DEUXIÈME PARTIE
PBINGIPE d'hOMOGRAPHIB.
§ I. Démonstratiofi du Principe (T homographie.
(170) Les propositions auxquelles nous aTons appliqué le principe de dtMlité nous ont conduit souyent à des propositions d'une plus grande généralité, dans leur genre, que ces premières dans le leur. On conçoit donc qu'en appliquant le même principe à ces nouvelles propositions^ on en obtiendra d'autres, du genre des premières, mais qui pourront être plus générales qu'elles. Le principe de dualité offre donc le moyen de généraliser une foule de propositions connues. Mais on voit sur-le-champ que ce moy^n devant toujours être le même, puisqu'il se réduit à répéter deux fois le mécanisme de la transformation des figures par le principe de dualité; on voit, dis-je, que ce moyen peut être érigé lui-même en principe général de l'étendue, immédiatement applicable aux figures proposées.
(171) Voici comment nous énoncerons ce principe :
Une figure de forme quelconque étant donnée dans F espace j on peut toujours concevoir une seconde figure du même genre, et jouissont des mêmes propriétés descriptives que la première, c^est-à-dire qtjùà chaque point, à chaque plan , à chaque droite de la première figure, correspondront, dans la seconde, un point, un plan, une droite;
Aux points à Vinfini dans la première figure , correspondront, dans la seconde, dès points situés tous sur un même plan ; de sorte qtHà des faisceaux de droites parallèles appartenant à la première
figure y correspondront , dans la seconde , des faisceauiv de droites concourantes en des points situés tous sur un même plan ;
Les deux figures auront entre elles des relations de grandeur, qui consistent en ce que :
l^ Le rapport anharmonique de quatre points situés en ligne droite dans la première figure, sera égal au rapport anharmonique des quatre points homologues dans la seconde figure ;
Et 2^ Le rapport anharmonique de quatre plans de la première figure j passant par une même droite, sera égal au rapport anharmonique des quatre plans homologues, dans la seconde figure.
Ainsi a, b, c, d, étant quatre points quelconques de la première figure^ situés en ligne droite, et a' ,b' , & ,â , étant les quatre points homologues dans la seconde figure^ on aura toujours l'égalité
ca da c'a' ^ rfV
^ ^ df "' "^ "^ ?y • 5^' '
et A, B^ G , D, étant quatre plans quelconques de la première figure, passant par une même droite, et A', B', C, D', étant les quatre plans homologues dans la seconde figure, on aura l'égalité
sin. G, A sin. D.A sin. C'A' sîn. D'.A'
(2) — • -^ BBS — - • — — .
^ sin. C,B * sin. D,B sin. C,'B' ' sin. D',B'
La démonstration de ce principe est bien simple; il suffit de concevoir une figure A^ corrélative de la proposée A, c'est-à-dire sa transformée par le principe de dualité; puis de former une autre figure A" corrélative de A' ; il est clair que A'' sera du même genre que A , et que les deux figures auront entre elles toutes les dépendances comprises dans l'énoncé du principe.
(172) Si les quatre plans A, B, G, D étaient parallèles entre eux, on remplacerait le premier membre de l'équation (2) par le rapport anharmonique des quatre points où ces plans rencontreraient une transversale quelconque; ainsi soient a. S, 7, d, ces points, on aurait
ya /« sin. C',A' sin. D',A'
yC • cf C sin. C',B' ' sin. D',B'
On agirait de même si les quatre plans correspondans A^^ B^ C'^ D'^ de la seconde figure ^ étaient parallèles entre eux.
(173) Ces formules se simplifient quand un ou deux des points qui y entrent sont à l'infini.
Si le point d de la première figure est situé à l'infini , l'équation (1) deyiendra
— — — . £fL
cb ■" cT • 7y'
Si l'un des quatre points a' , b'^ c' , d! de la seconde figure est aussi situé à l'infini^ Téquation deviendra encore plus simple ^ car le second membre ne contiendra que deux segmens, de même que le premier.
(174) Les deux équations (1) et (2) sont susceptibles d'interprétations géométriques qui faciliteront dans beaucoup de questions les' applications du principe d'homographie.
L'équation (1) s'écrit sous la forme
ca c'a' da d'à' 'cb * 7V ~ db ^* 7b''
Le second membre est indépendant de la position du point c, situé sur la droite aby et de son homologue c'; nous pouvons donc écrire
ca c'a' -:- = con.t.,
quel que soit le point c sur la droite ab.
Menons par le point c un plan quelconque M; considérons-le comme appartenant à la première figure^ et menons par le point c[ le plan M^ qui lui correspondra dans la seconde figure. Soient j9^ q^ les distances du plan M aux deux points a, i& ; on aura
p ca
q cb
Soient pareillement j9% q' ^ les distances du plan M' aiix points a', b'^ on aura
On a donc
— : — = const.
Le plan M a été mené arbitrairement par le point c / et ce point avait une position quelconque sur la droite ab / de sorte que le plan M a une position tout-à-fait arbitraire dans l'espace. Cette équation exprime donc que :
Dans deuœ figures homographiquesy le rapport des distances dun plan quelconque de la première, à deux points fixes de cette figure y est au rapport des distances du plan homologue, dans la^ seconde figure , aux deux points fixes qui correspondent à ceux de la première figure, dans une raison constante^
(175) Maintenant considérons Téquàtion (2)^ et écrivons-la sous la forme
sin. C,A ^ sin. C',A' sîn. D,A ^ sin. D',A' sin. C,B * sin. C',B' ~ sin. D,B " sin. D',B'
Le second membre est indépendant de la portion du plan G^ qui est arbitraire^ pourvu seulement que ce plan passe par la droite d'inter-* section des deux plans Â^ B; on a donc
sin. G, A sin. C\A'
■ ! '■ — =r const.
sin. C,B sin. C',B'
Prenons dans le plan G un point quelconque m appartenant à la première figure, et dans le plan G' le point correspondant w' de la seconde figure. Le rapport des distances du point m aux deux plans A, B, sera égal à "^^' ^'^ ; le rapport des distances du point m' aux deux plans A', B', sera égal à ^|°' ^:^,. Ges deux rapports seront entre eux dans une raison constante, d'après l'équation ci-dessus. On en conclut ce principe :
Bans deux figures homographiques y h rapport des distances dun point quelconque de la première , à deux plans fixes appartenant à cette première figure y est au rapport des distances du point homologue dans la seconde figure aux deux plans fixes qui correspondent aux deux premiers y dans une raison constante.
Cette raison ne dépend que de la position des plans fixes auxquels on rapporte les points des deux figures.
(176) L'un des deux plans fixes de chaque figure peut être pris à l'infini^ nous allons voir ce que devient alors le théorème.
Supposons que le plan B soit à l'infini^ les quatre plans Â^B^ C, D^ étant alors parallèles entre eux^ nous nous servirons de l'équation (3)^ dans laquelle 6 est à l'infini. Cette équation devient
ya, sin. C\M ^ sin. D',A' 72 ~ sin. C',B' • sin. D',B"
OU
OU enfin
^ sin. C\X' ^ sin. W.k!
^"^ • sin. C',B' ~ ^"^ ' $m. D',B' '
sin. C',A'
quel que soit le plan C^ et le plan C qui lui correspond dans la se-conde figure.
ya est proportionnel à la distance d'un point quelconque du plan C au plan À^ puisque le plan C est parallèle au plan A; ^!^' ^;^; est proportionnel à la distance d'un point du plan C aux deux plans Â^ B' ; on conclut donc de là que :
Dans deux figures homographiques , la distance dun point quelconque de la première à un plan fixe de cette première figure, est au rapport des distances du point homologue, dans la seconde figure, aux deux plans qui correspondent, dans cette figure, Tun au plan fixe et Vautre à Tinfini de la première, dans une raison constante.
(177) Si le plan fixe de la première figure est le plan qui correspond à l'infini de la seconde figure^ on voit aisément^ en sui-
vant la même marche que tout à l'heure^ que le théorème prend cet énoncé :
Dans deux figures homographiques, la distance dun point quel-conque de la première, au plan de cette première figure qui correspond à t infini de la seconde, est en raison inverse de la distance du point homologue de la seconde figure au plan qui correspond^ dans cette seconde figure^ à l'infini de la première.
Ces théorèmes^ qui sont des expressions différentes des deux équations (1) et (2)^ ont lieu pour toutes les surfaces homographiques, et seront très-utiles pour transformer immédiatement, et sans autre démonstration, un grand nombre de propositions de géométrie.
(178) Le principe à* homographie , ou de description de figures du même genre ^ comprend deux parties, dont l'une relative aux relations descriptives des figures, et l'autre à leurs relations métriques.
Les relations descriptives consistent en ce que : à chaque point et à chaque plan de Vune des deux figures^ correspondent^ dans Vautre^ un point et un plan ^ respectivement.
Les relations métriques consistent en ce que : quatre points en ligne droite ^ dans la seconde figure, ont leur rapport anharmonique égal à celui des quatre points de la première figure auxquels ils correspondent.
Mais nous devons dire que ces relations métriques sont une conséquence des relations descriptives, et qu'il n'est pas nécessaire de les comprendre dans la définition des figures homographiques ; les premières seules suffisant pour définir ces figures d'une manière caractéristique, et avec une précision rigoureuse.
Ainsi nous dirons que :
Deux figures ^ quelle qu^ait été leur construction, qui satisfont à cette condition que , à chaque point et à chaque plan de Vune correspondent^ respectivement, un point et un plan dans Vautre , sont homogralPhiques.
Et ces deux figures jouissent de cette propriété constante , que quatre points de Vune, pris en ligne droite, ont leur rapport anhar-
MÉMOIRE DE Géométrie: 701
monique égal à celui des quatre points correspondans dans Vautre.
Cela résulte de ce que dans les figures corrélatives y les relations métriques sont aussi une conséquence des relations descriptives.
Mais quand nous présenterons directement^ et sans le secours du principe de dualité ^ la théorie des figures homographiques ^ nous nous renfermerons dans la définition que nous Tenons faire reposer sur leurs relations descriptives seules^ et nous conclurons de cette définition même 9 les relations métriques des figures et toutes leurs propriétés.
On voit par cette définition ce que les figures homographiques ont de caractéristique parmi une infinité d'autres figures^ qu'on peut former l'une par l'autre de manière qu'aux poifits de la première correspondent des points dans la seconde. G^est que^ outre cette première condition^ les figures homographiques satisfont 'à cette autre que, à des points de la première figure, situés dans un même plan, correspondent toujours dans la seconde figure , des points situés aussi dans un même plan. C'est cette seconde condition qui caractérise ' les figures homographiques.
(179) On fait usage, dans les arts et dans la géométrie rationnelle, de plusieurs modes de déformation des figures , qui offrent des applications du principe d'homographie.
Par exemple, quand on fait la perspective d'une figure plane, on a une seconde figure plane qui satisfait évidemment à l'énoncé du principe.
Il en est de même de deux figures quelconques semblables entre elles.
Quand, des points d'une figure, on abaisse des ordonnées sur un plan, et que par leurs pieds on mène des droites parallèles entre elles et proportionnelles aux ordonnées, les extrémités de ces droites forment une seconde figure qui a encore avec la figure proposée les dépendances prescrites par l'énoncé du principe.
Il en est de même de la figure que l'on forme en augmentant, dans des rapports donnés, les trois coordonnées de chaque point d'une figure proposée.
ToB. XL 89
Enfin 9 la perspective relief, ou théorie des figures homalogiqueê , que M. Poncelet a exposée dans son Traité despropriétéê projectives, donne Heu encore à des figures qui satisfont à l'énoncé du principe.
(180) Nos figures homographiques ont une plus grande généralité de construction > quant à leur forme et à leur position respective, que les figures homologiques , qui n'en sont qu'un cas particulier; c'est pourquoi nous n'ayons pu nous servir du même mot pour les désigner. Nous conserverons du reste Texpression homologique chaque fois que nous aurons à parler des figures produites par le mode de déformation de M. Poncelet.
Le principe d'homographie conduit immédiatement, et sans aucune démonstration, à de nombreuses propriétés nouvelles des figures, concernant leurs relations descriptives et leurs relations métriqu^ts.
Nous allons faire diverses applications de ce principe; puis i^ous donnerons la construction géométrique et analytique des figuresi homographiques les plus générales; et enfin nous exposerons trois méthodes de construction particulières qui, bien qu'elles conduisent à des résultats moins généraux, seront plus ou moins utiles dans certaines questions particulières.
§ IL Applications du principe d^ homographie. Pâles et plana polaires dans les sur/aces du second degré. Axes conjugués relatifs à un point.
(181) Soit une surface du second degré 2; sa figure homographique sera une seconde surface du second degré V. A chaque diaipètre AB de la première surface, correspondra dans la seconde une corde A'B' passant par un point fixe G'. Ce point correspondra au centre G de la première surface; les plans tangens à la surface 2^, aux extrémités A% B' de la corde â'B', auront leur intersection située dans un plan I' qui correspond à Tinfini de la première figure. La droite A'B' percera ce plan F en un point D% qui correspondra au point
situé à rinfini sur le diamètre ÂJ3; on aura donc
