X = LU, Y = MU, X = NU

déterminent un point qui se trouve sur le plan mobile dans toutes ses positions. Car si on substitue ces coordonnées dans Féquation (1) du plan mobile , il en résultera Féquation Lx' + My' + Njs' = 1 , qui est identique^ puisqu'elle n'est autre que Téquation de condition (3).

Ainsi le plan mobile^ dans toutes ses positions^ passe par un point fixe^ dont les coordonnées sont déterminées par les trois équations (4); ce qui démontre la première partie du théorème.

Appelons ce point fixe le pôle du plan que le point directeur a parcouru.

Quand le point directeur parcourt une droite, qu'on imagine deux plans passant par cette droite ; le point directeur se mouvra dans ces deux plans en même temps; le plan mobile passera donc par deux points fixes qui seront les pôles de ces plans ; ce plan mobile tournera donc autour de la droite qui joint ces points ; ce qui est la seconde partie du théorème.

Si le point directeur parcourt une surface courbe A, le plan mobile enveloppera une seconde surface courbe A'.

Supposons la surface A géométrique et du degré m : une transversale menée arbitrairement la rencontrera en m points ; à chacun de ces points^ considéré comme point directeur^ correspondra un plan tangent à la surface A'; ces plans tangens^ qui seront en nombre m, passeront tous par une même droite ( d'après la seconde partie du théorème) ; la surface A' admettra donc m plans tangens passant par une même droite quelconque.

Si la surface A est du second degré , la surface A' sera donc aussi du second degré ; ce qui démontre les deux dernières parties du théorème.

(2) La surface A' , qui est l'enveloppe du plan mobile^ quand le point directeur parcourt la surface A^ peut être déterminée d'une seconde manière^ par points^ au moyen du théorème suivant:

Théorème IL Quand le point directeur parcourt une surface courbe A, la surface enveloppe du plan mobile est le lieu géométrique des pôles de tous les plans tangens à la surface A ;

Et le point oie le plan mobile, dans une de ses positions, touche

cette surface enveloppe y est le pôle du plan tangent à la surface A, mené par le point directeur auquel correspond cette position du plan mobile.

En effet, pour obtenir le point où le plan mobile, dans une de ses positions, touche sa surface enveloppe A', on regarde ce point comme rintersection de ce plan tangent et de deux autres plans tangens infiniment peu différens ; or ces trois plans correspondent à trois positions du point directeur infiniment voisines, c'est-à-dire à trois points d'un élément de la surface A, lesquels sont sur son plan tangent. Le point de contact du plan mobile et de la surface A' est donc le pôle de ce plan tangent à la surface A ; ce qui démontre^ en même temps y les deux parties du théorème énoncé.

(3) Remarque. Ce théorème sera très-utile pour construire, par points, la surface enveloppe du plan mobile, quand le point directeur parcourra une surface donnée A.

Car il suffira de mener les plans tangens de la surface A, et de chercher leurs pôles ; ce seront les points de la nouvelle surface. Or ces pèles se déterminent aisément, car soit La? + My -|- Njs = 1 l'équation d'un plan tangent à la surface A, les coordonnées de son pôle seront données par les trois équations linéaires

X = LU, y=:MU, Z = NU.

Ce moyen de construire par points la surface enveloppe du plan mobile^ sert aussi pour trouver immédiatement l'équation de cette surface, sans recourir au calcul différentiel, ordinairement indispensable dans les questions de surfaces enveloppes.

Car le calcul se réduira à éliminer entre les trois équations que nous venons d'écrire, et l'équation de la surface proposée A, les coordonnées x\ y\ js' appartenant à cette surface; l'équation résultante en X, Y, Z, qui sont des fonctions des coordonnées a;, y, js? de la surface enveloppe du plan mobile, sera précisément l'équation de cette surface.

Supposons, par exemple, que le point directeur parcourre la sur-

face du second degré représentée par l'équation

A^' ^ By' ^ Ca" -f- 2 (Dar -f- Ey -f- fz) = K;

l'équation du plan tangent au point (a^' , y' ^ 2' ) de cette surface sera

a:(Aar' ^ D) -H y (By' -f- E) ^- s (Cs' -f- F) = K — (Dj?' -h Ey' -h Fa').

Les trois équations de condition ci-dessus seront donc

X [(K — (Dip' 4- Ey' ^ Fa')l = (Aa?' -f- D). U , Y [(K -^ (Da/ + Ey' ^ F*')] = (By' -f- E) U , Z [(K — (Dx" -♦- Ey' -+- Fa')] = (CV h- F) U.

Il suffit d'éliminer x^ ^y' , z' entre ces trois équations et la suivante

A*" + By" + Cs" + 2 (D:r' -f. Ey' h- FV) =:= K.

Le résultat

X' Y' Z'\/ D^ E» F'\ / , LD ME NFV

'\ / . LD ME NFV

est l'équation de la surface enveloppe. Cette équation est du second degré ^ puisque X^ Y^ Z sont des fonctions linéaires des coordonnées courantes x^y^z.

(4) Théorème IIL Quand le point directeur se meut à rinfini, le plan mobile tourne autour dun point fixe , comme si le point directeur parcourait un plan.

En efiet^ si le point directeur est situé à l'infini sur une droite ayant pour équations

j? = aj5, y = fca,

on aura

et l'équation (1) du plan mobile^ correspondante à cette position du point directeur, deviendra

(aX^fcY^Z)V=:U.

Or j3' est infini; cette équation se réduit donc à

aX ^ fcY ^ Z = o.

Telle est l'équation du plan mobile^ dans sa position correspondante au point directeur situé à l'infini sur la droite dont nous avons posé les équations.

Ce plan passe évidemment par le point dont les coordonnées x^y^z sont déterminées par les trois équations

Donc^ dans quelque position que soit situé ^ à l'infini, le point directeur, le plan mobile passera par le point fixe que déterminent ces trois équations ; comme si le point directeur parcourait un plan. C. Q. F. D.

(5) Si l'on cherchait à déterminer ce plan, il faudrait mettre dans les trois équations (4), à la place àex^tfy z^ leurs valeurs tirées des trois équations ci-dessus; on aurait ainsi les valeurs des coefficiens L, M^ N correspondantes à la position de ce plan. Or ces équations deviennnent

LU = 0, MU = 0, NU =5 o;

U n'est pas nulle, puisque c'est une fonction à^ x, y, z, qui est devenue, un nombre par la substitution des valeurs de ces coordonnées; il faut donc qu'on ait

et dès lors l'équation Lar+ My + Ns = 1 représente un plan situé à l'infini, et indéterminé de direction.

Nous pouvons donc énoncer, avec M. Poncelet^ cettef idée paradoxale ^ mais d'une justesse mathématique :

L'espace indéfini a pour enveloppe une surface plane. ( Traité

DES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES, p. 373 ).

ToM. XI. 74

(6) Théorème IV. Quand le point directeur prend quatre posir tions a, b, c, d, en ligne droite y le plan mobile prend quatre positions correspondantes^ que nous désignons par \, B, C, D;

Ces quatre plans passent par une même droite , et leur rapport anharmonique ^ est égal à celui des quatre points a^ b ^ c ^ d ; c^est-^àr dire que Von a

sin. C,A ^ sin. D,A ca ^ da 8În. G,B * 8in. D,B cb * db

En effets les quatre plans A^ B^ C^ D passent par une même droite, puisque les quatre points a^b^ c, c/sont en ligne droite; par conséquent si on tire une transversale quelconque qui rencontre ces quatre plans aux points «^ &y y^ f, on aura

ya ^

sin.

sin.

rc'

dC

sin.

sin.

Il sufl&t donc de prouver que le premier membre de cette équation est égal au second membre de l'équation ci-dessus.

Pour cela, soient f , v, ç, les coordonnées d'un point fixe K , pris sur la droite des quatre points a^ b, c, rf; et soient r' , r" ^ r"', r^^, les distances de ces quatre points au point K; leurs coordonnées seront

y' sss y + nir' , I p«i|ir le point a ; ,' = Ç + nr'; \

y" = y H- wr" , \ pour le point h;

«" = Ç + fi*^'; (

y"' sss= y + mr^" , / pour le point c ; a"' = Ç ^ nr'"; )

et . ariv = ç ^ Ifrr ^

yiv es y ^ mrïv , \ pour le point d ; ««▼ 6=; Ç H- nf^;

' Nous avons donné dans la Note IX la définition du rapport anharmonique de quatre poiots, ou de quatre plans.

l^m,n étant les quantités angulaires qui déterminent la direction de la droite ab.

L'équation du plan mobile^ dans sa position A ^ correspondante au point directeur a , est

XÇ ^ Yv -f. ZÇ — U + (/X ^ mY H- «Z) r' = o.

soit p' la distance du point E au point où ce plan rencontre le droite ab ; les coordonnées de ce dernier point seront de la forme

elles doivent satisfaire à l'équation du plan; les y mettant^ on aura une équation qui donnera la valeur de/>\ Cette équation sera évidemment de la forme

P, Q, R, S étant des fonctions de f, v, ç, /, w, n.

Les distances /)",/>'", p^, du point K aux points où les trois autres plans B^ C^ D rencontrent la droite ah^ seront données parles équations semblables

P ^ Q/' H- (R -h s/' )f'' =0y p + Qpiv H- (R -f- S/ji^ )f^=o.

De ces équations^ on tire

r—p" r'^^f" Q-t-Sr' '

P^'^ — p' r»v-~f^ Q ^ Sr"

/»»▼—/' ~ t'y^f'' ' Q-i-Sr' *

D'où

/'/ ^iy^' /"-/ ^ nv-r'

équation qui démontre le théorème énoncé.

(7) Remarque. L'équation P + Q/)' + (R + S/»' ) r' = o fait Toir que : sur une droite quelconque, il se trouve en général deux points qui, regardés comme deux positions du point directeur ^ donnent deux plans mobiles qui passent par ces points respectivement.

En effets si on yeut que le plan A^ correspondant au point a, passe par ce' points on aura^ dans l'équation ci-dessus^ />' = ^^ et elle deviendra

Les deux racines de cette équation détermineront les deux points en question sur chaque transversale.

En général, quand le plan mobile passe par son point directeur ^ ce point a pour lieu géométrique une surface du second degré.

En effet Téquation du plan mobile est

si ce plan passe par le point directeur, cette équation sera satisfaite quand on mettra x' ,y' , z' k la place de x, y, z, dans X, Y, Z et U. Mais alors on aura une équation du second degré; cette équation représentera donc une surface du second degré sur laquelle sera le point directeur ; ce qui démontre le théorème.

Il faut observer, cependant, que si l'équation du plan mobile était telle qu'en y faisant x=x', y^y',z=z', on la rendît identique, ce qui est possible, ainsi que nous le verrons (155), le plan mobile passerait constamment par le point directeur.

(8) Théorème V. Étant données cinq positions du point directeur, on pourra prendre arbitrairement dans V espace cinq plans qui seront les cinq positions du plan mobile, correspondantes respectivement à ces cinq points.

En effet soient x' ^ y', s' les coordonnées d'un des cinq points donnés, et

l'équation du plan qui doit correspondre à ce point.

Cette équation doit être identique à Féquation générale du plan mobile^ que nous avons représentée par

Xy^.Yy'■4-Za' = U.

X, Y, Z et U sont des fonctions linéaires àe x, y , z de la forme

\ css ax -^ hy -^ Ci — rf,

Y == a'* ^- Vy -f- c'% — d' ,

Z = a"x H- fc"y H- c"% — d" ,

U = a'"x 4- 6'"y h- c'"s — rf'".

D'après cela^ l'équation générale du plan mobile est

(ax^hy^-cz-^d) af -4- (a'x h- b'y ^c'z^d')y' ^ (a"ir -♦- fc"y -h c"a — rf")a' = (o"'ar 4- fc'"y h- c'"« — d'" ) ; OU

(as'-Hoy H-a'V— a'")âf -f- (fti?' ^ fcy -*- r«' — fc'") y -f- (car'-f- cy h- c'V — c'")^ = ((te' -f- dy + d'V — d'").

Pour que cette équation soit identique à l'équation particulière du plan donné ^ il faut qu'on ait les trois équations de condition

ax" -f. a'y' -f- a"a' — a'" = P (d;r' ^ rfy ^ rf'V — d'") , i&i;' + fcy -f- fc"«' — fc'" = Q (rfx' H- rfy + d"«' — rf"'), ex" -*- cy H- c"«' — c'" = R ((te' -H (^y -f- d*'s' — rf'").

Pour chacun des quatre autres plans donnés^ on aura trois équations de condition semblables à celles-ci^ et où entreront les coordonnées du point auquel correspond ce plan. On aura donc en tout quinze équations de condition , qui serviront à déterminer quinze des seize coefficiens a^ b, c, d, a\ etc.; et comme ces cofficiens n'entrent qu'au premier degré dans ces quinze équations^ leurs valeurs seront toujours réelles^ et s'obtiendront facilement. Le théorème est donc démontré.

On voit par la forme des quinze équations ^ qui n'ont pas de termes connus^ que le seizième coefficient restera indéterminé. Car on peut diviser ces quinze équations par l'un des seize coefficiens.

(9) Le théorème I conduit à une proposition de Géométrie analytique dont nous aurons occasion de faire usage ( § XVII ) ; la voici :

Quand les coejficiens des trois coordonnées y dans V équation d'un plan mobile^ sont variables et ont entre eux une relation du premier degré ^ ce plan passe constamment par un point fixe;

Si ces coefficiens ont entre eux une relation du second degré, le plan enveloppe une surface du second degré ;

Etj en général, si ces coefficiens ont entre eux une relation du degré m , le plan enveloppe une surface géométrique à laquelle on peut mener m plans tangens par une même droite.

En effet, soient x\y\ z', les trois coefficiens de l'équation du plan mobile ; cette équation sera

chaque système de valeurs de x' ^ y\ z' déterminera un plan.

Mais on peut regarder ces trois variables comme les coordonnées d'un point, et la relation donnée entre elles représentera une surface, lieu géométrique de ce point; le théorème énoncé est donc une conséquence du théorème I.

§ III. Démonstration du Principe de Dualité.

(10) Nous diviserons ce principe en deux parties, dont la première est relative à la corrélation des relations descriptives des figures; et la seconde à la corrélation de leurs relations de grandeur, ou métriques.

Première partie. Lorsqu'une figure de forme quelconque est donnée ^ on peut toujours former, dune infinité de manières, une autre figure , dans laquelle les points, les plans ^ les droites, correspondront respectivement à des plans, à des points, à des droites de la première figure;

Les points situés sur un même plan, dans F une des deux figu-

resy auront four correspondans des plans passant tous par le point qui correspond à ce plan ;

Les points situés sur une même droite, dans l'une des deux figures y auront pour correspondans , dans Vautre figure^ des plans passant par la droite qui correspondra à la première ;

Les points situés sur une surface courbe y dans la première figure^ auront pour correspondans y dans la seconde^ des plans tangens à une autre surface courbe^ et les plans tangens à la première surface y en ces points, auront pour correspondans précisément les points de contact des plans tangens à la seconde surface ;

Enfin, tous les points situés à V infini, considérés comme appartenant à la première figure y seront regardés comme situés sur un même plan, et tous les plans qui leur correspondront passeront par un même point , qui correspondra à ce plan situé à tinfinù

Ce sont ces deux figures que nous appellerons corrélatives.

Ce principe résulte évidemment des théorèmes I^ II et III. Car on formera la seconde figure^ en faisant mouvoir un plan dont l'équation contienne au premier degré les coordonnées d'un point mobile auquel on fera parcourir toutes les parties de la première figure. La seconde figure sera l'enveloppe du plan mobile.

(11) Il est clair que des droites situées dans un même plan auront pour correspondantes^ dans la seconde figure, des droites qui passeront toutes par un même point ; ce point correspondra au plan des premières droites.

Par conséquent, des droites situées à l'infini auront pour correspondantes des droites passant toutes par le point de la seconde figure qui correspond à l'infini de la première.

Pareillement des droites passant toutes par un même point, dans la première figure, donneront lieu à des droites situées toutes dans le plan correspondant à ce point.

Par conséquent, des droites parallèles entre elles donneront lieu à des droites situées toutes dans un même plan passant par le point de la seconde figure qui correspond à l'infini de la première.

Des plans parallèles entre eux donneront lieu^ dans la seconde figure^ à des points situés sur une même droite passant par le point qui correspond^ dans cette seconde figure^ à l'infini de la première. Car les plans parallèles entre eux seront considérés comme passant par une même droite située à l'infini.

Enfin des plans parallèles à une même droite donneront lieu à des points situés tous sur un même plan passant par le point qui correspond à l'infini.

(12) Deuxième partie. Dans deuû^ figures corrélatives j à quatre points de la première, situés en ligne droite, correspondent y dans la seconde, quatre plans passant par une même droite y et dont le rapport anharmonique est toujours égal hu rapport anharmonique des quatre points /

Et, à quatre plans de la première figure , passant par une même droite, correspondent dans la seconde figure, quatre points situés en ligne droite, dont le rapport anharmonique est égal précisément au rapport anharmonique des quatre plans.

Ainsi soient a, b, c, d quatre points de l'une des deux figures^ situés en ligne droite, et A^ B^ G, D les quatre plans correspondans^ dans l'autre figure^ on aura toujours

sin. G,A sin. D,A ca da

^ ^ ' * ' * sin. C,B ' sin. D,B ch ' dh

Cela résulte du théorème IV.

Si on tire arbitrairement une transversale, qui rencontre les quatre plans A, B, C^ D aux points a. S, y, â, on aura

ya tfa, ca da

Car le premier membre de cette équation est égal au premier membre de l'équation du théorème.

(13) Si le point c/est situé à l'infini^ le plan D passera par le point qui correspond, dans la seconde figure, à l'infini de la première y le

rapport ^ sera égal à Tunité^ et les deux équations ci-dessus se réduiront à

sin. C,A ^ sin. D,A

ca

sin. C,B * sin. D,B "~

cb'

yoL ^ ^cs, ca yC ' ~C^ 7b'

Ajoutons que si le point de la seconde figure, qui correspond à l'infini de la première, est lui-même à l'infini, tous les plans qui répondront dans la seconde figure aux points à Tinfini de la première , seront parallèles à une même droite.

Si donc on prend pour transversale une parallèle à cette droite , le point i sera à l'infini, et la seconde des deux équations précédentes se simplifiera encore; elle deviendra

ya ca

yC cb

Ainsi une partie des relations métriques des deux figures pourront être exprimées par des équations de cette forme.

(14) L'équation (1) exprime la propriété la plus importante des figures corrélatives. On peut dire qu'elle est le fondement de toute cette théorie. Car c'est sur cette relation si simple que reposent la construction des figures corrélatives les plus générales, et la plupart des applications du principe de dualité.

C'est, le plus généralement, sous sa forme même , ou sous celle de l'équation (2), que nous appliquerons cette relation. Mais cependant elle est susceptible d'une autre expression, qui simplifiera extrêmement les transformations, dans certains cas, et que nous allons de suite faire connaître.

Ecrivons l'équation (1) de cette manière :

sin. C,A ^ ca sin. D^A da sin. C,B * cb sin. D^B ' cU)

A un cinquième plan £ de la première figure, passant par la même ToM. XL 75

droite que les quatre premiers^ correspondra un cinquième point e de la seconde figure, situé sur la même droite que les quatre premiers; et l'on aura l'équation

sin. E,A ea sin. D,A ^ da siD. E.B • eb ~ sin. D,B * db

Donc, en général, quel que soit un plan C mené dans la première figure, par la droite d'intersection de deux plans fixes A, B de cette figure, il lui correspondra un point c de la seconde figure, situé sur la droite qui joint les deux points fixes a, b qui correspondent aux plans A, B; et Ton a entre ce plan G et ce point c la relation

sin. G, A ca

-: — —- : -- = const.

sin. C^B cb

Maintenant, concevons dans le plan C un point quelconque m; le rapport ^7^ sera égal au rapport des distances de ce point aux deux plans A, B.

Au point m correspond, dans la seconde figure, un plan M qui passe par le point c, puisque le point m est pris dans le plan G. Le rapport ^ est égal au rapport des perpendiculaires abaissées des deux points a^ b sur le plan M. Notre équation exprime donc que le rapport des distances du point m de la première figure, aux deux plans fixes , est au rapport des distances du plan M de la seconde figure , aux deux points a, b, dans une raison constante, quel que soit le point m , et le plan M qui lui correspond.

(15) Ainsi nous pouvons énoncer comme principe des relations métriques des figures corrélatives , ce théorème , qui est une autre expression de la seconde partie du principe de dualité :

Dans deuQO figures corrélatives , le rapport des distances d^un point quelconque de la première figure, à deux plans fixes de cette figure, est au rapport des distances du plan qui correspond à ce point, dans la seconde figure, aux deux points qui correspondent

auûi; deux plans de la première, dans une raison constante, quel que soit le point pris dans la première figure.

(16) Examinons le cas où Tun des deux plans fixes de la première figure est à l'infini. Soit le plan B situé à Finfini. Il nous faudra alors nous servir de l'équation (2) , qui devient

ya ca da

ffa ch * dh^

ca da

OU

''^'cb^'^'Jh^

ca ya l ^ sss const. ; cb

quel que soit, dans la première figure, le plan C mené parallèlement au plan A.

Or ya est proportionnel à la perpendiculaire abaissée d'un point m du plan C sur le plan A; ^ est égal au rapport des distances du plan M, qui correspond au point m, aux deux points a, c; Féquation exprime donc ce théorème :

Dans deux figures corrélatives , la distance (T un point quelconque de la première figure , à un plan fixe de cette figure, est au rapport des distances du plan qui correspond à ce point dans la seconde figure , au point qui correspond à ce plan fixe, et au point qui correspond à V infini de la première figure, dans une raison constante, quel que soit le point pris dans la première figure.

Ce théorème et le précédent seront d'une application spontanée dans beaucoup de cas de la transformation des figures.

S IV. Applications du Principe de Dualité aux propriétés descriptives des figures.

(17) Pour appliquer le principe de dualité, on devra d'abord con-

cevoir la forme et la description de la figure corrélative de la figure proposée; ce qui se fera rapidement et sans difficulté^ au moyen de la première partie du principe.

Par exemple 9 que la figure proposée soit une courbe à double courbure ; à cbacun de ses points correspondra un plan dans la figure corrélative; et cette figure sera une surface développable, enveloppe de tous ces plans. Chaque tangente à la courbe étant considérée comme le prolongement de la corde qui joint deux points infiniment voisins^ à cette tangente correspondra une droite qui sera Tintersection de deux plans tangens à la développable^ infiiiiment voisins, c'est-à-dire une arête ou caractéristique de cette surface. A un plan mené par une tangente à la courbe ^ correspondra un point de la caractéristique correspondante à cette tangente. Le plan osculateur en un point de la courbe proposée passe par deux tangentes infiniment voisines; le point qui lui correspondra sur la développable sera donc à l'intersection de deux caractéristiques consécutives; ce sera donc un point de l'arête de rebroussement de la surface.

Ainsi on voit que la forme générale de la figure corrélative d'une courbe k double courbure est parfaitement déterminée.

Réciproquement^ à une surface développable proposée, correspondra, dans la figure corrélative, une courbe à double courbure.

(18) Que la figure proposée soit une surface courbe coupée par un plan ; à cette surface correspondra dans la figure corrélative une seconde surface courbe ; aux points d'intersection par le plan correspondront des plans tangens à la seconde surface ; et tous ces points étant dans un plan, tous ces plans tangens passeront par un même point, qui correspondra à ce plan; ces plans formeront donc un cône. Ainsi on aura, pour figure corrélative, une surface courbe inscrite dans un cône.

(19) Si deux surfaces ont un point de contact^ les deux surfaces corrélatives auront aussi un point de contact. Car au point de contact des deux premières, et à leur plan tangent commun en ce point, correspojidront un plan tangent commun aux deux autres surfaces,

et un point qui sera sur ces deux surfaces leur point de contact commun avec ce plan (Théorème II).

D'après cela^ si deux surfaces sont circonscrites Tune à l'autre suivant une courbe ^ les deux surfaces corrélatives seront aussi circonscrites l'une à l'autre^ et les plans tangens à ces surfaces^ menés par les points de leur courbe de contact ^ formeront une développable correspondante à la ligne de contact des deux premières surfaces.

(20) Si deux courbes ont un contact de l'ordre n en un point , c'està-dire ont n élémens consécutifs communs ^ les deux développables corrélatives de ces courbes auront n caractéristiques consécutives communes; conséquemment tout plan les coupera suivant deux courbes qui auront un contact de l'ordre n; ces deux surfaces auront donc un contact de l'ordre n suivant une caractéristique commune.

(21) D'après cela, soient deux surfaces ayant un contact du premier ordre suivant toute l'étendue d'une courbe^ coupons-les par un plan tangent à cette courbe ; on sait que les deux sections auront un contact du troisième ordre; formons la figure corrélative, nous en conclurons aisément que :

Quand deux surfaces ont un contact du premier ordre suivant une courbe , si on conçoit la développable qui leur sera circonscrite suivant cette courbe , et qu'on regarde un point dHune caractéristique de cette développable comme le sommet commun de deux cônes circonscrits aux deux surfaces ^ ces deux cônes auront un contact du troisième ordre suivant cette droite.

(22) Si le plan sécant, au lieu d'être simplement tangent à la courbe de contact des deux premières surfaces, était un plan osculateur de cette courbe, les deux courbes d'intersection des surfaces par ce plan auraient, comme on sait, un contact du cinquième ordre (Développemens de Géométrie de M. Ch. Dupin , p. 230 ) ; on en conclut que :

Quand deux surfaces ont un contact du premier ordre suivant une courbe^ si on conçoit la développable circonscrite à ces surfaces suivant cette courbe^ et qu'on regarde un point de Varéte de rebroussement de cette développable comme le sommet commun de

deuw cônes circonscrits aux deux surfaces y ces deux cônes auront un contact du cinquième ordre suivant leur arête commune, qui sera la caractéristique de la dëveloppable , sur laquelle est pris leur sommet commun.

On voit comment les théorèmes généraux sur les contacts des surfaces^ démontrés par M. Gh. Dupin dans ses Développemens de Géométrie, donneront lieu à d'autres théorèmes aussi généraux ^ qui seront leurs corrélatifs.

(23) Soit ce beau théorème de M. Monge : a Si^ par tous les points » d'une surface courbe^ on conçoit des droites menées dans l'espace sui- )) yant une loi quelconque^ et qu'on considère Tune de ces droites; de )) toutes celles qui lui sont infiniment voisines^ il n'y en a générale- » ment que deux qui la rencontrent » ( Voir le Mémoire de Monge sur les déblais et remblais, inséré dans les Mémoires de r académie de Paris^ ann. 1 781 ^ et la Correspondance polytechnique, t. III^ p. 152.)

Formant la figure corrélative^ on aura une seconde surface courbe, dont les plans tangens correspondront aux points de la première. Les droites menées par ces points^ auront pour correspondantes des droites menées dans les plans tangens de la seconde surface , suiyaiit une certaine loi. Or, quand deux droites se rencontrent, leurs corrélatives se rencontrent aussi; on conclut donc du théorème énoncé le suivant :

Si, dans tous les plans tangens dune surface courbe, on conçoit des droites menées suivant une certaine loi, et que Von considère une de ces droites; de toutes celles qui lui sont infiniment voisines, c^est-à-dire qui sont situées dans les plans tangens infiniment voisins de celui où se trouve la première droite, il n^y eti aura généralement que deux qui la rencontreront.

Ainsi, par exemple, si l'on projette une droite fixe sur tous les plans tangens d'une surface courbe quelconque, et qu'on considère l'une de ses projections ; de toutes les projections infiniment voisines de celle-là, il n'y en aura généralement que deux qui la rencontreront.

(24) Le théorème général que nous venons de déduire de celui de Monge, comme son corrélatif pouvait s'en conclure directement^

comme n'étant au fond que ce théorème même^ présenté sous une autre forme. Car toutes les droites comprises dans les plans tangens à la surface vont rencontrer un plan fixe^ mené arbitrairement^ en ses différons points ; on peut donc les considérer comme issues de ces points^ suivant une certaine loi déterminée; dès lors chacune d'elles doit être rencontrée par deux de celles qui en sont infiniment voisines. Il arrive ainsi quelquefois qu'un théorème a pour corrélatif ce théorème lui-même , présenté sous le même énoncé ou sous un énoncé différent. Mais ce sont là des exceptions; car généralement deux théorèmes corrélatifs sont essentiellement différons.

§ V. Applications du Principe de Dualité aux propriétés métriques

des figures.

(25) Ce qui précède suffit pour montrer comment on établira toujours la corrélation de formes et de description des figures. Nous pouvons donc^ sans entrer dans de plus longs développemens, nous occuper de la corrélation de leurs relations de grandeur ; ce qui est la partie la plus iuf portante du principe de dualité^ parce qu'on a presque toujours de telles relations à considérer dans les recherches des propriétés de l'étendue.

C'est au moyen de la seconde partie du principe qu'on établira la corrélation des relations métriques des figures.

Supposons qu'on ait une relation entre les distances de plusieurs points d'une figure; on formera^ relativement à ces points et aux plans qui leur correspondront dans la figure corrélative^ autant d'équations semblables à celle du principe (12) ^ que la question en comportera; et, au moyen de ces équations y on cherchera à éliminer dans la relation donnée les distances des points de la première figure ; il restera une relation entre les sinus des angles des plans correspondans de la seconde figure; ou bien entre les segmens que ces plans feront sur certaines transversales; ce sera la relation corrélative cherchée.

n ne faut pas perdre de vue que quand des points de la première figure seront situés à l'infini^ les équations se simplifieront beaucoup (13).

Divers exemples vont faire comprendre parfaitement Tusage de cette méthode.

§ YI. Sur les pôles et les plans polaires des surfaces du second degré.

(26) Soit une surface du second degré ; si on lui mène deux plans tangens parallèles entre eux^ la droite qui joindra les deux points de contact a, b passera par le centre o de la surface; et l'on aura

oa ^=T ob j ou -— = 1 .

ob

Faisons la figure corrélative; nous aurons une seconde surface du second degré^ un point fixe i correspondant à Tinfini (10) , une droite menée par ce point , correspondant à la droite d'intersection , située à l'infini^ des deux plans tangens ; les deux points où cette droite percera la surface correspondront à ces deux plans tangens; et les plans A, B, tangens en ces points^ correspondront aux deux points a, A /donc leur intersection correspondra à la droite ab, et sera par conséquent dans un plan fixe O correspondant au centre o de la première surface; soit I le plan mené par cette droite et par le point i, il correspondra au point à l'infini sur la droite ab ; on aura donc

sin. 0,A ^ sin. I,A oa sin. 0,B * sin. I,B ob

Soient cl, S, cù les points où une transversale menée par le point i perce les plans A, B, 0; on aura^ d'après cette équation,

7^ ' Zc~

On conclut de là que :

Si^ autour (Tun point fixe pris arbitrairement^ on fait tourner une transversale qui rencontre une surface du secoîid degré, les plans tangens à la surface aux deux points de rencontre se couperont sur un plan fixe; et la transversale percera ce plan au point conjugué harmonique du point fixe, par rapport aux deux points de la surface.

C'est la propriété fondamentale des pôles et ^lans polaires dans les surfaces du second degré.

(27) Nous pouvons donc dire que : quandon fait la figure corrélative d'une surface du second degré ^ on a une seconde surface du second degré dans laquelle le plan qui correspond au centre de la première a pour pôle, pris par rapport à cette seconde surface^ le point qui correspond à Finfini de la première figure.

(28) La droite d'intersection de deux plans tangens à une surface du second degré s'appelle la polaire de la corde qui joint les deux points de contact de ces plans. Le théorème que nous venons de démontrer prouve donc que : Toutes les droites qui passent par un même point ont leurs polaires situées dans un même plan; et réciproquement.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur la théorie des pôles et des plans polaires , qui est parfaitement connue.

$ VIL Généralisation du théorème sur la proportionnalité des rayons homologues dans deux figures homothéliques \ — Construction nouvelle des bas-reliefs.

(29) Soient deux tétraèdres abcd^ a'b^&d^ semblables et semblablement placés; c'est-à-dire ayant leurs faces respectivement parallèles; on sait que les quatre droites qui joignent un à un leurs sommets homologues concourent en un même point u ; et le rapport des distances

1 Nous avons appelé ainsi deux figures semblables entre elles et semblablement placées. (Voir Annales de mathématiques j tom. XVIII, pag. 280.) Depuis, plusieurs géomètres ont employé cette expression abréyiative , dont nous continuerons dès lors à faire usage.

ToM. XI. 76

de ce point à deux sommets homologues est constant ; c'est-à-dire ' qu'on a

tm ub

ix) • • • • • • • • • • ~ ^^^ ' ^^ CtC •

ua ub

Faisons la figure corrélative; nous aurons deux tétraèdres^ dont les sommets correspondront respectivement aux faces des deux tétraèdres proposés ; ces sommets seront donc^ deux à deux , sur quatre droites qui passeront par un même point i correspondant à l'infini (11). Les faces A ^B... de ces deux tétraèdres correspondront aux sommets ayb... des deux premiers; elles se couperont donc^ deux à deux^ suivant quatre droites qui seront dans un même plan U, correspondant au point t^ (10). Que, par la droite d'intersection des deux faces A, A', on mène un plan I passant par le point ^, il correspondra au point situé à l'infini sur la droite aa'; on aura donc

sin. U,A sin. I,A ua

sin. U,A' * sin. I,A' ua'

OU, en appelant a, «', > les points où une transversale, menée par le point ^, rencontre les trois plans A, A' , U,

Xx ta ua

Aa' * ta' ua'

Soient pareillement 6, 6' et [jl les points où une transversale, menée par le point ^, rencontre les plans B, B' et U, on aura

fiC ^ iC ub

On a donc, en vertu de l'équation (1),

ta Xa iC fiC

Les segmens ^^Ix' sont proportionnels aux distances des deux points

oLy a! au plan U;pareillemeut ^^ [£' sont proportionnels aux distances des deux points S, & à ce plan. On conclut donc de là le théorème suivant :

Quand deux tétraèdres ont leurs sommets situés deux à deux sur quatre droites concourantes en un même point i,

1^ Leurs faces se coupent deux à deux suivant quatre droites qui sont comprises dans un même plan U;

2^ Le rapport des distances du point i à deux sommets homologues des deux tétraèdres est au rapport des distances de ces points au plan Uy dans une raison constante , quels que soient ces deux sommets homologues.

(30) La première partie seule de ce théorème était connue ; elle est la base de la construction géométrique des figures homologiques dans l'espace, de M. Poncelet. (Voir Traité des propriétés projectives^ supplément 9 p. 374.)

La seconde partie^ qui est une généralisation de la proportionnalité des rayons homologues dans deux figures semblables et semblablement placées^ peut devenir très-utile en géométrie. Elle complète la théorie des figurefs homologiques, et servira pour les construire par de simples calculs numériques; car on cherche ainsi, le plus souvent^ dans la pratique^ à remplacer les opérations graphiques par des opérations numériques.

Soient a,a^ deux points correspondans quelconques^ dans deux figures homologiques; i le centre d'homologie^ et X le point où la droite iœx^ rencontre le plan d'homologie; on aura, suivant le théorème que nous venons de démontrer ,

ta ka

: = CODSt. = fl.

ta \A

Cette relation prend la forme

%tL

id iX

D'où Ton tire une expression très-simple de iJ en fonction de la, et réciproquement.

Il est diverses autres expressions qui simplifient encore les calculs; mais nous ne pouvons entrer ici dans ces détails.

Les bas-reliefs étant de véritables figures homologiques^ ainsi que Ta fait voir M. Poncelet *, la relation générale que nous venons de donner sera utile aussi pour leur construction^ qui pourra se faire ^ comme dans certaines pratiques de la prospective, par des cotes calculées numériquement.

Cette relation servira aussi pour exprimer, en géométrie analytique, la position des différens points d'un bas-relief, ou l'équation de sa surface, si le modèle est lui-même une surface exprimée par une équation.

Nous reviendrons dans un autre moment , sur la construction des bas- reliefs; et nous ferons voir qu'il est plusieurs moyens très-simples de la pratiquer. On peut, par exemple , en réduire toutes les opérations à une seule et unique perspective du modèle proposé, sur un plan. Cette manière, je crois, pourrait être agréée des artistes, auxquels, généralement, maintenant, les pratiques de la perspective sont familières ^.

§ VIIL Relations descriptives et métriques de deux surfaces du second degré inscrites dans un cône; et de deux coniques quel-conques situées dans un même plan.

(31) Soient deux surfaces du second degré semblables et semblablement placées; on sait qu'elles se coupent suivant une courbe plane,

^ Voir le supplément du Traité des propriétés projectiva.

2 Cette construction des bas-reliefs ^ par une perspective du modèle sur un plan , est facile à concevoir. Elle repose sur ce théorème : Étant donné un corps dans l'espace; si, de ses points

m, m', ..., on abaisse des perpendiculaires mp, m'p', sur un plan P; et qu'on fasse la

perspective du corps sur un plan parallèle à ces droites^ l'œil étant placé en un lieu quelconque de l'espace; puis, qu'on abatte ce plan sur le premier P , en le faisant tourner autour de leur intersection commune; les perpendiculaires mp, m'p', .... seront, en perspective^ des droites fir, /ccV, .... parallèles entre elles; qu'on relève ces droites, en les faisant tourner autour de leurs

et qu'elles ont une autre courbe d'intersection (réelle ou imaginaire) située à Tinfini.

Si on mène quatre plans tangens à ces surfaces^ parallèles entre eux^ les droites qui joindront deux à deux les points de contact sur la première surface aux points de contact sur la seconde , concourront deux à deux en deux points fixes qui seront les centres de similitude des deux surfaces; et ces deux points seront les sommets de deux cônes (réels ou imaginaires) circonscrits aux deux surfaces.

Faisant la figure corrélative , on aura deux surfaces du second degrés qui seront inscrites dans un même cône dont le sommet correspondra au plan situé à l'infini^ sur lequel est une des deux courbes d'intersection des deux premières surfaces; on aura donc ce théorème^ dont la dernière partie se démontre absolument comme dans le théorème précédent :

Quand deua; surfaces du second degré sont inscrites dans un même cône y si par le sommet de ce cône on tire une transversale qui les rencontre en quatre points , et qu^on mène les plans tangens à ces surfaces en ces points; les plans tangens à la première couperont les plans tangens à la seconde suivant quatre droites qui seront deux à deux sur deux plans fixes ;

t! intersection des deux surfaces se composera de deux courbes planes (réelles ou imaginaires) situées dans ces deux plans;

Le rapport des distances du sommet du cône à deux points pris sur les deux surfaces y en ligne droite avec ce sommet, est au rapport des distances de ces deux points au plan fixe sur lequel se coupent les deux plans tangens en ces points^ dans une raison constante.

(32) La dernière partie de ce théorème donne les relations métriques qui ont lieu entre deux surfaces du second degré qui se coupent suivant des courbes planes.

pieds T , T% . . . . , jusqu'à ce qu'elles soient perpendiculaires au plan P, leurs extrémités fi, /u.', . . , . formeront un corps qui sera un relief du corps proposé.

Pour construire un relief par cette méthode , on disposera du point de Fœil, du plan de projection et du plan sur lequel on fait la perspective , de manière à satisfaire aux conditions qu'on veut observer , soit dans la position , soit dans les proportions du relief par rapport au modèle.

On ne connaissait ces relations que dans deux cas particuliers; celui oii les deux surfaces sont semblables et semblablement placées^ et celui où les deux surfaces sont inscrites dans un cylindre. Ces deux cas sont des corollaires du théorème général que nous venons d'énoncer.

Il est clair que les mêmes relations métriques appartiennent au système do deux coniques quelconques situées dans un même plan. On n'avait considéré^ d'une manière générale^ que les rapports de situation que présente ce système; et quant aux relations métriques des deux courbes 9 on s'était borné ^ je crois ^ à quelques relations harmoniques ^ qu'on déduira aisément de la relation métrique fondamentale comprise dans la dernière partie du théorème ci-dessus.

Deux surfaces du second degré inscrites dans un même cône , ou bien deux coniques placées d'une manière quelconque dans un plan^ ont entre elles diverses relations métriques remarquables dont nous parlerons en traitant spécialement des figures homologiques dans la seconde partie de cet écrit.

§ IX. Transformation de diverses propriétés des diamètres conjugués • des surfaces du second degré. — Théorie des axes conjugués relatifs à un point.

(33) Soit une surface du second degré ; menons trois diamètre conjugués ^ c'est-à-dire, tels que les plans tangens aux extrémités de l'un quelconque d'entre eux soient parallèles au plan des deux autres; faisons la figure corrélative; nous aurons une surface du second degré ; un plan fixe correspondant au centre de la proposée, et un point i correspondant à l'infini; ce point sera le pôle du plan fixe (27). Aux trois diamètres conjugués, correspondront trois droites situées dans le plan fixe; aux points où un diamètre rencontre la première surface correspondront les plans tangens à la seconde surface, menés par une des trois droites ; et les points de contact de ces deux plans tangens correspondront aux plans tangens aux extrémités du diamètre; la droite qui

joindra ces deux points de contact^ qui sera la polaire de la droite en question^ correspondra à la droite d'intersection, située à Tinfini , des deux plans tangens aux extrémités du diamètre; le plan des deux autres diamètres passe par cette droite située à l'infini ; donc le point d'intersection des deux droites correspondantes à ces deux diamètres se trouve sur la droite qui joint les deux points de contact sur la seconde surface ; donc

A trois diamètres conjugués dune surface du second degré , correspondent^ dans la surface corrélative ^ trois droites situées dans un même planfiœe, qui sont telles que la polaire de chacune d'elles, prise par rapport à cette seconde surface , passe par le point d'intersection des deuœ autres;

Aux extrémités des trois diamètres de la première surface^ correspondent les plans tangens à la seconde surface , menés par ces trois droites ;

Et enfin y les points de contact de ces plans tangens avec la seconde surface correspondent aux plans tangens à la première surface , menés par les extrémités de ses trois diamètres conjugués.

(34) Soient A, B, C les trois droites en question; et A', B'^ C leurs polaires, prises par rapport à la seconde surface ; ces trois droites passent par le pôle du plan fixe dans lequel sont situées les trois premières, A , B, C (28); et elles jouissent de cette propriété caractéristique que la polaire de chacune délies est comprise dans le plan des deux autres. En effet la polaire de A' est la droite A ; il faut donc prouver que la droite A est comprise dans le plan des deux droites B', C Mais B' , par construction, passe par le point de rencontre de A et C; C passe par le point de rencontre de A etB; donc B' et C s'appuient sur A, Donc la droite A, polaire de A', est dans le plan des deux autres droites B', C'.

Chacune des trois droites A' , B' , C passe par les points de contact de la surface et de ses deux plans tangens menés par la polaire de cette droite. De sorte que les trois droites A', B', C, menées par le pôle du plan fixe, peuvent servir pour déterminer les plans tangens à la surface, qui passent par les trois droites A, B, C.

(35) Quand le point par où sont menées les trois droites A'^ B^G'^ est le centre de la surface, ces trois droites sont trois diamètres conjugués; de sorte que les théorèmes que nous allons trouver^ relativement soit à ces droites^ soit à leurs polaires A^ B^ G, seront une généralisation des propriétés des diamètres conjugués des surfaces du second degré.

Les trois droites menées par un point fixe, de manière que la polaire de chacune délies, par rapport à une surface du second degré, soit comprise dans le plan des deux autres y donnent donc lieu à une théorie analogue à celle des diamètres conjugués. Les propriétés de ces trois droites sont nombreuses ; et nous allons avoir plusieurs fois à parler de ces systèmes de trois droites , dans nos applications du principe de dualité, puis du principe d'homographie j par cette raison, et pour abréger le discours, nous les appellerons axes conjugués , relatifs au point par lequel elles sont menées.

(36) Si Ton conçoit que ce point soit le sommet d'un cône circonscrit à la surface, ces axes seront trois axes conjugués du cône, c'est-àdire que les plans tangens au cône menés par chacun d'eux auront leurs arêtes de contact situées dans le plan des deux autres. Et si l'on conçoit un hyperboloïde ayant son centre au point fixe , et auquel le cône soit asymptotique, ces trois axes seront trois diamètres conjugués de Fbyperboloïde. Ainsi nous pouvons dire que :

Trois axes conjugués dune surface du second degré , relatifs à un point fixe ^ sont toujours y en direction, trois diamètres conjugués dune autre surface du second degré ayant son centre au point fixe.

Nous donnerons , dans nos applications du principe d'homographie , une autre démonstration de ce théorème, qui est l'un des plus importans de la théorie des axes conjugués, et nous apprendrons à construire la surface par rapport à laquelle ces axes sont toujours trois diamètres conjugués.

(37) Soit une surface du second degré , dont le centre est o ; prenons trois demi-diamètres conjugués; on sait que la somme des carrés des perpendiculaires abaissées de leurs extrémités sur un plan diamé-

tralde la surface^ sera constante^ quel que soit le système des trois diamètres conjugués.

Faisons la figure corrélative; nous aurons une surface du second degré; un plan fixe O^ et un système de trois droites situées dans ce plan^ telles que la polaire de chacune d'elles passera par le point de concours des deux autres (33). Nous aurons de plus trois plans tangens à la surface, menés par ces trois droites respectivement; un point fixe pris dans le plan O, et correspondant au plan diamétral de la surface, dans la première figure; et enfin un second point fixe correspondant à Tinfini de la première figure, et qui sera le pôle du plan O par rapport à la nouvelle surface (27).

Appliquant à la propriété énoncée des trois diamètres conjugués, le principe de transformation des relations métriques de Fart (16), nous en conclurons immédiatement ce théorème :

Si par trois droites y prises dans un plan fixe, de manière que la polaire de chacune délies y par rapport à une surface du second degré j passe par le point de concours des deux autres , on mène trois plans tangens à la surface, la somme des carrés des distances de ces trois plans à un point fixe pris arbitroiirement dans le plan fixe, divisés respectivement par les carrés des distances de ces plans au pôle du plan fixe , sera constante.

(38) Les droites menées du pèle du plan fixe aux points de contact des trois plans tangens, sont, comme nous Tavons fait voir (34), les polaires des trois droites prises dans le plan; ce sont les droites que nous avons appelées axes conjugués relatifs au point par lequel elles sont menées ; nous pouvons donc donner au théorème précédent cet autre énoncé :

Si, par un point fi^e o, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré , les plans tangens à la surface en trois des points où ces axes la perceront jouiront de cette propriété, que la somme des carrés de leurs distances à un point pris arbitrairement dans le plan polaire du point o, divisés respectivement par les carrés de leurs distances à ce point o, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.

ToM. XL 77

(39) Soit i le point pris dans le plan polaire du point o; aie point où l'un des plans tangens à la surface rencontre la droite oi; le rapport des distances de ce plan aux deux points i^ o , sera égal au rapport des segmens ai^ ao. Ainsi le théorème exprime que la somme des carrés des trois rapports, tels que — , sera constante.

(40) Si la droite oi est parallèle au plan polaire du point Oj tous les segmens ai seront égaux, comme étant infinis et comptés sur une même droite ; on en conclut ce théorème :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rap^ port à une surface du second degré ^ les plans tangens à la surface, menés par trois des points où ces atces la rencontreront y feront sur une droite menée par le point fixe parallèlement au plan polaire de ce point y trois segmens dont la somme des valeurs inverses des carrés sera constante^ quel que soit le système des trois axes conjugués.

(41) Si le point fixe est le centre de la surface, les trois axes seront trois diamètres conjugués de cette surface ; le plan polaire du point fixe sera à l'infini, et d'une direction indéterminée; de sorte que toute droite menée par le point fixe pourra être considérée comme parallèle à ce plan ; on conclut donc du dernier théorème cette propriété des diamètres conjugués :

Les plans tangens à une surface du second degré menés par les extrémités de trois demi-diamètres conjugués font, sur un axe fixe mené arbitrairement par le centre de la surface, trois segmens dont les carrés ont la somme de leurs valeurs inverses y constante.

$ X. Suite du précédent. — Propriétés plus générales des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point.

(42) La somme des perpendiculaires abaissées des six extrémités de trois diamètres conjugués d'une surface du second degré, sur un plan fixe mené arbitrairement dans l'espace, est constante.

On en conclut, par le principe de l'art. (16), que :

Si par trois droites, prises dans un plan fia;e, de manière que la polaire de chacune d'elles, pat rapport à une sur/ace du second degré , passe par le point de concours des deuon autres ^ on mène six plans tangens à la surface , la somme des carrés distances de ces six plans à un point fixe, pris arbitrairement dans r espace, divisés respectivement par les carrés des distances de ces plans au pôle du plan fixe, est constante.

(43) Par la considération des axes conjugués^ on donne à ce théorème cet antre énoncé :

Si, par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une sur/ace du second degré , les six plans tangens à la surface, menés par les six points où ces trois axes la rencontreront, jouiront de cette propriété que, la somme des carrés de leurs distances à un point pris arbitrairement dans F espace, divisés respectivement par les carrés de leurs distances au point fixe, sera constante , quel que soit le système des trois axes conjugués menés par ce point.

(44) Soit o le point par lequel sont menés les trois axes conjugués , et i le second point fixe pris arbitrairement dans l'espace; soit a le point où l'un des six plans tangens rencontre la droite oi; le rapport des distances de ce plan aux deux points i et o sera égal à ^. On aura donc six rapports semblables à ^ ^ dont la somme des carrés sera constante.

Ainsi l'on aura

tff cT .

— ^ H- etc. = const.

ao Co

(45) Supposons le point i situé à l'infini ^ tous les segmens od. Si, eïc, seront égaux ^ comme infinis et comptés sur une même droite; il restera donc

zr H r -*- etc. = const.

ao Co

Donc : Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par

rapport à une surface du second degré, et que par les points où ils rencontreront la surface, on mène les sia; plans tangens; ces plans feront sur une droite fixe ^ menée arbitrairement par le point fixe, six segmens , compris entre ce point et ces plans respectivement, dont les carrés auront la somme de leurs valeurs inverses , constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.

(46) Supposons que^ par le point o, ont ait mené trois droites fixes perpendiculaires entre elles; on aura pour chacune d'elles une équation semblable à la précédente; les ajoutant membre à membre > et remarquant que la somme des valeurs inverses des carrés des segmens qu'un plan quelconque fait sur trois axes rectangulaires issus d'un même point, est égale à la valeur inverse du carré de la distance de ce point au plan^ on en conclura ce théorème :

Si, par un point fixe , on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, et que par les six points où ils per-cent la surface, on mène six plans tangens à cette surface, la somme des valeurs inverses des carrés des distances de ces six plans au point fixe sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugués.

(47) Si l'on suppose^ dans le théorème exprimé par l'équation du n^ 44^ que le premier point o soit situé à l'infini, les segmens ao, So^ etc., seront égaux, comme infinis^ et l'on aura l'équation :

at -^ Cl -♦- yt H- etc. = coDSt.

Ce qui exprime que :

Si dans un plan diamétral dune surface du second degré on prend trois droites, de manière que là polaire de chacune dettes passe par le point de concours des deux autres, et que par ces trois droites on mène six plans tangens d la surface, la somme des carrés des segmens compris entre un point fixe de l'espace et ces six plans, sur une droite menée par ce point parallèlement au diamètre conjugué au plan diamétral, cette somme, dis-je, sera constante quel

que soit le système des trois droites prises comme il est dit, dans le plan diamétral

§ XL Autres propriétés des systèmes de trois axes conjugués relatifs à un point. — Réflexions sur les méthodes de transformation.

(48) Soient trois axes rectangulaires occ^ oy, oz, et une droite quelconque om menée par le point o; que ^ par le point m de cette droite^ on mène trois plans perpendiculaires respectivement aux trois axes^ et les rencontrant aux points aj% bi' , c/; on aura

Nous pouvons exprimer ce théorème en disant que la somme des carrés des trois projections de la droite om , sur trois axes rectangulaires^ est constante, quelle que soit la position de ces trois axes; ainsi Ton a

Pour transformer ce théorème, concevons une sphère qui ait pour centre le point o : les trois axes oa;^ oy ^ oz, seront, en direction, trois demi-diamètres conjugués de cette sphère : soient ai,bi,Cxy les points où ils la rencontrent; nous pourrons mettre notre équation sous la forme

oa\ ob\ oc\

(1) :=^ -^ :^ -f- ^^ = const.

Faisons la figure corrélative. Nous aurons une surface du second degré, trois droites X, Y, Z, comprises dans un plan O, qui seront telles que la polaire de chacune d'elles par rapport à cette surface, passera par le point de concours des deux autres; soient X', Y'^ Z', ces trois polaires; elles passeront par le pôle i du plan O, pris par rapport à la surface; et elles seront trois axes conjugués relatifs à ce

point i. Ce sont les droites qui correspondent aux trois droites situées à l'infini dans les plans yoz^ zox^ ^oy y de la première figure.

Nous aurons encore, dans le plan O, une quatrième droite correspondant à la droite om; et si l'on mène par cette droite un plan transversal M, il correspondra au point m.

Aux trois plans menés par ce point m, perpendiculairement aux trois axes ox, oy, oz , correspondront les trois points où le plan M rencontre les trois axes conjugués dont nous venons de parler.

D'après cela, on voit aisément que, aux quatre points Oy a/, a^ et Finfini, situés sur l'axe ox^ correspondront, dans la nouvelle figure, quatre plans passant par la droite X : le premier est le plan 0 ; le second passe par le point où le plan M rencontre l'axe X' qui est la polaire de la droite X; le troisième est tangent à la surface en l'un des deux points où cet axe la rencontre; et le quatrième passe par le point L

Le rapport anharmonique de ces quatre plans est égal à celui des quatre points de la première figure, auxquels ces plans correspondent, lequel est ^. Exprimons le rapport anharmonique des quatre plans par celui des quatre points où ils rencontrent l'axe X'. Soient a, a', a, les trois premiers de ces quatre points, dont le quatrième est i; on aura

oa, aa * ta

Par chacune des deux autres droites Y' , Z' , passeront pareillement quatre plans, qui donneront lieu aux deux équations

oh, ~ Cb • ib '

oc\ yc' Uf oCj yc * ic

OÙ l'on conçoit parfaitement les points représentés par les lettres

6, b, b'y yyC,c'.

On aura donc, d'après l'équation (1)^ la suivante^ qui en est la transformée^

\eta ta J \Cb tb J Kyc te J

on

/ta ia!\^ f ih iV\^ fie ic'\^

const.

oonst.

D'où résulte ce théorème :

Étant donnés une surface du second degré et un plan transversal^ si, autour dun point \, pris arbitrairement, on fait tourner trois axes conjugués par rapport à la surface ^ et qu^on désigne par OL, ê, y, les points où ils rencontrent le plan polaire du point i ; par a^ b^ c^ trois des six points où ils rencontrent la surface; et enfin par a', b', c', les trois points où ils rencontrent le plan transversal, on aura

^ ^ \aa' a'aj "*" l^bC ' Vc] "*" \cr * c'y) ~

quel que soit le système des trois axes conjugués menés par le point i.

(49) Ce théorème exprime une propriété très-générale des systèmes de trois axes conjugués d'une surface du second degrés relatifs à un point.

L'indétermination de position du plan transversal par rapport à la surface , ou de la surface par rapport au plan^ permet de faire différentes suppositions qui conduisent à quelques théorèmes assez simples.

Ainsi^ en supposant le plan transversal parallèle au plan polaire du point fixe iy les rapports

seront égaux ; et l'on aura

ta ib te

— -h — -*- — =5 const. ;

aa bC cy

61â MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

ce qui exprime que :

Si ^ par un point fixe, on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, la somme des carrés des segmetis compris entre le point fixe et trois des points où les trois axes rencontreront la surface , divisés respectivement par les carrés des segmens compris entre ces trois points et le plan polaire du point fixe, sera constante, quelque soit le système des trois axes conjugués.

(50) Dans l'équation générale (2)^ qui a lieu pour une position arbitraire du plan transversal^ remplaçons le rapport ^ par le rapport des perpendiculaires abaissées des deux points a, a' sur le plan O. Soient ap, a'p' ces perpendiculaires; le premier terme de Féquation (2) deviendra

ap ' ayj

Changeons de la même manière les deux autres termes , nous aurons l'équation

/«a \' / ta' y

(51) Maintenant^ c'est un théorème de géométrie élémentaire^ trèsfacile à démontrer par une comparaison de triangles^ que si l'on mène par le point i une perpendiculaire au plan mené par ce point et Fin* tersection des deux plans M et O; que cette droite rencontre le plan M au point d^ y et que de ce point (t on abaisse une perpendiculaire ,d-s' sur le plan O, on aura

id' ta'

as a p

Cette équation a lieu quelle que soit la direction de la droite ta'. D'après cela, l'équation (3) devient

ou , en faisant passer le facteur (5^,)' dans le second membre , et le comprenant dans la constante ,

— ) COS. ' (a'id') -f- etc. = const. apj

Cette équation exprime une propriété générale des systèmes de trois axes conjugés d'une surface du second degré ^ relatifs à un même point. La direction de la droite tof', dans ce théorème, est arbitraire, puisque le plan transversal M, qu'elle a remplacé, était lui-même de position arbitraire.

(52) Si Ton conçoit, menées par le point i, deux autres droites, on aura, par rapport à elles, deux équations semblables à la précédente. Et si l'on suppose ces deux droites et la première id perpendiculaires entre elles, on aura, en ajoutant membre à membre ces trois équations,

ta tb te

— -*- rzr -♦- "^ = const. :

■—a "^ rr^a — a '

ap oq cr

Ce qui exprime ce théorème :

Si par un point fixe on mène trois axes conjugués par rapport à une surface du second degré, et que , sur chacun deux, on prenne un des deux points où ils perceront la surface ^ les trois points ainsi pris jouiront de cette propriété, que la somme des carrés de leurs distances au point fixe, divisés respectivement par les carrés de leurs distances au plan polaire du point fixe, sera constante, quel que soit le système des trois axes conjugés.

(53) Supposons, dans le théorème général (48), que le plan O soit à l'infini; le point i sera le centre de la surface; les trois axes conjugués m ^ ib, ic seront trois diamètres conjugués; les rapports ^, , etc. , seront égaux à l'unité, et l'équation (2) se réduira à

5^ ■*- S -«-ï = const.; ta'" f^' ic'"

To». XI. 78

ce qui prouve que :

La somme des carrés de trois demi-diamètres conjugués dune surface du second degré , divisés par les carrés des segmens faits sur ces diamètres par un plan transversal fixe^ est constante.

(54) Enfin supposons que la surface, dans le théorème général (48), soit de révolution, et ait un foyer situé au point i; le plan O, qui est le plan polaire de ce point , sera le plan directeur correspondant à ce foyer, et les trois axes conjugués ia, ib, ic^ seront rectangulaires; de plus les trois rapports ^, etc. (50), seront égaux et constans, et l'équation (3) se réduira à

ôy' ïv' cv'

=1:7 •+- ==; -f- =5 = const.

iV ib' ic'

Ce qui signifie que :

Étant donnés deux plans et un point fixe dans T espace y si autour de ce point on fait tourner trois axes rectangulaires , qui rencontreront le premier plan en trois points , la somme des carrés des distances de ces trois points au second plan, divisés respectivement par les carrés de leurs distances au point fixe y sera constante.

Ce théorème peut se démontrer directement au moyen de la proposition exprimée par l'équation

^=^.cos.(a'id'). (81).

(55) II est curieux de voir tant de théorèmes différens, et dont plusieurs sont des propriétés si générales des surfaces du second degré, résulter d'une simple proposition de géométrie élémentaire relative aux projections d'une ligne droite sur trois axes rectangulaires. Cet exemple suffirait pour montrer l'utilité et la puissance des nouvelles méthodes de transformation.

Ces méthodes nous paraissent répondre parfaitement à cette pensée de M. Poinsot : a En géométrie, comme en algèbre, la plupart des )> idées différentes ne sont que des transformations; les plus lumi-

)) neuses et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux » image, et que l'esprit combine avec le plus de facilité dans le discours » et dans le calcul. » (Élémens de statique^ 6® éd. , p. 351). Ce sont ces idées les plus lumineuses et les plus fécondes, que les méthodes de transformation feront découvrir, soit en établissant les liens cachés qui ont lieu entre une foule de propositions qui semblaient d'abord isolées et étrangères les unes aux autres, soit en variant très-diversement, par des procédés certains, les formes d'une idée primitive.

Et que l'on ne croie pas que cette foule de théorèmes divers, qu'on peut aujourd'hui multiplier indéfiniment par ces méthodes, doivent compliquer la géométrie, et en rendre l'étude plus longue et plus pénible. Toutes ces propositions, nouvelles ou plus générales que celles qu'on connaissait déjà, auront, au contraire, pour effet certain, de simplifier cette science et d'en étendre les doctrines.

En effet, d'une part, les propositions d'un nouveau genre donneront lieu à des théories et à des considérations géométriques nouvelles; et d'autre part , les propositions qui rentreront dans des théories connues forceront, par leur généralité, d'élargir les bases actuelles de ces théories, et de les asseoir sur des principes susceptibles de déductions plus diverses et plus générales. Car nous considérons les méthodes de transformation comme des moyens précieux pour la découverte de théorèmes nouveaux , et la démonstration de quelques vérités partielles; mais quand il s'agit de vérités appartenant à une théorie déjà formée, les démonstrations que procurent ces méthodes artificielles ne nous paraissent pas complètement satisfaisantes; cette théorie doit trouver en elle-même les ressources nécessaires pour la démonstration directe des vérités qui lui appartiennent, sans qu'on soit obligé de s'appuyer sur les vérités correspondantes dans la théorie corrélative. Ainsi, par exemple, si nous faisions entrer dans un traité des surfaces du second degré les propriétés nouvelles que nous avons trouvées dans les paragraphes précédens, telles que celle des axes conjugués relatifs à un point, ce serait directement que nous démontrerions ces propriétés, et non par le principe de dualité. Ce sont ces démonstrations directes qui.

nécessairement 9 amèneront un perfectionnement notable dans les théories géométriques.

Ainsi ^ ce n'est pas seulement sous le rapport du grand nombre de propositions qu'on introduira dans la géométrie, que nous reconnaissons une haute utilité aux méthodes de transformation ; mais c'est aussi parce qu'il en résultera un perfectionnement certain des méthodes et des théories, et que, par suite, la science gagnera en étendue et en facilité.

Nous pouvons citer, à l'appui de ces réflexions, la théorie des coniques. On s'est effrayé parfois du nombre prodigieux de propositions dont elle s'est accrue depuis une trentaine d'années; et cela a détourné peut-être de l'étude de la géométrie ; cependant les personnes qui ont suivi ce développement, penseront certainement qu'un traité des coniques qu'on écrirait aujourd'hui, et qui embrasserait toutes ces propositions récentes ainsi que toutes les anciennes, serait beaucoup plus facile, plus lumineux, et plus court en paroles, en même temps que plus étendu en doctrine, que le grand traité d'Apollonius, et que les ouvrages célèbres de De la Hire, de L'Hôpital, et de R. Simson.

§ XII. Transformation des propriétés du centre des moyennes distances d^un système de points. Centre des moyennes harmoniques.

(56j Soient plusieurs points o, 5, c, en ligne droite; on sait qu'il

existera sur cette droite un certain point g tel que, quel que soit un autre point m pris sur cette droite^ on aura toujours l'équation

ma + mh + me + .... = n.mg , OU

ma mh me

mg mg mg

n étant le nombre des points a, i&, e,

Le point g est appelé le centre des moyennes distances des points a, Cy b \

1 La théorie du centre des moyennes distances contient implicitement celle du centre de gra-

Faisons la figure corrélative ^ nous aurons des plans A^ B^ C^ .... G et M passant par une même droite^ et un dernier plan I^ passant aussi par cette droite^ et correspondant au point situé à l'infini sur la droite ma. L'équation ci-dessus donnera ^ en vertu de la seconde partie du principe de corrélation (13)^

sin. M,A ^ sin. I,A sin. M,B ^ sin. 1,B sin. M,G * sin. I,G sin. M,G * sin. I,G OU

Wsin. M,A sin. M,B sin. M,G

sm. lyA sm. I,B sm. I,G

Tirons une transversale quelconque qui rencontrera ces plans aux points (Xy S^y, 8 y fiel <; on aura

LM uL sin. M.A sin. lA

/bcd * i& sin. MG * sin. IG ' >

et par conséquent

Wfia fiC fiy fié — H -*- h = n. — .

ui tC fy té

Le point m était arbitraire dans Téquation (l); donc le plan M^ et par suite ^ le point fx sont aussi arbitraires dans les équations (2) et (3) : prenons ce point /x à l'infini^ l'équation (3) deviendra

la iS ty tû

Donc^ quelle que soit la transversale menée à travers les plans

vite , parce que, pour passer de la première à la seconde , il suffit de supposer que plusieurs points du système se réunissent en un seul. On introduit de la sorte , dans l'équation (1) , comme dans toutes celles qui se rapportent à cette théorie , des coefficiens dont chacun marque le nombre des points réunis en un seul , et peut être regardé comme la masse de ce point unique. Ainsi nous pouvons , pour plus de simplicité , ne parler que du centre des moyennes distances , et néanmoins les théorèmes que nous obtiendrons s'appliqueront d'eux-mêmes au centre de gravité d'un système de points matériels.

A^ B^ G^... ^ G et I, les points où elle perceta ces plans donneront tou* jours lieu à cette équation.

Maclaurin a appelé, dans cette équation, la distance lO la moyenne harmonique entre les distances ux, tS, ly..,. ^ ; et M. Poncelet a appelé le point die centre des moyennes harmoniques des points «, 6 y y,.... par rapport au point i *.

(57) L'équation (4) exprime donc ce théorème, qui est le corrélatif de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points situés en ligne droite, exprimée par l'équation (1) :

Étant doMiës plusieurs pkms A^ B, Cy et un dernier plan I,

passant tous par une même droite; il existera toujours un certain plan G y passant aussi par cette droite, et jouissant de cette propriété, que, si F on mène une transversale quelconque, le centre des moyennes harmoniques des points où elle percera les plans A , B, C, ... par rapport au point otc elle percera le plan I, sera toujours dans ce plan G.

(58) Remarquons que si la transversale était menée parallèlement au plan I, on aurait

— 1 , — 1 , .... , et l'équation (2) deyiendrait

Ce qui prouve que le point 0 est le centre des moyennes distances des

points (X, S, y,

Ainsi nous pourrions dire que le plan G est tel que toute transversale, parallèle au plan /, le rencontre en un point qui est le centre des moyennes distances des points où cette transversale rencontre les plans A, B, C ,

(59) La position du point Q, qui est le centre des moyennes harmo-

^ § S8 de son Traité des propriétés générales des courbes géométriques; 2 Mémoire sur kê centrée des moyennes harmoniques « inséré dans le t. 111 du Journal de Mathématiques de M. Crelle.

niques des points a^ S, y,.... par rapport au point t, est déterminée indifféremment par Féquation (4)^ ou par l'équation (3)^ qui contient un point arbitraire ju; de sorte que ces deux équations sont identiques. Cette identité résulte de la propriété même du centre des moyennes distances^ exprimée par l'équation (1) où le point m est indéterminé; mais on peut en donner une démonstration directe^ très-facilement.

D'abord on passera de l'équation (3) à l'équation (4) en remplaçant, dans la première^ {lx par lu^^ta, /LtSpar p — £;et ainsi desautres segmens*

Réciproquement, on passera de l'équation (4) à l'équation (3) en prenant l'équation identique

— ■+• "~ -♦- ^ "♦- •••• ^= fi. — ,

et la retranchant de Téquation (4), après avoir multiplié les deux membres de celle-ci par (u; car il en résulte

^ fit — ta fju — tC fju — ty fu — 15 H H H ....ssn. ,

ta tC ty tB

fia fiG fiy iiA

la tC ty iB

Ainsi l'identité des deux équations (3) et (4) est démontrée directement. Elle exprime une propriété importante du centre des moyennes harmoniques d'un système de points situés en ligne droite.

(60) Maintenant, si nous considérons l'équation (4), non plus sous le rapport de sa signification propre dans la théorie du centre des moyennes harmoniques, mais comme exprimant une relation entre cette théorie et celle du centre des moyennes distances, relation fondée sur le principe de dualité, nous aurons ce théorème, qui nous sera utile dans la suite :

(( Si l'on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des » moyennes distances, et qu'on fasse la figure corrélatiye, on aura )) des plans passant par une même droite; dont le dernier , qui corres-

)) pondra au centre des moyennes distances, sera tel que si on tire )) une transversale quelconque, le point où elle rencontrera ce dernier )) plan sera le centre des moyennes harmoniques des points où elle )) percera tous les autres plans, par rapport au point où elle percera )) le plan correspondant au point situé à Finfini sur la droite des points » de la première figure. »

(61) Considérons plusieurs points en ligne droite, a, b^ c,..., et leur centre des moyennes harmoniques g, pris par rapport à un point o de cette droite; on aura

oa oh ' * og '

^ og

— -h sry -*- .... = fl.

oa ob

Faisons la figure corrélative. Nous aurons n plans A, B, G,... un plan 0, et un dernier plan G^ plus un plan I, correspondant au point de la droite ab situé à l'infini; tous ces plans passeront par une même droite. Menons une transversale quelconque, qui rencontrera ces plans aux points «, $, }^,. ...&>, 0 et i; on aura, d'après la seconde partie du principe de dualité^

6)0 id Oè tô

OSA la uC iC

OU

ta iC tô

(M 6iC ôa

OU, suivant ce qui vient d'être démontré ci-dessus,

CM UÇ Cûé

Ce qui prouve que :

« Quand on a plusieurs points en ligne droite, et leur centre des » moyennes harmoniques par rapport à un point de cette droite; )) si l'on fait la figure corrélative, on aura des plans passant par une

)) même droite^ dont FaTant dernier sera tel que si l'on mène une » transversale quelconque^ elle rencontrera ces plans en des points )) dont l'avant dernier sera le centre des moyennes harmoniques des )) premiers par rapport au dernier. »

(62) Soient des points a^i&^ c,.... placés d'une manière quelconque dans l'espace, et g leur centre des moyennes distances ; la propriété de ce point est que, si par tous ces points on mène des plans parallèles entre eux, une transversale quelconque les rencontrera en des points dont le dernier sera le centre des moyennes distances de tous les autres.

Faisons la figure corrélative; nous aurons des plans A, B, C,.... placés d'une manière quelconque dans l'espace, et un dernfer 6, correspondant au centre des moyennes distances g. Tous les plans menés parallèlement entre eux par les points a, b^.... g, donneront lieu à des points situés sur les plans A, B,.... 6, et tous sur une même droite passant par le point i qui répond à l'infini de la première figure; le dernier de ces point sera le centre des moyennes harmoniques de tous les autres par rapport au point i (60) ; on a donc ce théorème :

Quand on a plusieurs plans, placés dune manière quelconque dans V espace^ si, autour dun point fixe, on fait tourner une trans-versale, et qu^on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle perce les plans, par rapport au point fixe, ce centre aura pour lieu géométrique un plan.

M. Poncelet a appelé ce plan, dans son Mémoire cité ci-dessus, le plan des moyennes harmoniques, relatif au point fixe.

Il est remarquable que ce théorème soit précisément le corrélatif de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points.

Maclaurin a démontré ce théorème pour le cas d'un système de lignes droites situées d'une manière quelconque dans un plan^; nous le reproduisons ici pour montrer cette relation remarquable qui existe

1 De linearum geomeiricarum proprieiaitbuê generalibus tradatuSf § 26.

ToM. XL 79

entre ce théorème et la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points. On n'aurait pas suj^osé à priori des rapports aussi directs et aussi simples entre deux propositions en apparence si différentes.

(63) En appliquant le principe de dualité au théorème que nous Tenons de démontrer^ on parvient immédiatement au suivant :

Quand on a un système de points ^yh, c^.... dans Fesp^f^ce^ et un plan fiùoe I y si par une droite y prise arbitrairement dans ce plan y on mène des plans passant par tous ces points; puis qu^on tire une transversale quelconque, et qu^on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle percera ces plans , par rapport au point ou elle percera le plan I, le plan mené par ce centre et par la droite prise dans le plan I , passera par un point fixe y quelle que soit cette droite.

Ce point fixe a été appelé par M. Poncelet le centre des moyennes harmoniques des points a y b^ Cy.. par rapport au poini /.

Ce théorème est une généralisaticm de la propriété du o^dtre des moyennes distances d'un système de points; car si le plan I est à l'infini^ le point fixe sera précisément le centre des moyennes distances des points a, b, c^...

(64) Le centre des moyennes harmoniques d'un système de points^ par rapport à un plan^ jouit de diverses autres propriétés que nous omettons ici^ parce que nous reviendrons sur cette théorie dans la seconde partie de cet écrite en a|^liquant le principe de déformation homographique.

§ XIIL Théorème de Newton sur les diamètres des courbes. — Propriétés nouvelles des surfaces géométriques.

(65) Soit une surface géométrique. Si on tire des transversales parallèles entre eUes^ et qu'on prenne le centre des moyennes distances des points où chacune d'elles rencontrera la surface^ le lieu géométrique de ces centres sera un plan.

Gela est une conséquence du théorème que Newton a donné sur les diamètres des courbes géométriques^ au commencement de son Énu^ mération des lignes du troisième ordre.

Faisons la figure corrélative; nous aurons une nouyelle surface géométrique: aux transversales correspondront des droites^ toutes situées dans un même plan^ qui correspondra au point de concours (situé à l'infini) des transversales; d'après ce que nous avons démontré (60) y sur la transformation de la propriété du centre des moyennes distances d'un système de points situés en ligne droite , on aura ce théorème :

Quand on a une surface géométrique et un plan , situé dune manière quelconque dans F espace y si par une droite y prise arbitrairement dans ce plàH ^ on mène les plans tangens d cette sur/ace; puis, qu^on tire une transversale quelconque et qu'on prenne sur elle le centre des moyennes harmoniques des points où elle percera tous les plans tangens , par rapport au point où elle percera le plan donné ; le plan mené par ce centre et par la droite prise dans le plan donné y passera par un point fixe , quelle que soit cette droite,

(66) Si la surface primitive est l'ensemble de plusieurs plans^ sa transformée se réduira à plusieurs points isolés^ et le théorème exprimera la propriété du centre des moyennes harmoniques d'un système de points^ déjà démontrée ci-dessus (63).

(67) Si par les points où une des transversales T^ dans la première figure y rencontre la surface y on mène les plans tangens à cette surface^ et qu'on prenne le centre des moyennes distances des points où toute autre transversale rencontre ces plans tangens , ce centre sera sur le plan P, lieu géométrique des centres relatifs à la surface. Car ce point sera sur un plan fixe P'^ parce que les plans tangens forment une surface géométrique; mais quand la transversale sera infiniment voisine de la première T, les points où elle percera la surface se confondront avec les points où elle percera les plans tangens; les deux plans P, P', auront donc plusieurs points communs y et se confondront.

Faisant la figure corrélatWe^ on conclut aisément de là, d'après le théorème (66) , ce nouveau théorème :

Quand on a une surface géométrique et un plan fixe situé dune manière quelconque dans V espace, si par une droite y prise arbitrairement dans ce plan^ on mène les plans tangens âlasurface^le centre des moyennes harmoniques de leurs points de contact avec la surface ^ relatif au plan fixe, sera toujours le même point de r espace, quelle que soit la droite prise dans ce plan.

(68) Si le plan fixe est à l'infini , on conclut de ce théorème cette autre propriété singulière des surfaces géométriques :

Étant donnée une surface géométrique , si on lui mène ses plans tangens parallèles à un même plan, leurs points de contact avec h surface auront pour centre des moyennes distances un point fixe, quelle que soit la direction commune des plans tangens.

(69) Les propriétés générales des surfaces géométriques, que nous venons de démontrer, ont lieu, bien entendu, pour les courbes planes; et elles s'appliquent aussi aux courbes à double courbure ; car dans les théorèmes connus d'où nous les avons déduites, par notre principe de transformation, la surface proposée pouvait être dévehppable et donner pour transformée une courbe à double courbure (17).

(70) Ces théorèmes, combinés entre eux, et appliqués à des systèmes de cônes et de cylindres circonscrits à une surface géométrique, ou passant par une même courbe à double courbure , conduisent à plusieurs autres théorèmes curieux qui sont une généralisation des propriétés des cônes circonscrits à une surface du second degré, et ayant leurs sommets sur une droite ou sur un plan.

Il ne peut entrer dans l'objet de cet écrit de nous étendre davantage sur ce genre tout nouveau de propriétés générales des surfaces et des courbes géométriques. Nous en avons fait d'ailleurs l'objet d'un mémoire spécial inséré dans la Correspondance mathématique de M. Quetelet. (Voir le second Mémoire sur la transformation para-bolique des relations métriques des figures. Correspondance, t. VI.)

Nous donnerons dans la seconde partie de cet écrit quelques autres

propriétés des courbes et des surfaces géométriques , qui appartiennent à la même théorie.

§ XIV. Propriété du quadrilatère gauche; double génération de Vhyperboloïde à une nappe ^ par une ligne droite mobile.

(71) Soit un quadrilatère gauche aa'b'b ; on sait que si Ton mène une droite mm' qui divise les côtés opposés ab, a^b', proportionnellement^ c'est-à-dire de manière qu'on ait

am a'm'

^ ' T^^ ÂW'

1^ La droite mm} sera dans un plan parallèle aux deux autres côtés aa\ bb ;

2^ Cette droite rencontrera toute droite, telle que nn\ qui s'appuie sur les côtés aa\ bb'y et qui est parallèle au même plan que les deux côtés ab^ a'b^. {Géométrie de Legendre, 5® livre.)

Faisons la figure corrélative. Nous aurons un second quadrilatère gauche aJè& y dont les plans des angles a, J^ 6, S'y que nous désignons par A, A', B, B', correspondent respectivement aux sommets a, a'^ b, A' du premier. Aux points m,m^ correspondront, dans la nouvelle figure, deux plans M ^ M' passant respectivement par les deux côtés «6, «'S'; et aux points n, n' correspondront deux plans passant respectivement par les deux côtés «a', €§'.

Soient I, F les deux plans qui correspondent aux points situés à l'infini sur les deux côtés ab , a'b'; ces plans passeront par les deux côtés (£ y J& respectivement ; et l'on aura

sin. M, A sin. I.A ma

sin. M,B * sin. I,B mb '

sin. M^A^ ^ sin. \ ,k' m'a' sin. M',B' • sin. r,B' ~ lHJv'

On a donc , d'après l'équation (1):

sin. M,A sin. I,A sin. M',A' sin. r,A'

sin. M,B ' sin. I,B sin. M',B' * sin. l\W

C'est-à-dire que le rapport anharmonique des quatre plans A.^ B^ I, M^ est égal au rapport anharmonique des quatre plans A', B'^ I'^ M^

Les droites aa^, bb\ mm' étant parallèles à un même plan , on peut les considérer comme s'appuyant sur une même droite située à l'infini; les droites qui leur correspondent^ dans la nouvelle figure^ s'appuieront donc aussi sur une même droite ; et cette droite rencontrera la droite d'intersection des deux plans I^ I'^ puisque celle-ci correspond aussi à une droite située à l'infini^ et que toutes les droites à l'infini sont considérées comme étant dans un même plan.

Enfin ^ la droite nn' étant dans un plan parallèle aux deux côtés aby a'b'y ces trois droites peuvent être considérées comme s'appuyant sur une même droite située à l'infini; à cette droite située à l'infini correspond la droite d'intersection des deux plans I, F; à la droite nn' correspondra donc une droite quelconque s'appuyant: 1^ sur la droite d'intersection des deux plans A, A'; 2« sur la droite d'intersection des deux plans B^ B^; et 3^ sur la droite d'intersection des deux plans I^ V.

De là on conclut ce théorème :

Étant donnés trois plans A^ B, ly passant par une droite / et trois autres plans quelconques A, B\ F, passant par une seconde droite; si autour de ces deux droites on fait tourner deux plans M y M^ ^ de manière que le rapport anharmonique des quatre plans A^B ,1, M^ soit égal au rapport anharmonique des quatre autres plans A y B', F y M'y la droite d intersection des deux plans M y M' s' appuiera y dans toutes ses positions y sur toute transversale qui s* appuierait sur les trois droites d! intersection des plans Ay B, /, parles plans A y -S', Fj respectivement.

Cela prouve que la droite d'intersection des deux plans M, M', engendre un hyperboloïde à une nappe ; et comme la transversale sur laquelle cette droite s'appuie dans toutes ses positions est indéter-

minée ^ on en conclut aussi la double génération de cette surface par une ligne droite.

Ce théorème correspond à celui que nous avons appelé^ dans la géométrie plane ^ propriété anharmonique des points dune conique {voir la Note XY). Il nous sera très-utile dans la théorie des surfaces du second degré.

f 72} Remarquons que Téquation (2) donne

sin. M,A sin. M',A^ sin. I,A sin. r,A'

• -^ • -— 5 const.

sin. M,B sin. M',B' sin. I,B sin. l%h'

^^^ est égal au rapport des distances d'un, point du plan M aux deux plans A^ B. Prenons ce point sur la droite d'intersection des deux plans M^ M^ Le rapport des distances du même point aux deux plans A', B', est égal à ||°,m%b^' Ce rapport est donc au premier dans une raison constante; donc

Si ton demande un point dont le rapport des distances à deux plans donnés soit au rapport de ses distances à deux autres plans , dans une raison constante , le lieu géométrique de ce point sera un hyperboloïde à une nappe.

Cela est encore un exemple assez remarquable qui montre la possibilité de tirer par nos méthodes de transformation^ d'un simple théorème de géométrie élémentaire , des propriétés générales des surfaces du second degré.

§ XV. Transformation des propriétés générales des surfaces géométriques rapportées à trois axes coordonnés.

(73) Soient une surface géométrique du degré m, et trois axes coordonnés ox,oy,oz; que par chaque point de la surface on mène trois plans parallèles^ respectivement^ aux trois plans coordonnés 9 les segmens ox^^ oy'^ oz' y que ces plans formeront sur ces axes^ auront entre eux une relation constante du degré m, quel que soit le point

de la surface; cette relation^ que nous représentons par

(l) F(ojf', oy\ o«') = o.

est l'équation de la surface.

Formons la figure corrélative; nous aurons une surface géométrique à laquelle on pourra mener, par une droite quelconque, m plans tangens (réels ou imaginaires); et trois droites situées dans un méoie plan 0 : les trois sommets A, B, C du triangle formé par ces trois droites correspondront aux plans coordonnés yzy zx et xy; de sorte que les trois droites BC, CA, AB, correspondront respectivement aux trois axes ox , oy, oz. Aux trois plans menés par un point de la première surface, parallèlement aux trois plans coordonnés, correspondront les trois points |', v^, C^ où un plan tangent à la nouvelle surface rencontrera les trois droites fixes menées des trois sommets du triangle au point t, qui correspond à l'infini de la première figure. Aux trois points x\ y', z\ correspondront les trois plans menés par les trois côtés du triangle et par les trois points où le plan tangent rencontre les trois droites issues du point i; soient X', Y', V ces trois plans.

Prenons sur les axes ox , oy^ oz, trois points fixes df, e, /*; et soient D, E, F, les trois plans correspondans, lesquels passent par les trois côtés du triangle ABC ; les trois plans tBC , tAC, f AB, correspondront aux trois points situés à l'infini sur les trois axes oxy oy, oz; on aura donc

ox'

8in. 0,X'

^ sin. tBC,X'

od

sio. 0,D

sin. tBC,D '

oy'

sin. 0,Y'

sin. fCA,Y'

sio. 0,£

' sin. fCA,E '

oz'

sin. 0,Z'

sin. tAB,Z'

of

sio. 0,F

' sin. t'AB,F

Soient ô, e, 9, les points où les trois plans D, E, F, rencontrent respectivement les trois axes tA, iB, tC; le second membre de la pre-

mière de ces trois équations sera égal à

Ml. £

on aura donc

o£ AT . *r ,

d'où