BA.BA' = BÊ' — 2«E.B

Le produit BA.BA' sera donc un maximum (ou un minimum à cause des signes) quand le coefficient variable aEsera nul. Alors les deux points A, A', se confondront avec le point E; ce qui est la proposition d'Apollonius.

(51) On peut exprimer l'involution de six points par une équation où entrent deux points pris, l'un et l'autre, arbitrairement.

Soient m et n ces deux points ; soient a le conjugué harmonique du point n par rapport à A et A'; 6 le conjugué harmonique de n par rapport à B et B'; et y le conjugué harmonique de n par rapport à C et C On aura , quels que soient les deux points m ein pris sur la droite où sont situés les points de l'involution , la relation

,,. mA.fwA' fnB.mB' mC.mC

nA.nA' '^ iiB.nB' ' nC.nC

Si Ton suppose le point n situé à l'infini , cette équation de?ient la formule (F). Cette remarque suffit pour montrer la légitimité de cette équation.

(52) Si le point m est placé au point central, on aura mA.mÂ' = mB.mB' = mC.mC', et la relation (I) de?ient

Cv.fw ay.nC aC.ny

^ ' fiA.»A' fiB.fiB' nC.nC

Cette équation est d'une forme différente deTéquation (F), et exprime , comme elle, rinvolution de six points, au moyen d'un septième point pris arbitrairement.

(53) Nous aTons dit (30) que la relation d'in?olution peut se présenter dans diverses spéculations où elle n'a peut-être pas encore été aperçue. Nous terminerons cette Note en citant plusieurs circonstances où cette relation a lieu :

1° Trou êyêtemeê de deux diamètres conjuguas d'une conique forment un faisceau en involution,

2° Quand trois cordes d'une conique passent par un même point y les droites menées d'un point quelconque de la courbe à leurs extrémités sont en involution,

3° Quand trois angles circonscrits à une conique ont leurs sommets en ligne droite , leurs côtés rencontrent une tangente quelconque à la conique en six points qui sont en involution,

kP Quand quatre cordes d'une conique passent par un m^êmepointy si par les extréunités des deux premières, on fait passer une conique quelconque , et par les extrimiUê des deux autres, une seconde conique quelconque , les quatre points d'intersection de ces deux nouvelles coniques seront deux à deux sur deux droites passant par le point de concours des quatre cordes; et ces deux droites et les quatre cordes formeront un faisceau en involution ^

Si les deux premières cordes se confondent^ et que les deux autres se confondent aussi, la relation d'involulion deyient un rapport harmonique , et l'on a ce théorème :

Quand deux coniques ont un double contact avec une troisième conique , elles se coupent en quatre points situss , deux à deux , sur deux droites qui passent par le point d'intersection des deux cordes de contact; et ces deux droites sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux cordes de contact,

5^ Par un point quelconque, pris dans le plan d'une conique, on peut mener deux droites rectangulaires de manière que le pôle de l'une, pris par rapport à la conique, soit sur l'autre;

Six droites ainsi menées ^ par trois points pris arbitrairement dans le plan de la conique , rencontrent chacun des deux axes principaux de la courbe en six points qui sont en involution.

Le point central de l'inyolution est le centre de la courbe; et les deux points douhles

> Pai démontré dans la Correspondance polytechnique, la première partie de ce théorème. ( Tom. III , p. 330.)

sont les foyers. Ces deux points doubles sont réels sur le grand axe, et imaginaires sur ]e petit.

Pour un point pris sur la conique , les deux droites rectangulaires menées par ce point sont la tangente et la normale.

Ce théorème est, comme on Toit, une propriété générale des foyerê des coniques, et fait Toir comment il existe quatre foyers ^ dont deux sont imaginaires, mais jouissent de certaines propriétés qui leur sont communes a^ec les deux foyers réels.

Nous retrou?erons dans les surfaces du second degré un théorème analogue à celuilà, et qui nous servira à caractériser certaine* courbes qui joueront dans ces surfaces le même rôle que celui des foyers dans les coniques. ( f^oir la Note XXXI. )

La relation d'involution peut aussi se présenter dans des questions d'un ordre plus relevé que les précédentes. Ainsi :

6^ Qu^nd trois surfaces courbes quelconques , qui tmt un point de contact, se coupent deux à deux en ce point, si on mène les tangentes en ce point aux deux branches de chacune des trois courbes d'' intersection , ces six tangentes seront en involution.

7^ Enfin : Qiéand, par une génératrice d'une surface réglée^ on mène trois plans quelconques, chacun d'eux est tangent à la surface en un point, et lui est normal en un autre point; on a ainsi six points qui sont en involution.

Chacun des théorèmes que nous Tenons d'énoncer est ausceptible de plusieurs conséquences qui trouveront leur place ailleurs.

(54) Nous ne pouvons terminer cette Note sans faire mention d'une propriété curieuse du cercle , où six points pris sur sa circonférence ont entre eux des relations analogues à oelles de six points en involution situés en ligne droite. Cette propriété est exprimée par Je théorème suivant :

Quand trois droites, issues d'un même point, rencontrent une circotiférence de cercle aux points a , a' pour la première; b, b', pour la seconde et c, c', pour la troisième , on a la relation :

sin. i ca. sin. i ca' sin. \ c'a, sin. i c'a' sin. i cb. sin. i cb' sin. i c'b. sin. i c'b'

On voit comment on formera deux autres relations semblables ; de sorte qu'on aura, entre les six points a, a'\ by b' ;c^c', trois relations analogues aux relations (Â) de Tinvolution de six points en ligne droite.

Ajoutons qu'on aura pareillement, entre les six points, des relations analogues aux équations (B), aiix équations (C) et aux équations (D).