, /AÇ' A

On a semblablement

/Bv' Be\

Mettant à la place de ox^ ^ oy^ , oz'^ ces valeurs dans l'équation (1) de la surface proposée, on aura une équation où les trois rapports

AT Bï/ cr if' '♦/' "^^

qui déterminent la position de chaque plan tangent à la nouvelle surface, entreront au degré m. Cette équation ne contiendra pas d'autres variables que ces trois rapports^ car A(J, ù^ od^ etc., sont des constantes. On peut comprendre ces constantes dans les coefficiens de l'équation; on a donc cette propriété générale des surfaces géométriques : Quand on a une surface géométrique , et un tétraèdre situé dune manière quelconque dans V espace y chaque plan tangent à la surface fera deux segmens sur chacune des trois arêtes aboutissant au sommet du tétraèdre; si on forme les rapports des trois segmens situés du côté de la base aux trois autres respectivement y ces trois rapports auront entre eux une relation constante dun degré égal au nombre des plans tangens qu'on pourra mener à la surface par une même droite.

ToM. XI. 80

Et , réciproquement :

Si, ayant un tétraèdre, on mène un plan de manière que, n on forme le rapport des segmens quHl fera sur chaque arête aboutissant au sommet du tétraèdre {le segment situé du côté de la bctse du tétraèdre étant pris pour numérateur dans ce rapport) y les trois rapports ainsi faits aient entre eux une relation cofistante du degré m y le plan enveloppera une surface à laquelle on pourra mener m plans tangens par une même droite.

(74) Ainsi^ si la relation est du premier degré ^ le plan tournera autour d'un point fixe;

Si la relation est du second degré, le plan enveloppera une surface du second degré. D'où Ton peut conclure différentes propriétés des surfaces du second degré.

(75) Nous avons trouvé

ox^

si le point i est à l'infini, on aura seulement et pareillement

od

oe of

0,' = cr./ •

Mettant ces valeurs dans l'équation (1), et comprenant les constantes

od oe of

dans les coefficiens de l'équation , on aura une équation

F (Ar, B/, cîr) = o,

qui sera du degré m par rapport aux variables A|', Bi/' , Cç'. Donc : Si Von a une surface géométrique, et que par trois points fixes

on mène trois axes parallèles entre euw; chaque plan tangent à la surface coupera ces axes en trois points dont les distances aux trois points fixes reipectivement auront entre elles une relation constante cFun degré égal au nombre des plans tangens qu^on peut mener à la surface par une même droite ; Et réciproquement.

(76) Ainsi : Si F on a dans P espace trois droites parallèles entre elles j sur lesquelles sont pris trois points fixes ^ et qu^on porte sur ces droites^ à partir de ces trois points fixes, trois segmens qui aient entre eux une relation constante du premier degré ^ le plan déterminé par les extrémités de ces segmens passera , dans toutes ses positions, par un point fixe.

(77) Reprenons l'expression de ox',

Supposons les trois points Â^ B^ G^ à l'infini; il viendra

et pareillement

u. ce,

if, of.

Mettant ces valeurs dans l'équation (1), et faisant entrer les constantes dans les coefficiens^ on aura une équation

où les variables

JL JL JL

entreront au degré m.

Donc Quand on a une surface géométrique , si par un point on tire

ox'

oy' :

om'

trais axes fixes quelconques, chaque plan tangent à la surface les rencontrera en trois points dont les distances au point fixe auront entre leurs valeurs inverses une relation constante dun degré égal au nombre de plans tangens qu'on pourra mener à la surface par une même droite; Et réciproquement.

(78) Ainsi : si ton prend sur les arêtes dun angle trièdre trois points dont les distances au sommet de Fangle aient entre leurs valeurs inverses une relation constante du premier degré ^ le plan déterminé par ces trois points passera, dans toutes ses positions, par un point fixe.

(79) GonceTons le tétraèdre tABC^ et le plan qui coupe ses trois arêtes t'A, zB, tC, aux points ^', v', ç'j soient p, /, /o", jo'", les dbtances de ce plan aux quatre sommets t^ A^ B, C; on aura

/ Ar /' B/ /^ ^ fL.

on aura donc^ d'après le théorème (73)^ une relation

Cr'7-9)

OÙ les trois rapports entreront au degré m; si donc on multiplie tous les termes par p'^, on aura une équation homogène du degré m entre les quatre distances p, p\ p^' , jo'".

Donc

Bans toute surface géométrique, les distances de chacun de ses plans tangens à quatre points fixes , pris arbitrairement dans tespace, ont toujours entre elles une relation homogène dun degré égal au nombre des plans tangens {réels ou imaginaires) qu'on peut mener à la surface par une même droite.

Et , réciproquement :

Quand les distances dun plan mobile, à quatre points fixes, ont entre elles une relation homogène du degré m, ce plan enveloppe

une surface courbe^ à laquelle on peut mener ^ par une même droite quelconque^ m plans tangens {réels ou imaginaires) ^

(80) Ainsi ^ si l'on demande un plan^ tel que ses distances à quatre points fixes ^ multipliées respectivement par des constantes, aient leur somme égale à zéro^ une infinité de plans satisferont à la question y «t tous ces plans passeront par un même point. Et en effet on sait que ce point serait le centre de gravité des quatre points fixes^ s'ils avaient des masses proportionnelles aux constantes qui multiplient les distances du plan mobile à ces points.

$ XYI. Nouvelle méthode de géométrie analytique.

(81) Les théorèmes précédens offrent une manière de déterminer^ par une équation entre trois variables , tous les plans tangens à une surface courbe , analogue à celle par laquelle on détermine en géométrie analytique, par une équation entre trois variables, tous les points d'une surface.

On prendra arbitrairement dans l'espace un tétraèdre tABC. Un plan renconti;era les trois arêtes tA, tB, tC,en trois points I, u, ç, qu'il suffira de connaître pour que le plan soit déterminé. On déterminera ces points eux-mêmes par les rapports

fÇ tv ♦?

qu'on pourra appeler les coordonnées du plan, et que nous repré-

' Ce théorème s'applique à un nombre quelconque de points fixes ; c'est-à-dire que : ÉfaiU donnée plusieurs points fixes dans l'espace , si on mène un plan de manière qua ses distances à ces points aient entre elles une relation homogène constante du degré m, ce plan envtr iopperoy dans toutes ses positions , une suif ace géométrique à laquelle on pourra mener m plans tangens par une même droite.

Ce théorème se conclut , par le principe de dualité , de cette autre proposition , dont la démonstration résulte des premiers principes de la géométrie analytique , savoir : Le lieu d'un point dont les distances à plusieurs plans fixes ont entre elles une relation constante du degré m, est une surface géométrique qu'une droite quelconque rencontre en m points {réds ou imaginaires).

senterons par ^^ y ^ ^* Chaque système de valeurs de ces trois coor«* données donnera un plan. Donc une équation entre ces trois coordon-* nées représentera une infinité de plans ^ tous assujettis à une certaine loi exprimée par cette équation^ et qui, par conséquent, enveloppe^ ront une certaine surface.

Il résulte du théorème (73) qu'une équation F (a?, y , z) = o, où les variables a;, y^ s, n'entrent qu'au premier degré, représente un point; c'est-à-dire que tous les plans déterminés par cette équation passe** ront par un même point; qu'une équation du second degré représente une surface du second degré; et en général qu'une équation du degré m représente une surface à laquelle on peut mener m plans tangens par une même droite.

(82) Deux équations qui devront avoir lieu en même temps, détermineront les plans tangens communs aux deux surfaces que ces équations individuellement représentent; ces deux équations représenteront donc la surface développable circonscrite à ces deux surfaces.

Pareillement trois équations donneront les plans tangens communs aux trois surfaces représentées par ces équations.

Il suit de là que, quand trois surfaces seront inscrites dans la même développable, les équations de deux d'entre elles devront rendre identique l'équation de la troisième.

Ainsi, si l'on a deux surfaces du second degré représentées par les équations F = o, /* = o, toute autre surface du second degré, inscrite dans la développable circonscrite aux deux premières , aura son équation de la forme ¥ '\-'k. f=^ Oyl étant une constante.

(83) Chaque plan tangent à une surface la touche en un point qu'on déterminera par une formule semblable à l'équation du plan tangent à une surface dans le système de coordonnées en usage.

Ainsi soient F {ûû^ y^ ^) = ^ l'équation de la surface, et x^ , y', s' , les coordonnées de son plan tangent; l'équation du point de contact sera

d¥ d? dF

(84) Si l'on veut avoir l'intersection de la surface par un plan, on indiquera que le point dont nous venons de donner l'équation doit être sur ce plan. Soient a^ê^y^les coordonnées de ce plan; on aura l'équation de condition

Cette éc[uation représente une sur&ce dont les coordonnées courantes sont 0?^^ y'^ z^. Cette surface est telle que les plans tangens à la surface proposée^ en ses points d'intersection par le plan (a, S^ y), lui sont aussi tangens. Donc cette équation et celle F [x' , y' , z') = o de la surface proposée, représentent une développable circonscrite à celle-ci suivant sa courbe d'intersection par le plan dont les coordonnées sont a^ 6,y. Ainsi cette courbe d'intersection est déterminée.

(85) Nous ne pousserons pas plus loin ces analogies, qui suffisent pour faire voir le mécanisme de ce nouveau système, et à quel genre de questions il conviendra particulièrement. Mais on conçoit que, pour remployer avec avantage, il est nécessaire de le présenter directement et d'une manière élémentaire, pour connaître la signification des coefficiens de certaines équations qui se représenteront toujours, telles que celles du point et de la ligne droite. La méthode par laquelle nous venons d'exposer les propriétés principales de ce système ne suffit pas pour donner les expressions géométriques de ces coefficiens, parce qu'ils renferment les segmens, od^ oe, of, (73), qui appartiennent à l'ancien système. Nous reviendrons donc sur cette nouvelle '^méthode de géométrie analytique, pour l'exposer directement, et avec les développemens nécessaires.

(86) On remarquera que quand les trois axes ^'A, tB, tC, sur lesquels sont comptées les trois coordonnées de chaque plan, sont parallèles entre eux, ces trois coordonnées deviennent précisément les segmens Af, Bv, Cf , diaprés le théorème (75). Le système alors se simplifie beaucoup, et a une plus grande analogie avec le système de coordonnées de Descartes.

Au contraire^ quand les trois axes ik, tB, tC, passent par un même points et que le plan ABC est à l'infini ^ les trois coordonnées de chaque plan sont^ diaprés le théorème (77) , les valeurs inverses des distances du point i aux points où le plan rencontre les trois axes

t'A, iRy iCê.

§ XVII. Suite du précédent. — Applications du nouveau système

de géométrie analytique.

(87) Première application. Considérons le système de coordonnées le plus général^ celui où l'on a un tétraèdre t'ABC^ et où les coordonnées de chaque plan sont les rapports

AÇ hv cç

iÇ ty tK

On démontrera aisément^ en faisant les mêmes raisonnemens que pour la démonstration du théorème I {§ 11)^ le suivant^ qui d'ailleurs est le corrélatif du théorème (9) :

Quand, dans V équation d'un point mobile , les coefficiens des coordonnées courantes sont trois variables liées entre eUes par une relation du premier degré, le point engendre un plan ;

Si les coefficiens ont entre eua; une relation du second degré, le point engendre une surface du second degré;

Et, en général, si les trois coefficiens ont entre eux une relation du degré m, le point engendre une surface qui est rencontrée en m points par une transversale quelconque.

(88) Ce théorème conduit à une propriété géométrique du centre de gravité de quatre points matériels.

En effets soient w^ , y', z' , les trois coefficiens des variables^ dans l'équation d'un point; cette équation sera

^> y 9 ^9 sont les coordonnées qui déterminent chaque plan qui passe

par ce point. Nous ayons tu (79) qu'on peut les remplacer par les distances /j^ /?', /s", /?'", de ce plan aux trois sommets iy A,By C,da tétraèdre; on aura donc

ar'/ -1- y'/' -1- zfp'^' ^ K/) = 0.

Nous ayons tu aussi (80) que le point que représente cette équation est le centre de graTÎté des quatre points i. A, B, C^ si on leur suppose des masses proportionnelles aux quantités K, a;' , y', et jy'. On conclut donc du théorème précédent celui-ci :

Si Fon a qtiatre points fiœes matériels ^ et qu^on prenne leur centre de gravité ^ et que, la masse de Vun dieux restant constante, celles des trois autres points varient en conservant entre elles une relation constante du degré ra, le centre de gravité des quatre points engendrera une surface du degré m.

On pourrait faire Tarier les masses des quatre points; mais alors il faudrait qu'elles eussent entre elles une relation homogène; le centre de graTité de ces quatre points engendrerait une surface d'un degré égal à celui de cette relation.

(89) Deuxième application. Pour faire une seconde application du nouTcau système de coordonnées à une question qui offrirait des difficultés^ si on Toulait faire usage du système ordinaire , proposonsnous de démontrer cette propriété générale des surfaces géométriques :

Étant donnés une sur/ace géométrique, deux plans fixes et un axe parallèle à V intersection de ces deux plans , si on mène un plan transversal quelconque, et que par les deux droites suivant lesquelles il coupera les deux plans fixes on mène les deux faisceaux de plans tangens à la surface, les produits des segmens compris sur Faxe fixe, entre le plan transversal et les deux faisceaux de plans tangens, seront entre eux dans un rapport constant, quel que soit le plan transversal.

Prenons un système de trois axes coordonnés AxyBy, Cz, parallèles entre eux. Que le plan des deux axes h.x, By, et celui des deux axes kx,Cz , soient les deux plans donnés.

ToM. XL 81

Soit F [xy y, z) = o l'équation de la surface. Soient a?'^ y'j z', les coordonnées d'un plan transversal; les plans tangens menés à la surface, par la droite d'intersection de ce plan transversal et du plan des deux axes Kx^ By, couperont l'axe kz en des points dont les distances z au point G seront données par l'équation

On peut mettre cette équation sous la forme

OU

dz'^ ^ dz'^ 1.2 rf«'- 1.2.. ..m

w étant le degré de l'équation de la surface.

Les racines {z — js') de cette équation sont les segmens compris sur l'axe des Zy entre le plan transversal et les plans tangens; leur produit est égal à