MM

• te'

^ÊÊ^

'jf

L'équation (1) devient donc

ma ma' ma" ^ /wwN"

ta i^ ta" \ie/

mb' mb" fmf\ ^

19' jh"-'\jf)

3= const.

n étant le nombre des points de rencontre de la surface par chacune des transversales. On tire de là

. ma, ma\ ma'* ^ ta. ta/ ta" /meV , f^f\

^ ^ * ' ' mh.mV.mb" ' jb.jV.jb'' "^ \^ ) ' [iT J ^

const. = const.

Ce qui exprime cette propriété générale des surfaces géométriques : Quand on a une surface géométrique et deux points fixes i, j, cfo quelque point m de V espace qu^ mène deux transversales passant respectivement par ces deux points fixes , le rapport des produits des segm^ns compris entre le point m et la surface sur ces deux droites, sera au rapport des produits compris sur ces mêmes droites entre les deux points i, j^ et la surface , dans une raison constante.

(227) Supposons le point m situé à l'infini sur la droite ij, et soient c, c\ c" ,.... les points où cette droite rencontre la surface; les rapports ^, ^v •• seront égaux à l'unité^ et l'équation deviendra

je. je'. ;c"....

. .,.„ = coiwt.

te. te . te ....

On a donc

ma. ma', ma*' ta. ta.' ta" j^* j^'^j^"

mh.mh'.mb" * jb»jb.'jb'' ie.ic.'ie.''

ma.ma\ma'\... jb, jb\ jb" te. te', te"

ta, ta', ta".... mb.mbJ mb" j^^j^'^j^"

Cette équation exprime le beau théorème de Camot sur les surfaces géométriques. (V. Géométrie de position, p. 291.)

On savait que ce théorème donnait comme cas particulier celui de Newton, mais on n'avait pas cherché à remonter de ce cas particulier au théorème général de Camot. Le principe d'Homographie, en présentant sous un nouveau point de vue les relations qui ont lieu entre les deux théorèmes, sert à passer aussi facilement du cas particulier au théorème général, que du théorème général au cas particulier.

(228) Ce théorème conduit naturellement à une solution graphique du problème des tangentes et de celui des rayons de courbure des courbes géométriques. Nous donnerons cette solution^ qui est étrangère à notre objet actuel^ dans une Note à la suite de cet écrit.

(229) Le théorème de Newton ne pouvait s'appliquer aux courbes tracées sur la sphère; le théorème général s'applique à ces figures. Pour cela il suffit de substituer dans l'équation (2)^ aux segmens ma, ta,... les sinus des arcs correspondans sur la sphère. Nous n'avons pas besoin d'énoncer le théorème de géométrie sphérique qui en résulte.

§ XII. Généralisation des propriétés des surfaces géométriques rapportées à trois axes coordonnés. Théorèmes très-généraua^.

(230) Soient trois axes coordonnés Oa;, Oy, Oz; que par un point de l'espace on mène trois plans; parallèles respectivement aux trois plans yZy sx, xy^ et soient a^ i6^ e^ les points où ils rencontreront les trois axes O4?, Oy, Oz.

Si l'on a entre les trois segmeus Oo^ Ob , Oe, une relation constante du degré n F (Oa^ Ob , Oc) = o, le point m sera, dans toutes ses positions , sur une surface de l'ordre n ;

Et réciproquement, si le point m appartient à une surface de l'ordre n, il y aura entre les trois segmens Oa , 0^6 , Oe une relation constante

(1) F (Oa, Oib, Oc) = 0

du degré n.

C'est cette propriété des surfaces géométriques que nous allons généraliser.

Faisons la figure homographique; nous aurons trois axesO'^', O'y', O^z^ y et un plan, correspondant à l'infini de la première figure, qui coupera ces trois axes en trois points A', B', C, de sorte que ces trois points correspondront à ceux situés à l'infini sur les trois droites O2?, Oy, O^.

MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE. 7â9

Au point m correspondra un point m% et aux trois plans menés par le premier, parallèlement aux trois plans yOzy zOœ, aûOy^ correspondront trois plans menés par le second, et passant respectivement par les trois droites B'C, C'A', A'B'. Soient a', â', c', les points où ces trois plans rencontreront les trois axes O'a?', O'y', O'^?', respectivement. Soient enfin trois points c?, e,/*, pris arbitrairement sur les trois axes 0^, Oy,Oz, etd\ e'y f', les points correspûndans sur les axes O'o?', O'y', O'^'j on aura

Oa OV ^ AV Od ~ O'd' • A'cT '

0* 0^ ^ B'b' Oe ~ OV • BV •

Oc O'c' Ce'

0/ "" 07 * c/' Et Téquation (I) deviendra

Les facteurs Orf, Oe, O/*, sont des constantes que nous pouvons comprendre dans les coefficiens de l'équation, qui sera simplement

/OV OV 0[^ . OV OV ^ 07>v

(^AV • aV B'y • BV ' cv • CfJ ~ '''

Remplaçons les lettres accentuées par les mêmes lettres sans accent, l'équation sera

m p/Oa^OD W^OE Oc.OFX

^ ^ (^Aa • AD' B* • BE' Ce -CFy *" '''

Cette équation signifie que

Si Von a un tétraèdre OABCy et trois points fioles D, E , Fy pris sur ses trois arêtes au sommet OA, OB, OC y et que par

les trois arêtes à la base, BC , CA, AB, on mène trois plans qui rencontrent respectivement ces trois premières arêtes en trois points eijhjQyde manière que les trois rapports

Oa OD Oh ^ OE Oc ^ OF Ta • ÂD' B6 '• il' C7 '• CF *

aient entre eux une relation constante du degré n, le point dintersection de ces trois plans sera sur une surface de V ordre n ;

Et réciproquement.

(231) Ce théorème est déjà très-général par lui-même , et est susceptible d'un grand nombre de corollaires; mais on peut encore le généraliser^ et lui donner une expression qui le rende propre à un plus grand nombre encore de conséquences.

Pour cela^ remarquons que les trois rapports qui y entrent sont des rapports anharmoniques de quatre points situés respectivement sur les trois arêtes au sommet du tétraèdre. A ces trois arêtes on peut donc substituer trois autres droites prises tout-à-fait arbitrairement dans l'espace. Ainsi soient A' , D' , a' et A'' les quatre points où les quatre plans ABC^ DBC, aBG, OBC^ qui passent par Tarête BG et par les quatre points A, D^ a et O^ respectivement^ rencontrent une transversale fixe quelconque, on aura

Oa DO AV ^ £A2 ]U • DA ~ AV ' D'A' '

Soient pareillement B', E', V et B'^ les points où les quatre plans BAC, EAC, AAC, OAC, rencontrent une seconde transversale fixe; et C, F', c\ C", les points où les quatre plans CAB, FAB, cAB, OAB , rencontrent une troisième transversale fixe; on aura les deux égalités de rapports anharmoniques

Oi& EO B[^ ^ rB^' BÏ '• ÊB ~ BT *• E'B' '

Oc FO CV ^ F'C" Ce ' FC ~" Ce' • FC '

L'équation (3) devient donc

/A^V WA^ B'T rB^ CV F'C"\ ^ ^ • ' • (^AV • D'A' ' B^ • E'B' ' CV * rC J ^ ""'

Et , quand cette équation sera du degré n par rapport aux trois rapports qui y entrent^ le point d intersection des trois plans eJBC y h^CA, &AB, sera sur une surface de Tordre n;

Et réciproquement.

Ce théorème est d'une extrême fécondité, à cause de l'indétermination de position des trois transversales et du triangle ABC. Nous allons examiner les principaux corollaires qu'on en déduit.

(232) D'abord, on remarque sur-le-champ que les trois rapports

D'A' ' Ê^' rc^

étant des constantes , nous aurions pu les comprendre dans les coefficiens de l'équation : nous ne l'ayons pas fait de suite, parce que, comme nous le verrons, la présence de ces trois rapports peut être utile pour donner plus de généralité à l'équation, et la rendre susceptible d'un plus grand nombre de conséquences, en permettant de supposer les points A' , B' , C , A", B'', C" , à l'infini. Maintenant, comprenons les trois rapports

D^' E^' rc

dans les coefficiens de l'équation, ou bien supposons que les trois points fixes D, £, F, soient à l'infini, ce qui nous conduira au même résultat; l'équation se réduit à

/A"a' B"y C"c'\ [JÛ^' Wb' ' CV j ™ ""*

Ce qui prouve que :

Étant donnés dans Fespace un triangle ABC, et trois droites fixes

732 AfÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE.

quelconques qui rencontrent le plan du triangle en trois points Al y B', O , et sur lesquelles sont pris trois points fixes A"^ B'', C"; Si, par les trois côtés BCj CA, AB, du triangle, on mène trois plans rencontrant, respectivement, les trois droites en trois points a% b% c% tels quil y ait entre les trois rapports