est aussi une manière d'exprimer Finyolution de six points en se seryant d'un point auxiliaire, auquel on rapporte les six points proposés; et cette manière donne lieu à un nombre infini d'équations, dont une seule suffit pour exprimer l'inyolution.
Soient A et A', B et B', C et G' les six points en inyolution, et m un septième point pris arbitrairement sur la droite sur laquelle sont situés les premiers; soient a, ^, }^, les points milieux des segmens AA"*, BB', CC; supposant ces points placés dans l'ordre où nous les énonçons , on aura la relation
(F) mA. mA'.Cy — mB.iwB'.ay -4- mC. mC. aC== o.
Cette équation a lieu quelle que soit la position du point m.
En supposant que ce point se confonde successiyement ayec les points en inyolution, ou ayec les poiuts a, 6, ^, ou ayec diyers autres points déterminés, on aura diyerses relations qui exprimeront toutes l'inyolution de six points.
(41) La démonstration de l'équation (F) est facile. Nous allons faire yoir que si cette équation a lieu pour une position du point m, elle aura lieu aussi pour une autre position quelconque de ce point; c'est-à-dire qu'en appelant H cette nouvelle position du point m , on aura nécessairement
(F') MA.MA'.^y— MB.MB'.«r-^ MC.MC'.aC=o;
ensuite nous montrerons que l'équation (F) a efi'ectiyement lieu pour une certaine position du point m.
Pour déduire l'équation (F') de l'équation (F), j'écris :
mA = MA — Mm, mA' = MA' — Mm , mA.mA' == MA.MA' — (MA + MA') Mm -^ Âî^ ,
ou
Pareillement ; et
mA.mA' = MA.MA' — SMa.Mm + Mm .
mB.mB' = MB.MB' — 2MC. Mm + lûm ,
mC.mC = MC.MC — SMr.Mm ^ M^.
L'équation (F) deyient donc :
MA.MA'.^y — MB.MB'.ay^ MC.MC'.«C — Î.Mm. (CrMtf — ayMC ^- aCMy) -f- (Cy— «y -f- aC) Sûï' =: 0.
Or 9 on a y entre les quatre points a, f , ^^ M, la relation
Cy,Ma — ayMC -4- aC.My = o,
aiofli que nous TavoDA démontré dans la Note IX (pag. 305 ); on a aussi , entre les points a, 6, ^, la relation
Çy — «y -f- aC SIS 0 i
l'équation ci-dessus se réduit donc à Téquation (F'), qu'il s'agissait de démontrer.
Il reste à faire voir que Téquation (F) a lieu pour une certaine position particulière du point m. Supposons que le point soit situé au point central &e Tinvolution des six points; on aura mA.mÂ' =s mB.mB' s= mCmC ; et Téquation se réduira à
Cy — «y H- rtC = o , équation identique.
Ainsi la formule (F') , ou (F) qui lui est semblable, est démontrée.
(42) On peut remplacer dans Téquation (F) les segmens «S, «y, Sy, par d'autres segmens entre les seuls points A, Â', B, B', G et G' : car on a
BC -f- B'C AC -f. A'C AB -t- A'B'
Çy = , «y = aC =z •
(43) Supposons que dans TinTolution les deux points G , G', se confondent en un seul £ , et que les deux points B, B', se confondent aussi en un seul F; l'équation deyiendra h
(G). ..... wA.wA'.EF — wF" aE -f- mE\a¥ = o. |j
Cette équation exprime une relation entre quatre points A, A', E^F, dont les deux premiers sont conjugués harmoniques par rapport aux deux autres, et un cinquième point m pris arbitrairement.
En donnant à ce cinquième point différentes positions particulières, on aura différentes V
expressions de la relation harmonique de quatre points.
(44) L'équation (F) nous parait être, jusqu'ici, l'expression la plus étendue et la plus féconde de l'involution de six points; car on en conclut toutes les différentes équations que nous ayons données , et di?erses autres qui donnent des expressions simples de plusieurs rapports de produits de segmens , que Ton a à considérer dans cette théorie.
Par exemple, en supposant que le point m se confonde avec le point A, on trouye cette expression très-simple du rapport de AG.AG' à AB.AB'
AC.AC^ f2f AC -*- K'C AB.AB' "" aC ~ ÂB -f. A'B' ' L'expression de
A'B.A'B' est la même; d'où l'on conclut les équations (A).
(45) Supposant que le point m soit en B^ il vient
BC.BC Cy BC ^ WC
BA.BA' ~" "" cl ~ "" BA -*- B'A'"
Ajoutant y membre à membre, cette équation à la précédente, et remarquant que Ton a oy — ffy = aS , on obtient la première des huit équations (D).
(46) L^équation (E) se déduit aussi très-aisément de Téquation (F).
En effet, on a entre les trois points a, S y y^ et un quatrième point quelconque m la relation suivante due à Mathieu Stewart :
ma .€y — mC .ay -t- i»y .aC= aCCy.ya. ' Retranchant de cette équation Téquation (F) , il vient
(»w' — mA.mA') Cy-— (»ï? — mB.mB' ) «r -f- («»r — mÇ.*^^^ rtC==«C,ffr.y«. Mais on a
ma' — ak s= ( ma -4- aA ) ( m« — ak) = mA.mA' ; d'où
ma — " mA.mA ^=s cuk • Pareillement
mC — mB.mB' a=s CB , et my — mZ^mKJ s= yC •
L'équation ci-dessus devient donc
«A .Cy — CB .ay H- yC .aC sas= aC.Cy.yct, C. Q. F. D.
(47) On conclut aussi de Téquation (F) la propriété du point central, qui a été connue de Pappus (18). Pour cela supposons le point C situé à Tinfini, de sorte que le point G deviendra le point central 0; et écrivons Téquation (F) sous la forme
ay ^ mC
mA.mA' — mB.mB'. — -4- mC.aC. •" — ' =: o.
Cy Cy
Le point y est aussi à Tinfini , et Ton a
«y ce -+- CC" mC mC 2
^^=,,.cy= ^ ' "^ = ^- ce + ce ~ i2. £S1^
mC "^ mC 1 G'ett le second des Somê gênerai théorème , etc. ( Voir quatrième Époque $ 28. )
Or
ce . <?C' , , mC ^ = 0 et — — • = 1 ; donc = 2 ;
réqaation deyient donc
mÂ.mA' — fnB.mB' -4- S^^.mO = o.. Remplaçant aS par
AB -f- A'B'
on a Téquation de Pappus.
(48) Si l'on suppose que les deux points B, B' se confondent en Fun des points doubles E , de TinTolution, cette équation deviendra
(H) mA.wA' — mE -4- ^aE.mO = 0.
(49) Si les deux points Â, A', se confondent au deuxième point double F, il Tiendra
wF — wiE^ -f- SEF.mO = 0.
Cette équation exprime une relation entre trois points quelconques m, E, F, et le point milieu des deux derniers.
(50) La première des équations (D) et Téquation (H) donnent une démonstration du cas de maximum ou minimum démontré par Apollonius, dont nous avons parlé (17). Car, d'après la première de ces deux équations , on voit que le rapport
AC.AC AB.AB'
où A est supposé le point variable , sera un maximum eu minimum quand le produit BA.BA' sera lui-même un minimum ou maximum. Or, d'après l'équation (H), on a
