W B^ CV AV ' WV ' CV
une relation constante du degré n, le point d! intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de V ordre n. Et réciproquement.
(233) Supposons que dans l'équation (4) les points k!, W, O, soient à l'infini^ et comprenons les segmens A"D', B^'E', C"F', qui sont des constantes y dans les coefficiens de Téquation; elle deviendra
F(AV, B"A'. CV),=o;
ce qui prouve que :
Etant donnés un triangle ABC , et trois droites quelconques parallèles au plan de ce triangle ; et étant pris sur ces droites trois points fixes A', B', C' ;
Si par les trois côtés du triangle on mène trois plans qui rencontrent respectivement les droites en trois points a! , h^ , & , de manière que les segmens A'sl' , B'h', Ce' aient entre eux une relation constante du degré n, le lieu géométrique du point de rencontre des trois plans sera une surface de l'ordre n.
Et réciproquement.
(234) Maintenant supposons que dans l'équation (4) les points Â"^ B", C", soient à l'infini, et comprenons les constantes A'D', B'E' , C'F', dans les coefficiens de l'équation, elle deviendra
I^Av' B'fc'' cvy "^^
ce qui prouve que :
Étant donné un triangle ABC, et trots droites quelconques menées par trois points A', B\ O, pris dans le plan du triangle;
Si par les côtés de ce triangle on mène trois plans qui rencontrent , respectivement y ces trois droites en des points a'^ b^^ c', tels que ton ait entre les valeurs inverses des segmens A'a'y B^h', Oc' , une relation du degré n^le point d intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de l'ordre n.
Et réciproquement.
(235) Supposons que le triangle ABC soit à l'infini; les trois transversales conserrant des directions arbitraires dans l'espace ; les points A', B', C, seront à l'infini; et l'équation (4), si nous comprenons les constantes A^'D'^ B'^E'^ CT', dans les coefficiens ^ se réduira à
Ce qui prouve que :
Étant données trois transversales dans t espace, sur lesquelles sont pris trois points fixes -.4", B", C y si par chique point dune surface de V ordre vl, on mène trois plans parallèles respectivement à trois plans fixes ^ et rencontrant respectivement les trois transversales en trois points a'^ b', c', il y aura toujours entre les trois segmens A'a.'^ iî"b'^ C'c', une relation du degré n.
Et réciproquement.
(236) Tels sont les quatre théorèmes principaux qui se déduisent de l'équation (4). Mais chacun d'eux est encore susceptible de plusieurs corollaires^ à cause de l'indétermination de position des trois droites fixes.
Le dernier donne immédiatement le principe sur lequel repose le système de coordonnées en usage ^ si l'on suppose que les trois transversales passent par un même points que ce point soit l'origine des segmens comptés sur elles, et que les trois plans menés par chaque point de l'espace soient parallèles respectivement aux plans formés par ces droites deux à deux.
ToM. XI. 93
(237) On peut supposer, dans les quatre théorèmes, que les trois transversales se confondent, de sorte que les trois segmens qui servent à'déterminer la position d'un point dans l'espace, seront comptés sur une même droite, à partir de trois origines différentes, qui pourront même se réunir en une seule.
Dans cette hypothèse le théorème (233) prend cet énoncé :
Étant donnés dans r espace un triangle ABC j et une droite parallèle à son plan y sur laquelle est pris un point fixe;
Si par les trois côtés du triangle on mène trois plans qui fassent sur la droite , à partir du point ficce , trois segmens entre les-quels il y ait une relation du degré n, le point dt intersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de tordre n.
Et réciproquement.
(238) On peut changer l'énoncé de ce théorème, en prenant sur la droite donnée deux points fixes au lieu d'un seul ; alors le théorème s'exprime ainsi :
Étant donnés dans l'espace un triangle et une droite parallèle à son plan, sur laquelle sont pris deux points fixes 0, 0'; si par les côtés du triangle on mène trois plans , de manière que les six segmens qv! ils feront sur la droite 00' aient entre eux une relation constante du degré n, le point cF intersection des trois plans engendrera une surface de l'ordre n.
En effet soient a, i6^ c, les points où les trois plans rencontrent la droite 00'; si on remplace , dans la relation donnée entre les segmens Oa, O'a, Ob, O'b, Oc, O'c, les trois segmens O'a, O'b, O'e par leurs valeurs (00' — Oa) , (00' — Ob) , (00' — Oe) , on aura une relation entre les trois autres Oa, Ob, Oc, seulement; et cette relation sera encore du degré n. Donc, par le théorème précédent, le point d'intersection des trois plans sera sur une surface de l'ordre n.
(239) On a pareillement, dans la géométrie plane, le théorème suivant :
Si autour de deux points fixes A, B, on fait tourner deux droites, de manière que les quatre segmens qu^elles feront sur une droite
fixe 00' parallèle à AB^ aient entre eux une relation constante du degré n^ le point dintersection de ces deux droites engendrera une courbe de V ordre n.
(240) Donc :
Si la relation entre les quatre segmens est du premier degré, le point d intersection des deux droites engendrera une droite;
Et si la relation entre les quatre segmens est du second degré, le point dintersection des deux droites engendrera une conique.
(241) Réciproquement :
Si le sommet d'un angle dont les deux côtés tournent autour de deux points fixes , comme pôles ^ parcourt une ligne droite; les segmens que ses deux côtés feront sur une droite fixe de longueur donnée et parallèle à celle qui joint les deux points fixes, auront entre eux une relation du premier degré;
Et si ie sommet de V angle parcourt une conique, les quatre seg-mens auront entre eux une relation constante du second degré.
(242) Ce dernier théorème exprime une propriété générale des coniques^ cpii est la clef d'un grand nombre de propositions concernant le cercle, démontrées par Stewart dans son ouvrage intitulé : Propositiones geometricœ more veterum demonstratœ. Quelques théorèmes du même géomètre, donnés comme porismes par R. Simson dans son Traité des Porismes, sont aussi des conséquences du théorème précédent.
Si au lieu de prendre la transversale parallèle à la droite qui joint les deux points fixes, on lui suppose une direction arbitraire, on conclura du théorème (232) la propriété des coniques que nous avons énoncée dans le § 34 de notre IV® Époque, et de laquelle peuvent dériver aussi plusieurs des propositions de Stewart, relatives au cercle,
(243) Reprenons le cas général des figures dans l'espace, et supposons que dans le théorème (234) le^ trois transversales passent par un même point du plan ABC ; on aura le théorème suivant :
Étant donnés un triangle et un angle triédre ayant son sommet situé dans son plan , et dont les trois arêtes correspondent respectivement à ses trois côtés ;
Si par ces trois côtés on mène trois plans qui fassent respectivement sur les trots arêtes correspondantes de t angle trièdre, à partir de son sommet^ trois segmens qui soient tels quHl y ait entre leurs valeurs inverses une relation du degré n^ le point dintersection des trois plans aura pour lieu géométrique une surface de tordre n.
Et réciproquement.
(244) Nous ayons démontré dans la première partie de cet écrit (§ XV, art. 77) que dans ce cas, oii les segmens ont entre leurs valeurs inverses une relation du degré n , le plan déterminé par leurs extrémités enveloppe une surface à laquelle on peut mener, par une même droite, n plans trangens. Supposons que la surface soit plane, on conclut de là et du théorème précédent, que :
Étant donnés dans P espace un triangle et un angle trièdre ayant son sommet situé dans le plan du triangle , si par chaque point dun plan transversal quelconque on mène trois plans passant par les trois côtés du triangle ^ ils rencontreront respectivement les trois arêtes de F angle trièdre en trois points ; et le plan déterminé par ces trois points passera par un point fixe.
C'est le théorème que nous avions présenté comme la généralisation d'un porisme d'Euclide, pouvant servir à la construction de figures corrélatives dans l'espace (V® Époque, jj 32), et dont nous avons déjà donné une démonstration (première partie, § XX, art. 112).
(245) Enfin supposons , dans le théorème (234) , que les trois transversales soient perpendiculaires au plan du triangle ABC; les segmens A.'a', Wb'^ Ce', seront proportionnels aux tangentes des inclinaisons des trois plans a'BC, A'CA, c'AB sur le plan ABC; et les valeurs inverses de ces segmens seront proportionnelles aux cotangentes de ces inclinaisons; le théorème peut donc prendre cet énoncé :
Si par les trois côtés dun triangle on mène trois plans, de manière que les cotangentes de leurs inclinaisons sur le plan du triangle aient entre elles une relation constante du degré n, le
point dintersection de ces trois plans aura pour lieu géométrique une surface de tordre n.
Et réciproquement.
(246) Dans l'équation (4)^ au rapport anharmonique des quatre points k!y D', a'. A", exprimé par
