X"==:LU", Y" = MU", Z" = NU

L'équation

représente un plan mobile entraîné par le mouvement du point (^"> y"> ^'O- Si nous supposons que ce point soit sur la surface A', les trois équations précédentes auront lieu ; par conséquent l'équation générale de son plan mobile se réduira à

Lr -H My H- Na = I.

C'est précisément l'équation du plan tangent à la surface A. L'équation

X"jr ^- Y"y -H Z"z = U"

est donc celle qui convient au second plan mobile^ pour qu'il en-

veloppe la sarface A, pendant que son point directeur parcourt la surface A',

Or on voit que, pour former cette équation, il faut changer, dans l'équation du premier plan mobile, les coordonnées courantes en celles du second point directeur, et celles du premier point directeur en coordonnées courantes. On peut donc énoncer ce théorème général :

Quand téquation dun plan mobile contient au premier degré les coordonnées x', y', z' d^un point directeur /si on y change les coordonnées courantes x, y , z, e» x', y' , z', e^ vice versa, on aura une seconde équation qui représentera un second plan mobile , correspondant au même point directeur ;

Si le point directeur parcourt une surface A , le premier plan mobile enveloppera une surface A' ;

Et si le point directeur parcourt la surface A ^ le second plan mobile enveloppera la première surface A.

Ainsi les deux surfaces jouissent de la propriété réciproque d'être engendrées l'une au moyen de l'autre, mais par deux plans mobiles différentes, c'est-à-dire dont les équations sont différentes.

(154) D'après cela, on voit sur-le-champ que si l'on veut que le plan mobile ait la même équation , ou la même construction géométrique, pour les deux surfaces, comme cela a lieu dans la théorie des polaires réciproques et dans les autres systèmes qui reposent soit sur le déplacement d'un corps solide, soit sur la considération d'un système de forces, il faut que l'équation du plan mobile soit symétrique par rapport aux coordonnées courantes et à celles du point directeur; car alors elle restera la même quand on y changera Xy y^z^enx'yy'^z'et vice versd, et les deux plans mobiles du théorème précédent auront la même équation.

Cela a lieu dans la théorie des polaires; l'équation du plan polaire d'un point reste la même quand on y met les coordonnées de ce point à la place des coordonnées courantes, et vice versd. Il en est de même pour le plan normal à la trajectoire d'un point d'une

figure de forme invariable qui éprouve un déplacement infiniment petit; ce qu'on voit d'après l'équation de ce plan normal (143). Il en est de même aussi pour le plan du moment principal d'un système de forces^ pris par rapport à un point; l'équation de ce plan reste la même si on y remplace les coordonnées courantes par les coordonnées du points et vice versd. Car en supposant les trois axes coordonnés rectrangulaires ^ et en désignant par Â^^^ A^^ A. les sommes des composantes^ suivant ces trois axes, des forces du système, transportées toutes à l'origine, et par M,, M^, M, les projections sur les plans yz j zûd et xy ^ du moment principal relatif à cette origine, on trouve que le plan du moment principal d'un point quelconque (^', y', z') ^ a pour équation

(y'Ax — 3^ky — M, )« -H jf'Mx -♦- y'My -4- %'VL% = o ;

et une simple vérification fait voir que cette équation reste la même quand on y change les coordonnées courantes x ^ y ^ z en x' y y\ z^ et vice versd.

L'équation du plan mobile dans ce dernier mode de construction des figures corrélatives a tout-à-fait la même forme que celle du plan normal à la trajectoire d^un point d'une figure en mouvement; il y a en effet dans ces deux questions des rapports intimes remarquables, dont il serait hors de propos de parler ici, et sur lesquels nous reviendrons ailleurs.

(155) Il nous reste à faire voir que chaque fois que l'équation du plan mobile sera symétrique, comme dans les exemples précédens; elle aura nécessairement la forme de l'équation du plan polaire d'un point par rapport à une surface du second degré , ou celle du plan normal à la trajectoire d'un point d'un corps solide en mouvement.

En effet, Féquation générale du plan mobile est de la forme

{ax^hy-^cz—d) x* -»- {a'x h- fc'y -»- c'z — d') y' -f- {a"x -4- fc"y -♦- c"% — <l") «' — (a'"a? H- 6"'y -I- c'"«— <!"') = 0.

Cette équation sera la méme^ après le changement de x^ y, % en x\ y\ z' et vice versd^ si son premier membre est resté identiquement le méme^ soit avec le même signe soit avec un signe différent.

Dans le premier cas^ en comparant le premier membre à ce qu'il devient par le changement en question , on trouve les six conditions :

et dans le second cas^ on trouve les conditions

Telles sont les deux seules solutions de la question.

Les deux équations du plan mobile qui y correspondent sont

— d{x ^ af) — rf'(y -^ y') — ^'\^ -^ «') — ^'" = « ' et

Faisons

la première équation devient

(2As' + Dy' -H E«' ^- G> -i- (2By' -4- Dar' h- Fs' -h H)y ^- (2C«' -*- Es' -4- Fy' -f- \)% ^ Go?' -i- Hy' -h la' — d"' = o.

C'est l'équation du plan polaire du point {x\ y\ s'), par rapport à la surface du second degré qui a pour équation

Aj?" -+- By* -+- C«' H- Dxy -4- Eora h- Fy« h- Ga? -4- Hy -4- Is T" '^ ^-

Donc ^ dans le premier cas^ le plan mobile pourra toujours être

ToM. XL 87

considéré comme le plan polaire du point directeur par rapport à une surface du second degré.

, Nous devons observer que cette surface pourrait être imaginaire; alors en changeant le signe du dernier terme de son équation^ on aurait une surface réelle. Ainsi on pourrait encore^ dans ce cas^ diriger le mouvement du plan mobile par la considération d'une surface auxiliaire du second degré.

Dans le second cas^ si l'on fait

l'équation du plan mobile devient

(ar— j?') cT/ -♦- (y— y') <hn -^ («—«') Jn — (y'*— iP'y) c^N — (x'z-^z'x) m — («'y — y'j») d^L = o.

C'est l'équation du plan normal à la trajectoire du point (ûc' ^ y', s') considéré comme appartenant à une figure de forme invariable , qui a éprouvé un mouvement infiniment petit.

Remarquons que cette équation est satisfaite quand on y fait x — x\ y=y',eïz = z\

(156) Il résulte de cette analyse que :

Quand Véquation cTun plan mobile contient, au premier degré ^ les coordonnées x', y', z' d'un point ^ et qu'elle reste la même quand on y change les coordonnées courantes x, y, z en x', y', z' et vice versa, elle ne peut avoir que deux formes différentes ; et le plan mobile peut être considéré comme le plan polaire du point (x', y', z'), par rapport à une surface du second degré déterminée ; ou bien comme le plan normal à la trajectoire du point (x', y', z'), regardé comme appartenant à un corps solide qui éprouve un mouvement infiniment petit.

Mais on conçoit que ces deux formes de l'écpation du plan mobile pourraient avoir d'autres interprétations géométricpes; comme nous l'avons fait voir à l'égard de la seconde ^ qui convient aussi au

plan du moment ]Mrincipal d^un système de forces^ relatif au point

§ XXVI. Note sur une propriété géfiérale des surfaces du second

degré.

(157) La propriété dont il s'agît est exprimée par l'équation

éin. C,A siD. D,A ea da ^ , ^.

(1) -: — T^ : -r-rrr •=—:—, (voir l'art. 121.)

sm. C,B 8in. D,B cb db ^ '

OÙ A^ B^ G^ D^ sont quatre plans quelconques passant par une même droite, et a, h^ a, rf, les pôles de ces plans, respectivement, par rap port à une surface du second degré.

Cette propriété est bien simple; néanmoins elle est une des plus fécondes de la théorie des surfaces du second degré; nous aurons à en faire ailleurs un grand usage; pour le moment nous allons en présenter une seule application, concernant la description des figures réciproques.

L'équation (1) est résultée de notre théorie générale des figures corrélatives, et n'a pas besoin d'une démonstration particulière; ce^ pendant, à cause des nombreuses conséquences du principe exprimé par cette équation, indépendamment de ses usages dans la théorie des transformations, nous allons en donner une démonstration directe; ce qui est chose très-facile.

Soient <x, S, 7, ^, les points où les plans A, B; C, D rencontrent la droite L sur laquelle sont situés les points a, i&, c, c/; ces plans passent par une même droite; par conséquent on aura, par la propriété du rapport ankarmont^ue (Note IX} :

sin. C,A ^ $in. D,A ya ^ éa sin. G,B • sin. D,B ~ yC * ^c'

il suffit donc, pour démontrer l'équation (1), de prouver que ron a

yx itt ca da '^e * 7i~ cb * dh

Or, le point a étant le pôle du plan A, les deux points a et a sont conjugués harmoniques par rapport aux deux points où la droite L rencontre la surface. Pareillement les deux points by 6, sont conjugués harmoniques par rapport aux deux mêmes points ; il en est de même de deux points c,yy et des deux points d, c^; donc trois quelconques de ces quatre systèmes de deux points forment une involution (Note X, art. \2 bis,^. 555 )j et par suite les huit points ont entre eux la relation que nous voulions démontrer (même Note^ art. 9).

(158) Maintenant^ pour faire l'application que nous nous proposons de la formule (1)^ mettons-la sous la forme

ac sin. A,C ad sin. A.D bc * sin. B,C M * sin. B,D

Le second membre est constant^ quels que soient le point c et son plan polaire G. Que dans le plan C on prenne un point m; son plan polaire M passera par le pôle c du plan C. Le rapport des distances

du point m aux deux plans A, B, sera égal à ^ï^tVcî ^® rapport des distances du plan M aux deux points a^ by sera égal à ^^ et^ d'après l'équation ci-dessus^ ces deux rapports seront entre eux dans une raison constante.

On a donc cette propriété générale des surfaces du second degré : Étant pris dans F espace deux points fixes a, b^ ef leurs plans polaires A y By par rapport à une surface du second degré ; si ton mène un plan transversal quelconque, le rapport de ses distances aux deux points a^ b^ sera au rapport des distances du pôle de ce plan aux deux plans A^ B , dans une raison constante quel que soit le plan transversal.

(159) Si le plan transversal est tangent à la surface^ son pôle sera son point de contact^ on en conclut que :

Étant pris dans F espace deux points fixes et leurs plans polaires par rapport à une surface du second degré ^ le rapport des distances dun point quelconque de la surface à ces deux plans sera au rapport des distances du plan tangent à la surface en ce point, aux deux points fixes ^ dans une raison constante.

D'après cela, on reconnaît de suite que plusieurs des théorèmes que nous avons démontrés sur les plans tangens à une surface du second degré menés par les extrémités de trois axes conjugués relatifs à un point fixe^ donnent lieu immédiatement à d'autres théorèmes différensy concernant les extrémités mêmes de ces trois axes conjugués.

Mais ces théorèmes devant se présenter dans la seconde partie de cet écrite comme application directe du principe de déformation homographique^ nous ne les énoncerons pas ici.

(160) Soit C un plan transversal mené arbitrairement dans l'espace^ et c son pôle par rapport à la surface du second degré. Désignons par Q la distance du plan C au point a^ et par (ô) la distance du point a au plan G; ces deux expressions seront égales^ mais envisagées sous un point de vue différent.

D'après cette notation^ le théorème que nous venons de démontrer s'exprimera ainsi

1 étant une constante indépendante de la position du plan transversal G et de son pôle c.

Pour déterminer cette constante^ supposons que le plan G se confonde avec le plan B; le point c se confondra avec le point i&; et il viendra

Or Q) est égal à (b) , comme exprimant la même distance ; il reste donc

D'après cette valeur de A, l'équation ci-dessus devient

Cette équation est susceptible de plusieurs conséquences.

(161) D'abord^ elle établit une relation générale entre trois plans quelconques et leurs pôles, pris par rapport à une surface du' second degré ^ qui fait voir que, trois plans étant donnés, on ne peut pas prendre arbitrairement trois points pour représenter les pôles de ces trois plans par rapport à une surface du second degré. Deux de ces points peuTent être pris arbitrairement, mais le troisième doit nécessairement être assujetti à une certaine condition exprimée par l'équation (2). L'expression géométrique de cette condition est que le troisième pôle doit être pris sur un certain plan déterminé.

Car Téquation (2) fait connaître le rapport (l) : (b), qui lui-même détermine la position du plan mené par la droite d'intersection des deux plans A, B, et par le pôle e du troisième plan G.

(162) Nous conclurons de là, d'abord, ce théorème :

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles que deux plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces surfaces, les pôles dun plan transversal mené arbitrairement seront sur un même plan qui passera par la droite d intersection des deux plans donnés.

(163) Si le plan transversal est à l'infini, ses pôles seront les centres des surfaces; donc

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles que deux plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à toutes ces surfaces y ces surfaces ont leurs centres situés sur un même plan.

(164) La même équation (2) donne le rapport (^) : (?); ce rapport détermine sur la droite ab un point par où passe le plan C; on conclut de là que :

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles que deux plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces sur-

faces, les plans polaires dun point , pris arbitrairement dans V espace, passeront par un même point de la droite qui joint ces deux pôles.

(165) Désignons par L le plan mené par le point a et par la droite d'intersection des deux plans B^ C; par Mie plan mené par le point b et par la droite d'intersection des deux plans G^ A; et enfin par N le plan mené par le point c et par la droite d'intersection des deux plans A^ B. Le rapport des perpendiculaires abaissées du point a sur les deux plans B^ C^ sera égal au rapport des sinus des angles que le plan L fait ayec ces deux plans B^ G. Ainsi l'on a

Pareillement

et

fh\ /i&\ sin. M,C Uy V^A^ -8in.M,A'

L'équation (2) devient donc

sîn, L,B sîn. M,C sin. N,A sin. L9G sin. M,A sin. M^B

Gette équation prouve, par un principe de la théorie des transversales, que les trois plans L, M, N, menés respectivement par les trois arêtes de Tangle trièdre formé par les trois plans A, B, G, passent par une même droite. On a donc ce théorème :

Étant donnés un angle triède et une surface du second degré ; et étant pris, par rapport à la surface, les pôles des trois faces de cet angle trièdre ; les trois plans menés respectivement par les arêtes de r angle et par les pôles des faces opposées à ces arêtes, passeront tous trois par une même droite.

Ge théorème exprime la construction géométrique du plan sur

69â MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

lequel doit se trouyer le pôle d'un troisième plan, par rapport à une surface du second degré, quand les pôles de deux premiers plans sont donnés.

(166) Maintenant considérons le triangle abc, et soient /, m, n, les trois points où les plans A, B, C, respectiyement , rencontrent les trois côtés bc, ca, ab. Le rapport des distances des deux points A, c au plan A, sera égal à ^ j ainsi l'on a

pareillement

L'équation (2) devient donc

an hl cm

équation qui prouve que les trois points l^ m, n^ sont en ligne droite. Donc :

Un triangle étant placé dune manière quelconque par rapport à une surface du second degré ^ les plans polaires de ses sommets rencontrent respectivement les côtés opposés en trois points qui sont en ligne droite.

Ce théorème pouvait se conclure immédiatement du précédent par la théorie des polaires réciproques^ mais il nous a paru intéressant de montrer que Tun et Tautre sont exprimés par la seule équation (2).

(167) Des deux théorèmes (165) et (166) on déduit sans difficulté cette propriété générale des surfaces du second degré :

Étant donné un tétraèdre ^ et étant pris les pôles de ses quatre faces y par rapport à une surface du second degré, et les plans polaires de ses quatre sommets ;

1^ Les droites qui joindront les sommets du tétraèdre aux pôles

des faces opposées à ces sommets seront quatre génératrices dun même mode de génération dun hyperboloide à une nappe;

2^ Les droites d intersection des plans polaires des sommets du tétraèdre par les faces opposées à ces sommets respectivement y seront quatre génératrices dun même mode de génération dun second hyperboloide à une nappe.

(168) Ce théorème est susceptible d'une multitude de conséquences. Nous en avons exposé déjà plusieurs dans les Annales de Mathématiques, tom. XIX ^ pag. 76. Nous nous bornerons ici à faire remarquer qu'on eni conclut que :

Quand plusieurs surfaces du second degré sont telles que trois plans donnés aient chacun le même pôle par rapport à ces surfaces :

1^ Les pôles dun autre plan transversal quelconque , pris par rapport à ces surfaces, sont situés en ligne droite ;

2® Les plans polaires dun point quelconque de Fespace, pris par rapport à ces surfaces, passent par une même droite;

3^ Enfin, toutes ces surfaces ont leurs centres situés sur une même droite.

(169) L'équation (2) servira pour la solution de cette cpestion: Construire une surface du second degré telle que quatre plans

donnés aient pour pôles , par rapport à cette surface , quatre points donnés; ces points satisfaisant à la condition exprimée par le théorème (167).

On concevra un plan transversal situé à l'infini, et l'on construira son pôle, par trois équations semblables à l'équation (2), dont chacune déterminera un plan sur lequel sera ce pôle. Ce point sera le centre de la surface cherchée.

On déterminera de même le pôle de tout autre plan transversal.

Par le centre o de la surface et le pôle a d'un plan^ on mènera une droite qui rencontrera ce plan en a; le produit oa. oa sera égal au carré du demi-diamètre compris sur la droite. Si les points a et a sont d'un même côté du point o, ce diamètre sera réel; et si ces points sont de côtés différens du point o^ ce diamètre sera imaginaire. ToM. XI. 88

On déterminera ainsi autant de points qu'on voudra de la surface.

Si l'on veut construire ses trois axes principaux^ on cherchera d'abord un système de trois diamètres conjugés^ ce qui se fera trèsaisément. Pour cela on mènera par le centre un plan transversal quelconque^ et on cherchera son pôle; on trouvera un point situé à l'infini sur une droite dont la direction sera l'intersection commune de trois plans qu'on déterminera par trois équations semblables à l'équation (2). La droite diamétrale parallèle à cette droite sera le diamètre conjugué au plan transversal. Par ce diamètre on mènera un second plan transversal^ et on cherchera semblablement son diamètre conjugué. Ces deux diamètres et la droite d'intersection des deux plans formeront un système de trois diamètres conjugués. Ces trois diamètres feront connaitre^ par là coitstruotion que nous avons donnée dans la Note XXY^ les trois axes principaux de la surface.

Ainsi le« problème est résolu complètement.

Nous nous sommes étendu sinr cette solution^^ parce que nous croyons qu'il serait utile qu'on ne négligeât aucune occasion de construire les surfaces du second degré déterminées par diverses conditions^ pour hâter le perfectionnement de leur théorie, et arriver à la connaissance de la relation si désirée qui doit exister entre dix points d'une telle surface. Peut-être parviendra-t-on d'abord , en s'ocoupant de ce genre de questions, à quelques cas particuliers de cette relation , qui mettront sur la voie de la relation générale elle-même.

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