MF MF MF
Faisons la transformation homographique. Nous aurons une surface géométrique, un plan fixe, puis deux transversales, issues d'un point quelconque de l'espace, et passant par deux points fixes i, j. Ces transversales rencontreront la surface en des points a, a', a",... 6, 6', 6",... et le plan fixe en e et f; et Ton aura
MA ma ia ME me * te
m^mbjb MF""iii/-'j7'
L'équation (4) devient donc
ma ia
na ma' ma" l^^\
\a ta ta \ te /
mh mb' mV' Jmfy
jb ' jW "W"'\Jfi
const. ;
n étant le nombre des points où chacune des transversales rencontre la surr^ face. On lire de là
ma.fwo'.wa"... ta. ta'. ta"... /we\" ImfY
(2). . . . -7 — -r, — 777- •- V .w ..n =[—] -l-T X const. « consl.
in6.fii6.m6... j6.j6.j6... \tel \j/J
Ce qm' exprime cotte propriété générale des surfaces géométriques :
Quand on a une surface géométrique et deux points fixes i, j; de quelque point m de Vespace qu'on mène deux transversales, passant respectivement
par ces\dèiif9;'rpoints- fixes ; le rapport des produits des segments coinpHs entre le point m et la surface, sur ces deux droites, sera au rapport des produits compris sur ces mêmes droites entre les deux points i, jyCt la surface, dans une raison constante.
227. Supposons le point m situé à Tinfini sur la droite ij\ Soient c, &, c", •.,. les points où cette droite rencontre la surface : les rapports
ma ma' mô' mb
y :rv,.... seront égaux à Tunité; et Téquation deviendra
jc.jV.jV...
a= const.
te. te .te ...
On a donc
ou
ma. ma. ma .„ ta. ta. ta ... je. je. je ... mb . mb\ m6",.. ' jb ,jb\ jV\.. ic . te', te"...
ma.ma'.ma".,, jb .ib'.ib"... te . te', te"...
to . ta', ta"... mb . mb\ mb"... je . je'.Je".,.
Cette équation exprime le beau théorème de Garnot sur les surfaces géométriques. (Voir Géométrie de position, p. 291.)
On savait que ce théorème donne ^ comme cas particulier^ celui de Newton, mais on n'avait pas cherché à remonter^ de ce cas particulier^ au théorème général de Garnot. Le principe d'homographie, en présentant sous un nouveau point de vue les relations qui ont lieu entre les deux théorèmes, sert à passer aussi facilement du cas particulier au théorème général , que du théorème général au cas particulier.
228. Ge théorème conduit naturellement à une solution graphique du problème des tangentes et de celui des rayons de courbure des courbes géométriques. Nous donnerons cette solution, qui est étrangère à notre objet actuel, dans une Note à la siiite de cet écrit.
229. Le théorème de Newton ne pouvait s'appliquer aux courbes tracées sur la sphère : le théorème général s'applique à ces figures. Pour le faire voir, il suffit de substituer dans Féquation (2), aux segments ma, ia, ..., les sinus
des arcs correspondants^ sar la sphère. Nous nVons pas besoin d^énoncer le théorème de Géométrie sphérique qui en résulte.
§ XII. Généralisation des propriétés des surfaces géométriques^ rapportées A trois axes coordonnés. — Théorèmes très-généraux.
230. Soient trois axes coordonnes OXy Oy, Oz; que^ par un point de l'espace^ on mène trois plans ^ parallèles respectivement aux plans yz, zxy xy : soient a, 6, c les points où ils rencontreront les trois axes Oa?, Oy, Oz.
Si Ton a, entre les trois segments Oa, 06, Oe, une relation constante, F (Oa, Oby Oc) = 0, du degré w; le point m sera, dans toutes ses positions^ sur une surface de Tordre n ;
Réciproquement, si le point m appartient à une surface de Tordre n, il y aura, entre les trois segments Oa, 06, Oc*, une relation constante
du degré n.
C'est cette propriété des surfaces géométriques que nous allons généraliser.
Faisons la figure homographique. Nous aurons trois axes O'a?', 0'y% 0'^', et un plan, correspondant à Tinfini de la première figure, qui coupera ces trois axes en trois points A', B', C; de sorte que ces trois points correspondront à ceux qui sont situés, à Tinfini, sur les droites Ox^ Oy, Oz.
Au point m correspondra un point m'; et aux trois plans menés par le premier, parallèlement aux plans yOzy zOXy xOy, correspondront trois plans menés par le second, et passant respectivement par les droiles B'C, C'A', A'B'. Soient a', 6', & les poinis où ces plans rencontrent les trois axes O'x'f O'y', 0'^', respectivement^ Soient enfin trois points rf, e, f, pris arbî-
trairement sur les axes Ox, Oy, Oz, et d', e\ f\ les points correspondants, sur les axes C'a?', C'y', O'z'. On aura
Oa O'o' AV
Od
O'rf'
Oe
Oc
Oc'
et Téquation (i) deviendra
„r/0'a' 0'rf'\ ^, /o'fc' 0V\ ^ /O'e' o'r\ ^,"1 ^
Les facteurs Od^ Oe^ 0/, sont des constantes, que nous pouvons comprendre dans les coefficients de Féquation, laquelle sera simplement
„ /O'a' O'd' 0'6' O'e' O'e' Or\ \A'o' ' A'd' B'6' ' B'c' Ce' ' ^['1
Remplaçons les lettres accentuées par les mêmes lettres sans accent; Féquation deviendra
„/0a OD 06 OE Oc 0F\
^ ' \\a AD B6 BE Bc CF/
Cette équation signifie que :
5i Von a un tétraèdre OABC, et trois points fixes D, E, F, pris sur ses trois arêtes au sommet OA, OB, OC, et que, par les trois arêtes à la base, BC, CA, AB, on mène trois plans, qui rencontrent respectivement ces trois premières arêtes en trois points a, b, c, de manière que les trois rapports
Oo OD 06 OE Oc OF Â^'Âd' B6BÊ' Cc'cF
aient entre eux nne relation constante^ du degré lï; le peint d'intersection de ces trois plans sera sur une surface de l'ordre, n ;
Et réciproquement.
231. Ce théorème, déjà très-général par lui-même, est susceptible d'un grand nombre de corollaires; mais on peut encore le généraliser, et lui donner une expression qui le rende propre à un plus grand nombre encore de conséquences.
Pour cela, observons que les trois rapports qui y entrent sont des rapports anharmoniques de quatre points, situés respectivement sur les trois arêtes au sommet du tétraèdre. A ces trois arêtes, on peut donc substituer trois autres droites, prises arbitrairement dans Tespace. Soient donc A', D', a', A'' les points où les plans ABC, DBG, aBC, OBC, qui passent par Faréte BC et par les points A, D, a, 0, respectivement, rencontrent une transversale fixe quelconque. On aura
Oa DO A"a' D'A'
Aa DA A'o' D'A'
Soient pareillement B', E', 6', B" les points où les plans BAC, EAG, 6AC, OAC rencontrent une seconde transversale fixe; et C, F', c', C", les points où les plans CÀB, FAB, cAB, OAB rencontrent une troisième transversale fixe. On aura les deux égalités de rapports anharmoniques :
06 EO B"6' E'B" B6*Êb""W "Êly'
Oc FO Ce F'C
Ce PC Ce' PC
L'équation (3) devient donc
yir>'t\
A 'a' D'A" B "// E'B" CV F'C __
^^^ ^'âv DX' W'TÏT' CV'F'c'""
Quand cette équation sera du degré n^ par rapport aux trois rapports
qui y entrent^ le point d'intersection des trois plans a'BC, b'CA, c'AB, sera sur une surface de l'ordre n;
Et réciproquement.
Ce théorème est d'une extrême fécondité^ à cause de rindétermination de position des trois transversales et du triangle ÂBG.
Nous allons examiner les principaux corollaires qu'on en déduit.
232. D'abord on remarque^ sur-le-champ^ que les trois rapports
'r»ff
