JC rr /, X zb •>. /, . . , 'j.z^ iil
;j. -^±1. |3r=^/. .... '^zriil
Dans la correspondance nouvelle entre i et i, ces losanges sont remplacés par Ae& parallélo grammes de nit^-me côté - ( sur les asyniplo-
liques ^5=:const.), /^ (sur les .;sjmptotiques a = const.j. Sur les représentations sphériques, on a le résultat analogue, sauf que les lignes a, ,3 ne sont pas asjmptotiques. Les lignes de courbure
3(, rh (3, = const. dei) ont pour boniologue les courbes - zb ^ j5 = const.
de i qui ne sont pas lignes de courbure, sauf pour la valeur ^ =r zb /, (jui donne la transformée d'ilazzidakis. C'est à ce second point de vue que Ton étudie la transformation de Sophus Lie pour les surfaces de Bonnet-Lie et pour les surfaces de Voss; c'est, au contraire, au premier point de vue que l'on se pi ce di.ns la déformation des quadriques de M. Bianchi. Il importait de bien caractériser la difFéroace des pojnts de vue, car, suiv.ait les circonstances, chaque auteur adopte l'un on l'autre, en oiiblianl j)resque toujours de prévenir le lecteur du choix i;dojité.
Dans le c,:s de I.; Ir.insform ;tion de Bonnet-Lie pour les surf.ices à courbure moyenne constante, il est -nécess .ire poui" la réalité que Ja surfice à courbure totale constante i de dépr.rt soit à courbure totale posi/i\e : il suffit, d.ins les formules qui précédent, de supposer y. et (3 luiagjn, sires conjuguées, w innigincire pure et de fiire sur i une homothétie de rapport/: li constante / doit avoir l'unité pour module. On pourra, [loiir éviter l'emploi des im.igin ;ires. écrire le ds'- de —
et (7 sous la forme
(is- = cil- 10 du- H-- sh- M dv-, di-^= s\\'-o)du- ■ ch-oidu-, ()'- o) d- oj I
La transformation de Soplius Lie { premier point de vue) consiste à prendre
( 7 ) oj| ( //, (') ^ (o[ // cos y. — r sin a. « siu a r cos x].
Le second point de vue consiste à écrire
^ (Oi I //,. r, ) == w( II. r ),
/ }/i=//COsa — csiua. Ci = // sin a -t- r co^ a.
Les surfaces S| et So ont pour ds-
( 9) ds- =: e='-^(dii'- -;- «Yc-}.
La transformée d'Hazzidakis correspond à a = ±:-- La forme (9) montre que la correspondance entre le point («, v) de S, et le point {u^. r,) de S'j obtenu par (8) est ])ien une application.
7. Déformation avec conservation des rayons principaux. — Clet exemple de déformation à un paramètre, où les rayons de courbure principaux se conservent, n'est pas le seul; nous avons vu que chaque famille de surfaces minima associées donne cette circonstance (cette fois avec un réseau conjugué permanent); il existe encore une série d'autres exemples, étudiés par Ossian Bonnet [1 '2 |, puis Hazzldakis [3!] et M. Servant [45], mais on n'obtient alors que diverses famiHes de surfaces toutes imaginaires à un paramétre, bien que leur ei^- convienne
à des surfaces réelles : je cite en particulier le <^/5- simple ( — — -\ du dv ,
où U et V sont fonctions arbitraires, respeiuivement du seul a ou c et qui donne la famille de surfaces dépendant du paramètre t :
avec
-[oJi I -+- 'il- ) — /■] ■À
(v -f- t')( Il — I )
j (c^ ty ~J (u — ty
/ I (• / )- . / ( /' — fy-\
APPLICABILITÉ DES SURFACES ÉTUDIÉE DU POINT DE VUE FINI. l'i
On remarquera ([ue U =^ iu'-, \ = — m- cIduiic ds'^ = — ( u — t' )- r/t( f/r,
et en remplaçant u. v par A-|-/B et A fB, on a le ds' caractéristique des surfaces développées de surface minima
Quand le paramétre t augmente indéfiniment, on obtient la surface limite
('4) /\,^^ I \^ ,lv I l-^dii. ■% = / / \ r/r— i I \ du.
8. Déformation où une série de lignes de niveau reste lignes de niveau. — M. Goursat [!28J a signalé ce cas intéressant; je l'ai moimême retrouvé par une méthode plus simple. Prenons une surtace développable D arbitraire et traçons les sections de D par une série de plans parallèles choisie arbitrairement : par exemple, les plans z =z const. ; déplaçons chaque section de cote z, [)arallèlement à O^. perpendiculaire à ces plans, de façon à lui donner une nouvelle cote Z. où Z est une fonction, /(:■) arhàiai/e: la surface S ainsi obtenue possède la propriété d'admettre une déformation continue à un paramètre où les lignes de niveau :; = const. restent lignes de niveau; on remarque que, dans le passage de D à S, chaque génératrice de D devient une courbe plane dans le plan projetant horizontalement la génératrice; ces courbes planes donnent sur S les lignes conjuguées des courbes :; = const., et au cours de la déformation annoncée, ce système conjugué reste conjugué. La surface S est susceptible d'être représentée par les formules paramétriques mettant en évidence ce système conjugué (::), (a )
(i) I y =/(;s)0|(a.)^T,,(rt),
avec Içs relations ditrérentielles
^"' i)\(a) ~ 0'(rt )"
Les défoiDiées s'obtienneul en écrivant
où ;i est une constante; les fonctions 9 (a), 9, (a), -0(^1). y),(a) se c (Iculent par les formules
• 0 =r p cosoj. 0| =:= p si moi
(/) I ^/(o V ( 0^ — 0=/— fi) ( 6'^ -- 0',^ ) — ( 66'-^ Oj 0; y-
On peiil remarquer ({ue cet exemple comprend un j^rand nombre de C-;s connus ( surfaces de révolution, surfaces moulures, surfaces de translation à profils plans d^ins deux plans rectangulaires, surfaces de Peterson ayant un système conjugué doublement de Kœnigs : ces dernières surfaces s'obtiennent en .jnnvilant r,. yj,, ti, r/,).
9. Couples isolés de surfaces applicables. — .le cite quelques exemples simples de couples isolés rem.irquables.
Soit une surfùce de translation S telle que les cônes directeurs des tangentes à chaque profil de translation A ou B soient liomofocaux; il lui correspond une déformée unique S, de même définition, telle que le profil A, admette pour côiie directeur de ses tangentes le même cône que H et in\ersement B, que A. Peterson [ ii^] a le premier cité ces couples : j'eti ai moi-même repris l'étude [20].
De même, soit une surface qi/e/congue ^ de courbure totale constante — ; j)ortons sur ch;;que norm.de à 2Î une longueur constante /; :
on obtient ainsi une surface S; S admet une seule déformée S, telle (lue le l'éseau de courbui-e soit resté de courbure; Si est parallèle, à
APPLICABILITÉ DES SURFACES ÉTUDIÉE DU POINT DE VUE FINI. 'iô
la dislance constante a, d'une surface i) à courbure totale constante j- : par une honiothétie convenable, i et i, deviennent transformées d'Hazzidakis Tune de l'autre. J'ai donné cet exemple [19].
J'ai donné divers .lutres exemples déduits de la tliéorie des mécanismes ; Peterson a donné aussi d'autres exemples curieux.
10. Parallélisme de Peterson, réseau conjugué. — Soient deux surfaces S et S| applicables : si l'on écarte le cas de deux surfaces réglées, la correspondance ponctuelle résultant de leur application fournit un réseau conjugué, et un seul, foi^mé de deux familles distinctes ; prenons ces courbes pour lignes de coordonnées w, v\ l'équation de Laplace, relative à ce réseau, est
"^ àuâv •., H^ V ''^'' à" / au iW- \ âfi àv ) ,h- ~ "'
Elle est la même pour S et S| , admet pour solutions x, y\ z. Xy. Yi, z^^ et, en vertu d'un théorème de G. Kœnigs,
Une surface S', parallèle à S suivant le réseau conjugué en jeu au sens de Peterson. est définie par les étjnatioiis
( -À ) dx' = P -^ du — Q ^— ■ ^l^'- ^y' ^ • • • 1 dz' = . . . ,
au oc
où P et Q satisfont aux équatinns
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âif
dv
