INTRODUCTION
Le problème de l'applicabilité a été éludié du point de vue différentiel dans un précédent fascicule, divisé en trois chapitres : i" détermination et classification des invariants et paramètres différentiels ; 2° reconnaître si deux surfaces données sont isométriques ; 3° étude de Téquatlon aux déri\ées partielles de Monge-Ampère dont dépend la déformation d'une surface donnée.
Il s'agit maintenant d'étudier la rivalisât ion des théories ainsi formulées. Ce fascicule est divisé en deux chapitres : le premier étudie les principales familles (à un ou plusieurs paramètres) connues de surfaces toutes isométriques entre elles ou les couples remarquables de surfaces isométriques : pour les familles, dépendant de deux fonctions arbitraires, relatives aux cas malheureusement trop rares où l'équation de la déformation est complètement intégrable, la question a été résolue au fascicule piécédent; la théorie du parallélisme de Peterson [42] ou de la stratification de oo'' facettes, due à M. Blanchi [4], permet de faire rentrer dans un tout harmonieux les résultats épars dus aux divers chercheurs isolés; j'ai tâché de résumer aussi clairement et succinctemeuL que possible les beaux résultats de M. Bianchi [5] sur la déformation des quadiiques; l'étude de la déformation infiniment petite se ratta( he étroitement à la détermination des familles isométriques possédant un réseau conjugué permanent; il était donc naturel que ce premier chapitre accordât
aGH'/
une large part à ce problème qui d'ailleurs esl important aussi pour la méthode de H. Weyl [49] exposée au second chapitre. Ce second chapitre étudie d'abord quelles sont les régions réelles c[ui se correspondent dans l'isométrie de deux surfaces réelles; il y a une circonstance, assez paradoxale au premier abord, qui se présente pour certaines surfaces réelles isométriques, c'est le cas où chaque point réel de l'une a un homologue imaginaire sur l'autre : j'indique des propriétés d'auto-isométrie de ces surfaces. Enfin il est naturel de se demander si une surface fermée peut être déformée dans son intégrité^ cpi'il s'agisse soit d'une déformalion in/itiiiiient petite^ soit d'une déformation finie; M. H. Weyl a démontré ce beau résultat, d'abord qu'une surface fermée, convexe, sans singularité, de courbure totale 4~7 i^ie peut être déformée, ni infiniment peu, ni d'une façon finie, avec conservation de toutes ces qualités, puis, que celte surface est définie, in abst/ acto, par son seul r/s- : j'indique le principe de la démonstration de M. H. Weyl, en signalant les généralisations cju'il y aurait lieu de faire pour certaines surfaces convexes, ou non, mais fermées, et peut-être aussi les simplifications ou perfectionnements que l'on devrait essayer d'apporter aux démonstrations de M. Weyl. ,
La géoinétrie Infinitésimale est peut-être l'une des branches des Sciences mathématiques où le jeune chercheur aperçoit le moins aisément la coordination des idées générales au milieu des résultats isolés: j'espère l'y avoir aidé, conformément à l'esprit de cette collection.
CHAPITHE J.
FAMILLES ET COUPLES ISOMÉTRIQUES. PARALLÉLISME, STRATIFICATION, DEFORiMATlON INFINIMENT PETITE. RÉSULTATS PIC M. BIANCHI SUR LA OÉFORMATION DES QUA- DRIQUES.
I . Nature des familles ou couples isométriques à chercher. — Nous avons vu au Chapitre II du fascicule précédent, les cas précis où l'équalion de la déformation s'intègre complètement; c'est un fait remarquable que chacun des types correspondanis ait été obtenu parla méthode de 'Weingarten [i8], combinée a\ec les résultats de MM. (Joursiit I !2(i I, I 27] cl Haroni | 9] : l'étiKh' directe de l'équation de
APPLICABILITÉ DES SURFACES ETUDIEE DU POINT DE VUE FINI. i
Mouge-Ampère, faite pur MlM. Gau [24] et Gosse |i25], u montré que ces divers types, déjà connus, étaient les seuls. En dehors d'eux, les surfaces réglées sont le seul échantillon fournissant une solution dépendant d'une fonction arbitraire, correspondant nécessairement (sinon la proposition serait contradictoire) aux surfaces réglées applicables sur la surface de départ : cette déformation des surfaces réglées s'obtient explicitement par des quadratures; je renvoie au Tome 3 de la Théorie des sur/aces de Darboux.
Ceci explique pourquoi les diverses surfaces isométriques connues, lestant à signaler, ne peuvent que comprendre soit des familles à nombre fini de paramètres, soit des couples isolés; nous ne faisons pas de distinction ici entre deux surfaces égales ou symétriques. Le plus beau résultat que l'on puisseobtenir ne peut donc que se réduire à ceci : trouver une surface S d'où nous puissions déduire une surface Si, applicable sur S, et dépendant d'un nombre fini de paramètres, telh' que la même opération puisse se répéter sur S,, au lieu de S, les paramètres entrant dans S^ étant distincts de ceux entrant dans Si, et ainsi de suite, de façon à avoir une chaîne dénombrable de surfaces toutes isométriques, contenant un nombre de paramètres de plus en plus élevé, mais toujours /i/ii : c'est ce que M. Bianchi a fait pour les quadiiques el ce sera l'un des plus beaux titres de gloire de M. BiaiK'hi \r\\: déjà d'autres chercheurs ont cherché à étendre ce genre de recherches à d'autres types (surfaces tétraédrales par exemple, travaux de M. Jonas [33]). Il est très vaisemblable que le même progrès peut être réalisé, sinon pour un ds- quelconque, du moins pour une classe très étendue de ds- qu'il y aurait lieu de déterminer.
2. Surfaces de révolution, surfaces hélicoïdales. — Le premier exemple à signaler de familles isométriques est celui des surfaces de révolution ou hélicoïdales représentatives d'un ds- de révolution donné (7 />ir/o/7'. C'est Minding [4()j puis Bour [13| qui ont signalé les premiers ces exemples; prenons le ds- de révolution sou> la forme canoniqui' [U fonction de u seul(')|
(i) ' (Is- = L'-( du- — c/c-~).
(') En posant U du = du, on a l'autre forme canonique du- -\- U'-rft'^ souvent employée; il est facile de motlilier les formules (2) et (3) en conséquence.
On obtient œ- suifaces représentatives (/i. /?i constantes arbitraires] (■JL) \ = rcos( oj). Y=/;;in(- oj|. Z = hv -^ z.
;•. eu, :: étant trois fonctions de u définies par
(3 j r^ = /«2(U2— /t2). z"- = V— jir- 1 '2— h-i,
Les formes révolutives correspondent à A = o, les formes hélicoïdales proprement dites à h ^ o.
Pour h = o, on a donc co' surfaces de révolution applicables entre elles, avec un réseau conjugué permanent, à savoir celui des parallèles et méridiens. Prenons comme prototype de la famille la surface S obtenue pour 7^ = 1, que nous supposerons réelle; les autres s'obtiennent en multipliant le rayon /■ = U du parallèle par /?;, divisant la longitude par m et calculant z par la quadrature
m- U'- (lu ;
pour /7?-<i, la nouvelle surface obtenue S,„ offre toujours une région réelle comme homologue d'une région réelle de S, mais quand S vient s'appliquer sur S,w, on doit supposer S,,, composée de plusieurs feuillets superposés; pour 7h>-i, la région réelle de S
représentée par S,„ correspond à l'inégalité ^-p > 7» ; or, si M est un
point de la méridienne de S, T le point où la tangente en M perce l'axe de révolution, et [j. la projection de M sur l'axe, on a
AI JJL
AÎT
de la sorte, soit ',1 l'angle aigu, pris en valeur absolue, de la tangente
à la méridienne avec la direction des parallèles et soit — ^ cos^jn; on
doit avoir oi > oi„ ; soit /'o le parallèle de S pour lequel l'angle w devient égalàco,, ; si la concavité de la méridienne est tournée vers l'axe de révolution, on peut remplacer co > co^ par /• > /'o ; si au contraire, la convexité est tournée vers l'axe de révolution, on remplace w >> (o„ par /• ■< /•„ ; d'autre part les géodésiquos de S tangentes
au parallèle r^, ont pour équation
± /-Il du
rfv
de sorte qu'elles reuipli^sent la région /■ >> /„ ; sur la surface S,„, le parallèle /• = /„ de S est transformé en parallèle de rebroussement el nous voyons que la surface S,„ recouvre la région de concavité ou convexité géodésique de S au voisinage du parallèle /'„ suivant que le long de ce parallèle la courbure totale de S est négative ou positive.
Prenons maintenant un hélicoïde H (h, m); on peut déterminer oo' hélicoïdes tels que le parallèle de rayon /•„ = Uq de la surface révolutive S prototype déjà utilisée devienne hélice de rebroussement sur H: les paramètres h et m sont déterminés alors par l'équation
L ij — m-\J\'f ■ — //■- — <>:
nous allons montrer que l'on peut obliger ces hélicoïdes à recouvrir la région de concavité géodésique du parallèle de S ou la région de convexité géodésique. Nous pouvons supposer que U soit positif; la région recouverte de S est déterminée par l'inégcdité
ce qui, au \oisluage du parallèli' critique /• = /„ de S revient à
Uq ( Uo — /"- 1' 0 t (' " — "o ,' > •• :
sur H le p.ircdlèle r^ de S est transformé en une hélice congruenle à l'hélice
(4) X=scos = . V=:psin9. Z = A/»9. p = m\'Ui^ — h'-=ni^\J'Q.
Le rayon de courbure R ou de torsion T de cette hélice, la courbure totale K de S ou H sont donnés p^r
I u;, I —h i^;,-— UoU;
R Lu ' "*f'u Ui5
Introduisons une quantité géométrique nouvelle 9 définie par
(o ' " = ^ -^ "^ = ^T^. = TrTri •
L'inégalité annoncée revient donc à 0. \j\^{u — u^^) >■ o, ou puisque sur S./-^U. simplement à Q. (/• — /'o)>o; si donc l'expression
^, + K est négative (ou positive), la région de concavité (ou convexité) de S, au voisinage du parallèle critique est recouverte, à l'exclusion de l'autre, par l'hélicoïde H. Gomme vérification, l'hélice de
rebroussement a bien comme courbure la courbure eéodéviaue ttttt
du parallèle critique. Le résultat obtenu comprend comme cas particulier celui de la surface de révolution S,,, étudiée précédemuient. Enfin on rem;irqne que si U,, = m- L ,',, on a
,^ = nz V— K ;
l'hélice obtenue ne devient plus sur H une ligne de rebrouNsement, asjmptotique singulière, mais une ligne régulière, asjmplotique ordinaire de H; le développement de ^3'- suivant les puissances croissantes de u — u^^ commence cette fois par le terme
= L",| ( U'o — m- U'o ) { u — Un )- —
L'hélicoïde H n'est réel cjue si
ou encore
et, si cela a lieu, il recouvre la surface S de part et d'autre du par.dlèle r = /■^y (on remarquera que si cet hélicoïde exceptionnel est imaginaire, il est représenté par une équation à coefficients réels, car c et fjj sont imaginaires pui'es; les valeurs de v imaginaires pures donnent X réel, Y et Z imaginaires pures). Le lecteur verra sans peine la singularité bien plus compliquée qui a lieu si \]'^= o, c'est-à-dire si le parallèle Mq est géodésique : l'hélice transformée est une droite atteinte as^mptotiquement par les hélicoïdes en nombre infini obtenus pour A=:Uo, ni quelconque. De même on \erra la modification des résultats quand
u'0-^-0 et u'oU;;-UoU;' = o;
c«»m[)arer avec le Chapitre 11, paragraphe 1.
Les explications qui précèdent montrent clairement que si le d.s^ donné est réel, défini, positif, on peut, pour des valeurs convenables de h et /w, obtenir des surfaces, hélicoïdales ou révolutives, iniafiinaiies, mais cV équation réelle: par exemple pour // = o, m réel supérieur à i , la surface de révolution S„, comprend, pour la nappe
réelle S telle que j-j-^ -< m. une nappe où les coordonnées X, Y de S,„
sont réelles et Z imaginaire pure; on sait que cette nappe imaginaire de S/„, en roulant sur la nappe réelle de S, conduit à des systèmes cycliques réels et à dos systèmes triples orthogonaux réels, comme l'explique Darboux [16].
Il est juste de signaler ici le l'ôle exceptionnel que jouent la sphère et la pseudosphère. Quand deux surfaces de révolution, dont la courbure est variable, sont applicables, les parallèles se correspondent nécessairement, comme courbes le long desquelles la courbure totale a une valeur constante, puis les méridiens, comme trajectoires orthogonales du système précédent : les formules précédentes (2) et (3), avec h^o, donnent donc la solution générale de la déformation d'une surface de révolution en nouvelle surface de révolution. Pour la pseudosphère, le résultat cesse d'être valable; on peut déterminer directement la méridienne d'une surface de révolution dont la courbure totale est égale à — i : M étant un point de cette méridienne, C le centre de couriiure. IN le point où la normale en M
coupe Taxe, on doit avoir
^iC.M^ = — K
d'où une équation difTérenlielle du second ordre; lun des deux paramètres correspond à une translation le long de l'axe et n"a aucun intérêt; l'autre est paramètre de forme; il est plus simple de remarquer que l'élément lin<''aire de la surface peut recevoir l'une de trois formes types : j/a/-abolique, elli/>/iqu(\ hyiicrbolique
(8) du- -^ e-" d\-'-, du- — sh- // dv-. du'- -1- ch- u dv-.
Pour chacune de ces trois formes, les formules (2) et (3) [convenablement modifiées, en tenant com])te du choix de la forme canonique du- -+- U- dv- au lieu de U- (du- H- 0^1^-)] donnent des surfaces de révolution ayant ce ds- ; la méridienne (r, z) est définie parles formules suivantes, qui contiennent, au moins pour les deux derniers types, un paramètre /// de forme :
ty/ie jtaraboliqui' :
r =: /)t e" , eUij)tique :
/■ = //l sll II ,
liyjterbolique :
' I \ 1 — m- e'-" du ; : / \ I — /y?- cil- u (lu :
r ^ //l r\\ II. '■ ~ I V 1 ■ — ■ '"' ^'i" " (^"■
et l'un ('on.state que l'on relrouve par ce procédé les oo' formes annoncées de méridiennes. La pseudosphère jouit de cette propriété curieuse qu'en la déformuit en surface de révolution, de façon que les parallèles restent parallèles^ la déformée est. la pseudosphère elle-même. Je n'insiste pas davantage sur la forme bien connue des trois types réAolutifs.
Pour la s])hére, bien que la même exception subsiste^ il devient presque inutile de la signaler, parce que les diverses applicatibns de la sphère sur elle-même se réduisent à une superj)Osition ou à une symétrie^ de sorte que sur toute surface de révolution de courbure totale égale à -|-i les parallèles se transforment toujours en une famille de parallèles de la sphère (la réciproque n'étant pas vraie, ce qui est l'exception signalée).
Si le ds- de révolution, U- (<:/«'- -h <ir- ), est quelconque, dans la famille oo- de surfaces révolutives et hélicoïdales, obtenues par (2) et (3), il n'j a que les 00' surfaces révolutives (//? quelconque, h nul) qui possèdeni un réseau conjugué permanent; nous verrons plus loin, à propos du parallélisme, les formes exceptionnelles de U pour lesquelles on peut extraire de ces 00- surfaces une famille x' contenant un réseau conjugué, autre que celui des méridiens et parallèles : ce réseau est formé de géodésiques et la famille d'indicoïdes peut être déduite, par parallélisme, de l'hélicoïde minimum.
3. Surfaces minima adjointes. — Les surfaces minima possèdent une propriété importante découverte par Schwarz [43], [44], O. Bonnet [i 1] (') et Peterson [4'2] : à toute surface minima connue S
(I) .r = Al- J],. .)-- A,- Bo, ^ = A, : \\
(') '^e lecleiir se rappellera ([ue le Iml de celte collection n'est pas de dresser un
[A,, Ao, A;, fonctions de a ; B,, B,, B3 fonctions de |3 ; les courbes
(A|, Ao, A3) ou (B,, Bo, B3) sont minima et de plus imaginaires
conjuguées l'une de l'autre si la surface est réelle], correspond par
les formules
(■2) . Y z= Ao e'w— n., e~'^\
où fji est une constante réelle arbitraire, une famille de surfaces applicables sur $, avec conservation du réseau de longueur nulle comme réseau conjugué; ces surfaces sont dites associées à la première; rèci proqueineiit , deux surf aces minima applicables sont associées. Deux surfaces associées se recouvrent dans toute leur étendue et peuvent être elVectivemenl déformées de façon continue l'une en l'autre; les deux surfaces o) et fj)-\-T. sont symétriques par rapport à
l'origine. La surface particulière oj = - ou (w = — -j est dite
adjointe de S. Aux points correspondants les plans tangents à deux surfaces associées quelconques sont parallèles, et les éléments linéaires correspondants font entre eux l'angle constant oj; les véciproques sont vraies. En particulier, pour deux surfaces adjointes, les éléments homolooues sont rectanoulaires: les lisnes de courbure de l'une correspondent aux asjmptotlques de l'autre. Au cours de la déformation continue où la surface S décrit le cycle complet de ses surfaces associées, chaque point de S décrit une ellipse, car (a^o, yoi -^o) étant les coordonnées du point de la surface adjointe
( ol» = - j) les formules (2) peuvent être remplacées par
(3| ,r„= JÏA, — B,), .ri=/(A,— B.,), z,^ i{k,— V,;).
i 'S. z= X cosco -^ .ro sinco,
( 4 ) • ^ = y cos oj -h 'Va si n co ,
' Z = 3 cosoj -T- z-Q sin to.
historique complet des reclierclies successives, mais de présenler la synthèse des résultats acquis, et que la science a un caractère essentiellement collectif. Il serait toutefois injuste de ne pas signaler la part prépondérante qui revient au géomètre français O. Bonnet dans le développement de la théorie dont ce fascicule et le précédent ne présentent que la mise au point réalisée par les ell'orts combinés de plusieurs générations successives.
lO BERTRAND GAMBIER.
Aux points coirespondanl dans l'applicabilité, les rayons principaux sont les mêmes, car RR' := — R- se conserve d'après Gauss.
4. Surfaces de translation à profils de translation plans situés dans deux plans rectangulaires. — Soit, en axes rectangulaires, la surface de translation
(i) ./;=:U, + Vj. .r=l,, z = \,.
Peterson et M. Bianchi [6] ont signalé la famille à un paramètre de surfaces de même définition où a est une constante arbitraire
(2) i Y = I v'u:,^ (I — «^ ) - h'^ du,
\'.r fh\
U| et U-y sont fonctions de a, et V|, V^ de r; les quadratures qui interviennent sont les mêmes que celles relatives à la déformation de la surface de révolution d'axe O y ayant pour méridienne la courbe (Uj, Uo, o) ou celle d'axe Oz ayant pour méridienne la courbe (V(, o, V2). Les asjmptotiques d'une telle surface s'obtiennent par quadratures, les variables se séparant : si, en effet, on choisit Ua et Vo comme variables indépendantes // el r, on obtient l'équation
L 1' du- ^ \ 'J c/i'- = o pour la surface (1).
5. Déformation de la surface tétraédrale. — C'est à M. Tzitzéica[46] que revient l'honneur d'avoir signalé ce bel échantillon de surfaces. M. Jonas [33] a signalé de belles propriétés nouvelles de leur déformation sans avoir eu connaissance des résultats complets de M. Tzitzéica. J'ai moi-même [18] étudié en détail la déft)i'mation de ces surfaces. La sphère S , x- -{- y- -i- z- =^ i possède 00' représentations paramétriques, par coniques homofocales,
//)(fX + 6)
-mix-^c)
ic — n)ir — h)
APPLICABILITE DES SURFACES ETUDIEE DU POINT DE VUE FINI. Il
À et [j. sont les paramètres curvilignes ; ri^ h. c sont des constantes que l'on peut, sans restreindre, assujettir aux relations r/ = i , h =zo. La surface téttw'drale 1
admet doncoo' représentations correspondantes, ol)tenues en écrivant
Il I j il
Dans chacune de ces représentations, le réseau "/., ;j. est conjugué; la courbe X ^ /j. est une cubique asjmptotique de i, enveloppe suri du réseau conjugué (A) ou (y.). Ecrivons
X = A(À -T- af{u- - <■')-.
("t' \ Y = B(/. - by^iiJ. h^'- .
Si nou:5 calculons en fonction de A, B. C, a^ />, c considérés comme données, les constantes inconnues A', B', C, a', h \ c par les équations
(5) A-«'-i- l>-/>'-f- C- <••'■= \'-(('' l)'-//'-i- (;'-c''' {i — o, I. li, 3, 4).
on a une solution dépendant d une constante arbitraire, et la surface 1' correspondant à ces valeurs (A', B', C, a', b\ c) est applicable sur i, l'applicabilité ayant lieu par les points de même À, ^i. Les équations (5) expriment d'ailleurs \ égalité (ou la symétrie) des deux cubiques gauches 7. = y. de i et de i', enveloppes de courbes du réseau conjugué. Au fond, la propriété est le développement de celle-ci : la cubique gauche A(/. + a)^, B(/. -f- 6)-', C(X H- c)'' a pour cône directeur de ses tangentes un cône de second degré inscriptible dans un, donc x' trièdres trirectangies ; on déplace la cubique de façon que chacun des trièdres trirectangies, dont les faces sont osculatrices à la cubique, vienne successivement coïncider avec le trièdre OXYZ. Deux surfaces tétraédrales —, — ', définies par leur équation, (2) pour— et analogue avec a'. 5', y' pour i', sont applicables si la fonction I
a la même valeur pour i et i'. M. Tzitzéica et M. Jonas ont abordé ensuite le problème plus général : trouver toutes les surfaces déformées de i; c'est cette question que je vais essayer de résumer. Si I est nul, le ds- de la surface est réductible à la forme
( 7 ) (h- = (• du- — A II il II (h- — ilv-
que i^on sait déforme?' complètement : en effet, posant
, -, II- u
on obtient la forme de Weingarten [48]
( 9 ) ds- =- du 'f - - i{ ii\ — î ' ' f ) ''^*' ? •
La méthode de VVeingarten ramène la déformation du ds- ('j) ou (9) .à la recherche des surfaces telles que
il*') ?'--?"= \p,-
0 et p" étant les rayons principaux, p la distance de Torigine au plan tangent. L'équation (10) revient à intégrer l'équation
et à prendre l'enveloj)pe du plan
(12) (x — 3).r + i{^ — 'j.)y -^ (a[i — i)z.—p{\ — aji) r= o.
Si I n'est pas nul, le ds- de la surface est réductible à la forme
( 1 3 ) ds- := j (u du- -h- ■>. ni du dv i- v dv- ).
Déterminer la suijace générale représentative de (i3) revient, d'après la méthode de VVeingarten, à déterminer une surface (a) satisfaisant à l'équation (avec les mêmes notations p', p", p)
La surface a étant lieu du point (x, y^ 5), soit (^, yj, Ç) le pôle relativement à la sphère x- -\-y- -\- z- = m du plan tangent à a en x,y, z; ce pôle décrit une surface (t') satisfaisant aussi à l'équation (i4)) et l'on a une surface — représentative de (i3) en faisant les qua-
APPLICABILITE DES SURFACES ÉTUDIÉE DU POINT DE VUE FINI. l3
d rature S >
Les caractéristiques de Vécjaation (i4) •^o/'^ ^'^-î asyiuplotiques. Les surfaces tétraédrales du tjpe I 7^ o correspondent à une quadrique Q de centre O : P étant un plan tangent au cône asymptote, le faisceau Q -)- XP- ==: o fournit 00' surfaces tétraédrales se raccordant le long de deux cubiques gauches symétriques relativement à l'origiiie; chacune des deux génératrices Q = o, P = o fournit l'une ou l'autre de deux surfaces parabolo-tétraédrales ( //, b constantes, ab ^=^ m)
(16) X = i u — a- )- . Y = ( r — h- )'^, 7. ^ ~[a{ii — a- ) — b ( c — h- )]
applicables sur l'élément (i3).
L'équation (i4) possède une propriété importante : une transformation affine de centre O, conservant les ro/nmes, remplace une surface a par une autre surface solution: comme une rotation d'ensemble de o- autour de O entraîne la même rotation pour l'ensemble 0-, G-', i, il ne reste cjue cinq paramètres dans cette transformation ofe i : la surface transformée —1 s'obtient par trois quadratures. Appliquée à une surface tétraédrale, ceci n'introduit que les deux paramètres c[ue nous avons signalés (choix de la cubique asjmptoiique, puis déformation le long de cette cubique restant invariante), parce que trois paramètres sont absorbés par la transformation de Q en elle-même, un système de trois diamètres conjugués se transformant successivement en les divers systèmes analogues. La surface o-, d'équation xyz = i , d'où m = 3. est un échantillon curieux, pour lequel la transformation annoncée dépend de trois jiaramètres au lieu de cinq.
Sur toute surface — d'élément (i3), ou sur toute surface t solution de (i^)-, les asymptotiques se déterminent par cjuadratures.
Introduisons maintenant une simplificatnm : soient deux dsdu même type correspondant à deux valeurs différentes de m, à
savoir m et m
ds^
( rv )
ds'-i
- ( u du- ■— ■> m du dr c dv- ),
- ( « c/S- -+- im dn dv -- ? rfr- ).. 4 '
On peut obtenir toutes les surfaces représentatives de (i3') en faisant une homothétie de rapport k sur les diverses surfaces représentatives de (i3), ce qui se traduit par
ds- ^^ k- ds^
71 = Xu,
L'homothétie est réelle si m et m ont le même signe ; sinon /. est imaginaire pure. Nous pouvons donc nous borner à a?2 = — i. Dans ces conditions, trouver toutes les surfaces représentatives de (i3), avec m — — i , revient à déterminer toutes les solutions de l'équation
dx d'i
A une solution 0 connue correspondent, sauf rotation autour de l'origine, oo^ surfaces (o-) solutions de (i4) (avec m^ — i) ainsi obtenues : le système
est coniplèteineiit intégrable, en vertu de (i^); ce système (i8) admet trois intégrales linéairement indépendantes ^, r;, Ç, et si 1 on écrit, pour définir A
d^z dr, dl dy. dy. dy.
dy.-^
dy dy dj
dad(^
on
dy~^ d^. d^
on trouve aussitôt
()^ dr, dl d^ ¥i T^
d\o^^ di) dy dy
cMoj^ d^ ~d^ ~ d[i
APPLICABILITÉ DES SURFACES ETUDIEE DU POINT DE VUE FINI. l5
OU A = ce^, où c est une coustante: on peut prendre c z=^ — i à condition de multiplier Ç, par exemple, par un facteur convenable; écrivons donc
La surface (£, r;, Ç) est alors solution de p'o 'z^' -f- i = o; la surface (j;, Yi' ^) polaire réciproque de (;, r^, X.) par rapport à la sphère x- -\-y- ^ z- -\- \ ^ o s'obtient aussitôt; puis les variables f/ = p + rr -h r- et r = x- -\- y'^ + z'- ; les formules ( i 5 ) donnent une surface i de cls- (i3) avec m =^ — i ; les paramètres a et p sont ceux des asjmptotiques de (;, ry, Ç), {x, y, ;), (X, Y, Z). La substitution linéaire homogène de déterminant i sur (i, r,, Ç) définit du même coup ■xi-' surfaces — . L'intégration du système (i8) revient à l'intégration d'une équation de liiccati, car la connaissance de 6* revient à déterminer 1 par une solution connue (D, D', D") du
Pour une sut lace à courijure totale con-
système de Gauss-Codazzi.
stante, on a de même à intégrer l'équation - — r^ = e^^ — e ^ analoeue 3(17), puis un système com|)lètement intégrable. analogue à ( 1 8). Or toute éc[uation - — --x =:f(0)^ où / est une fonction connue,
jouit de cette propriété importante, remarquée par Sophus Lie pour les surfaces à courbure totale constante, que la solution 9 z=f(^a, [3 )
fait connaître immédiatement co' solutions nouvelles 9 = /'( ca, '- j j
où c est une constante arbitraire : le pendant de la transformation de Lie, des surfaces à courbure totale constante, est donc, ici, cette transformation (T) de Tzitzéica : nous appellerons T„ la transformation où la constante /i est liée à c par la relation ~^ = c^ ; le système ( 18 ) ("st remplacé {)ar
(iS')
*;-'? ai) ôi
ôy.- OoL ôy.
ai
dOL
où 0 est restée la môme fonction.
l6 BERTRAND GAMBIER.
M. Rianchi [7] avait trouvé en 18791a transformation complémentaire des surfaces à courbure totale constante (transformation à un paramétre faisant correspondre à la première surface connue une autre telle que la congruènce de levxrs tangentes communes soit congruence de normales, transformation dépendant d'une équation de Riccati). Bâcklund [1, 2, 3], en i883, généralisa la transformation complémentaire; ses efforts, combinés avec celle de 'M. Blanchi, aboutirent à la transformation générale des surfaces à courbure totale constante, dépendant cette fois de deux paramètres, toujours obtenue par une équation de Riccati : si l'on appelle L la transformation
de Lie [38J passage de 0(a, [3) à 9^ca, L j I L~' consistera à remplacer c par -; appelons C la transformation complémentaire et B la transformation générale de Bâcklund, on a {■ri) B = LGL-i.
Or pour les surfaces li, a, cr' étudiées ici, M. Jonas a imaginé une transformation (■)„ complétant T,i de la même façon que la transformation B de Bâcklund complète la transformation L de Lie ; cette transformation 0,i est basée sur la transformation des équations de Moutard imaginée aussi, avec les théorèmes de permulabilité, par M. Biaiichi. Ici, >, T/, Ç, .r, r, g sont six solutions de la même équation de Moutard
où 9 est solution de (17). Nous déterminons une intégrale R du système (18'), où n est supposé différent de zéro ou i ; les trois surfaces (c, T;, "C) (^, J, z) et (K, Y, Z) sont supposées rapportées à leurs asymptotiques ( a, |3), et nous calculons
\ "" /' R yV^ n)d'i doc y njày. à'i \ )
puisrii, Ç(, )'), 3, par permutations circulaires ; soit
( :<M " = ^î + -'^î -?î- ''j = ■''•ï-+-.Vï= ^j.
avec formules semblables pour Y, et Z, : la surface (X|, \|, Z,) a pour cls-
( '.17 ) ils-^ =; 7 ( ?' I i^fH j ■ — -> (lu I dv I — ('1 dv'\ ]
avec
(28) ciXi =- (?| «■///, — ./■, c/ci ■), /■/¥, = .... c/Z|=....
L'obtention de .2,(X,, \,, Z,) dépend à la fois du choix de /i, puis du choix de R, ce qui fait trois constantes (au lieu de deux pour la transformation do Bàcklund) pour la transformation 0,^.
Imaginons maintenant que de i on ait déduit par une transformation 0„ une surface ii, puis par une transformation ©„__ une surface ^2(/'i '^2 7^ ' ) j ^"^ obtient, en termes finis, une surface ^3 transformée à la fois de —, par une transformation 0„^ et de —2 pa'' ui^<? transformation 0„ : c'est le théorème de composition et perinutabilité. Pour /?, «2 = 1 , il faut que les solutions 11, et Ro satisfassent à une certaine relation numérique convenable entre les constantes dont elles dépendent, et cela posé, le théorème de permutabilité subsiste, mais la quatrième surface (^3, j'3, ^3) dépend dune constante arbitraire et s'obtient par une quadrature. Ce dernier cas particulier, ji\ «0 = 1, avec la restriction convenable surR,, Ro, jouit d'une propriété importante : écrivons
— 1 est supposée correspondre à i par 0„ et R, ; —2 à — par 0, et Ro :
de la sorte i correspond à ij par 0,^ et p^; on constate que i^ correspond à i, par 0,; et t-^, de sorte que le cjcle fermé i— i^^o, à trois termes, correspond à la même transformation 0„ et trois fonctions successives R), ^y -rr-, dont le produit égale an] le cjcle inverse
correspond à
H| et Ro
le théorème sur Li composition et permut bilité montre que les
l8 BERTRAND GAMBIER.
transformations 0,,, 0„ , (-)„ appliquées successivement,- fournissent à partir d'une première surface connue une succession illimitée de surfaces toutes applicables entre elles, dépendant d'un nombre croissant de paramètres : si l'on sait intégrer ( i8') pour une valeur qiielconciue de n. ces surfaces s'obtiennent par des quadratures.
Il existe enfin une surface ij^ auxiliaire qui n'est pas applicable sur les surfaces i, telle que i et ii^ d'une part, puis i,^ et i, constituent les deux nappes d'une première, puis seconde congrueuce W [propriété vraie encore pour (i, — 1:>), puis i,j, ^2)]-
i et D| étant obtenues, i^ s'obtient par une quadraluve^ de soi'te que la transformation générale 0„ peut être de 00' façons décomposée en deux transformations asjmptotiques ; quand io ^> elle-même été choisie, la surface i,2 s'obtient sans quadratures, le point courant de i,2 s'obtient par intersection des trois plans tangents correspondants de i, i|. i^. Cette théorie exige une somme énorme de calculs, pour finalement arriver à des résultats extrêmement simples et élégants. Nous verrons plus bas comuicnt M. Bianchi a obtenu, |)our les quadriques générales, la généralisation de ses résultats relatifs à la sphère j? "- + >'- -|- :;- = dr 1 ; il était indispensable, pour bien apprécier l'importance capitale des idées de M. Bianchi. d'indiquer un autre exemple que celui des quadriques; les surfaces tétraédrales, grâce à la profondeur des recherches de MM. ïzitzéica et Jonas, nous l'ont offert; depuis le résultat définitif obtenu par MM. Gau et Gosse sur l'irréductibilité de l'équation de Monge-Ampère de la déformation, c'est donc dans la direction de M. Bianchi que la théorie doit faire des progrès : si un ds- quelconque n'offre pas de telles déformations, il serait intéressant de déterminer les ds- particuliers qui les offrent.
Dans la classe des surfaces étudiées ici, les surfaces tétraédrales jouent un rôle exceptionnel, ainsi c{ue toutes celles pour lesquelles oet a' sont réglées : elles échappent en p.irtie aux transformations Indiquées ici. J'ai étudié moi-même les circonstances élégantes qui se produisent dans l'applicabilité les unes sur les autres des surfaces tétiaédrales.
0. Surfaces à courbure moyenne constante. — Un autre exemple de déformation curieux est celui que Sophus Lie et Ossian Bonnet [12] ont signalé pour les surfaces à courbure moyenne constante. Etant
donnée une surface i à courbure totale constante positive --■, les deux
surfaces S| et So parallèles à i. obtenues en portant sur chacjue normale la longueur -\- a ou — ■ a k partir de son pied, ont leur courbure
moyenne constante rr -f- ttt = - ; ces deux surfaces sont d'ailleurs iso- K 11 a
lliermic[ues associées : leurs lignes de longueur nulle correspondent aux asymptoticpies de — . Quand on applique à la surface i la transformation de Sophus Lie. déjà indiquée au paragraphe précédent, on déduit de i oo' nouvelles surfaces i', et par suite, ce' surfaces S', ou S.', : les surfaces S, sont toutes applicables entre elles et ont, aux points correspondants dans l'applicabilité, les mêmes rayons principaux, car RPi' est le même en vertu du lliéorème de Gaiiss, et.
d'autre iiart, -, — h r-, '! la même valeur -; la famille S', olFre la même ' l\ Iv a
particularité.
Cette transformation des surfaces Si ou So dépend d'un paramètre; au cours de la déformation, il n'existe pas de réseau conjugué permanent. A signaler que dans la famille de surfaces déduite de i. on trouve une surface (réelle) et une seule i'. qu'Hazzidakis [30] a signalée, dont les lignes de courbure correspondent à celles de i; la surface S', correspondante admet avec S) . comme réseau conjugué, celui des lignes de courbure.
La transformation de Sophus l^ie îles sut faces à courbure totale constante n'est pas une applicabilité; elle a été déjà signalée au paragraphe précédent; elle le sera de nouveau dans le paragraphe consacré aux résultats de M. Bianchi; il importe de bien séparer les deux points de vue distincts auxquels on peut l'envisager.
Considérons une surface — à courbure totale constante négative. égale à ( — i j, rapportée à s(îs lignes asymptotiques y.. (3, et si représentation sphéricjue (7, donnant les ds,'- respectifs
i I — I (/\- = d'j.'- - d'j- — i cos'. (0 /Ix c/'j. 1(7) //'j- =. d'j:- — d'^j- — 1 cosvc'j dy. d ■^j
avec l'êquation de condition
( :>. ) -; — T7 --- sino; rosoj.
A une solution 0)(^, 1^ ) de (2), correspond le pointée, c', c), qui
décrit (7. par le système complètement intégrable
(Jcf.- aoL (jy. " " SI 112(0 t/,j
\^ } \ -T rj- ■ — 0 COS'i w = o.
à- 0 ,^ ' à[i âO ai) à ^ . .
yp- sin.), (0 do. â[j dp
L'intégration de (3) revient à une équation unique de Kiccati. On obtient ensuite le point [x, y, z), qui décrit i par les formules de Lelieuvre. c'est-à-dire par trois quadratures. La remarque de
Sophus Lie consiste à remarquer que fiji^oj (ta, -j est une nouvelle solution de (2), quelle que soit la constante t. Si nous adoptons cette valeur nouvelle W|, e/i conservant les mêmes a, |3, on a les dsnouveaux
^ ( il j dsj = (/a- -I- d'^'- -r- 2 COS2 tO; da d[j.
/ ( 7| ) di'j = da- H- <r/[5- — i cos.ico, dy. d'p.
On a ainsi, une fois —1 obtenue par la nouvelle équation de Riccati, une correspondance particulière entre ^ et i, qui conserve les lignes asymptotiques, les lignes de courbure
( i< := a + jî , i' := a — [î, ds- = co^- w du- -+- sin- to dv- ),
mais c/ui cJiange l'' angle des asymptotiques.
On peut, au contraire, sur la surface ij considérer le point de coordonnées
de sorte que
(5) (.J,(a,, i3i) = w//ai, -^j = to(a, [i).
Remplaçons dans (i'), a et (3 par a,, [3i : on a les ds- respectifs
( d<x'-, : <5?3r -4- Ji cos>. «)| fa,, [j, ) r/a, (^[^i,. ( I )
f da.'^ 1 c/[ii'f — ■>, cos 2 oj I ( 0: 1 , 'j I "> r/a I c/[3 , .
APPLICABILITÉ DES SURFACES ÉTUDIÉE DU POINT DE VUE FINI. il
Remplaçons malnlenanl a, et [3, par-, tp\ on a
l (Is'j = — t- d'i)-^- ■}. cosiojf'a. 'i) da. d-p.
/ c/7j =^ — — - /- d j- ^— i cos>(o(a. [j ) ^/a (^/ j.
Celte fois on a ainsi réalisé par les points de même a, p sur — et sûr i| une correspondance conservant les asjmptotiques, leur an^le et les aires : sur ^ on a une double infinité de losanges de même côté / découpés par les àsjniptotiques
